एसएससी सीजीएल टियर 1 2020 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

8 की विभाज्यता का नियम कहता है कि कोई संख्या 8 से विभाज्य होती है यदि उसके अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या भी 8 से विभाज्य हो। दी गई संख्या 1005x4 में, अंतिम तीन अंक 5x4 हैं। हमें सबसे छोटा पूर्णांक x ज्ञात करना है जिससे कि तीन अंकों की संख्या 5x4, 8 से विभाज्य हो। सबसे छोटे संभावित पूर्णांक मान x = 0 का परीक्षण करने पर, हमें संख्या 504 प्राप्त होती है। भाग देने पर, 504 ÷ 8 = 63 प्राप्त होता है और कोई शेषफल नहीं बचता है। चूंकि 504, 8 से पूर्णतः विभाज्य है, इसलिए इस शर्त को पूरा करने वाला x का सबसे छोटा पूर्णांक मान 0 है।

व्याख्या

x² + y² का मान ज्ञात करने के लिए, दिए गए दोनों समीकरणों का वर्ग करें और उन्हें आपस में जोड़ें।

x² का विस्तार करने पर: x² = (4cos A + 5sin A)² = 16cos² A + 25sin² A + 2(4cos A)(5sin A) x² = 16cos² A + 25sin² A + 40cos A sin A

y² का विस्तार करने पर: y² = (4sin A - 5cos A)² = 16sin² A + 25cos² A - 2(4sin A)(5cos A) y² = 16sin² A + 25cos² A - 40sin A cos A

दोनों समीकरणों को जोड़ने पर, गुणनफल वाले पद 40cos A sin A और -40sin A cos A एक-दूसरे को निरस्त (cancel) कर देते हैं: x² + y² = (16cos² A + 16sin² A) + (25sin² A + 25cos² A) x² + y² = 16(cos² A + sin² A) + 25(sin² A + cos² A)

मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² A + cos² A = 1 का उपयोग करने पर: x² + y² = 16(1) + 25(1) x² + y² = 16 + 25 = 41

व्याख्या

एक वृत्ताकार पथ के एक पूरे चक्कर में तय की गई दूरी उसकी परिधि के बराबर होती है, जिसकी गणना सूत्र C = 2π r का उपयोग करके की जाती है। दी गई त्रिज्या r = 42 मीटर और π = ²²⁄₇ है, बगीचे की परिधि 2 × ²²⁄₇ × 42 = 2 × 22 × 6 = 264 मीटर है। चूंकि धावक 8 चक्कर पूरे करता है, इसलिए तय की गई कुल दूरी परिधि को चक्करों की संख्या से गुणा करके प्राप्त की जाती है। इसलिए, कुल दूरी 8 × 264 = 2112 मीटर है।

व्याख्या

कुल कार्य ज्ञात करने के लिए, हम A, B और C के व्यक्तिगत रूप से कार्य पूरा करने के समय का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेते हैं, जो क्रमशः 24, 15 और 12 दिन हैं। LCM(24, 15, 12) = 120 इकाई है।

प्रत्येक व्यक्ति की कार्यक्षमता की गणना कुल कार्य को समय से विभाजित करके की जाती है: A की कार्यक्षमता = 120 / 24 = 5 इकाई/दिन B की कार्यक्षमता = 120 / 15 = 8 इकाई/दिन C की कार्यक्षमता = 120 / 12 = 10 इकाई/दिन

B और C ने मिलकर कार्य शुरू किया और 3 दिनों तक कार्य किया। उनकी संयुक्त कार्यक्षमता 8 + 10 = 18 इकाई/दिन है। 3 दिनों में B और C द्वारा पूरा किया गया कार्य = 18 × 3 = 54 इकाई है।

A द्वारा पूरा किए जाने वाले शेष कार्य = 120 - 54 = 66 इकाई है। इस शेष कार्य को पूरा करने के लिए A द्वारा आवश्यक दिनों की संख्या है: समय = शेष कार्य / A की कार्यक्षमता समय = 66 / 5 = 13 1/5 दिन

व्याख्या

व्यंजक x³ - y³ के मान की गणना सीधे बीजगणितीय सर्वसमिका x³ - y³ = (x - y)³ + 3xy(x - y) का उपयोग करके की जा सकती है। इस सूत्र में दिए गए मानों x - y = 4 और xy = 45 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

x³ - y³ = (4)³ + 3(45)(4) x³ - y³ = 64 + 12(45) x³ - y³ = 64 + 540 x³ - y³ = 604

वैकल्पिक रूप से, xy = 45 के गुणनखंडों के निरीक्षण द्वारा, हम पाते हैं कि 9 × 5 = 45 और 9 - 5 = 4 है। इस प्रकार, x = 9 और y = 5 रखने पर, हम मान की गणना इस प्रकार कर सकते हैं: 9³ - 5³ = 729 - 125 = 604।

व्याख्या

मान लीजिए कि वस्तु का क्रय मूल्य (CP) 100% है। प्रारंभ में, वस्तु को 10% की हानि पर बेचा जाता है, इसलिए वास्तविक विक्रय मूल्य क्रय मूल्य का 100% - 10% = 90% है। यदि वस्तु को ₹332 अधिक में बेचा जाता, तो लाभ 20% होता, जिससे नया विक्रय मूल्य क्रय मूल्य का 100% + 20% = 120% हो जाता।

प्रतिशत के संदर्भ में दोनों विक्रय मूल्यों के बीच का अंतर क्रय मूल्य का 120% - 90% = 30% है। प्रश्न के अनुसार, यह 30% का अंतर ₹332 के वास्तविक मूल्य के बराबर है।

वास्तविक विक्रय मूल्य ज्ञात करने के लिए, जो कि क्रय मूल्य का 90% है, हम इस संबंध का उपयोग कर सकते हैं: क्रय मूल्य का 30% = 332 90% तक पहुँचने के लिए दोनों पक्षों को 3 से गुणा करने पर: क्रय मूल्य का 90% = 332 × 3 = 996

व्याख्या

एक बेलन के आयतन की गणना सूत्र V = π r² h का उपयोग करके की जाती है, जहाँ r आधार त्रिज्या है और h ऊँचाई है। दो बेलनों के आयतनों का अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम उनके संबंधित आयतन सूत्रों का अनुपात इस प्रकार लिख सकते हैं:

(V₁)/(V₂) = (π r₁² h₁)/(π r₂² h₂) = ((r₁)/(r₂))² × ((h₁)/(h₂))

