एसएससी सीजीएल टियर 1 2020 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

माना पांचवीं संख्या x है। प्रश्न के अनुसार, पहली चार संख्याओं का औसत पांचवीं संख्या का तीन गुना है, इसलिए पहली चार संख्याओं का औसत 3x है। इन पहली चार संख्याओं का योग उनके औसत को उनकी संख्या से गुणा करके ज्ञात किया जाता है, जिससे 4 × 3x = 12x प्राप्त होता है।

सभी पांच संख्याओं का योग, पहली चार संख्याओं के योग और पांचवीं संख्या का योग है, जो कि 12x + x = 13x है। सभी पांच संख्याओं का औसत 85.8 दिया गया है। हम इस संबंध का उपयोग करके समीकरण स्थापित कर सकते हैं:

पांच संख्याओं का औसत = (पांच संख्याओं का योग)/(5)

85.8 = ¹³ˣ⁄₅

दोनों पक्षों को 5 से गुणा करने पर प्राप्त होता है:

13x = 429

x का मान ज्ञात करने के लिए 13 से भाग देने पर:

x = ⁴²⁹⁄₁₃ = 33

व्याख्या

इस व्यंजक को BODMAS नियम का उपयोग करके हल किया जाता है, जो संक्रियाओं के क्रम को कोष्ठक (Brackets), घातांक/क्रम (Orders), भाग (Division), गुणा (Multiplication), जोड़ (Addition) और घटाव (Subtraction) के रूप में निर्धारित करता है।

इस क्रम का पालन करते हुए, सबसे पहले भाग की संक्रिया करें: 11 ÷ 11 = 1। अब व्यंजक 11 + 11 × 11 - 1 हो जाता है।

इसके बाद, गुणा की संक्रिया करें: 11 × 11 = 121। व्यंजक 11 + 121 - 1 हो जाता है।

फिर, जोड़ की संक्रिया करें: 11 + 121 = 132। व्यंजक सरल होकर 132 - 1 हो जाता है।

अंत में, घटाव की संक्रिया करें: 132 - 1 = 131।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय पूरक कोण सर्वसमिकाओं का उपयोग करके व्यंजक को सरल किया जा सकता है, जहाँ sin(90° - θ) = cos θ और tan(90° - θ) = cot θ।

सबसे पहले, साइन (sine) और कोसाइन (cosine) पदों के अनुपात को सरल करें: (sin 22°)/(cos 68°) = (sin 22°)/(sin(90° - 68°)) = (sin 22°)/(sin 22°) = 1

इसके बाद, टैन (tangent) पदों के गुणनफल को सरल करें। ध्यान दें कि tan θ · tan(90° - θ) = tan θ · cot θ = 1: tan 20° · tan 40° · tan 45° · tan 50° · tan 70° = (tan 20° · tan 70°) · (tan 40° · tan 50°) · tan 45° = (tan 20° · cot 20°) · (tan 40° · cot 40°) · (1) = 1 · 1 · 1 = 1

फिर, tan 15° और cot 75° वाले अनुपात को सरल करें: (tan 15°)/(cot 75°) = (tan 15°)/(tan(90° - 75°)) = (tan 15°)/(tan 15°) = 1

दिए गए गुणांकों (2, 8, 5, 5) का उपयोग करके इन सरलीकृत मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: 2 ((sin 22°)/(cos 68°)) + 8(tan 20° … tan 70°) - 5 ((tan 15°)/(cot 75°)) - 5 = 2(1) + 8(1) - 5(1) - 5 = 2 + 8 - 5 - 5 = 10 - 10 = 0

व्याख्या

दिए गए व्यंजक को ((csc A + 1) + cot A)((csc A + 1) - cot A) - 2csc A के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। बीजगणितीय सर्वसमिका (x + y)(x - y) = x² - y² को लागू करने पर, जहाँ x = csc A + 1 और y = cot A है, यह व्यंजक सरल होकर (csc A + 1)² - cot² A - 2csc A हो जाता है। वर्ग पद का विस्तार करने पर csc² A + 2csc A + 1 - cot² A - 2csc A प्राप्त होता है। मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका csc² A - cot² A = 1 का उपयोग करने पर, यह व्यंजक घटकर 1 + 1 + 2csc A - 2csc A हो जाता है, जो 2 के बराबर है। इस परिणाम को किसी विशिष्ट कोण जैसे कि A = 90° रखकर भी तुरंत सत्यापित किया जा सकता है, जहाँ csc 90° = 1 और cot 90° = 0 है, जिससे (1 + 0 + 1)(1 - 0 + 1) - 2(1) = 4 - 2 = 2 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मॉड्यूलर अंकगणित (modular arithmetic) में शेषफल के गुणधर्म के अनुसार, किसी गुणनफल का शेषफल उसके व्यक्तिगत पदों के शेषफलों का गुणनफल होता है। प्रश्न के अनुसार, जब पूर्णांक n को 5 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल 2 प्राप्त होता है। इसे n ≡ 2 5 के रूप में लिखा जा सकता है।

7n को 5 से विभाजित करने पर प्राप्त होने वाले शेषफल को ज्ञात करने के लिए, हम 7 के शेषफल को n के शेषफल से गुणा करते हैं। 7 को 5 से विभाजित करने पर शेषफल 2 प्राप्त होता है, क्योंकि 7 = 5 × 1 + 2। शेषफल के गुणन नियम को लागू करने पर, 7n के लिए शेषफल 2 × 2 = 4 प्राप्त होता है। चूंकि 4 भाजक 5 से छोटा है, इसलिए अंतिम शेषफल 4 है। वैकल्पिक रूप से, व्यंजक 7n में n = 5k + 2 प्रतिस्थापित करने पर 7(5k + 2) = 35k + 14 प्राप्त होता है। जब 35k + 14 को 5 से विभाजित किया जाता है, तो 35k से कोई शेषफल नहीं बचता है, और 14 से शेषफल 4 प्राप्त होता है।

