एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2012 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

सूत्र गति = दूरी / समय का उपयोग करके, हम पेड़ को पार करते समय ट्रेन की गति ज्ञात करते हैं। चूँकि पेड़ की लंबाई नगण्य है, तय की गई दूरी ट्रेन की लंबाई (150 मीटर) के बराबर है:

गति = 150 / 12 = 12.5 मीटर प्रति सेकंड

250 मीटर लंबी सुरंग को पार करने के लिए, ट्रेन को अपनी लंबाई और सुरंग की लंबाई के योग के बराबर कुल दूरी तय करनी होगी:

कुल दूरी = 150 + 250 = 400 मीटर

सूत्र समय = दूरी / गति का उपयोग करके, सुरंग को पार करने में लगने वाला समय है:

समय = 400 / 12.5 = 32 सेकंड

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज में कुल राशि का सूत्र है: A = P × (1 + R/100)ᵗ

दिया गया मूलधन P = ₹1800, दर R = 10%, और चक्रवृद्धि ब्याज CI = ₹378 है। कुल राशि A है: A = P + CI = 1800 + 378 = 2178

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 2178 = 1800 × (1 + 10/100)ᵗ 2178 / 1800 = (11/10)ᵗ 1.21 = (1.1)ᵗ

चूंकि 1.21, 1.1 का वर्ग है: (1.1)² = (1.1)ᵗ

घातों की तुलना करने पर, हमें t = 2 प्राप्त होता है।

व्याख्या

किसी मूलधन P पर वार्षिक ब्याज दर R से T वर्षों के लिए निवेशित साधारण ब्याज SI का सूत्र SI = (P × R × T) / 100 है।

अर्जित साधारण ब्याज, अंतिम राशि और मूलधन के बीच का अंतर है: SI = ₹3300 - ₹2500 = ₹800

ज्ञात मानों को साधारण ब्याज सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 800 = (2500 × 8 × T) / 100 800 = 200 × T T = 800 / 200 T = 4 वर्ष

व्याख्या

एक मानक त्रि-आयामी घन के लिए, ज्यामितीय गुण उसके शीर्षों, किनारों और फलकों द्वारा परिभाषित होते हैं।

एक घन में 8 शीर्ष होते हैं, जो A का मान दर्शाता है। इसमें 12 किनारे होते हैं, जो B का मान दर्शाता है। इसमें 6 फलक होते हैं, जो C का मान दर्शाता है।

इन गुणों का योग ज्ञात करने के लिए, हम उन्हें एक साथ जोड़ते हैं: A + B + C = 8 + 12 + 6 = 26

व्याख्या

वर्गाकार मैदान का कुल क्षेत्रफल उसकी भुजा की लंबाई का वर्ग करके निकाला जाता है: वर्ग का क्षेत्रफल = 10² = 100 वर्ग मीटर

चूंकि घोड़ा वर्ग के एक कोने पर बंधा है, इसलिए वह जिस क्षेत्र को चर सकता है वह एक वृत्त का चतुर्थांश (quadrant) बनाता है जिसकी त्रिज्या रस्सी की लंबाई (r = 7 मीटर) के बराबर होती है। वर्ग के कोने पर कोण 90° होता है।

चरा गया क्षेत्रफल = (1/4) × π × r² चरा गया क्षेत्रफल = (1/4) × (22/7) × 7 × 7 चरा गया क्षेत्रफल = (1/4) × 22 × 7 चरा गया क्षेत्रफल = 154 / 4 = 38.5 वर्ग मीटर

मैदान का वह क्षेत्रफल जो चरा नहीं गया है, वह मैदान के कुल क्षेत्रफल और चरे गए क्षेत्रफल का अंतर है: न चरा गया क्षेत्रफल = 100 - 38.5 = 61.5 वर्ग मीटर

व्याख्या

आयत का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा दिया जाता है: क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई

प्रारंभ में, आयत ABCD के लिए, क्षेत्रफल (A₁) है: A₁ = AB × AD = h² × 3p = 3ph²

जब h को दोगुना किया जाता है, तो h का नया मान 2h होता है, जिससे नई लंबाई बनती है: AB' = (2h)² = 4h²

जब p को आधा किया जाता है, तो p का नया मान p/2 होता है, जिससे नई चौड़ाई बनती है: AD' = 3(p/2) = 1.5p

नया क्षेत्रफल (A₂) है: A₂ = AB' × AD' = 4h² × 3(p/2) = 6ph²

नए क्षेत्रफल की प्रारंभिक क्षेत्रफल से तुलना करने पर: A₂ = 2 × (3ph²) = 2A₁

यह दर्शाता है कि क्षेत्रफल दोगुना हो जाता है।

व्याख्या

एक आयताकार घनाभ का आयतन निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: आयतन = लंबाई × चौड़ाई × ऊंचाई

