एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2012 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

मान लीजिए A और B का प्रारंभिक अनुपात 7:5 है। 9 लीटर मिश्रण निकालने के बाद, शेष मिश्रण में A और B का अनुपात 7:5 ही रहता है।

जब 9 लीटर तरल B मिलाया जाता है, तो A और B का नया अनुपात 7:9 हो जाता है। चूँकि केवल तरल B मिलाया गया है, A की मात्रा स्थिर रहती है, और दोनों स्थितियों में A के लिए अनुपात भाग पहले से ही 7 भाग के बराबर हैं।

तरल B में परिवर्तन 9 - 5 = 4 भाग है, जो मिलाए गए B के 9 लीटर के बराबर है।

4 भाग = 9 लीटर 1 भाग = 9/4 लीटर

अंतिम मिश्रण का कुल आयतन 7 + 9 = 16 भाग है। कुल अंतिम आयतन = 16 × 9/4 = 36 लीटर।

चूँकि 9 लीटर बदलने के बाद कुल आयतन प्रारंभिक आयतन के बराबर रहता है, मिश्रण का प्रारंभिक कुल आयतन भी 36 लीटर था।

तरल A की प्रारंभिक मात्रा = 36 × 7/(7 + 5) = 36 × 7/12 = 21 लीटर।

व्याख्या

मिश्रण के नियम के अनुसार, वर्ग A और वर्ग B में छात्रों की संख्या का अनुपात उनके व्यक्तिगत औसत और समग्र औसत के बीच के अंतर की तुलना करके निर्धारित किया जाता है:

वर्ग A का वर्ग B से अनुपात = (वर्ग B का औसत - समग्र औसत) / (समग्र औसत - वर्ग A का औसत)

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

अनुपात = (40 - 30) / (30 - 25) = 10 / 5 = 2 / 1

इससे 2:1 का अनुपात प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए कुल पूंजी 12 इकाई है। यह सुविधाजनक मान इसलिए चुना गया है क्योंकि 12, हर 4 और 3 का लघुत्तम समापवर्त्य है।

पूंजी का पहला भाग 12 का एक-चौथाई है, जो 3 इकाई है, जिससे 3% ब्याज मिलता है। दूसरा भाग 12 का दो-तिहाई है, जो 8 इकाई है, जिससे 5% ब्याज मिलता है। शेष भाग 12 - (3 + 8) = 1 इकाई है, जिससे 11% ब्याज मिलता है।

पूरी पूंजी से अर्जित कुल ब्याज की गणना प्रत्येक भाग से ब्याज जोड़कर की जाती है: कुल ब्याज = (3 × 3%) + (8 × 5%) + (1 × 11%) कुल ब्याज = 9% + 40% + 11% = 60%

12 इकाई की कुल पूंजी पर प्राप्त प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, हम कुल ब्याज को कुल पूंजी से विभाजित करते हैं: समग्र प्रतिशत = 60% / 12 = 5%

व्याख्या

3 के पहले पाँच विषम गुणज पहले पाँच विषम प्राकृतिक संख्याओं (1, 3, 5, 7, और 9) को 3 से गुणा करके प्राप्त किए जाते हैं। ये गुणज हैं: 3 × 1 = 3 3 × 3 = 9 3 × 5 = 15 3 × 7 = 21 3 × 9 = 27

चूंकि ये पद 6 के एक स्थिर सार्व अंतर के साथ एक अंकगणितीय श्रृंखला बनाते हैं, इसलिए अनुक्रम का औसत उसके मध्य पद के बराबर होता है। पाँच पदों के अनुक्रम के लिए, मध्य (तीसरा) पद 15 है।

वैकल्पिक रूप से, एक अंकगणितीय श्रृंखला का औसत सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है: औसत = (पहला पद + अंतिम पद) / 2 औसत = (3 + 27) / 2 = 15

व्याख्या

मान लीजिए पहले और दूसरे पंखे के क्रय मूल्य क्रमशः CP₁ और CP₂ हैं। चूँकि पूरे सौदे में न तो कोई लाभ होता है और न ही कोई हानि, इसलिए पहले पंखे पर अर्जित लाभ दूसरे पंखे पर हुई हानि के बराबर है।

CP₁ का 15% = CP₂ का 9%

CP₁ / CP₂ = 9 / 15 = 3 / 5

उनके क्रय मूल्यों का अनुपात 3 : 5 है।

इस अनुपात का उपयोग करके कुल क्रय मूल्य 2,160 को विभाजित करें:

CP₁ = (3 / 8) × 2160 = 810

CP₂ = (5 / 8) × 2160 = 1350

व्याख्या

मान लीजिए हाथगाड़ी का क्रय मूल्य (CP) है।

जब 25% की हानि पर बेचा जाता है, तो विक्रय मूल्य क्रय मूल्य का 75% होता है। CP × 75% = 720 CP × 3/4 = 720 CP = 720 × 4/3 = 960