व्याख्या

माना पहली पुस्तक का क्रय मूल्य = x रुपये। दूसरी पुस्तक का क्रय मूल्य = 300 - x। न लाभ न हानि के लिए: x*(120/100) + (300-x)*(90/100) = 300। हल करने पर: 3x = 300, x = 100। विक्रय मूल्य = 100 * 120/100 = 120 रुपये।

व्याख्या

माना n संख्याओं का योग S है। दी गई जानकारी के आधार पर, हम दो रैखिक समीकरण बना सकते हैं: S - 2n = 102 S - 5n = 12

पहले समीकरण में से दूसरे समीकरण को घटाने पर, हम n का मान ज्ञात करने के लिए S को हटा देते हैं: (S - 2n) - (S - 5n) = 102 - 12 3n = 90 n = 30

इसके बाद, कुल योग S निर्धारित करने के लिए हम पहले समीकरण में n = 30 रखते हैं: S - 2(30) = 102 S - 60 = 102 S = 162

n संख्याओं का औसत कुल योग को तत्वों की संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: औसत = (S)/(n) = ¹⁶²⁄₃₀ = 5.4

व्याख्या

चारों पदों का कुल योग औसत को पदों की संख्या से गुणा करके निर्धारित किया जाता है: 30 × 4 = 120। मान लीजिए कि पहले पद को x द्वारा और शेष तीन पदों के योग को S द्वारा दर्शाया गया है। दी गई शर्त के आधार पर, पहला पद शेष पदों के योग का एक-तिहाई है, जिसे x = ⅓ S के रूप में व्यक्त किया गया है, जिसका अर्थ है S = 3x। सभी चारों पदों का कुल योग पहले पद और शेष पदों का योग है, इसलिए x + S = 120। S के स्थान पर 3x प्रतिस्थापित करने पर, समीकरण x + 3x = 120 हो जाता है, जो सरल होकर 4x = 120 हो जाता है। दोनों पक्षों को 4 से विभाजित करने पर x = 30 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि साइकिल से यात्रा करने में लगा समय t घंटे है। चूंकि यात्रा की कुल अवधि 9 घंटे है, इसलिए पैदल यात्रा में लगा समय 9 - t घंटे है। संबंध दूरी = गति × समय का उपयोग करते हुए, तय की गई कुल दूरी दोनों माध्यमों द्वारा तय की गई दूरियों का योग है: 5(9 - t) + 10t = 50 45 - 5t + 10t = 50 5t = 50 - 45 5t = 5 t = 1 साइकिल द्वारा तय की गई दूरी साइकिल की गति को इस समयावधि से गुणा करके प्राप्त की जाती है: 10 किमी/घंटा × 1 घंटा = 10 किमी

वैकल्पिक रूप से, इसे भारित औसत (weighted average) विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है। पूरी यात्रा के लिए औसत गति 50/9 किमी/घंटा है। पैदल यात्रा में बिताए गए समय और साइकिल पर बिताए गए समय का अनुपात गतियों और औसत गति के बीच के अंतर के अनुपात द्वारा दिया जाता है: (10 - 50/9) : (50/9 - 5) (90/9 - 50/9) : (50/9 - 45/9) 40/9 : 5/9 = 8 : 1 9 घंटे के कुल समय को 9 भागों (8 + 1) में विभाजित किया गया है। इस प्रकार, साइकिल पर बिताया गया समय 1/9 × 9 = 1 घंटा है। साइकिल से तय की गई दूरी 10 किमी/घंटा × 1 घंटा = 10 किमी है।

व्याख्या

एक स्पर्शरेखीय चतुर्भुज (वृत्त के परिगत बने चतुर्भुज) के लिए, सम्मुख भुजाओं की लंबाइयों का योग बराबर होता है: AB + CD = BC + AD. मान रखने पर, 8 + 6 = 7 + AD, इसलिए AD = 14 - 7 = 7 सेमी।

व्याख्या

प्रतिच्छेदी जीवाओं के गुणधर्म से: RQ * RP = SR * RT. 14.4 * (14.4 + 11.2) = 12.8 * RT. 14.4 * 25.6 = 12.8 * RT. RT = 28.8 सेमी। TS = RT - SR = 28.8 - 12.8 = 16 सेमी

व्याख्या

दिए गए संबंध a = 2b = 8c से, हम a और b को c के पदों में a = 8c और b = 4c के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। समीकरण a + b + c = 13 का उपयोग करते हुए, हम c का मान ज्ञात करने के लिए इन पदों को प्रतिस्थापित करते हैं:

8c + 4c + c = 13 13c = 13 c = 1

चूंकि c = 1 है, इसलिए a = 8 और b = 4 प्राप्त होता है। अब, इन मानों को व्यंजक √(a² + b² + c²){2c} में प्रतिस्थापित करें:

√(8² + 4² + 1²){2(1)} = √(64 + 16 + 1){2}

√(81){2} = ⁹⁄₂

वैकल्पिक रूप से, व्यंजक को c के विशिष्ट मान को हल किए बिना सीधे c के पदों में सरल किया जा सकता है, जब तक कि c ≠ 0 हो:

√((8c)² + (4c)² + c²){2c} = √(64c² + 16c² + c²){2c} = √(81c²){2c} = (9c)/(2c) = ⁹⁄₂

व्याख्या

लाभ में कमी, बल्ले के अंकित मूल्य पर दी जाने वाली छूट की राशियों के अंतर के बराबर है। प्रारंभ में, व्यक्ति ने 8% की छूट की योजना बनाई थी, लेकिन उसने अपने भाई के लिए इसे बढ़ाकर 10% कर दिया। यह परिवर्तन अंकित मूल्य के 10% - 8% = 2% की अतिरिक्त छूट को दर्शाता है। चूंकि क्रय मूल्य स्थिर रहता है, इसलिए छूट में इस वृद्धि के परिणामस्वरूप सीधे लाभ में तदनुरूपी कमी आती है।

