एक सम बहुभुज का आंतरिक कोण 120° है। इसकी भुजाओं की संख्या क्या है?
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
उत्तर और व्याख्या देखेंउत्तर छिपाएँ⌄
उत्तर: (D) 6
व्याख्या
किसी सम बहुभुज के एक आंतरिक कोण और उसके संगत बाह्य कोण का योग हमेशा 180° होता है। दिया गया है कि आंतरिक कोण 120° है, तो बाह्य कोण है:
बाह्य कोण = 180° - 120° = 60°
चूंकि किसी भी बहुभुज के सभी बाह्य कोणों का योग हमेशा 360° होता है, इसलिए सम बहुभुज की भुजाओं की संख्या (n) की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:
n = 360° / बाह्य कोण
बाह्य कोण का मान रखने पर:
n = 360° / 60° = 6
152मात्रात्मक अभिक्षमता
यदि ABC त्रिभुज का परिमाप S है और कोण BAC का मान 40° है, तो कोण BSC का मान क्या होगा?
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
उत्तर और व्याख्या देखेंउत्तर छिपाएँ⌄
उत्तर: (C) 80°
व्याख्या
ज्यामिति में, यदि S त्रिभुज ABC का परिकेंद्र (circumcentre) दर्शाता है, तो वृत्त के शेष भाग पर किसी भी बिंदु (जो शीर्ष A है) पर उसी चाप द्वारा परिकेंद्र S पर अंतरित कोण, शीर्ष A पर अंतरित कोण का दोगुना होता है।
इस प्रमेय के अनुसार:
∠BSC = 2 × ∠BAC
दिया गया है कि ∠BAC = 40°, हम इस मान को संबंध में प्रतिस्थापित करते हैं:
∠BSC = 2 × 40° = 80°
153मात्रात्मक अभिक्षमता
त्रिभुज ABC की तीन माध्यिकाएँ AD, BE और CF, G पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल 36 cm² है, तो चतुर्भुज BDGF का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
उत्तर और व्याख्या देखेंउत्तर छिपाएँ⌄
उत्तर: (D) 12 cm²
व्याख्या
किसी त्रिभुज की माध्यिकाएँ त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले छह छोटे त्रिभुजों में विभाजित करती हैं।
जब त्रिभुज ABC की तीन माध्यिकाएँ AD, BE, और CF केन्द्रक G पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो बनने वाले छह छोटे त्रिभुज ΔAFG, ΔBFG, ΔBDG, ΔCDG, ΔCEG, और ΔAEG होते हैं। इनमें से प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल त्रिभुज ABC के कुल क्षेत्रफल का 1/6 होता है।
प्रत्येक छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल = 36 ÷ 6 = 6 cm²
चतुर्भुज BDGF इन छोटे त्रिभुजों में से दो, अर्थात् ΔBFG और ΔBDG से मिलकर बना है।
चतुर्भुज BDGF का क्षेत्रफल = ΔBFG का क्षेत्रफल + ΔBDG का क्षेत्रफल = 6 + 6 = 12 cm²
154मात्रात्मक अभिक्षमता
किसी झील की सतह से h मीटर ऊपर स्थित एक बिंदु से एक बादल के उन्नयन कोण 30° है और उसके प्रतिबिंब के अवनमन कोण 60° है। तब झील की सतह से बादल की ऊँचाई है
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
उत्तर और व्याख्या देखेंउत्तर छिपाएँ⌄
उत्तर: (D) 2h मीटर
व्याख्या
मान लीजिए H झील की सतह से बादल की ऊँचाई है। चूँकि प्रेक्षक झील की सतह से h ऊँचाई पर है, प्रेक्षक के स्तर से बादल की ऊँचाई H - h है। मान लीजिए d प्रेक्षक से बादल की ऊर्ध्वाधर रेखा तक की क्षैतिज दूरी है।
प्रेक्षक और बादल द्वारा बनाए गए समकोण त्रिभुज से:
tan 30° = (H - h) / d
d = (H - h) / tan 30°
d = (H - h)√3
बादल का प्रतिबिंब झील की सतह से H गहराई पर स्थित है। इसलिए, प्रेक्षक के स्तर से प्रतिबिंब की गहराई H + h है।
प्रेक्षक और बादल के प्रतिबिंब द्वारा बनाए गए समकोण त्रिभुज से:
tan 60° = (H + h) / d
d = (H + h) / tan 60°
d = (H + h) / √3
d के दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
(H - h)√3 = (H + h) / √3
दोनों पक्षों को √3 से गुणा करने पर:
3(H - h) = H + h
3H - 3h = H + h
2H = 4h
H = 2h
155मात्रात्मक अभिक्षमता
यदि त्रिभुज ABC, B पर समकोण है, और भुजाएँ AB और BC क्रमशः 15 सेमी और 20 सेमी हैं, तो परित्रिज्या (circumradius) है
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
उत्तर और व्याख्या देखेंउत्तर छिपाएँ⌄
उत्तर: (A) 12.5 सेमी
व्याख्या
किसी भी समकोण त्रिभुज के लिए, परिकेंद्र (circumcentre) कर्ण के मध्य बिंदु पर स्थित होता है। इसलिए, परित्रिज्या (circumradius) कर्ण की लंबाई की ठीक आधी होती है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, कर्ण AC की लंबाई है:
AC = √(AB² + BC²)
AC = √(15² + 20²)
AC = √(225 + 400)
AC = √625 = 25 सेमी
एक पुस्तक का अंकित मूल्य 165 है और इसे 132 में बेचा जाता है। दी गई छूट का प्रतिशत है
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
उत्तर और व्याख्या देखेंउत्तर छिपाएँ⌄
उत्तर: (A) 20%
व्याख्या
पुस्तक पर दी गई छूट उसके अंकित मूल्य और विक्रय मूल्य के बीच का अंतर है:
छूट = अंकित मूल्य - विक्रय मूल्य = 165 - 132 = 33
प्रतिशत छूट की गणना अंकित मूल्य पर निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:
छूट % = (छूट / अंकित मूल्य) × 100
छूट % = (33 / 165) × 100 = (1 / 5) × 100 = 20%
160मात्रात्मक अभिक्षमता
60 लीटर के एक मिश्रण में, दूध और पानी का अनुपात 2:1 है। यदि इस अनुपात को 1:2 करना हो, तो कितना पानी और मिलाना होगा?
