एसएससी सीजीएल टियर 1 2020 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

व्यंजक 5⁷⁰ - 7⁷⁰ को 24 से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल की गणना माड्यूलर अंकगणित (modular arithmetic) का उपयोग करके की जा सकती है। हम सबसे पहले देखते हैं कि 5² = 25, और 25 ≡ 1 24 है। माड्यूलर अंकगणित में घातांक के गुणों के अनुसार, 5⁷⁰ = (5²)³⁵ ≡ 1³⁵ ≡ 1 24।

इसके बाद, हम दूसरे पद का मूल्यांकन करते हैं। हम देखते हैं कि 7² = 49 है। चूंकि 49 = 2 × 24 + 1 है, इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि 7² ≡ 1 24। इसे 35 की घात तक बढ़ाने पर, हमें 7⁷⁰ = (7²)³⁵ ≡ 1³⁵ ≡ 1 24 प्राप्त होता है।

इन दोनों परिणामों को मिलाने पर, पूरा व्यंजक 5⁷⁰ - 7⁷⁰ ≡ 1 - 1 ≡ 0 24 हो जाता है। चूंकि परिणाम 0 है, इसलिए यह व्यंजक 24 से पूर्णतः विभाज्य है, और शेषफल 0 है।

व्याख्या

जब दो वस्तुओं को एक ही मूल्य पर बेचा जाता है, एक पर x% का लाभ और दूसरे पर x% की हानि होती है, तो हमेशा कुल मिलाकर हानि ही होती है। कुल हानि प्रतिशत की गणना सूत्र L% = (x²)/(100) का उपयोग करके की जाती है।

दिया गया है कि प्रत्येक उपहार का विक्रय मूल्य (SP) = 30 और x = 18 है: कुल विक्रय मूल्य (SPₜₒₜₐₗ) = 30 + 30 = 60. कुल हानि प्रतिशत (L%) = (18²)/(100) = ³²⁴⁄₁₀₀ = 3.24%.

रुपये में हानि ज्ञात करने के लिए, हम विक्रय मूल्य, क्रय मूल्य और हानि के बीच के संबंध का उपयोग करते हैं: हानि = CPₜₒₜₐₗ - SPₜₒₜₐₗ चूंकि SPₜₒₜₐₗ = CPₜₒₜₐₗ × (1 - (L%)/(100)) है, इसलिए हमारे पास CPₜₒₜₐₗ = SPₜₒₜₐₗ / (1 - 0.0324) = (60)/(0.9676) है।

₹ में हानि = (60)/(0.9676) - 60 ₹ में हानि = 60 × ((1 - 0.9676)/(0.9676)) = (60 × 0.0324)/(0.9676) = (1.944)/(0.9676) ≈ 2.009

निकटतम विकल्प के अनुसार पूर्णांकित करने पर, कुल हानि ₹2.00 है।

व्याख्या

किसी मान में 25% की वृद्धि करने के लिए, परिणामी मान मूल मान का 125% होना चाहिए। यदि मूल संख्या को x के रूप में दर्शाया जाता है, तो बढ़ा हुआ मान x + ²⁵⁄₁₀₀x होगा। इसे गणितीय रूप से इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

x(1 + 0.25) = 1.25x

गुणक 1.25 को ¹²⁵⁄₁₀₀ के रूप में लिखकर एक भिन्न में बदला जा सकता है। अंश और हर दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक, 25 से विभाजित करके इस भिन्न को सरल करने पर प्राप्त होता है:

(125 ÷ 25)/(100 ÷ 25) = ⁵⁄₄

किसी भी संख्या को ⁵⁄₄ के गुणक से गुणा करने पर उसके मूल मान में एक-चौथाई या 25% की वृद्धि होती है।

व्याख्या

दो ज्ञात भुजाओं a और b तथा उनके बीच के कोण θ वाले त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना सूत्र क्षेत्रफल = ½ab sin(θ) का उपयोग करके की जाती है। इस समद्विबाहु त्रिभुज में, दो समान भुजाएँ a = 15 सेमी और b = 15 सेमी हैं, और उनके बीच का कोण θ = 90° है। इन मानों को सूत्र में रखने पर क्षेत्रफल = ½ × 15 × 15 × sin(90°) प्राप्त होता है। चूँकि sin(90°) = 1 है, इसलिए यह गणना ½ × 225 × 1 = ²²⁵⁄₂ सेमी² हो जाती है। चूँकि बीच का कोण 90° है, इसलिए यह एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज है जहाँ दो समान भुजाएँ आधार और ऊँचाई के रूप में कार्य करती हैं, जिससे सीधे क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई = ½ × 15 × 15 = ²²⁵⁄₂ सेमी² का सूत्र लागू किया जा सकता है।

व्याख्या

कुल लाभ या हानि प्रतिशत की गणना क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र x + y + ˣʸ⁄₁₀₀ का उपयोग करके की जा सकती है, जहाँ x मूल्य वृद्धि प्रतिशत (markup percentage) को दर्शाता है और y छूट प्रतिशत को दर्शाता है। यह देखते हुए कि मूल्य वृद्धि 60% है और छूट 25% है, हम सूत्र में x = 60 और y = -25 रखते हैं:

लाभ प्रतिशत = 60 - 25 + (60 × (-25))/(100)

लाभ प्रतिशत = 35 - ¹⁵⁰⁰⁄₁₀₀

लाभ प्रतिशत = 35 - 15 = 20%

वैकल्पिक रूप से, यदि क्रय मूल्य को 100 माना जाए, तो 60% मूल्य वृद्धि के बाद अंकित मूल्य 160 हो जाता है। अंकित मूल्य पर 25% की छूट देने पर छूट की राशि 160 × 0.25 = 40 होती है। इसके बाद विक्रय मूल्य 160 - 40 = 120 हो जाता है। चूंकि क्रय मूल्य 100 था और विक्रय मूल्य 120 है, इसलिए लाभ 20 है, जो 20% लाभ के बराबर है।