मान लीजिए कि बल्ले का अंकित मूल्य M है। प्रश्न के अनुसार, यह 2% का अंतर 70 रुपये के बराबर है। प्रतिशत सूत्र का उपयोग करने पर: M का 2% = 70 ²⁄₁₀₀ × M = 70 M = (70 × 100)/(2) M = 35 × 100 M = 3500

छूट दरों में अंतर की गणना करके और इसे लाभ में हुई कमी के बराबर रखकर, अंकित मूल्य 3,500 रुपये निर्धारित होता है।

व्याख्या

किसी दिए गए वर्ष में किसी देश के लिए व्यापार संतुलन को इस सूत्र द्वारा परिभाषित किया जाता है: व्यापार संतुलन = निर्यात - आयात। चार वर्ष की अवधि में औसत व्यापार संतुलन ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले प्रत्येक विशिष्ट वर्ष के लिए व्यापार संतुलन की गणना करते हैं:

2016 के लिए: 130 - 125 = 5 करोड़ 2017 के लिए: 150 - 145 = 5 करोड़ 2018 के लिए: 175 - 165 = 10 करोड़ 2019 के लिए: 200 - 188 = 12 करोड़

इसके बाद, हम इन व्यापार संतुलनों के योग की गणना करते हैं: 5 + 5 + 10 + 12 = 32 करोड़। औसत व्यापार संतुलन इस कुल योग को वर्षों की संख्या (4) से विभाजित करके निर्धारित किया जाता है:

औसत व्यापार संतुलन = (Σ व्यापार संतुलन)/(n) = ³²⁄₄ = 8 करोड़।

व्याख्या

घनाभ का आयतन = आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई। 330 = 15 × ऊँचाई। ऊँचाई = 330/15 = 22 सेमी

व्याख्या

एक गोले का आयतन सूत्र V = ⁴⁄₃ π r³ द्वारा दिया जाता है। चूंकि आयतन त्रिज्या के घन के समानुपाती होता है, इसलिए गोले A और B के आयतनों का अनुपात (V_A)/(V_B) = (r_A³)/(r_B³) = ¹²⁵⁄₆₄ है। इस अनुपात का घनमूल लेने पर, हमें उनकी त्रिज्याओं का अनुपात (r_A)/(r_B) = ³√(125)/{³√(64)} = ⁵⁄₄ प्राप्त होता है।

त्रिज्याओं का योग r_A + r_B = 36 सेमी दिया गया है। 5:4 के अनुपात का उपयोग करके, हम गोले A की त्रिज्या r_A = (5)/(5 + 4) × 36 = ⁵⁄₉ × 36 = 20 सेमी के रूप में निर्धारित कर सकते हैं।

एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र A = 4 π r² का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है। गोले A के लिए, त्रिज्या r_A = 20 सेमी प्रतिस्थापित करने पर A = 4 π (20)² = 4 π × 400 = 1600π सेमी² प्राप्त होता है।

व्याख्या

व्यंजक (a + b - c)³ + (a - b + c)³ - 8a³ को सरल करने के लिए, हम बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग कर सकते हैं: यदि x + y + z = 0, तो x³ + y³ + z³ = 3xyz।

मान लीजिए कि तीनों पद इस प्रकार हैं: x = a + b - c y = a - b + c z = -2a (ध्यान दें कि -8a³ = (-2a)³)

सबसे पहले, x, y और z के योग की जाँच करें: x + y + z = (a + b - c) + (a - b + c) + (-2a) x + y + z = (a + a - 2a) + (b - b) + (-c + c) x + y + z = 2a - 2a + 0 + 0 = 0

चूंकि योग शून्य है, इसलिए हम सर्वसमिका लागू करते हैं: (a + b - c)³ + (a - b + c)³ + (-2a)³ = 3(a + b - c)(a - b + c)(-2a) = -6a(a + b - c)(a - b + c)

दिए गए विकल्पों की संरचना से मिलान करने के लिए, हम ऋणात्मक चिह्न को गुणनखंडों में से किसी एक में वितरित कर सकते हैं: -6a(a + b - c)(a - b + c) = 6a[-(a + b - c)](a - b + c) = 6a(c - a - b)(a - b + c)

यह व्यंजक विकल्प A में दिए गए गुणनखंडों और गुणांक से मेल खाता है।

व्याख्या

2014 में कुल व्यय उस वर्ष के लिए सभी व्यय मदों का योग है: कुल व्यय (2014) = वेतन + ईंधन और परिवहन + बोनस + ऋणों पर ब्याज कुल व्यय (2014) = 284 + 98 + 3.00 + 23.4 = 408.4

2018 में कुल व्यय उस वर्ष के लिए सभी व्यय मदों का योग है: कुल व्यय (2018) = वेतन + ईंधन और परिवहन + बोनस + ऋणों पर ब्याज कुल व्यय (2018) = 425 + 141 + 3.96 + 49.4 = 619.36

यह ज्ञात करने के लिए कि 2014 में कुल व्यय, 2018 में कुल व्यय का कितना प्रतिशत था, हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं: प्रतिशत = (कुल व्यय 2014)/(कुल व्यय 2018) × 100

परिकलित कुल मानों को प्रतिस्थापित करने पर: प्रतिशत = (408.4)/(619.36) × 100 ≈ 66.32%

व्याख्या

उत्पादन में निरंतर गिरावट वाली कंपनी का निर्धारण करने के लिए, कंपनी I के मासिक डेटा का विश्लेषण इस प्रकार किया जाता है: जनवरी में उत्पादन 327 लाख टन था, जो फरवरी में घटकर 326 लाख टन हो गया। यह गिरावट की प्रवृत्ति मार्च में भी जारी रही, जिसमें उत्पादन 320 लाख टन रहा, इसके बाद अप्रैल में 318 लाख टन और अंततः मई में 310 लाख टन तक पहुँच गया। कालानुक्रमिक रूप से मूल्यों की तुलना करने पर, हम पाते हैं कि 327 > 326 > 320 > 318 > 310 है। चूंकि प्रत्येक क्रमिक महीना बिना किसी ठहराव या वृद्धि के पिछले महीने की तुलना में कम उत्पादन मूल्य दर्शाता है, इसलिए कंपनी I एकमात्र ऐसी कंपनी है जो संपूर्ण पांच महीने की अवधि के दौरान निरंतर गिरावट की स्थिति को संतुष्ट करती है।

