एसएससी सीजीएल टियर 1 2012 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

संपूर्ण लेनदेन पर व्यापारी द्वारा अर्जित शुद्ध लाभ पहले बैच पर अर्जित लाभ और दूसरे बैच पर हुई हानि के बीच का अंतर है। दिया गया है कि 80 अलमारियों पर लाभ 4,000 रुपये था और शेष 60 अलमारियों पर हानि 1,200 रुपये थी, कुल शुद्ध लाभ की गणना इस प्रकार की जाती है: शुद्ध लाभ = 4,000 रुपये - 1,200 रुपये = 2,800 रुपये

व्यापारी को सभी 140 अलमारियों के कुल क्रय मूल्य (CP) पर 10% का लाभ हुआ। माना प्रत्येक अलमारी का क्रय मूल्य x है। 140 अलमारियों का कुल क्रय मूल्य 140x है। प्रश्न के अनुसार: 140x का 10% = 2,800 ¹⁰⁄₁₀₀ × 140x = 2,800 14x = 2,800 x = (2,800)/(14) x = 200

प्रत्येक अलमारी का क्रय मूल्य 200 रुपये है।

व्याख्या

दिए गए द्विघात समीकरण 3x² - 4x - 3 = 0 से x - ¹⁄ₓ का मान ज्ञात करने के लिए, समीकरण के प्रत्येक पद को 3x से विभाजित करें। यह विशिष्ट बीजगणितीय हेरफेर द्विघात समीकरण के गुणांकों को सीधे चर और उसके व्युत्क्रम वाले लक्षित व्यंजक से जोड़ता है।

(3x²)/(3x) - ⁴ˣ⁄₃ₓ - ³⁄₃ₓ = ⁰⁄₃ₓ

इस सरलीकरण के परिणामस्वरूप निम्नलिखित रैखिक रूप प्राप्त होता है:

x - ⁴⁄₃ - ¹⁄ₓ = 0

अचर पद -⁴⁄₃ को समीकरण के दाईं ओर ले जाने पर, व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:

x - ¹⁄ₓ = ⁴⁄₃

यह विधि द्विघात सूत्र का उपयोग करके x का मान ज्ञात करने और फिर उन मानों को लक्षित व्यंजक में प्रतिस्थापित करने की तुलना में काफी अधिक कुशल है, क्योंकि यह समीकरण की संरचनात्मक समरूपता का उपयोग करती है। द्विघात समीकरण को सीधे व्युत्क्रम रूप में परिवर्तित करने से जटिल करणी (radicals) से बचा जा सकता है और परिणाम का सीधा मार्ग सुनिश्चित होता है।

व्याख्या

व्यंजक 5 - (3a - b)² है। चूंकि किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है, इसलिए पद (3a - b)² ≥ 0 होगा। संपूर्ण व्यंजक के मान को अधिकतम करने के लिए, 5 में से घटाई जाने वाली संख्या का मान न्यूनतम होना चाहिए। (3a - b)² का न्यूनतम मान 0 है।

अधिकतम मान तब प्राप्त होता है जब (3a - b)² = 0 हो, जिसका अर्थ है 3a - b = 0। इसे a और b के अनुपात के लिए हल करने पर 3a = b, या (a)/(b) = 1/3 प्राप्त होता है। इसलिए, अनुपात a:b = 1:3 है।

व्याख्या

व्यंजक bc + ca + ab का मान मानक बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है। दिए गए मानों a + b + c = 6 और a² + b² + c² = 14 को इस सूत्र में रखने पर हमें 6² = 14 + 2(ab + bc + ca) प्राप्त होता है। इसे सरल करने पर 36 = 14 + 2(ab + bc + ca) प्राप्त होता है। दोनों पक्षों से 14 घटाने पर, हमें 22 = 2(ab + bc + ca) प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर ab + bc + ca = 11 प्राप्त होता है।