व्याख्या

राज्य B की कुल जनसंख्या ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले गरीबी रेखा से ऊपर (APL) की कुल जनसंख्या निर्धारित करते हैं। यह देखते हुए कि गरीबी रेखा से ऊपर (APL) पुरुषों की जनसंख्या 2.5 मिलियन है और गरीबी रेखा से ऊपर (APL) पुरुष-महिला अनुपात 2:3 है, कुल APL जनसंख्या 2.5 × (5 / 2) = 6.25 मिलियन है। चूंकि 25% जनसंख्या गरीबी रेखा से नीचे है, इसलिए APL जनसंख्या कुल जनसंख्या के 75% को दर्शाती है। इसलिए, कुल जनसंख्या 6.25 / 0.75 = 625 / 75 = 25 / 3 है, जो 8 1/3 मिलियन के बराबर है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण cot θ + tan θ = 2 sec θ है। बुनियादी त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके बाएं पक्ष को सरल करने पर:

(cos θ)/(sin θ) + (sin θ)/(cos θ) = cos² θ + sin² θ{sin θ cos θ} = (1)/(sin θ cos θ)

इसे वापस मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

(1)/(sin θ cos θ) = 2 sec θ = (2)/(cos θ)

(1)/(sin θ) = 2 ⟹ sin θ = ½

दिए गए अंतराल 0° < θ < 90° के लिए, हमें θ = 30° प्राप्त होता है।

त्रिकोणमितीय घटकों में θ = 30° प्रतिस्थापित करने पर: tan 2θ = tan 60° = √3 sin θ = sin 30° = ½ sec 2θ = sec 60° = 2 cosec θ = cosec 30° = 2

अभीष्ट व्यंजक (जो अपने पूर्ण परीक्षा रूप में एक हर (denominator) को शामिल करता है जो 11 के मान को दर्शाता है, जैसे कि (tan 2θ - sin θ)/(sec 2θ + cosec θ + 3sin θ)) से प्राप्त होता है:

अंश: √3 - ½ = 2√3 - 1{2} हर: 2 + 2 + ³⁄₂ = ¹¹⁄₂

परिणाम: 2√3 - 1{2} × ²⁄₁₁ = 2√3 - 1{11}

व्याख्या

कक्षा में लड़कों की संख्या, छात्रों की कुल संख्या में से लड़कियों की संख्या को घटाकर ज्ञात की जाती है। यह देखते हुए कि छात्रों की कुल संख्या 65 है और लड़कियों की संख्या 35 है, लड़कों की संख्या 65 - 35 = 30 है। लड़कों का लड़कियों से अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम लड़कों की संख्या की तुलना लड़कियों की संख्या से करते हैं, जो कि 30 : 35 है। अनुपात के दोनों पक्षों को उनके महत्तम समापवर्तक (greatest common divisor), 5 से विभाजित करने पर सरल अनुपात 6 : 7 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि राज्य C की कुल जनसंख्या P है। तालिका के अनुसार, राज्य C में गरीबी रेखा से नीचे (BPL) की जनसंख्या का प्रतिशत 19% है। इस प्रकार, कुल BPL जनसंख्या 0.19P है।

राज्य C में गरीबी रेखा से नीचे पुरुषों और महिलाओं का अनुपात 3:2 दिया गया है। इसका तात्पर्य यह है कि BPL श्रेणी में पुरुषों की जनसंख्या कुल BPL जनसंख्या का ³⁄₃₊₂ या ⅗ है।

यह देखते हुए कि राज्य C के लिए गरीबी रेखा से नीचे के पुरुषों की जनसंख्या 3 मिलियन है, हम निम्नलिखित समीकरण बना सकते हैं: ⅗ × (0.19P) = 3

P का मान ज्ञात करने के लिए, हम पहले दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करते हैं: ⅕ × 0.19P = 1 0.19P = 5

अब, 5 को 0.19 से विभाजित करें: P = (5)/(0.19) = ⁵⁰⁰⁄₁₉

विभाजन करने पर: 500 ÷ 19 = 26.315789...

दिए गए विकल्पों से मिलान करने के लिए दशमलव के तीन स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, राज्य C की कुल जनसंख्या 26.316 मिलियन है।

व्याख्या

प्रति वर्ष भुगतान किए गए ब्याज की औसत राशि ज्ञात करने के लिए, हम सभी पांच वर्षों के ब्याज मूल्यों को जोड़ते हैं और वर्षों की कुल संख्या से विभाजित करते हैं। 2015 से 2019 की अवधि के लिए ऋणों पर ब्याज इस प्रकार दिया गया है:

कुल ब्याज = 45 + 35 + 40 + 30 + 23.5 = 173.5 लाख

प्रति वर्ष औसत ब्याज की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

औसत = (Σ ब्याज)/(वर्षों की संख्या)

औसत = (173.5)/(5) = 34.7 लाख

व्याख्या

साधारण ब्याज (SI) की गणना सूत्र SI = (P × R × T)/(100) का उपयोग करके की जाती है, जहाँ P मूलधन है, R प्रति वर्ष ब्याज की दर है, और T वर्षों में समय है। दिया गया है कि दोनों जमाओं के लिए मूलधन P समान है, पहली जमा के लिए ब्याज (P × 7 × 5)/(100) = 0.35P है। दूसरी जमा के लिए ब्याज (P × 9 × 3)/(100) = 0.27P है।

इन दोनों ब्याज राशियों के बीच का अंतर 475 रुपये दिया गया है। इस संबंध को निम्नलिखित समीकरण द्वारा व्यक्त किया जा सकता है: 0.35P - 0.27P = 475 0.08P = 475 P = (475)/(0.08) P = ⁴⁷⁵⁰⁰⁄₈ P = 5937.5

व्याख्या

व्यंजक 25a² - 9 एक द्विपद है जो दो वर्गों के अंतर की सर्वसमिका के रूप में है, जिसे x² - y² = (x + y)(x - y) के रूप में परिभाषित किया गया है। इस सूत्र को लागू करने के लिए, प्रत्येक पद को एक पूर्ण वर्ग के रूप में व्यक्त किया जाना चाहिए। पहला पद, 25a², 5a का वर्ग है क्योंकि (5a)² = 25a² है। दूसरा पद, 9, 3 का वर्ग है क्योंकि 3² = 9 है। सर्वसमिका में x = 5a और y = 3 प्रतिस्थापित करने पर, व्यंजक (5a)² - 3² में परिवर्तित हो जाता है। गुणनखंडन के नियम का पालन करते हुए, इसके परिणामस्वरूप गुणनफल (5a + 3)(5a - 3) प्राप्त होता है।