व्याख्या

एक पूरे चक्कर में पहिये द्वारा तय की गई दूरी उसकी परिधि के बराबर होती है। व्यास d के संदर्भ में एक वृत्त की परिधि C का सूत्र C = π d है।

परिधि के स्थान पर दी गई दूरी 1,100 सेमी रखने पर और मानक सन्निकटन π = ²²⁄₇ का उपयोग करने पर:

1,100 = ²²⁄₇ × d

व्यास d ज्ञात करने के लिए, समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें:

d = (1,100 × 7)/(22)

1,100 को 22 से विभाजित करने पर, हमें 50 प्राप्त होता है:

d = 50 × 7 d = 350 सेमी

व्याख्या

माना कुल कार्य 24, 16 और 32 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है। कुल कार्य = LCM(24, 16, 32) = 96 इकाई

प्रत्येक व्यक्ति की कार्यक्षमता (प्रतिदिन किया गया कार्य) है: A की कार्यक्षमता = ⁹⁶⁄₂₄ = 4 इकाई/दिन B की कार्यक्षमता = ⁹⁶⁄₁₆ = 6 इकाई/दिन C की कार्यक्षमता = ⁹⁶⁄₃₂ = 3 इकाई/दिन

A और C मिलकर 6 दिनों तक कार्य करते हैं। उनकी संयुक्त कार्यक्षमता 4 + 3 = 7 इकाई/दिन है। A और C द्वारा 6 दिनों में किया गया कार्य = 7 × 6 = 42 इकाई

B द्वारा पूरा किए जाने वाले शेष कार्य की मात्रा है: शेष कार्य = 96 - 42 = 54 इकाई

B द्वारा इस शेष कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक दिनों की संख्या है: समय = (शेष कार्य)/(B की कार्यक्षमता) = ⁵⁴⁄₆ = 9 दिन

व्याख्या

दोनों मामलों में तय की जाने वाली कुल दूरी दोनों ट्रेनों की लंबाई का योग, L_X + L_Y है। सापेक्ष चाल के सूत्र का उपयोग करते हुए, दूरी D = सापेक्ष चाल × समय। जब ट्रेनें एक ही दिशा में चलती हैं, तो सापेक्ष चाल V_X - V_Y होती है। जब वे विपरीत दिशाओं में चलती हैं, तो सापेक्ष चाल V_X + V_Y होती है।

दिया गया है कि V_X = 60 किमी/घंटा और L_Y = 225 मीटर, हम समानता स्थापित कर सकते हैं क्योंकि दूरी L_X + L_Y समान है: (V_X - V_Y) × 72 = (V_X + V_Y) × 18 4(60 - V_Y) = 60 + V_Y 240 - 4V_Y = 60 + V_Y 180 = 5V_Y V_Y = 36 किमी/घंटा

L_X ज्ञात करने के लिए, विपरीत दिशा वाले समीकरण में V_Y का मान रखें, और चाल को ⁵⁄₁₈ से गुणा करके मीटर/सेकंड (m/s) में बदलें: L_X + 225 = (60 + 36) × ⁵⁄₁₈ × 18 L_X + 225 = 96 × 5 L_X + 225 = 480 L_X = 255 मीटर

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका x⁴ + x² y² + y⁴ = (x² + xy + y²)(x² - xy + y²) का उपयोग करके, हम दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करके दूसरे गुणनखंड का मान ज्ञात कर सकते हैं। दिया गया है कि x⁴ + x² y² + y⁴ = 21 और x² + xy + y² = 7, इसलिए हमारे पास 21 = 7 × (x² - xy + y²) है, जो सरल होने पर x² - xy + y² = 3 हो जाता है।

वांछित व्यंजक के घटकों को ज्ञात करने के लिए, हम दोनों समीकरणों पर संक्रियाएँ करते हैं: x² + xy + y² = 7 x² - xy + y² = 3

दोनों समीकरणों को जोड़ने पर 2(x² + y²) = 10 प्राप्त होता है, इसलिए x² + y² = 5। पहले समीकरण में से दूसरे समीकरण को घटाने पर 2xy = 4 प्राप्त होता है, इसलिए xy = 2, जिससे प्राप्त होता है कि x² y² = 4।

मूल्यांकन किया जाने वाला व्यंजक (1)/(x²) + (1)/(y²) है, जिसे (x² + y²)/(x² y²) के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। इस सूत्र में x² + y² = 5 और x² y² = 4 मानों को प्रतिस्थापित करने पर ⁵⁄₄ प्राप्त होता है।

व्याख्या

पूरक कोणों के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ दर्शाती हैं कि csc A = sec(90° - A) और tan A = cot(90° - A) होता है। दिए गए व्यंजक में, पद csc(85° + θ) और पद sec(5° - θ) पूरक हैं क्योंकि उनके कोणों का योग 90° है: (85° + θ) + (5° - θ) = 90°। इसका अर्थ है कि csc(85° + θ) = sec(5° - θ), इसलिए इन दोनों पदों को घटाने पर शून्य प्राप्त होता है।

इसी प्रकार, पद tan(55° + θ) और पद cot(35° - θ) पूरक हैं क्योंकि (55° + θ) + (35° - θ) = 90° है। इसका अर्थ है कि tan(55° + θ) = cot(35° - θ)। व्यंजक में, ये पद -tan(55° + θ) + cot(35° - θ) के रूप में दिए गए हैं, जिसका परिणाम भी शून्य होता है। इन दोनों भागों को मिलाने पर, कुल मान 0 + 0 = 0 प्राप्त होता है।