व्याख्या

व्यंजक x⁵ - 12x⁴ + 12x³ - 12x² + 12x - 1 को 12 = 11 + 1 प्रतिस्थापित करके सरल किया जा सकता है। चूंकि x = 11 है, इसलिए हम 12 = x + 1 लिख सकते हैं। इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर x⁵ - (x + 1)x⁴ + (x + 1)x³ - (x + 1)x² + (x + 1)x - 1 प्राप्त होता है।

पदों का विस्तार करने पर x⁵ - (x⁵ + x⁴) + (x⁴ + x³) - (x³ + x²) + (x² + x) - 1 प्राप्त होता है। चिह्नों को वितरित करने पर x⁵ - x⁵ - x⁴ + x⁴ + x³ - x³ - x² + x² + x - 1 प्राप्त होता है। x⁵ से लेकर x² तक के सभी पद युग्मों में एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं, जिससे केवल x - 1 बचता है।

सरलीकृत परिणाम x - 1 में दिए गए मान x = 11 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 11 - 1 = 10 प्राप्त होता है।

व्याख्या

समीकरण x + 1/x = 2 के लिए, इस शर्त को संतुष्ट करने वाला एकमात्र वास्तविक मान x = 1 है। इसे पूरे समीकरण को x से गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है, जिससे x² + 1 = 2x, या x² - 2x + 1 = 0 प्राप्त होता है। इस द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर (x - 1)² = 0 प्राप्त होता है, इसलिए x = 1 है।

व्यंजकों में x = 1 प्रतिस्थापित करने पर: x² + 1/x² = 1² + 1/1² = 1 + 1 = 2 x³ + 1/x³ = 1³ + 1/1³ = 1 + 1 = 2

इन दोनों मानों का गुणनफल (x² + 1/x²)(x³ + 1/x³) = 2 × 2 = 4 है।

वैकल्पिक रूप से, x + 1/x = a के लिए बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर: x² + 1/x² = a² - 2 = 2² - 2 = 2 x³ + 1/x³ = a³ - 3a = 2³ - 3(2) = 8 - 6 = 2 अंतिम परिणाम 2 × 2 = 4 है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण x = (³√(m + 1) + ³√(m - 1)) / (³√(m + 1) - ³√(m - 1)) पर योगान्तरानुपात नियम (componendo and dividendo) लागू करने पर, हमें प्राप्त होता है:

(x + 1)/(x - 1) = ((³√(m + 1) + ³√(m - 1)) + (³√(m + 1) - ³√(m - 1))) / ((³√(m + 1) + ³√(m - 1)) - (³√(m + 1) - ³√(m - 1)))

(x + 1)/(x - 1) = 2³√(m + 1) / 2³√(m - 1) = ((m + 1)/(m - 1))¹ᐟ³

करणी (radicals) को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का घन (cube) करने पर:

(x + 1)³ / (x - 1)³ = (m + 1)/(m - 1)

(x³ + 3x² + 3x + 1) / (x³ - 3x² + 3x - 1) = (m + 1)/(m - 1)

एक बार फिर योगान्तरानुपात नियम लागू करने पर:

((x³ + 3x² + 3x + 1) + (x³ - 3x² + 3x - 1)) / ((x³ + 3x² + 3x + 1) - (x³ - 3x² + 3x - 1)) = ((m + 1) + (m - 1)) / ((m + 1) - (m - 1))

(2x³ + 6x) / (6x² + 2) = 2m / 2 = m

(x³ + 3x) / (3x² + 1) = m

तिर्यक-गुणन (cross-multiplying) करने और पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

x³ + 3x = 3mx² + m

x³ - 3mx² + 3x - m = 0

व्याख्या

मान लीजिए कि कुल कार्य व्यक्तिगत रूप से कार्य पूरा करने में लगने वाले समय का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है। 24, 9 और 12 के लिए, LCM 72 इकाई है। हम प्रत्येक व्यक्ति की कार्यक्षमता (इकाई प्रति दिन) की गणना करते हैं: A की कार्यक्षमता = 72 / 24 = 3 इकाई/दिन B की कार्यक्षमता = 72 / 9 = 8 इकाई/दिन C की कार्यक्षमता = 72 / 12 = 6 इकाई/दिन