आवश्यक ईंटों की संख्या ज्ञात करने के लिए, सभी विमाओं को समान इकाई में परिवर्तित किया जाना चाहिए। दीवार की विमाओं को मीटर से सेंटीमीटर में परिवर्तित करना: दीवार की लंबाई = 8 मीटर = 800 सेमी दीवार की ऊंचाई = 6 मीटर = 600 सेमी दीवार की मोटाई = 22.5 सेमी

दीवार का आयतन है: 800 सेमी × 600 सेमी × 22.5 सेमी = 10,800,000 घन सेमी

एक ईंट की विमाएं 25 सेमी × 11.25 सेमी × 6 सेमी दी गई हैं। एक ईंट का आयतन है: 25 सेमी × 11.25 सेमी × 6 सेमी = 1687.5 घन सेमी

आवश्यक ईंटों की संख्या की गणना दीवार के कुल आयतन को एक ईंट के आयतन से विभाजित करके की जाती है: ईंटों की संख्या = दीवार का आयतन ÷ एक ईंट का आयतन ईंटों की संख्या = 10,800,000 ÷ 1687.5 = 6400

वैकल्पिक रूप से, इसे सीधे व्यंजक को सरल बनाकर हल किया जा सकता है: (800 × 600 × 22.5) ÷ (25 × 11.25 × 6) 800 को 25 से विभाजित करने पर 32 प्राप्त होता है। 600 को 6 से विभाजित करने पर 100 प्राप्त होता है। 22.5 को 11.25 से विभाजित करने पर 2 प्राप्त होता है। इन भागफलों को एक साथ गुणा करने पर प्राप्त होता है: 32 × 100 × 2 = 6400

व्याख्या

दिए गए व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, अंश और हर दोनों को x से विभाजित करें:

2x / (3x² - 5x + 3) = 2 / (3x - 5 + 3/x)

हर में पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

2 / (3(x + 1/x) - 5)

इस सरलीकृत व्यंजक में दिए गए मान x + 1/x = 5 को प्रतिस्थापित करें:

2 / (3(5) - 5) = 2 / (15 - 5) = 2/10 = 1/5

व्याख्या

दिए गए व्यंजक का विस्तार करने पर: p(p² + 3p + 3) = p³ + 3p² + 3p

द्विपद के घन के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करने पर: (p + 1)³ = p³ + 3p² + 3p + 1

दोनों पक्षों से 1 घटाने पर प्राप्त होता है: (p + 1)³ - 1 = p³ + 3p² + 3p

इस समतुल्य व्यंजक में p = 99 प्रतिस्थापित करने पर: (99 + 1)³ - 1 = 100³ - 1

चूंकि 100³ का मान 1,000,000 है, अंतिम गणना है: 1,000,000 - 1 = 999,999

व्याख्या

द्विपद के घन के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका है: (3a - 4)³ = 27a³ - 108a² + 144a - 64

व्यंजक को इस पूर्ण घन को अलग करके पुनः लिखा जा सकता है: 27a³ - 108a² + 144a - 31 = (3a - 4)³ - 253

समीकरण में a = 4/3 रखने पर: 3a - 4 = 3(4/3) - 4 = 4 - 4 = 0

इसलिए, व्यंजक का मान है: 0³ - 253 = -253

व्याख्या

घनों के योग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका है: a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca)

दिए गए व्यंजक के हर को ऋणात्मक चिन्ह को गुणनखंडित करके पुनः लिखा जा सकता है: ab + bc + ca - (a² + b² + c²) = -(a² + b² + c² - ab - bc - ca)

इस प्रकार, दिया गया व्यंजक सरल हो जाता है: (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca) / -(a² + b² + c² - ab - bc - ca) = -(a + b + c)

मानों a = 1, b = 2, और c = -3 को प्रतिस्थापित करने पर: -(1 + 2 + (-3)) = 0

व्याख्या

दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। चूँकि DE, BC के समानांतर है, इसलिए ΔADE, ΔABC के समरूप है।

हमें दिया गया है: AD/BD = 2/3

चूँकि AB = AD + BD, भुजा AD का AB से अनुपात है: AD/AB = AD / (AD + BD) = 2 / (2 + 3) = 2/5

समरूप त्रिभुजों के गुण का उपयोग करते हुए, ΔADE के क्षेत्रफल का ΔABC के क्षेत्रफल से अनुपात है: Area(ΔADE) / Area(ΔABC) = (AD/AB)² = (2/5)² = 4/25