व्याख्या

जब 200 को एक धनात्मक पूर्णांक x से विभाजित किया जाता है और शेषफल 8 प्राप्त होता है, तो इस संबंध को 200 = qx + 8 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ q एक पूर्णांक है और x > 8 है। इसे सरल करने पर qx = 192 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि x, 192 का एक ऐसा गुणनखंड होना चाहिए जो शेषफल 8 से निश्चित रूप से बड़ा हो।

192 के गुणनखंडों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले इसका अभाज्य गुणनखंडन निर्धारित करते हैं: 192 = 2⁶ × 3¹। गुणनखंडों की कुल संख्या की गणना सूत्र (a+1)(b+1) का उपयोग करके की जाती है, जहाँ a और b अभाज्य गुणनखंडों के घातांक हैं। इस प्रकार, कुल गुणनखंड = (6 + 1) × (1 + 1) = 7 × 2 = 14।

192 के गुणनखंड 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 64, 96 और 192 हैं। चूँकि भाजक x का मान शेषफल 8 से अधिक होना चाहिए, इसलिए हम गुणनखंडों 1, 2, 3, 4, 6 और 8 को छोड़ देते हैं। ऐसे 6 गुणनखंड हैं जिन्हें छोड़ना होगा। इन्हें कुल संख्या में से घटाने पर, हमें x के लिए 14 - 6 = 8 मान्य मान प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

दिए गए समीकरण x² - 3x + 1 = 0 के सभी पदों को x से विभाजित करके इसे पुनः लिखा जा सकता है, जिससे x - 3 + ¹⁄ₓ = 0, या x + ¹⁄ₓ = 3 प्राप्त होता है। x⁶ + (1)/(x⁶) का मान ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले संबंध x² + (1)/(x²) = (x + ¹⁄ₓ)² - 2 का उपयोग करके x² + (1)/(x²) का मान ज्ञात करें। मान प्रतिस्थापित करने पर 3² - 2 = 7 प्राप्त होता है।

इसके बाद, a = x² और b = (1)/(x²) रखकर घनीय सर्वसमिका a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b) का उपयोग करें। इससे व्यंजक x⁶ + (1)/(x⁶) = (x² + (1)/(x²))³ - 3(x² · (1)/(x²))(x² + (1)/(x²)) प्राप्त होता है। इस सूत्र में पहले से ज्ञात मान 7 को प्रतिस्थापित करने पर 7³ - 3(7) = 343 - 21 = 322 प्राप्त होता है।

व्याख्या

माना प्रारंभिक उत्पादन मूल्य 100 है, जिससे प्रारंभिक विक्रय मूल्य 125 हो जाता है। परिवर्तनों के बाद, नया उत्पादन मूल्य 120 है और नया विक्रय मूल्य 137.5 (125 में 10% की वृद्धि) है। नया लाभ 17.5 है, और लाभ प्रतिशत (17.5 / 120) * 100 है, जो लगभग 14.6% है।

व्याख्या

विपरीत सिरों से शुरू होने वाली दो वस्तुओं की चाल और मिलने के बाद अपने गंतव्य तक पहुँचने में लगने वाले समय के बीच का संबंध अनुपात Sa/Sb = √(Tb/Ta) द्वारा दिया जाता है। दिया गया है कि Sa, Sb से 20% अधिक है, इसलिए Sa/Sb = 1.2/1 = 6/5। सूत्र में मान रखने पर: 6/5 = √(x / 2.5)। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर 36/25 = x / 2.5 प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर x = (36 · 2.5) / 25 = 3.6, या 3 3/5 प्राप्त होता है।

व्याख्या

20% और 25% की क्रमिक छूट के परिणामस्वरूप एक एकल समतुल्य छूट प्राप्त होती है, जिसकी गणना इस प्रकार की जाती है: d = 20 + 25 - (20 × 25)/(100) = 45 - 5 = 40%। माना वस्तु का क्रय मूल्य 100x है। विक्रेता वस्तु का मूल्य क्रय मूल्य से 40% अधिक अंकित करता है, जिससे अंकित मूल्य (MP) = 100x × 1.40 = 140x हो जाता है। इसके बाद अंकित मूल्य पर 40% की छूट देकर विक्रय मूल्य (SP) निर्धारित किया जाता है: SP = 140x × (1 - 0.40) = 140x × 0.60 = 84x।

हुई हानि, क्रय मूल्य और विक्रय मूल्य का अंतर है, जो कि 100x - 84x = 16x है। प्रश्न के अनुसार, विक्रेता को ₹ 140 की हानि होती है, इसलिए 16x = 140। x के लिए हल करने पर, x = ¹⁴⁰⁄₁₆ = 8.75 प्राप्त होता है। अतः, वस्तु का क्रय मूल्य 100x = 100 × 8.75 = 875 है।

व्याख्या

व्यंजक 515 × 485 को वर्गों के अंतर की बीजगणितीय सर्वसमिका, (a + b)(a - b) = a² - b² का उपयोग करके कुशलतापूर्वक हल किया जा सकता है। दोनों संख्याओं के बीच के मध्य बिंदु की पहचान करके, हम उन्हें निम्नानुसार लिख सकते हैं: 515 = 500 + 15 485 = 500 - 15 इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर जहाँ a = 500 और b = 15 है: 515 × 485 = (500 + 15)(500 - 15) = 500² - 15² वर्गों की गणना करने पर: 500² = 250,000 15² = 225 अंतिम घटाव करने पर: 250,000 - 225 = 249,775

व्याख्या

अभीष्ट अनुपात ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले कला संकाय में नामांकित लड़कियों की संख्या ज्ञात करें और फिर शेष संकायों में लड़कियों की कुल संख्या की गणना करें। तालिका के अनुसार, कला संकाय में लड़कियों की संख्या 45 है।

अन्य संकायों में लड़कियों की संख्या विज्ञान, वाणिज्य और व्यावसायिक संकायों में लड़कियों की संख्या का योग है। अन्य संकायों में कुल लड़कियाँ = 18 (विज्ञान) + 42 (वाणिज्य) + 30 (व्यावसायिक) = 90.

