एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2012 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

माना आयताकार समांतर षट्फलक के तीन विमाएँ a = 1 सेमी, b = 2 सेमी, और c हैं।

आयताकार समांतर षट्फलक के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र है: TSA = 2(ab + bc + ca)

दिए गए कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 22 वर्ग सेमी और ज्ञात भुजाओं की लंबाई को प्रतिस्थापित करने पर: 22 = 2(1×2 + 2c + 1c) 11 = 2 + 3c 3c = 9 c = 3 सेमी

आयताकार समांतर षट्फलक के विकर्ण का सूत्र है: d = √(a² + b² + c²)

a, b, और c के मानों को प्रतिस्थापित करने पर: d = √(1² + 2² + 3²) d = √(1 + 4 + 9) d = √14 सेमी

व्याख्या

किसी तैराक की धारा के विपरीत गति, शांत जल में तैराक की गति और जल धारा की गति के बीच का अंतर होती है।

धारा के विपरीत गति = शांत जल में गति - जल धारा की गति धारा के विपरीत गति = 4 किमी/घंटा - 2 किमी/घंटा = 2 किमी/घंटा

एक निश्चित दूरी तय करने में लगने वाले समय की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

समय = दूरी / धारा के विपरीत गति

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

समय = 10 किमी / 2 किमी/घंटा = 5 घंटे

व्याख्या

मान लीजिए व्यक्ति की पूंजी C है।

चूंकि कर की दर प्रति रुपया 4 पैसे है, कर की दर आय का 4% है। इसलिए शुद्ध आय सकल आय का 96% है।

ब्याज दर 4% से 3.75% तक गिर जाती है, जिससे ब्याज दर में कमी आती है: 4% - 3.75% = 0.25%

वार्षिक आय में शुद्ध कमी की गणना निम्नलिखित संबंध का उपयोग करके की जाती है: शुद्ध कमी = पूंजी × ब्याज दर में कमी × (100% - कर दर)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 48 = C × (0.25 / 100) × (1 - 0.04) 48 = C × 0.0025 × 0.96 48 = C × 0.0024 C = 48 / 0.0024 C = 20,000

व्याख्या

जनसंख्या ह्रास सूत्र का उपयोग करके, वर्तमान जनसंख्या (P) की गणना n वर्ष पूर्व की जनसंख्या (P₀) से r% की वार्षिक कमी दर पर इस प्रकार की जाती है:

P = P₀ × (1 - r/100)ⁿ

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ P₀ = 10000, r = 20, और n = 2:

P = 10000 × (1 - 20/100)² P = 10000 × (4/5)² P = 10000 × 16/25 P = 400 × 16 P = 6400

व्याख्या

त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात 3:4:5 है। चूँकि 3² + 4² = 5², यह एक समकोण त्रिभुज है।

मान लीजिए त्रिभुज की भुजाएँ 3x, 4x और 5x हैं।

समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई क्षेत्रफल = ½ × 3x × 4x = 6x²

चूँकि त्रिभुज का क्षेत्रफल 72 वर्ग इकाई है: 6x² = 72 x² = 12 x = √12 = 2√3

इस त्रिभुज की परिधि इसकी भुजाओं का योग है: परिधि = 3x + 4x + 5x = 12x परिधि = 12 × 2√3 = 24√3

समबाहु त्रिभुज की परिधि इस परिधि के समान है। मान लीजिए समबाहु त्रिभुज की भुजा a है: 3a = 24√3 a = 8√3

समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: क्षेत्रफल = (√3/4) × a² क्षेत्रफल = (√3/4) × (8√3)² क्षेत्रफल = (√3/4) × 192 क्षेत्रफल = 48√3 वर्ग इकाई

व्याख्या

स्पर्श करने वाले दो वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी AB = AC + BC = 2 + 2 = 4 है।

चूंकि केंद्र C और त्रिज्या 2 वाले तीसरे वृत्त पहले वृत्त (केंद्र A, त्रिज्या 2) को D पर मिलता है, इसलिए AC = CD = AD = 2 है। इस प्रकार, त्रिभुज ACD भुजा 2 का एक समबाहु त्रिभुज है।

इसी प्रकार, तीसरा वृत्त दूसरे वृत्त (केंद्र B, त्रिज्या 2) को E पर मिलता है, इसलिए BC = CE = BE = 2 है। इस प्रकार, त्रिभुज BCE भुजा 2 का एक समबाहु त्रिभुज है।

चूंकि A, C, और B संरेख हैं, कोण ∠ACB = 180° है। समबाहु त्रिभुजों में कोण ∠DCA = 60° और ∠ECB = 60° होते हैं। इसलिए, कोण ∠DCE है: ∠DCE = 180° - 60° - 60° = 60°

त्रिभुज CDE में, हमारे पास CD = CE = 2 और ∠DCE = 60° है, जो त्रिभुज CDE को भी भुजा 2 का एक समबाहु त्रिभुज बनाता है।

चतुर्भुज ABDE इन तीन गैर-अतिव्यापी समबाहु त्रिभुजों: ACD, CDE, और BCE से बना है।

भुजा s के समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग करते हुए: क्षेत्रफल = (√3/4) × s²

s = 2 रखने पर: एक त्रिभुज का क्षेत्रफल = (√3/4) × 2² = √3

चूंकि ऐसे तीन त्रिभुज हैं, चतुर्भुज ABDE का कुल क्षेत्रफल है: कुल क्षेत्रफल = 3 × √3 = 3√3 वर्ग इकाई