B और C मिलकर 3 दिनों तक कार्य करते हैं। उनकी संयुक्त कार्यक्षमता 8 + 6 = 14 इकाई/दिन है। उनके द्वारा 3 दिनों में पूरा किया गया कार्य 14 × 3 = 42 इकाई है।

किया जाने वाला शेष कार्य 72 - 42 = 30 इकाई है। चूंकि यह कार्य अकेले A द्वारा पूरा किया जाता है, इसलिए लिया गया समय शेष कार्य को A की कार्यक्षमता से विभाजित करके निकाला जाता है: A द्वारा लिया गया समय = 30 / 3 = 10 दिन

व्याख्या

माना कि अभीष्ट संख्या x है। प्रश्न के अनुसार, संख्या का तिगुना 3x है। जब इस मान में से 7 घटाया जाता है, तो परिणाम 14 प्राप्त होता है। इसे रैखिक समीकरण 3x - 7 = 14 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

x का मान ज्ञात करने के लिए: 3x = 14 + 7 3x = 21 x = ²¹⁄₃ x = 7

गणना दर्शाती है कि जब 21 (जो कि 3 × 7 है) में से 7 घटाया जाता है, तो परिणाम 14 प्राप्त होता है, जो प्रश्न में दी गई शर्त को पूरा करता है।

व्याख्या

243 को एक पूर्ण घन बनाने के लिए उससे गुणा की जाने वाली न्यूनतम संख्या ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले इसका अभाज्य गुणनखंडन निर्धारित करते हैं। 243 को बार-बार 3 से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है: 243 = 3 × 81 = 3 × 3 × 27 = 3 × 3 × 3 × 9 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3। घातांकीय रूप में व्यक्त करने पर, 243 = 3⁵।

किसी संख्या के पूर्ण घन होने के लिए, उसके गुणनखंडन में प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड का घातांक 3 का गुणज होना चाहिए। 3⁵ के मामले में, घातांक 5, 3 का गुणज नहीं है। वह सबसे छोटा पूर्णांक n जिससे 3⁵ × 3ⁿ का परिणाम ऐसा घातांक हो जो 3 का गुणज हो, n = 1 है, क्योंकि 5 + 1 = 6, और 6, 3 का गुणज है। 243 को 3¹ से गुणा करने पर 243 × 3 = 729 प्राप्त होता है, जो कि 9 का घन है (9³ = 729)। इसलिए, अभाज्य गुणनखंडों के त्रिक (triplet) को पूरा करने के लिए आवश्यक सबसे छोटी संख्या 3 है।

व्याख्या

माना शहर में मंदिरों की संख्या x है। प्रश्न के अनुसार, व्यक्ति प्रत्येक मंदिर में उतने ही फूल चढ़ाता है जितने शहर में मंदिर हैं। इसलिए, प्रत्येक मंदिर में चढ़ाए जाने वाले फूलों की संख्या भी x है। सभी मंदिरों के लिए आवश्यक फूलों की कुल संख्या, मंदिरों की संख्या और प्रति मंदिर चढ़ाए जाने वाले फूलों का गुणनफल है, जो कि x × x = x² है।

उपलब्ध फूलों की कुल संख्या, टोकरियों की संख्या और प्रत्येक टोकरी में मौजूद फूलों का गुणनफल है। चूंकि 5 टोकरियाँ हैं और प्रत्येक टोकरी में 125 फूल हैं, इसलिए फूलों की कुल संख्या 5 × 125 = 625 है।

मंदिरों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम आवश्यक कुल फूलों को उपलब्ध कुल फूलों के बराबर रखते हैं: x² = 625 दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: x = √(625) x = 25

व्याख्या

माना तीन क्रमागत संख्याएँ x-1, x, और x+1 हैं। प्रश्नानुसार, उनका योग 15 है, जिसे (x-1) + x + (x+1) = 15 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इस रैखिक समीकरण को सरल करने पर 3x = 15 प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप x = 5 मिलता है।

इसलिए, वे तीन क्रमागत संख्याएँ 4, 5, और 6 हैं। उनका गुणनफल ज्ञात करने के लिए, उन्हें आपस में गुणा करें: 4 × 5 × 6 = 120।