यदि Area(ΔABC) को 25 इकाई के रूप में दर्शाया जाता है, तो Area(ΔADE) 4 इकाई है।

समलम्ब DECB का क्षेत्रफल दो त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के अंतर के बराबर है: Area(समलम्ब DECB) = Area(ΔABC) - Area(ΔADE) = 25 - 4 = 21 इकाई

समलम्ब DECB के क्षेत्रफल का ΔABC के क्षेत्रफल से अनुपात है: Area(समलम्ब DECB) : Area(ΔABC) = 21 : 25

व्याख्या

त्रिभुज का केंद्रक (centroid) उसकी तीन माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु होता है। केंद्रक का एक मौलिक गुण यह है कि यह त्रिभुज को तीन समान क्षेत्रफल वाले छोटे त्रिभुजों में विभाजित करता है: ΔAGB, ΔBGC, और ΔCGA।

इसलिए, ΔAGB का क्षेत्रफल, ΔABC के कुल क्षेत्रफल का ठीक एक-तिहाई होता है।

क्षेत्रफल(ΔAGB) = क्षेत्रफल(ΔABC) ÷ 3

क्षेत्रफल(ΔABC) = 108 वर्ग सेमी का दिया गया मान रखने पर:

क्षेत्रफल(ΔAGB) = 108 ÷ 3 = 36 वर्ग सेमी

व्याख्या

किसी त्रिभुज का केंद्रक प्रत्येक माध्यिका को शीर्ष से विपरीत भुजा के मध्य बिंदु तक 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है। इसका मतलब है कि शीर्ष से केंद्रक तक की दूरी उस माध्यिका की कुल लंबाई का दो-तिहाई होती है।

इसलिए, प्रत्येक माध्यिका की लंबाई संबंधित शीर्ष से केंद्रक तक की दूरी का 3/2 गुना होती है।

माध्यिकाओं की लंबाई की गणना: पहली माध्यिका = (3/2) × 4 = 6 सेमी दूसरी माध्यिका = (3/2) × 6 = 9 सेमी तीसरी माध्यिका = (3/2) × 8 = 12 सेमी

व्याख्या

गुब्बारे के केंद्र O की प्रेक्षक से ऊँचाई h है, और केंद्र तक की रेखा जमीन के साथ β कोण बनाती है। r त्रिज्या का गुब्बारा प्रेक्षक की आँख पर α कोण बनाता है, इसलिए आधा कोण α/2 संतुष्ट करता है sin(α/2) = r / (प्रेक्षक से केंद्र की दूरी), जिससे वह दूरी r cosec(α/2) हो जाती है। तब केंद्र की ऊँचाई इस दूरी को sin β से गुणा करने पर प्राप्त होती है, इसलिए h = r cosec(α/2) sin β।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cosec(90° - θ) = sec θ का उपयोग करके, दिए गए समीकरण को इस प्रकार सरल किया जा सकता है:

sec θ + sec θ = 4 2 sec θ = 4 sec θ = 2

चूंकि θ एक न्यून कोण है (0 < θ < 90°), sec θ = 2 का संगत cos θ = ½ है, जिससे θ = 60° प्राप्त होता है।

tan θ में θ = 60° रखने पर: tan 60° = √3

व्याख्या

मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके, हम व्यंजक के पदों को सरल बना सकते हैं।

सबसे पहले, हम जानते हैं कि 1/cosec²θ = sin²θ। इसलिए: 9/cosec²θ = 9sin²θ

दूसरा, मौलिक सर्वसमिका 1 + tan²θ = sec²θ का उपयोग करके, हमारे पास है: 5/(1+tan²θ) = 5/sec²θ

चूंकि 1/sec²θ = cos²θ, यह सरल होकर हो जाता है: 5cos²θ

इनको मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: 9sin²θ + 4cos²θ + 5cos²θ

cos²θ पदों को मिलाने पर प्राप्त होता है: 9sin²θ + 9cos²θ

9 को उभयनिष्ठ लेने पर, हमें प्राप्त होता है: 9(sin²θ + cos²θ)

पाइथागोरस सर्वसमिका sin²θ + cos²θ = 1 का उपयोग करके: 9(1) = 9

व्याख्या

दिया गया समीकरण |x + 2| = √4 है।

सबसे पहले, समीकरण के दाहिने पक्ष को सरल करें। 4 का मुख्य वर्गमूल 2 है, इसलिए समीकरण बन जाता है: |x + 2| = 2

निरपेक्ष मान की परिभाषा के अनुसार, इस समीकरण को दो रैखिक समीकरणों में विभाजित किया जा सकता है: x + 2 = 2 या x + 2 = -2