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
उत्तर और व्याख्या देखेंउत्तर छिपाएँ⌄
उत्तर: (B) 60 लीटर
व्याख्या
प्रारंभिक मिश्रण का कुल आयतन 60 लीटर है, जिसमें दूध और पानी का अनुपात 2:1 है।
मिश्रण में दूध की मात्रा है:
(2 / 3) × 60 = 40 लीटर
मिश्रण में पानी की मात्रा है:
(1 / 3) × 60 = 20 लीटर
चूंकि मिश्रण में केवल पानी मिलाया जाता है, दूध की मात्रा 40 लीटर अपरिवर्तित रहती है। नए मिश्रण में, दूध और पानी का अनुपात 1:2 है।
मान लीजिए x मिलाए जाने वाले पानी की मात्रा है। पानी की नई मात्रा 20 + x हो जाएगी।
नए अनुपात का उपयोग करके:
40 / (20 + x) = 1 / 2
x के लिए हल करने के लिए तिरछा गुणा करने पर:
80 = 20 + x
x = 60
161मात्रात्मक अभिक्षमता
सरल करें: ⅔:¾:⅙
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
उत्तर और व्याख्या देखेंउत्तर छिपाएँ⌄
उत्तर: (C) 28:39:14
व्याख्या
मिश्रित भिन्नों को विषम भिन्नों में बदलें:
2 ⅓ = 7/3
3 ¼ = 13/4
1 ⅙ = 7/6
अब, इन विषम भिन्नों के अनुपात को व्यक्त करें:
7/3 : 13/4 : 7/6
हरों को समाप्त करने के लिए, हरों 3, 4, और 6 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करें, जो कि 12 है।
अनुपात के प्रत्येक पद को LCM से गुणा करें:
(7/3) × 12 = 28
(13/4) × 12 = 39
(7/6) × 12 = 14
यह अनुपात को 28 : 39 : 14 तक सरल करता है।
162मात्रात्मक अभिक्षमता
एक कारखाने में कार्यरत पुरुषों, महिलाओं और लड़कों की संख्या का अनुपात 5:7:10 है। यदि श्रमिकों की कुल संख्या 660 है, तो पुरुषों, महिलाओं और लड़कों की संख्या ज्ञात कीजिए।
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
उत्तर और व्याख्या देखेंउत्तर छिपाएँ⌄
उत्तर: (D) 150,210,300
व्याख्या
कारखाने में कार्यरत पुरुषों, महिलाओं और लड़कों का अनुपात 5:7:10 है। उभयनिष्ठ अनुपात गुणक को x मान लीजिए।
अनुपात पदों का योग श्रमिकों की कुल संख्या को दर्शाता है, जो कि 660 दी गई है:
5x + 7x + 10x = 660
22x = 660
x = 660 ÷ 22
x = 30
प्रत्येक श्रेणी की व्यक्तिगत गणना ज्ञात करने के लिए अनुपात पदों को 30 के उभयनिष्ठ गुणक से गुणा करें:
पुरुषों की संख्या = 5 × 30 = 150
महिलाओं की संख्या = 7 × 30 = 210
लड़कों की संख्या = 10 × 30 = 300
163मात्रात्मक अभिक्षमता
समीकरण |x + 2| = √4 का हल समुच्चय होगा
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
उत्तर और व्याख्या देखेंउत्तर छिपाएँ⌄
उत्तर: (A) {0, -4}
व्याख्या
समीकरण कहता है कि x प्लस 2 का निरपेक्ष मान 4 के वर्गमूल के बराबर है, जो कि 2 है। इसलिए x प्लस 2 बराबर 2 या x प्लस 2 बराबर ऋणात्मक 2। इन्हें हल करने पर x बराबर 0 या x बराबर ऋणात्मक 4 आता है, इसलिए हल समुच्चय शून्य और ऋणात्मक चार है।
164मात्रात्मक अभिक्षमता
एक संख्या में ⁵⁄₇ जोड़ा जाता है और योग 1 है। वह संख्या है
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
उत्तर और व्याख्या देखेंउत्तर छिपाएँ⌄
उत्तर: (D) ⁵⁄₇ का 40%
व्याख्या
मान लीजिए अभीष्ट संख्या x है।
प्रश्न के अनुसार, संख्या और 5/7 का योग 1 है:
x + 5/7 = 1
x = 1 - 5/7
x = 2/7
यह संख्या 5/7 का कितना प्रतिशत है, यह ज्ञात करने के लिए, हम गणना करते हैं:
(2/7 ÷ 5/7) × 100%
= (2/7 × 7/5) × 100%
= 2/5 × 100%
= 40%
यह पुष्टि करता है कि संख्या 5/7 का 40% है।
165मात्रात्मक अभिक्षमता
55 किमी/घंटा की गति से दौड़ती हुई 250 मीटर लंबी एक ट्रेन ने 520 मीटर लंबे प्लेटफॉर्म को पार किया
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
उत्तर और व्याख्या देखेंउत्तर छिपाएँ⌄
उत्तर: (A) 50-4 सेकंड
व्याख्या
प्लेटफॉर्म को पार करने के लिए ट्रेन को तय की जाने वाली कुल दूरी ट्रेन की लंबाई और प्लेटफॉर्म की लंबाई का योग है।
कुल दूरी = ट्रेन की लंबाई + प्लेटफॉर्म की लंबाई
कुल दूरी = 250 + 520 = 770 मीटर
गति को किमी/घंटा से मीटर/सेकंड में बदलने के लिए, 5/18 से गुणा करें।
गति = 55 × 5/18 = 275/18 मीटर/सेकंड
समय के लिए मानक सूत्र का उपयोग करके:
समय = दूरी / गति
समय = 770 / (275/18)
समय = (770 × 18) / 275
समय = 13860 / 275
समय = 50.4 सेकंड
166मात्रात्मक अभिक्षमता
यदि 12 पुरुष या 18 महिलाएँ एक खेत को 7 दिनों में काट सकती हैं, तो 4 पुरुष और 8 महिलाएँ उसी खेत को कितने समय में काट सकती हैं?