व्याख्या

माना गोले की त्रिज्या r₁ है और अर्धगोले की त्रिज्या r₂ है।

गोले का आयतन सूत्र द्वारा दिया जाता है: V₁ = (4/3) π r₁³

अर्धगोले का आयतन सूत्र द्वारा दिया जाता है: V₂ = (2/3) π r₂³

चूंकि उनके आयतन बराबर हैं, हम दोनों सूत्रों को बराबर करते हैं: (4/3) π r₁³ = (2/3) π r₂³

दोनों पक्षों को (2/3) π से विभाजित करने पर: 2 r₁³ = r₂³

दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर: ∛2 r₁ = r₂

उनकी त्रिज्याओं (r₁ : r₂) का अनुपात ज्ञात करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: r₁/r₂ = 1 / ∛2

इस प्रकार, उनकी त्रिज्याओं का अनुपात 1 : ∛2 है।

व्याख्या

मान लीजिए बेलन और गोले की उभयनिष्ठ त्रिज्या r है, और बेलन की ऊँचाई h है।

गोले का आयतन 4/3 × π × r³ है और बेलन का आयतन π × r² × h है। चूँकि उनके आयतन समान हैं: 4/3 × π × r³ = π × r² × h h = 4/3 × r

बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल है: A_cylinder = 2 × π × r × h + 2 × π × r² A_cylinder = 2 × π × r × (4/3 × r) + 2 × π × r² A_cylinder = 8/3 × π × r² + 2 × π × r² A_cylinder = 14/3 × π × r²

गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल है: A_sphere = 4 × π × r²

बेलन के पृष्ठीय क्षेत्रफल का गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल से अनुपात है: A_cylinder / A_sphere = (14/3 × π × r²) / (4 × π × r²) A_cylinder / A_sphere = (14/3) / 4 A_cylinder / A_sphere = 14 / 12 A_cylinder / A_sphere = 7 / 6

व्याख्या

घन के योग की बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)

सर्वसमिका में a + b = 1 का दिया गया मान प्रतिस्थापित करने पर: (1)³ = a³ + b³ + 3ab(1) 1 = a³ + b³ + 3ab

चूंकि k = a³ + b³ + 3ab है, इसलिए सीधे तौर पर k = 1 प्राप्त होता है।

वैकल्पिक रूप से, इसे उन मानों को प्रतिस्थापित करके शीघ्रता से हल किया जा सकता है जो शर्त a + b = 1 को संतुष्ट करते हैं। यदि हम a = 1 और b = 0 चुनते हैं, तो: k = 1³ + 0³ + 3(1)(0) = 1

व्याख्या

हम दिए गए दोनों समीकरणों का वर्ग करते हैं और फिर उन्हें जोड़ते हैं:

(ax + by)² = 3² = 9 (bx - ay)² = 4² = 16

इन दोनों वर्ग समीकरणों को जोड़ने पर:

(ax + by)² + (bx - ay)² = 9 + 16

बाईं ओर के पदों का विस्तार करने पर:

a²x² + b²y² + 2abxy + b²x² + a²y² - 2abxy = 25

पद 2abxy, -2abxy के साथ रद्द हो जाता है:

a²x² + b²x² + a²y² + b²y² = 25

पदों को गुणनखंड करके समूहित करने पर:

(a² + b²)x² + (a² + b²)y² = 25 (a² + b²)(x² + y²) = 25

यह देखते हुए कि x² + y² = 1 है, इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

(a² + b²)(1) = 25 a² + b² = 25

व्याख्या

किसी त्रिभुज का परिकेन्द्र वह बिंदु होता है जहाँ उसकी भुजाओं के लम्ब समद्विभाजक प्रतिच्छेद करते हैं। एक अभिगामी कोण त्रिभुज के लिए, जहाँ एक कोण 90° से अधिक होता है, परिकेन्द्र हमेशा त्रिभुज की सीमा के बाहर स्थित होता है। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि अभिगामी कोण बनाने वाली दो भुजाओं के लम्ब समद्विभाजक त्रिभुज के आंतरिक भाग से दूर विस्तारित होते हैं ताकि वे बाहर एक बिंदु पर मिल सकें।

व्याख्या

त्रिज्या r वाले अर्धवृत्त का परिमाप उसकी वक्र सीमा और उसके व्यास का योग होता है: परिमाप = πr + 2r = r(π + 2)

दिया गया है कि परिमाप 36 मीटर है, हम π ≈ 22/7 का मान प्रतिस्थापित कर सकते हैं: r(22/7 + 2) = 36 r(36/7) = 36 r = 7 मीटर

अर्धवृत्त का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा दिया जाता है: क्षेत्रफल = ½ π r²

r = 7 मीटर और π ≈ 22/7 का मान सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: क्षेत्रफल = ½ × (22/7) × 7² क्षेत्रफल = 11 × 7 क्षेत्रफल = 77 वर्ग मीटर

व्याख्या

यह पता लगाने के लिए कि समीकरणों 25x + 75y = 225 और x = 9 के ग्राफ किस बिंदु पर मिलते हैं, हम पहले समीकरण में x = 9 का मान प्रतिस्थापित करते हैं:

25(9) + 75y = 225

225 + 75y = 225

दोनों पक्षों से 225 घटाने पर:

75y = 0

y = 0

इसलिए, प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक (9, 0) हैं।

व्याख्या

मानक बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: a² + b² + c² - ab - bc - ca = ½ [(a - b)² + (b - c)² + (c - a)²]

हम पहले दिए गए चरों के बीच अंतर की गणना करते हैं: a - b = (x + y) - (x - y) = 2y b - c = (x - y) - (x + 2y) = -3y c - a = (x + 2y) - (x + y) = y

इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर: ½ [(2y)² + (-3y)² + (y)²] = ½ [4y² + 9y² + y²] = ½ [14y²] = 7y²

व्याख्या

दिया गया समीकरण cos θ cosec 23° = 1 है।

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका, cosec A = 1 / sin A का उपयोग करके, समीकरण को इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है: cos θ × (1 / sin 23°) = 1 cos θ = sin 23°

सह-फलन सर्वसमिका, sin A = cos(90° - A) लागू करने पर: cos θ = cos(90° - 23°) cos θ = cos 67°

दोनों पक्षों की तुलना करने पर प्राप्त होता है: θ = 67°

व्याख्या

दी गई श्रेणी sin²5° + sin²10° + sin²15° + ... + sin²85° + sin²90° है।

कोण 5° से 90° तक 5° के सार्व अंतर के साथ एक समांतर श्रेणी बनाते हैं। चूँकि 90 ÷ 5 = 18, श्रेणी में 18 पद हैं।

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin(90° - θ) = cos θ का उपयोग करके, हमें sin²(90° - θ) = cos²θ प्राप्त होता है। इसलिए, हम sin²θ + sin²(90° - θ) = sin²θ + cos²θ = 1 संबंध का उपयोग करके पदों को युग्मित कर सकते हैं।

हम पहले 16 पदों को 8 युग्मों में समूहित कर सकते हैं: (sin²5° + sin²85°) + (sin²10° + sin²80°) + ... + (sin²40° + sin²50°)

इन 8 युग्मों में से प्रत्येक का योग 1 है, जो 8 का मान देता है।

शेष दो पद जो इन युग्मों का हिस्सा नहीं हैं, वे sin²45° और sin²90° हैं। उनका अलग-अलग मूल्यांकन करने पर: sin²45° = (1/√2)² = ½ sin²90° = 1² = 1

सभी घटकों का योग करने पर: कुल योग = (8 × 1) + ½ + 1 = 9½

व्याख्या

मान लीजिए खंभा h ऊँचाई पर टूटता है। चूँकि खंभे की कुल ऊँचाई 15 फुट है, इसलिए टूटे हुए भाग की लंबाई जो जमीन को छूने के लिए मुड़ जाती है, 15 - h है।

यह विन्यास जमीन के साथ एक समकोण त्रिभुज बनाता है, जहाँ ऊर्ध्वाधर भुजा h है, कर्ण 15 - h है, और जमीन से उन्नयन कोण 30° है।

साइन त्रिकोणमितीय अनुपात का उपयोग करके: sin 30° = ऊँचाई / कर्ण ½ = h / (15 - h)

दोनों पक्षों को गुणा करने पर: 15 - h = 2h 3h = 15 h = 5 फुट

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज ABC में जहाँ ∠BAC = 90° और AD, BC पर लंब है, कर्ण BC पर शीर्षलंब AD ज्यामितीय माध्य प्रमेय को संतुष्ट करता है:

AD² = BD × CD

दिए गए मान AD = 6 सेमी और BD = 4 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर:

6² = 4 × CD 36 = 4 × CD CD = 9 सेमी

कर्ण BC की कुल लंबाई दो खंडों BD और CD का योग है:

BC = BD + CD BC = 4 + 9 = 13 सेमी

व्याख्या

वृत्त की एक जीवा द्वारा केंद्र पर बनाया गया कोण, उसी जीवा द्वारा वृत्त के शेष भाग पर किसी भी बिंदु पर बनाए गए कोण का दोगुना होता है।

जीवा CD के लिए, केंद्र O पर बनाया गया कोण ∠COD = 140° है। इसलिए, उसी जीवा द्वारा परिधि पर बिंदु A पर बनाया गया कोण ∠CAD = ½ × ∠COD = ½ × 140° = 70° है।

शीर्ष A पर कुल कोण ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD है। ∠BAC = 40° का दिया गया मान रखने पर, हमें ∠BAD = 40° + 70° = 110° प्राप्त होता है।

एक चक्रीय चतुर्भुज ABCD में, सम्मुख कोणों का योग 180° होता है। चूँकि ∠BAD और ∠BCD सम्मुख कोण हैं, इसलिए ∠BAD + ∠BCD = 180°।

∠BAD का मान रखने पर 110° + ∠BCD = 180° प्राप्त होता है, जिससे ∠BCD = 70° मिलता है।

व्याख्या

समरूप त्रिभुजों के गुणों के अनुसार, दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है:

Area(ΔABC) / Area(ΔDEF) = (AB / DE)²

दिए गए मान AB = 10 सेमी और DE = 8 सेमी को संबंध में प्रतिस्थापित करने पर:

Area(ΔABC) / Area(ΔDEF) = (10 / 8)² = (5 / 4)² = 25 / 16

व्याख्या

कुल कार्य को दिए गए दिनों की संख्या का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) माना जाता है, जो कि 36, 60 और 45 का LCM है।

LCM(36, 60, 45) = 180 इकाई

अब, प्रत्येक जोड़ी की दैनिक कार्य क्षमता ज्ञात करें: A और B की क्षमता = 180 / 36 = 5 इकाई प्रति दिन B और C की क्षमता = 180 / 60 = 3 इकाई प्रति दिन A और C की क्षमता = 180 / 45 = 4 इकाई प्रति दिन

इन तीन समीकरणों को जोड़ने पर तीनों के एक साथ काम करने की संयुक्त क्षमता दोगुनी प्राप्त होती है: 2 × (A + B + C की क्षमता) = 5 + 3 + 4 = 12 इकाई प्रति दिन A + B + C की क्षमता = 12 / 2 = 6 इकाई प्रति दिन