25% लाभ प्राप्त करने के लिए, नया विक्रय मूल्य क्रय मूल्य का 125% होना चाहिए। नया विक्रय मूल्य = CP × 125% नया विक्रय मूल्य = 960 × 5/4 = 1200

वैकल्पिक रूप से, दो विक्रय मूल्यों का अनुपात सीधे गणना की जा सकती है। नया विक्रय मूल्य = 720 × (100 + 25) / (100 - 25) नया विक्रय मूल्य = 720 × 125/75 नया विक्रय मूल्य = 720 × 5/3 = 1200

व्याख्या

मान लीजिए कि A ने साइकिल के लिए x का भुगतान किया।

क्रमिक विक्रय मूल्य का सूत्र है: अंतिम मूल्य = प्रारंभिक मूल्य × (1 + P₁/100) × (1 + P₂/100)

यहाँ, C द्वारा भुगतान किया गया अंतिम मूल्य 264 है, पहला लाभ प्रतिशत P₁ 10% है, और दूसरा लाभ प्रतिशत P₂ 20% है।

सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 264 = x × (1 + 10/100) × (1 + 20/100) 264 = x × 1.1 × 1.2 264 = x × 1.32 x = 264 / 1.32 x = 200

व्याख्या

जब किसी राशि को क्रमिक रूप से a% बढ़ाया जाता है और फिर b% घटाया जाता है, तो शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन का सूत्र है:

शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = a - b - (a × b)/100

दिए गए मानों a = 10 और b = 10 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = 10 - 10 - (10 × 10)/100 = -1%

ऋणात्मक चिह्न शुद्ध कमी को दर्शाता है, जिसका अर्थ है कि वेतन में 1% की कमी हुई।

व्याख्या

मान लीजिए किशन का कुल मासिक वेतन S है।

भोजन और दान पर खर्च किए गए वेतन का कुल प्रतिशत 30% + 3% = 33% है।

समस्या के अनुसार, यह संयुक्त व्यय 2,310 है।

इस प्रकार, S का 33% = 2,310।

S के लिए हल करने पर: S = (2,310 × 100) / 33 S = 70 × 100 S = 7,000

व्याख्या

रेलगाड़ी की लंबाई ज्ञात करने के लिए, हम निम्नलिखित संबंध का उपयोग करते हैं:

दूरी = गति × समय

सबसे पहले, रेलगाड़ी की गति को किलोमीटर प्रति घंटा से मीटर प्रति सेकंड में 5/18 से गुणा करके परिवर्तित किया जाना चाहिए:

गति = 90 × 5/18 = 25 मी/से

जब कोई रेलगाड़ी सिग्नल जैसी स्थिर बिंदु वस्तु को पार करती है, तो रेलगाड़ी द्वारा तय की गई कुल दूरी रेलगाड़ी की लंबाई के बराबर होती है। सूत्र का उपयोग करके:

रेलगाड़ी की लंबाई = 25 मी/से × 10 से = 250 मीटर

व्याख्या

धारा के प्रतिकूल तैराक की गति, शांत जल में तैराक की गति और जल धारा की गति के बीच का अंतर होती है।

धारा के प्रतिकूल गति = शांत जल में गति - जल धारा की गति धारा के प्रतिकूल गति = 4 किमी/घंटा - 2 किमी/घंटा = 2 किमी/घंटा

एक निश्चित दूरी तय करने में लगने वाला समय निम्न सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है:

समय = दूरी / गति

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

समय = 10 किमी / 2 किमी/घंटा = 5 घंटे

व्याख्या

मान लीजिए व्यक्ति की पूंजी C है।

आयकर की दर प्रति रुपया 4 पैसे है, जो 4% के बराबर है। इसलिए, कर के बाद शुद्ध आय सकल आय का 96% है।

ब्याज दर 4% से घटकर 3.75% हो जाती है, जो सकल ब्याज दर में 0.25% की कमी दर्शाती है।

शुद्ध वार्षिक आय में कमी का सूत्र इस प्रकार दिया गया है: शुद्ध आय में कमी = पूंजी × सकल दर में कमी × (1 - कर दर)

सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 48 = C × 0.25% × 96% 48 = C × 0.0025 × 0.96 48 = C × 0.0024

C के लिए हल करने पर: C = 48 / 0.0024 C = 480000 / 24 C = 20000

व्याख्या

जब किसी जनसंख्या में प्रति वर्ष एक स्थिर वार्षिक दर से कमी आती है, तो वर्तमान जनसंख्या का सूत्र इस प्रकार दिया जाता है:

वर्तमान जनसंख्या = P × (1 - r/100)ⁿ

जहाँ P, 2 वर्ष पूर्व की जनसंख्या है, r, कमी की वार्षिक दर है, और n, वर्षों की संख्या है।

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: P = 10000 r = 20 n = 2

वर्तमान जनसंख्या = 10000 × (1 - 20/100)² वर्तमान जनसंख्या = 10000 × (1 - 0.2)² वर्तमान जनसंख्या = 10000 × (0.8)² वर्तमान जनसंख्या = 10000 × 0.64 वर्तमान जनसंख्या = 6400