दिया गया है कि त्रिज्याओं का अनुपात r₁ : r₂ = 3 : 4 है और ऊँचाइयों का अनुपात h₁ : h₂ = 4 : 9 है, इन मानों को समीकरण में रखने पर:

(V₁)/(V₂) = (¾)² × ⁴⁄₉

(V₁)/(V₂) = ⁹⁄₁₆ × ⁴⁄₉

अंश और हर में से 9 को काटने पर और ⁴⁄₁₆ को सरल करने पर प्राप्त होता है:

(V₁)/(V₂) = ⁴⁄₁₆ = ¼

इसलिए, आयतनों का अनुपात 1:4 है।

व्याख्या

एक ट्रेन द्वारा एक खंभे को पार करने में लिया गया समय उसकी अपनी लंबाई को तय करने में लिया गया समय होता है, जबकि एक पुल को पार करने में लिया गया समय उसकी अपनी लंबाई और पुल की लंबाई के योग को तय करने में लिया गया समय होता है। इसलिए, समय में अंतर केवल पुल की लंबाई (दूरी) के कारण होता है।

ट्रेन की चाल v = (पुल की लंबाई) / (पुल को पार करने का समय - खंभे को पार करने का समय)

दिए गए मानों को रखने पर: v = (170) / (36 - 12) = ¹⁷⁰⁄₂₄ मीटर/सेकंड

चाल को मीटर/सेकंड (m/s) से किमी/घंटा (km/h) में बदलने के लिए, हम ¹⁸⁄₅ से गुणा करते हैं: v = ¹⁷⁰⁄₂₄ × ¹⁸⁄₅ v = ¹⁷⁰⁄₅ × ¹⁸⁄₂₄ v = 34 × ¾ v = 34 × 0.75 = 25.5 किमी/घंटा

व्याख्या

व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, हम इस बदलाव के लिए मानक रूपांतरण नियमों के अनुसार संकारकों (चिह्नों) को प्रतिस्थापित करते हैं: + बन जाता है -, - बन जाता है +, × बन जाता है ÷, और ÷ बन जाता है ×।

सबसे पहले, हम अंश में चिह्नों को प्रतिस्थापित करते हैं और BODMAS नियम का उपयोग करके हल करते हैं: 42 + 12 ÷ 3 - 8 × 2 - 15 42 + 4 - 16 - 15 46 - 31 = 15

इसके बाद, हम हर में चिह्नों को प्रतिस्थापित करते हैं और हल करते हैं: 8 ÷ 2 + 4 - 9 × 3 4 + 4 - 27 8 - 27 = -19

प्राप्त अंश को हर से विभाजित करने पर, हमें अंतिम मान प्राप्त होता है: ¹⁵⁄₋₁₉ = -¹⁵⁄₁₉

व्याख्या

क्रय मूल्य (CP) और अंकित मूल्य (MP) के बीच का संबंध सूत्र (CP)/(MP) = (100 - d%)/(100 + g%) द्वारा निर्धारित किया जाता है, जहाँ d छूट प्रतिशत है और g लाभ प्रतिशत है।

दिया गया है कि छूट 28% है, लाभ 12% है, और अंकित मूल्य ₹224 है, हम इन मानों को सूत्र में रखते हैं:

(CP)/(224) = (100 - 28)/(100 + 12)

(CP)/(224) = ⁷²⁄₁₁₂

क्रय मूल्य ज्ञात करने के लिए, समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

CP = ⁷²⁄₁₁₂ × 224

चूंकि 224 ठीक 112 का 2 गुना है, इसलिए गणना सरल होकर निम्न प्रकार हो जाती है:

CP = 72 × 2 = 144

व्याख्या

पहली स्थिति में अर्जित साधारण ब्याज I, मिश्रधन और मूलधन के बीच का अंतर है: I = 4644 - 4300 = 344। साधारण ब्याज के सूत्र I = (P × R × T)/(100) का उपयोग करके, हम वार्षिक ब्याज दर R निर्धारित कर सकते हैं: 344 = (4300 × R × 2)/(100)। इसे सरल करने पर 344 = 86R प्राप्त होता है, जिससे R = 4% वार्षिक मिलता है।

दूसरी स्थिति के लिए, मूलधन P और अंतिम मिश्रधन A के बीच का संबंध A = P(1 + (RT)/(100)) द्वारा दिया गया है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ A = 10104, R = 4, और T = 5 है, हमें प्राप्त होता है: 10104 = P(1 + (4 × 5)/(100))। इसे और सरल करने पर 10104 = P(1 + 0.2), या 10104 = 1.2P प्राप्त होता है। मूलधन के लिए हल करने पर, P = (10104)/(1.2) = 8420।

व्याख्या

मान लीजिए कि छठी संख्या को x द्वारा दर्शाया गया है। दी गई शर्त के अनुसार, पहली पांच संख्याओं का योग 7x है। सभी छह संख्याओं का कुल योग पहली पांच संख्याओं के योग और छठी संख्या का योग है, जिसे 7x + x = 8x के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

छह संख्याओं का औसत 136 है, इसलिए कुल योग 136 × 6 के बराबर भी है। कुल योग के दोनों समीकरणों की तुलना करने पर, हमें समीकरण 8x = 136 × 6 प्राप्त होता है। x के लिए हल करने पर x = (136 × 6)/(8) प्राप्त होता है। 136 को 8 से विभाजित करने पर 17 प्राप्त होता है, और 17 को 6 से गुणा करने पर 102 प्राप्त होता है। अतः, छठी संख्या 102 है।

व्याख्या

जब A + B = 45° होता है, तो एक मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका के अनुसार (1 + tan A)(1 + tan B) = 2 होता है। यह योग के टैन (tangent) के सूत्र से प्राप्त होता है:

tan(A + B) = (tan A + tan B)/(1 - tan A tan B)

चूंकि A + B = 45° और tan 45° = 1 है, इसलिए:

(tan A + tan B)/(1 - tan A tan B) = 1 tan A + tan B = 1 - tan A tan B tan A + tan B + tan A tan B = 1

समीकरण के दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर:

1 + tan A + tan B + tan A tan B = 1 + 1 (1 + tan A)(1 + tan B) = 2

इस मान को व्यंजक 2(1 + tan A)(1 + tan B) में प्रतिस्थापित करने पर:

2 × 2 = 4

वैकल्पिक रूप से, त्वरित समाधान के लिए प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते हुए, माना A = 45° और B = 0° है। यह स्थिति A + B = 45° को संतुष्ट करता है। दिए गए व्यंजक में tan 45° = 1 और tan 0° = 0 प्रतिस्थापित करने पर 2(1 + 1)(1 + 0) = 2 × 2 × 1 = 4 प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक आयत का क्षेत्रफल उसकी लंबाई और चौड़ाई का गुणनफल होता है। जब किसी आकृति की विमाओं में क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन होते हैं, तो परिणाम में शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन की गणना क्रमिक प्रतिशत सूत्र: a + b + ᵃᵇ⁄₁₀₀ का उपयोग करके की जा सकती है।

इस स्थिति में, लंबाई में 40% की वृद्धि होती है, इसलिए a = +40। चौड़ाई में 20% की कमी होती है, इसलिए b = -20।

इन मानों को सूत्र में रखने पर क्षेत्रफल में शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन 40 - 20 + (40 × (-20))/(100) प्राप्त होता है। यह सरल होकर 20 - ⁸⁰⁰⁄₁₀₀ हो जाता है, जो 20 - 8 = 12% के बराबर है। चूंकि परिणाम धनात्मक है, इसलिए क्षेत्रफल 12% बढ़ जाता है, जिससे x का मान 12 हो जाता है।

व्याख्या

△ ABC में, E और D क्रमशः भुजाओं AB और BC के मध्य बिंदु हैं। मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार, रेखाखंड ED, AC के समानांतर है और ED = ½AC है। यह ज्यामितीय संबंध यह सुनिश्चित करता है कि △ BDE, 1:2 के स्केल फैक्टर के साथ △ BAC के समरूप है। समरूप त्रिभुजों का गुण यह बताता है कि उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। इसलिए, क्षेत्रफल(△ BDE) = क्षेत्रफल(△ ABC) × ((BE)/(BA))²। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 44 × (½)² = 44 × ¼ = 11 सेमी² प्राप्त होता है। ज्यामितीय रूप से, किसी त्रिभुज की तीनों भुजाओं के मध्य बिंदुओं को मिलाने से बनने वाले चारों त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं और प्रत्येक त्रिभुज मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल का ठीक एक-चौथाई भाग घेरता है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण 6 tan A = 5 से, हमें tan A = 5/6 प्राप्त होता है। व्यंजक (8 sin A - 4 cos A)/(cos A + 2 sin A) का मान ज्ञात करने के लिए, हम अंश और हर दोनों को cos A से विभाजित करते हैं ताकि पदों को tan A के रूप में व्यक्त किया जा सके:

(8 sin A)/(cos A) - (4 cos A)/(cos A){(cos A)/(cos A) + (2 sin A)/(cos A)} = (8 tan A - 4)/(1 + 2 tan A)

अब, सरलीकृत व्यंजक में tan A = 5/6 का मान रखने पर:

(8(5)/(6)) - 4{1 + 2(5/6)} = (40)/(6) - 4{1 + 10/6}

अंश और हर की अलग-अलग गणना करने पर:

अंश: (40 - 24)/(6) = 16/6

हर: (6 + 10)/(6) = 16/6

परिणामों को विभाजित करने पर: (16/6)/(16/6) = 1

व्याख्या

लड़कों और लड़कियों की प्रारंभिक संख्या कुल 640 छात्रों और 5:3 के अनुपात से निर्धारित की जा सकती है। अनुपात के भागों का योग 5 + 3 = 8 है। लड़कों की संख्या ⅝ × 640 = 400 है और लड़कियों की संख्या ⅜ × 640 = 240 है।

जब 30 और लड़कियों को प्रवेश दिया जाता है, तो लड़कियों की नई संख्या 240 + 30 = 270 हो जाती है। मान लीजिए कि लड़कों और लड़कियों का अनुपात 14:9 करने के लिए आवश्यक अतिरिक्त लड़कों की संख्या x है। इस संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

(400 + x)/(270) = ¹⁴⁄₉

x का मान ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों को 270 से गुणा करने पर:

400 + x = ¹⁴⁄₉ × 270

400 + x = 14 × 30

400 + x = 420

x = 420 - 400 = 20

व्याख्या

केंद्र O वाले एक वृत्त में, केंद्र बिंदु के चारों ओर के कोणों का योग 360° होता है। दिया गया है कि जीवाओं AB और AC द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण क्रमशः ∠ AOB = 110° और ∠ AOC = 130° हैं, तो केंद्र पर जीवा BC द्वारा अंतरित कोण की गणना इस प्रकार की जाती है: ∠ BOC = 360° - (110° + 130°) = 120°।

वृत्त के प्रमेय के अनुसार, किसी चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण, वृत्त के शेष भाग के किसी भी बिंदु पर इसके द्वारा अंतरित कोण का दोगुना होता है। चूंकि बिंदु A परिधि पर स्थित है, इसलिए चाप BC द्वारा अंतरित कोण ∠ BAC, केंद्र पर अंतरित कोण का आधा होगा। इसलिए, ∠ BAC = ½ ∠ BOC = (120°)/(2) = 60°।

वैकल्पिक रूप से, त्रिज्याओं द्वारा बनने वाले समद्विबाहु त्रिभुजों पर विचार करने पर, △ OAB में, OA = OB, इसलिए ∠ OAB = (180° - 110°)/(2) = 35°। △ OAC में, OA = OC, इसलिए ∠ OAC = (180° - 130°)/(2) = 25°। इस प्रकार, ∠ BAC = ∠ OAB + ∠ OAC = 35° + 25° = 60°।

व्याख्या

माना x²ᵃ = y²ᵇ = z²ᶜ = k। x, y, और z को k के पदों में व्यक्त करने पर: x = k^¹^⁄^₂^ₐ y = k⁽¹⁾^/⁽²ᵇ⁾ z = k⁽¹⁾^/⁽²ᶜ⁾

दिए गए परीक्षा प्रश्न के लिए, चरों के बीच का संबंध x² = yz है। इस समीकरण में x, y, और z के मान रखने पर: (k^¹^⁄^₂^ₐ)² = k⁽¹⁾^/⁽²ᵇ⁾ · k⁽¹⁾^/⁽²ᶜ⁾ k^²^⁄^₂^ₐ = k⁽¹⁾^/⁽²ᵇ⁾⁺⁽¹⁾^/⁽²ᶜ⁾ k^¹^⁄^ₐ = k⁽ᶜ⁺ᵇ⁾^/⁽²ᵇᶜ⁾

घातांकों की तुलना करने पर: ¹⁄ₐ = (b + c)/(2bc) 2bc = a(b + c) 2bc = ab + ac

वह व्यंजक जिसका मान ज्ञात करना है, (ab + bc + ca)/(bc) है। अंश में ab + ac = 2bc रखने पर: ((ab + ac) + bc)/(bc) = (2bc + bc)/(bc) (3bc)/(bc) = 3

