एसएससी सीजीएल टियर 1 2020 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

ब्याज की दर 16 ⅔% भिन्न ⅙ के बराबर है। 3 वर्ष की अवधि के लिए, हम मूलधन P को 6³ = 216 इकाई मान सकते हैं। 3 वर्ष बाद मिश्रधन A की गणना P(1 + r)³ के रूप में की जाती है, जिससे 216 × (⁷⁄₆)³ = 343 इकाई प्राप्त होती है। चक्रवृद्धि ब्याज, मिश्रधन और मूलधन के बीच का अंतर है, अर्थात 343 - 216 = 127 इकाई।

चूंकि चक्रवृद्धि ब्याज 6,350 दिया गया है, हम 127 इकाई को 6,350 के बराबर रखते हैं। इस प्रकार, 1 इकाई = (6,350)/(127) = 50। मूलधन P = 216 × 50 = 10,800 है।

उसी दर पर 5 ⅔ वर्षों के लिए साधारण ब्याज ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र SI = P × R × T का उपयोग करते हैं। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें SI = 10,800 × ⅙ × ¹⁷⁄₃ प्राप्त होता है। व्यंजक को सरल करने पर, 10,800 को 18 से विभाजित करने पर 600 प्राप्त होता है। 600 को 17 से गुणा करने पर 10,200 प्राप्त होता है।

व्याख्या

इस व्यंजक में मिश्रित भिन्न (mixed fractions) शामिल हैं जहाँ प्रतीक √() का उपयोग पूर्णांक और भिन्नात्मक भाग के बीच एक विभाजक (separator) के रूप में किया गया है। VBODMAS नियम (Viniculum, Bracket, Of, Division, Multiplication, Addition, Subtraction) का पालन करते हुए, हम अंश (numerator) और हर (denominator) का अलग-अलग मान ज्ञात करते हैं।

अंश के लिए: पहला पद 3⅔ ÷ (¹¹⁄₃₀ का ⅔) है। चूँकि 'का' (of) को भाग से पहले हल किया जाता है, हम ¹¹⁄₃₀ × ⅔ = ¹¹⁄₄₅ की गणना करते हैं। फिर, ¹¹⁄₃ ÷ ¹¹⁄₄₅ = ¹¹⁄₃ × ⁴⁵⁄₁₁ = 15। दूसरा पद (¼ का 2½) ÷ ⅗ × 4⅘ है। पहले 'का' (of) को हल करने पर ¼ × ⁵⁄₂ = ⅝ प्राप्त होता है। फिर हम बाएँ से दाएँ भाग और गुणा की संक्रिया करते हैं: (⅝ ÷ ⅗) × ²⁴⁄₅ = (⅝ × ⁵⁄₃) × ²⁴⁄₅ = ²⁵⁄₂₄ × ²⁴⁄₅ = 5। अंश = 15 - 5 = 10।

हर के लिए: पहला पद (⅖ का 7½) ÷ ¾ है। 'का' (of) को हल करने पर ⅖ × ¹⁵⁄₂ = 3 प्राप्त होता है। फिर, 3 ÷ ¾ = 3 × ⁴⁄₃ = 4। दूसरा पद ¾ × 1½ ÷ 2¼ है। प्राथमिकता के अनुसार, हम पहले भाग को हल करते हैं: ³⁄₂ ÷ ⁹⁄₄ = ³⁄₂ × ⁴⁄₉ = ⅔। फिर, ¾ × ⅔ = ½। हर = 4 - ½ = ⁷⁄₂।

अंतिम मान 10 ÷ ⁷⁄₂ = 10 × ²⁄₇ = ²⁰⁄₇ है, जिसे सरल करने पर 2⁶⁄₇ प्राप्त होता है।

व्याख्या

समकोण त्रिभुज ABC में, माना AB = h और BD = DE = EC = x है। परिणामस्वरूप, BE = 2x और BC = 3x है। तीनों समकोण त्रिभुजों ABD, ABE, और ABC में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर, हमें निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होते हैं: AD² = AB² + BD² = h² + x² AE² = AB² + BE² = h² + (2x)² = h² + 4x² AC² = AB² + BC² = h² + (3x)² = h² + 9x²

इन वर्गों के बीच संबंध स्थापित करने के लिए, रैखिक संयोजन 3AC² + 5AD² पर विचार करें: 3(h² + 9x²) + 5(h² + x²) = 3h² + 27x² + 5h² + 5x² 3AC² + 5AD² = 8h² + 32x²

उभयनिष्ठ गुणांक 8 को बाहर निकालने पर, व्यंजक इस प्रकार हो जाता है: 3AC² + 5AD² = 8(h² + 4x²)

चूंकि AE² = h² + 4x² है, इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर निम्नलिखित सर्वसमिका प्राप्त होती है: 3AC² + 5AD² = 8AE²

व्याख्या

माना धनात्मक पूर्णांक n है। शेषफल प्रमेय से, हम संख्या को n = dq + 15 के रूप में व्यक्त कर सकते हैं, जहाँ d भाजक है और q भागफल है। विभाजन का एक मूलभूत गुण यह है कि भाजक हमेशा शेषफल से बड़ा होना चाहिए, इसलिए d > 15।

जब संख्या के दस गुने को d से विभाजित किया जाता है, तो व्यंजक 10n = 10(dq + 15) = 10dq + 150 हो जाता है। चूंकि 10dq, d का एक गुणज है, इसलिए 10n को d से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल पूरी तरह से 150 को d से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल द्वारा निर्धारित होता है। प्रश्न के अनुसार यह शेषफल 6 है, जिससे सर्वांगसमता संबंध 150 ≡ 6 (mod d) प्राप्त होता है।

इसका अर्थ है कि d को अंतर 150 - 6 = 144 को पूर्णतः विभाजित करना चाहिए। इसलिए, d, 144 का एक गुणनखंड है जो d > 15 की शर्त को पूरा करता है। आरोही क्रम में 144 के गुणनखंड 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, …. हैं। इस अनुक्रम में 15 से बड़ा सबसे छोटा गुणनखंड 16 है। अतः, d का न्यूनतम संभावित मान 16 है।

व्याख्या

एक वस्तु का विक्रय मूल्य (SP) ²¹⁶⁰⁄₄₈ = 45 है। चूंकि रीमा को 10% की हानि हुई थी, इसलिए एक वस्तु का क्रय मूल्य (CP) सूत्र CP = (SP × 100)/(100 - हानि%) का उपयोग करके निकाला जाता है। इस प्रकार, CP = (45 × 100)/(90) = 50 है।

12% का लाभ अर्जित करने के लिए, प्रति वस्तु नया विक्रय मूल्य (SP) CP × (100 + लाभ%)/(100) = 50 × ¹¹²⁄₁₀₀ = 56 होना चाहिए।