व्याख्या

माना आयताकार समांतर षट्फलक के तीन विमाएँ a, b, और c हैं। हमें दो आसन्न भुजाएँ a = 1 सेमी और b = 2 सेमी दी गई हैं।

आयताकार समांतर षट्फलक के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (A) का सूत्र है: A = 2(ab + bc + ca)

सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 22 = 2(1×2 + 2×c + c×1) 11 = 2 + 3c 3c = 9 c = 3 सेमी

आयताकार समांतर षट्फलक के विकर्ण (d) की लंबाई का सूत्र है: d = √(a² + b² + c²)

विमाएँ a = 1 सेमी, b = 2 सेमी, और c = 3 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर: d = √(1² + 2² + 3²) d = √(1 + 4 + 9) d = √14 सेमी

व्याख्या

पहले दो वृत्तों की केंद्रों की रेखा को x-अक्ष मान लीजिए, जिसमें स्पर्श बिंदु C मूल बिंदु (0, 0) पर है।

चूंकि केंद्र A और B वाले वृत्तों की त्रिज्या 2 है और वे C पर बाह्यतः स्पर्श करते हैं, उनके निर्देशांक हैं: A = (-2, 0) और B = (2, 0) परिणामस्वरूप, आधार AB = 4।

केंद्र C (0, 0) और त्रिज्या 2 वाले तीसरे वृत्त का समीकरण है: x² + y² = 4

केंद्र A (-2, 0) और त्रिज्या 2 वाले वृत्त का समीकरण है: (x + 2)² + y² = 4

ऊपरी अर्ध-तल (y > 0) में प्रतिच्छेदन बिंदु D के लिए इन समीकरणों को हल करने पर: (x + 2)² - x² = 0 4x + 4 = 0 x = -1 y = √3 अतः, D = (-1, √3)।

इसी प्रकार, केंद्र B (2, 0) और त्रिज्या 2 वाला वृत्त ऊपरी अर्ध-तल में बिंदु E पर तीसरे वृत्त को काटता है: (x - 2)² - x² = 0 -4x + 4 = 0 x = 1 y = √3 अतः, E = (1, √3)।

चतुर्भुज ABDE एक समद्विबाहु समलम्ब है जिसकी समानांतर भुजाएँ AB और DE हैं। समानांतर भुजाओं की लंबाइयाँ हैं: AB = 4 DE = 1 - (-1) = 2

समलम्ब की ऊँचाई D और E का y-निर्देशांक है: h = √3

समलम्ब के क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग करके: क्षेत्रफल = ½ × (AB + DE) × h क्षेत्रफल = ½ × (4 + 2) × √3 = 3√3 वर्ग इकाई

व्याख्या

माना गोला और अर्धगोले की त्रिज्याएँ क्रमशः r₁ और r₂ हैं।

r₁ त्रिज्या वाले गोले का आयतन इस प्रकार दिया जाता है: V₁ = (4/3)πr₁³

r₂ त्रिज्या वाले अर्धगोले का आयतन इस प्रकार दिया जाता है: V₂ = (2/3)πr₂³

चूंकि गोले और अर्धगोले का आयतन समान है, हम V₁ = V₂ सेट करते हैं: (4/3)πr₁³ = (2/3)πr₂³

दोनों पक्षों को (2/3)π से विभाजित करने पर समीकरण सरल हो जाता है: 2r₁³ = r₂³

हम इसे उनकी घनीय त्रिज्याओं का अनुपात ज्ञात करने के लिए पुनः लिख सकते हैं: r₁³ / r₂³ = ½

दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर उनकी त्रिज्याओं का अनुपात प्राप्त होता है: r₁ / r₂ = 1 / ∛2

व्याख्या

मान लीजिए बेलन और गोले दोनों की त्रिज्या r है, और बेलन की ऊँचाई h है।

चूंकि बेलन और गोले का आयतन समान है: πr²h = 4/3 πr³

h के लिए हल करने पर: h = 4/3 r

बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (A_c) है: A_c = 2πrh + 2πr²

h = 4/3 r को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: A_c = 2πr(4/3 r) + 2πr² A_c = 8/3 πr² + 2πr² A_c = 14/3 πr²

गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल (A_s) है: A_s = 4πr²

उनके पृष्ठीय क्षेत्रफल का अनुपात है: A_c / A_s = (14/3 πr²) / (4πr²) A_c / A_s = 14 / (3 × 4) A_c / A_s = 14 / 12 A_c / A_s = 7/6

व्याख्या

दिए गए त्रिभुज की भुजाएँ 3:4:5 के अनुपात में हैं, जो एक समकोण त्रिभुज को दर्शाता है। मान लीजिए इस त्रिभुज की भुजाएँ 3x, 4x और 5x हैं।

इस समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल है: क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई 72 = ½ × 3x × 4x 72 = 6x² x² = 12 x = 2√3

