एसएससी सीजीएल टियर 1 2020 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

x cos A - y sin A = p और x sin A + y cos A = q के रूप के समीकरणों के लिए, संबंध x² + y² = p² + q² लागू होता है क्योंकि समीकरणों का वर्ग करने और उन्हें जोड़ने पर त्रिकोणमितीय पद समाप्त हो जाते हैं। सर्वसमिका (x cos A - y sin A)² + (x sin A + y cos A)² = x²(cos² A + sin² A) + y²(sin² A + cos² A) को लागू करने पर और मूलभूत सर्वसमिका sin² A + cos² A = 1 का उपयोग करने पर:

x² + y² = 1² + 4² x² + y² = 1 + 16 = 17

प्रश्न में 17x² + 17y² के मान की आवश्यकता है। परिकलित योग को 17 से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है:

17(x² + y²) = 17 × 17 = 289

व्याख्या

वृत्ताकार डिस्क का क्षेत्रफल सूत्र A = π r² द्वारा दिया जाता है। दिए गए मान 0.64π = π r² को प्रतिस्थापित करने पर, हमें त्रिज्या r² = 0.64 प्राप्त होती है, जिससे r = 0.8 मीटर मिलता है। डिस्क द्वारा एक चक्कर में तय की गई दूरी उसकी परिधि के बराबर होती है, C = 2π r। π = 22/7 का उपयोग करने पर, परिधि C = 2 × ²²⁄₇ × 0.8 = (35.2)/(7) मीटर है।

डिस्क द्वारा तय की गई कुल दूरी 1.408 किमी है, जो कि 1408 मीटर है। चक्करों की संख्या n, कुल दूरी को परिधि से विभाजित करने पर प्राप्त होती है:

n = (1408)/(35.2 / 7) = (1408 × 7)/(35.2)

n = (14080 × 7)/(352)

चूंकि 1408 को 352 से विभाजित करने पर ठीक 4 प्राप्त होता है, इसलिए गणना इस प्रकार होगी:

n = 40 × 7 = 280

व्याख्या

मान लीजिए कि वस्तु का क्रय मूल्य (CP) 100% है। दोनों लाभ प्रतिशतों के बीच का अंतर विक्रय मूल्य में परिवर्तन को दर्शाता है। प्रारंभ में, वस्तु को 18% के लाभ पर बेचा गया था, और दूसरी स्थिति में, इसे 25% के लाभ पर बेचा गया था।

लाभ प्रतिशतों में अंतर है: 25% - 18% = 7%

लाभ में यह 7% की वृद्धि विक्रय मूल्य में ₹ 49 की वृद्धि के कारण हुई है। इसलिए, हम प्रतिशत अंतर को मौद्रिक अंतर के बराबर रख सकते हैं: क्रय मूल्य (CP) का 7% = 49

क्रय मूल्य (100%) ज्ञात करने के लिए, हम गणना करते हैं: क्रय मूल्य (CP) का 1% = ⁴⁹⁄₇ = 7 क्रय मूल्य (CP) का 100% = 7 × 100 = 700

वस्तु का क्रय मूल्य ₹ 700 है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण 3ᵃ = 27ᵇ = 81ᶜ को हल करने के लिए, सबसे पहले हम सभी पदों को समान आधार में व्यक्त करते हैं: 3ᵃ = (3³)ᵇ = (3⁴)ᶜ 3ᵃ = 3³ᵇ = 3⁴ᶜ

घातों की तुलना करने पर, हमें यह संबंध प्राप्त होता है: a = 3b = 4c

हमें दिया गया है कि abc = 144 है। b और c को a के पदों में व्यक्त करने पर: b = ᵃ⁄₃ c = ᵃ⁄₄

इन्हें गुणनफल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: a · ᵃ⁄₃ · ᵃ⁄₄ = 144 a³{12} = 144 a³ = 144 × 12 = 1728 a = ³√(1728) = 12

अब, b और c के मान निर्धारित करते हैं: b = ¹²⁄₃ = 4 c = ¹²⁄₄ = 3

a, b, और c के मानों को व्यंजक 12(¹⁄ₐ + (1)/(2b) + (1)/(5c)) में प्रतिस्थापित करने पर: 12(¹⁄₁₂ + ¹⁄₂₍₄₎ + ¹⁄₅₍₃₎) = ¹²⁄₁₂ + ¹²⁄₈ + ¹²⁄₁₅ = 1 + 1.5 + 0.8 = 3.3 = ³³⁄₁₀

व्याख्या

दिए गए व्यंजक के लिए बीजीय सर्वसमिका (algebraic identity) a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)[(a + b + c)² - 3(ab + bc + ca)] है। इस सूत्र में दिए गए मानों a + b + c = 9 और ab + bc + ca = -22 को प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

a³ + b³ + c³ - 3abc = 9 × [9² - 3(-22)] a³ + b³ + c³ - 3abc = 9 × [81 + 66] a³ + b³ + c³ - 3abc = 9 × 147

गुणा करने पर: 9 × 147 = 1323

यह सूत्र व्यक्तिगत चरों a, b, या c के मान ज्ञात किए बिना सीधे गणना करने की अनुमति देता है।

व्याख्या

क्रय मूल्य (CP) और अंकित मूल्य (MP) के बीच का संबंध मानक अनुपात द्वारा स्थापित किया जाता है: (CP)/(MP) = (100 - छूट%)/(100 + लाभ%)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ MP = 888, छूट = 22%, और लाभ = 11%: CP = 888 × (100 - 22)/(100 + 11) CP = 888 × ⁷⁸⁄₁₁₁

चूंकि 888 को 111 से विभाजित करने पर 8 प्राप्त होता है, इसलिए गणना सरल होकर निम्न प्रकार हो जाती है: CP = 8 × 78 CP = 624

व्याख्या

वर्ष 2015 की तुलना में वर्ष 2019 में मक्का की प्रतिशत वृद्धि की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: प्रतिशत वृद्धि = (2019 में उत्पादन - 2015 में उत्पादन)/(2015 में उत्पादन) × 100

तालिका में दिए गए आंकड़ों से, 2015 में मक्का का उत्पादन 490 टन था, और 2019 में यह 840 टन था। इन मानों को सूत्र में रखने पर: प्रतिशत वृद्धि = (840 - 490)/(490) × 100 प्रतिशत वृद्धि = ³⁵⁰⁄₄₉₀ × 100

अंश और हर दोनों को 70 से विभाजित करके भिन्न ³⁵⁰⁄₄₉₀ को सरल करने पर ⁵⁄₇ प्राप्त होता है। प्रतिशत वृद्धि = ⁵⁄₇ × 100 ≈ 71.4285%

इस मान को दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर 71.43% प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र क्षेत्रफल = √3/4 a² द्वारा निर्धारित किया जाता है, जहाँ a एक भुजा की लंबाई को दर्शाता है। इस सूत्र में दिए गए क्षेत्रफल को प्रतिस्थापित करने पर, हमें समीकरण 36√3 = √3/4 a² प्राप्त होता है। हम समीकरण के दोनों पक्षों से √3 को हटा सकते हैं, जिससे हमें 36 = a²/4 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को 4 से गुणा करने पर a² = 144 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का धनात्मक वर्गमूल लेने पर, हमें प्राप्त होता है कि भुजा की लंबाई a = 12 सेमी है। चूंकि एक समबाहु त्रिभुज की तीन समान भुजाएं होती हैं, इसलिए इसके परिमाप की गणना सूत्र परिमाप = 3a का उपयोग करके की जाती है। इस सूत्र में भुजा की लंबाई को प्रतिस्थापित करने पर, परिमाप 3 × 12 = 36 सेमी प्राप्त होता है।

व्याख्या

चूंकि वास्तविक संख्याओं के वर्गों का योग केवल तभी शून्य होता है जब प्रत्येक वर्ग पद व्यक्तिगत रूप से शून्य के बराबर हो, इसलिए हम निम्नलिखित समीकरण बना सकते हैं: a + b - 2 = 0 ⟹ a + b = 2 b + c - 5 = 0 ⟹ b + c = 5 c + a - 5 = 0 ⟹ c + a = 5

इन तीनों समीकरणों को आपस में जोड़ने पर 2(a + b + c) = 2 + 5 + 5 = 12 प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर a + b + c = 6 प्राप्त होता है। इस योग में से व्यक्तिगत समीकरणों को घटाने पर, हमें चरों के मान प्राप्त होते हैं: a = (a + b + c) - (b + c) = 6 - 5 = 1 b = (a + b + c) - (c + a) = 6 - 5 = 1 c = (a + b + c) - (a + b) = 6 - 2 = 4

मूल्यांकन किया जाने वाला व्यंजक √((b + c)ᵃ + (c + a)ᵇ - 1) है। व्यंजक में प्राप्त मानों a = 1, b = 1, b + c = 5, और c + a = 5 को प्रतिस्थापित करने पर: √(5¹ + 5¹ - 1) = √(5 + 5 - 1) = √9 = 3

व्याख्या

दिया गया समीकरण 2 sin A + csc A = 2 √2 है। चूंकि csc A = (1)/(sin A) है, हम समीकरण को 2 sin A + (1)/(sin A) = 2 √2 के रूप में फिर से लिख सकते हैं। पूरे समीकरण को sin A से गुणा करने पर द्विघात समीकरण 2 sin² A - 2 √2 sin A + 1 = 0 प्राप्त होता है।

यह द्विघात व्यंजक (√2 sin A - 1)² = 0 के रूप में एक पूर्ण वर्ग है। sin A के लिए हल करने पर, हमें sin A = (1)/(√(2)) प्राप्त होता है। दिए गए अंतराल 0° < A < 90° के लिए, यह A = 45° के संगत है। इस कोण पर, cos A का मान भी (1)/(√(2)) है।

2(sin⁴ A + cos⁴ A) का मान ज्ञात करने के लिए, हम sin A और cos A के मान प्रतिस्थापित करते हैं: 2(((1)/(√(2)))⁴ + ((1)/(√(2)))⁴) = 2(¼ + ¼) = 2(½) = 1

व्याख्या

2015 से 2019 तक की निर्दिष्ट पांच वर्ष की अवधि में गेहूं के औसत उत्पादन को निर्धारित करने के लिए, गेहूं के कॉलम में दिए गए मूल्यों को जोड़ा जाता है और फिर कुल वर्षों की संख्या से विभाजित किया जाता है।

औसत का सूत्र है: औसत = (कुल उत्पादन)/(वर्षों की संख्या)

2015 से 2019 तक गेहूं के उत्पादन मूल्यों को जोड़ने पर: कुल = 2500 + 4218 + 3482 + 4500 + 3300 = 18000 टन

डेटा सेट में वर्षों की संख्या 5 है। सूत्र लागू करने पर: औसत = ¹⁸⁰⁰⁰⁄₅ = 3600 टन

व्याख्या

शेष कार्य को निर्धारित करने के लिए, सबसे पहले A, B और C द्वारा लिए गए व्यक्तिगत समय का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करके कुल कार्य ज्ञात करें। LCM(24, 20, 18) = 360 इकाई।

इसके बाद, प्रत्येक व्यक्ति की दैनिक कार्यक्षमता की गणना करें: A की कार्यक्षमता = 360 / 24 = 15 इकाई/दिन। B की कार्यक्षमता = 360 / 20 = 18 इकाई/दिन। C की कार्यक्षमता = 360 / 18 = 20 इकाई/दिन।

B और C मिलकर 6 दिनों तक कार्य करते हैं। उनकी संयुक्त कार्यक्षमता 18 + 20 = 38 इकाई/दिन है। 6 दिनों में B और C द्वारा पूरा किया गया कार्य = 38 × 6 = 228 इकाई।

A द्वारा पूरा किया जाने वाला शेष कार्य है: शेष कार्य = 360 - 228 = 132 इकाई।

इस शेष कार्य को अकेले पूरा करने के लिए A को आवश्यक दिनों की संख्या की गणना शेष कार्य को A की कार्यक्षमता से विभाजित करके की जाती है: समय = 132 / 15 = 44 / 5 = 8 ⅘ दिन।

व्याख्या

एक वर्ष की अवधि के लिए वार्षिक और अर्धवार्षिक रूप से भुगतान किए जाने वाले चक्रवृद्धि ब्याज के बीच का अंतर, पहली छमाही के ब्याज पर अर्जित ब्याज के बराबर होता है। जब एक वर्ष के लिए ब्याज वार्षिक रूप से संयोजित किया जाता है, तो ब्याज उस वर्ष के साधारण ब्याज के समान होता है। जब अर्धवार्षिक रूप से संयोजित किया जाता है, तो वर्ष को छह-छह महीने की दो संयोजन अवधियों के रूप में माना जाता है।

वार्षिक दर R = 8%, इसलिए अर्धवार्षिक दर r = (8%)/(2) = 4%। एक वर्ष में दो संयोजन अवधियों के लिए अंतर D की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: D = P × (ʳ⁄₁₀₀)²

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: P = 7800 r = 4 D = 7800 × (⁴⁄₁₀₀)² D = 7800 × ¹⁶⁄₁₀₀₀₀ D = 78 × 0.16 D = 12.48

यह गणना उत्पन्न अतिरिक्त ब्याज को अलग करती है क्योंकि दूसरी छमाही के ब्याज की गणना के लिए पहली छमाही के ब्याज को मूलधन में जोड़ा जाता है।

व्याख्या

जौ के औसत उत्पादन और चावल के औसत उत्पादन के बीच का अंतर ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले 2015 से 2019 तक की पांच वर्षों की अवधि में प्रत्येक फसल के कुल उत्पादन की गणना करें।

चावल का कुल उत्पादन = 415 + 520 + 585 + 625 + 600 = 2745 टन। चावल का औसत उत्पादन = ²⁷⁴⁵⁄₅ = 549 टन।

जौ का कुल उत्पादन = 975 + 825 + 700 + 625 + 775 = 3900 टन। जौ का औसत उत्पादन = ³⁹⁰⁰⁄₅ = 780 टन।

दोनों औसतों के बीच का अंतर है: अंतर = जौ का औसत - चावल का औसत = 780 - 549 = 231 टन।

वैकल्पिक रूप से, जौ और चावल के बीच वार्षिक अंतरों को जोड़कर और 5 से विभाजित करके अंतरों के औसत की गणना की जा सकती है: ((975-415) + (825-520) + (700-585) + (625-625) + (775-600))/(5) = (560 + 305 + 115 + 0 + 175)/(5) = ¹¹⁵⁵⁄₅ = 231 टन।

व्याख्या

तय की गई दूरी स्थिर है, जिसका अर्थ है कि गति और समय एक-दूसरे के व्युत्क्रमानुपाती (S ∝ 1/T) हैं। जब दो राशियाँ व्युत्क्रमानुपाती होती हैं, तो उनके प्रारंभिक मानों का गुणनफल उनके अंतिम मानों के गुणनफल के बराबर होता है (s₁t₁ = s₂t₂)।

छात्र समय को 25% कम करना चाहता है। यदि प्रारंभिक समय t₁ है, तो नया समय t₂ है: t₂ = t₁ × (1 - 0.25) = 0.75t₁ = ¾t₁

नई गति s₂ ज्ञात करने के लिए, हम आनुपातिकता समीकरण में t₂ का मान प्रतिस्थापित करते हैं: s₁ × t₁ = s₂ × ¾t₁ s₂ = ⁴⁄₃s₁

गति में वृद्धि s₂ - s₁ = ⁴⁄₃s₁ - s₁ = ⅓s₁ है। इसे प्रतिशत वृद्धि के रूप में व्यक्त करने के लिए, हम गणना करते हैं: प्रतिशत वृद्धि = (s₂ - s₁{s₁}) × 100 = ⅓ × 100 = 33.33%

विकल्पों में दिए गए निकटतम पूर्णांक तक पूर्णांकित करने पर, छात्र को अपनी गति में 33% की वृद्धि करनी होगी।