पहले समीकरण को हल करना: x = 2 - 2 x = 0

दूसरे समीकरण को हल करना: x = -2 - 2 x = -4

हल समुच्चय में 0 और -4 शामिल हैं।

व्याख्या

मान लीजिए आवश्यक संख्या x है।

x + 5/7 = 1 x = 1 - 5/7 x = 2/7

यह संख्या 5/7 का कितना प्रतिशत है, यह ज्ञात करने के लिए, हम 2/7 को 5/7 से विभाजित करते हैं और 100 से गुणा करते हैं: प्रतिशत = (2/7) ÷ (5/7) × 100% प्रतिशत = 2/5 × 100% = 40%

व्याख्या

ट्रेन द्वारा प्लेटफॉर्म को पार करने में लगने वाले समय का पता लगाने के लिए, तय की जाने वाली कुल दूरी ट्रेन की लंबाई और प्लेटफॉर्म की लंबाई का योग है।

कुल दूरी = ट्रेन की लंबाई + प्लेटफॉर्म की लंबाई कुल दूरी = 250 + 520 = 770 मीटर

इसके बाद, ट्रेन की गति को किमी/घंटा से मीटर/सेकंड में बदलने के लिए 5/18 से गुणा करें: गति = 55 × 5/18 = 275/18 मीटर/सेकंड

सूत्र का प्रयोग करके: समय = दूरी ÷ गति समय = 770 ÷ (275/18) समय = (770 × 18) ÷ 275 समय = (70 × 18) ÷ 25 समय = 1260 ÷ 25 = 50.4 सेकंड

व्याख्या

12 पुरुषों द्वारा किया गया कार्य 18 महिलाओं द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। इससे दक्षता अनुपात प्राप्त होता है: 12 पुरुष = 18 महिलाएँ 1 पुरुष = 1.5 महिलाएँ

हमें 4 पुरुषों और 8 महिलाओं द्वारा उसी कार्य को पूरा करने में लगने वाले समय का पता लगाना है। पुरुषों को महिलाओं में परिवर्तित करना: 4 पुरुष + 8 महिलाएँ = (4 × 1.5) महिलाएँ + 8 महिलाएँ = 6 महिलाएँ + 8 महिलाएँ = 14 महिलाएँ

कार्य-समय सूत्र का उपयोग करके, M₁ × D₁ = M₂ × D₂, जहाँ M श्रमिकों की संख्या है और D दिनों की संख्या है: 18 महिलाएँ × 7 दिन = 14 महिलाएँ × D दिन 126 = 14 × D D = 126 / 14 = 9 दिन

व्याख्या

साथ मिलकर किए गए कार्य के लिए भुगतान का हिस्सा श्रमिकों की व्यक्तिगत दक्षता (या कार्य की दर) के अनुपात में वितरित किया जाता है।

चूंकि दक्षता व्यक्तिगत रूप से कार्य पूरा करने में लगने वाले समय के व्युत्क्रमानुपाती होती है:

A की दक्षता : B की दक्षता = 1/30 : 1/40 = 4 : 3

₹7,000 का कुल भुगतान 4 : 3 के अनुपात में विभाजित किया जाता है।

B का हिस्सा = (3 / (4 + 3)) × ₹7,000 = 3/7 × ₹7,000 = ₹3,000

व्याख्या

एक घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके किनारे की लंबाई के वर्ग के समानुपाती होता है, जैसा कि सूत्र A = 6a² द्वारा दर्शाया गया है, जहाँ a किनारे की लंबाई है।

चूंकि पृष्ठीय क्षेत्रफल एक द्वि-आयामी मात्रा है, इसलिए किनारे की लंबाई में 50% की वृद्धि से पृष्ठीय क्षेत्रफल में क्रमिक प्रतिशत वृद्धि होती है। क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके:

शुद्ध प्रतिशत वृद्धि = x + y + (x × y) / 100

x = 50 और y = 50 प्रतिस्थापित करने पर:

शुद्ध प्रतिशत वृद्धि = 50 + 50 + (50 × 50) / 100 = 100 + 25 = 125%

व्याख्या

एक आयताकार टंकी का आयतन निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

आयतन = आधार क्षेत्रफल × गहराई

सबसे पहले, आधार के क्षेत्रफल को वर्ग सेंटीमीटर से वर्ग मीटर में बदलें। चूँकि 1 वर्ग मीटर 10000 वर्ग सेंटीमीटर के बराबर होता है, हमारे पास है:

आधार क्षेत्रफल = 6500 ÷ 10000 = 0.65 वर्ग मीटर

अब, गहराई ज्ञात करने के लिए आयतन और आधार क्षेत्रफल को सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