इस त्रिभुज की परिधि है: परिधि = 3x + 4x + 5x = 12x परिधि = 12 × 2√3 = 24√3

एक समबाहु त्रिभुज की परिधि समान है, इसलिए यदि समबाहु त्रिभुज की भुजा की लंबाई s है: 3s = 24√3 s = 8√3

इस समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल है: क्षेत्रफल = (√3 / 4) × s² क्षेत्रफल = (√3 / 4) × (8√3)² क्षेत्रफल = (√3 / 4) × 192 क्षेत्रफल = 48√3 वर्ग इकाई

व्याख्या

त्रिज्या r वाले अर्धवृत्ताकार पथ का परिमाप सूत्र द्वारा दिया जाता है: परिमाप = πr + 2r = r(π + 2)

दिया गया है कि परिमाप 36 मीटर है, हम π का मान 22/7 प्रतिस्थापित करते हैं: r(22/7 + 2) = 36 r(36/7) = 36 r = 7 मीटर

अर्धवृत्ताकार पथ का क्षेत्रफल है: क्षेत्रफल = ½πr² क्षेत्रफल = ½ × (22/7) × 7² क्षेत्रफल = 11 × 7 = 77 वर्ग मीटर

व्याख्या

दो आलेखों के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, दूसरे समीकरण से x का मान पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करें।

दिए गए समीकरण: 25x + 75y = 225 x = 9

x = 9 को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 25(9) + 75y = 225 225 + 75y = 225

दोनों पक्षों से 225 घटाने पर: 75y = 0 y = 0

यह दो रेखाओं के मिलने वाले बिंदु के निर्देशांक (9, 0) देता है।

व्याख्या

दिए गए व्यंजक के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका है: a² + b² + c² - ab - bc - ca = ½ [ (a - b)² + (b - c)² + (c - a)² ]

अंतर ज्ञात करने के लिए a, b, और c के दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करें: a - b = (x + y) - (x - y) = 2y b - c = (x - y) - (x + 2y) = -3y c - a = (x + 2y) - (x + y) = y

इन अंतरों को सर्वसमिका में वापस प्रतिस्थापित करने पर: a² + b² + c² - ab - bc - ca = ½ [ (2y)² + (-3y)² + y² ] a² + b² + c² - ab - bc - ca = ½ [ 4y² + 9y² + y² ] a² + b² + c² - ab - bc - ca = ½ [ 14y² ] a² + b² + c² - ab - bc - ca = 7y²

व्याख्या

दो संख्याओं के योग के घन के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका है: (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)

इस सर्वसमिका में दिए गए समीकरण a + b = 1 को प्रतिस्थापित करने पर: (1)³ = a³ + b³ + 3ab(1) 1 = a³ + b³ + 3ab

इस परिणाम की सीधे दिए गए व्यंजक a³ + b³ + 3ab = k से तुलना करने पर, हमें k = 1 प्राप्त होता है।

वैकल्पिक रूप से, इसे a + b = 1 शर्त को संतुष्ट करने वाले सुविधाजनक मान चुनकर शीघ्रता से हल किया जा सकता है। यदि हम a = 1 और b = 0 लेते हैं, तो: k = 1³ + 0³ + 3(1)(0) k = 1

व्याख्या

दो दी गई रैखिक समीकरणों का वर्ग करके और उन्हें जोड़कर:

(ax + by)² + (bx - ay)² = 3² + 4²

बाईं ओर के पदों का विस्तार करने पर:

(a²x² + b²y² + 2abxy) + (b²x² + a²y² - 2abxy) = 9 + 16

बीच के पद +2abxy और -2abxy एक दूसरे को निरस्त कर देते हैं, जिससे बचता है:

a²x² + b²y² + b²x² + a²y² = 25

a² और b² वाले पदों को समूहित करने पर:

a²(x² + y²) + b²(x² + y²) = 25

(x² + y²) को गुणनखंडित करने पर:

(a² + b²)(x² + y²) = 25

दी गई शर्त x² + y² = 1 को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

(a² + b²)(1) = 25

a² + b² = 25

व्याख्या

किसी त्रिभुज का परिकेंद्र (circumcentre) वह बिंदु होता है जहाँ उसकी भुजाओं के लंब समद्विभाजक प्रतिच्छेद करते हैं, जो उसके परिवृत्त (circumscribed circle) के केंद्र के रूप में भी कार्य करता है। एक अधिक कोण वाले त्रिभुज में, एक आंतरिक कोण 90° से अधिक होता है। इस चौड़े फैलाव के कारण, भुजाओं के लंब समद्विभाजक त्रिभुज के आंतरिक भाग से दूर अपसरित (diverge) हो जाते हैं और एक-दूसरे को बाहरी क्षेत्र में प्रतिच्छेद करते हैं। परिणामस्वरूप, एक अधिक कोण वाले त्रिभुज का परिकेंद्र हमेशा त्रिभुज की सीमाओं के बाहर स्थित होता है।