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
उत्तर और व्याख्या देखेंउत्तर छिपाएँ⌄
उत्तर: (B) 9 दिन
व्याख्या
मान लीजिए एक पुरुष की दैनिक कार्य क्षमता M है और एक महिला की W है।
दी गई शर्त के अनुसार, 12 पुरुषों द्वारा किया गया कार्य 18 महिलाओं द्वारा किए गए कार्य के बराबर है:
12 M = 18 W
2 M = 3 W
1 M = 1.5 W
हमें 4 पुरुषों और 8 महिलाओं द्वारा उसी खेत को काटने में लगने वाले समय का पता लगाना है। पुरुषों को समतुल्य महिलाओं में परिवर्तित करना:
4 M + 8 W = 4 × 1.5 W + 8 W = 6 W + 8 W = 14 W
कार्य समतुल्यता सूत्र का उपयोग करके, यदि W₁ महिलाएँ D₁ दिनों में कार्य पूरा करती हैं, तो W₂ महिलाएँ उसी कार्य को D₂ दिनों में पूरा करेंगी:
W₁ × D₁ = W₂ × D₂
18 × 7 = 14 × D₂
D₂ = (18 × 7) / 14 = 9 दिन
167मात्रात्मक अभिक्षमता
A एक दीवार 30 दिनों में बना सकता है, जबकि B अकेले इसे 40 दिनों में बना सकता है। यदि वे इसे मिलकर बनाते हैं और ₹ 7,000 का भुगतान प्राप्त करते हैं, तो B का हिस्सा है
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
उत्तर और व्याख्या देखेंउत्तर छिपाएँ⌄
उत्तर: (C) ₹ 3,000
व्याख्या
जब वे समान अवधि के लिए एक साथ काम करते हैं तो मजदूरी का हिस्सा व्यक्तियों की दक्षता के अनुपात में वितरित किया जाता है। चूंकि दक्षता कार्य पूरा करने में लगने वाले समय के व्युत्क्रमानुपाती होती है, इसलिए उनके द्वारा किए गए कार्य का अनुपात इस प्रकार गणना की जाती है:
A और B द्वारा लिया गया समय का अनुपात = 30 : 40 = 3 : 4
A और B की दक्षता का अनुपात = 1/30 : 1/40 = 4 : 3
₹ 7,000 का कुल भुगतान इस 4 : 3 के अनुपात में विभाजित किया गया है।
B का हिस्सा = (3 / (4 + 3)) × 7,000 = (3/7) × 7,000 = ₹ 3,000
168मात्रात्मक अभिक्षमता
एक घन के किनारे में 50% की वृद्धि की जाती है। तो कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल में प्रतिशत वृद्धि है
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
उत्तर और व्याख्या देखेंउत्तर छिपाएँ⌄
उत्तर: (B) 125%
व्याख्या
एक घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके किनारे की लंबाई के वर्ग के सीधे समानुपाती होता है, क्योंकि TSA = 6a²। जब घन के किनारे में 50% की वृद्धि की जाती है, तो नई किनारे की लंबाई मूल किनारे की लंबाई का 1.5 गुना हो जाती है।
नया कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल इस कारक के वर्ग, जो कि (1.5)² = 2.25 गुना मूल पृष्ठीय क्षेत्रफल है, द्वारा मापता है।
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल में प्रतिशत वृद्धि की गणना (2.25 - 1) × 100% = 125% के रूप में की जाती है।
169मात्रात्मक अभिक्षमता
एक आयताकार टंकी के आधार का क्षेत्रफल 6500 वर्ग सेमी है और उसमें भरे पानी का आयतन 2.6 घन मीटर है। पानी की गहराई है
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
उत्तर और व्याख्या देखेंउत्तर छिपाएँ⌄
उत्तर: (D) 4 मीटर
व्याख्या
एक आयताकार टंकी का आयतन = आधार का क्षेत्रफल × गहराई
पानी का आयतन घन मीटर में और आधार का क्षेत्रफल वर्ग सेंटीमीटर में दिया गया है। मानक इकाइयों में गणना करने के लिए, आधार के क्षेत्रफल को पहले वर्ग मीटर में बदला जाता है:
आधार का क्षेत्रफल = 6500 सेमी²
चूंकि 1 मी² = 10000 सेमी²:
आधार का क्षेत्रफल = 6500 / 10000 = 0.65 मी²
मान लीजिए पानी की गहराई h मीटर है। सूत्र में मान रखने पर:
2.6 = 0.65 × h
h = 2.6 / 0.65
h = 4 मीटर
170मात्रात्मक अभिक्षमता
₹ 1,800 का वास्तविक बट्टा (True Discount) 3 वर्षों के लिए, ₹ 1,500 पर 3 वर्षों के लिए समान ब्याज दर पर साधारण ब्याज के बराबर है। ब्याज की दर है
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
उत्तर और व्याख्या देखेंउत्तर छिपाएँ⌄
उत्तर: (B) 6 2/3%
व्याख्या
किसी देय राशि (Amount) पर वास्तविक बट्टा (TD) उसके वर्तमान मूल्य (PW) पर समान समय और ब्याज दर पर साधारण ब्याज (SI) के बराबर होता है।
प्रश्न के अनुसार, ₹ 1,800 का वास्तविक बट्टा, ₹ 1,500 पर 3 वर्षों के लिए समान दर पर साधारण ब्याज के बराबर है। इससे सीधे तौर पर यह पता चलता है कि वर्तमान मूल्य (PW) ₹ 1,500 है।
राशि, वर्तमान मूल्य और वास्तविक बट्टा के बीच संबंध है:
राशि = वर्तमान मूल्य + वास्तविक बट्टा
1,800 = 1,500 + वास्तविक बट्टा
वास्तविक बट्टा = 1,800 - 1,500 = 300
चूंकि वास्तविक बट्टा वर्तमान मूल्य पर साधारण ब्याज है:
वास्तविक बट्टा = (वर्तमान मूल्य × दर × समय) / 100
300 = (1,500 × R × 3) / 100
300 = 45R
R = 300 / 45 = 20/3 = 6 ⅔ %
171मात्रात्मक अभिक्षमता
किसी वस्तु का नकद मूल्य ₹ 12,500 है। इसे ₹ 14,300 के उधार पर खरीदा जा सकता है, जिसका भुगतान 1 वर्ष बाद 10% प्रति वर्ष की दर से करना है। इस लेन-देन में व्यापारी को ______ का लाभ होता है।
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
उत्तर और व्याख्या देखेंउत्तर छिपाएँ⌄
उत्तर: (A) ₹ 500
व्याख्या