2.6 = 0.65 × गहराई

गहराई = 2.6 ÷ 0.65 = 4 मीटर

व्याख्या

₹1,860 का 3 वर्षों के लिए वास्तविक बट्टा (True Discount) ₹1,500 पर 3 वर्षों के लिए समान ब्याज दर पर साधारण ब्याज के बराबर है। माना ब्याज की दर R% प्रति वर्ष है।

साधारण ब्याज (SI) का सूत्र है: SI = (मूलधन × दर × समय) / 100 SI = (1500 × R × 3) / 100 = 45R

वास्तविक बट्टा (TD) का सूत्र है: TD = (राशि × दर × समय) / (100 + (दर × समय)) TD = (1860 × R × 3) / (100 + 3R) = 5580R / (100 + 3R)

चूंकि वास्तविक बट्टा साधारण ब्याज के बराबर है: 45R = 5580R / (100 + 3R)

दोनों पक्षों को R से विभाजित करने पर (चूंकि R ≠ 0): 45 = 5580 / (100 + 3R) 45 × (100 + 3R) = 5580 4500 + 135R = 5580 135R = 1080 R = 1080 / 135 R = 8%

व्याख्या

1 वर्ष बाद देय उधार भुगतान का वर्तमान मूल्य 10% प्रति वर्ष की दी गई ब्याज दर पर राशि को बट्टा (discount) करके गणना की जाती है।

वर्तमान मूल्य = राशि ÷ (1 + R/100)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: वर्तमान मूल्य = 14300 ÷ (1 + 10/100) = 14300 ÷ 1.1 = 13000

उधार मूल्य का नकद समतुल्य ₹13,000 है। चूँकि वस्तु का नकद मूल्य ₹12,500 है, वर्तमान मूल्य के संदर्भ में व्यापारी द्वारा अर्जित लाभ है:

लाभ = वर्तमान मूल्य - नकद मूल्य लाभ = 13000 - 12500 = 500

व्याख्या

पुस्तक का अंकित मूल्य ₹165 है और विक्रय मूल्य ₹132 है।

छूट की गणना इस प्रकार की जाती है: छूट = अंकित मूल्य - विक्रय मूल्य छूट = 165 - 132 = ₹33

दी गई छूट का प्रतिशत सूत्र द्वारा दिया जाता है: छूट % = (छूट / अंकित मूल्य) × 100 छूट % = (33 / 165) × 100 छूट % = 1/5 × 100 = 20%

व्याख्या

मान लीजिए दूध और पानी का प्रारंभिक अनुपात M : W = 2 : 1 है। कुल मिश्रण 60 लीटर है, जो 2 + 1 = 3 इकाइयों को दर्शाता है। इसका मतलब है कि 1 इकाई 20 लीटर के बराबर है।

दूध की प्रारंभिक मात्रा 2 × 20 = 40 लीटर है, और पानी की प्रारंभिक मात्रा 1 × 20 = 20 लीटर है।

चूंकि मिश्रण में केवल पानी मिलाया जाता है, दूध की मात्रा 40 लीटर अपरिवर्तित रहती है।

दूध और पानी का नया अनुपात 1:2 है।

यदि नए मिश्रण में दूध की 1 इकाई 40 लीटर के बराबर है, तो नए मिश्रण में पानी की 2 इकाइयों को 2 × 40 = 80 लीटर के बराबर होना चाहिए।

मिलाए जाने वाले पानी की मात्रा नए और प्रारंभिक पानी की मात्रा के बीच का अंतर है: 80 लीटर - 20 लीटर = 60 लीटर।

व्याख्या

अनुपात में मिश्रित भिन्न शामिल हैं: 2 ⅓ : 3 ¼ : 1 ⅙

इन मिश्रित भिन्नों को विषम भिन्नों में बदलना: 2 ⅓ = 7/3 3 ¼ = 13/4 1 ⅙ = 7/6

अनुपात बन जाता है: 7/3 : 13/4 : 7/6

भिन्नात्मक हरों को समाप्त करने और सरल बनाने के लिए, प्रत्येक पद को हर 3, 4 और 6 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 12 से गुणा करें: (7/3) × 12 = 28 (13/4) × 12 = 39 (7/6) × 12 = 14

यह सरलीकृत अनुपात 28:39:14 देता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि कारखाने में कार्यरत पुरुषों, महिलाओं और लड़कों की संख्या क्रमशः 5x, 7x और 10x है।