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज ABC में जहाँ ∠BAC = 90° और AD, BC पर लंब है, कर्ण BC पर शीर्षलंब AD, कर्ण को दो खंडों BD और CD में विभाजित करता है। समरूप त्रिभुजों ABD और CAD के गुणधर्म के अनुसार, शीर्षलंब AD, BD और CD का गुणोत्तर माध्य होता है:

AD² = BD × CD

दिया गया है कि AD = 6 सेमी और BD = 4 सेमी, हम इन मानों को समीकरण में रखते हैं:

6² = 4 × CD 36 = 4 × CD CD = 9 सेमी

कर्ण BC की कुल लंबाई दो खंडों BD और CD का योग है:

BC = BD + CD BC = 4 + 9 = 13 सेमी

व्याख्या

वृत्त के केंद्र पर किसी चाप द्वारा बनाया गया कोण, उसी चाप द्वारा परिधि के शेष भाग पर किसी भी बिंदु पर बनाए गए कोण का दोगुना होता है। चूँकि केंद्र O पर चाप CD द्वारा बनाया गया कोण ∠COD = 140° है, इसलिए परिधि पर बिंदु A पर उसी चाप CD द्वारा बनाया गया कोण है: ∠CAD = ½ × ∠COD = ½ × 140° = 70°

चक्रीय चतुर्भुज ABCD में, आंतरिक किरण AC, कोण ∠BAD को ∠BAC और ∠CAD में विभाजित करती है। इसलिए, शीर्ष A पर कुल कोण है: ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD = 40° + 70° = 110°

चक्रीय चतुर्भुज में, सम्मुख कोणों का योग 180° होता है। इस प्रकार, सम्मुख कोण ∠BAD और ∠BCD निम्नलिखित को संतुष्ट करते हैं: ∠BCD = 180° - ∠BAD = 180° - 110° = 70°

व्याख्या

समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म के अनुसार, दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।

क्षेत्रफल(ABC) / क्षेत्रफल(DEF) = (AB / DE)²

दी गई भुजाओं की लंबाई AB = 10 सेमी और DE = 8 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर:

क्षेत्रफल(ABC) / क्षेत्रफल(DEF) = (10 / 8)² = (5 / 4)² = 25 / 16

इससे क्षेत्रफलों का अनुपात 25 : 16 प्राप्त होता है।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cosec x = 1/sin x का प्रयोग करके, संबंध cos θ cosec 67° = 1 को पुनः इस प्रकार लिखा जा सकता है:

cos θ / sin 67° = 1

cos θ = sin 67°

पूरक कोण सर्वसमिका sin x = cos(90° - x) का प्रयोग करके:

cos θ = cos(90° - 67°)

cos θ = cos 23°

दोनों पक्षों की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है:

θ = 23°

व्याख्या

दिया गया व्यंजक त्रिकोणमितीय श्रेणी का एक टाइपोग्राफ़िकल निरूपण है: sin² 5° + sin² 10° + sin² 15° + ... + sin² 85° + sin² 90°

श्रेणी में कोण 5° से 90° तक 5° के सार्व अंतर के साथ एक समांतर श्रेणी बनाते हैं। पदों की कुल संख्या 90 ÷ 5 = 18 है।

सर्वसमिका sin(90° - θ) = cos θ का उपयोग करते हुए, हमारे पास sin² (90° - θ) = cos² θ है। यह संबंध देता है: sin² θ + sin² (90° - θ) = sin² θ + cos² θ = 1

हम श्रेणी के विपरीत सिरों से 40° तक के पदों को युग्मित कर सकते हैं: (sin² 5° + sin² 85°) + (sin² 10° + sin² 80°) + ... + (sin² 40° + sin² 50°) + sin² 45° + sin² 90°

ऐसे 8 युग्म हैं, जिनमें से प्रत्येक युग्म का योग 1 है। शेष अयुग्मित पद sin² 45° और sin² 90° हैं।

मानों को प्रतिस्थापित करते हुए: sin² 45° = (1/√2)² = ½ sin² 90° = 1² = 1

इनका योग करने पर: कुल योग = (8 × 1) + ½ + 1 = 9 ½

व्याख्या

मान लीजिए कि खंभा h फुट की ऊँचाई पर टूटा है। चूँकि खंभे की कुल ऊँचाई 15 फुट है, इसलिए ऊपरी टूटे हुए हिस्से की लंबाई जो जमीन को छूने के लिए झुक जाती है, वह 15 - h है।

यह टूटा हुआ हिस्सा एक समकोण त्रिभुज का कर्ण बनाता है, जहाँ जमीन से टूटने के बिंदु तक की ऊँचाई, h, 30° के कोण के सम्मुख लंबवत भुजा है। त्रिकोणमितीय साइन अनुपात का उपयोग करके:

sin 30° = h / (15 - h)

चूँकि sin 30° = ½ होता है, हम इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

