एसएससी सीजीएल टियर 1 2020 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

एक समांतर श्रेणी (arithmetic progression) में, n क्रमागत पदों का औसत मध्य मान होता है। पाँच क्रमागत सम संख्याओं के लिए, औसत M तीसरे पद के संगत होता है। मान लीजिए कि संख्याएँ x, x+2, x+4, x+6, x+8 हैं। इस प्रकार, M = x+4। जब अगली पाँच सम संख्याओं (x+10, x+12, x+14, x+16, x+18) को शामिल किया जाता है, तो इस समूह में दस पद हो जाते हैं। एक समांतर श्रेणी में दस क्रमागत पदों का औसत दो मध्य पदों का माध्य होता है, जो कि पाँचवाँ और छठा पद हैं। पाँचवाँ पद x+8 है और छठा पद x+10 है। नया औसत ((x+8) + (x+10))/(2) = x+9 है। चूंकि M = x+4 है, इसलिए नए औसत x+9 को (x+4) + 5 के रूप में लिखा जा सकता है, जो M+5 के बराबर है। अधिक सामान्य रूप से, सार्व अंतर (common difference) d वाली किसी भी समांतर श्रेणी के लिए, यदि k उत्तरवर्ती पदों को जोड़ा जाता है, तो औसत में (k × d)/(2) की वृद्धि होती है। इस मामले में, d=2 और k=5 है, जिससे (5 × 2)/(2) = 5 की वृद्धि होती है।

व्याख्या

BODMAS नियम के अनुसार, संक्रियाओं को भाग, गुणा, फिर जोड़/घटाव के क्रम में किया जाना चाहिए।

सबसे पहले, भाग की संक्रिया करें: ³⁄₂ ÷ 6 = ³⁄₂ × ⅙ = ¼

इसके बाद, प्राप्त भागफल के साथ गुणा की संक्रिया करें: ¼ × ½ = ⅛

अब, इसे मूल व्यंजक में रखें: -⁵⁄₂ + ⅛

इन भिन्नों को जोड़ने के लिए, एक उभयनिष्ठ हर (common denominator) ज्ञात करें, जो कि 8 है: -(5 × 4)/(2 × 4) + ⅛ = -²⁰⁄₈ + ⅛

उभयनिष्ठ हर के साथ अंशों को मिलाने पर प्राप्त होता है: (-20 + 1)/(8) = -¹⁹⁄₈

व्याख्या

दिया गया व्यंजक बीजगणितीय सर्वसमिका X² - Y² = (X + Y)(X - Y) का अनुसरण करता है।

माना X = (a + b - c + d) और Y = (a - b + c - d)।

सबसे पहले, योग (X + Y) की गणना करें: X + Y = (a + b - c + d) + (a - b + c - d) X + Y = a + a + b - b - c + c + d - d X + Y = 2a

इसके बाद, अंतर (X - Y) की गणना करें: X - Y = (a + b - c + d) - (a - b + c - d) X - Y = a - a + b - (-b) - c - c + d - (-d) X - Y = 2b - 2c + 2d X - Y = 2(b - c + d)

अब, योग और अंतर का गुणा करें: (X + Y)(X - Y) = (2a) · [2(b - c + d)] परिणाम = 4a(b - c + d)

विकल्पों के प्रारूप से मिलान करने के लिए कोष्ठक के भीतर के पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें 4a(b + d - c) प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण 2sin θ - 8cos² θ + 5 = 0 है। सर्वसमिका cos² θ = 1 - sin² θ का उपयोग करके, हम समीकरण को sin θ के पदों में फिर से लिख सकते हैं:

2sin θ - 8(1 - sin² θ) + 5 = 0 2sin θ - 8 + 8sin² θ + 5 = 0 8sin² θ + 2sin θ - 3 = 0

मध्य पद को विभाजित करके द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: 8sin² θ + 6sin θ - 4sin θ - 3 = 0 2sin θ (4sin θ + 3) - 1(4sin θ + 3) = 0 (2sin θ - 1)(4sin θ + 3) = 0

इससे sin θ = 1/2 या sin θ = -3/4 प्राप्त होता है। चूँकि 0° < θ < 90° है, इसलिए sin θ = 1/2 होगा, जिससे θ = 30° प्राप्त होता है।

मान ज्ञात किया जाने वाला व्यंजक tan 2θ + cosec 2θ है। θ = 30° रखने पर: tan(2 × 30°) + cosec(2 × 30°) = tan 60° + cosec 60°

tan 60° = √3 cosec 60° = (2)/(√(3))

इन मानों को जोड़ने पर: √3 + (2)/(√(3)) = (3 + 2)/(√(3)) = (5)/(√(3))

परिणाम का परिमेयकरण करने के लिए अंश और हर को √3 से गुणा करने पर: (5)/(√(3)) × (√3)/(√3) = (5√3)/(3)

व्याख्या

माना दौड़ की दूरी D मीटर है। सूत्र समय = दूरी / गति का उपयोग करते हुए, समय का अंतर D/100 - D/120 = 10 है, जिसे सरल करने पर (6D - 5D)/600 = 10 प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप D = 6000 मीटर या 6 किमी आता है।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय अनुपातों के मानक मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: tan 30° = (1)/(√(3)), tan 60° = √3, और cos 30° = √3{2}।

सबसे पहले, अंश को सरल करें: tan 30° + tan 60° = (1)/(√(3)) + √3 = 1 + (√3 · √3){√3} = (1 + 3)/(√(3)) = (4)/(√(3))

अब, सरलीकृत अंश को हर से विभाजित करें: (4)/(√(3)){√3{2}} = (4)/(√(3)) × (2)/(√(3))

अंशों और हरों का गुणा करने पर प्राप्त होता है: (4 × 2)/(√(3) × 3) = ⁸⁄₃

व्याख्या

A के कार्य करने की दर 1/20 प्रति दिन है और B की 1/25 प्रति दिन है, इसलिए उनकी संयुक्त दर 9/100 प्रति दिन है। 5 दिनों में वे कार्य का 45/100 भाग पूरा करते हैं, जिससे A के लिए अकेले पूरा करने के लिए 55/100 (या 11/20) भाग शेष बचता है। शेष कार्य को पूरा करने में A को (11/20) / (1/20) = 11 और दिन लगेंगे।

व्याख्या

एक अर्धगोले के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र 2πr² है। दिए गए मानों r = 7 सेमी और π = 22/7 को प्रतिस्थापित करने पर 2 * (22/7) * 7 * 7 = 308 सेमी² प्राप्त होता है।

व्याख्या

व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, BODMAS (कोष्ठक (Brackets), का (Of), भाग (Division), गुणा (Multiplication), जोड़ (Addition), घटाव (Subtraction)) के नियमों का पालन करें।

अंश की गणना:

1. पद 1: 36 ÷ 42 का 6 × 7 = 36 ÷ (42 × 6) × 7 = 36 ÷ 252 × 7 = (36 / 252) × 7 = (1/7) × 7 = 1.
2. पद 2: 24 × 6 ÷ 18 = 24 × (6 / 18) = 24 × (1/3) = 8.
3. पद 3: 3 ÷ (2 - 6) = 3 ÷ (-4) = -3/4 या -0.75.
4. पद 4: (4 + 3 × 2) ÷ 8 = (4 + 6) ÷ 8 = 10 ÷ 8 = 5/4 या 1.25. अंश = 1 + 8 - 0.75 - 1.25 = 9 - 2 = 7.