C की व्यक्तिगत क्षमता ज्ञात करने के लिए, A और B की क्षमता को कुल क्षमता से घटाएं: C की क्षमता = (A + B + C की क्षमता) - (A + B की क्षमता) = 6 - 5 = 1 इकाई प्रति दिन

C द्वारा अकेले काम पूरा करने में लिया गया समय है: समय = कुल कार्य / C की क्षमता = 180 / 1 = 180 दिन

व्याख्या

कुल कार्य को व्यक्तिगत दिनों 16, 24 और 8 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) के रूप में माना जा सकता है, जो 48 इकाई है।

पहले पुरुष की दक्षता = 48 ÷ 16 = 3 इकाई प्रति दिन। दूसरे पुरुष की दक्षता = 48 ÷ 24 = 2 इकाई प्रति दिन। तीनों पुरुषों की एक साथ काम करने की संयुक्त दक्षता = 48 ÷ 8 = 6 इकाई प्रति दिन।

तीसरे पुरुष की दक्षता = संयुक्त दक्षता - (पहले पुरुष की दक्षता + दूसरे पुरुष की दक्षता) = 6 - (3 + 2) = 1 इकाई प्रति दिन।

चूंकि वे सभी समान अवधि 8 दिनों के लिए एक साथ काम करते हैं, इसलिए कुल मजदूरी को उनकी दैनिक दक्षता के अनुपात में साझा किया जाता है।

तीनों पुरुषों के हिस्से का अनुपात = 3 : 2 : 1 अनुपात पदों का योग = 3 + 2 + 1 = 6

तीसरे पुरुष का हिस्सा = (1/6) × 960 = 160

व्याख्या

मान लीजिए x और y दो प्राकृतिक संख्याएँ हैं जैसे कि x² - y² = 45। वर्गों के अंतर के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके, इस समीकरण को (x - y)(x + y) = 45 के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है।

चूंकि x और y प्राकृतिक संख्याएँ हैं, इसलिए (x - y) और (x + y) दोनों पूर्णांक होने चाहिए। क्योंकि x + y धनात्मक होना चाहिए और उनका गुणनफल 45 है, दोनों गुणनखंड धनात्मक पूर्णांक होने चाहिए, जहाँ x + y > x - y।

मान लीजिए a = x - y और b = x + y। इस प्रकार, a और b, 45 के धनात्मक गुणनखंड हैं जैसे कि ab = 45 और a < b।

45 के धनात्मक गुणनखंड युग्म हैं: 1 × 45 = 45 3 × 15 = 45 5 × 9 = 45

समीकरणों की प्रणाली से x और y के लिए हल करने पर: x = (b + a)/2 y = (b - a)/2

तीनों गुणनखंड युग्मों में से प्रत्येक के लिए, a और b दोनों विषम हैं, जिसका अर्थ है कि उनका योग और अंतर हमेशा सम होता है। यह गारंटी देता है कि x और y पूर्णांक होंगे। चूंकि b > a, y कम से कम 1 है, इसलिए x और y दोनों प्राकृतिक संख्याएँ हैं।

(1, 45) के लिए: x = 23, y = 22 (3, 15) के लिए: x = 9, y = 6 (5, 9) के लिए: x = 7, y = 2

इससे प्राकृतिक संख्याओं के ठीक 3 युग्म प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

दी गई श्रेणी एक समांतर श्रेणी है जिसका पहला पद a = 2, सार्व अंतर d = 2, और अंतिम पद aₙ = 198 है।

समांतर श्रेणी के nवें पद के सूत्र का उपयोग करके: aₙ = a + (n - 1)d

पदों की कुल संख्या, n ज्ञात करने के लिए मानों को प्रतिस्थापित करना: 198 = 2 + (n - 1) × 2 196 = (n - 1) × 2 98 = n - 1 n = 99

चूंकि पदों की कुल संख्या 99 है, जो विषम है, इसलिए केवल एक मध्य पद है। इस मध्य पद की स्थिति है: (n + 1)/2 = (99 + 1)/2 = 50वां पद

50वें पद का मान है: a₅₀ = a + (50 - 1)d a₅₀ = 2 + 49 × 2 a₅₀ = 2 + 98 a₅₀ = 100

व्याख्या

अंश में दशमलव स्थानों की कुल संख्या 4 + 4 + 3 = 11 है, और हर में 3 + 4 + 4 = 11 है। चूँकि दशमलव स्थानों की संख्या बराबर है, हम व्यंजक को सरल बनाने के लिए दशमलव बिंदुओं को पूरी तरह से हटा सकते हैं:

(3555 × 5555 × 2025) / (225 × 17775 × 2222)

हम इसे संगत पदों को समूहित करके सरल बना सकते हैं:

3555 / 17775 = 1/5

5555 / 2222 = 5/2

2025 / 225 = 9

इन सरलीकृत अनुपातों को एक साथ गुणा करने पर:

(1/5) × (5/2) × 9 = 9/2 = 4.5

व्याख्या

कुल मजदूरी की गणना श्रमिकों की संख्या और प्रति श्रमिक व्यक्तिगत मजदूरी के गुणनफल के रूप में की जाती है।

प्रारंभिक कुल मजदूरी : नई कुल मजदूरी = (प्रारंभिक श्रमिकों की संख्या × प्रारंभिक व्यक्तिगत मजदूरी) : (नई श्रमिकों की संख्या × नई व्यक्तिगत मजदूरी)

दिए गए अनुपातों को प्रतिस्थापित करने पर: प्रारंभिक कुल मजदूरी : नई कुल मजदूरी = (15 × 22) : (11 × 25) प्रारंभिक कुल मजदूरी : नई कुल मजदूरी = 330 : 275

दोनों पदों को 55 से विभाजित करने पर: 330 / 55 : 275 / 55 = 6 : 5

श्रमिकों की कुल मजदूरी में 6 : 5 के अनुपात से कमी होती है।

व्याख्या

दो क्रमिक छूटों d₁% और d₂% की समतुल्य छूट दर निम्न सूत्र द्वारा दी जाती है:

समकक्ष छूट = d₁ + d₂ - (d₁ × d₂)/100

d₁ = 8 और d₂ = 8 रखने पर:

समकक्ष छूट = 8 + 8 - (8 × 8)/100 = 16 - 0.64 = 15.36%

दुकानदार इस क्रमिक छूट की तुलना 16% की एकल छूट से करता है। छूट दर में अंतर है:

16% - 15.36% = 0.64%

दो क्रमिक छूटों के बजाय एकल 16% छूट देने से होने वाला नुकसान अंकित मूल्य का 0.64% है:

नुकसान = 400 का 0.64% = (0.64/100) × 400 = 2.56

व्याख्या

d₁% और d₂% की दो क्रमिक छूटों के बराबर एकल प्रभावी छूट का सूत्र है:

प्रभावी छूट = d₁ + d₂ - (d₁ × d₂) ÷ 100

दिए गए क्रमिक छूट मानों d₁ = 30 और d₂ = 30 को प्रतिस्थापित करने पर:

प्रभावी छूट = 30 + 30 - (30 × 30) ÷ 100 प्रभावी छूट = 60 - 900 ÷ 100 प्रभावी छूट = 60 - 9 प्रभावी छूट = 51%

व्याख्या

2000 प्रतियों का कुल लागत मूल्य ₹70,000 है।

बिक्री के लिए उपलब्ध पुस्तकों की संख्या कुल मुद्रित प्रतियों में से मुफ्त नमूना प्रतियों को घटाकर है: 2000 - 400 = 1600 प्रतियां

₹75 के मुद्रित मूल्य पर 30% छूट के बाद प्रत्येक पुस्तक का विक्रय मूल्य है: 75 × (1 - 0.30) = 75 × 0.70 = ₹52.5

1600 पुस्तकों को बेचने से प्राप्त कुल विक्रय मूल्य है: 1600 × 52.5 = ₹84,000

चूंकि ₹84,000 का कुल विक्रय मूल्य ₹70,000 के कुल लागत मूल्य से अधिक है, इसलिए लाभ है: लाभ = 84,000 - 70,000 = ₹14,000

लाभ प्रतिशत की गणना इस प्रकार की जाती है: (लाभ / कुल लागत मूल्य) × 100 = (14,000 / 70,000) × 100 = 20%

व्याख्या

मान लीजिए कुल पूंजी को 1 से दर्शाया गया है।

निवेशित पूंजी के अंश हैं: पहला भाग = 1/4 दूसरा भाग = 2/3 शेष = 1 - (1/4 + 2/3) = 1 - 11/12 = 1/12

पूरी पूंजी पर प्राप्त ब्याज का भारित औसत, पूंजी के प्रत्येक अंश को उसकी संबंधित ब्याज दर से गुणा करके और उन्हें जोड़कर गणना की जाती है:

औसत ब्याज दर = (1/4 × 3%) + (2/3 × 5%) + (1/12 × 11%)

इन पदों को जोड़ने के लिए, हम 12 का एक सामान्य भाजक ज्ञात करते हैं:

औसत ब्याज दर = (9/12)% + (40/12)% + (11/12)% औसत ब्याज दर = (9 + 40 + 11)/12 % औसत ब्याज दर = 60/12 % औसत ब्याज दर = 5%

व्याख्या

3 के प्रथम पाँच विषम गुणज प्रथम पाँच विषम प्राकृतिक संख्याओं: 1, 3, 5, 7, और 9 को 3 से गुणा करके प्राप्त किए जाते हैं। इससे अनुक्रम 3, 9, 15, 21, और 27 प्राप्त होता है।

चूंकि ये संख्याएँ 6 के एक स्थिर सार्व अंतर के साथ एक अंकगणितीय श्रेणी बनाती हैं, औसत अनुक्रम के मध्य पद के बराबर होता है। 5 पदों के अनुक्रम के लिए, मध्य पद तीसरा पद होता है, जो 15 है।

वैकल्पिक रूप से, किसी भी अंकगणितीय श्रेणी का औसत सूत्र द्वारा दिया जाता है:

औसत = (प्रथम पद + अंतिम पद) / 2

औसत = (3 + 27) / 2 = 15

व्याख्या

मान लीजिए मिश्र धातु A और मिश्र धातु B की मात्राएँ बराबर हैं।

मिश्र धातु A में, सोने और तांबे का अनुपात 7:2 है, जिससे कुल 7 + 2 = 9 भाग होते हैं। मिश्र धातु B में, सोने और तांबे का अनुपात 7:11 है, जिससे कुल 7 + 11 = 18 भाग होते हैं।

मात्राओं को बराबर करने के लिए, हम 9 और 18 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करते हैं, जो कि 18 है।

मिश्र धातु A के अनुपात भागों को 2 से गुणा करने पर प्राप्त होता है: मिश्र धातु A में सोना : मिश्र धातु A में तांबा = 14 : 4

मिश्र धातु B के लिए, अनुपात वही रहता है: मिश्र धातु B में सोना : मिश्र धातु B में तांबा = 7 : 11

जब दोनों मिश्र धातुओं की बराबर मात्राओं को मिलाकर C बनाया जाता है, तो हम सोने और तांबे की संगत मात्राओं को जोड़ते हैं: C में कुल सोना = 14 + 7 = 21 C में कुल तांबा = 4 + 11 = 15

मिश्र धातु C में सोने और तांबे का अनुपात 21 : 15 है, जो सरल होकर 7 : 5 हो जाता है।

व्याख्या

मान लीजिए तरल पदार्थ A और B का प्रारंभिक अनुपात 7:5 है। जब 9 लीटर मिश्रण निकाला जाता है, तो शेष मिश्रण में A और B का अनुपात 7:5 ही रहता है।

जब इस शेष मिश्रण में 9 लीटर तरल B मिलाया जाता है, तो A और B का अनुपात 7:9 हो जाता है।

चूंकि केवल तरल B मिलाया गया है, इसलिए तरल A की मात्रा अपरिवर्तित रहती है। अनुपात 7:5 और 7:9 में, A का प्रतिनिधित्व करने वाला अनुपात पद वास्तव में 7 पर स्थिर है।

तरल B में वृद्धि 5 भागों से 9 भागों तक है, जो 4 भागों का अंतर है। 4 भागों का यह अंतर सीधे मिलाए गए 9 लीटर तरल B के बराबर है: 4 भाग = 9 लीटर

अंतिम मिश्रण का कुल आयतन 7 + 9 = 16 भाग है। चूंकि निकाले गए मिश्रण का आयतन मिलाए गए B के आयतन के बराबर है, इसलिए अंतिम मिश्रण का कुल आयतन मिश्रण के प्रारंभिक कुल आयतन के बराबर है: प्रारंभिक कुल आयतन = (9 ÷ 4) × 16 = 36 लीटर

प्रारंभ में, तरल A और B का अनुपात 7:5 था, जिसका अर्थ है कि तरल A कुल आयतन का 7/12 भाग था। तरल A का प्रारंभिक आयतन = (7 ÷ 12) × 36 = 21 लीटर

व्याख्या

मिश्रण विधि का उपयोग करके, वर्ग A में छात्रों की संख्या का वर्ग B में छात्रों की संख्या से अनुपात इस प्रकार निकाला जाता है: (वर्ग B का औसत - समग्र औसत) : (समग्र औसत - वर्ग A का औसत)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: (40 - 30) : (30 - 25) = 10 : 5 = 2 : 1

व्याख्या

a% और b% के क्रमिक प्रतिशत परिवर्तनों के लिए शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन सूत्र द्वारा दिया जाता है: शुद्ध परिवर्तन % = a + b + (ab / 100)

यहां, वेतन को पहले 10% बढ़ाया जाता है (इसलिए a = 10) और फिर 10% घटाया जाता है (इसलिए b = -10)। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: शुद्ध परिवर्तन % = 10 - 10 + (10 × -10) / 100 = -1%

1% का ऋणात्मक मान समग्र वेतन में 1% की कमी को दर्शाता है।

व्याख्या

मान लीजिए किशन का कुल मासिक वेतन S है। भोजन और दान दोनों पर खर्च किए गए वेतन का कुल प्रतिशत व्यक्तिगत प्रतिशत का योग है:

कुल खर्च प्रतिशत = 30% + 3% = 33%

इस कुल प्रतिशत के संगत मान ₹ 2,310 दिया गया है। कुल वेतन S ज्ञात करने का संबंध है:

S का 33% = 2,310

(33 / 100) × S = 2,310

S = (2,310 × 100) / 33

S = 70 × 100 = 7,000

व्याख्या

रेलगाड़ी की लंबाई मीटर में ज्ञात करने के लिए, गति को पहले किमी/घंटा से मी/सेकंड में बदलना होगा।

किमी/घंटा को मी/सेकंड में बदलने के लिए, गति को 5/18 से गुणा करें:

गति = 90 × 5/18 = 25 मी/सेकंड

जब कोई रेलगाड़ी सिग्नल पोस्ट को पार करती है, तो वह जितनी दूरी तय करती है वह उसकी अपनी लंबाई के बराबर होती है। दूरी के मानक सूत्र का उपयोग करके:

दूरी = गति × समय

रेलगाड़ी की लंबाई = 25 मी/सेकंड × 10 सेकंड = 250 मीटर

व्याख्या

चूंकि पूरे सौदे में कोई शुद्ध लाभ या हानि नहीं है, इसलिए पहले पंखे पर अर्जित लाभ दूसरे पंखे पर हुई हानि के बराबर होना चाहिए। मान लीजिए CP₁ और CP₂ दो पंखों के क्रय मूल्य हैं।

CP₁ का 15% = CP₂ का 9% CP₁ / CP₂ = 9 / 15 = 3 / 5

दो पंखों के क्रय मूल्यों का अनुपात 3 : 5 है, जिसका अर्थ है कि अनुपात पदों का योग 3 + 5 = 8 है।

पहले पंखे का क्रय मूल्य = (3 / 8) × 2160 = 810 दूसरे पंखे का क्रय मूल्य = (5 / 8) × 2160 = 1350

व्याख्या

विक्रय मूल्य (SP), हानि प्रतिशत और लाभ प्रतिशत के बीच संबंध को सूत्र का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है:

नया SP = प्रारंभिक SP × (100 + लाभ%) / (100 - हानि%)

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

नया SP = 720 × (100 + 25) / (100 - 25)

नया SP = 720 × 125 / 75

भिन्न 125/75 को 5/3 के रूप में सरल करने पर:

नया SP = 720 × 5 / 3

नया SP = 240 × 5

नया SP = 1200

व्याख्या

मान लीजिए A के लिए साइकिल का क्रय मूल्य x है।

A, B को 10% लाभ पर साइकिल बेचता है, इसलिए B के लिए क्रय मूल्य है: x × (1 + 10/100) = 1.1x