½ = h / (15 - h)

h के लिए हल करने के लिए तिरछा गुणा करने पर:

15 - h = 2h

3h = 15

h = 5 फुट

व्याख्या

भिन्नों p = 3/5, q = 7/9, और r = 5/7 की तुलना करने के लिए, हम प्रत्येक भिन्न के हर और अंश के बीच के अंतर को देख सकते हैं।

p के लिए, अंतर 5 - 3 = 2 है। q के लिए, अंतर 9 - 7 = 2 है। r के लिए, अंतर 7 - 5 = 2 है।

चूंकि तीनों उचित भिन्नों के लिए हर और अंश के बीच का अंतर स्थिर (2 के बराबर) है, इसलिए छोटे अंश वाली भिन्न का मान छोटा होगा, और बड़े अंश वाली भिन्न का मान बड़ा होगा।

अंशों की तुलना करने पर, हमें 3 < 5 < 7 प्राप्त होता है।

इसलिए, 3/5 < 5/7 < 7/9, जिसका अर्थ है p < r < q।

व्याख्या

n का सबसे छोटा संभावित पूर्णांक मान ज्ञात करने के लिए, दी गई असमानता को हल करें:

7n + 9 > 100

असमानता के दोनों पक्षों से 9 घटाएं:

7n > 91

दोनों पक्षों को 7 से विभाजित करें:

n > 13

चूंकि असमानता सख्त है (n, 13 से सख्ती से बड़ा होना चाहिए) और n एक पूर्णांक होना चाहिए, इस शर्त को पूरा करने वाला सबसे छोटा संभावित पूर्णांक मान 14 है।

व्याख्या

ट्रेन की लंबाई ज्ञात करने के लिए, दूरी सूत्र का प्रयोग करें:

दूरी = गति × समय

सबसे पहले, ट्रेन की गति को किलोमीटर प्रति घंटा से मीटर प्रति सेकंड में बदलने के लिए 5/18 के रूपांतरण कारक से गुणा करें:

गति = 36 × (5/18) = 10 मी/से

जब कोई ट्रेन किसी खंभे को पार करती है, तो तय की गई कुल दूरी ट्रेन की लंबाई के बराबर होती है। परिकलित गति और 25 सेकंड के दिए गए समय को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

ट्रेन की लंबाई = 10 मी/से × 25 सेकंड = 250 मीटर

व्याख्या

कई पाइपों के लिए कार्य की संयुक्त दर उनके व्यक्तिगत कार्य दरों का योग होती है। पाइप A, B और C द्वारा क्रमशः प्रति घंटा टंकी का 1/10, 1/12 और 1/15 भाग भरने की दरें हैं।

संयुक्त दर = 1/10 + 1/12 + 1/15

इन भिन्नों को जोड़ने के लिए, हर 10, 12 और 15 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करें, जो कि 60 है।

संयुक्त दर = (6 + 5 + 4) / 60 = 15 / 60 = 1/4 टंकी प्रति घंटा

पूरी टंकी को भरने में लगने वाला समय संयुक्त दर का व्युत्क्रम होता है:

समय = 1 / (1/4) = 4 घंटे

व्याख्या

मान लीजिए M एक पुरुष की दैनिक कार्य क्षमता और B एक लड़के की दैनिक कार्य क्षमता को दर्शाता है।

दोनों स्थितियों में कुल कार्य बराबर है: 10 × (2M + 3B) = 8 × (3M + 2B) 20M + 30B = 24M + 16B 4M = 14B 2M = 7B

कुल कार्य को लड़कों की दैनिक कार्य क्षमता के रूप में व्यक्त करने के लिए पहले समीकरण में 2M = 7B को प्रतिस्थापित करें: कुल कार्य = 10 × (7B + 3B) = 100B

2 पुरुष और 1 लड़के द्वारा कार्य पूरा करने के लिए आवश्यक समय D निम्न द्वारा दिया गया है: D × (2M + 1B) = 100B

समीकरण में 2M = 7B को प्रतिस्थापित करें: D × (7B + 1B) = 100B 8B × D = 100B D = 100 / 8 = 12.5 दिन

व्याख्या

आयताकार कागज ABCD का कुल क्षेत्रफल उसकी लंबाई और चौड़ाई को गुणा करके निकाला जाता है: आयत का क्षेत्रफल = AB × BC = 22 × 14 = 308 सेमी²

BC को व्यास मानकर एक अर्ध-वृत्ताकार भाग हटा दिया जाता है। चूँकि व्यास BC = 14 सेमी है, इस अर्ध-वृत्त की त्रिज्या r = 7 सेमी है।

अर्ध-वृत्ताकार भाग का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा दिया जाता है: अर्ध-वृत्त का क्षेत्रफल = ½ × π × r²

π = 22/7 का उपयोग करके: अर्ध-वृत्त का क्षेत्रफल = ½ × (22/7) × 7² = 77 सेमी²

कागज का शेष क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आयत के कुल क्षेत्रफल में से अर्ध-वृत्ताकार भाग का क्षेत्रफल घटाएं: शेष क्षेत्रफल = आयत का क्षेत्रफल - अर्ध-वृत्त का क्षेत्रफल = 308 - 77 = 231 सेमी²