व्याख्या

दिए गए आंकड़े 40 छात्रों की ऊंचाई के संचयी बारंबारता वितरण (cumulative frequency distribution) को दर्शाते हैं। 165 सेमी या उससे अधिक ऊंचाई वाले छात्रों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम कुल छात्रों की संख्या में से उन छात्रों की संख्या को घटाते हैं जिनकी ऊंचाई 165 सेमी से कम है। तालिका के अनुसार, छात्रों की कुल संख्या (जिनकी ऊंचाई 175 सेमी से कम है) 40 है। 165 सेमी से कम ऊंचाई वाले छात्रों की संख्या 25 है।

ऊंचाई ≥ 165 सेमी वाले छात्रों की संख्या = कुल छात्र - ऊंचाई < 165 सेमी वाले छात्रों की संख्या ऊंचाई ≥ 165 सेमी वाले छात्रों की संख्या = 40 - 25 = 15

व्याख्या

जब a + ¹⁄ₐ = k दिया गया हो, तो a³ + (1)/(a³) का मान ज्ञात करने के लिए, हम बीजगणितीय शॉर्टकट सूत्र a³ + (1)/(a³) = k³ - 3k का उपयोग करते हैं। यह सूत्र सर्वसमिका (a + ¹⁄ₐ)³ = a³ + (1)/(a³) + 3(a)(¹⁄ₐ)(a + ¹⁄ₐ) के विस्तार से प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर a³ + (1)/(a³) = (a + ¹⁄ₐ)³ - 3(a + ¹⁄ₐ) प्राप्त होता है।

दिया गया है कि a + ¹⁄ₐ = 5, हम शॉर्टकट सूत्र में k = 5 प्रतिस्थापित करते हैं:

a³ + (1)/(a³) = 5³ - 3(5)

पदों की गणना करने पर: 5³ = 125 3 × 5 = 15

मानों को घटाने पर: 125 - 15 = 110

व्याख्या

¥1,100 से कम कमाने वाले श्रमिकों की संख्या निर्धारित करने के लिए, हमें 1,100 की ऊपरी सीमा तक के सभी वर्ग अंतरालों के लिए संचयी बारंबारता की गणना करनी होगी। एक सतत बारंबारता वितरण में, वर्ग अंतराल 1,000 से 1,100 में 1,000 से शुरू होकर 1,100 तक (लेकिन 1,100 को छोड़कर) के सभी मान शामिल होते हैं। इसलिए, 1,100 से पहले के अंतरालों में गिने जाने वाले प्रत्येक श्रमिक आवश्यक श्रेणी में आते हैं।

इन अंतरालों में श्रमिकों के योग की गणना इस प्रकार की जाती है: 1,100 से कम कमाने वाले श्रमिकों की संख्या = (700-800 में श्रमिक) + (800-900 में श्रमिक) + (900-1,000 में श्रमिक) + (1,000-1,100 में श्रमिक) दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 4 + 15 + 10 + 10 = 39

व्याख्या

अमित, सुनील और दिनेश द्वारा मिलकर काम करने में लगने वाले समय को ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले दी गई समयावधियों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेकर कुल कार्य निर्धारित करते हैं। 9, 12 और 18 का LCM 36 है, इसलिए हम मानते हैं कि कुल कार्य 36 इकाई (units) है।

अमित (A) और सुनील (S) की संयुक्त कार्यक्षमता 36 / 9 = 4 इकाई प्रति दिन है। सुनील (S) और दिनेश (D) की संयुक्त कार्यक्षमता 36 / 12 = 3 इकाई प्रति दिन है। अमित (A) और दिनेश (D) की संयुक्त कार्यक्षमता 36 / 18 = 2 इकाई प्रति दिन है।

इन तीनों समीकरणों को जोड़ने पर, हमें तीनों व्यक्तियों की कार्यक्षमता दोगुनी प्राप्त होती है: 2(A + S + D) = 4 + 3 + 2 = 9 इकाई प्रति दिन। इसलिए, अमित, सुनील और दिनेश की मिलकर काम करने की संयुक्त कार्यक्षमता 9 / 2 = 4.5 इकाई प्रति दिन है।

उनके द्वारा मिलकर कार्य को पूरा करने में लिया गया समय कुल कार्य को उनकी संयुक्त कार्यक्षमता से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: 36 / 4.5 = 8 दिन।

व्याख्या

इस गुणनफल को बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)(a - b) = a² - b² का उपयोग करके सबसे आसानी से हल किया जा सकता है। दी गई संख्याओं 113 और 87 को (100 + 13) और (100 - 13) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इन्हें सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर 100² - 13² प्राप्त होता है। इस गणना से 10000 - 169 प्राप्त होता है, जो 9831 के बराबर है।

व्याख्या

कॉलेज में लड़कों की कुल संख्या का लड़कियों की कुल संख्या से अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम तालिका में दिए गए सभी विषयों में प्रत्येक श्रेणी के योग की गणना करते हैं।

लड़कों की कुल संख्या = 18 (विज्ञान) + 47 (कला) + 40 (वाणिज्य) + 30 (व्यावसायिक) = 135

लड़कियों की कुल संख्या = 35 (विज्ञान) + 25 (कला) + 45 (वाणिज्य) + 10 (व्यावसायिक) = 115

अभीष्ट अनुपात की गणना इस प्रकार की जाती है: अनुपात = कुल लड़के : कुल लड़कियाँ = 135 : 115

अनुपात के दोनों पक्षों को उनके महत्तम समापवर्तक, जो कि 5 है, से विभाजित करके, हम इस संबंध को सरल करते हैं: अनुपात = 27 : 23

व्याख्या

निर्माण लागत क्रमिक लाभ प्रतिशत के सूत्र का उपयोग करके निर्धारित की जा सकती है। यदि C निर्माण लागत है, तो निर्माता के 10% लाभ और दुकानदार के 15% लाभ के बाद की कीमत संबंध C × (1 + r₁/100) × (1 + r₂/100) = अंतिम मूल्य द्वारा दी जाती है।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: C × (1 + 10/100) × (1 + 15/100) = 7590 C × 1.10 × 1.15 = 7590 C × 1.265 = 7590

C के लिए हल करने पर: C = (7590)/(1.265)

गणना के लिए भिन्नात्मक निरूपण का उपयोग करने पर: C × ¹¹⁄₁₀ × ²³⁄₂₀ = 7590 C × ²⁵³⁄₂₀₀ = 7590 C = (7590 × 200)/(253)