कला संकाय में लड़कियों की संख्या का अन्य सभी संकायों में लड़कियों की संख्या से अनुपात की गणना इस प्रकार की जाती है: अनुपात = 45 : 90

दोनों पक्षों को महत्तम समापवर्तक (greatest common divisor) से विभाजित करने पर, जो कि 45 है, हमें प्राप्त होता है: अनुपात = 1 : 2

व्याख्या

कार का कुल क्रय मूल्य (TCP), खरीद मूल्य और रखरखाव के खर्चों का योग है। रु. 1,56,250 का विक्रय मूल्य (SP) और 25% का लाभ दिए जाने पर, कुल क्रय मूल्य की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

TCP = (SP)/(1 + लाभ %){100}

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

TCP = (1,56,250)/(1 + 25){100} = (1,56,250)/(1.25)

TCP = 1,25,000

कुल क्रय मूल्य रु. 1,25,000 है। चूंकि डीलर ने कार को रु. 1,08,500 में खरीदा था, इसलिए रखरखाव पर खर्च की गई राशि कुल क्रय मूल्य और खरीद मूल्य के बीच का अंतर है:

रखरखाव खर्च = TCP - खरीद मूल्य

रखरखाव खर्च = 1,25,000 - 1,08,500 = 16,500

इसलिए, डीलर ने कार के रखरखाव पर रु. 16,500 खर्च किए।

व्याख्या

यह पहचानने के लिए कि कौन-से स्वर 80 से कम बार आते हैं, हम प्रत्येक स्वर के लिए प्रदान की गई आवृत्ति तालिका की जांच करते हैं और मानों की तुलना 80 की सीमा से करते हैं। स्वर a की आवृत्ति 75 है, जो इस शर्त (75 < 80) को पूरा करती है। स्वर o की आवृत्ति 70 है, जो इस शर्त (70 < 80) को भी पूरा करती है। स्वर u की आवृत्ति 75 है, जो इस शर्त (75 < 80) को पूरा करती है। इसके विपरीत, स्वर i की आवृत्ति ठीक 80 है, जो 80 के बराबर है लेकिन 80 से कम नहीं है, और स्वर e की आवृत्ति 125 है, जो 80 से अधिक है। इन तुलनाओं के आधार पर, 80 से कम आवृत्ति वाले स्वर a, o और u हैं।

व्याख्या

कुल कार्य को व्यक्ति-दिवस (man-days) में मापा जाता है। प्रारंभ में, 8 व्यक्ति 20 दिनों में कार्य पूरा कर सकते हैं, इसलिए कुल कार्य 8 × 20 = 160 व्यक्ति-दिवस है। 5 दिनों के बाद, पूरा किया गया कार्य 8 × 5 = 40 व्यक्ति-दिवस है। शेष कार्य 160 - 40 = 120 व्यक्ति-दिवस है।

इस शेष 120 व्यक्ति-दिवस के कार्य को अगले 8 दिनों में पूरा करने के लिए, हम सूत्र 'कार्य = व्यक्ति × दिन' का उपयोग करते हैं। मान लीजिए कि आवश्यक व्यक्तियों की कुल संख्या M है। 120 = M × 8 M = ¹²⁰⁄₈ = 15

चूंकि समूह में पहले से ही 8 व्यक्ति हैं, इसलिए आवश्यक अतिरिक्त व्यक्तियों की संख्या 15 - 8 = 7 है। वैकल्पिक रूप से, शेष कार्य के लिए चेन रूल (chain rule) का उपयोग करने पर: M₁ D₁ = M₂ D₂, हमें 8 × 15 = (8 + x) × 8 प्राप्त होता है, जो सरल होकर 15 = 8 + x हो जाता है, जिससे x = 7 प्राप्त होता है।

व्याख्या

कर्मचारी D के लिए ओवरटाइम से प्राप्त आय का प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, तालिका से ओवरटाइम और कुल आय के विशिष्ट मान निकालने होंगे। कर्मचारी D के लिए, ओवरटाइम से प्राप्त आय 2,500 है और कुल मासिक आय 40,000 है।

अपेक्षित प्रतिशत की गणना ओवरटाइम आय को कुल आय से विभाजित करके और 100 से गुणा करके की जाती है:

प्रतिशत = ²⁵⁰⁰⁄₄₀₀₀₀ × 100

शून्यों को काटकर भिन्न को सरल करने पर:

प्रतिशत = ²⁵⁰⁰⁄₄₀₀

प्रतिशत = ²⁵⁄₄

प्रतिशत = 6.25%

व्याख्या

वास्तविक औसत ज्ञात करने के लिए, हम त्रुटि के कारण अंकों के कुल योग में हुए शुद्ध परिवर्तन की गणना करते हैं। अंक को सही मान 58 के स्थान पर 88 दर्ज किया गया था, जिसका अर्थ है कि प्रारंभिक योग वास्तविक योग से अधिक था।

सही अंक और गलत अंक के बीच का अंतर 58 - 88 = -30 है। यह दर्शाता है कि वास्तविक अंकों को दर्शाने के लिए कुल योग में से 30 घटाया जाना चाहिए। औसत पर प्रभाव ज्ञात करने के लिए, हम इस कुल परिवर्तन को कक्षा में छात्रों की संख्या से विभाजित करते हैं:

औसत में परिवर्तन = (कुल परिवर्तन)/(छात्रों की संख्या) = ⁻³⁰⁄₃₀ = -1

मूल औसत में से इस मान को घटाकर, हम वास्तविक औसत प्राप्त करते हैं: 69 - 1 = 68।

व्याख्या

केंद्र O वाले एक वृत्त में, त्रिज्या OA स्पर्श बिंदु A पर स्पर्श रेखा PAQ के लंबवत है, जिसका अर्थ है कि ∠ OAQ = 90° है। त्रिभुज OAB में, भुजाएँ OA और OB त्रिज्याएँ हैं, जिससे यह एक समद्विबाहु त्रिभुज बनता है जहाँ ∠ OAB = ∠ OBA है। दिया गया है कि ∠ OBA = 32°, इसलिए हमारे पास ∠ OAB = 32° है। कोण x को ∠ BAQ के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसकी गणना ∠ OAQ - ∠ OAB = 90° - 32° = 58° के रूप में की जा सकती है।