व्याख्या

इस व्यंजक में छह पद हैं, जिनमें से प्रत्येक 999 ⁿ⁄₇ के रूप में एक मिश्रित भिन्न है। इसे सरल करने के लिए, पूर्ण संख्या वाले भागों और भिन्नात्मक भागों को अलग-अलग जोड़ा जाता है।

पूर्ण संख्या वाला भाग 999 कुल 6 बार आता है, इसलिए इसके योग की गणना इस प्रकार की जाती है: 999 × 6 = (1000 - 1) × 6 = 6000 - 6 = 5994

भिन्नात्मक भाग 7 के समान हर के साथ एक समांतर श्रेणी बनाते हैं। उनका योग है: ⅐ + ²⁄₇ + ³⁄₇ + ⁴⁄₇ + ⁵⁄₇ + ⁶⁄₇ = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/(7) = ²¹⁄₇ = 3

दोनों भागों को एक साथ जोड़ने पर अंतिम सरलीकृत मान प्राप्त होता है: 5994 + 3 = 5997

व्याख्या

सभी 55 बक्सों के कुल वजन की गणना बक्सों की कुल संख्या को अंतिम औसत वजन से गुणा करके की जाती है: 55 × 95 = 5225 किग्रा। बाद में जोड़े गए 5 बक्सों का कुल वजन 5 × 105 = 525 किग्रा है। 55 बक्सों के कुल वजन में से इन 5 बक्सों के वजन को घटाकर, हमें शुरुआती 50 बक्सों का कुल वजन प्राप्त होता है: 5225 - 525 = 4700 किग्रा। चूंकि इन 50 बक्सों का वजन समान है, इसलिए प्रत्येक बक्से का वजन 4700 / 50 = 94 किग्रा है।

वैकल्पिक रूप से, विचलन विधि (deviation method) का उपयोग करते हुए, 5 नए बक्सों में से प्रत्येक का वजन 105 किग्रा है, जो कि 95 किग्रा के अंतिम औसत से 10 किग्रा अधिक है। इन बक्सों द्वारा योगदान दिया गया कुल अतिरिक्त वजन 5 × 10 = 50 किग्रा है। इस अतिरिक्त वजन ने मूल 50 बक्सों में कमी की भरपाई की होगी ताकि उनका वजन बढ़कर 95 किग्रा के औसत तक पहुंच सके। इसलिए, शुरुआती प्रति बक्से की कमी 50 / 50 = 1 किग्रा थी, जिससे उनका मूल वजन 95 - 1 = 94 किग्रा हो गया।

व्याख्या

मिश्रण के नियम (rule of alligation) का उपयोग करके, व्यक्तिगत औसत की तुलना समूह के संयुक्त औसत से करके पुरुष सदस्यों की संख्या और महिला सदस्यों की संख्या का अनुपात निर्धारित किया जा सकता है। माना पुरुषों की औसत आयु M है और महिलाओं की औसत आयु F है। कुल औसत T है।

पुरुषों की संख्या (nₘ) और महिलाओं की संख्या (n_f) का अनुपात इस प्रकार निकाला जाता है: nₘ : n_f = (T - F) : (M - T) nₘ : n_f = (30 - 26) : (34 - 30) nₘ : n_f = 4 : 4 = 1 : 1

यह अनुपात दर्शाता है कि प्रत्येक एक पुरुष सदस्य पर एक महिला सदस्य है। क्लब में पुरुष सदस्यों का प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, हम पुरुषों के अनुपात वाले भाग को कुल भागों से विभाजित करते हैं और 100 से गुणा करते हैं: प्रतिशत = (1)/(1 + 1) × 100 = ½ × 100 = 50%

वैकल्पिक रूप से, भारित औसत (weighted average) सूत्र का उपयोग करके, जहाँ nₘ और n_f क्रमशः पुरुषों और महिलाओं की संख्या हैं: 30 = (34nₘ + 26n_f)/(nₘ + n_f) 30nₘ + 30n_f = 34nₘ + 26n_f 4n_f = 4nₘ nₘ = n_f