B, C को 20% लाभ पर साइकिल बेचता है, इसलिए C के लिए क्रय मूल्य है: 1.1x × (1 + 20/100) = 1.1x × 1.2 = 1.32x

दिया गया है कि C साइकिल के लिए ₹ 264 का भुगतान करता है: 1.32x = 264 x = 264 / 1.32 = 200

व्याख्या

मान लीजिए दो प्राकृतिक संख्याएँ x और y हैं, जहाँ x > y है। प्रश्न के अनुसार: x² - y² = 45

वर्गों के अंतर के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: (x - y)(x + y) = 45

चूंकि x और y प्राकृतिक संख्याएँ हैं, इसलिए (x - y) और (x + y) दोनों धनात्मक पूर्णांक होने चाहिए, जहाँ (x + y) > (x - y) है। हम 45 को दो धनात्मक पूर्णांकों के गुणनफल के रूप में निम्नलिखित तरीकों से व्यक्त कर सकते हैं: 45 = 1 × 45 45 = 3 × 15 45 = 5 × 9

हम इन प्रत्येक गुणनखंड युग्मों के लिए x और y का मान ज्ञात कर सकते हैं:

युग्म 1 और 45 के लिए: x - y = 1 और x + y = 45 इन समीकरणों को जोड़ने पर 2x = 46 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है x = 23। x का मान प्रतिस्थापित करने पर y = 22 प्राप्त होता है। इससे प्राकृतिक संख्याओं का युग्म (23, 22) प्राप्त होता है।

युग्म 3 और 15 के लिए: x - y = 3 और x + y = 15 इन समीकरणों को जोड़ने पर 2x = 18 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है x = 9। x का मान प्रतिस्थापित करने पर y = 6 प्राप्त होता है। इससे प्राकृतिक संख्याओं का युग्म (9, 6) प्राप्त होता है।

युग्म 5 और 9 के लिए: x - y = 5 और x + y = 9 इन समीकरणों को जोड़ने पर 2x = 14 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है x = 7। x का मान प्रतिस्थापित करने पर y = 2 प्राप्त होता है। इससे प्राकृतिक संख्याओं का युग्म (7, 2) प्राप्त होता है।

इस प्रकार, प्राकृतिक संख्याओं के ऐसे ठीक 3 युग्म हैं।

व्याख्या

दी गई श्रेणी 2 + 4 + 6 + ... + 198 एक समांतर श्रेणी है जहाँ पहला पद a = 2 और सार्व अंतर d = 2 है।

समांतर श्रेणी के nवें पद का सूत्र है: a_n = a + (n - 1)d

पदों की कुल संख्या ज्ञात करने के लिए अंतिम पद को प्रतिस्थापित करना: 198 = 2 + (n - 1) × 2 196 = (n - 1) × 2 98 = n - 1 n = 99

चूंकि पदों की कुल संख्या n, 99 (एक विषम संख्या) है, इसलिए केवल एक मध्य पद है, जो 50वां पद है: (n + 1) / 2 = (99 + 1) / 2 = 50

हम nवें पद के सूत्र का उपयोग करके इस 50वें पद का मान ज्ञात करते हैं: a₅0 = a + (50 - 1)d a₅0 = 2 + 49 × 2 a₅0 = 2 + 98 a₅0 = 100

व्याख्या

व्यंजक को हल करने के लिए, सबसे पहले अंश और हर में दशमलव स्थानों की कुल संख्या गिनें।

अंश में: 0.3555 में 4 दशमलव स्थान हैं। 0.5555 में 4 दशमलव स्थान हैं। 2.025 में 3 दशमलव स्थान हैं। अंश में कुल दशमलव स्थान = 11।

हर में: 0.225 में 3 दशमलव स्थान हैं। 1.7775 में 4 दशमलव स्थान हैं। 0.2222 में 4 दशमलव स्थान हैं। हर में कुल दशमलव स्थान = 11।

चूंकि अंश और हर दोनों में 11 दशमलव स्थान हैं, हम दशमलव बिंदु हटा सकते हैं: (3555 × 5555 × 2025) / (225 × 17775 × 2222)

अब, संख्याओं को चरण-दर-चरण सरल करें: सबसे पहले, 17775 को 3555 से विभाजित करें: 17775 ÷ 3555 = 5

अगला, 5555 और 2222 दोनों को 1111 से विभाजित करें: 5555 ÷ 1111 = 5 2222 ÷ 1111 = 2

इन मानों को व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करें: (1 × 5 × 2025) / (225 × 5 × 2)

अंश और हर से 5 के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें: 2025 / (225 × 2)

2025 को 225 से विभाजित करें: 2025 ÷ 225 = 9

यह शेष रहता है: 9 / 2 = 4.5

व्याख्या

कुल कार्य 36, 60 और 45 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है। LCM(36, 60, 45) = 180 इकाई।

दैनिक कार्य दर (दक्षता) की गणना इस प्रकार की जाती है: A और B की दक्षता = 180 / 36 = 5 इकाई प्रति दिन B और C की दक्षता = 180 / 60 = 3 इकाई प्रति दिन A और C की दक्षता = 180 / 45 = 4 इकाई प्रति दिन

इन दक्षताओं को जोड़ने पर प्राप्त होता है: 2 × (A + B + C की दक्षता) = 5 + 3 + 4 = 12 इकाई प्रति दिन A + B + C की दक्षता = 12 / 2 = 6 इकाई प्रति दिन

अकेले C की दक्षता ज्ञात करने के लिए: C की दक्षता = (A + B + C की दक्षता) - (A + B की दक्षता) C की दक्षता = 6 - 5 = 1 इकाई प्रति दिन