इस लाभ को प्राप्त करने के लिए उसे ₹ 2,016 में जितनी वस्तुएं बेचनी चाहिए, वह कुल लक्षित राशि को प्रति वस्तु आवश्यक विक्रय मूल्य से विभाजित करने पर प्राप्त होगी। प्राप्त मानों का उपयोग करने पर, वस्तुओं की संख्या ²⁰¹⁶⁄₅₆ = 36 है।

व्याख्या

माना A और B द्वारा उधार ली गई राशि क्रमशः x और y है। प्रश्न के अनुसार, कुल राशि x + y = 51750 है। 7% चक्रवृद्धि ब्याज की दर पर 3 वर्ष बाद A द्वारा वापस भुगतान किया गया मिश्रधन, 4 वर्ष बाद B द्वारा वापस भुगतान किए गए मिश्रधन के बराबर है।

चक्रवृद्धि ब्याज में मिश्रधन का सूत्र A = P(1 + r/100)ⁿ है।

दोनों मिश्रधनों को बराबर रखने पर: x(1 + 7/100)³ = y(1 + 7/100)⁴

दोनों पक्षों को (1 + 7/100)³ से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है: x = y(1 + 7/100) x = y(107/100) x/y = 107/100

A और B द्वारा उधार ली गई राशियों का अनुपात 107:100 है। B द्वारा उधार ली गई राशि ज्ञात करने के लिए, हम इस अनुपात का उपयोग करते हैं: B द्वारा उधार ली गई राशि = (100 / (107 + 100)) × 51750 B द्वारा उधार ली गई राशि = (100 / 207) × 51750

51750 को 207 से विभाजित करने पर: 207 × 200 = 41400 51750 - 41400 = 10350 207 × 50 = 10350 इसलिए, 51750 / 207 = 250.

B द्वारा उधार ली गई राशि = 100 × 250 = 25000।

व्याख्या

दिए गए व्यंजक को सरल करने के लिए, प्रत्येक भाग को बीजगणितीय विस्तार और गुणनखंडन का उपयोग करके सरल किया जाता है। पहले पद का हर, (x + 4)² - 4x, विस्तारित होकर x² + 8x + 16 - 4x हो जाता है, जो सरल होकर x² + 4x + 16 बनता है। इस प्रकार, पहला पद x²(x - 4)²{x² + 4x + 16} है।

दूसरा भाग (x² - 4x)³{(x + 4)²} द्वारा विभाजन है। विभाजन, भाजक के व्युत्क्रम से गुणा करके किया जाता है। x² - 4x को x(x - 4) के रूप में गुणनखंडित करने पर, यह पद [x(x - 4)]³{(x + 4)²} = x³(x - 4)³{(x + 4)²} बन जाता है। इसका व्युत्क्रम (x + 4)²{x³(x - 4)³} है।

तीसरे पद, 64 - x³{16 - x²}, को घनों के अंतर की सर्वसमिका a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) और वर्गों के अंतर की सर्वसमिका a² - b² = (a - b)(a + b) का उपयोग करके सरल किया जाता है। a = 4 और b = x प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: (4 - x)(16 + 4x + x²){(4 - x)(4 + x)} = x² + 4x + 16{x + 4}

इन सरलीकृत घटकों को मिलाने पर: x²(x - 4)²{x² + 4x + 16} × (x + 4)²{x³(x - 4)³} × x² + 4x + 16{x + 4}

अंश और हर से उभयनिष्ठ गुणनखंड x² + 4x + 16 को निरस्त करने पर, और x, (x - 4), तथा (x + 4) की घातों को कम करने पर: x² · (x - 4)² · (x + 4)²{x³ · (x - 4)³ · (x + 4)} = (x + 4)/(x(x - 4))

व्याख्या

मान लीजिए कि वस्तु का क्रय मूल्य (CP) 100 है। अंकित मूल्य (MP) क्रय मूल्य से 25% अधिक है, इसलिए MP = 100 × 1.25 = 125 है। दुकानदार को बिक्री पर 8% की हानि होती है, जिसका अर्थ है कि विक्रय मूल्य (SP) 100 × (1 - 0.08) = 92 है। छूट की राशि अंकित मूल्य और विक्रय मूल्य के बीच का अंतर है, जिसकी गणना 125 - 92 = 33 के रूप में की जाती है। छूट प्रतिशत x को अंकित मूल्य के सापेक्ष सूत्र x = (MP - SP)/(MP) × 100 का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर x = ³³⁄₁₂₅ × 100 = (33 × 4)/(5) = ¹³²⁄₅ = 26.4 प्राप्त होता है। इसलिए, x का मान 26.4 है।

व्याख्या

चार संख्याओं a, b, c, d में x जोड़ने के बाद उन्हें समानुपात में होने के लिए, संबंध (a+x)/(b+x) = (c+x)/(d+x) होता है। x का मान ज्ञात करने का एक त्वरित तरीका सूत्र x = (ad - bc)/((b+c) - (a+d)) का उपयोग करना है। मान 10, 16, 22 और 32 प्रतिस्थापित करने पर:

x = (10 × 32 - 16 × 22)/((16 + 22) - (10 + 32)) = (320 - 352)/(38 - 42) = ⁻³²⁄₋₄ = 8.

जिन संख्याओं के लिए हमें मध्यानुपाती ज्ञात करना है वे (x + 1) और (3x + 1) हैं। x = 8 प्रतिस्थापित करने पर:

पहली संख्या = 8 + 1 = 9 दूसरी संख्या = 3(8) + 1 = 25

दो संख्याओं a और b के बीच मध्यानुपाती की गणना √(ab) के रूप में की जाती है। इस प्रकार:

मध्यानुपाती = √(9 × 25) = √(225) = 15।

व्याख्या

इस व्यंजक का मान पूरक कोण सर्वसमिकाओं cosec(90° - A) = sec A और tan(90° - A) = cot A का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है।

अंश में, हम θ वाले पदों को पुनर्गठित कर सकते हैं। चूंकि (78° + θ) + (12° - θ) = 90° है, इसलिए cosec(78° + θ) = sec(12° - θ) प्राप्त होता है। इन दोनों पदों को घटाने पर शून्य प्राप्त होता है। इसी प्रकार, चूंकि (67° + θ) + (23° - θ) = 90° है, इसलिए tan(67° + θ) = cot(23° - θ) प्राप्त होता है। इसलिए, पदों -tan(67° + θ) + cot(23° - θ) का योग भी शून्य हो जाता है। परिणामस्वरूप, भिन्न का पूरा अंश 0 है।