व्याख्या

पूरक कोणों के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका, sin(90° - θ) = cos θ और cos(90° - θ) = sin θ का उपयोग करने पर। चूंकि 63° और 27° पूरक कोण हैं (27° + 63° = 90°), हम दिए गए व्यंजक के हरों को पुनः लिख सकते हैं:

cos 63° = cos(90° - 27°) = sin 27° sin 63° = sin(90° - 27°) = cos 27°

व्यंजक में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

((sin 27°)/(sin 27°)) - ((cos 27°)/(cos 27°))²

प्रत्येक भिन्न को सरल करने पर:

(1) - (1)² = 1 - 1 = 0

व्याख्या

व्यंजक को VBODMAS नियम का पालन करते हुए हल किया जाता है, जो संक्रियाओं के क्रम को निर्धारित करता है: कोष्ठक (Brackets), का (Of), भाग (Division), गुणा (Multiplication), जोड़ (Addition), और घटाव (Subtraction)।

सबसे पहले, सबसे भीतरी कोष्ठक (2.1 - 2.6 × 1.12) का मान ज्ञात कीजिए। कोष्ठक के भीतर, गुणा पहले किया जाता है: 2.6 × 1.12 = 2.912 फिर, घटाव की संक्रिया करें: 2.1 - 2.912 = -0.812

इसके बाद, 'का' (of) संक्रिया का मान ज्ञात कीजिए, जो गुणा के रूप में कार्य करती है: (-0.812) का 0.6 = 0.6 × (-0.812) = -0.4872

इसके बाद व्यंजक सरल होकर 5.6 में से संयुक्त मान को घटाने में परिवर्तित हो जाता है: 5.6 - (2 - 0.4872) 5.6 - 1.5128 = 4.0872

व्याख्या

एक वृत्त का क्षेत्रफल A, सूत्र A = π r² द्वारा निर्धारित किया जाता है और परिधि C, सूत्र C = 2 π r द्वारा निर्धारित की जाती है। दी गई त्रिज्या r = 14 सेमी और मान π = ²²⁄₇ रखने पर, क्षेत्रफल की गणना A = ²²⁄₇ × 14 × 14 के रूप में की जाती है। 7 के गुणनखंड को विभाजित करके व्यंजक को सरल करने पर A = 22 × 2 × 14 प्राप्त होता है, जो 616 सेमी² के बराबर है। सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करने पर परिधि की गणना C = 2 × ²²⁄₇ × 14 के रूप में की जाती है। 7 के गुणनखंड को विभाजित करके व्यंजक को सरल करने पर C = 2 × 22 × 2 प्राप्त होता है, जो 88 सेमी के बराबर है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण 5 cos² θ + 1 = 3 sin² θ में, समीकरण को cos θ के पदों में व्यक्त करने के लिए हम सर्वसमिका sin² θ = 1 - cos² θ का उपयोग करते हैं: 5 cos² θ + 1 = 3(1 - cos² θ) 5 cos² θ + 1 = 3 - 3 cos² θ 8 cos² θ = 2 cos² θ = ¼

चूंकि 0° < θ < 90° है, cos θ धनात्मक होना चाहिए, इसलिए cos θ = ½, जिससे θ = 60° प्राप्त होता है।

अब, लक्षित व्यंजक में θ = 60° प्रतिस्थापित करने पर: tan 60° = √3 sec 60° = 2 cot 60° = (1)/(√(3)) csc 60° = (2)/(√(3))

व्यंजक इस प्रकार हो जाता है: √3 + 2{(1)/(√(3)) + (2)/(√(3))} = √3 + 2{(3)/(√(3))} चूंकि (3)/(√(3)) = √3 है, व्यंजक सरल होकर निम्न हो जाता है: √3 + 2{√3} परिणाम का परिमेयकरण करने के लिए अंश और हर दोनों को √3 से गुणा करने पर: √3(√3 + 2){3} = 3 + 2√3{3}

व्याख्या

35 वर्ष से कम आयु के व्यक्तियों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम तालिका में दिए गए आयु वर्गों 0-15, 15-25 और 25-35 में जनसंख्या के प्रतिशत का योग करते हैं।

35 वर्ष से कम कुल प्रतिशत = 31% + 5.25% + 14.25% = 50.5%

50,000 की कुल जनसंख्या में से व्यक्तियों की संख्या की गणना इस प्रतिशत को कुल जनसंख्या पर लागू करके की जाती है:

व्यक्तियों की संख्या = 50,000 × (50.5)/(100)

व्यक्तियों की संख्या = 500 × 50.5 = 25,250

व्याख्या

माना A की कार्यक्षमता 20 इकाई/दिन है। चूंकि B, A से 25% अधिक कुशल है, इसलिए B की कार्यक्षमता 20 × 1.25 = 25 इकाई/दिन है। C, B से 28% अधिक कुशल है, इसलिए C की कार्यक्षमता 25 × 1.28 = 32 इकाई/दिन है।

कुल कार्य, A की कार्यक्षमता और A द्वारा कार्य को पूरा करने में लिए गए समय का गुणनफल है: कुल कार्य = 20 × 40 = 800 इकाई।

जब A, B और C एक साथ कार्य करते हैं, तो उनकी संयुक्त कार्यक्षमता 20 + 25 + 32 = 77 इकाई/दिन होती है। 5 दिनों में, उनके द्वारा पूरा किया गया कार्य है: किया गया कार्य = 77 × 5 = 385 इकाई।

शेष कार्य है: शेष कार्य = 800 - 385 = 415 इकाई।

इस शेष कार्य को अकेले B द्वारा पूरा करने में लिया गया समय है: समय = (शेष कार्य)/(B की कार्यक्षमता) = ⁴¹⁵⁄₂₅ = ⁸³⁄₅ = 16 ⅗ दिन।

व्याख्या

आंतरिक त्रिज्या r की गणना आंतरिक परिधि 2π r = 440 मीटर से की जाती है। π = 22/7 प्रतिस्थापित करने पर, हमें 2 × ²²⁄₇ × r = 440 प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर r = (440 × 7)/(44) = 70 मीटर प्राप्त होता है। इसी प्रकार, बाहरी त्रिज्या R बाहरी परिधि 2π R = 506 मीटर से ज्ञात की जाती है। इस प्रकार, 2 × ²²⁄₇ × R = 506, जिससे R = (506 × 7)/(44) = (23 × 7)/(2) = 80.5 मीटर प्राप्त होता है।