इस लेन-देन में व्यापारी के लाभ का पता लगाने के लिए, हम उधार भुगतान के वर्तमान मूल्य की गणना करते हैं।
वर्तमान मूल्य (PW) की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:
PW = (राशि × 100) / (100 + (दर × समय))
दिया गया है:
राशि = ₹ 14,300
दर = 10% प्रति वर्ष
समय = 1 वर्ष
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
PW = (14,300 × 100) / (100 + (10 × 1))
PW = 1,430,000 / 110
PW = ₹ 13,000
व्यापारी द्वारा अर्जित लाभ, उधार भुगतान के वर्तमान मूल्य और वस्तु के वास्तविक नकद मूल्य के बीच का अंतर है:
लाभ = वर्तमान मूल्य - नकद मूल्य
लाभ = ₹ 13,000 - ₹ 12,500
लाभ = ₹ 500
172मात्रात्मक अभिक्षमता
चक्रवृद्धि ब्याज प्रति वर्ष की दर से, कुछ धनराशि 2 वर्षों में £500 हो जाती है और 3 वर्षों में £540 हो जाती है; तो प्रति वर्ष ब्याज की दर है
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
उत्तर और व्याख्या देखेंउत्तर छिपाएँ⌄
उत्तर: (A) 8
व्याख्या
चक्रवृद्धि ब्याज के तहत, एक निश्चित वर्ष के अंत में संचित राशि अगले वर्ष के लिए मूलधन के रूप में कार्य करती है।
2 वर्ष बाद राशि = £500
3 वर्ष बाद राशि = £540
तीसरे वर्ष के दौरान अर्जित ब्याज है:
ब्याज = 3 वर्ष बाद राशि - 2 वर्ष बाद राशि
ब्याज = 540 - 500 = £40
प्रति वर्ष ब्याज की दर (R) निम्नलिखित संबंध द्वारा दी जाती है:
R = (ब्याज / मूलधन) × 100
तीसरे वर्ष के लिए दूसरे वर्ष की राशि £500 को मूलधन के रूप में उपयोग करते हुए:
R = (40 / 500) × 100 = 8%
173मात्रात्मक अभिक्षमता
एक आदमी के पास £2,000 थे। उसने इसका एक हिस्सा 5% साधारण ब्याज पर और शेष 4% पर उधार दिया। एक वर्ष में उसे कुल £92 ब्याज प्राप्त हुआ। उसने 5% पर कितनी राशि (रुपयों में) उधार दी थी?
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
उत्तर और व्याख्या देखेंउत्तर छिपाएँ⌄
उत्तर: (C) 1,200
व्याख्या
मान लीजिए 5% साधारण ब्याज पर दी गई राशि x है।
4% साधारण ब्याज पर दी गई शेष राशि 2,000 - x है।
प्राप्त कुल वार्षिक ब्याज 92 है। साधारण ब्याज सूत्र का उपयोग करके:
(x × 5)/100 + ((2,000 - x) × 4)/100 = 92
समीकरण के दोनों पक्षों को 100 से गुणा करें:
5x + 4(2,000 - x) = 9,200
विस्तार करें और सरल करें:
5x + 8,000 - 4x = 9,200
x + 8,000 = 9,200
x = 1,200
174मात्रात्मक अभिक्षमता
एक आयताकार सर्किट बोर्ड को w सेमी चौड़ाई, p सेमी परिधि और k वर्ग सेमी क्षेत्रफल के साथ डिज़ाइन किया गया है। निम्नलिखित में से कौन सा समीकरण सत्य होना चाहिए?
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
उत्तर और व्याख्या देखेंउत्तर छिपाएँ⌄
उत्तर: (B) 2w² - pw + 2k = 0
व्याख्या
चौड़ाई w और लंबाई l वाले एक आयताकार बोर्ड के लिए, परिधि p निम्न सूत्र द्वारा दी जाती है:
p = 2(l + w)
इससे, लंबाई l को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
l = p/2 - w
आयत का क्षेत्रफल k निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:
k = l × w
क्षेत्रफल सूत्र में l का मान रखने पर:
k = (p/2 - w) × w
k = (pw)/2 - w²
भिन्न को समाप्त करने के लिए पूरे समीकरण को 2 से गुणा करने पर:
2k = pw - 2w²
मानक द्विघात समीकरण बनाने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
2w² - pw + 2k = 0
175मात्रात्मक अभिक्षमता
एक व्यक्ति का पहले 5 महीनों का औसत व्यय £12,000 है और अगले सात महीनों का £13,000 है। यदि वह वर्ष के दौरान £29,000 बचाता है, तो उसकी औसत मासिक आय ज्ञात कीजिए।
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
उत्तर और व्याख्या देखेंउत्तर छिपाएँ⌄
उत्तर: (D) £15,000
व्याख्या
आय, व्यय और बचत के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:
कुल आय = कुल व्यय + बचत
सबसे पहले, पूरे 12 महीनों के लिए कुल व्यय की गणना करें:
पहले 5 महीनों का व्यय = 5 × £12,000 = £60,000
अगले 7 महीनों का व्यय = 7 × £13,000 = £91,000
कुल वार्षिक व्यय = £60,000 + £91,000 = £151,000
चूंकि वार्षिक बचत £29,000 है, इसलिए कुल वार्षिक आय है:
कुल वार्षिक आय = £151,000 + £29,000 = £180,000
औसत मासिक आय कुल वार्षिक आय को 12 से विभाजित करके प्राप्त की जाती है:
औसत मासिक आय = £180,000 ÷ 12 = £15,000
176मात्रात्मक अभिक्षमता
यदि कोई ट्रेन 40 किमी/घंटा की औसत गति बनाए रखती है, तो वह अपने गंतव्य पर समय पर पहुँचती है। यदि हालाँकि औसत गति 35 किमी/घंटा है, तो वह 15 मिनट की देरी से पहुँचती है। यात्रा की लंबाई है
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
उत्तर और व्याख्या देखेंउत्तर छिपाएँ⌄
उत्तर: (B) 70 किमी
व्याख्या
यात्रा की लंबाई निम्न संबंध का उपयोग करके ज्ञात की जा सकती है:
दूरी = (S₁ × S₂ / (S₁ - S₂)) × Δt
जहाँ S₁ और S₂ दो गतियाँ हैं, और Δt समय का अंतर है।
5 सदस्यों के एक परिवार की 3 वर्ष पूर्व औसत आयु 17 वर्ष थी। एक शिशु के जन्म लेने के बाद, आज परिवार की औसत आयु वही है। शिशु की आयु कितनी है?