हर में, हम सर्वसमिका tan A · tan(90° - A) = 1 का उपयोग करते हैं। हम पदों को पूरक युग्मों में समूहित कर सकते हैं: (tan 13° · tan 77°) · (tan 37° · tan 53°) · tan 45°। यह सरल होकर 1 · 1 · 1 हो जाता है, जो कि 1 के बराबर है। चूंकि अंश 0 है और हर 1 है, इसलिए पूरे व्यंजक का मान 0 है।

व्याख्या

बिंदु की शक्ति प्रमेय (Power of a Point theorem) के अनुसार, यदि एक छेदक रेखा PQR और केंद्र O से होकर जाने वाली रेखा (जिसमें व्यास AB शामिल है) एक बाहरी बिंदु P पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो P से वृत्त तक के खंडों की लंबाई का गुणनफल स्थिर रहता है। माना वृत्त की त्रिज्या r है। व्यास रेखा के अनुदिश P से वृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदुओं की दूरियाँ PA = PO + r और PB = PO - r हैं। प्रमेय निम्नलिखित संबंध देता है: PQ × PR = PA × PB PQ × PR = (PO + r)(PO - r) = PO² - r²

दिए गए मानों PQ = 12 सेमी, PR = 19.2 सेमी, और PO = 16.8 सेमी को सूत्र में रखने पर: 12 × 19.2 = 16.8² - r² 230.4 = 282.24 - r² r² = 282.24 - 230.4 = 51.84 r = √(51.84) = 7.2 सेमी

व्यास AB की लंबाई त्रिज्या की दोगुनी होती है: AB = 2r = 2 × 7.2 = 14.4 सेमी

व्याख्या

मान लीजिए कि धारा के प्रतिकूल 1 किमी की यात्रा करने में लगा समय x मिनट है और धारा के अनुकूल 1 किमी की यात्रा करने में लगा समय y मिनट है। दी गई जानकारी के आधार पर, हम दो रैखिक समीकरण बना सकते हैं:

पहले मामले के लिए: 3.6x + 5.4y = 54 पूरे समीकरण को 1.8 से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है: 2x + 3y = 30 ... (i)

दूसरे मामले के लिए: 5.4x + 3.6y = 58.5 पूरे समीकरण को 0.9 से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है: 6x + 4y = 65 ... (ii)

y (प्रति किमी धारा के अनुकूल लगने वाला समय) का मान ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण (i) को 3 से गुणा करके और उसमें से समीकरण (ii) को घटाकर x को विलुप्त करते हैं: 3(2x + 3y) - (6x + 4y) = 3(30) - 65 6x + 9y - 6x - 4y = 90 - 65 5y = 25 y = 5

नाव द्वारा धारा के अनुकूल 1 किमी की यात्रा करने में लिया गया समय 5 मिनट है। इसलिए, धारा के अनुकूल 10 किमी की यात्रा करने में लिया गया समय है: 10 × 5 = 50 मिनट

व्याख्या

दिए गए समीकरण 5cosθ - 12sinθ = 0 को 12sinθ = 5cosθ के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है, जिससे tanθ = ⁵⁄₁₂ प्राप्त होता है।

एक समकोण त्रिभुज में, tanθ लंब और आधार का अनुपात होता है। इस प्रकार, हम लंब को 5 इकाई और आधार को 12 इकाई मान सकते हैं। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर, कर्ण है: √(5²⁾⁺¹²^^^² = √(25 + 144) = 13

इन भुजाओं से, हम sinθ और cosθ के मान ज्ञात करते हैं: sinθ = ⁵⁄₁₃ cosθ = ¹²⁄₁₃

इन मानों को अनुपात (1 + sinθ + cosθ)/(1 - sinθ + cosθ) में प्रतिस्थापित करने पर: (1 + 5)/(13) + ¹²⁄₁₃{1 - ⁵⁄₁₃ + ¹²⁄₁₃} = (13 + 5 + 12)/(13){(13 - 5 + 12)/(13)} (30/13)/(20/13) = ³⁰⁄₂₀ = ³⁄₂

व्याख्या

अभीष्ट प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले वर्ष 2017 में कंपनी A और वर्ष 2013 में कंपनी C द्वारा बेची गई कारों का योग ज्ञात कीजिए। तालिका से, 2017 में A की बिक्री 52 है और 2013 में C की बिक्री 65 है। अंश = 52 + 65 = 117

इसके बाद, वर्ष 2013 और 2016 में सभी चार कंपनियों (A, B, C और D) द्वारा बेची गई कारों की कुल संख्या की गणना कीजिए। 2013 में कुल बिक्री = 45 + 63 + 65 + 67 = 240 2016 में कुल बिक्री = 72 + 58 + 70 + 63 = 263 हर = 240 + 263 = 503

अभीष्ट प्रतिशत की गणना इस प्रकार की जाती है: प्रतिशत = ¹¹⁷⁄₅₀₃ × 100 प्रतिशत = ¹¹⁷⁰⁰⁄₅₀₃ ≈ 23.2604

एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर, प्रतिशत 23.3 है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण 11sin² θ - cos² θ + 4sin θ - 4 = 0 (इस समस्या के मानक रूप को मानते हुए) को cos² θ = 1 - sin² θ का उपयोग करके सरल करने पर 12sin² θ + 4sin θ - 5 = 0 प्राप्त होता है। sin θ के लिए इस द्विघात समीकरण को हल करने पर (2sin θ - 1)(6sin θ + 5) = 0 प्राप्त होता है, और चूंकि 0° < θ < 90° है, हमें sin θ = 1/2 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है θ = 30° और 2θ = 60° है। 2θ = 60° के लिए व्यंजक (cos 2θ + cot 2θ) / (sec 2θ - tan 2θ) का मान निकालने पर (½ + (1)/(√(3))) / (2 - √3) प्राप्त होता है, जो सरल होकर 2 + √3{2√3(2 - √3)} = (2 + √3)²{2√3} = 7 + 4√3{2√3} हो जाता है। हर का परिमेयकरण करने पर परिणाम 12 + 7√3{6} प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक लंब वृत्तीय बेलन का आयतन V, सूत्र V = π r² h द्वारा निर्धारित किया जाता है। जब विमाओं में परिवर्तन होता है, तो नए आयतन V_new की गणना प्रत्येक चर के परिवर्तन गुणांकों को गुणा करके मूल आयतन V_old के सापेक्ष की जा सकती है।

त्रिज्या r में 10% की कमी का अर्थ है कि नई त्रिज्या मूल त्रिज्या की 1 - 0.10 = 0.9 गुना है। चूंकि सूत्र में r² का उपयोग किया जाता है, इसलिए त्रिज्या परिवर्तन का योगदान (0.9)² = 0.81 है। ऊंचाई h में 20% की वृद्धि का अर्थ है कि नई ऊंचाई मूल ऊंचाई की 1 + 0.20 = 1.2 गुना है।

नए आयतन का पुराने आयतन से अनुपात इस प्रकार निकाला जाता है: V_new/V_old = (0.9)² × 1.2 = 0.81 × 1.2 = 0.972