एकांतर वृत्तखंड प्रमेय (Alternate Segment Theorem) के अनुसार, स्पर्श बिंदु से होकर जाने वाली स्पर्श रेखा और जीवा के बीच का कोण, एकांतर वृत्तखंड में जीवा द्वारा अंतरित कोण के बराबर होता है। यहाँ, स्पर्श रेखा AQ और जीवा AB के बीच का कोण ∠ BAQ = x है, और एकांतर वृत्तखंड में कोण ∠ ACB = y है। इसलिए, y = x = 58° है। वांछित योग x + y = 58 + 58 = 116 है।

व्याख्या

9 की विभाज्यता के नियम के अनुसार, कोई संख्या 9 से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग 9 से विभाज्य हो। संख्या 11906 के लिए, मान लीजिए कि लुप्त अंक x है। अंकों के योग की गणना इस प्रकार की जाती है: 1 + 1 + 9 + 0 + x + 6 = 17 + x। संख्या को 9 से विभाज्य बनाने के लिए, योग 17 + x को 9 का एक गुणज होना चाहिए। 9 का सबसे छोटा गुणज जो 17 से बड़ा या उसके बराबर है, वह 18 है। 17 + x = 18 रखने पर, हमें प्राप्त होता है कि x = 1। इसलिए, एस्टरिस्क () को 1 से प्रतिस्थापित करने पर योग 18 प्राप्त होता है, जो विभाज्यता की शर्त को पूरा करता है।

व्याख्या

BODMAS नियम के अनुसार, कोष्ठक के भीतर की संक्रियाओं को पहले हल किया जाता है। कोष्ठक (26 - 13 × 2) के अंदर, गुणा को घटाव से पहले प्राथमिकता दी जाती है, इसलिए 13 × 2 = 26। इसके बाद कोष्ठक के अंदर का व्यंजक 26 - 26 = 0 हो जाता है। इस मान को मूल समीकरण में वापस रखने पर 0 ÷ 2 + 1 प्राप्त होता है। संक्रियाओं के क्रम के अनुसार, जोड़ से पहले भाग किया जाता है, जिससे 0 ÷ 2 = 0 प्राप्त होता है। अंत में, 0 + 1 को जोड़ने पर मान 1 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिया गया व्यंजक cos 10° cos 30° cos 50° cos 70° cos 90° का गुणनफल है। त्रिकोणमिति में, cos 90° का मान ठीक 0 होता है। चूंकि शून्य को किसी भी परिमित वास्तविक संख्या से गुणा करने पर परिणाम शून्य प्राप्त होता है, इसलिए गुणनफल में एक गुणनखंड के रूप में cos 90° की उपस्थिति पूरे व्यंजक को 0 के बराबर बना देती है।

व्याख्या

मूल्य वृद्धि (मार्कअप) के बाद दी गई छूट के परिणामस्वरूप होने वाले शुद्ध लाभ प्रतिशत की गणना क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है: शुद्ध परिवर्तन = x + y + ˣʸ⁄₁₀₀।

इस प्रश्न में, मूल्य वृद्धि x = +20% है और छूट y = -10% है। सूत्र में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: शुद्ध परिवर्तन = 20 - 10 + (20 × (-10))/(100) शुद्ध परिवर्तन = 10 - 2 = 8%

चूंकि परिणाम धनात्मक है, इसलिए यह 8% के लाभ को दर्शाता है। वैकल्पिक रूप से, यदि क्रय मूल्य को 100 माना जाए, तो क्रय मूल्य से 20% अधिक अंकित मूल्य 120 होगा। 120 पर 10% की छूट मूल्य को 12 (120 का 10%) कम कर देती है, जिससे विक्रय मूल्य 108 हो जाता है। 108 के विक्रय मूल्य और 100 के क्रय मूल्य के बीच का अंतर 8% के लाभ की पुष्टि करता है।

व्याख्या

यह प्रश्न मानक बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करता है: यदि a + b + c = 0, तो a³ + b³ + c³ - 3abc = 0। दिए गए समीकरण x + 3y + 2 = 0 में, हम a = x, b = 3y, और c = 2 मान सकते हैं। दी गई शर्त के अनुसार इन तीनों पदों का योग शून्य है। इन मानों को त्रिघाती सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: x³ + (3y)³ + (2)³ - 3(x)(3y)(2) = 0। घातों और गुणनफल का विस्तार करने पर x³ + 27y³ + 8 - 18xy = 0 प्राप्त होता है।

व्याख्या

कक्षा में छात्रों की कुल संख्या तालिका में दी गई सभी बारंबारताओं का योग है: कुल छात्र = 5 + 11 + 18 + 38 + 39 + 24 + 15 = 150

50 से कम अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या अंतराल 10-20, 20-30, 30-40 और 40-50 की बारंबारताओं का योग है: 50 से कम अंक वाले छात्र = 5 + 11 + 18 + 38 = 72

प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, सूत्र का उपयोग करें: प्रतिशत = (50 से कम अंक वाले छात्रों की संख्या / छात्रों की कुल संख्या) × 100 प्रतिशत = (72 / 150) × 100 प्रतिशत = (24 / 50) × 100 प्रतिशत = 48%

व्याख्या

एक समद्विबाहु त्रिभुज में, समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं। दिया गया है कि AB = AC, इसलिए कोण ∠ ABC और ∠ ACB बराबर हैं। चूंकि ∠ ABC = 72° है, इसलिए ∠ ACB = 72° होगा। किसी भी त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग 180° होता है। संबंध ∠ BAC + ∠ ABC + ∠ ACB = 180° का उपयोग करने पर, गणना इस प्रकार है: ∠ BAC + 72° + 72° = 180°। आधार कोणों को जोड़ने पर ∠ BAC + 144° = 180° प्राप्त होता है। 180° में से 144° घटाने पर ∠ BAC = 36° प्राप्त होता है।