व्याख्या

दिए गए संबंध 2A = 5B = 7C के अनुसार, हम हिस्सों को उनके अनुपात के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। 2A = 5B = 7C = k मानकर, हमें A = k/2, B = k/5, और C = k/7 प्राप्त होता है। अनुपात A:B:C को सरल बनाने के लिए, हम प्रत्येक पद को 2, 5 और 7 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से गुणा करते हैं, जो कि 70 है। इससे अनुपात A:B:C = 35:14:10 प्राप्त होता है। अनुपात में कुल इकाइयों की संख्या 35 + 14 + 10 = 59 है। विभाजित की जाने वाली कुल राशि 1,180 है, इसलिए एक इकाई का मान 1180 / 59 = 20 है। चूंकि A के हिस्से को 35 इकाइयों द्वारा दर्शाया गया है, इसलिए गणना 35 × 20 = 700 है।

व्याख्या

9 के विभाज्यता नियम के अनुसार, कोई संख्या 9 से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग भी 9 से विभाज्य हो। संख्या 687x29 के लिए, अंकों का योग 6 + 8 + 7 + x + 2 + 9 = 32 + x है।

संख्या को 9 से विभाज्य होने के लिए, व्यंजक 32 + x को 9 का गुणज होना चाहिए। चूंकि x एक एकल-अंकीय पूर्णांक है, इसलिए 32 से बड़ा या उसके बराबर 9 का एकमात्र गुणज जो इसे संतुष्ट करता है, वह 36 है। 32 + x = 36 रखने पर x = 4 प्राप्त होता है। प्रश्न में 2x का मान पूछा गया है, जो कि 2 × 4 = 8 है।

व्याख्या

मान लीजिए दो वर्ष पहले की जनसंख्या P थी। जनसंख्या में क्रमशः +30% और -15% का क्रमिक परिवर्तन होता है। कुल प्रतिशत परिवर्तन को सूत्र x + y + ˣʸ⁄₁₀₀ का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है। सूत्र में x = 30 और y = -15 रखने पर, कुल परिवर्तन 30 - 15 + (30 × (-15))/(100) = 15 - 4.5 = 10.5% है। यह दर्शाता है कि वर्तमान जनसंख्या दो वर्ष पहले की मूल जनसंख्या का 110.5% है। गणितीय रूप से, इसे 1.105 × P = 11,050 के रूप में व्यक्त किया जाता है। 11,050 को 1.105 से विभाजित करने पर P = 10,000 प्राप्त होता है।

व्याख्या

उत्पादन में वृद्धि का निर्धारण किसी दिए गए वर्ष में उत्पादन और उससे पिछले वर्ष में उत्पादन के बीच के अंतर की गणना करके किया जाता है। गन्ने के लिए, वार्षिक वास्तविक वृद्धि मूल्यों की गणना इस प्रकार की गई है:

2016 में, वृद्धि = 1120 - 1000 = 120 टन। 2017 में, वृद्धि = 1250 - 1120 = 130 टन। 2018 में, वृद्धि = 1325 - 1250 = 75 टन। 2019 में, वृद्धि = 1450 - 1325 = 125 टन।

इन मूल्यों की तुलना करने पर, सर्वाधिक 130 टन की वृद्धि वर्ष 2017 में हुई थी।

व्याख्या

एक गोले के आयतन की गणना सूत्र V = ⁴⁄₃π r³ का उपयोग करके की जाती है। जब एक बड़े धातु के गोले को पिघलाकर छोटे गोलों में ढाला जाता है, तो कुल आयतन अपरिवर्तित (स्थिर) रहता है। इस प्रकार, छोटे गोलों की संख्या n, बड़े गोले के आयतन को एक छोटे गोले के आयतन से विभाजित करके ज्ञात की जाती है।

बड़े गोले का व्यास 40 सेमी है, इसलिए इसकी त्रिज्या R = 20 सेमी है। छोटे गोलों की त्रिज्या r = 0.5 सेमी है। इस संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

n = ((4)/(3)π R³) / ((4)/(3)π r³) = ((R)/(r))³

समीकरण में दिए गए मानों को रखने पर:

n = ((20)/(0.5))³

n = (40)³

n = 40 × 40 × 40 = 64,000