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
उत्तर और व्याख्या देखेंउत्तर छिपाएँ⌄
उत्तर: (D) 2 वर्ष
व्याख्या
5 सदस्यों के परिवार की 3 वर्ष पूर्व औसत आयु 17 वर्ष थी। इसलिए, 3 वर्ष पूर्व इन 5 सदस्यों की कुल आयु 5 × 17 = 85 वर्ष थी।
चूंकि तीन वर्ष बीत चुके हैं, इसलिए 5 सदस्यों में से प्रत्येक की आयु अब 3 वर्ष अधिक है। इस प्रकार, आज इन 5 सदस्यों की कुल आयु 85 + (5 × 3) = 100 वर्ष है।
आज, शिशु को शामिल करने के बाद, परिवार में 6 सदस्य हैं। परिवार की औसत आयु आज भी 17 वर्ष ही है। इसलिए, आज सभी 6 सदस्यों की कुल आयु 6 × 17 = 102 वर्ष है।
शिशु की आयु आज 6 सदस्यों की कुल आयु और आज 5 बड़े सदस्यों की कुल आयु के बीच का अंतर है, जो कि 102 - 100 = 2 वर्ष है।
178मात्रात्मक अभिक्षमता
एक वस्तु के निर्माण की लागत सामग्री, श्रम और उपरिव्यय से 4:3:2 के अनुपात में बनती है। यदि श्रम की लागत ₹45 है, तो वस्तु की कुल लागत ज्ञात कीजिए। लाभ प्रतिशत ज्ञात कीजिए, यदि वस्तु ₹180 में बेची जाती है।
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
उत्तर और व्याख्या देखेंउत्तर छिपाएँ⌄
उत्तर: (B) 33 ⅓%
व्याख्या
सामग्री, श्रम और उपरिव्यय का अनुपात 4:3:2 है। चूँकि श्रम घटक अनुपात के 3 भागों का प्रतिनिधित्व करता है और ₹45 दिया गया है, इसलिए 1 भाग का मान ₹45 ÷ 3 = ₹15 है।
कुल लागत सभी घटकों का योग है, जो 4 + 3 + 2 = 9 भागों द्वारा दर्शाया गया है। प्रति भाग ₹15 की दर से 9 भागों को गुणा करने पर ₹135 की कुल लागत मूल्य प्राप्त होता है।
₹180 के विक्रय मूल्य के साथ, लाभ की गणना ₹180 - ₹135 = ₹45 के रूप में की जाती है। लाभ प्रतिशत की गणना लाभ को लागत मूल्य से विभाजित करके और 100 से गुणा करके की जाती है, जिससे (45 ÷ 135) × 100 = 33 ⅓% प्राप्त होता है।
179मात्रात्मक अभिक्षमता
एक कमीज को 4% और 5% लाभ पर बेचने के बीच का अंतर £3 है। कमीज का क्रय मूल्य और दो विक्रय मूल्य ज्ञात कीजिए।
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
उत्तर और व्याख्या देखेंउत्तर छिपाएँ⌄
उत्तर: (B) £300, £312, £315
व्याख्या
कमीज का क्रय मूल्य (CP) मान लीजिए।
कमीज को 5% और 4% लाभ पर बेचने के बीच का अंतर क्रय मूल्य का 1% है।
दिया गया है कि यह अंतर £3 है:
CP का 1% = 3
(1/100) × CP = 3
CP = 3 × 100 = 300
अतः, कमीज का क्रय मूल्य £300 है।
दो विक्रय मूल्य इस प्रकार निकाले जाते हैं:
पहला विक्रय मूल्य (4% लाभ पर) = 300 × 1.04 = 312
दूसरा विक्रय मूल्य (5% लाभ पर) = 300 × 1.05 = 315
इसलिए, क्रय मूल्य £300 है, और दो विक्रय मूल्य £312 और £315 हैं।
180मात्रात्मक अभिक्षमता
एक खिलौना 16% के लाभ पर बेचा जाता है। यदि इसे £10 अधिक में बेचा गया होता, तो लाभ 20% होता। तो इसका क्रय मूल्य है
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
उत्तर और व्याख्या देखेंउत्तर छिपाएँ⌄
उत्तर: (D) £250
व्याख्या
मान लीजिए खिलौने का क्रय मूल्य (CP) है।
दो लाभ प्रतिशत के बीच का अंतर विक्रय मूल्य में वृद्धि के बराबर है:
20% - 16% = CP का 4%
चूंकि यह 4% अंतर £10 के बराबर है:
4/100 × CP = 10
CP = (10 × 100) / 4 = 250
181मात्रात्मक अभिक्षमता
a के 4 गुने के 30% का ⅔ rd है
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
उत्तर और व्याख्या देखेंउत्तर छिपाएँ⌄
उत्तर: (D) ⁴ᵃ⁄₅
व्याख्या
दिए गए व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, हम शब्दों को सीधे एक गणितीय समीकरण में अनुवाद करते हैं:
(2/3) × 30% × 4a
सबसे पहले, 30% को एक भिन्न के रूप में लिखें:
30% = 30/100 = 3/10
अब इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:
(2/3) × (3/10) × 4a
अंश और हर में 3 के सामान्य गुणनखंड को रद्द करके गुणन को सरल करें:
(2/10) × 4a
यह सरल हो जाता है:
(1/5) × 4a = 4a/5
182मात्रात्मक अभिक्षमता
एक संख्या का 65% उस संख्या के चार-पांचवें हिस्से से 21 कम है। वह संख्या क्या है?