हर की गणना:

1. 21 ÷ 3 का 7 = 21 ÷ (3 × 7) = 21 ÷ 21 = 1.

अंतिम मान: परिणाम = अंश / हर = 7 / 1 = 7।

व्याख्या

एक समद्विबाहु त्रिभुज में जहाँ AB = AC है, उन भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं, अर्थात् कोण B = कोण C। चूँकि एक त्रिभुज के कोणों का योग 180 डिग्री होता है और कोण BAC = 40 डिग्री है, इसलिए शेष दो बराबर कोणों का योग 140 डिग्री होगा, जिससे कोण B का मान 70 डिग्री हो जाता है।

व्याख्या

11 से विभाज्यता का नियम यह कहता है कि विषम स्थानों पर अंकों के योग और सम स्थानों पर अंकों के योग के बीच का अंतर 0 या 11 का गुणज होना चाहिए। संख्या 94*2357 के लिए, विषम स्थानों पर अंकों का योग 9 + * + 3 + 7 = 19 + * है, और सम स्थानों पर अंकों का योग 4 + 2 + 5 = 11 है। अंतर (19 + *) - 11 = 8 + * का मान 11 होना चाहिए, जिससे * = 3 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दोनों संख्याएँ 5 : 7 के अनुपात में हैं। यह दिया गया है कि पहली संख्या 20 है, हम अनुपात के मान और वास्तविक मान के बीच गुणक ज्ञात करके संबंध स्थापित कर सकते हैं। चूंकि 5 × 4 = 20 है, इसलिए अनुपात के दोनों भागों के लिए उभयनिष्ठ गुणक 4 है। दूसरी संख्या ज्ञात करने के लिए, हम इसके संगत अनुपात मान को उसी गुणक से गुणा करते हैं: 7 × 4 = 28। वैकल्पिक रूप से, समानुपात के गुण का उपयोग करते हुए, ⁵⁄₇ = ²⁰⁄ₓ से 5x = 140 प्राप्त होता है, जिससे x = 28 प्राप्त होता है।

व्याख्या

80% और 62% के बीच का अंतर 18% है, जो कि 198 दिया गया है। चूंकि 18% बराबर 198 है, इसलिए 1% बराबर 11 होगा। 92% और 56% के बीच का वांछित अंतर 36% है, जो 36 गुना 11 के बराबर है, जिसके परिणामस्वरूप 396 प्राप्त होता है।

व्याख्या

6 सिलाई मशीनों के क्रय मूल्य (CP) की गणना विक्रय मूल्य (SP) को लाभ कारक से विभाजित करके की जाती है: 63,000 / 1.05 = 60,000। इसलिए, प्रति मशीन क्रय मूल्य (CP) 60,000 / 6 = 10,000 है। 15% लाभ पर 8 मशीनों के लिए, गणना इस प्रकार है: (10,000 * 8) * 1.15 = 80,000 * 1.15 = 92,000।

व्याख्या

व्यंजक 27a³ - 2√2b³ दो घनों के अंतर की बीजगणितीय सर्वसमिका: x³ - y³ = (x - y)(x² + xy + y²) का अनुसरण करता है।

सबसे पहले, दिए गए पदों के घनमूल ज्ञात कीजिए: x³ = 27a³ ⟹ x = ³√(27a³) = 3a y³ = 2√2b³ ⟹ y = ³√((√(2))³b³) = √2b

अब, दूसरे गुणनखंड के लिए पदों की गणना कीजिए: x² = (3a)² = 9a² y² = (√2b)² = 2b² xy = (3a)(√2b) = 3√2ab

इन्हें सर्वसमिका (x - y)(x² + y² + xy) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: (3a - √2b)(9a² + 2b² + 3√2ab)

व्याख्या

एक वृत्त में, केंद्र से जीवा पर खींचा गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। यह रचना एक समकोण त्रिभुज बनाती है जहाँ वृत्त की त्रिज्या कर्ण होती है, केंद्र से दूरी एक भुजा होती है, और जीवा की आधी लंबाई दूसरी भुजा होती है। पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर:

r² = d² + ((L)/(2))²

दी गई त्रिज्या r = 5 सेमी और केंद्र से दूरी d = 3 सेमी है, हम इन मानों को सूत्र में रखते हैं:

5² = 3² + ((L)/(2))² 25 = 9 + ((L)/(2))² ((L)/(2))² = 25 - 9 = 16 (L)/(2) = √(16) = 4 सेमी

यह गणना मानक (3, 4, 5) पाइथागोरस त्रिक (Pythagorean triplet) के आधार पर भुजा को 4 सेमी के रूप में दर्शाती है। चूँकि यह मान आधी जीवा को दर्शाता है, इसलिए जीवा की कुल लंबाई L = 2 × 4 = 8 सेमी है।

व्याख्या

जब क्रमिक रूप से मूल्य वृद्धि (मार्कअप) और छूट लागू की जाती है, तो शुद्ध लाभ प्रतिशत की गणना क्रमिक प्रतिशत परिवर्तनों के सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है: शुद्ध परिवर्तन = x + y + ˣʸ⁄₁₀₀।

इस लेनदेन में, मूल्य वृद्धि प्रतिशत x = +40% और छूट प्रतिशत y = -20% है। इन मानों को सूत्र में रखने पर:

शुद्ध लाभ % = 40 - 20 + (40 × (-20))/(100) शुद्ध लाभ % = 20 - ⁸⁰⁰⁄₁₀₀ शुद्ध लाभ % = 20 - 8 = 12%

वैकल्पिक रूप से, यदि हम मान लें कि क्रय मूल्य (CP) 100 है, तो 40% लाभ प्राप्त करने के लिए अंकित मूल्य (MP) 140 हो जाता है। अंकित मूल्य (MP) पर 20% की छूट 0.20 × 140 = 28 है। इसके बाद विक्रय मूल्य (SP) 140 - 28 = 112 हो जाता है। चूंकि विक्रय मूल्य (SP) 112 है और क्रय मूल्य (CP) 100 है, इसलिए लाभ 12 है, जो 12% लाभ प्रतिशत के बराबर है।

व्याख्या

3 वर्षों के लिए साधारण ब्याज (SI) 1,200 है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक वर्ष का ब्याज SI/3 = 1,200/3 = 400 है। समान अवधि के लिए चक्रवृद्धि ब्याज (CI) ज्ञात करने के लिए, हम दी गई 5% की दर पर पिछले ब्याज भुगतानों पर अर्जित ब्याज की गणना करते हैं।

3 वर्षों के लिए विभाजन विधि (splitting method) का उपयोग करते हुए, CI सूत्र 3x + 3y + z द्वारा दिया जाता है, जहाँ x एक वर्ष का साधारण ब्याज है, y, x पर ब्याज है, और z, y पर ब्याज है।

पहला, x = 400. दूसरा, y = 400 का 5% = (5/100) × 400 = 20. तीसरा, z = 20 का 5% = (5/100) × 20 = 1.

इन मानों को चक्रवृद्धि ब्याज संरचना में प्रतिस्थापित करने पर: CI = 3(400) + 3(20) + 1(1) CI = 1,200 + 60 + 1 = 1,261

वैकल्पिक रूप से, मूलधन P को SI = (P × R × T) / 100 का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है। 1,200 = (P × 5 × 3) / 100 ⟹ P = (1,200 × 100) / 15 = 8,000. 3 वर्षों के बाद मिश्रधन A, P(1 + R/100)³ = 8,000(1 + 5/100)³ = 8,000(21/20)³ है। A = 8,000 × (9,261 / 8,000) = 9,261. CI = A - P = 9,261 - 8,000 = 1,261।

व्याख्या

समकोण △ ABC में, जहाँ ∠ A = 90° है, कर्ण BC की गणना पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके की जाती है: BC = √(AB² + AC²) = √(7² + 24²) = √(49 + 576) = √(625) = 25 सेमी।

चूंकि M कर्ण BC का मध्य-बिंदु है, इसलिए रेखाखंड AM कर्ण पर खींची गई माध्यिका है। किसी भी समकोण त्रिभुज में, कर्ण पर खींची गई माध्यिका की लंबाई कर्ण की लंबाई की आधी होती है, अर्थात AM = (BC)/(2) = ²⁵⁄₂ = 12.5 सेमी।

समकोण से कर्ण BC पर डाले गए शीर्षलंब AD को दो तरीकों से त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करके और उन्हें बराबर रखकर ज्ञात किया जाता है: क्षेत्रफल = ½ × AB × AC = ½ × BC × AD। ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर 7 × 24 = 25 × AD प्राप्त होता है, जिससे AD = ¹⁶⁸⁄₂₅ सेमी प्राप्त होता है।

इसलिए, अनुपात AD:AM = ¹⁶⁸⁄₂₅ : ²⁵⁄₂ है। हरों को हटाने के लिए पदों को गुणा करने पर 168 × 2 : 25 × 25 प्राप्त होता है, जो सरल होकर 336:625 हो जाता है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण 5x + ¹⁄₃ₓ = 4 में, हम सबसे पहले आवश्यक मान 9x² + (1)/(25x²⁾ के गुणांकों से मिलान करने के लिए व्यंजक को बदलते हैं। 5x से 3x पद प्राप्त करने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों को ⅗ से गुणा करें:

⅗ ( 5x + ¹⁄₃ₓ ) = 4 × ⅗ 3x + ¹⁄₅ₓ = ¹²⁄₅

अब, प्राप्त समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें:

( 3x + ¹⁄₅ₓ )² = ( ¹²⁄₅ )²

बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² = a² + b² + 2ab का उपयोग करने पर:

9x² + (1)/(25x²⁾ + 2(3x)( ¹⁄₅ₓ ) = ¹⁴⁴⁄₂₅ 9x² + (1)/(25x²⁾ + ⁶⁄₅ = ¹⁴⁴⁄₂₅

9x² + (1)/(25x²⁾ का मान ज्ञात करने के लिए, दायें पक्ष से ⁶⁄₅ घटाएं:

9x² + (1)/(25x²⁾ = ¹⁴⁴⁄₂₅ - ⁶⁄₅ 9x² + (1)/(25x²⁾ = (144 - 30)/(25) 9x² + (1)/(25x²⁾ = ¹¹⁴⁄₂₅

व्याख्या

फरवरी से जून तक डीलर A द्वारा बेचे गए कुल कंप्यूटर इन पांच महीनों की बिक्री का योग है: 94 + 85 + 108 + 98 + 95 = 480

जून में सभी डीलरों (A, B, C और D) द्वारा बेचे गए कुल कंप्यूटर जून की पंक्ति के मानों का योग है: 95 + 108 + 102 + 91 = 396

यह ज्ञात करने के लिए कि डीलर A की बिक्री जून की कुल बिक्री की तुलना में कितनी अधिक है, अंतर की गणना करें: अंतर = 480 - 396 = 84

अधिक प्रतिशत की गणना इस अंतर को जून में हुई कुल बिक्री से विभाजित करके की जाती है: अधिक प्रतिशत = ⁸⁴⁄₃₉₆ × 100

अंश और हर दोनों को 12 से विभाजित करके भिन्न को सरल करने पर: ⁷⁄₃₃ × 100 = ⁷⁰⁰⁄₃₃ = 21.2121...

एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर, प्रतिशत 21.2 है।

व्याख्या

व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, मानक त्रिकोणमितीय अनुपातों को प्रतिस्थापित करें: tan 30° = (1)/(√(3)), csc 60° = (2)/(√(3)), tan 60° = √3, sec 30° = (2)/(√(3)), sin 30° = ½, cot 45° = 1, और sec 60° = 2.

व्यंजक का अंश है: tan 30°csc 60° + tan 60°sec 30° = ((1)/(√(3)) × (2)/(√(3))) + (√3 × (2)/(√(3))) = ⅔ + 2 = ⁸⁄₃

व्यंजक का हर है: sin²30° + 4cot²45° - sec²60° = (½)² + 4(1)² - (2)² = ¼ + 4 - 4 = ¼

इन परिणामों को मिलाने पर अंतिम मान प्राप्त होता है: (8/3)/(1/4) = ⁸⁄₃ × 4 = ³²⁄₃

व्याख्या

माना सोनू की प्रारंभिक आय 100 है। चूंकि वह 15% बचाती है, इसलिए उसकी प्रारंभिक बचत 15 है और उसका प्रारंभिक व्यय 100 - 15 = 85 है।

आय में 20% की वृद्धि होने के बाद, नई आय 120 हो जाती है। यह दिया गया है कि उसकी बचत पहले जितनी ही रहती है, इसलिए उसकी नई बचत अभी भी 15 है। इसलिए, नया व्यय नई आय और बचत के बीच का अंतर है: 120 - 15 = 105।

व्यय में वृद्धि 105 - 85 = 20 है। व्यय में प्रतिशत वृद्धि ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

प्रतिशत वृद्धि = (वृद्धि)/(प्रारंभिक व्यय) × 100

प्रतिशत वृद्धि = ²⁰⁄₈₅ × 100 = ⁴⁄₁₇ × 100 = ⁴⁰⁰⁄₁₇

भाग की गणना करने पर: 400 ÷ 17 ≈ 23.529। एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर, हमें 23.5% प्राप्त होता है।

व्याख्या

विभाजन एल्गोरिथ्म के अनुसार, भाज्य = (भाजक × भागफल) + शेषफल, जहाँ भाजक का मान शेषफल से अधिक होना चाहिए। दिया गया है कि 732 को x से विभाजित करने पर शेषफल 12 बचता है, इसलिए हमारे पास 732 = qx + 12 है। इसे सरल करने पर qx = 720 प्राप्त होता है। इस प्रकार, x, 720 का एक ऐसा गुणनखंड होना चाहिए कि x > 12 हो।

720 के कुल गुणनखंडों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम इसके अभाज्य गुणनखंडन का उपयोग करते हैं: 720 = 72 × 10 = (2³ × 3²) × (2¹ × 5¹) = 2⁴ × 3² × 5¹

अभाज्य घातों के लिए सूत्र (a+1)(b+1)(c+1) का उपयोग करके कुल गुणनखंडों की गणना की जाती है: कुल गुणनखंड = (4+1)(2+1)(1+1) = 5 × 3 × 2 = 30

इसके बाद, हम 720 के उन गुणनखंडों की पहचान करते हैं जो 12 के बराबर या उससे कम हैं ताकि उन्हें बाहर किया जा सके, क्योंकि x > 12 है। ये गुणनखंड हैं: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12। इन्हें गिनने पर, हमें ऐसे 10 मान प्राप्त होते हैं।

x के संभावित मानों की संख्या, कुल गुणनखंडों की संख्या में से शेषफल के बराबर या उससे कम गुणनखंडों की संख्या को घटाकर प्राप्त होती है: 30 - 10 = 20

व्याख्या

शंक्वाकार तंबू के आधार की परिधि 2 π r = 66 मीटर दी गई है। π = ²²⁄₇ प्रतिस्थापित करने पर, हमें 2 × ²²⁄₇ × r = 66 प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर r = (66 × 7)/(44) = 10.5 मीटर प्राप्त होता है।

शंकु की तिर्यक ऊंचाई l की गणना पाइथागोरस संबंध l = √(r² + h²) का उपयोग करके की जाती है। ऊंचाई h = 36 मीटर और त्रिज्या r = 10.5 मीटर दिए जाने पर, हमें l = √(10.5² + 36²) = √(110.25 + 1296) = √(1406.25) = 37.5 मीटर प्राप्त होता है।

तंबू बनाने के लिए उपयोग किए जाने वाले कैनवास का क्षेत्रफल शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) के बराबर होता है, जिसकी गणना CSA = π r l के रूप में की जाती है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें CSA = ²²⁄₇ × 10.5 × 37.5 प्राप्त होता है। गणना को सरल करने पर, 22 × 1.5 × 37.5 = 33 × 37.5 = 1237.5 मीटर² प्राप्त होता है।

व्याख्या

व्यंजक a³ + b³ + c³ का मान मानक बीजगणितीय सर्वसमिका a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)((a + b + c)² - 3(ab + bc + ca)) का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है।

दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर: a + b + c = 11 ab + bc + ca = 3 abc = -135

इन्हें सर्वसमिका में रखने पर: a³ + b³ + c³ - 3(-135) = 11 × (11² - 3 × 3) a³ + b³ + c³ + 405 = 11 × (121 - 9) a³ + b³ + c³ + 405 = 11 × 112 a³ + b³ + c³ + 405 = 1232

a³ + b³ + c³ का मान ज्ञात करने के लिए, 1232 में से 405 घटाएं: a³ + b³ + c³ = 1232 - 405 = 827

व्याख्या

मान लीजिए कि भुजा AB की लंबाई x सेमी है। चूंकि △ ABC, AB = AC के साथ एक समद्विबाहु त्रिभुज है, इसलिए AC की लंबाई भी x सेमी होगी। दिया गया है कि D, AC का मध्य बिंदु है, इसलिए रेखाखंड AD की लंबाई x/2 सेमी है। स्पर्शरेखा-छेदक प्रमेय (tangent-secant theorem) के अनुसार, जब किसी बाहरी बिंदु से एक वृत्त पर एक स्पर्श रेखाखंड और एक छेदक रेखाखंड खींचा जाता है, तो स्पर्श रेखाखंड की लंबाई का वर्ग, पूरे छेदक रेखाखंड और उसके बाहरी भाग की लंबाई के गुणनफल के बराबर होता है। इस स्थिति में, बाहरी बिंदु A से, AD स्पर्श रेखाखंड है और ABP छेदक रेखाखंड है। यह प्रमेय संबंध AD² = AP · AB प्रदान करता है। सूत्र में ज्ञात मानों को रखने पर, हमें (x/2)² = 2.5 · x प्राप्त होता है। इसे सरल करने पर (x²)/(4) = 2.5x प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को x से विभाजित करने पर (क्योंकि लंबाई x धनात्मक होनी चाहिए) x/4 = 2.5 प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप x = 10 सेमी आता है। अतः, AB की लंबाई 10 सेमी है।

व्याख्या

इस व्यंजक का मान BODMAS नियम का उपयोग करके निकाला जाता है, जो संक्रियाओं के क्रम को निर्धारित करता है: कोष्ठक (Brackets), का (Of), भाग (Division), गुणा (Multiplication), जोड़ (Addition), और घटाव (Subtraction)।

अंश (Numerator): 7 - [4 + 3(2 - 2 × 2 + 5) - 8] ÷ 5 सबसे पहले, छोटे कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को हल करें: 2 - 4 + 5 = 3 इसके बाद, वर्गाकार कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को हल करें: 4 + 3(3) - 8 = 4 + 9 - 8 = 5 अंत में, अंश का मान ज्ञात करें: 7 - 5 ÷ 5 = 7 - 1 = 6

हर (Denominator): 2 ÷ 2 का (4 + 4 ÷ 4 का 4) सबसे पहले, कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को हल करें: 'का' (of) संकारक को भाग से पहले हल किया जाता है: 4 का 4 = 16. फिर भाग करें: 4 ÷ 16 = 0.25. फिर जोड़ें: 4 + 0.25 = 4.25. अब, पूरे हर का मान ज्ञात करें: 'का' (of) संकारक को भाग से पहले हल किया जाता है: 2 का 4.25 = 8.5. भाग करें: 2 ÷ 8.5 = (2)/(8.5) = ⁴⁄₁₇.

अंश और हर को मिलाने पर: 6 ÷ ⁴⁄₁₇ = 6 × ¹⁷⁄₄ = ¹⁰²⁄₄ = 25.5

दिए गए मानक पूर्णांक विकल्पों को ध्यान में रखते हुए, मान 25.5, 25 के सबसे निकटतम है।

व्याख्या

जब चार संख्याएँ a, b, c, और d समानुपात में होती हैं, तो उनके संबंध को a/b = c/d द्वारा परिभाषित किया जाता है। दी गई संख्याएँ 2x + 1, x + 2, 2, और 5 समानुपात में हैं, इसलिए हम समीकरण स्थापित करते हैं:

(2x + 1) / (x + 2) = 2 / 5

तिर्यक गुणन (Cross-multiplying) करने पर 5(2x + 1) = 2(x + 2) प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर 10x + 5 = 2x + 4 प्राप्त होता है। x के लिए हल करने पर 8x = -1, या x = -1/8 प्राप्त होता है।

दो संख्याओं p और q के बीच मध्यानुपाती की गणना √(pq) के रूप में की जाती है। दिए गए व्यंजकों में x = -1/8 रखने पर:

पहला पद 3.5(1 - x) = 3.5(1 + 1/8) = (7/2) × (9/8) = 63/16 है। दूसरा पद 8(1 + x) = 8(1 - 1/8) = 8 × (7/8) = 7 है।

मध्यानुपाती √((63/16) × 7) = √((9 × 7 × 7) / 16) है। वर्गमूल लेने पर (3 × 7) / 4 = 21/4 = 5.25 प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक चक्रीय चतुर्भुज ABCD में, यदि एक विकर्ण AC दूसरे विकर्ण BD को बिंदु O पर समद्विभाजित करता है (जिससे BO = OD), तो समद्विभाजित विकर्ण के शीर्षों पर मिलने वाली भुजाओं के युग्मों का गुणनफल बराबर होता है। यह इस तथ्य से प्राप्त होता है कि त्रिभुज ABC और ADC का एक ही आधार AC है और B तथा D से उनके शीर्षलंब बराबर हैं क्योंकि O, BD का मध्यबिंदु है।

△ ABC का क्षेत्रफल ½ · AB · BC · sin(∠ ABC) है और △ ADC का क्षेत्रफल ½ · AD · CD · sin(∠ ADC) है। चूँकि एक चक्रीय चतुर्भुज में ∠ ABC + ∠ ADC = 180° होता है, इसलिए उनके sine (ज्या) बराबर होते हैं। चूँकि विकर्ण के समद्विभाजन के कारण क्षेत्रफल बराबर हैं, इसलिए:

AB · BC = AD · CD

दिए गए मानों AB = 16.5, BC = x, CD = 11, और AD = 19.8 को रखने पर:

16.5 · x = 19.8 · 11

x = (19.8 · 11)/(16.5)

x = (217.8)/(16.5)

x = 13.2 सेमी

व्याख्या

△ ABC में, सभी आंतरिक कोणों का योग 180° होता है। दिया गया है कि ∠ B = 68° और ∠ C = 32°, ∠ A के माप की गणना इस प्रकार की जाती है: ∠ A = 180° - (68° + 32°) = 180° - 100° = 80°

जब भुजाओं AB और AC को D और E तक बढ़ाया जाता है, और ∠ DBC तथा ∠ BCE के बाह्य समद्विभाजक F पर मिलते हैं, तो बिंदु F, शीर्ष A के सापेक्ष त्रिभुज का बाह्य केंद्र (excenter) होता है। बाह्य केंद्र पर इन बाह्य समद्विभाजकों द्वारा बनने वाला कोण मानक ज्यामितीय सूत्र द्वारा दिया जाता है: ∠ BFC = 90° - (∠ A)/(2)

सूत्र में ∠ A का मान रखने पर: ∠ BFC = 90° - (80°)/(2) ∠ BFC = 90° - 40° = 50°

व्याख्या

मूल्य वृद्धि प्रतिशत (markup percentage) ज्ञात करने के लिए, हम लाभ और छूट प्रतिशत से संबंधित क्रय मूल्य (CP) और अंकित मूल्य (MP) के बीच मानक संबंध का उपयोग करते हैं:

(MP)/(CP) = (100 + लाभ%)/(100 - छूट%)

यह देखते हुए कि छूट 18% है और लाभ 6.6% है, हम इन मानों को सूत्र में रखते हैं:

(MP)/(CP) = (100 + 6.6)/(100 - 18) (MP)/(CP) = (106.6)/(82)

क्रय मूल्य से अधिक मूल्य वृद्धि प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, हम गणना करते हैं:

मूल्य वृद्धि% (Markup%) = ( (MP)/(CP) - 1 ) × 100 Markup% = ( (106.6)/(82) - 1 ) × 100 Markup% = (106.6 - 82)/(82) × 100 Markup% = (24.6)/(82) × 100 Markup% = ²⁴⁶⁰⁄₈₂ = 30%

व्याख्या

अप्रैल, मई और जून में डीलर B द्वारा बेचे गए कंप्यूटरों की कुल संख्या की गणना इस प्रकार की जाती है: 97 + 102 + 108 = 307।

फरवरी और अप्रैल में सभी डीलरों द्वारा की गई कुल बिक्री ज्ञात करने के लिए, हम उन महीनों में सभी चार डीलरों के मूल्यों का योग करते हैं: फरवरी का कुल योग = 94 + 96 + 104 + 106 = 400 अप्रैल का कुल योग = 108 + 97 + 99 + 96 = 400 फरवरी और अप्रैल के लिए संयुक्त कुल योग = 400 + 400 = 800

अभीष्ट प्रतिशत सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है: प्रतिशत = (B द्वारा बिक्री (अप्रैल+मई+जून)) / (कुल बिक्री (फरवरी+अप्रैल)) × 100 प्रतिशत = ³⁰⁷⁄₈₀₀ × 100 = ³⁰⁷⁄₈ = 38.375%

परिणाम को निकटतम पूर्ण संख्या में पूर्णांकित करने पर 38 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि धारा के प्रतिकूल नाव की गति u किमी/मिनट और धारा के अनुकूल v किमी/मिनट है। दी गई शर्तों के आधार पर, हम लिए गए समय के लिए दो रैखिक समीकरण बना सकते हैं:

3/u + 5/v = 55 4/u + 9/v = 85

1/u को समाप्त करने के लिए, पहले समीकरण को 4 से और दूसरे समीकरण को 3 से गुणा करें:

12/u + 20/v = 220 12/u + 27/v = 255

दूसरे संशोधित समीकरण में से पहले को घटाने पर:

(27 - 20)/v = 255 - 220 7/v = 35 1/v = 5 मिनट/किमी

धारा के अनुकूल गति v, 1/5 किमी प्रति मिनट है। इसे किमी प्रति घंटे में बदलने के लिए:

v = (1/5) × 60 = 12 किमी/घंटा

धारा के अनुकूल 43.2 किमी की यात्रा करने के लिए आवश्यक समय की गणना दूरी को धारा के अनुकूल गति से विभाजित करके की जाती है:

समय = 43.2 / 12 = 3.6 घंटे

व्याख्या

मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec² θ - tan² θ = 1 का उपयोग करके, हम (sec θ + tan θ)(sec θ - tan θ) = 1 लिख सकते हैं। विकल्पों और प्रतिबंधों में व्यक्त संबंध को देखते हुए, हम sec θ - tan θ = (x)/(y) परिभाषित करते हैं। परिणामस्वरूप, इसका व्युत्क्रम sec θ + tan θ = y/x है।

sin θ का मान ज्ञात करने के लिए, हम पहले इन दोनों समीकरणों को हल करके sec θ और tan θ के मान निर्धारित करते हैं: समीकरणों को जोड़ने पर: 2 sec θ = y/x + (x)/(y) = (y² + x²)/(xy) ⟹ sec θ = (y² + x²)/(2xy) दूसरे समीकरण में से पहले को घटाने पर: 2 tan θ = y/x - (x)/(y) = (y² - x²)/(xy) ⟹ tan θ = (y² - x²)/(2xy)

इसके बाद हम संबंध sin θ = (tan θ)/(sec θ) का उपयोग करते हैं: sin θ = (y² - x²)/(2xy) ÷ (y² + x²)/(2xy) = (y² - x²)/(y² + x²)

दी गई स्थिति 0 < x < y के अंतर्गत, sin θ का मान धनात्मक और 1 से कम है, जो चतुर्थांश प्रतिबंध 0° < θ < 90° के अनुकूल है।

व्याख्या

मान लीजिए 5 मेजों का कुल क्रय मूल्य T है और 9 कुर्सियों का कुल क्रय मूल्य C है। दी गई जानकारी के आधार पर, इन मूल्यों का योग T + C = 15,400 है। मेजों को बेचने से प्राप्त लाभ 10% है और कुर्सियों से 20% है, जिसके परिणामस्वरूप कुल लाभ को 0.10T + 0.20C = 2,080 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। समीकरणों के इस निकाय को हल करने के लिए, लाभ समीकरण को 10 से गुणा करने पर T + 2C = 20,800 प्राप्त होता है।

इस नए समीकरण में से पहले समीकरण को घटाने पर (T + 2C) - (T + C) = 20,800 - 15,400 प्राप्त होता है, जिससे C = 5,400 प्राप्त होता है। यह मान सभी 9 कुर्सियों के कुल क्रय मूल्य को दर्शाता है। 3 कुर्सियों का क्रय मूल्य ज्ञात करने के लिए, कुर्सियों के कुल मूल्य को 9 से विभाजित करके एक कुर्सी का मूल्य ज्ञात कीजिए, जो कि 5,400 / 9 = 600 है, और फिर इसे 3 से गुणा कीजिए। इस प्रकार, 3 कुर्सियों का क्रय मूल्य 600 × 3 = 1,800 है।

व्याख्या

छह महीनों में डीलर C द्वारा बेचे गए कंप्यूटरों की औसत संख्या ज्ञात करने के लिए, जनवरी से जून तक की बिक्री के योग की गणना करें और इसे 6 से विभाजित करें। C का औसत = (95 + 104 + 100 + 99 + 100 + 102)/(6) = ⁶⁰⁰⁄₆ = 100

अब, डीलर B की मासिक बिक्री की तुलना इस औसत मान 100 से करें: जनवरी में, डीलर B ने 92 कंप्यूटर बेचे, जो 100 से कम है। फरवरी में, डीलर B ने 96 कंप्यूटर बेचे, जो 100 से कम है। मार्च में, डीलर B ने 94 कंप्यूटर बेचे, जो 100 से कम है। अप्रैल में, डीलर B ने 97 कंप्यूटर बेचे, जो 100 से कम है। मई में, डीलर B ने 102 कंप्यूटर बेचे, जो 100 से अधिक है। जून में, डीलर B ने 108 कंप्यूटर बेचे, जो 100 से अधिक है।

वे महीने जिनमें डीलर B की बिक्री डीलर C के औसत से कम थी, वे जनवरी, फरवरी, मार्च और अप्रैल हैं, जिससे कुल 4 महीने होते हैं।

व्याख्या

फरवरी, अप्रैल और मई में डीलर A द्वारा बेचे गए कंप्यूटरों की कुल संख्या की गणना तालिका से संबंधित मानों को जोड़कर की जाती है: 94 + 108 + 98 = 300।

मार्च, मई और जून में डीलर D द्वारा बेचे गए कंप्यूटरों की कुल संख्या संबंधित मानों को जोड़कर प्राप्त की जाती है: 90 + 89 + 91 = 270।

इन विशिष्ट महीनों के लिए डीलर A की बिक्री का डीलर D की बिक्री से अभीष्ट अनुपात 300 : 270 है। अनुपात के दोनों घटकों को 30 से विभाजित करने पर, यह मान सरल होकर 10 : 9 हो जाता है।

व्याख्या

माना A की कार्यक्षमता 100 है। चूंकि B, A से 25% अधिक कुशल है, इसलिए B की कार्यक्षमता 125 है। C, B से 20% अधिक कुशल है, इसलिए C की कार्यक्षमता 125 × 1.20 = 150 है। A, B और C की कार्यक्षमताओं का अनुपात 100 : 125 : 150 है, जिसे सरल करने पर 4 : 5 : 6 प्राप्त होता है।

कुल कार्य की गणना A की कार्यक्षमता और A द्वारा लिए गए समय का उपयोग करके की जाती है: कुल कार्य = A की कार्यक्षमता × A का समय = 4 × 30 = 120 इकाई।

जब A, B और C मिलकर कार्य करते हैं, तो उनकी संयुक्त कार्यक्षमता 4 + 5 + 6 = 15 इकाई प्रति दिन होती है। 3 दिनों में, उनके द्वारा पूरा किया गया कार्य 15 × 3 = 45 इकाई है। शेष कार्य 120 - 45 = 75 इकाई है।

B अकेले शेष कार्य को पूरा करता है। B द्वारा लिया गया समय = शेष कार्य / B की कार्यक्षमता = 75 / 5 = 15 दिन।

व्याख्या

मान लीजिए कि शांत जल में नाव की गति v है और धारा की गति w है। हमें दिया गया है कि w = 3 किमी/घंटा है। संबंध समय = दूरी / गति का उपयोग करते हुए, और यह जानते हुए कि दोनों यात्राओं का समय बराबर है, हम निम्नलिखित समीकरण बना सकते हैं:

13 / (v + 3) = 7 / (v - 3)

तिर्यक गुणन (Cross-multiplying) करने पर: 13(v - 3) = 7(v + 3) 13v - 39 = 7v + 21 6v = 60 v = 10 किमी/घंटा

शांत जल में 44.8 किमी की दूरी तय करने के लिए आवश्यक समय है: T = 44.8 / 10 = 4.48 घंटे

4.48 को मिश्रित भिन्न के रूप में व्यक्त करने पर: 4.48 = 4 + 48/100 = 4 + 12/25

इसके परिणामस्वरूप कुल समय 4 ¹²⁄₂₅ घंटे प्राप्त होता है।

व्याख्या

उन वर्षों की संख्या ज्ञात करने के लिए जिनमें उत्पाद D का राजस्व उत्पाद A के औसत राजस्व से अधिक था, सबसे पहले 2012 से 2017 तक की छह वर्ष की अवधि में उत्पाद A के औसत राजस्व की गणना करें।

A का औसत राजस्व = (98 + 94 + 80 + 95 + 110 + 115)/(6) = ⁵⁹²⁄₆ ≈ 98.67

अब, प्रत्येक वर्ष के लिए उत्पाद D के राजस्व की तुलना इस औसत मान 98.67 से करें: 2012 में, D का राजस्व 74 है, जो 98.67 से कम है। 2013 में, D का राजस्व 102 है, जो 98.67 से अधिक है। 2014 में, D का राजस्व 92 है, जो 98.67 से कम है। 2015 में, D का राजस्व 93 है, जो 98.67 से कम है। 2016 में, D का राजस्व 97 है, जो 98.67 से कम है। 2017 में, D का राजस्व 102 है, जो 98.67 से अधिक है।

उत्पाद D का राजस्व ठीक दो वर्षों: 2013 और 2017 में उत्पाद A के औसत राजस्व से अधिक है।

व्याख्या

△ PQR में, कोणों का योग 180° होता है, इसलिए ∠ P = 180° - (∠ Q + ∠ R) = 180° - (85° + 65°) = 30°। चूंकि बिंदु S और T क्रमशः PQ और PR पर स्थित हैं, इसलिए ∠ PTS और ∠ STR सरल रेखा PR पर संपूरक कोण हैं। इस प्रकार, ∠ PTS = 180° - ∠ STR = 180° - 95° = 85°।

अब, △ PST और △ PQR पर विचार करने पर, हमारे पास ∠ P एक उभयनिष्ठ कोण है और ∠ PTS = ∠ PQR = 85° है। AA (कोण-कोण) समरूपता कसौटी के अनुसार, △ PTS ∼ △ PQR है। समरूप त्रिभुजों में, संगत भुजाओं के अनुपात बराबर होते हैं, जिससे संबंध PT/PQ = ST/QR प्राप्त होता है।

प्रश्न में अनुपात QR:ST = 9:5 दिया गया है, जिसका अर्थ है ST/QR = 5/9। भुजा-अनुपात समीकरण में ज्ञात मानों को रखने पर, हमें PT/21.6 = 5/9 प्राप्त होता है। PT के लिए हल करने पर, हम गणना करते हैं PT = 21.6 × (5/9) = 2.4 × 5 = 12 सेमी।

व्याख्या

दिए गए द्विघात समीकरण 30x² - 15x + 1 = 0 में, समीकरण को आवश्यक व्यंजक 25x² + (1)/(36x²⁾ के घटकों के साथ संरेखित करने के लिए प्रत्येक पद को 6x से विभाजित करें।

30x²{6x} - ¹⁵ˣ⁄₆ₓ + ¹⁄₆ₓ = 0 5x - ⁵⁄₂ + ¹⁄₆ₓ = 0 5x + ¹⁄₆ₓ = ⁵⁄₂

25x² + (36x²)⁻¹ का मान ज्ञात करने के लिए, बीजगणितीय सर्वसमिका a² + b² = (a + b)² - 2ab का उपयोग करें, जहाँ a = 5x और b = ¹⁄₆ₓ है।

25x² + (1)/(36x²⁾ = (5x + ¹⁄₆ₓ)² - 2(5x)(¹⁄₆ₓ)

पहले चरण से प्राप्त मान को प्रतिस्थापित करने पर:

25x² + (1)/(36x²⁾ = (⁵⁄₂)² - ¹⁰⁄₆ 25x² + (1)/(36x²⁾ = ²⁵⁄₄ - ⁵⁄₃

इन भिन्नों को घटाने के लिए, एक समान हर ज्ञात करें, जो कि 12 है:

(25 × 3)/(4 × 3) - (5 × 4)/(3 × 4) = ⁷⁵⁄₁₂ - ²⁰⁄₁₂ = ⁵⁵⁄₁₂

व्याख्या

मान लीजिए B का व्यय E_B है। प्रश्न के अनुसार, A की आय I_A = 0.7 E_B द्वारा दी गई है और A का व्यय E_A = 0.6 E_B द्वारा दिया गया है। चूंकि A की आय B की आय से 60% कम है, इसलिए हमारे पास I_A = 0.4 I_B है। I_A का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें B की आय 0.7 E_B = 0.4 I_B के रूप में प्राप्त होती है, जो सरल होने पर I_B = 1.75 E_B हो जाती है। A की बचत S_A = I_A - E_A = 0.7 E_B - 0.6 E_B = 0.1 E_B है। B की बचत S_B = I_B - E_B = 1.75 E_B - E_B = 0.75 E_B है। उनकी बचत का अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम S_A : S_B = 0.1 E_B : 0.75 E_B की गणना करते हैं। दशमलव को हटाने के लिए दोनों पक्षों को 100 से गुणा करने पर, अनुपात 10 : 75 हो जाता है, जो दोनों पदों को 5 से विभाजित करने के बाद सरल होकर 2 : 15 हो जाता है।

व्याख्या

व्यंजक को BODMAS नियम का उपयोग करके सरल किया जाता है, जो कोष्ठक (Brackets), का (Of), भाग (Division), गुणा (Multiplication), जोड़ (Addition) और घटाव (Subtraction) को प्राथमिकता देता है।

अंश के लिए, सबसे पहले मिश्रित भिन्नों को विषम भिन्नों (improper fractions) में बदलें: 5½ = ¹¹⁄₂, 3⅔ = ¹¹⁄₃, 5⅑ = ⁴⁶⁄₉, 7⅞ = ⁶³⁄₈, और 9⁹⁄₂₀ = ¹⁸⁹⁄₂₀। अंश का पहला भाग ¹¹⁄₂ ÷ (¹¹⁄₃ का ¼) है। पहले 'का' (of) संक्रिया को हल करने पर, हमें ¹¹⁄₂ ÷ ¹¹⁄₁₂ = ¹¹⁄₂ × ¹²⁄₁₁ = 6 प्राप्त होता है। कोष्ठक वाला पद (⁴⁶⁄₉ - ⁶³⁄₈ ÷ ¹⁸⁹⁄₂₀) है। पहले भाग की संक्रिया करने पर: ⁶³⁄₈ × ²⁰⁄₁₈₉ = ½ × ⁵⁄₃ = ⅚। फिर, ⁴⁶⁄₉ - ⅚ = (92 - 15)/(18) = ⁷⁷⁄₁₈। इसे ⁹⁄₁₁ से गुणा करने पर ⁷⁷⁄₁₈ × ⁹⁄₁₁ = ⁷⁄₂ प्राप्त होता है। कुल अंश 6 + ⁷⁄₂ = ¹⁹⁄₂ है।

हर के लिए, पहले 'का' (of) संक्रिया और उसके बाद भाग को हल करें: 5 ÷ (5 का ⅒) - (10 × 10 ÷ 20) = 5 ÷ ½ - (100 ÷ 20) = 10 - 5 = 5।

अंश को हर से विभाजित करने पर, हमें (19/2)/(5) = ¹⁹⁄₁₀ = 1⁹⁄₁₀ प्राप्त होता है।

व्याख्या

बेलनाकार बर्तन से आयताकार टब में स्थानांतरित करने पर पानी का आयतन समान रहता है। बेलन का आयतन V = π r² H द्वारा दिया जाता है और आयताकार टब का आयतन V = L × B × h होता है। इन दोनों आयतनों की तुलना करने पर, टब में पानी की ऊंचाई निर्धारित की जा सकती है: π r² H = L × B × h

दिए गए मानों r = 30 सेमी, H = 42 सेमी, L = 75 सेमी, B = 44 सेमी, और π = ²²⁄₇ को समीकरण में रखने पर: ²²⁄₇ × 30 × 30 × 42 = 75 × 44 × h

42 को 7 से विभाजित करके समीकरण के बाएँ पक्ष को सरल करें: 22 × 900 × 6 = 3300 × h 118800 = 3300 × h

अब, कुल आयतन को टब के आधार के क्षेत्रफल से विभाजित करके h का मान ज्ञात करें: h = ¹¹⁸⁸⁰⁰⁄₃₃₀₀ h = ¹¹⁸⁸⁄₃₃ h = 36 सेमी

वैकल्पिक रूप से, सरलीकरण (काटने) के माध्यम से: h = (22 × 30 × 30 × 6)/(75 × 44) h = (1 × 900 × 6)/(75 × 2) h = (900 × 6)/(150) h = 6 × 6 = 36 सेमी

व्याख्या

अभीष्ट प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले वर्ष 2014 में उत्पादों B, C और D की बिक्री से प्राप्त कुल राजस्व की गणना करें। तालिका से, ये मान क्रमशः 92, 96 और 92 हैं। 2014 में कुल राजस्व (B + C + D) = 92 + 96 + 92 = 280

इसके बाद, 2012 से 2017 तक की पूरी छह वर्ष की अवधि में उत्पादों C और D की बिक्री से प्राप्त कुल राजस्व की गणना करें। C का कुल राजस्व = 82 + 98 + 96 + 88 + 93 + 103 = 560 D का कुल राजस्व = 74 + 102 + 92 + 93 + 97 + 102 = 560 6 वर्षों में कुल राजस्व (C + D) = 560 + 560 = 1120

अभीष्ट प्रतिशत की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: प्रतिशत = (2014 में राजस्व (B+C+D)) / (6 वर्षों में कुल राजस्व (C+D)) × 100 प्रतिशत = ²⁸⁰⁄₁₁₂₀ × 100 प्रतिशत = ¼ × 100 = 25

व्याख्या

दिए गए समीकरण 7 sin² θ - cos² θ + 2 sin θ = 2 को sin θ के पदों में व्यक्त करने के लिए cos² θ = 1 - sin² θ प्रतिस्थापित करने पर: 7 sin² θ - (1 - sin² θ) + 2 sin θ = 2 8 sin² θ + 2 sin θ - 3 = 0

गुणनखंडन द्वारा इस द्विघात समीकरण को हल करने पर: 8 sin² θ + 6 sin θ - 4 sin θ - 3 = 0 2 sin θ (4 sin θ + 3) - 1 (4 sin θ + 3) = 0 (2 sin θ - 1)(4 sin θ + 3) = 0

चूंकि 0° < θ < 90° है, इसलिए sin θ का मान धनात्मक होना चाहिए। इस प्रकार, sin θ = 1/2, जिसका अर्थ है θ = 30°।

अब, आवश्यक व्यंजक में 2θ = 60° प्रतिस्थापित करने पर: (sec 60° + cot 60°)/(csc 60° + tan 60°) = (2 + 1)/(√(3)){(2)/(√(3)) + √3}

सरल करने के लिए, अंश और हर दोनों को √3 से गुणा करने पर: 2√3 + 1{2 + (√3)(√3)} = 2√3 + 1{2 + 3} = 2√3 + 1{5} = ⅕(1 + 2√3)

व्याख्या

जब ब्याज एक वर्ष के लिए वार्षिक रूप से संयोजित होता है, तो प्रभावी दर 10% होती है। जब अर्धवार्षिक रूप से संयोजित होता है, तो ब्याज की गणना 5% प्रति अवधि की दर से छह-छह महीने की दो अवधियों के लिए की जाती है। प्रभावी वार्षिक दर की गणना क्रमिक प्रतिशत सूत्र a + b + ᵃᵇ⁄₁₀₀ का उपयोग करके की जाती है, जिससे 5 + 5 + (5 × 5)/(100) = 10.25% प्राप्त होता है।

प्रभावी दरों में अंतर 10.25% - 10% = 0.25% है। हमें दिया गया है कि यह अंतर ₹88.80 के बराबर है। मूलधन P ज्ञात करने के लिए: P का 0.25% = 88.80 (P)/(400) = 88.80 P = 88.80 × 400 = 35,520

उसी धनराशि पर समान 10% की दर से 1⅔ वर्ष (या ⁵⁄₃ वर्ष) के लिए साधारण ब्याज है: SI = (P × R × T)/(100) SI = (35520 × 10 × 5)/(3){100} SI = (3552 × 5)/(3) = 1184 × 5 = 5,920

व्याख्या

मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec²θ - tan²θ = 1 का उपयोग करके, हम tan²θ - sec²θ = -1 प्राप्त कर सकते हैं। घन बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)³ = a³ - b³ - 3ab(a - b) को लागू करने और a = tan²θ तथा b = sec²θ प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

(tan²θ - sec²θ)³ = (tan²θ)³ - (sec²θ)³ - 3tan²²θ(tan²θ - sec²θ)

इस समीकरण में tan²θ - sec²θ = -1 का मान प्रतिस्थापित करने पर:

(-1)³ = tan⁶θ - sec⁶θ - 3tan²²θ(-1)

-1 = tan⁶θ - sec⁶θ + 3tan²²θ

प्रतियोगी परीक्षाओं में त्वरित परिणाम के लिए, मूल व्यंजक में θ = 0° (जहाँ tan 0° = 0 और sec 0° = 1) प्रतिस्थापित करने पर 3(1)²(0)² + 0⁶ - 1⁶ = 0 + 0 - 1 = -1 प्राप्त होता है।