वलय के आकार के ट्रैक का क्षेत्रफल बाहरी और आंतरिक वृत्तों के क्षेत्रफलों का अंतर है, जो क्षेत्रफल = π(R² - r²) = π(R + r)(R - r) द्वारा दिया गया है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, क्षेत्रफल = ²²⁄₇ × (80.5 + 70) × (80.5 - 70) = ²²⁄₇ × 150.5 × 10.5 प्राप्त होता है। इसकी गणना करने पर क्षेत्रफल = 22 × 150.5 × 1.5 = 33 × 150.5 = 4966.5 मीटर² प्राप्त होता है। ₹ 6 प्रति मीटर² की दर से समतल करने की कुल लागत 4966.5 × 6 = 29799 है।

व्याख्या

ब्याज 10% वार्षिक की दर से 2 ⅓ वर्ष की अवधि के लिए वार्षिक रूप से संयोजित होता है। पहले दो पूर्ण वर्षों के लिए, ब्याज दर 10% रहती है, लेकिन वर्ष के अंतिम भाग (⅓ वर्ष) के लिए, प्रभावी दर ⅓ × 10% = ¹⁰⁄₃% हो जाती है।

भिन्न के रूप में, 10% = ⅒ और ¹⁰⁄₃% = ¹⁰⁄₃₀₀ = ¹⁄₃₀। हम प्रत्येक अवधि के लिए मूलधन (P) और मिश्रधन (A) का अनुपात निर्धारित कर सकते हैं: पहले वर्ष के लिए: 10 → 11 दूसरे वर्ष के लिए: 10 → 11 अंतिम ⅓ वर्ष के लिए: 30 → 31

कुल अवधि के लिए संचयी अनुपात है: P = 10 × 10 × 30 = 3,000 इकाई A = 11 × 11 × 31 = 121 × 31 = 3,751 इकाई

इकाई में चक्रवृद्धि ब्याज (CI), मिश्रधन और मूलधन के बीच का अंतर है: CI = 3,751 - 3,000 = 751 इकाई

प्रश्न के अनुसार, CI = 1,201.60 है। हम इकाइयों को वास्तविक मान के बराबर रखते हैं: 751 इकाई = 1,201.60 1 इकाई = (1,201.60)/(751) = 1.6

राशि (मूलधन) की गणना मूलधन की इकाइयों को एक इकाई के मान से गुणा करके की जाती है: राशि = 3,000 × 1.6 = 4,800

व्याख्या

माना प्रत्येक बोतल की क्षमता 300 इकाई है।

पहली बोतल में, संतरे का रस क्षमता का 35% घेरता है, जो कि 300 × 0.35 = 105 इकाई है। चूंकि बोतल को सेब के रस से पूरा भरा जाता है, इसलिए पहली बोतल में सेब के रस की मात्रा 300 - 105 = 195 इकाई है।

दूसरी बोतल में, संतरे का रस क्षमता का 33 ⅓% घेरता है, जो कि 300 × ⅓ = 100 इकाई है। शेष भाग को सेब के रस से भरा जाता है, जो कि 300 - 100 = 200 इकाई है।

जब दोनों बोतलों की सामग्री को एक अन्य बर्तन में खाली किया जाता है, तो मिश्रण की कुल मात्रा 300 + 300 = 600 इकाई होती है। इस मिश्रण में सेब के रस की कुल मात्रा 195 + 200 = 395 इकाई है।

मिश्रण में सेब के रस के प्रतिशत की गणना इस प्रकार की जाती है: प्रतिशत = (सेब के रस की कुल मात्रा)/(कुल मात्रा) × 100 प्रतिशत = ³⁹⁵⁄₆₀₀ × 100 = ³⁹⁵⁄₆ = 65 ⅚%

व्याख्या

मान लीजिए कि वस्तु का क्रय मूल्य (CP) 100 है। चूंकि लाभ 30% है, इसलिए लाभ की राशि 30 है, जिससे विक्रय मूल्य (SP) = 100 + 30 = 130 हो जाता है। क्रय मूल्य के बजाय विक्रय मूल्य के आधार पर लाभ प्रतिशत की गणना करने के लिए, हम निम्नलिखित संबंध का उपयोग करते हैं:

SP पर लाभ % = (लाभ)/(SP) × 100

सूत्र में मान रखने पर:

SP पर लाभ % = ³⁰⁄₁₃₀ × 100 = ³⁄₁₃ × 100 = ³⁰⁰⁄₁₃

भाग करने पर:

300 ÷ 13 ≈ 23.076%

आवश्यकतानुसार एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर, लाभ प्रतिशत 23.1% है।

व्याख्या

राम कार्य को 6⅔ दिनों में पूरा करता है, जो ²⁰⁄₃ दिनों के बराबर है। श्याम उसी कार्य को 15 दिनों में पूरा करता है। गणना को सरल बनाने के लिए, मान लें कि कुल कार्य उनके द्वारा लिए गए समय के अंशों (numerators) का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि LCM(20, 15) = 60 इकाई है।

राम की कार्यक्षमता = (कुल कार्य)/(समय) = (60)/(20/3) = 9 इकाई प्रति दिन। श्याम की कार्यक्षमता = ⁶⁰⁄₁₅ = 4 इकाई प्रति दिन।

जब वे एक साथ कार्य करते हैं, तो उनकी संयुक्त कार्यक्षमता 9 + 4 = 13 इकाई प्रति दिन होती है। 4 दिनों में, दोनों द्वारा पूरा किया गया कार्य 13 × 4 = 52 इकाई है।

राम के जाने के बाद शेष कार्य 60 - 52 = 8 इकाई है। श्याम इस शेष कार्य को अकेले अपनी 4 इकाई प्रति दिन की कार्यक्षमता से पूरा करता है। इसलिए, श्याम द्वारा कार्य को पूरा करने में लिया गया समय = ⁸⁄₄ = 2 दिन है।

व्याख्या

प्रतिशत निर्धारित करने के लिए, सबसे पहले 1998 में सभी चारों राज्यों से उत्तीर्ण उम्मीदवारों की संख्या का योग करें। 1998 में उत्तीर्ण कुल उम्मीदवार = 980 + 1050 + 1020 + 1240 = 4290 हैं। इसके बाद, 2001 में सभी राज्यों से उत्तीर्ण उम्मीदवारों की संख्या का योग करें, जिसका परिणाम 1125 + 1020 + 1250 + 995 = 4390 होता है।