दोनों विधियाँ पुष्टि करती हैं कि पुरुष सदस्य कुल सदस्यता का ठीक आधा हिस्सा हैं।

व्याख्या

प्रारंभिक 60 लीटर पेय में, सिरप और पानी का अनुपात 3:7 है। मिश्रण में कुल भाग 3 + 7 = 10 हैं। एक भाग का मान ⁶⁰⁄₁₀ = 6 लीटर है। इसलिए, सिरप की मात्रा 3 × 6 = 18 लीटर है और पानी की मात्रा 7 × 6 = 42 लीटर है।

जब पेय में पानी मिलाया जाता है, तो सिरप की मात्रा अपरिवर्तित रहती है। 2:5 के लक्षित अनुपात में, सिरप के 2 भाग मौजूदा 18 लीटर के संगत हैं। इसका अर्थ है कि नए अनुपात में 1 भाग ¹⁸⁄₂ = 9 लीटर को दर्शाता है। इस नए अनुपात में 5 भागों के लिए पानी की आवश्यक मात्रा 5 × 9 = 45 लीटर है। मिलाए जाने वाले पानी की मात्रा, पानी की नई मात्रा और प्रारंभिक मात्रा के बीच का अंतर है: 45 - 42 = 3 लीटर।

व्याख्या

अंकित मूल्य (MP) पर d₁% और d₂% की दो क्रमिक छूट देने के बाद किसी वस्तु का विक्रय मूल्य (SP) इस सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है: SP = MP × (1 - (d₁)/(100)) × (1 - (d₂)/(100))

दिया गया है कि विक्रय मूल्य 3,060 रुपये है और क्रमिक छूट 15% और 10% हैं, इन मानों को समीकरण में रखने पर: 3060 = MP × (1 - ¹⁵⁄₁₀₀) × (1 - ¹⁰⁄₁₀₀) 3060 = MP × ⁸⁵⁄₁₀₀ × ⁹⁰⁄₁₀₀ 3060 = MP × ¹⁷⁄₂₀ × ⁹⁄₁₀ 3060 = MP × ¹⁵³⁄₂₀₀

अंकित मूल्य (MP) ज्ञात करने के लिए: MP = (3060 × 200)/(153) MP = 20 × 200 MP = 4000

वैकल्पिक रूप से, प्रभावी छूट की गणना इस प्रकार की जा सकती है: 15 + 10 - (15 × 10)/(100) = 25 - 1.5 = 23.5%। इसका अर्थ है कि विक्रय मूल्य, अंकित मूल्य का 100% - 23.5% = 76.5% है। 0.765 × MP = 3060 MP = (3060)/(0.765) = 4000

व्याख्या

एक समलंब चतुर्भुज के क्षेत्रफल A की गणना सूत्र A = ½ (a + b) h का उपयोग करके की जाती है, जहाँ a और b समांतर भुजाओं की लंबाई को दर्शाते हैं और h ऊँचाई को दर्शाता है। दिया गया क्षेत्रफल A = 105 वर्ग मीटर और समांतर भुजाएँ a = 9 मीटर और b = 12 मीटर हैं, इन मानों को सूत्र में रखने पर 105 = ½ (9 + 12) × h प्राप्त होता है। इसे सरल करने पर 105 = ½ × 21 × h, या 105 = 10.5h प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को 10.5 से विभाजित करने पर h = (105)/(10.5) = 10 मीटर प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि मीनार को h ऊंचाई वाले AB द्वारा दर्शाया गया है, जहाँ A शीर्ष है और B पाद (foot) है। मान लीजिए कि P उन्नयन कोण α के साथ अवलोकन का प्रारंभिक बिंदु है, और Q मीनार की ओर h/2 दूरी चलने के बाद पहुँचा गया बिंदु है, जहाँ उन्नयन कोण β है।

समकोण त्रिभुज ABP में, कोण α का cotangent आधार और ऊंचाई का अनुपात है: cot α = (BP)/(AB) = (BP)/h इससे प्राप्त होता है: BP = h cot α।