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
उत्तर और व्याख्या देखेंउत्तर छिपाएँ⌄
उत्तर: (A) 140
व्याख्या
मान लीजिए वह संख्या x है।
संख्या का चार-पांचवां हिस्सा (4/5)x को दर्शाता है, जो संख्या के 80% के बराबर है।
प्रश्न के अनुसार, संख्या का 65% उस संख्या के 80% से 21 कम है। इस संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
x का 80% - x का 65% = 21
x का 15% = 21
0.15 × x = 21
x = 21 / 0.15
x = 140
183मात्रात्मक अभिक्षमता
एक व्यक्ति जो 6 किमी/घंटा की गति से चल रहा है, 20 मिनट में एक पुल पार करता है। पुल की लंबाई किलोमीटर में कितनी है?
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
उत्तर और व्याख्या देखेंउत्तर छिपाएँ⌄
उत्तर: (D) 2
व्याख्या
पुल की लंबाई की गणना दूरी सूत्र का उपयोग करके की जाती है:
दूरी = गति × समय
व्यक्ति की गति 6 किमी/घंटा दी गई है, और पुल को पार करने में लगने वाला समय 20 मिनट है। सबसे पहले, समय को मिनट से घंटे में बदलें:
समय = 20 मिनट = 20/60 घंटे = 1/3 घंटे
अब, दूरी सूत्र में गति और समय का मान रखें:
दूरी = 6 किमी/घंटा × 1/3 घंटे = 2 किमी
यह पुल की कुल लंबाई 2 किलोमीटर देता है।
184मात्रात्मक अभिक्षमता
एक कार 36 किमी/घंटा की गति से चल रही है। 32 सेकंड में इसके द्वारा तय की गई दूरी है:
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
उत्तर और व्याख्या देखेंउत्तर छिपाएँ⌄
उत्तर: (D) 320 मीटर
व्याख्या
दूरी, गति और समय के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:
दूरी = गति × समय
सबसे पहले, कार की गति को किलोमीटर प्रति घंटा (किमी/घंटा) से मीटर प्रति सेकंड (मी/से) में 5/18 से गुणा करके बदलें:
गति = 36 × (5/18) मी/से = 10 मी/से
परिवर्तित गति और दिए गए 32 सेकंड के समय का उपयोग करके, तय की गई दूरी की गणना इस प्रकार की जाती है:
दूरी = 10 मी/से × 32 से = 320 मीटर
185मात्रात्मक अभिक्षमता
एक सम बहुभुज का आंतरिक कोण 120° है। इसकी भुजाओं की संख्या क्या है?
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
उत्तर और व्याख्या देखेंउत्तर छिपाएँ⌄
उत्तर: (B) 6
व्याख्या
n भुजाओं वाले एक सम बहुभुज का आंतरिक कोण उसके बाह्य कोण से निम्न सूत्र द्वारा संबंधित होता है:
बाह्य कोण = 180° - आंतरिक कोण
दिए गए आंतरिक कोण 120° को प्रतिस्थापित करने पर:
बाह्य कोण = 180° - 120° = 60°
एक सम बहुभुज की भुजाओं की संख्या n की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:
n = 360° ÷ बाह्य कोण
परिकलित बाह्य कोण को प्रतिस्थापित करने पर:
n = 360° ÷ 60° = 6
186मात्रात्मक अभिक्षमता
यदि Δ ABC का S परिकेंद्र है और ∠ BAC का मान 40° है, तो ∠ BSC का मान क्या होगा?
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
उत्तर और व्याख्या देखेंउत्तर छिपाएँ⌄
उत्तर: (A) 80°
व्याख्या
परिभाषा के अनुसार, यदि S, Δ ABC के परिकेंद्र को दर्शाता है, तो परवृत्त S को केंद्र मानकर शीर्षों A, B और C से होकर गुजरता है।
केंद्रीय कोण प्रमेय के अनुसार, वृत्त के केंद्र पर किसी चाप द्वारा बनाया गया कोण उसी चाप द्वारा परिधि पर किसी भी बिंदु पर बनाए गए कोण का दोगुना होता है।
यहाँ, चाप BC, परिकेंद्र S पर केंद्रीय कोण ∠BSC और परिधि पर कोण ∠BAC द्वारा बनाया गया है।
इसलिए, ∠BSC = 2 × ∠BAC।
दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर:
∠BSC = 2 × 40° = 80°
187मात्रात्मक अभिक्षमता
Δ ABC के तीन माध्यिकाएँ AD, BE और CF, G पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि Δ ABC का क्षेत्रफल 36 cm² है, तो चतुर्भुज BDGF का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
उत्तर और व्याख्या देखेंउत्तर छिपाएँ⌄
उत्तर: (B) 12 cm²
व्याख्या
त्रिभुज ABC की तीन माध्यिकाएँ AD, BE, और CF, केंद्रक G पर प्रतिच्छेद करती हैं और त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले छह छोटे त्रिभुजों में विभाजित करती हैं: ΔAFG, ΔBFG, ΔBDG, ΔCDG, ΔCEG, और ΔAEG।
यह देखते हुए कि त्रिभुज ABC का कुल क्षेत्रफल 36 cm² है, इन छह छोटे त्रिभुजों में से प्रत्येक का क्षेत्रफल 36 ÷ 6 = 6 cm² है।
चतुर्भुज BDGF इन दो छोटे त्रिभुजों, अर्थात् ΔBFG और ΔBDG से बना है। इसलिए, चतुर्भुज BDGF का क्षेत्रफल ΔBFG और ΔBDG के क्षेत्रफलों का योग है, जो कि 6 + 6 = 12 cm² है।
188मात्रात्मक अभिक्षमता