व्याख्या

बिंदु की शक्ति प्रमेय (Power of a Point theorem) के अनुसार, एक बाहरी बिंदु P जिससे एक वृत्त पर दो छेदक रेखाएँ (secants) PCD और PBA खींची जाती हैं, के लिए संबंध PA × PB = PC × PD सत्य होता है। दिया गया है कि PD = 15.3 सेमी और CD = 11.9 सेमी, इसलिए छेदक खंड PC की कुल लंबाई = PD + CD = 15.3 + 11.9 = 27.2 सेमी। समीकरण में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: 30.6 × PB = 27.2 × 15.3। PB के लिए हल करने पर, PB = (27.2 × 15.3)/(30.6) = (27.2)/(2) = 13.6 सेमी प्राप्त होता है। चूँकि AB व्यास है जो P से जाने वाली छेदक रेखा पर स्थित है, इसकी लंबाई दो प्रतिच्छेदन बिंदुओं A और B के बीच की दूरी है, जिसकी गणना AB = PA - PB = 30.6 - 13.6 = 17 सेमी के रूप में की जाती है। वृत्त की त्रिज्या व्यास की लंबाई की आधी होती है, जो कि ¹⁷⁄₂ = 8.5 सेमी है।

व्याख्या

एक वृत्त में, किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा, स्पर्श बिंदु से होकर जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है। परिणामस्वरूप, त्रिज्या OQ, स्पर्श रेखा PQ पर लंब है, जिससे एक समकोण त्रिभुज OQP बनता है जहाँ ∠ OQP = 90° है और केंद्र से दूरी OP कर्ण है।

△ OQP में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: OQ² + PQ² = OP² r² + 12² = 13² r² + 144 = 169 r² = 169 - 144 = 25 r = √(25) = 5 सेमी

वृत्त की त्रिज्या (5, 12, 13) पाइथागोरस त्रिक द्वारा निर्धारित की जाती है, जहाँ 13 कर्ण है और 12 भुजाओं में से एक है।

व्याख्या

दो चरों के घनों के योग की गणना बीजगणितीय सर्वसमिका p³+q³ = (p+q)³ - 3pq(p+q) का उपयोग करके की जा सकती है। सूत्र में दिए गए मानों p+q=7 और pq=5 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें p³+q³ = (7)³ - 3(5)(7) प्राप्त होता है। व्यंजक का मान निकालने पर 343 - 105 प्राप्त होता है, जिसका परिणाम 238 है।

व्याख्या

अनुपात में किसी विशिष्ट व्यक्ति का हिस्सा ज्ञात करने के लिए, हम कुल राशि को अनुपात के भागों के योग से विभाजित करते हैं और विशिष्ट व्यक्ति के अनुपात मान से गुणा करते हैं। A, B और C के लिए अनुपातों का योग 3 + 4 + 2 = 9 भाग है। विभाजित की जाने वाली कुल राशि 990 रुपये है। इसलिए, एक भाग का मान 990 / 9 = 110 के रूप में परिकलित किया जाता है। चूंकि अनुपात में B का हिस्सा 4 भागों के संगत है, इसलिए B के हिस्से की गणना एक भाग के मान को 4 से गुणा करके की जाती है, जिसके परिणामस्वरूप 4 × 110 = 440 प्राप्त होता है। इसे सूत्र B = (4)/(3 + 4 + 2) × 990 द्वारा भी दर्शाया जा सकता है, जो सरल होकर ⁴⁄₉ × 990 = 4 × 110 = 440 हो जाता है।

व्याख्या

किसी वस्तु पर होने वाला व्यय उसकी कीमत और उपभोग की गई मात्रा का गुणनफल होता है। जब व्यय को स्थिर रखना हो, तो कीमत और खपत एक-दूसरे के व्युत्क्रमानुपाती होते हैं। जब कीमत में r% की वृद्धि होती है, तो कुल बजट को अपरिवर्तित रखने के लिए खपत में आवश्यक प्रतिशत कमी को इस सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है: कमी% = (r)/(100 + r) × 100%। दी गई कीमत वृद्धि r = 25% को सूत्र में रखने पर, हमें प्राप्त होता है: (25)/(100 + 25) × 100 = ²⁵⁄₁₂₅ × 100 = ⅕ × 100 = 20%।

व्याख्या

ट्रेन 1 दोपहर 3:00 बजे प्रस्थान करती है और ट्रेन 2 दोपहर 3:30 बजे प्रस्थान करती है। ट्रेन 2 के अपनी यात्रा शुरू करने से पहले के 30 मिनट के अंतराल में, ट्रेन 1 द्वारा तय की गई दूरी = 50 किमी/घंटा × 0.5 घंटा = 25 किमी है। दोपहर 3:30 बजे दोनों स्टेशनों के बीच की शेष दूरी = 575 किमी - 25 किमी = 550 किमी है।

चूंकि ट्रेनें एक-दूसरे की ओर बढ़ रही हैं, इसलिए उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का योग है: 50 किमी/घंटा + 60 किमी/घंटा = 110 किमी/घंटा। दोपहर 3:30 बजे के बाद ट्रेनों के मिलने के लिए आवश्यक समय की गणना इस सूत्र का उपयोग करके की जाती है: समय = (शेष दूरी)/(सापेक्ष गति) = (550 किमी)/(110 किमी/घंटा) = 5 घंटे।

स्टेशन A से मिलने के बिंदु की दूरी, दोपहर 3:00 बजे से मिलने के समय तक ट्रेन 1 द्वारा तय की गई कुल दूरी है। यह पहले आधे घंटे में तय की गई प्रारंभिक दूरी और यात्रा के 5 घंटों के दौरान तय की गई दूरी का योग है: 25 किमी + (50 किमी/घंटा × 5 घंटे) = 25 किमी + 250 किमी = 275 किमी।