अभीष्ट प्रतिशत की गणना 1998 में उत्तीर्ण कुल उम्मीदवारों को 2001 में उत्तीर्ण कुल उम्मीदवारों से विभाजित करके और 100 से गुणा करके की जाती है: अभीष्ट प्रतिशत = ((1998 में उत्तीर्ण कुल उम्मीदवार)/(2001 में उत्तीर्ण कुल उम्मीदवार)) × 100 अभीष्ट प्रतिशत = (⁴²⁹⁰⁄₄₃₉₀) × 100 अभीष्ट प्रतिशत = ⁴²⁹⁄₄₃₉ × 100 ≈ 97.722%

दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, परिणाम 97.72% है।

व्याख्या

A³ + B³ के मान की गणना बीजगणितीय सर्वसमिका A³ + B³ = (A + B)³ - 3AB(A + B) का उपयोग करके की जा सकती है। दिए गए मानों A + B = 12 और AB = 17 को सूत्र में रखने पर:

A³ + B³ = (12)³ - 3(17)(12)

सबसे पहले, 12 का घन ज्ञात कीजिए: 12³ = 1728

फिर, दूसरे पद के गुणनफल की गणना कीजिए: 3 × 17 × 12 = 51 × 12 = 612

घन में से गुणनफल को घटाइए: 1728 - 612 = 1116

व्याख्या

दिए गए संबंध 3A = 4B = 5C में, हम इस व्यंजक को एक स्थिरांक k के बराबर मानकर अनुपात A:B:C ज्ञात कर सकते हैं, जिससे A = k/3, B = k/4, और C = k/5 प्राप्त होता है। अनुपात A:B:C को (1/3) : (1/4) : (1/5) के रूप में दर्शाया जाता है। इसे सरलतम पूर्णांक रूप में व्यक्त करने के लिए, प्रत्येक पद को हरों 3, 4, और 5 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से गुणा करें, जो कि 60 है।

गणना करने पर: A = (1/3) × 60 = 20 B = (1/4) × 60 = 15 C = (1/5) × 60 = 12

वैकल्पिक रूप से, प्रत्येक भाग के लिए अन्य दो चरों के गुणांकों को गुणा करके भी अनुपात ज्ञात किया जा सकता है: A के लिए, गणना करें: 4 × 5 = 20 B के लिए, गणना करें: 3 × 5 = 15 C के लिए, गणना करें: 3 × 4 = 12

दोनों विधियाँ पुष्टि करती हैं कि अनुपात A:B:C, 20:15:12 है।

व्याख्या

एक वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल सूत्र A = (θ)/(360°) × π r² द्वारा निर्धारित किया जाता है, जहाँ θ केंद्रीय कोण है और r वृत्त की त्रिज्या है। दी गई त्रिज्या r = 14 सेमी, केंद्रीय कोण θ = 45°, और π = ²²⁄₇ के साथ, गणना इस प्रकार है:

A = (45°)/(360°) × ²²⁄₇ × 14 × 14

सबसे पहले, वृत्त के हिस्से को दर्शाने वाले भिन्न को सरल करें: ⁴⁵⁄₃₆₀ = ⅛

अब, इसे वापस समीकरण में रखें: A = ⅛ × ²²⁄₇ × 14 × 14

हर में मौजूद 7 के उभयनिष्ठ गुणनखंड को एक त्रिज्या के साथ विभाजित करने पर: A = ⅛ × 22 × 2 × 14 A = ⅛ × 44 × 14

44 और 8 को उनके महत्तम समापवर्तक, 4 से विभाजित करके भिन्न को सरल करने पर: A = ¹¹⁄₂ × 14 A = 11 × 7 = 77

व्याख्या

वर्ष 1998 में राज्यों M और P से उत्तीर्ण होने वाले उम्मीदवारों की संख्या के बीच का अंतर ज्ञात करने के लिए, तालिका में वर्ष 1998 के 'उत्तीर्ण' कॉलम के तहत प्रासंगिक मानों की पहचान करें। वर्ष 1998 में राज्य M से उत्तीर्ण होने वाले उम्मीदवारों की संख्या 980 है। वर्ष 1998 में राज्य P से उत्तीर्ण होने वाले उम्मीदवारों की संख्या 1020 है। इन दोनों मानों के बीच के अंतर की गणना इस प्रकार की जाती है:

अंतर = 1020 - 980 = 40

व्याख्या

वर्ष 1997 से 2001 के दौरान राज्य Q से उपस्थित होने वाले उम्मीदवारों की औसत संख्या सूत्र औसत = (उपस्थित उम्मीदवारों का योग) / (वर्षों की कुल संख्या) द्वारा निर्धारित की जाती है।

पांच वर्षों में से प्रत्येक के लिए राज्य Q से उपस्थित होने वाले उम्मीदवारों की संख्या 1997 में 8100, 1998 में 9500, 1999 में 8700, 2000 में 9700 और 2001 में 8950 है।

उम्मीदवारों का योग = 8100 + 9500 + 8700 + 9700 + 8950 = 44950

औसत = 44950 / 5 = 8990

व्याख्या

समरूप त्रिभुजों के लिए, क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत ऊंचाइयों के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। यह देखते हुए कि △ ABC और △ DEF क्रमशः AL और DM ऊंचाइयों वाले समरूप समद्विबाहु त्रिभुज हैं, संबंध इस प्रकार है:

(Area(△ ABC))/(Area(△ DEF)) = ((AL)/(DM))²

दिए गए क्षेत्रफल अनुपात 9:25 को प्रतिस्थापित करने पर:

⁹⁄₂₅ = ((AL)/(DM))²

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:

(AL)/(DM) = ⅗

मान लीजिए कि किसी स्थिरांक k के लिए AL = 3k और DM = 5k है। व्यंजक (DM + AL)/(DM - AL) का मान इस प्रकार निकाला जा सकता है:

(5k + 3k)/(5k - 3k) = ⁸ᵏ⁄₂ₖ = 4

व्याख्या

माना अधिकतम अंक M हैं। प्राप्त प्रतिशत, प्राप्त अंक और अधिकतम अंकों के बीच का संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया गया है:

प्राप्त अंक = प्रतिशत × अधिकतम अंक

समीकरण में दिए गए मानों को रखने पर:

360 = ⁷²⁄₁₀₀ × M

M का मान ज्ञात करने के लिए, समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

M = (360 × 100)/(72)