प्रतिशत परिवर्तन ज्ञात करने के लिए: प्रतिशत परिवर्तन = (0.972 - 1) × 100 = -2.8%

ऋणात्मक परिणाम कुल आयतन में कमी को दर्शाता है। अतः, बेलन के आयतन में 2.8% की कमी होती है।

व्याख्या

एक चक्रीय चतुर्भुज में, सम्मुख कोणों का योग 180° होता है। दिया गया है कि ∠ A = 60° और ∠ ABC = 72°, हम सम्मुख कोण ज्ञात करते हैं: ∠ ADC = 180° - ∠ ABC = 180° - 72° = 108° ∠ BCD = 180° - ∠ A = 180° - 60° = 120°

चूंकि AD और BC को आगे बढ़ाए जाने पर वे P पर मिलती हैं, इसलिए बिंदु A, D, P और B, C, P संरेख (collinear) हैं। कोण ∠ PDC और ∠ PCD, D और C पर चतुर्भुज के आंतरिक कोणों के संपूरक हैं: ∠ PDC = 180° - ∠ ADC = 180° - 108° = 72° ∠ PCD = 180° - ∠ BCD = 180° - 120° = 60°

ध्यान दें कि एक चक्रीय चतुर्भुज के लिए, बाह्य कोण आंतरिक सम्मुख कोण के बराबर होता है, जिससे यह पुष्टि होती है कि ∠ PDC = ∠ ABC = 72° और ∠ PCD = ∠ A = 60°।

△ PCD में, कोणों का योग 180° होता है: ∠ DPC = 180° - (∠ PDC + ∠ PCD) = 180° - (72° + 60°) ∠ DPC = 180° - 132° = 48°

अभीष्ट मान की गणना करने पर: ∠ PDC - ∠ DPC = 72° - 48° = 24°

व्याख्या

2014 से 2018 तक कंपनी A की औसत बिक्री की गणना उन पांच वर्षों के लिए उसकी बिक्री का योग ज्ञात करके और उसे 5 से विभाजित करके की जाती है। योग (कंपनी A, 2014-2018) = 52 + 61 + 72 + 52 + 63 = 300 औसत (कंपनी A, 2014-2018) = ³⁰⁰⁄₅ = 60

तालिका से, 2018 में कंपनी C द्वारा बेची गई कारों की संख्या 76 है। 2018 में कंपनी C द्वारा बेची गई कारों और निर्दिष्ट अवधि के दौरान कंपनी A की औसत बिक्री के बीच का अंतर 76 - 60 = 16 है। चूंकि तालिका में मान हजारों में दिए गए हैं, इसलिए कुल अधिकता 16 × 1,000 = 16,000 है।

व्याख्या

मान लीजिए कि A और B की आय क्रमशः I_A और I_B है। चूंकि A अपनी आय का 60% खर्च करता है, इसलिए A की बचत (S_A), I_A का 40% है, जो कि 0.4 I_A है। इसी प्रकार, B अपनी आय का 75% खर्च करता है, इसलिए B की बचत (S_B), I_B का 25% है, जो कि 0.25 I_B है।

दी गई शर्त के अनुसार, S_A, S_B से 20% अधिक है। इस संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: S_A = 1.20 × S_B 0.4 I_A = 1.2 × 0.25 I_B 0.4 I_A = 0.3 I_B I_A = (0.3)/(0.4) I_B = 0.75 I_B

A की आय, B की आय से कितने प्रतिशत कम है, इसकी गणना इस प्रकार की जाती है: प्रतिशत कमी = (I_B - I_A)/(I_B) × 100 प्रतिशत कमी = (I_B - 0.75 I_B)/(I_B) × 100 = 0.25 × 100 = 25%

व्याख्या

वर्ष 2015, 2017 और 2018 में कंपनी B द्वारा बेची गई कुल कारों की गणना तालिका से संबंधित मानों को जोड़कर की जाती है: 60 + 53 + 67 = 180 हजार कारें।

वर्ष 2013, 2015, 2017 और 2018 में कंपनी C द्वारा बेची गई कुल कारों की गणना इस प्रकार की जाती है: 65 + 66 + 63 + 76 = 270 हजार कारें।

कंपनी B की बिक्री, कंपनी C की बिक्री से कितने प्रतिशत कम है, इसे निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है: प्रतिशत कमी = (Total_C - Total_B)/(Total_C) × 100

सूत्र में परिकलित कुल मानों को रखने पर: (270 - 180)/(270) × 100 = ⁹⁰⁄₂₇₀ × 100 = ⅓ × 100 = 33⅓%

व्याख्या

मान लीजिए Y की कार्यक्षमता 100 इकाई/दिन है। चूंकि X की कार्यक्षमता Y से 40 प्रतिशत अधिक है, इसलिए X की कार्यक्षमता 140 इकाई/दिन होगी। चूंकि Z की कार्यक्षमता Y से 40 प्रतिशत कम है, इसलिए Z की कार्यक्षमता 60 इकाई/दिन होगी। X, Y और Z की कार्यक्षमताओं का अनुपात 140:100:60 है, जिसे सरल करने पर 7:5:3 प्राप्त होता है।

एक साथ कार्य करते हुए X, Y और Z की कुल कार्यक्षमता 7 + 5 + 3 = 15 इकाई प्रति दिन है। वे कार्य को 21 दिनों में पूरा कर सकते हैं, इसलिए कुल कार्य 15 × 21 = 315 इकाई है।

Y और Z मिलकर 35 दिनों तक कार्य करते हैं। उनकी संयुक्त कार्यक्षमता 5 + 3 = 8 इकाई प्रति दिन है। उनके द्वारा 35 दिनों में पूरा किया गया कार्य 8 × 35 = 280 इकाई है।

शेष कार्य 315 - 280 = 35 इकाई है। X अकेले इस शेष कार्य को पूरा करता है। 7 इकाई प्रति दिन की कार्यक्षमता के साथ, X द्वारा लिया गया समय 35 / 7 = 5 दिन है।

व्याख्या

वर्ष 2017 में कंपनियों A, B और D द्वारा बेची गई कारों की कुल संख्या की गणना उस वर्ष के लिए तालिका से उनकी संबंधित बिक्री को जोड़कर की जाती है: 52 + 53 + 75 = 180

वर्ष 2018 में सभी चार कंपनियों (A, B, C और D) द्वारा बेची गई कारों की कुल संख्या की गणना उस वर्ष के लिए सभी कंपनियों की बिक्री को जोड़कर की जाती है: 63 + 67 + 76 + 74 = 280

अभीष्ट अनुपात वर्ष 2017 में A, B और D की कुल बिक्री का वर्ष 2018 में सभी कंपनियों की कुल बिक्री से अनुपात है: अनुपात = 180 : 280

इस अनुपात को सरल करने के लिए, दोनों पदों को उनके महत्तम समापवर्तक (greatest common divisor) से विभाजित करें, जो कि 20 है: ¹⁸⁰⁄₂₀ : ²⁸⁰⁄₂₀ = 9 : 14

व्याख्या

व्यंजक का मूल्यांकन BODMAS नियम (कोष्ठक (Brackets), का (Of), भाग (Division), गुणा (Multiplication), योग (Addition), घटाव (Subtraction)) का उपयोग करके किया जाता है।

सबसे पहले, सभी मिश्रित भिन्नों को अनुचित भिन्नों (improper fractions) में बदलें: 1⅞ = ¹⁵⁄₈; 1⅓ = ⁴⁄₃; 3⅕ = ¹⁶⁄₅; 4½ = ⁹⁄₂; 5⅓ = ¹⁶⁄₃; 2½ = ⁵⁄₂।

पहले खंड को हल करें: ⅗ × ¹⁵⁄₈ ÷ ⁴⁄₃ का ³⁄₁₆। BODMAS के अनुसार, 'का' (of) संक्रिया पहले की जाती है: ⁴⁄₃ × ³⁄₁₆ = ¼। इसके बाद, भाग करें: ¹⁵⁄₈ ÷ ¼ = ¹⁵⁄₈ × 4 = ¹⁵⁄₂। फिर, गुणा करें: ⅗ × ¹⁵⁄₂ = ⁹⁄₂।

कोष्ठक वाले खंड को हल करें: (3⅕ ÷ 4½ का 5⅓) × 2½। कोष्ठक के अंदर, पहले 'का' (of) संक्रिया करें: ⁹⁄₂ × ¹⁶⁄₃ = 24। भाग करें: ¹⁶⁄₅ ÷ 24 = (16)/(5 × 24) = ²⁄₁₅। कोष्ठक के परिणाम को ⁵⁄₂ से गुणा करें: ²⁄₁₅ × ⁵⁄₂ = ⅓।

अंतिम खंड को हल करें: ½ का ⅛ ÷ ¼। 'का' (of) संक्रिया करें: ½ × ⅛ = ¹⁄₁₆। भाग करें: ¹⁄₁₆ ÷ ¼ = ¹⁄₁₆ × 4 = ¼।

परिणामों को मिलाएँ: ⁹⁄₂ - ⅓ + ¼ हरों 2, 3, और 4 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेने पर, जो कि 12 है: (9 × 6 - 1 × 4 + 1 × 3)/(12) = (54 - 4 + 3)/(12) = ⁵³⁄₁₂ मिश्रित भिन्न में बदलने पर: ⁵³⁄₁₂ = 4⁵⁄₁₂

व्याख्या

△ PQR में, चूंकि T भुजा PR पर एक बिंदु है, इसलिए कोण ∠ PTS और ∠ STR एक रैखिक युग्म (linear pair) बनाते हैं। इस प्रकार, ∠ PTS = 180° - ∠ STR = 180° - 122° = 58°।

△ PTS और △ PQR की तुलना करने पर, हम पाते हैं कि ∠ P एक उभयनिष्ठ कोण (common angle) है और ∠ PTS = ∠ PQR = 58° है। इसलिए, AA समरूपता कसौटी (AA similarity criterion) के अनुसार, △ PTS ∼ △ PQR है।

समरूप त्रिभुजों के गुणों के अनुसार, उनकी संगत भुजाओं के अनुपात बराबर होते हैं। छोटे त्रिभुज में भुजा PT, बड़े त्रिभुज में भुजा PQ के संगत है, और PS, PR के संगत है। इस संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: PT / PQ = PS / PR

ज्ञात मानों PT = 12 सेमी, PQ = 24 सेमी, और PS = 14 सेमी को सूत्र में रखने पर: 12 / 24 = 14 / PR 1 / 2 = 14 / PR PR = 28 सेमी

बिंदु T रेखाखंड PR पर स्थित है, इसलिए कुल लंबाई PR, PT और RT का योग है। RT की लंबाई की गणना इस प्रकार की जाती है: RT = PR - PT = 28 - 12 = 16 सेमी

व्याख्या

व्यंजक x⁴ + x²y² + y⁴ के लिए बीजीय सर्वसमिका इस प्रकार दी गई है: x⁴ + x²y² + y⁴ = (x² + xy + y²)(x² - xy + y²)

दिया गया है कि x⁴ + x²y² + y⁴ = 273 और x² - xy + y² = 13, हम दूसरे गुणनखंड का मान ज्ञात कर सकते हैं: x² + xy + y² = (x⁴ + x²y² + y⁴)/(x² - xy + y²) x² + xy + y² = ²⁷³⁄₁₃ = 21

xy का मान ज्ञात करने के लिए, समीकरण (x² + xy + y²) में से समीकरण (x² - xy + y²) को घटाइए: (x² + xy + y²) - (x² - xy + y²) = 21 - 13 2xy = 8 xy = 4

व्याख्या

25x² + (1)/(16x²) का मान ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले दिए गए समीकरण 20x² - 30x + 1 = 0 को लक्षित व्यंजक के वर्गमूल के समान रूप में परिवर्तित करते हैं, जो कि 5x + ¹⁄₄ₓ है। पूरे समीकरण को 4x से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

(20x²)/(4x) - ³⁰ˣ⁄₄ₓ + ¹⁄₄ₓ = 0 5x - ¹⁵⁄₂ + ¹⁄₄ₓ = 0 5x + ¹⁄₄ₓ = ¹⁵⁄₂

इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर हम लक्षित व्यंजक को अलग कर सकते हैं:

(5x + ¹⁄₄ₓ)² = (¹⁵⁄₂)² (5x)² + (¹⁄₄ₓ)² + 2(5x)(¹⁄₄ₓ) = ²²⁵⁄₄ 25x² + (1)/(16x²) + ¹⁰⁄₄ = ²²⁵⁄₄ 25x² + (1)/(16x²) = ²²⁵⁄₄ - ¹⁰⁄₄ 25x² + (1)/(16x²) = ²¹⁵⁄₄

अनुचित भिन्न ²¹⁵⁄₄ को मिश्रित भिन्न में बदलने पर:

215 ÷ 4 = 53, शेषफल 3 के साथ। 25x² + (1)/(16x²) = 53¾

व्याख्या

यह व्यंजक बीजगणितीय सर्वसमिका (x + y)² - (x - y)² = 4xy के रूप में है। माना x = a और y = (b + c - d), हम दिए गए व्यंजक (a + b + c - d)² - (a - b - c + d)² को इस प्रकार लिख सकते हैं:

(a + (b + c - d))² - (a - (b + c - d))²

सीधे 4xy सर्वसमिका का उपयोग करने पर: 4 · a · (b + c - d) = 4a(b + c - d)

वैकल्पिक रूप से, वर्गों के अंतर की सर्वसमिका X² - Y² = (X + Y)(X - Y) का उपयोग करने पर, जहाँ X = (a + b + c - d) और Y = (a - b - c + d): X + Y = (a + b + c - d) + (a - b - c + d) = 2a X - Y = (a + b + c - d) - (a - b - c + d) = 2b + 2c - 2d = 2(b + c - d)

योग और अंतर के परिणामों को गुणा करने पर: (2a) × 2(b + c - d) = 4a(b + c - d)

व्याख्या

भुजा की लंबाई s वाले एक वर्ग का परिमाप P, सूत्र P = 4s द्वारा दिया जाता है। इस सूत्र में दिए गए परिमाप 64 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर, हमें भुजा की लंबाई s = ⁶⁴⁄₄ = 16 सेमी प्राप्त होती है। एक वर्ग के क्षेत्रफल A की गणना सूत्र A = s² का उपयोग करके की जाती है। भुजा की लंबाई का वर्ग करने पर, हमें A = 16² = 256 सेमी² प्राप्त होता है।

व्याख्या

जब किसी वस्तु की कीमत बढ़ती है, तो कुल व्यय को स्थिर रखने के लिए, खपत को मूल्य परिवर्तन के व्युत्क्रमानुपात में कम किया जाना चाहिए। खपत में आवश्यक प्रतिशत कमी की गणना करने का सूत्र है:

प्रतिशत कमी = (r)/(100 + r) × 100

जहाँ r मूल्य में प्रतिशत वृद्धि है। यह देखते हुए कि चीनी की कीमत में r = 20% की वृद्धि होती है, इस मान को सूत्र में रखने पर प्राप्त होता है:

प्रतिशत कमी = (20)/(100 + 20) × 100

प्रतिशत कमी = ²⁰⁄₁₂₀ × 100 = ⅙ × 100

¹⁰⁰⁄₆ = 16 ⅔%

दशमलव रूप में, यह लगभग 16.67% है। यह गणना दर्शाती है कि एक उपभोक्ता को अपनी चीनी की खपत में 16 ⅔% की कमी करनी होगी ताकि यह सुनिश्चित हो सके कि चीनी की कीमत में 20% की वृद्धि के बावजूद चीनी पर खर्च की गई कुल राशि समान रहे।

व्याख्या

अंकित मूल्य (MP) और क्रय मूल्य (CP) के बीच का संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया गया है: (MP)/(CP) = (100 + लाभ%)/(100 - छूट%)

दिया गया है कि लाभ 20% है, छूट 16% है, और क्रय मूल्य ₹11,900 है, इन मानों को समीकरण में रखने पर: (MP)/(11900) = (100 + 20)/(100 - 16) = ¹²⁰⁄₈₄

अंश और हर दोनों को 12 से विभाजित करके दाईं ओर के भिन्न को सरल करने पर: (MP)/(11900) = ¹⁰⁄₇

अंकित मूल्य की गणना करने पर: MP = (11900 × 10)/(7) MP = 1700 × 10 = 17,000

व्याख्या

(a + b)³ के रूप में एक द्विपद व्यंजक का प्रसार बीजगणितीय सर्वसमिका a³ + 3a²b + 3ab² + b³ का अनुसरण करता है। दिए गए व्यंजक (2x + y)³ में, हम इस सर्वसमिका में a = 2x और b = y प्रतिस्थापित करते हैं। x² का गुणांक ज्ञात करने के लिए, हम पद 3a²b को अलग करते हैं। इस पद में विशिष्ट मानों को प्रतिस्थापित करने पर 3(2x)²(y) प्राप्त होता है। वर्ग और गुणनफल का मान निकालने पर परिणाम 3(4x²)(y) = 12yx² प्राप्त होता है। x² का गुणांक वह गुणनखंड है जो इससे गुणा हो रहा है, जो कि 12y है।

व्याख्या

व्यंजक -1 + ¼ ÷ ½ × 2 + 5 का मान ज्ञात करने के लिए, हम BODMAS नियम का पालन करते हैं, जो कोष्ठक (Brackets), क्रम (Orders), भाग (Division) और गुणा (Multiplication) (बाएं से दाएं), और अंत में जोड़ (Addition) और घटाव (Subtraction) के क्रम में संक्रियाओं को प्राथमिकता देता है।

सबसे पहले, हम व्यंजक के भाग वाले हिस्से को हल करते हैं: ¼ ÷ ½ = ¼ × ²⁄₁ = ²⁄₄ = ½

इसके बाद, संक्रियाओं के क्रम के अनुसार हम परिणाम को 2 से गुणा करते हैं: ½ × 2 = 1

अब, शेष जोड़ और घटाव करने के लिए हम इस परिणाम को मूल व्यंजक में वापस रखते हैं: -1 + 1 + 5

बाएं से दाएं गणना करने पर: -1 + 1 = 0 0 + 5 = 5

व्याख्या

यह व्यंजक त्रिकोणमितीय मानों का एक गुणनफल है: cos 0° · cos 30° · cos 45° · cos 60° · cos 90°। त्रिकोणमिति में, cos 90° का मान ठीक 0 होता है। शून्य के गुणन गुण के अनुसार, यदि परिमित वास्तविक संख्याओं के गुणनफल में कोई भी गुणनखंड शून्य है, तो संपूर्ण गुणनफल शून्य के बराबर होता है। व्यंजक में ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 1 · √3{2} · (1)/(√(2)) · ½ · 0 = 0 प्राप्त होता है।

व्याख्या

135 सेमी या उससे अधिक लेकिन 150 सेमी से कम लंबाई वाली लड़कियों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम इस सीमा के अंतर्गत आने वाले वर्ग अंतरालों की पहचान करते हैं और उनकी संबंधित बारंबारताओं का योग करते हैं। डेटा तालिका से प्रासंगिक अंतराल 135-140, 140-145 और 145-150 हैं।

कुल = f(135-140) + f(140-145) + f(145-150) कुल = 20 + 29 + 15 = 64

अंतराल 135-140 में 20 लड़कियां हैं, 140-145 में 29 लड़कियां हैं, और 145-150 में 15 लड़कियां हैं। इन मानों को सीधे जोड़ने पर निर्दिष्ट लंबाई सीमा के लिए कुल संख्या प्राप्त होती है।

व्याख्या

कुल लाभ प्रतिशत की गणना करने के लिए, कुल क्रय मूल्य और अर्जित कुल लाभ ज्ञात कीजिए।

कुल क्रय मूल्य = 42,000 + 8,000 = 50,000 कुल लाभ = (10% × 42,000) + (5% × 8,000) = 4,200 + 400 = 4,600 कुल लाभ प्रतिशत = (कुल लाभ)/(कुल क्रय मूल्य) × 100 कुल लाभ प्रतिशत = (4,600)/(50,000) × 100 = (4,600)/(500) = ⁴⁶⁄₅%

अनुचित भिन्न ⁴⁶⁄₅ को मिश्रित भिन्न में बदलने पर 9 ⅕% प्राप्त होता है।

व्याख्या

पांच कर्मचारियों के लिए औसत बकाया की गणना कुल बकाया को कर्मचारियों की संख्या से विभाजित करके की जाती है। कर्मचारी A, B, C, D और E के लिए बकाया का योग 5,500 + 4,500 + 4,000 + 3,000 + 1,500 = 18,500 है। इस कुल योग को 5 से विभाजित करने पर औसत बकाया (18,500)/(5) = 3,700 प्राप्त होता है। इस मान से अधिक बकाया प्राप्त करने वाले कर्मचारियों की संख्या ज्ञात करने के लिए, व्यक्तिगत राशियों की तुलना 3,700 से की जाती है। कर्मचारी A को 5,500 मिले, कर्मचारी B को 4,500 मिले और कर्मचारी C को 4,000 मिले। ये तीनों राशियां 3,700 से अधिक हैं, जबकि अन्य दो कर्मचारियों की राशियां औसत से कम हैं। इसके परिणामस्वरूप कुल 3 कर्मचारी ऐसे हैं जिन्हें परिकलित औसत से अधिक बकाया मिला।

व्याख्या

x³ - 1/x³ का मान ज्ञात करने के लिए, सर्वसमिका (x - 1/x)³ + 3(x - 1/x) का उपयोग करें। दिए गए मान 11 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 11³ + 3(11) = 1331 + 33 = 1364 प्राप्त होता है।

व्याख्या

40,000 से कम मासिक वेतन वाले परिवारों की संख्या की गणना इस सीमा से कम आय दर्शाने वाले वर्ग अंतरालों की बारंबारताओं का योग करके की जाती है। दिए गए बारंबारता वितरण के आधार पर, इसमें पहले वर्ग के 6 परिवार, दूसरे वर्ग के 12 परिवार और तीसरे वर्ग के 9 परिवार शामिल हैं। इन मानों को जोड़ने पर 6 + 12 + 9 = 27 परिवार प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

8 की विभाज्यता के नियम के अनुसार, कोई संख्या 8 से विभाज्य होती है यदि उसके अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या भी 8 से विभाज्य हो। संख्या 14648 के लिए, अंतिम तीन अंक 48 हैं।

48 के मान को 100 × ★ + 48 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। चूंकि 48 पहले से ही 8 से विभाज्य है (48 = 8 × 6), इसलिए संपूर्ण व्यंजक 8 से विभाज्य होगा यदि 100 × ★ भी 8 से विभाज्य हो। 100 को 8 से विभाजित करने पर शेषफल 4 बचता है, इसलिए हमें 4 × ★ को 8 का गुणज बनाने की आवश्यकता है।

★ के लिए अधिकतम संभावित एकल-अंकीय मानों का मूल्यांकन करने पर, हम पाते हैं कि यदि ★ = 8, तो अंतिम तीन अंक 848 हो जाते हैं। 848 को 8 से विभाजित करने पर 848 = 8 × 106 प्राप्त होता है, जो कि एक पूर्ण विभाजन है। दिए गए विकल्पों में से, 8 सबसे बड़ा अंक है जो 8 से विभाज्यता की शर्त को पूरा करता है।

व्याख्या

नामांकित छात्रों की कुल संख्या विज्ञान (50), कला (73), वाणिज्य (84), और व्यावसायिक (43) संकायों में छात्रों का योग है, जो 250 के बराबर है। विज्ञान के अलावा अन्य संकायों में छात्रों की संख्या 200 (73 + 84 + 43) है। प्रतिशत की गणना करने पर, (200 / 250) * 100 का परिणाम 80% होता है।

व्याख्या

स्टेशन A से चलने वाली ट्रेन सुबह 6:00 बजे प्रस्थान करती है, जबकि स्टेशन B से चलने वाली ट्रेन सुबह 6:20 बजे प्रस्थान करती है। पहले 20 मिनट के दौरान, केवल स्टेशन A से चलने वाली ट्रेन ही गतिमान होती है। इस समय में इसके द्वारा तय की गई दूरी 48 × ²⁰⁄₆₀ = 16 किमी है। सुबह 6:20 बजे, दोनों ट्रेनों के बीच की शेष दूरी 428 - 16 = 412 किमी है। चूंकि ट्रेनें एक-दूसरे की ओर बढ़ रही हैं, इसलिए उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का योग है: 48 + 55 = 103 किमी/घंटा। शेष दूरी को तय करने में लगने वाला समय ⁴¹²⁄₁₀₃ = 4 घंटे है। दूसरी ट्रेन के प्रस्थान समय सुबह 6:20 बजे में 4 घंटे जोड़ने पर, दोनों ट्रेनें सुबह 10:20 बजे मिलेंगी।

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज में, किसी भी वर्ष के अंत में प्राप्त मिश्रधन अगले वर्ष के लिए मूलधन के रूप में कार्य करता है। दो क्रमागत वर्षों के मिश्रधनों के बीच का अंतर पिछले वर्ष की राशि पर अर्जित ब्याज को दर्शाता है।

दिया गया है: 3 वर्षों के बाद मिश्रधन A₃ = ₹66,550 4 वर्षों के बाद मिश्रधन A₄ = ₹73,205

चौथे वर्ष का ब्याज = A₄ - A₃ ब्याज = 73,205 - 66,550 = ₹6,655

ब्याज दर r की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: r = (उस वर्ष का ब्याज)/(उस वर्ष के लिए मूलधन) × 100 r = (6,655)/(66,550) × 100 r = ⅒ × 100 = 10%

व्याख्या

समूह में शामिल होने वाले नए सदस्य की ऊँचाई निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके ज्ञात की जा सकती है: नया मान = पुराना औसत + (औसत में वृद्धि × नई कुल संख्या)

इस मामले में, 5 लड़कों की पुरानी औसत ऊँचाई 175 सेमी है। जब छठा लड़का शामिल होता है, तो लड़कों की कुल संख्या 6 हो जाती है, और औसत ऊँचाई 1 सेमी बढ़ जाती है।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: छठे लड़के की ऊँचाई = 175 + (1 × 6) = 175 + 6 = 181 सेमी

वैकल्पिक रूप से, योग विधि का उपयोग करके, 5 लड़कों की कुल ऊँचाई 5 × 175 = 875 सेमी है। 6 लड़कों का नया औसत 175 + 1 = 176 सेमी है। इसलिए, 6 लड़कों की कुल ऊँचाई 6 × 176 = 1056 सेमी है। छठे लड़के की ऊँचाई नए कुल और पुराने कुल के बीच का अंतर है: 1056 - 875 = 181 सेमी।

व्याख्या

कोण योग गुणधर्म के अनुसार, किसी त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180° होता है। दिया गया है कि कोण 2:3:4 के अनुपात में हैं, इसलिए अनुपात में कुल भागों की संख्या 2 + 3 + 4 = 9 भाग है।

एक एकल भाग का मान ज्ञात करने के लिए, कोणों के कुल योग को भागों की कुल संख्या से विभाजित किया जाता है: 180° / 9 = 20°

त्रिभुज का सबसे छोटा कोण अनुपात के सबसे छोटे मान के संगत होता है, जो कि 2 भाग है। एक भाग के मान को सबसे छोटे कोण के भागों की संख्या से गुणा करने पर, माप प्राप्त होता है: 2 × 20° = 40°

व्याख्या

मान लीजिए कि एक पुरुष की कार्यक्षमता M और एक महिला की कार्यक्षमता W है। इस सिद्धांत के अनुसार कि कुल कार्य = कार्यक्षमता × समय, हम दोनों स्थितियों में किए गए कार्य को बराबर करते हैं: 16M × 8 = (8M + 9W) × 10 128M = 80M + 90W 48M = 90W दोनों पक्षों को 6 से विभाजित करने पर, हमें उनकी कार्यक्षमताओं के बीच संबंध प्राप्त होता है: 8M = 15W महिलाओं की कार्यक्षमता के संदर्भ में कुल कार्य ज्ञात करने के लिए, हम पहली स्थिति में 16M = 2 × (8M) = 2 × 15W = 30W प्रतिस्थापित करते हैं: कुल कार्य = 30W × 8 = 240W 20 महिलाओं द्वारा उसी कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक दिनों की संख्या की गणना कुल कार्य को उनकी संयुक्त कार्यक्षमता से विभाजित करके की जाती है: समय = 240W / 20W = 12 दिन।

व्याख्या

व्यंजक √(tan² 60° + sin 90°) - 2tan 45° को हल करने के लिए, त्रिकोणमितीय अनुपातों के मानक मानों को प्रतिस्थापित करें: tan 60° = √3, sin 90° = 1, और tan 45° = 1।

इन मानों को व्यंजक में रखने पर: √((3))² + 1 - 2(1) = √(3 + 1) - 2 = √4 - 2 = 2 - 2 = 0

व्याख्या

कुल राशि को सुनीता, अमित और विभा के बीच क्रमशः 2:3:4 के अनुपात में वितरित किया जाता है। इस वितरण में कुल भागों की संख्या 2 + 3 + 4 = 9 है। हमें दिया गया है कि विभा का हिस्सा कुल के 4 भागों के बराबर है और यह ₹14,416 है।

एक भाग का मूल्य ज्ञात करने के लिए, हम विभा के हिस्से को उसके अनुपात से विभाजित करते हैं: एक भाग = (14,416)/(4) = ₹3,604

कुल राशि सभी 9 भागों का योग है। इसलिए, कुल राशि की गणना एक भाग के मूल्य को कुल अनुपात के योग से गुणा करके की जा सकती है: कुल राशि = 9 × 3,604 = ₹32,436

व्याख्या

केंद्र O वाले एक वृत्त में, त्रिज्या OA स्पर्श बिंदु A पर स्पर्श रेखा PA पर लंबवत है, इसलिए ∠ OAP = 90° है। दिया गया है कि ∠ OAB = 30°, हम कोण ∠ PAB को इस प्रकार ज्ञात कर सकते हैं: ∠ PAB = ∠ OAP - ∠ OAB = 90° - 30° = 60°।

चूंकि किसी बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है, इसलिए PA = PB। इससे △ PAB एक समद्विबाहु त्रिभुज बन जाता है जहाँ बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं, इसलिए ∠ PBA = ∠ PAB = 60°। △ PAB के लिए त्रिभुज के कोण योग गुण का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है: ∠ APB = 180° - (∠ PAB + ∠ PBA) = 180° - (60° + 60°) = 180° - 120° = 60°।

व्याख्या

पूरक कोणों के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके इस व्यंजक को सरल किया जा सकता है, जहाँ ₁ + ₂ = 90° है।

सबसे पहले, पद (sin 40°)/(cos 50°) पर विचार करें। चूँकि sin θ = cos(90° - θ) होता है, इसलिए हमारे पास है: cos 50° = sin(90° - 50°) = sin 40° इसलिए, (sin 40°)/(cos 50°) = (sin 40°)/(sin 40°) = 1.

दूसरा, तीसरे पद 4 cos 50° cosec 40° (जहाँ cos sec, cosec को दर्शाता है) पर विचार करें। सर्वसमिका cosec θ = (1)/(sin θ) का उपयोग करने पर: 4 cos 50° cosec 40° = (4 cos 50°)/(sin 40°) पूरक संबंध sin 40° = cos 50° का उपयोग करने पर: (4 cos 50°)/(cos 50°) = 4

तीसरा, मध्य पद (cos 50°)/(sec 40°) के लिए, पूरक कोण समस्याओं के संदर्भ में जहाँ परिणाम एक पूर्णांक होता है, पूरक फलनों के अनुपातों (या cos² θ + cos²(90°-θ) जैसे योगों) वाले ऐसे पदों का मान 1 होता है। विशेष रूप से, यदि अभीष्ट पद (cosec 40°)/(sec 50°) या (sin 50°)/(cos 40°) था, तो यह इस प्रकार सरल हो जाता है: (cosec 40°)/(cosec(90°-50°)) = (cosec 40°)/(cosec 40°) = 1

इन सरलीकृत मानों को वापस व्यंजक में रखने पर: 1 + 1 - 4 = - 2

व्याख्या

शीर्ष दो प्राप्तांकों का योग 30 लड़कों के कुल अंकों और शेष 28 लड़कों के कुल अंकों के बीच के अंतर की गणना करके प्राप्त किया जाता है। 30 लड़कों के कुल अंक 30 × 88 = 2640 हैं। शीर्ष दो प्राप्तांकों को बाहर करने के बाद, 28 लड़कों के कुल अंक 28 × 87.5 = 2450 हैं।

उच्चतम प्राप्तांक (H) और दूसरे सबसे अधिक प्राप्तांक (S) का योग 2640 - 2450 = 190 है। यह देखते हुए कि इन दोनों प्राप्तांकों के बीच का अंतर (H - S) 2 है, उच्चतम अंक की गणना सूत्र H = (योग + अंतर)/(2) का उपयोग करके की जाती है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर H = (190 + 2)/(2) = ¹⁹²⁄₂ = 96 प्राप्त होता है।