व्याख्या

माना वर्ग की भुजा s और वृत्त की त्रिज्या r है।

वर्ग का परिमाप 4s होता है, जो 4 × 22 = 88 सेमी है।

वृत्त की परिधि 2πr होती है। वृत्त की परिधि को वर्ग के परिमाप के बराबर रखने पर: 2πr = 88

मानक सन्निकटन π = 22/7 का उपयोग करने पर: 2 × (22/7) × r = 88 r = (88 × 7) / 44 r = 14 सेमी

वृत्त का क्षेत्रफल सूत्र πr² द्वारा दिया जाता है: क्षेत्रफल = π × 14² = 196π सेमी²

व्याख्या

किसी वस्तु का विक्रय मूल्य छूट के बाद निम्न सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है:

विक्रय मूल्य = अंकित मूल्य × (1 - छूट प्रतिशत / 100)

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

अंकित मूल्य = ₹4000 छूट प्रतिशत = 5%

विक्रय मूल्य = 4000 × (1 - 5 / 100) विक्रय मूल्य = 4000 × (95 / 100) विक्रय मूल्य = 40 × 95 विक्रय मूल्य = ₹3800

व्याख्या

जब किसी वस्तु को m% अधिक अंकित किया जाता है और फिर d% की छूट पर बेचा जाता है, तो शुद्ध लाभ प्रतिशत क्रमिक प्रतिशत सूत्र द्वारा दिया जाता है:

लाभ प्रतिशत = m - d - (m × d) / 100

दिया गया है: अंकन प्रतिशत (m) = 25% छूट प्रतिशत (d) = 9%

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

लाभ प्रतिशत = 25 - 9 - (25 × 9) / 100

लाभ प्रतिशत = 16 - 225 / 100

लाभ प्रतिशत = 16 - 2.25 = 13.75%

व्याख्या

अंकित मूल्य (MP) पर d₁%, d₂%, और d₃% की क्रमिक छूट के बाद शुद्ध विक्रय मूल्य (SP) निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

SP = MP × (1 - d₁/100) × (1 - d₂/100) × (1 - d₃/100)

MP = ₹20,000, d₁ = 10, d₂ = 5, और d₃ = 2 रखने पर:

SP = 20000 × (1 - 10/100) × (1 - 5/100) × (1 - 2/100)

SP = 20000 × 0.90 × 0.95 × 0.98

SP = 18000 × 0.95 × 0.98

SP = 17100 × 0.98

SP = 16758

व्याख्या

हमें संबंध दिया गया है: A का (1/3) = B का 75% = C का 0.6

प्रतिशत और दशमलव को उनके सरलतम भिन्न रूपों में बदलना: 75% = 75/100 = 3/4 0.6 = 6/10 = 3/5

इन भिन्नों को दिए गए संबंध में प्रतिस्थापित करना: A का (1/3) = B का (3/4) = C का (3/5)

प्रत्येक पद को एक सामान्य स्थिरांक k के बराबर करना: A का (1/3) = k → A = 3k B का (3/4) = k → B = (4/3) k C का (3/5) = k → C = (5/3) k

अनुपात A : B : C व्यक्त करना: A : B : C = 3k : (4/3) k : (5/3) k A : B : C = 3 : 4/3 : 5/3

हर को समाप्त करने के लिए अनुपात के प्रत्येक भाग को 3 से गुणा करना: A : B : C = (3 × 3) : 4 : 5 A : B : C = 9 : 4 : 5

व्याख्या

मान लीजिए मिश्रण में पानी की मात्रा 5 इकाई है। चूँकि दूध की मात्रा पानी की मात्रा की 3/5 है, इसलिए दूध की मात्रा 3/5 × 5 = 3 इकाई है।

मिश्रण की कुल मात्रा दूध की मात्रा और पानी की मात्रा का योग है, जो 3 + 5 = 8 इकाई है।

मिश्रण में दूध का अनुपात दूध की मात्रा और मिश्रण की कुल मात्रा का अनुपात है, जो 3/8 है।

व्याख्या

मान लीजिए पिता और पुत्र की वर्तमान आयु क्रमशः 7x और 3x है।

उनकी आयु का गुणनफल दिया गया है: 7x × 3x = 756 21x² = 756 x² = 36 x = 6

इस प्रकार, उनकी वर्तमान आयु है: पिता की आयु = 7 × 6 = 42 वर्ष पुत्र की आयु = 3 × 6 = 18 वर्ष

6 वर्ष बाद, उनकी आयु होगी: पिता की आयु = 42 + 6 = 48 वर्ष पुत्र की आयु = 18 + 6 = 24 वर्ष

6 वर्ष बाद उनकी आयु का अनुपात होगा: 48 : 24 = 2 : 1

व्याख्या

पुरुषों और महिलाओं के अनुपात का पता लगाने के लिए मिश्रण के नियम का उपयोग करना:

पुरुषों की औसत आयु: 45 महिलाओं की औसत आयु: 28 संयुक्त औसत आयु: 36.5

पुरुषों की औसत आयु और संयुक्त औसत आयु के बीच का अंतर 45 - 36.5 = 8.5 है। संयुक्त औसत आयु और महिलाओं की औसत आयु के बीच का अंतर 36.5 - 28 = 8.5 है।

इसलिए, पुरुषों की संख्या और महिलाओं की संख्या का अनुपात 8.5 : 8.5 है, जो 1 : 1 हो जाता है।

कुल 100 श्रमिकों और 1 : 1 के अनुपात के साथ, कारखाने में महिलाओं की संख्या है: 100 × ½ = 50

व्याख्या

n प्रेक्षणों x₁, x₂, ..., xₙ का माध्य सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है: x̄ = (x₁ + x₂ + ... + xₙ) / n

जब प्रत्येक प्रेक्षण को एक स्थिरांक a से विभाजित किया जाता है, तो प्रेक्षणों का नया समुच्चय x₁/a, x₂/a, ..., xₙ/a बन जाता है। इस नए डेटासेट का माध्य इस प्रकार गणना की जाती है: माध्य_नया = ((x₁/a) + (x₂/a) + ... + (xₙ/a)) / n माध्य_नया = (1/a) × (x₁ + x₂ + ... + xₙ) / n माध्य_नया = x̄/a

यह अंकगणितीय माध्य के स्केलिंग गुण को दर्शाता है, जो बताता है कि यदि डेटासेट में प्रत्येक मान को एक स्थिरांक से विभाजित किया जाता है, तो डेटासेट का माध्य भी उसी स्थिरांक से विभाजित हो जाता है।

व्याख्या

विक्रय मूल्य (SP), क्रय मूल्य (CP), और हानि या लाभ प्रतिशत के बीच संबंध इस प्रकार दिया गया है: SP = CP × (100 ± प्रतिशत) / 100

पहले मामले में, गाय को 15% की हानि पर बेचने पर प्राप्त होता है: 136 = CP × (100 - 15) / 100 136 = CP × 85 / 100 CP = (136 × 100) / 85

दूसरे मामले में 15% का लाभ कमाने के लिए, नया विक्रय मूल्य (SP₂) है: SP₂ = CP × (100 + 15) / 100 SP₂ = CP × 115 / 100

इस समीकरण में CP का मान रखने पर: SP₂ = ((136 × 100) / 85) × (115 / 100) SP₂ = 136 × 115 / 85

115 और 85 दोनों को 5 से विभाजित करके भिन्न को सरल बनाना: SP₂ = 136 × 23 / 17

136 को 17 से विभाजित करने पर 8 प्राप्त होता है: SP₂ = 8 × 23 SP₂ = 184

व्याख्या

छूट (D%) दिए जाने और लाभ (P%) कमाने पर क्रय मूल्य (CP) और अंकित मूल्य (MP) के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

CP / MP = (100 - D) / (100 + P)

दिया गया है कि अंकित मूल्य ₹50 है, छूट 10% है, और लाभ 25% है, इन मानों को सूत्र में रखने पर:

CP / 50 = (100 - 10) / (100 + 25)

CP / 50 = 90 / 125

CP = (90 / 125) × 50

CP = 90 × (2 / 5)

CP = 18 × 2

CP = 36

व्याख्या

क्रमिक प्रतिशत वृद्धि सूत्र का उपयोग करके:

कुल प्रतिशत वृद्धि = x + y + xy/100

यहाँ, A वस्तु को 20% लाभ पर बेचता है (x = 20) और B इसे 10% लाभ पर बेचता है (y = 10)।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

कुल प्रतिशत वृद्धि = 20 + 10 + (20 × 10)/100 = 30 + 2 = 32%

यह A द्वारा भुगतान की गई राशि से C द्वारा भुगतान की गई राशि में शुद्ध प्रतिशत वृद्धि को दर्शाता है।

व्याख्या

मान लीजिए संख्या x है।

प्रश्न के अनुसार: (3/5) × (2/3) × (3/7) × x = 150

बाईं ओर के भिन्न को सरल करने पर: (6/35) × x = 150

x के लिए हल करने पर: x = (150 × 35) / 6 x = 25 × 35 x = 875

इस संख्या का 60% ज्ञात करने के लिए: 875 का 60% = (60/100) × 875 = (3/5) × 875 = 3 × 175 = 525

व्याख्या

मान लीजिए T कंपनी में नियोजित लोगों की कुल संख्या को दर्शाता है।

चूंकि इंजीनियर कुल कर्मचारियों का 40% हैं, इसलिए संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

इंजीनियर = T का 40%

80 इंजीनियरों के दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर:

80 = 0.40 × T

T के लिए हल करने पर:

T = 80 ÷ 0.40 = 200