एक झील की सतह से h मीटर ऊपर स्थित एक बिंदु से एक बादल के उन्नयन कोण 30° है और उसके प्रतिबिंब के अवनमन कोण 60° है। तो झील की सतह से बादल की ऊँचाई है
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
उत्तर और व्याख्या देखेंउत्तर छिपाएँ⌄
उत्तर: (B) 2h मीटर
व्याख्या
मान लीजिए झील की सतह से बादल की ऊँचाई H है और प्रेक्षण बिंदु से बादल की क्षैतिज दूरी d है। चूँकि प्रेक्षण बिंदु झील की सतह से h ऊँचाई पर है, इसलिए इस प्रेक्षण स्तर से बादल की ऊर्ध्वाधर ऊँचाई H - h है।
30° के उन्नयन कोण का उपयोग करके:
tan(30°) = (H - h) / d
d = (H - h) / tan(30°) = (H - h)√3
बादल का प्रतिबिंब झील की सतह से H गहराई पर है। इसलिए, प्रेक्षण बिंदु के क्षैतिज स्तर से प्रतिबिंब की ऊर्ध्वाधर गहराई H + h है।
60° के अवनमन कोण का उपयोग करके:
tan(60°) = (H + h) / d
d = (H + h) / tan(60°) = (H + h) / √3
d के दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
(H - h)√3 = (H + h) / √3
दोनों पक्षों को √3 से गुणा करने पर:
3(H - h) = H + h
3H - 3h = H + h
2H = 4h
H = 2h
189मात्रात्मक अभिक्षमता
यदि Δ ABC, B पर समकोण है, और भुजाएँ AB और BC क्रमशः 15 सेमी और 20 सेमी हैं, तो परिवृत्त की त्रिज्या है
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
उत्तर और व्याख्या देखेंउत्तर छिपाएँ⌄
उत्तर: (C) 12.5 सेमी
व्याख्या
समकोण त्रिभुज में, परिवृत्त की त्रिज्या हमेशा कर्ण की लंबाई की आधी होती है।
त्रिभुज ABC के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए, जो B पर समकोण है:
AC = √(AB² + BC²)
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करें:
AC = √(15² + 20²)
AC = √(225 + 400)
AC = √625
AC = 25 सेमी
इसलिए, परिवृत्त की त्रिज्या है:
R = AC / 2
R = 25 / 2
R = 12.5 सेमी
190मात्रात्मक अभिक्षमता
यदि sin (x + y) = (√3)/(2) और tan (x - y) = (1)/(√3) है, तो x का मान है
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
उत्तर और व्याख्या देखेंउत्तर छिपाएँ⌄
उत्तर: (B) π /4
व्याख्या
दिए गए त्रिकोणमितीय संबंधों से, हम कोणों के मान ज्ञात कर सकते हैं:
sin(x + y) = √3/2 → x + y = π/3
tan(x - y) = 1/√3 → x - y = π/6
इन दो रैखिक समीकरणों को जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है:
(x + y) + (x - y) = π/3 + π/6
2x = π/2
x = π/4
191मात्रात्मक अभिक्षमता
यदि A + B = 90°, तो sec² A + sec² B - sec² A sec² B का मान है
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
उत्तर और व्याख्या देखेंउत्तर छिपाएँ⌄
उत्तर: (C) 0
व्याख्या
दिया गया है A + B = 90°, हम B = 90° - A लिख सकते हैं।
दोनों पक्षों का secant लेने पर sec B = sec(90° - A) = cosec A प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर sec² B = cosec² A प्राप्त होता है।
sec² B = cosec² A को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
sec² A + cosec² A - sec² A cosec² A
पदों को sine और cosine के पदों में व्यक्त करना:
1/cos² A + 1/sin² A - 1/(cos² A sin² A)
पहले दो पदों के लिए सामान्य हर लेना:
(sin² A + cos² A)/(cos² A sin² A) - 1/(cos² A sin² A)
मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² A + cos² A = 1 का उपयोग करना:
1/(cos² A sin² A) - 1/(cos² A sin² A) = 0
192मात्रात्मक अभिक्षमता
यदि एक गोले की त्रिज्या में 50% की वृद्धि की जाती है, तो उसके आयतन में प्रतिशत वृद्धि है
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
उत्तर और व्याख्या देखेंउत्तर छिपाएँ⌄
उत्तर: (D) 237.5
व्याख्या
गोले का आयतन सूत्र V = (4/3) π r³ द्वारा दिया जाता है, जिसका अर्थ है कि आयतन उसकी त्रिज्या के घन के सीधे समानुपाती होता है (V ∝ r³)।
जब गोले की त्रिज्या में 50% की वृद्धि की जाती है, तो नई त्रिज्या मूल त्रिज्या की 1.5 गुना हो जाती है (r' = 1.5r)।
नया आयतन नई त्रिज्या के घन के समानुपाती होता है:
V' ∝ (1.5r)³ = 3.375r³
यह दर्शाता है कि नया आयतन मूल आयतन का 3.375 गुना है (V' = 3.375V)।
आयतन में प्रतिशत वृद्धि की गणना इस प्रकार की जाती है:
प्रतिशत वृद्धि = ((V' - V) / V) × 100 = (3.375 - 1) × 100 = 2.375 × 100 = 237.5%
193मात्रात्मक अभिक्षमता
6 सेमी त्रिज्या और 15 सेमी ऊंचाई वाले एक बेलनाकार कंटेनर को आइसक्रीम से भरा गया है। पूरी आइसक्रीम को 10 बच्चों में अर्धगोलाकार शीर्ष वाले समान शंकुओं में वितरित किया जाना है। यदि शंक्वाकार भाग की ऊंचाई उसके आधार की त्रिज्या की चार गुना है, तो आइसक्रीम कोन के आधार की त्रिज्या है