चूंकि 360, 72 का ठीक 5 गुना है, इसलिए गणना सरल होकर निम्न प्रकार हो जाती है:

M = 5 × 100 = 500

व्याख्या

A, B और C की आयु का योग उनकी औसत आयु को व्यक्तियों की संख्या से गुणा करके निर्धारित किया जाता है: 20 × 3 = 60 वर्ष। इसी प्रकार, B और C की आयु का योग उनकी औसत आयु को दो से गुणा करके प्राप्त किया जाता है: 25 × 2 = 50 वर्ष। A की आयु तीनों व्यक्तियों की कुल आयु के योग और B तथा C की आयु के योग के बीच का अंतर है: 60 - 50 = 10 वर्ष।

व्याख्या

x% और y% की दो क्रमिक छूटों के लिए एकल समतुल्य छूट सूत्र (x + y - ˣʸ⁄₁₀₀)% द्वारा दी जाती है। इस सूत्र में दिए गए मान x = 20 और y = 15 रखने पर:

समतुल्य छूट = (20 + 15 - (20 × 15)/(100))%

समतुल्य छूट = (35 - ³⁰⁰⁄₁₀₀)%

समतुल्य छूट = 35 - 3 = 32%

वैकल्पिक रूप से, दशमलव विधि का उपयोग करते हुए, छूट के लिए शुद्ध गुणक (net multiplier) (1 - 0.20) × (1 - 0.15) = 0.80 × 0.85 = 0.68 है। समतुल्य एकल छूट (1 - 0.68) × 100 = 32% है।

व्याख्या

संख्याओं 5, 8 और 15 का गुणज होने वाले सबसे छोटे पूर्णांक को ज्ञात करने के लिए, हम उनके लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) की गणना करते हैं। लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) वह सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक होता है जो दी गई प्रत्येक संख्या से बिना कोई शेषफल छोड़े विभाजित हो जाता है।

सबसे पहले, हम प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन (prime factorization) करते हैं: संख्या 5 अभाज्य है: 5 = 5¹ संख्या 8 का गुणनखंड इस प्रकार है: 8 = 2 × 2 × 2 = 2³ संख्या 15 का गुणनखंड इस प्रकार है: 15 = 3 × 5 = 3¹ × 5¹

LCM का निर्धारण प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात (highest power) को लेकर किया जाता है जो किसी भी गुणनखंडन में दिखाई देती है। इसमें शामिल अभाज्य गुणनखंड 2, 3 और 5 हैं: 2 की उच्चतम घात 2³ = 8 है। 3 की उच्चतम घात 3¹ = 3 है। 5 की उच्चतम घात 5¹ = 5 है।

इन मानों को आपस में गुणा करने पर LCM प्राप्त होता है: LCM = 8 × 3 × 5 LCM = 24 × 5 LCM = 120

अतः, 120 वह सबसे छोटा पूर्णांक है जो 5, 8 और 15 का एक उभयनिष्ठ गुणज (common multiple) है।

व्याख्या

मूलधन P को साधारण ब्याज के सूत्र SI = (P × R × T)/(100) का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, 6750 = (P × 6 × 3)/(100), जो सरल होकर 6750 = (18P)/(100) हो जाता है। P के लिए हल करने पर, हमें P = ⁶⁷⁵⁰⁰⁰⁄₁₈ = 37500 प्राप्त होता है।

समान अवधि और दर के लिए चक्रवृद्धि ब्याज CI ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र CI = P[(1 + (R)/(100))^T - 1] का उपयोग करते हैं। मूलधन, दर और समय को प्रतिस्थापित करने पर, हमें CI = 37500[(1 + ⁶⁄₁₀₀)³ - 1] प्राप्त होता है। कोष्ठक के पद की गणना करने पर, 1.06³ = 1.191016। इस प्रकार, CI = 37500 × (1.191016 - 1) = 37500 × 0.191016 = 7163.1।

वैकल्पिक रूप से, वार्षिक रूप से संयोजित 6 प्रतिशत की दर पर 3 वर्षों के लिए प्रभावी ब्याज दर की गणना 3r + (3r²)/(100) + (r³)/(10000) के रूप में की जाती है। r = 6 प्रतिस्थापित करने पर, हमें 18 + ³⁽³⁶⁾⁄₁₀₀ + ²¹⁶⁄₁₀₀₀₀ = 18 + 1.08 + 0.0216 = 19.1016% प्राप्त होता है। इस दर को मूलधन पर लागू करने पर, 37500 × 0.191016 = 7163.1 प्राप्त होता है। निकटतम पूर्णांक में बदलने पर 7,163 रुपये प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र A = ½ × आधार × ऊँचाई द्वारा दिया जाता है। वर्ग ABCD में, त्रिभुज PDC का आधार भुजा DC है। चूँकि वर्ग की भुजा 24 सेमी है, इसलिए आधार b = 24 सेमी है। शीर्ष P विपरीत भुजा AB पर स्थित है। चूँकि वर्ग में AB, DC के समानांतर होती है, इसलिए AB पर किसी भी बिंदु से भुजा DC की लंबवत दूरी वर्ग की भुजा की लंबाई के बराबर होती है। इसलिए, त्रिभुज की ऊँचाई h भी 24 सेमी है।

इन मानों को सूत्र में रखने पर: A = ½ × 24 सेमी × 24 सेमी A = 12 सेमी × 24 सेमी A = 288 सेमी²

व्याख्या

मान BODMAS नियम का पालन करके निर्धारित किया जाता है, जो संक्रियाओं के क्रम को कोष्ठक (Brackets), का (Of), भाग (Division), गुणा (Multiplication), जोड़ (Addition) और घटाव (Subtraction) के रूप में परिभाषित करता है। सबसे पहले, सबसे भीतरी कोष्ठकों के अंदर के व्यंजकों को सरल किया जाता है: (12 - 6) = 6 और (24 - 12) = 12। वर्गाकार कोष्ठक (square brackets) के अंदर इन दोनों परिणामों को जोड़ने पर [6 + 12] = 18 प्राप्त होता है। अब संपूर्ण व्यंजक सरल होकर 1800 ÷ 20 × 18 हो जाता है। चूंकि भाग और गुणा की प्राथमिकता समान होती है, इसलिए उन्हें बाएं से दाएं हल किया जाता है। पहले भाग करने पर, 1800 ÷ 20 बराबर 90 होता है। अंतिम चरण इस परिणाम को 18 से गुणा करना है, जहाँ 90 × 18 बराबर 1620 होता है।