श्रमिकों की कुल संख्या 660 दी गई है: 5x + 7x + 10x = 660 22x = 660 x = 30

x का मान रखने पर: पुरुषों की संख्या = 5 × 30 = 150 महिलाओं की संख्या = 7 × 30 = 210 लड़कों की संख्या = 10 × 30 = 300

व्याख्या

औसत मासिक आय की गणना वर्ष के बारह महीनों में कुल आय, कुल व्यय और कुल बचत के बीच संबंध का उपयोग करके की जाती है।

कुल वार्षिक व्यय = (5 × 12,000) + (7 × 13,000) = 60,000 + 91,000 = ₹1,51,000

कुल वार्षिक आय = कुल वार्षिक व्यय + कुल बचत = 1,51,000 + 29,000 = ₹1,80,000

औसत मासिक आय = कुल वार्षिक आय / 12 = 1,80,000 / 12 = ₹15,000

व्याख्या

मान लीजिए यात्रा की लंबाई d किमी है। समय = दूरी / गति के संबंध का उपयोग करते हुए, दो गतियों के बीच समय का अंतर है:

d/35 - d/40 = 15/60

15 मिनट के समय अंतर को ¼ घंटे के रूप में सरल करते हुए:

d/35 - d/40 = ¼

हरों को हटाने के लिए पूरे समीकरण को 280 (35 और 40 का लघुत्तम समापवर्त्य) से गुणा करते हुए:

8d - 7d = 70

d = 70

व्याख्या

3 वर्ष पूर्व, परिवार के 5 सदस्यों की आयु का योग 5 × 17 = 85 वर्ष था।

बीते हुए 3 वर्षों में, 5 सदस्यों में से प्रत्येक 3 वर्ष बड़ा हो गया है। इसलिए, आज उनकी आयु का योग 85 + (5 × 3) = 100 वर्ष है।

शिशु के जुड़ने से, परिवार में अब 6 सदस्य हैं। परिवार की वर्तमान औसत आयु पहले के समान ही है, जो कि 17 वर्ष है। आज सभी 6 सदस्यों की आयु का योग 6 × 17 = 102 वर्ष है।

शिशु की आयु, वर्तमान में सभी 6 सदस्यों के योग और मूल 5 सदस्यों के वर्तमान योग के बीच का अंतर है, जो कि 102 - 100 = 2 वर्ष है।

व्याख्या

सामग्री, श्रम और उपरिव्यय का अनुपात 4:3:2 है। मान लीजिए इन तीन घटकों की लागत क्रमशः 4x, 3x और 2x है।

चूंकि श्रम की लागत ₹45 है: 3x = 45 x = 15

वस्तु के निर्माण की कुल लागत है: 4x + 3x + 2x = 9x 9 × 15 = ₹135

वस्तु का विक्रय मूल्य ₹180 है। अर्जित लाभ है: लाभ = विक्रय मूल्य - कुल लागत = 180 - 135 = ₹45

लाभ प्रतिशत है: लाभ % = (लाभ / कुल लागत) × 100 = (45 / 135) × 100 = (1/3) × 100 = 33 ⅓%

व्याख्या

माना कमीज का क्रय मूल्य x है।

4% लाभ पर विक्रय मूल्य 1.04x है। 5% लाभ पर विक्रय मूल्य 1.05x है।

इन दोनों विक्रय मूल्यों के बीच का अंतर है: 1.05x - 1.04x = 3 0.01x = 3 x = 3 / 0.01 = 300

इस प्रकार, कमीज का क्रय मूल्य ₹300 है।

4% लाभ पर पहला विक्रय मूल्य है: 300 × 1.04 = ₹312

5% लाभ पर दूसरा विक्रय मूल्य है: 300 × 1.05 = ₹315

व्याख्या

मान लीजिए खिलौने का क्रय मूल्य (CP) है।

लाभ प्रतिशत में अंतर है: 20% - 16% = 4%

लाभ मार्जिन में यह 4% की वृद्धि सीधे विक्रय मूल्य में ₹10 की वृद्धि के अनुरूप है।

प्रतिशत परिवर्तन और वास्तविक मूल्य परिवर्तन के बीच संबंध का उपयोग करके: CP का 4% = 10 0.04 × CP = 10 CP = 10 / 0.04 = 250

व्याख्या

हम कथन का गणितीय रूप से अनुवाद करते हैं: (2/3) × (30/100) × 4a

पहले, 30% का 2/3 सरल करें: (2/3) × (30/100) = (2/3) × (3/10) = 2/10 = 1/5

अगला, इस परिणाम को 4a से गुणा करें: (1/5) × 4a = 4a/5

व्याख्या

मान लीजिए अभीष्ट संख्या x है।

दी गई शर्त के अनुसार, संख्या का 65% उस संख्या के चार-पांचवें हिस्से से 21 कम है।

संख्या का चार-पांचवां हिस्सा (4/5)x के रूप में लिखा जाता है, जो x के 80% या 0.8x के बराबर है।