चूंकि 253 × 30 = 7590: C = 30 × 200 C = 6000

व्याख्या

क्रय मूल्य (CP) और अंकित मूल्य (MP) के बीच का संबंध अनुपात सूत्र (CP)/(MP) = (100 - d)/(100 + p) द्वारा दिया जाता है, जहाँ d छूट प्रतिशत है और p लाभ प्रतिशत है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें (CP)/(MP) = (100 - 10)/(100 + 8) = ⁹⁰⁄₁₀₈ प्राप्त होता है। अंश और हर दोनों को 18 से विभाजित करके इस भिन्न को सरल करने पर अनुपात (CP)/(MP) = ⅚ प्राप्त होता है।

जब कोई छूट नहीं दी जाती है, तो विक्रय मूल्य (SP), अंकित मूल्य (MP) के बराबर होता है। CP = 5 और SP = MP = 6 मानने पर, लाभ प्रतिशत की गणना इस प्रकार की जाती है: लाभ% = (SP - CP)/(CP) × 100। सूत्र में अनुपात मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें लाभ% = (6 - 5)/(5) × 100 = ⅕ × 100 = 20% प्राप्त होता है। ध्यान दें कि प्रतिशत परिवर्तन ज्ञात करने के लिए अंकित मूल्य के वास्तविक मान (7,200) की आवश्यकता नहीं है।

व्याख्या

दिया गया व्यंजक (sin 30° sin 60°)/(cos 60° cos 30°) - tan 45° है। त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin θ = cos (90° - θ) का उपयोग करके, हम देख सकते हैं कि sin 30° = cos 60° और sin 60° = cos 30° है। अंश में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, भिन्न (cos 60° cos 30°)/(cos 60° cos 30°) हो जाता है, जो सरल होकर 1 हो जाता है। वैकल्पिक रूप से, मानक मानों का उपयोग करने पर जहाँ sin 30° = 1/2, sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2, और cos 30° = √3/2 है, व्यंजक का मान (1/2) · (√3/2){(1/2) · (√3/2)} - tan 45° प्राप्त होता है। यह सरल होकर 1 - tan 45° हो जाता है। चूंकि tan 45° = 1 है, इसलिए अंतिम गणना 1 - 1 = 0 है।

व्याख्या

यह गणना BODMAS नियम का पालन करती है, जो संक्रियाओं के क्रम को कोष्ठक (Brackets), घात/क्रम (Orders), भाग (Division), गुणा (Multiplication), जोड़ (Addition) और घटाव (Subtraction) के रूप में निर्दिष्ट करता है। चूंकि भाग और गुणा की प्राथमिकता का स्तर समान होता है, इसलिए अभिव्यक्ति में उनके आने के क्रम के अनुसार बाएं से दाएं उनका मूल्यांकन किया जाता है।

सबसे पहले, भाग की संक्रिया करें: ⁴⁄₃ ÷ ⅙ पहली भिन्न को दूसरी भिन्न के व्युत्क्रम (reciprocal) से गुणा करने के बराबर है, जो कि ⁴⁄₃ × ⁶⁄₁ है। यह सरल होकर 4 × 2 = 8 हो जाता है।

इसके बाद, गुणा की संक्रिया करें: 8 × 2 = 16।

अंत में, घटाव की संक्रिया करें: 16 - 1 = 15। मानक गणितीय क्रम में इन संक्रियाओं को लागू करने पर मान 15 प्राप्त होता है।

व्याख्या

शिक्षक के योगदान की गणना शिक्षक के योगदान के बाद एकत्र की गई कुल राशि और प्रारंभ में छात्रों द्वारा एकत्र की गई कुल राशि के बीच का अंतर ज्ञात करके की जा सकती है।

24 छात्रों का कुल योगदान = 24 × 50 = 1200 25 लोगों का कुल योगदान (शिक्षक सहित) = 25 × 56 = 1400 शिक्षक का योगदान = शिक्षक के साथ कुल योगदान - छात्रों का कुल योगदान = 1400 - 1200 = 200

वैकल्पिक रूप से, औसत में समावेशन के लिए शॉर्टकट का उपयोग करके: शिक्षक का योगदान = नया औसत + (प्रारंभिक छात्रों की संख्या × औसत में वृद्धि) शिक्षक का योगदान = 56 + (24 × (56 - 50)) शिक्षक का योगदान = 56 + (24 × 6) शिक्षक का योगदान = 56 + 144 = 200

व्याख्या

त्रिभुज असमानता प्रमेय के अनुसार, किसी त्रिभुज की तीसरी भुजा c की लंबाई, अन्य दो भुजाओं a और b के निरपेक्ष अंतर से निश्चित रूप से अधिक और उनके योग से निश्चित रूप से कम होनी चाहिए। इसे इस असमानता द्वारा व्यक्त किया जाता है:

|a - b| < c < a + b

दिए गए भुजाओं की लंबाई 5 सेमी और 8 सेमी को सूत्र में रखने पर: निम्न सीमा: 8 - 5 = 3 सेमी उच्च सीमा: 8 + 5 = 13 सेमी

तीसरी भुजा की माप 3 < c < 13 को संतुष्ट करनी चाहिए। चूंकि 4 सेमी, 3 सेमी से अधिक और 13 सेमी से कम है, इसलिए यह त्रिभुज की तीसरी भुजा के लिए एक मान्य लंबाई है।

व्याख्या

मान लीजिए स्थान A और स्थान B के बीच की दूरी D किमी है। साइकिल चालक X द्वारा इस दूरी को तय करने में लिया गया समय T_X = (D)/(6) घंटे है। साइकिल चालक Y, 8 किमी/घंटा की गति से यात्रा करता है, इसलिए Y के लिए साइकिल चलाने का वास्तविक समय (D)/(8) घंटे है। चूंकि Y 15 मिनट (¹⁵⁄₆₀ घंटे) के लिए रुकता है और फिर भी X से 10 मिनट (¹⁰⁄₆₀ घंटे) पहले पहुँच जाता है, इसलिए Y की यात्रा की कुल अवधि (D)/(8) + ¹⁵⁄₆₀ घंटे है।

X और Y के बीच समय का अंतर इस समीकरण द्वारा दिया गया है: T_X - T_Y = ¹⁰⁄₆₀ (D)/(6) - ((D)/(8) + ¹⁵⁄₆₀) = ¹⁰⁄₆₀ (D)/(6) - (D)/(8) = ¹⁰⁄₆₀ + ¹⁵⁄₆₀ (4D - 3D)/(24) = ²⁵⁄₆₀ (D)/(24) = ⁵⁄₁₂ D = (5 × 24)/(12) D = 10 किमी