व्याख्या

एक द्विपद घन (binomial cube) का प्रसार बीजीय सर्वसमिका (algebraic identity) (x - y)³ = x³ - 3x²y + 3xy² - y³ का अनुसरण करता है। इस सूत्र में x = 3a और y = 4b प्रतिस्थापित करने पर, व्यंजक (3a)³ - 3(3a)²(4b) + 3(3a)(4b)² - (4b)³ हो जाता है। प्रत्येक पद की अलग-अलग गणना करने पर, हमें (3a)³ = 27a³ और (4b)³ = 64b³ प्राप्त होता है। मध्य पदों के लिए, 3(3a)²(4b) = 3(9a²)(4b) = 108a²b, और 3(3a)(4b)² = 3(3a)(16b²) = 144ab² है। इन परिणामों को मिलाने पर पूर्ण प्रसार 27a³ - 108a²b + 144ab² - 64b³ प्राप्त होता है।

व्याख्या

त्रिपद (4a + 3b + 2c)² का प्रसार बीजीय सर्वसमिका (x + y + z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx का उपयोग करके किया जाता है। इस सूत्र में x = 4a, y = 3b, और z = 2c प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

(4a)² + (3b)² + (2c)² + 2(4a)(3b) + 2(3b)(2c) + 2(2c)(4a)

प्रत्येक पद का वर्ग करने पर 16a², 9b², और 4c² प्राप्त होता है। गुणनफल वाले पदों की गणना इस प्रकार की जाती है: 2 × 4a × 3b = 24ab, 2 × 3b × 2c = 12bc, और 2 × 2c × 4a = 16ca। इन सभी को मिलाने पर अंतिम प्रसारित रूप 16a² + 9b² + 4c² + 24ab + 12bc + 16ca प्राप्त होता है।

व्याख्या

माना घनाभाकार डिब्बे की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई क्रमशः L = 7x, B = 5x और H = 3x हैं। एक घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) सूत्र TSA = 2(LB + BH + LH) का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है।

दिए गए अनुपात और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल को सूत्र में रखने पर: 2( (7x)(5x) + (5x)(3x) + (3x)(7x) ) = 27832 2(35x² + 15x² + 21x²) = 27832 2(71x²) = 27832 142x² = 27832 x² = 27832/142 x² = 196 x = √(196) = 14

घनाभ का आयतन V, सूत्र V = L × B × H द्वारा दिया जाता है। V = (7x)(5x)(3x) = 105x³

x = 14 रखने पर: V = 105 × (14)³ V = 105 × 2744 V = 288120 सेमी³

व्याख्या

दिया गया समीकरण 6 tan θ - 5√3 sec θ + 12 cot θ = 0 है। पदों को साइन (sine) और कोसाइन (cosine) के रूप में व्यक्त करने पर, हमें प्राप्त होता है: 6 (sin θ)/(cos θ) - 5√3{cos θ} + 12 (cos θ)/(sin θ) = 0। पूरे समीकरण को sin θ cos θ से गुणा करने पर 6 sin² θ - 5√3 sin θ + 12 cos² θ = 0 प्राप्त होता है। cos² θ = 1 - sin² θ प्रतिस्थापित करने पर निम्नलिखित द्विघात समीकरण प्राप्त होता है:

6 sin² θ - 5√3 sin θ + 12(1 - sin² θ) = 0 6 sin² θ + 5√3 sin θ - 12 = 0

x = sin θ के लिए द्विघात सूत्र x = -b ± √(b² - 4ac){2a} का उपयोग करने पर: sin θ = -5√3 ± √((5{3))² - 4(6)(-12)}{2(6)} = -5√3 ± √(75 + 288){12} = -5√3 ± 11√3{12}

चूंकि 0° < θ < 90° है, इसलिए sin θ धनात्मक होना चाहिए। अतः: sin θ = 6√3{12} = √3{2} ⟹ θ = 60°

अभीष्ट मान csc θ + sec θ है: csc 60° + sec 60° = (2)/(√(3)) + 2 = 2 + 2√3{√3}

अंश और हर को √3 से गुणा करके हर का परिमेयकरण करने पर: (2 + 2√3)√3{3} = 2√3 + 6{3} = ⅔(3 + √3)

व्याख्या

वर्ष 1997 में सभी राज्यों से परीक्षा में उपस्थित होने वाले उम्मीदवारों की कुल संख्या ज्ञात करने के लिए, हम तालिका में दिए गए उस विशिष्ट वर्ष के लिए राज्यों M, N, P और Q के उपस्थित (Appeared) उम्मीदवारों के मानों को जोड़ते हैं।

1997 में कुल उपस्थित = उपस्थित (M) + उपस्थित (N) + उपस्थित (P) + उपस्थित (Q)

1997 के कॉलम से मानों को प्रतिस्थापित करने पर: कुल = 5200 + 7500 + 6400 + 8100

जोड़ने पर: 5200 + 7500 = 12700 12700 + 6400 = 19100 19100 + 8100 = 27200

वर्ष 1997 में सभी चारों राज्यों से प्रतियोगी परीक्षा में उपस्थित होने वाले उम्मीदवारों की कुल संख्या 27,200 है।

व्याख्या

पतंग की डोरी, पतंग की ऊंचाई और क्षैतिज भूमि द्वारा बनने वाले समकोण त्रिभुज में, डोरी की लंबाई कर्ण को दर्शाती है और पतंग की ऊंचाई लंब को दर्शाती है। ऊंचाई h, कर्ण l और झुकाव कोण θ के बीच का संबंध साइन (sine) फलन द्वारा दिया जाता है:

sin θ = (लंब)/(कर्ण) = ʰ⁄ₗ

दिया गया है कि डोरी की लंबाई l = 16 मीटर और झुकाव कोण θ = 60° है:

sin 60° = ʰ⁄₁₆

त्रिकोणमितीय मान sin 60° = √3/2 रखने पर:

√3/2 = ʰ⁄₁₆

h के लिए हल करने पर:

h = 16 × √3/2

h = 8√3 मीटर

व्याख्या

पहले 2 घंटों में X से चलने वाली पहली ट्रेन द्वारा तय की गई दूरी की गणना इस प्रकार की जाती है: 60 किमी/घंटा × 2 घंटे = 120 किमी। इससे उस समय दोनों ट्रेनों के बीच की शेष दूरी 280 - 120 = 160 किमी रह जाती है जब दूसरी ट्रेन Y से चलना शुरू करती है।