हम समीकरण स्थापित कर सकते हैं: 0.8x - 0.65x = 21

बायां पक्ष को सरल करने पर: 0.15x = 21

x ज्ञात करने के लिए, 21 को 0.15 से विभाजित करें: x = 21 ÷ 0.15 x = 2100 ÷ 15 x = 140

व्याख्या

पुल की लंबाई की गणना सीधे दूरी सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

दूरी = गति × समय

सबसे पहले, समय को मिनट से घंटे में बदलें:

समय = 20 मिनट = 20/60 घंटे = 1/3 घंटे

अब, 6 किमी/घंटा की गति और 1/3 घंटे के समय को सूत्र में रखें:

दूरी = 6 किमी/घंटा × 1/3 घंटे = 2 किमी

व्याख्या

मीटर में तय की गई दूरी ज्ञात करने के लिए, गति को पहले किलोमीटर प्रति घंटा (किमी/घंटा) से मीटर प्रति सेकंड (मी/से) में 5/18 के रूपांतरण कारक का उपयोग करके परिवर्तित किया जाना चाहिए:

गति = 36 × (5/18) मी/से = 10 मी/से

मानक दूरी सूत्र का उपयोग करके:

दूरी = गति × समय

परिवर्तित गति और समय को सूत्र में प्रतिस्थापित करना:

दूरी = 10 मी/से × 32 से = 320 मीटर

व्याख्या

वर्ष 2 और वर्ष 3 के बीच, राशि केवल उस एक वर्ष में अर्जित ब्याज से बढ़ती है, इसलिए दर उस वर्ष की शुरुआत में राशि के मुकाबले वृद्धि के बराबर होती है। यहाँ राशि 500 से बढ़कर 540 हो जाती है, जो 40 की वृद्धि है, जो 500 में से 40 है, या प्रति वर्ष 8 प्रतिशत है।

व्याख्या

मिश्रण विधि का प्रयोग करके:

यदि पूरी राशि ₹2,000 को 5% पर उधार दिया जाता, तो एक वर्ष में अर्जित ब्याज 2,000 का 5% = ₹100 होता।

यदि पूरी राशि को 4% पर उधार दिया जाता, तो अर्जित ब्याज 2,000 का 4% = ₹80 होता।

वास्तव में प्राप्त ब्याज ₹92 है।

मिश्रण नियम लागू करने पर, 5% पर उधार दी गई राशि और 4% पर उधार दी गई राशि का अनुपात है: (92 - 80) : (100 - 92) = 12 : 8 = 3 : 2

5% पर उधार दी गई धनराशि है: (3 / (3 + 2)) × 2,000 = (3/5) × 2,000 = 1,200

व्याख्या

मान लीजिए आयताकार सर्किट बोर्ड की लंबाई L सेमी है। एक आयत की परिधि p निम्न सूत्र द्वारा दी जाती है: p = 2(w + L)

इस सूत्र को p और w के पदों में L को व्यक्त करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: w + L = p/2 L = p/2 - w

एक आयत का क्षेत्रफल k निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: k = w × L

क्षेत्रफल सूत्र में L के लिए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर: k = w × (p/2 - w) k = pw/2 - w²

भिन्न को हटाने के लिए पूरे समीकरण को 2 से गुणा करने पर: 2k = pw - 2w²

मानक द्विघात रूप में पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: 2w² - pw + 2k = 0

व्याख्या

गोले का आयतन उसकी त्रिज्या के घन पर निर्भर करता है। यदि त्रिज्या 50 प्रतिशत बढ़ जाती है, तो नई त्रिज्या मूल त्रिज्या का 1.5 गुना हो जाती है, इसलिए नया आयतन मूल आयतन का 1.5 का घन, या 3.375 गुना हो जाता है। यह 2.375 गुना की वृद्धि है, जो प्रतिशत के रूप में 237.5 प्रतिशत है।

व्याख्या

मान लीजिए R और H बेलनाकार पात्र की त्रिज्या और ऊंचाई हैं, और r और h आइसक्रीम कोन के शंक्वाकार भाग की त्रिज्या और ऊंचाई हैं।

बेलनाकार पात्र का आयतन है: V_cyl = π × R² × H

R = 6 सेमी और H = 15 सेमी रखने पर: V_cyl = π × 6² × 15 = 540π सेमी³

ऊंचाई h = 4r वाले शंक्वाकार भाग और त्रिज्या r वाले हेमिस्फेरिकल टॉप से बने एक आइसक्रीम कोन का कुल आयतन है: V_cone = (1/3) × π × r² × h + (2/3) × π × r³