वैकल्पिक रूप से, X और Y की गतियों का अनुपात 6:8 या 3:4 है। चूंकि एक निश्चित दूरी के लिए समय गति के व्युत्क्रमानुपाती होता है, इसलिए गतिमान रहने के दौरान लिए गए समय का अनुपात 4:3 है। मान लीजिए गतिमान रहने का समय X के लिए 4t और Y के लिए 3t है। Y के लिए कुल समय 3t + 15 मिनट है। प्रश्न के अनुसार, X को Y के कुल समय से 10 मिनट अधिक लगते हैं, इसलिए 4t = (3t + 15) + 10, जिसके परिणामस्वरूप t = 25 मिनट प्राप्त होता है। X की यात्रा का समय 4 × 25 = 100 मिनट या ⁵⁄₃ घंटे है। दूरी 6 × ⁵⁄₃ = 10 किमी है।

व्याख्या

(a - b)³ का द्विपद प्रसार सूत्र a³ - 3a²b + 3ab² - b³ द्वारा दिया जाता है। (x - 3y)³ के प्रसार में x का गुणांक ज्ञात करने के लिए, हम a = x और b = 3y मानते हैं। x की प्रथम घात वाला पद 3ab² है। इस पद में मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें 3(x)(3y)² = 3(x)(9y²) = 27y²x प्राप्त होता है। अतः, x का गुणांक 27y² है।

व्याख्या

एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल सूत्र A = ½ × d₁ × d₂ द्वारा निर्धारित किया जाता है, जहाँ d₁ और d₂ इसके विकर्णों की लंबाई हैं। सूत्र में दिए गए मानों d₁ = 16 सेमी और d₂ = 12 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर, हमें A = ½ × 16 × 12 प्राप्त होता है। इस गणना को सरल करने पर 8 × 12 = 96 सेमी² प्राप्त होता है। यह संबंध इसलिए मौजूद है क्योंकि एक समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं, जिससे यह आकृति चार सर्वांगसम समकोण त्रिभुजों में विभाजित हो जाती है, जिनमें से प्रत्येक का आधार d₁/2 और ऊंचाई d₂/2 होती है। इन चारों त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का योग करने पर समचतुर्भुज के क्षेत्रफल का मानक सूत्र प्राप्त होता है।

व्याख्या

नोटों की कुल संख्या 12 है, और ¥ 10 के नोटों तथा ¥ 50 के नोटों का अनुपात 1:2 दिया गया है। माना ¥ 10 के नोटों की संख्या x है और ¥ 50 के नोटों की संख्या 2x है। नोटों का योग x + 2x = 12 है, जिसे सरल करने पर 3x = 12 प्राप्त होता है, जिससे x = 4 मिलता है। परिणामस्वरूप, ¥ 10 के 4 नोट और ¥ 50 के 2 × 4 = 8 नोट हैं। कुल धनराशि इन नोटों के मूल्यों का योग है: (4 × 10) + (8 × 50) = 40 + 400 = 440।

व्याख्या

प्रत्येक कर्मचारी के लिए वेतन के अतिरिक्त आय की गणना करने के लिए, हम निम्नलिखित संबंध का उपयोग करते हैं: अतिरिक्त आय = कुल आय - वेतन।

कर्मचारी A के लिए, वेतन के अतिरिक्त आय 66,000 - 52,000 = 14,000 है, जो 10,000 से अधिक है। कर्मचारी B के लिए, वेतन के अतिरिक्त आय 59,000 - 48,500 = 10,500 है, जो 10,000 से अधिक है। कर्मचारी C के लिए, वेतन के अतिरिक्त आय 52,000 - 42,000 = 10,000 है। चूंकि प्रश्न में 10,000 से अधिक पूछा गया है, इसलिए यह मान योग्य नहीं है। कर्मचारी D के लिए, वेतन के अतिरिक्त आय 40,000 - 31,000 = 9,000 है। कर्मचारी E के लिए, वेतन के अतिरिक्त आय 31,700 - 25,000 = 6,700 है।

परिकलित मानों की तुलना करने पर, केवल कर्मचारी A और B को ही गैर-वेतन स्रोतों से ऐसी आय प्राप्त हुई जो स्पष्ट रूप से ¥ 10,000 से अधिक है। इस प्रकार कुल कर्मचारियों की संख्या 2 है।

व्याख्या

दिया गया द्विघात समीकरण x² - 4x + 4 = 0, (a - b)² = a² - 2ab + b² के रूप में एक पूर्ण वर्ग विस्तार है। अतः, समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है: (x - 2)² = 0 x के लिए हल करने पर x = 2 प्राप्त होता है।

व्यंजक 16(x⁴ - (1)/(x⁴)) का मान ज्ञात करने के लिए, इसमें x = 2 प्रतिस्थापित करें: 16(2⁴ - (1)/(2⁴)) = 16(16 - ¹⁄₁₆)

कोष्ठक के भीतर के पदों में 16 को वितरित करने पर: 16 × 16 - 16 × ¹⁄₁₆ = 256 - 1 = 255

व्याख्या

वर्ष 2019 में परिवार द्वारा खर्च की गई कुल राशि की गणना प्रत्येक वस्तु के लिए आवश्यक मात्रा और 2019 में उनकी संबंधित दर के गुणनफल के योग द्वारा की जाती है।

वस्तु A के लिए, लागत 15 × 80 = 1200 है। वस्तु B के लिए, लागत 20 × 60 = 1200 है। वस्तु C के लिए, लागत 12 × 40 = 480 है। वस्तु D के लिए, लागत 40 × 85 = 3400 है। वस्तु E के लिए, लागत 8 × 72 = 576 है।

कुल खर्च की गई राशि = 1200 + 1200 + 480 + 3400 + 576 = 6856।

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज में, सभी आंतरिक कोणों का योग 180° होता है। दिया गया है कि कोणों का अनुपात 3:5:4 है, हम व्यक्तिगत कोणों को क्रमशः 3x, 5x और 4x डिग्री के रूप में दर्शा सकते हैं। त्रिभुज के कोण योग गुण के अनुसार:

3x + 5x + 4x = 180° 12x = 180° x = (180°)/(12) = 15°

त्रिभुज में सबसे बड़ा कोण उच्चतम अनुपात मान के संगत है, जो कि 5x है, और सबसे छोटा कोण न्यूनतम अनुपात मान के संगत है, जो कि 3x है। सबसे बड़े और सबसे छोटे कोण के बीच का अंतर ज्ञात करने के लिए, हम गणना करते हैं:

अंतर = 5x - 3x = 2x

इस व्यंजक में x का मान रखने पर:

अंतर = 2 × 15° = 30°

व्याख्या

हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका tan 2A = tan((A + B) + (A - B)) का उपयोग करते हैं। स्पर्शज्या योग सूत्र (tangent addition formula) को लागू करने पर, हमें प्राप्त होता है: tan 2A = (tan(A + B) + tan(A - B))/(1 - tan(A + B)tan(A - B))।

दिया गया है कि 0 < A, B < 45°, इसलिए हमारे पास 0 < A + B < 90° है। चूँकि cos(A + B) = ²⁴⁄₂₅ है, हम sin(A + B) = √(1 - (²⁴⁄₂₅)²) = √((625 - 576)/(625)) = ⁷⁄₂₅ ज्ञात करने के लिए पाइथागोरस सर्वसमिका का उपयोग करते हैं। इसलिए, tan(A + B) = (sin(A + B))/(cos(A + B)) = ⁷⁄₂₄।

इसी प्रकार, चूँकि sin(A - B) = ¹⁵⁄₁₇ है और A - B का परास (range) -45° और 45° के बीच है, धनात्मक ज्या (sine) मान यह दर्शाता है कि A - B प्रथम चतुर्थांश (first quadrant) में है। हमें cos(A - B) = √(1 - (¹⁵⁄₁₇)²) = √((289 - 225)/(289)) = ⁸⁄₁₇ प्राप्त होता है। इसलिए, tan(A - B) = (sin(A - B))/(cos(A - B)) = ¹⁵⁄₈।

इन मानों को tan 2A के सूत्र में रखने पर: tan 2A = {(7)/(24) + ¹⁵⁄₈} / {1 - (⁷⁄₂₄)(¹⁵⁄₈)}

अंश को सरल करने पर: ⁷⁄₂₄ + ⁴⁵⁄₂₄ = ⁵²⁄₂₄ = ¹³⁄₆। हर को सरल करने पर: 1 - ¹⁰⁵⁄₁₉₂ = (192 - 105)/(192) = ⁸⁷⁄₁₉₂।

अंतिम गणना: tan 2A = ¹³⁄₆ × ¹⁹²⁄₈₇ = (13 × 32)/(87) = ⁴¹⁶⁄₈₇।

व्याख्या

योग और उसके घनों से संबंधित बीजीय सर्वसमिका a³ + (1)/(a³) = (a + ¹⁄ₐ)³ - 3(a + ¹⁄ₐ) है। माना x = a + ¹⁄ₐ। दिए गए मान 52 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें समीकरण x³ - 3x = 52 प्राप्त होता है। इस व्यंजक में x = 4 प्रतिस्थापित करने पर, हम 4³ - 3(4) की गणना करते हैं, जो सरल होकर 64 - 12 = 52 हो जाता है। चूंकि यह समीकरण को संतुष्ट करता है, इसलिए a + ¹⁄ₐ का मान 4 है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण: ax = b+c by = c+a cz = a+b

पहले समीकरण के दोनों पक्षों में a जोड़ने पर: ax + a = a+b+c a(x+1) = a+b+c 1/(x+1) = a/(a+b+c)

इसी प्रकार, अन्य दो समीकरणों के लिए: by + b = a+b+c ⟹ 1/(y+1) = b/(a+b+c) cz + c = a+b+c ⟹ 1/(z+1) = c/(a+b+c)

इन व्युत्क्रम पदों को जोड़ने पर: 1/(x+1) + 1/(y+1) + 1/(z+1) = a/(a+b+c) + b/(a+b+c) + c/(a+b+c) 1/(x+1) + 1/(y+1) + 1/(z+1) = (a+b+c)/(a+b+c) = 1

इस योग में गुणक ⅑ लागू करने पर प्राप्त होता है: ⅑ [ 1/(x+1) + 1/(y+1) + 1/(z+1) ] = ⅑ × 1 = ⅑

व्याख्या

वस्तु D की दर में प्रतिशत वृद्धि ज्ञात करने के लिए, प्रतिशत परिवर्तन के सूत्र का उपयोग करें:

प्रतिशत वृद्धि = (वर्ष 2019 में दर - वर्ष 2016 में दर)/(वर्ष 2016 में दर) × 100

तालिका से, वर्ष 2016 में वस्तु D के लिए प्रति किग्रा दर 75 है और वर्ष 2019 में दर 85 है।

इन मानों को सूत्र में रखने पर:

वृद्धि = 85 - 75 = 10

प्रतिशत वृद्धि = ¹⁰⁄₇₅ × 100

प्रतिशत वृद्धि = ²⁄₁₅ × 100 = ²⁰⁰⁄₁₅ = 13.33%

व्याख्या

आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार, यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समानांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए, तो अन्य दो भुजाएँ समान अनुपात में विभाजित हो जाती हैं। चूंकि त्रिभुज ABC में DE ∥ BC है, इसलिए भुजाओं AB और AC के खंड इस प्रकार आनुपातिक हैं कि (AD)/(DB) = (AE)/(EC) है।

दिए गए बीजीय व्यंजकों को आनुपातिकता सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: ᵃ⁄ₐ₊₄ = ²ᵃ⁺³⁄₇ₐ

'a' का मान ज्ञात करने के लिए तिर्यक-गुणन (Cross-multiplying) करने पर: a(7a) = (a+4)(2a+3) 7a² = 2a² + 3a + 8a + 12 7a² = 2a² + 11a + 12

द्विघात समीकरण बनाने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: 5a² - 11a - 12 = 0

गुणनखंडन विधि का उपयोग करके द्विघात समीकरण को हल करने के लिए, हम ऐसी दो संख्याएँ खोजते हैं जिनका गुणनफल -60 (5 × -12 से) हो और योग -11 हो। वे संख्याएँ -15 और 4 हैं: 5a² - 15a + 4a - 12 = 0 5a(a - 3) + 4(a - 3) = 0 (5a + 4)(a - 3) = 0

इससे a के दो संभावित हल प्राप्त होते हैं: a = -⅘ या a = 3। चूंकि प्रश्न में निर्दिष्ट है कि a > 0 है, इसलिए हम ऋणात्मक मान को छोड़ देते हैं। अतः, a का मान 3 है।

व्याख्या

वस्तुओं पर खर्च की गई अतिरिक्त राशि की गणना दोनों वर्षों के बीच दरों में अंतर ज्ञात करके और उसे प्रति माह आवश्यक मात्रा से गुणा करके की जाती है।

वस्तु B के लिए: मात्रा = 15 किग्रा वर्ष 2016 में दर = 50 वर्ष 2019 में दर = 60 दर में वृद्धि = 60 - 50 = 10 प्रति किग्रा B पर खर्च की गई अतिरिक्त राशि = 20 × 10 = 200

वस्तु C के लिए: मात्रा = 12 किग्रा वर्ष 2016 में दर = 35 वर्ष 2019 में दर = 40 दर में वृद्धि = 40 - 35 = 5 प्रति किग्रा C पर खर्च की गई अतिरिक्त राशि = 12 × 5 = 60

B और C पर खर्च की गई कुल अतिरिक्त राशि = 200 + 60 = 260

व्याख्या

कुल कार्य को 20, 16 और 30 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) के रूप में माना जा सकता है, जो कि 240 इकाई है। प्रत्येक व्यक्ति की दैनिक कार्यक्षमता की गणना कुल कार्य को उनके द्वारा इसे पूरा करने में लगने वाले दिनों की संख्या से विभाजित करके की जाती है। इस प्रकार, A की कार्यक्षमता 240 / 20 = 12 इकाई/दिन है, B की कार्यक्षमता 240 / 16 = 15 इकाई/दिन है, और C की कार्यक्षमता 240 / 30 = 8 इकाई/दिन है।

A और B मिलकर 4 दिनों तक कार्य करते हैं। उनकी संयुक्त कार्यक्षमता 12 + 15 = 27 इकाई/दिन है। 4 दिनों में, वे 27 × 4 = 108 इकाई कार्य पूरा करते हैं। C द्वारा पूरा किए जाने वाले शेष कार्य की मात्रा 240 - 108 = 132 इकाई है।

C द्वारा इस शेष कार्य को पूरा करने में लिया गया समय शेष इकाइयों को C की कार्यक्षमता से विभाजित करके निकाला जाता है। इसलिए, C द्वारा लिया गया समय = 132 / 8 = 33 / 2 = 16 ½ दिन।

व्याख्या

सबसे पहले, ट्रेन की गति को किमी/घंटा से मीटर/सेकंड में बदलने के लिए ⁵⁄₁₈ से गुणा करें। गति v = 72 × ⁵⁄₁₈ = 20 मीटर/सेकंड।

जब कोई ट्रेन किसी प्लेटफॉर्म को पार करती है, तो तय की गई कुल दूरी ट्रेन की लंबाई L और प्लेटफॉर्म की लंबाई का योग होती है। सूत्र दूरी = गति × समय का उपयोग करते हुए, हमारे पास L + 180 = 20 × 60 है। इसे हल करने पर L + 180 = 1200 प्राप्त होता है, इसलिए ट्रेन की लंबाई L = 1020 मीटर है।

एक बिजली के खंभे को पार करने के लिए, ट्रेन को अपनी लंबाई के बराबर दूरी तय करनी होगी। खंभे को पार करने में लगने वाले समय की गणना समय = (दूरी)/(गति) के रूप में की जाती है। ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर, समय = ¹⁰²⁰⁄₂₀ = 51 सेकंड।

व्याख्या

कुल साधारण ब्याज प्रत्येक अवधि के दौरान अर्जित ब्याज का योग है। सूत्र SI = (P × R × T)/(100) का उपयोग करते हुए, 10 वर्षों में कुल ब्याज प्रतिशत की गणना दरों और उनकी संबंधित अवधियों के गुणनफलों को जोड़कर की जाती है।

पहले 4 वर्षों के लिए 5% पर: 5 × 4 = 20% अगले 3 वर्षों के लिए 8% पर: 8 × 3 = 24% शेष 3 वर्षों के लिए (वर्ष 7 से वर्ष 10 तक) 10% पर: 10 × 3 = 30%

संचयी ब्याज दर मूलधन P का 20% + 24% + 30% = 74% है। यह देखते हुए कि कुल ब्याज 1,850 है, हम समीकरण स्थापित करते हैं:

⁷⁴⁄₁₀₀ × P = 1,850

P = (1,850 × 100)/(74)

1,850 को 74 से विभाजित करने पर 25 प्राप्त होता है। इसलिए:

P = 25 × 100 = 2,500

व्याख्या

इस व्यंजक को BODMAS नियम लागू करके हल किया जाता है, जो संक्रियाओं के क्रम को निर्धारित करता है: कोष्ठक (Brackets), घातांक (Orders), भाग (Division), गुणा (Multiplication), जोड़ (Addition), और घटाव (Subtraction)।

अंश के लिए: 54 - (5 ÷ 2) × 8 + 13 सबसे पहले, कोष्ठक के अंदर या पहले चरण के रूप में भाग की संक्रिया करें: 5 ÷ 2 = 2.5। इसके बाद, गुणा करें: 2.5 × 8 = 20। फिर, बाएं से दाएं जोड़ और घटाव की संक्रिया करें: 54 - 20 + 13 = 34 + 13 = 47।

हर के लिए: 48 - 4 ÷ 3 × 8 - 2 सबसे पहले, भाग की संक्रिया करें: 4 ÷ 3 = 4/3। इसके बाद, गुणा करें: 4/3 × 8 = 32/3। फिर, बाएं से दाएं घटाव की संक्रिया करें: 48 - 32/3 - 2 = 46 - 32/3। 46 को 3 हर वाले भिन्न में बदलें: 46 = 138/3। घटाएं: 138/3 - 32/3 = 106/3।

सरलीकृत अंश और हर को मिलाने पर: 47 / (106/3) = 47 × 3/106 = 141/106

व्याख्या

60 छात्रों के परिणामों का कुल योग सूत्र योग = औसत × संख्या का उपयोग करके निकाला जाता है, जिससे 60 × 38 = 2280 प्राप्त होता है। पहले 22 छात्रों का योग 22 × 36 = 792 है, और अंतिम 32 छात्रों का योग 32 × 32 = 1024 है। शेष छात्रों की संख्या 60 - (22 + 32) = 6 है। इन शेष छात्रों के परिणामों का योग कुल योग में से ज्ञात योगों को घटाकर प्राप्त किया जाता है: 2280 - (792 + 1024) = 2280 - 1816 = 464। इस योग को शेष छात्रों की संख्या से विभाजित करने पर औसत 464 / 6 = 77.33 प्राप्त होता है। विकल्पों के लिए पूर्णांक मानों को मानते हुए, यह 77 के बराबर है।