चूंकि दोनों ट्रेनें एक-दूसरे की ओर बढ़ रही हैं, इसलिए उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का योग है: 60 + 20 = 80 किमी/घंटा। दूसरी ट्रेन के चलने के बाद दोनों ट्रेनों के मिलने में लगने वाला समय t = (शेष दूरी)/(सापेक्ष गति) = ¹⁶⁰⁄₈₀ = 2 घंटे है।

जब दोनों ट्रेनें मिलती हैं, तब तक X से चलने वाली ट्रेन द्वारा यात्रा करने में लिया गया कुल समय उसकी प्रारंभिक एकल यात्रा के समय और दोनों के चलने के दौरान लगे समय का योग है: 2 घंटे + 2 घंटे = 4 घंटे।

व्याख्या

इस व्यंजक को BODMAS नियम का उपयोग करके हल किया जाना चाहिए, जो कोष्ठक (Brackets), का (Of), भाग (Division), गुणा (Multiplication), जोड़ (Addition) और घटाव (Subtraction) के क्रम में संक्रियाओं को प्राथमिकता देता है।

सबसे पहले, पहले कोष्ठक वाले पद का मान ज्ञात कीजिए। विकृत पाठ (garbled text) को 18 ÷ (2 of ¼) के रूप में व्याख्या करने पर: 18 ÷ (2 × ¼) = 18 ÷ ½ = 18 × 2 = 36

इसके बाद, दूसरे कोष्ठक वाले पद का मान ज्ञात कीजिए: ⅔ ÷ ¾ × ⅝ = (⅔ × ⁴⁄₃) × ⅝ = ⁸⁄₉ × ⅝ = ⁵⁄₉

फिर, तीसरे कोष्ठक वाले पद का मान ज्ञात कीजिए, पाठ को (⅔ ÷ ¾ of ¾) के रूप में व्याख्या करने पर: ⅔ ÷ (¾ × ¾) = ⅔ ÷ ⁹⁄₁₆ = ⅔ × ¹⁶⁄₉ = ³²⁄₂₇

अब, व्यंजक के सरलीकृत भागों को संयोजित करें: 36 × ⁵⁄₉ ÷ ³²⁄₂₇

बाएं से दाएं गुणा और भाग लागू करें: (36 × ⁵⁄₉) ÷ ³²⁄₂₇ = 20 ÷ ³²⁄₂₇ 20 × ²⁷⁄₃₂ = (5 × 27)/(8) = ¹³⁵⁄₈ = 16.875

प्रतियोगी परीक्षाओं के संदर्भ में, विशेष रूप से SSC CGL 2019-20 टियर-1 जिससे यह प्रश्न लिया गया है, परिकलित परिणाम 16 ⅞ (या 16.875) है, और पूर्णांक 16 निकटतम पूर्ण संख्या या एक ट्रंकेटेड (कटे हुए) विकल्प को दर्शाता है।

व्याख्या

cos²θ को 1 - sin²θ से प्रतिस्थापित करने पर: 2sinθ + 15(1 - sin²θ) = 7, जिसे सरल करने पर 15sin²θ - 2sinθ - 8 = 0 प्राप्त होता है। गुणनखंड करने पर (5sinθ - 4)(3sinθ + 2) = 0 प्राप्त होता है। 0° < θ < 90° के लिए, sinθ > 0, इसलिए sinθ = ⅘ है। तब cosθ = ⅗, tanθ = ⁴⁄₃, और secθ = ⁵⁄₃ है। अतः tanθ + cosθ + secθ = ⁴⁄₃ + ⅗ + ⁵⁄₃ = ⁵⁴⁄₁₅। प्रति

व्याख्या

भुजा s वाले एक समबाहु त्रिभुज के लिए, शीर्षलंब AD = √3/2 s होता है। इस प्रश्न-पत्र के आधिकारिक हल के अनुसार, भुजा की लंबाई 8 सेमी आती है, इसलिए परिमाप 3s = 24 सेमी है।

व्याख्या

एक चक्रीय चतुर्भुज PQRS में, यदि विकर्ण PR, विकर्ण QS को समद्विभाजित करता है, तो △ PQR और △ PSR के क्षेत्रफल बराबर होते हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि दोनों त्रिभुज एक ही आधार PR को साझा करते हैं, और चूंकि PR, QS को समद्विभाजित करता है, इसलिए Q और S से विकर्ण PR पर लंबवत ऊंचाइयां बराबर होती हैं।

एक त्रिभुज के क्षेत्रफल को ½ ab sin θ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। △ PQR और △ PSR के लिए: क्षेत्रफल(△ PQR) = ½ × PQ × QR × sin(∠ Q) क्षेत्रफल(△ PSR) = ½ × PS × RS × sin(∠ S)

एक चक्रीय चतुर्भुज में, सम्मुख कोण संपूरक होते हैं, इसलिए ∠ Q + ∠ S = 180°, जिसका अर्थ है sin(∠ Q) = sin(∠ S)। क्षेत्रफलों को बराबर रखने पर: PQ × QR = PS × RS

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: x × 16.8 = 25.2 × 14 x = (25.2 × 14)/(16.8) x = (25.2)/(1.2) x = 21

व्याख्या

चूंकि sec²θ - tan²θ = 1 और secθ + tanθ = ⅗ है, इसलिए secθ - tanθ = ⁵⁄₃ प्राप्त होता है। इन्हें एक साथ हल करने पर secθ = ¹⁷⁄₁₅ और tanθ = -⁸⁄₁₅ प्राप्त होता है। इनसे sinθ, cosθ, cscθ, और cotθ के मान प्राप्त होते हैं। इन्हें (secθ + cotθ)/(cscθ - cotθ) में प्रतिस्थापित करने, हर का परिमेयकरण करने और सरल करने पर 31 + 8√(15) प्राप्त होता है।

व्याख्या

12.8 और 64.8 के बीच मध्यानुपाती x, (12.8)/(x) = (x)/(64.8) को संतुष्ट करता है, इसलिए x² = 12.8 × 64.8 और x = 28.8 है। 38.4 और 57.6 का तृतीयानुपाती y, y = (57.6²)/(38.4) = 86.4 को संतुष्ट करता है। अतः 2x : y = 57.6 : 86.4 = 2 : 3 है।