समीकरण में h = 4r रखने पर: V_cone = (1/3) × π × r² × (4r) + (2/3) × π × r³ V_cone = (4/3) × π × r³ + (2/3) × π × r³ V_cone = 2π × r³

ऐसे 10 आइसक्रीम कोन का आयतन बेलनाकार पात्र के आयतन के बराबर है: 10 × 2π × r³ = 540π 20π × r³ = 540π r³ = 27 r = 3 सेमी

व्याख्या

त्रिज्या R वाले एक अर्ध-गोलाकार कटोरे का आयतन सूत्र V_bowl = (2/3) × π × R³ द्वारा दिया जाता है। दी गई आंतरिक त्रिज्या R = 15 सेमी है: V_bowl = (2/3) × π × 15³ = (2/3) × π × 3375 = 2250π सेमी³

त्रिज्या r और ऊंचाई h वाले बेलनाकार बोतल का आयतन सूत्र V_bottle = π × r² × h द्वारा दिया जाता है। बोतल का व्यास 5 सेमी दिया गया है, इसलिए इसकी त्रिज्या r = 2.5 सेमी है। ऊंचाई h = 6 सेमी है: V_bottle = π × 2.5² × 6 = π × 6.25 × 6 = 37.5π सेमी³

कटोरे को खाली करने के लिए आवश्यक बोतलों की संख्या अर्ध-गोलाकार कटोरे के आयतन को एक बेलनाकार बोतल के आयतन से विभाजित करके प्राप्त की जाती है: बोतलों की संख्या = V_bowl / V_bottle = 2250π / 37.5π = 60

व्याख्या

यदि a + b + c = 0 हो, तो बीजगणितीय सर्वसमिका के अनुसार a³ + b³ + c³ = 3abc होता है।

माना a = 1.7, b = 3.9, और c = -5.6, तब: a + b + c = 1.7 + 3.9 + (-5.6) = 5.6 - 5.6 = 0

इसलिए, दिए गए व्यंजक को इस प्रकार लिखा जा सकता है: (1.7)³ + (3.9)³ - (5.6)³ = (1.7)³ + (3.9)³ + (-5.6)³ = 3 × (1.7) × (3.9) × (-5.6) = 19.89 × (-5.6) = -111.384

व्याख्या

मान लीजिए कि दिया गया अनंत नेस्टेड रेडिकल व्यंजक x है:

x = √(6 + √(6 + √(6 + …)))

चूंकि पैटर्न अनंत रूप से दोहराता है, इसलिए सबसे बाहरी वर्गमूल के अंदर का नेस्टेड पद भी x के बराबर है:

x = √(6 + x)

रेडिकल को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:

x² = 6 + x

इसे एक मानक द्विघात समीकरण में पुनर्व्यवस्थित करने पर:

x² - x - 6 = 0

द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:

(x - 3)(x + 2) = 0

यह दो संभावित मान देता है: x = 3 या x = -2। चूंकि मुख्य वर्गमूल हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है, इसलिए व्यंजक का मान धनात्मक होना चाहिए, जिससे x = 3 बचता है।

व्याख्या

दिया गया है कि x = (√3 + √2)/(√3 - √2)

हर को परिमेय बनाने के लिए, हम अंश और हर को (√3 + √2) से गुणा करते हैं: x = (√3 + √2)² / ((√3)² - (√2)²) x = (3 + 2 + 2√6) / (3 - 2) x = 5 + 2√6

x का व्युत्क्रम है: 1/x = 1 / (5 + 2√6)

1/x के हर को (5 - 2√6) से अंश और हर को गुणा करके परिमेय बनाते हैं: 1/x = (5 - 2√6) / (5² - (2√6)²) 1/x = (5 - 2√6) / (25 - 24) 1/x = 5 - 2√6

x + 1/x का मान ज्ञात करने के लिए: x + 1/x = (5 + 2√6) + (5 - 2√6) x + 1/x = 10

व्याख्या

बीजीय सर्वसमिका (a - b)² = a² - 2ab + b² का प्रयोग करके, हम व्यंजक (c - 3)² का विस्तार करते हैं:

(c - 3)² = c² - 2(c)(3) + 3² (c - 3)² = c² - 6c + 9

इस विस्तारित रूप की तुलना दिए गए समीकरण से करने पर:

c² + kc + 9 = c² - 6c + 9

दोनों पक्षों पर c के गुणांकों की तुलना करने पर:

k = -6