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
उत्तर और व्याख्या देखेंउत्तर छिपाएँ⌄
उत्तर: (C) 3 सेमी
व्याख्या
बेलनाकार कंटेनर का आयतन सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है:
V = π × R² × H
त्रिज्या R = 6 सेमी और ऊंचाई H = 15 सेमी के दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करना:
V = π × 6² × 15 = 540π सेमी³
प्रत्येक बच्चे को एक शंक्वाकार भाग और एक अर्धगोलाकार शीर्ष वाला आइसक्रीम कोन मिलता है। मान लीजिए कोन के आधार की त्रिज्या r है। शंक्वाकार भाग की ऊंचाई h = 4r दी गई है।
एक आइसक्रीम कोन का कुल आयतन कोन के आयतन और अर्धगोले के आयतन का योग है:
V_cone = (1/3)πr²h + (2/3)πr³
V_cone = (1/3)πr²(4r) + (2/3)πr³
V_cone = (4/3)πr³ + (2/3)πr³
V_cone = 2πr³
चूंकि आइसक्रीम 10 बच्चों में समान रूप से वितरित की जाती है, इसलिए 10 आइसक्रीम कोन का आयतन बेलनाकार कंटेनर के आयतन के बराबर है:
10 × 2πr³ = 540π
20πr³ = 540π
r³ = 27
r = 3 सेमी
194मात्रात्मक अभिक्षमता
15 सेमी आंतरिक त्रिज्या वाले एक अर्धगोलाकार कटोरे में एक तरल भरा है। इस तरल को 5 सेमी व्यास और 6 सेमी ऊंचाई वाली बेलनाकार आकार की बोतलों में भरना है। कटोरे को खाली करने के लिए आवश्यक बोतलों की संख्या है:
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
उत्तर और व्याख्या देखेंउत्तर छिपाएँ⌄
उत्तर: (B) 60
व्याख्या
एक अर्धगोले का आयतन V₁ = (2/3) × π × R³ द्वारा दिया जाता है, जहाँ R अर्धगोले की त्रिज्या है। यहाँ, R = 15 सेमी।
V₁ = (2/3) × π × 15³ = (2/3) × π × 3375 = 2250π घन सेमी
एक बेलन का आयतन V₂ = π × r² × h द्वारा दिया जाता है, जहाँ r त्रिज्या और h ऊंचाई है। बेलनाकार बोतल का व्यास 5 सेमी है, इसलिए इसकी त्रिज्या r = 5/2 = 2.5 सेमी, और ऊंचाई h = 6 सेमी है।
V₂ = π × (5/2)² × 6 = π × (25/4) × 6 = 37.5π घन सेमी
कटोरे को खाली करने के लिए आवश्यक बोतलों की संख्या N = V₁ ÷ V₂ है।
N = 2250π ÷ 37.5π = 2250 ÷ 37.5 = 60
195मात्रात्मक अभिक्षमता
√(6 + √(6 + √(6 + …))) का मान ज्ञात कीजिए
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
उत्तर और व्याख्या देखेंउत्तर छिपाएँ⌄
उत्तर: (D) 3
व्याख्या
√(a + √(a + √(a + ...))) के रूप में एक अनंत नेस्टेड रेडिकल का मान सूत्र द्वारा दिया जाता है:
x = (1 + √(1 + 4a)) / 2
सूत्र में a = 6 रखने पर:
x = (1 + √(1 + 4 × 6)) / 2
x = (1 + √(1 + 24)) / 2
x = (1 + √25) / 2
x = (1 + 5) / 2
x = 3
वैकल्पिक रूप से, इस रूप के किसी भी व्यंजक के लिए जहाँ a को दो क्रमागत पूर्णांकों n(n + 1) में गुणनखंडित किया जा सकता है, धनात्मक वर्गमूल श्रृंखला का मान हमेशा बड़ा गुणनखंड, n + 1 होता है। चूँकि 6 को 2 × 3 के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है, बड़ा गुणनखंड 3 है।
196मात्रात्मक अभिक्षमता
यदि x = (√3 + √2)/(√3 - √2) है, तो (x + ¹⁄ₓ) का मान है
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
उत्तर और व्याख्या देखेंउत्तर छिपाएँ⌄
उत्तर: (D) 10
व्याख्या
x + 1/x का मान ज्ञात करने के लिए, हम पहले व्यंजकों का परिमेयकरण करते हैं।
x के लिए दिया गया व्यंजक है:
x = (√3 + √2) / (√3 - √2)
अंश और हर को (√3 + √2) से गुणा करने पर:
x = (√3 + √2)² / ((√3 - √2)(√3 + √2))
x = (3 + 2 + 2√6) / (3 - 2)
x = 5 + 2√6
व्युत्क्रम 1/x इस प्रकार दिया गया है:
1/x = (√3 - √2) / (√3 + √2)
अंश और हर को (√3 - √2) से गुणा करने पर:
1/x = (√3 - √2)² / ((√3 + √2)(√3 - √2))
1/x = (3 + 2 - 2√6) / (3 - 2)
1/x = 5 - 2√6
x और 1/x के मानों को जोड़ने पर:
x + 1/x = (5 + 2√6) + (5 - 2√6)
x + 1/x = 10
197मात्रात्मक अभिक्षमता
यदि (c - 3)² = c² + kc + 9 है, तो k का मान है
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
उत्तर और व्याख्या देखेंउत्तर छिपाएँ⌄
उत्तर: (D) -6
व्याख्या
द्विपद के वर्ग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका, (a - b)² = a² - 2ab + b² को लागू करने पर, समीकरण का बायां पक्ष इस प्रकार विस्तारित किया गया है:
(c - 3)² = c² - 2(c)(3) + 3² = c² - 6c + 9
इस विस्तारित रूप को दिए गए समीकरण के दाहिने पक्ष के बराबर करने पर:
c² - 6c + 9 = c² + kc + 9
समीकरण के दोनों पक्षों पर c पद के गुणांकों की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है:
