आरआरबी एनटीपीसी सीबीटी 1 2016 Mathematics प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

गति = दूरी / समय।

कार A की गति = 90 किमी / 2 घंटे = 45 किमी/घंटा।

चूंकि कार B, कार A से दोगुनी तेज है: कार B की गति = 2 × 45 किमी/घंटा = 90 किमी/घंटा।

व्याख्या

Y की गति = दूरी ÷ समय = 420 ÷ 3 = 140 किमी/घंटा।

दिया गया है कि X और Y की गति का अनुपात 5:7 है, X की गति = (5 ÷ 7) × Y की गति = (5 ÷ 7) × 140 = 100 किमी/घंटा।

व्याख्या

दिए गए समुच्चय का माध्य (x̅) है (10 + 11 + 9 + 11 + 9) / 5 = 50 / 5 = 10.

माध्य से वर्ग विचलनों का योग Σ(x - x̅)² = (10 - 10)² + (11 - 10)² + (9 - 10)² + (11 - 10)² + (9 - 10)² = 0 + 1 + 1 + 1 + 1 = 4.

मानक विचलन सूत्र σ = √(Σ(x - x̅)² / N) का उपयोग करते हुए, जहाँ N = 5: σ = √(4 / 5) = 2 / √5.

व्याख्या

1 से 100 तक की संख्याओं में अंक 5 की कुल घटनाओं को गिनने के लिए, स्थान मान के अनुसार इसकी उपस्थिति का विश्लेषण करें:

इकाई के स्थान पर, 5, 10 बार आता है: 5, 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, और 95। दहाई के स्थान पर, 5, 10 बार आता है: 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, और 59।

दोनों स्थानों पर घटनाओं को जोड़ने पर 10 + 10 = 20 बार आता है। ध्यान दें कि संख्या 55 में दो 5 हैं, जो इकाई के स्थान की गणना में एक बार और दहाई के स्थान की गणना में एक बार योगदान करते हैं।

व्याख्या

ढाई किलोग्राम (2.5 किग्रा) में पाँच आधे किलोग्राम (0.5 किग्रा) के हिस्से होते हैं, क्योंकि 2.5 ÷ 0.5 = 5।

इसलिए, आधे किलोग्राम (0.5 किग्रा) सब्जियों का मूल्य = 120 ÷ 5 = ₹24।

व्याख्या

समांतर श्रेणी में विषम संख्या में क्रमागत पदों के लिए, मध्य पद समुच्चय के औसत के बराबर होता है।

मध्य संख्या = योग ÷ पदों की संख्या = 42 ÷ 3 = 14

व्याख्या

वितरण नियम का उपयोग करके दिए गए गुणनफल का विस्तार करने पर:

(x + 2y)(2x - y) = x(2x - y) + 2y(2x - y) = 2x² - xy + 4xy - 2y² = 2x² + 3xy - 2y²

समान पदों -xy और 4xy को मिलाने पर 3xy प्राप्त होता है।

व्याख्या

मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं sec²θ - tan²θ = 1 और tanθ × cotθ = 1 का उपयोग करके:

(sec²θ + 2tanθcotθ - tan²θ) = (sec²θ - tan²θ) + 2(tanθ × cotθ) = 1 + 2(1) = 3

व्याख्या

व्युत्क्रम अनुपात संबंध M₁ × D₁ = M₂ × D₂ का उपयोग करके:

प्रारंभिक कार्य क्षमता = 9 × 50 = 450 महिला-दिन।

जब 6 और महिलाएँ जोड़ी जाती हैं, तो कुल कार्यबल 9 + 6 = 15 महिलाएँ हो जाती है।

आवश्यक दिनों की संख्या = (9 × 50) / 15 = 450 / 15 = 30 दिन।

व्याख्या

दोनों समीकरणों को जोड़ने पर y समाप्त हो जाता है: (4x + 5y) + (x - 5y) = 14 + 16 5x = 30 x = 6

x = 6 को x - 5y = 16 में प्रतिस्थापित करने पर: 6 - 5y = 16 -5y = 10 y = -2

व्याख्या

यह पता लगाने के लिए कि अधिकतम कितने उपहार पैक बनाए जा सकते हैं, जिसमें प्रत्येक पैक में दोनों प्रकार की डायरी समान वितरण में हों और कोई शेष न बचे, दो मात्राओं, 20 और 16, का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करें।

20 का अभाज्य गुणनखंडन = 2² × 5 16 का अभाज्य गुणनखंडन = 2⁴

HCF(20, 16) = 2² = 4

इस प्रकार, 4 उपहार पैक बनाए जा सकते हैं, जिसमें प्रत्येक पैक में 5 बड़ी डायरी और 4 छोटी डायरी होंगी।

व्याख्या

N:L अनुपात ज्ञात करने के लिए, N/L को (N/M) और (M/L) के गुणनफल के रूप में व्यक्त करें:

N/L = (N/M) × (M/L)

दिया गया है L:M = 3:5, इसलिए M/L = 5/3। दिया गया है M:N = 2:3, इसलिए N/M = 3:2।

N/L = (3/2) × (5/3) = 5/2

व्याख्या

प्रत्येक फल के दर्जन में शेष मात्रा: शेष सेब = 10 × (1 - ½) = 5 दर्जन शेष आम = 15 × (1 - ⅓) = 10 दर्जन शेष संतरे = 20 × (1 - ¼) = 15 दर्जन

दर्जन में कुल शेष फल = 5 + 10 + 15 = 30 दर्जन कुल शेष फल = 30 × 12 = 360

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका tan(-θ) = -tan(θ) और आवर्तता गुण tan(360° + θ) = tan(θ) का प्रयोग करके:

tan(-405°) = -tan(405°) = -tan(360° + 45°) = -tan(45°) = -1

व्याख्या

360 और 450 के महत्तम समापवर्तक (HCF) को ज्ञात करने के लिए, दोनों संख्याओं को उनके अभाज्य गुणनखंडों के रूप में व्यक्त करें:

360 = 2³ × 3² × 5¹ 450 = 2¹ × 3² × 5²

सभी उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की निम्नतम घातों का गुणनफल लेने पर: HCF = 2¹ × 3² × 5¹ = 2 × 9 × 5 = 90

वैकल्पिक रूप से, यूक्लिड की विभाजन कलन विधि का उपयोग करके: 450 = 360 × 1 + 90 360 = 90 × 4 + 0

चूंकि शेषफल 0 हो जाता है, भाजक 90 HCF है।

व्याख्या

10% प्रति वर्ष की साधारण ब्याज दर पर दो वर्षों के लिए, कुल साधारण ब्याज दर 20% है। चूंकि साधारण ब्याज रु. 2,000 है, मूलधन P = 2000 × (100 / 20) = रु. 10,000।

2 वर्षों के लिए चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच का अंतर (D) निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

D = P × (R / 100)²

P = 10,000 और R = 10 रखने पर:

D = 10,000 × (10 / 100)² = 10,000 × (1 / 100) = रु. 100

व्याख्या

परिभाषा के अनुसार, एक अभाज्य संख्या 1 से बड़ी एक प्राकृतिक संख्या होती है जिसके ठीक दो भिन्न धनात्मक पूर्णांक भाजक होते हैं: 1 और वह संख्या स्वयं। उदाहरण के लिए, 2, 3, 5, 7 और 11 जैसी संख्याओं को केवल 1 और स्वयं से ही पूरी तरह विभाजित किया जा सकता है।

व्याख्या

साधारण ब्याज का सूत्र SI = (P × R × T) / 100 है, जहाँ P मूलधन, R प्रति वर्ष ब्याज दर, और T वर्षों में समय है।

शिव से ब्याज = (6000 × R × 3) / 100 = 180R कृष्ण से ब्याज = (8000 × R × 5) / 100 = 400R

कुल ब्याज = 180R + 400R = 580R

दिया गया कुल ब्याज ₹ 5,220 है: 580R = 5220 R = 5220 / 580 = 9%

व्याख्या

दिए गए समीकरण में Q = 10 प्रतिस्थापित करें: P + 10 = 2(P - 10)

दाहिने पक्ष का विस्तार करें: P + 10 = 2P - 20

P के लिए हल करने हेतु पदों को पुनर्व्यवस्थित करें: 20 + 10 = 2P - P P = 30

व्याख्या

विकर्ण d वाले वर्ग का क्षेत्रफल सूत्र Area = d² / 2 द्वारा दिया जाता है।

दिया गया विकर्ण d = 13√2 रखने पर:

Area = (13√2)² / 2 = (169 × 2) / 2 = 169 वर्ग इकाई।

व्याख्या

दिए गए भिन्नों को उनके दशमलव समतुल्य में परिवर्तित करने पर: 6/5 = 1.20 5/4 = 1.25 4/3 = 1.33 3/2 = 1.50

इन दशमलव मानों की तुलना करने पर, 1.20, 1.25, 1.33 और 1.50 से छोटा है, जिससे 6/5 सबसे छोटा भिन्न बन जाता है।

व्याख्या

क्रय मूल्य = विक्रय मूल्य / (1 + लाभ%/100)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: क्रय मूल्य = 1300 / (1 + 30/100) = 1300 / 1.3 = 1000

व्याख्या

कुल पेन = 2 दर्जन = 2 × 12 = 24 पेन। क्रय मूल्य (CP) = ₹ 480।

बनाए गए पैकेटों की संख्या = 24 / 4 = 6 पैकेट। कुल विक्रय मूल्य (SP) = 6 × ₹ 100 = ₹ 600।

लाभ = SP - CP = 600 - 480 = ₹ 120।

लाभ प्रतिशत = (लाभ / CP) × 100 = (120 / 480) × 100 = 25%।

व्याख्या

परास = अधिकतम मान - न्यूनतम मान

दिए गए आँकड़ा समुच्चय से: अधिकतम मान = 19 न्यूनतम मान = 9

परास = 19 - 9 = 10

व्याख्या

मानक बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ का प्रयोग करके:

a = s और b = 2 प्रतिस्थापित करें: (s + 2)³ = s³ + 3(s²)(2) + 3(s)(2²) + 2³ = s³ + 6s² + 12s + 8

व्याख्या

किया गया काम का अंश = (काम किए गए दिनों की संख्या) / (आवश्यक कुल दिन)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: किया गया काम = 20 / 50 = 2/5

व्याख्या

समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म का उपयोग करते हुए, पेड़ की ऊँचाई का बिजली के खंभे की ऊँचाई से अनुपात, छाया की लंबाई का खंभे से छाया के सिरे तक की कुल दूरी से अनुपात के बराबर होता है।

मान लीजिए पेड़ की छाया की लंबाई s है।

पेड़ की ऊँचाई / खंभे की ऊँचाई = s / (10 + s) 6 / 18 = s / (10 + s) 1 / 3 = s / (10 + s) 10 + s = 3s 2s = 10 s = 5 फीट

व्याख्या

मानक विचलन माध्य के सापेक्ष डेटा बिंदुओं के फैलाव या प्रसार को मापता है। इसकी गणना सूत्र σ = √(Σ(xᵢ - μ)² / N) का उपयोग करके की जाती है, जहाँ μ माध्य है और N अवलोकनों की कुल संख्या है।

दिए गए समुच्चय {10, 10, 10, 10, 10} के लिए: माध्य μ = (10 + 10 + 10 + 10 + 10) / 5 = 10 प्रसरण σ² = ((10 - 10)² + (10 - 10)² + (10 - 10)² + (10 - 10)² + (10 - 10)²) / 5 = 0 मानक विचलन σ = √0 = 0।

व्याख्या

12 पेन का क्रय मूल्य = ₹120।

चूंकि एक दर्जन (12 ÷ 3 = 4) में 3 पेन के 4 पैकेट होते हैं, और प्रत्येक पैकेट ₹35 में बेचा जाता है: कुल विक्रय मूल्य = 4 × 35 = ₹140।

लाभ = विक्रय मूल्य - क्रय मूल्य = 140 - 120 = ₹20। लाभ प्रतिशत = (20 / 120) × 100 = 16.67%।

व्याख्या

चूंकि दक्षता (कार्यक्षमता) लिया गया समय के व्युत्क्रमानुपाती होती है, G और S की दक्षता का अनुपात 2 : 1 है, जिसका अर्थ है कि G और S द्वारा लिया गया समय का अनुपात 1 : 2 है।

समय अनुपात में अंतर 2 - 1 = 1 इकाई है, जो 30 दिनों के बराबर है। G द्वारा लिया गया समय = 1 × 30 = 30 दिन S द्वारा लिया गया समय = 2 × 30 = 60 दिन

कुल कार्य = दक्षता × समय = 2 × 30 = 60 इकाई। G और S की संयुक्त दक्षता = 2 + 1 = 3 इकाई प्रति दिन।

एक साथ कार्य करने में लिया गया समय = कुल कार्य / संयुक्त दक्षता = 60 / 3 = 20 दिन।

व्याख्या

साधारण ब्याज SI = (P × R × T) / 100

चूंकि मूलधन P और ब्याज दर R = 12% दोनों ही मामलों में समान हैं, इसलिए साधारण ब्याज सीधे समय अवधि T के समानुपाती होता है।

साधारण ब्याज का अनुपात = T₁ : T₂ = 9 : 12 = 3 : 4

व्याख्या

परिसर की गणना डेटासेट में अधिकतम और न्यूनतम मान के बीच के अंतर के रूप में की जाती है: परिसर = अधिकतम मान - न्यूनतम मान = 29 - 16 = 13.

बहुलक वह मान है जो डेटासेट में सबसे अधिक बार आता है। प्रत्येक संख्या की आवृत्ति: 16 एक बार आता है 17 दो बार आता है 18 तीन बार आता है 19 एक बार आता है 28 एक बार आता है 29 एक बार आता है

चूंकि 18 की आवृत्ति सबसे अधिक (3 बार) है, इसलिए बहुलक 18 है।

व्याख्या

लाभ प्रतिशत = [(विक्रय मूल्य - क्रय मूल्य) / क्रय मूल्य] × 100

लाभ = 13,500 - 11,000 = 2,500

लाभ प्रतिशत = (2,500 / 11,000) × 100 = 250 / 11 = 22.727...% ≈ 22.7%

व्याख्या

बीजगणितीय विस्तार (a + b)² = a² + b² + 2ab का प्रयोग करके:

(sin θ + cos θ)² = sin²θ + cos²θ + 2 sin θ cos θ

मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin²θ + cos²θ = 1 को प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

(sin θ + cos θ)² = 1 + 2 cos θ sin θ

व्याख्या

10 क्रमागत पूर्णांकों के प्रत्येक समूह में, 0 से 9 तक का प्रत्येक अंक इकाई के स्थान पर ठीक एक बार आता है। 1 से 100 तक की सीमा में 10 संख्याओं के 10 पूर्ण समूह होते हैं (1–10, 11–20, ..., 91–100)।

इसलिए, अंक 3 प्रत्येक समूह में इकाई के स्थान पर ठीक एक बार आता है, जिससे कुल 10 बार होता है: 3, 13, 23, 33, 43, 53, 63, 73, 83, और 93।

व्याख्या

दी गई संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन: 20 = 2² × 5 28 = 2² × 7

महत्तम समापवर्तक (म.स.प.) सामान्य अभाज्य गुणनखंडों की निम्नतम घातों का गुणनफल होता है: म.स.प.(20, 28) = 2² = 4

लघुत्तम समापवर्त्य (ल.स.प.) में शामिल सभी अभाज्य गुणनखंडों की उच्चतम घातों का गुणनफल होता है: ल.स.प.(20, 28) = 2² × 5 × 7 = 140

अतः, 20 और 28 का म.स.प. और ल.स.प. क्रमशः 4 और 140 हैं।

व्याख्या

कुल दूरी = 300 मीटर कुल समय = 2 मिनट 30 सेकंड = 150 सेकंड

गति (मी/से में) = दूरी / समय = 300 / 150 = 2 मी/से

गति को मी/से से किमी/घंटा में बदलने के लिए, 18/5 से गुणा करें: गति = 2 × (18/5) = 36/5 = 7.2 किमी/घंटा

व्याख्या

मान लीजिए दूसरी संख्या y है।

दी गई शर्त के अनुसार, दो संख्याओं के अंतर का दोगुना उनके योग के बराबर है: 2(15 - y) = 15 + y 30 - 2y = 15 + y 3y = 15 y = 5

व्याख्या

माना तीन क्रमागत संख्याएँ x - 1, x, और x + 1 हैं।

योग = (x - 1) + x + (x + 1) = 3x = 126 x = 126 ÷ 3 = 42

तीन संख्याएँ 41, 42, और 43 हैं। इनमें से सबसे बड़ी संख्या 43 है।

व्याख्या

मान लीजिए सूर्य की वर्तमान आयु S है और उसके पुत्र की वर्तमान आयु s है।

दी गई शर्तों के अनुसार: S - s = 25 5 वर्ष बाद, S + 5 = 2(s + 5), जिसे सरल करने पर S - 2s = 5 प्राप्त होता है।

दूसरे समीकरण को पहले समीकरण से घटाने पर: (S - s) - (S - 2s) = 25 - 5 s = 20

सूर्य की वर्तमान आयु S = 20 + 25 = 45 वर्ष। 3 वर्ष बाद सूर्य की आयु = 45 + 3 = 48 वर्ष।

व्याख्या

किसी सम बहुभुज का बाह्य कोण E = 180° - 108° = 72° होता है। भुजाओं की संख्या n, n = 360° / E = 360° / 72° = 5 द्वारा दी जाती है। 5 भुजाओं वाले बहुभुज को पंचभुज कहते हैं।

व्याख्या

sin θ = 1 / √2 के लिए, θ = 45°.

इसलिए, cos θ = 1 / √2 और tan θ = 1.

इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: tan θ + cos θ = 1 + 1 / √2 = (1 + √2) / √2

व्याख्या

माध्य की गणना सभी मानों के योग को अवलोकनों की संख्या से विभाजित करके की जाती है: माध्य = (7 + 5 + 5 + 2 + 7 + 6 + 5 + 3 + 7 + 6) / 10 = 53 / 10 = 5.3

माध्यिका ज्ञात करने के लिए, 10 मानों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें: 2, 3, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7

चूंकि n = 10 सम है, माध्यिका 5वें और 6वें मानों का औसत है: माध्यिका = (5 + 6) / 2 = 5.5

व्याख्या

बिना किसी वस्तु के शेष बचे अधिकतम सेटों की संख्या ज्ञात करने के लिए, 32, 24 और 16 का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करें।

32 = 8 × 4 24 = 8 × 3 16 = 8 × 2

HCF(32, 24, 16) = 8

इस प्रकार, 8 सेट बनाए जा सकते हैं, जिसमें प्रत्येक सेट में 4 पेन, 3 पेंसिल और 2 इरेज़र होंगे।

व्याख्या

बीजगणितीय विस्तार सूत्र (a - b)² = a² - 2ab + b² का उपयोग करके:

a = w और b = 9 प्रतिस्थापित करने पर: (w - 9)² = w² - 2(w)(9) + 9² = w² - 18w + 81

व्याख्या

छमाही चक्रवृद्धि के साथ ब्याज की प्रभावी वार्षिक दर की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

प्रभावी दर = (1 + r/n)ⁿ - 1

यहाँ, नाममात्र वार्षिक दर r = 10% = 0.10, और चक्रवृद्धि आवृत्ति n = 2 प्रति वर्ष है।

प्रति छमाही दर = 10% / 2 = 5% = 0.05

प्रभावी दर = (1 + 0.05)² - 1 = 1.05² - 1 = 1.1025 - 1 = 0.1025 = 10.25%

व्याख्या

प्रति इकाई कुल दर = आधार दर + मार्जिन = 67.89 + 1.11 = रु. 69.00

150 इकाइयों की लागत = 150 × 69 = रु. 10,350

व्याख्या

एक वृत्त का क्षेत्रफल सूत्र Area = πr² द्वारा दिया जाता है, जहाँ r त्रिज्या है।

दिया गया क्षेत्रफल = 9π वर्ग सेमी: πr² = 9π r² = 9 r = 3 सेमी

एक वृत्त की परिधि सूत्र Circumference = 2πr द्वारा दी जाती है।

r = 3 सेमी रखने पर: परिधि = 2 × π × 3 = 6π सेमी

व्याख्या

मान लीजिए कि 5 रुपये, 10 रुपये और 20 रुपये के नोटों की संख्या क्रमशः 3x, 2x और 1x है।

कुल मूल्य = (5 × 3x) + (10 × 2x) + (20 × 1x) = 15x + 20x + 20x = 55x

दिया गया कुल मूल्य = 165 55x = 165 x = 3

20 रुपये के नोटों की संख्या = 1x = 3 नोट। 20 रुपये के नोटों का मूल्य = 3 × 20 = 60 रुपये।

व्याख्या

प्रत्येक भिन्न को दशमलव रूप में बदलने पर: 3/2 = 1.50 4/3 = 1.33... 5/4 = 1.25 6/5 = 1.20

इन मानों की तुलना करने पर, 1.50 सबसे बड़ा दशमलव है।