अकेले C द्वारा कुल कार्य पूरा करने में लिया गया दिनों की संख्या है: 180 इकाई / 1 इकाई प्रति दिन = 180 दिन।

व्याख्या

मान लीजिए A और B दो आदमी हैं, और C तीसरा आदमी है। A द्वारा लिया गया दिनों की संख्या 16 है, B द्वारा 24 है, और A, B, और C एक साथ 8 दिन लेते हैं।

कुल कार्य 16, 24, और 8 का LCM है, जो 48 इकाई है।

A का दैनिक कार्य = 48 / 16 = 3 इकाई B का दैनिक कार्य = 48 / 24 = 2 इकाई A, B, और C का एक साथ दैनिक कार्य = 48 / 8 = 6 इकाई

इसलिए, C का दैनिक कार्य = 6 - 3 - 2 = 1 इकाई।

चूंकि वे सभी 8 दिनों की पूरी अवधि के लिए एक साथ काम करते हैं, मजदूरी को उनके दैनिक कार्य (दक्षताओं) के अनुपात में विभाजित किया जाता है, जो A : B : C = 3 : 2 : 1 है।

तीसरे आदमी C का हिस्सा = (1 / 6) × 960 = 160।

व्याख्या

दो क्रमागत छूट d₁% और d₂% की शुद्ध समतुल्य छूट के लिए सूत्र है: शुद्ध छूट = d₁ + d₂ - (d₁ × d₂)/100

8% की दो क्रमागत छूटों को प्रतिस्थापित करने पर: शुद्ध छूट = 8 + 8 - (8 × 8)/100 = 16 - 0.64 = 15.36%

यदि दुकानदार 16% की एकल छूट प्रदान करता है, तो इस एकल छूट और क्रमागत छूटों के बीच का अंतर है: अंतर = 16% - 15.36% = 0.64%

₹400 के अंकित मूल्य पर दुकानदार को होने वाला अतिरिक्त नुकसान है: नुकसान = 400 × 0.64% = 400 × 0.0064 = 2.56

व्याख्या

d₁% और d₂% की दो क्रमिक छूटों के लिए प्रभावी छूट का सूत्र इस प्रकार दिया गया है:

प्रभावी छूट = d₁ + d₂ - (d₁ × d₂) / 100

सूत्र में d₁ = 30 और d₂ = 30 रखने पर:

प्रभावी छूट = 30 + 30 - (30 × 30) / 100 प्रभावी छूट = 60 - 900 / 100 प्रभावी छूट = 60 - 9 प्रभावी छूट = 51%

व्याख्या

2000 प्रतियों की छपाई की कुल लागत ₹70,000 है।

400 मुफ्त नमूना प्रतियों को घटाने पर, बिक्री के लिए उपलब्ध प्रतियों की संख्या है: 2000 - 400 = 1600 प्रतियां

₹75 के मुद्रित मूल्य पर 30% की छूट के बाद प्रत्येक पुस्तक का विक्रय मूल्य है: 75 × (1 - 0.30) = ₹52.5

1600 प्रतियों की बिक्री से कुल राजस्व है: 1600 × 52.5 = ₹84,000

बिक्री से प्राप्त लाभ है: 84,000 - 70,000 = ₹14,000

लाभ प्रतिशत है: (14,000 / 70,000) × 100 = 20%

व्याख्या

किसी कारखाने का कुल मजदूरी बिल निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है: कुल मजदूरी = श्रमिकों की संख्या × प्रति श्रमिक मजदूरी

मान लीजिए श्रमिकों की प्रारंभिक संख्या 15x है और कम की गई श्रमिकों की संख्या 11x है। इसी प्रकार, मान लीजिए प्रति श्रमिक प्रारंभिक मजदूरी 22y है और बढ़ी हुई प्रति श्रमिक मजदूरी 25y है।

प्रारंभिक कुल मजदूरी = 15x × 22y = 330xy नई कुल मजदूरी = 11x × 25y = 275xy

जिस अनुपात में कुल मजदूरी कम हुई है, वह प्रारंभिक कुल मजदूरी और नई कुल मजदूरी का अनुपात है: 330xy : 275xy = 330 : 275

दोनों पदों को 55 से विभाजित करने पर अनुपात सरल हो जाता है: 6 : 5

व्याख्या

नई मिश्र धातु C में सोना और तांबे का अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम दोनों मिश्र धातुओं की बराबर मात्राएँ ले सकते हैं।

मिश्र धातु A में, सोने और तांबे का अनुपात 7:2 है, जिसका योग 7 + 2 = 9 भाग है। मिश्र धातु B में, सोने और तांबे का अनुपात 7:11 है, जिसका योग 7 + 11 = 18 भाग है।

बराबर मात्राओं के साथ आसानी से गणना करने के लिए, हम 9 और 18 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करते हैं, जो कि 18 है। मान लीजिए कि प्रत्येक मिश्र धातु की 18 इकाइयाँ एक साथ पिघलाई जाती हैं।

मिश्र धातु A की 18 इकाइयों के लिए: सोना = (7/9) × 18 = 14 इकाइयाँ तांबा = (2/9) × 18 = 4 इकाइयाँ

मिश्र धातु B की 18 इकाइयों के लिए: सोना = (7/18) × 18 = 7 इकाइयाँ तांबा = (11/18) × 18 = 11 इकाइयाँ

नई मिश्र धातु C में: कुल सोना = 14 + 7 = 21 इकाइयाँ कुल तांबा = 4 + 11 = 15 इकाइयाँ

मिश्र धातु C में सोने और तांबे का अनुपात है: 21 : 15 = 7 : 5