समकोण त्रिभुज ABQ में, कोण β का cotangent है: cot β = (BQ)/(AB) = (BQ)/h इससे प्राप्त होता है: BQ = h cot β।

मीनार की ओर चली गई दूरी, मीनार के पाद से प्रारंभिक और अंतिम दूरियों का अंतर है: PQ = BP - BQ h/2 = h cot α - h cot β

समीकरण के दोनों पक्षों को h से विभाजित करने पर: 1/2 = cot α - cot β

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं tan² x = sec² x - 1 और sin² x = 1 - cos² x का उपयोग करके व्यंजक tan² x - sin² x को सरल बनाया जा सकता है। इन्हें व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: tan² x - sin² x = (sec² x - 1) - (1 - cos² x) tan² x - sin² x = sec² x + cos² x - 2

sec² x + cos² x का मान ज्ञात करने के लिए, दिए गए समीकरण sec x + cos x = 3 का वर्ग करें: (sec x + cos x)² = 3² sec² x + cos² x + 2 sec x cos x = 9

चूंकि sec x = 1/cos x है, इसलिए पद 2 sec x cos x सरल होकर 2(1) = 2 हो जाता है। इसलिए: sec² x + cos² x + 2 = 9 sec² x + cos² x = 7

इसे अभीष्ट मान के लिए सरलीकृत व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर: tan² x - sin² x = 7 - 2 = 5

व्याख्या

△ ADE में, चूंकि BC, DE के समांतर है, इसलिए कोण-कोण (AA) समरूपता कसौटी के अनुसार △ ABC, △ ADE के समरूप है, क्योंकि ∠ ABC = ∠ ADE और ∠ A दोनों त्रिभुजों में उभयनिष्ठ है। चूंकि त्रिभुज समरूप हैं, इसलिए उनकी संगत भुजाओं के अनुपात बराबर होंगे।

सबसे पहले, रेखाखंड AB और BD को जोड़कर भुजा AD की लंबाई ज्ञात करें: AD = AB + BD = 12 + 6 = 18

अब, शीर्ष A से संगत भुजाओं के समांतर आधारों के अनुपात का उपयोग करें: (DE)/(BC) = (AD)/(AB)

समीकरण में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करें: (DE)/10 = 18/12

दाहिनी ओर के अनुपात को सरल करें: (DE)/10 = 3/2

DE के लिए हल करें: DE = 10 × 3/2 = 15

व्याख्या

माना O, त्रिज्या r = 5 सेमी वाले वृत्त का केंद्र है। केंद्र से जीवा तक की लंबवत दूरी पाइथागोरस प्रमेय द्वारा निर्धारित की जाती है, क्योंकि त्रिज्या, केंद्र से दूरी और जीवा की आधी लंबाई मिलकर एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं। जीवा AB = 6 सेमी के लिए, केंद्र से दूरी d₁ = √(5² - (6/2)²) = √(25 - 9) = √(16) = 4 सेमी है। जीवा CD = 8 सेमी के लिए, केंद्र से दूरी d₂ = √(5² - (8/2)²) = √(25 - 16) = √9 = 3 सेमी है। चूंकि जीवाएं केंद्र के विपरीत पक्षों पर स्थित हैं, इसलिए उनके बीच की कुल दूरी इन दोनों लंबवत दूरियों का योग है: d₁ + d₂ = 4 + 3 = 7 सेमी।

व्याख्या

समकोण त्रिभुज OAB में, माना वृत्त की त्रिज्या r है। चूंकि जीवा AB केंद्र O पर समकोण अंतरित करती है, इसलिए OA = OB = r और ∠ AOB = 90° है।

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: OA² + OB² = AB² r² + r² = (3√2)² 2r² = 18 r² = 9

त्रिज्या r और केंद्रीय कोण θ वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल सूत्र, क्षेत्रफल = (θ)/(360) × π r² द्वारा दिया जाता है। θ = 90° और r² = 9 प्रतिस्थापित करने पर:

क्षेत्रफल = ⁹⁰⁄₃₆₀ × π × 9 क्षेत्रफल = ¼ × 9π क्षेत्रफल = ⁹⁄₄π

व्याख्या

दिए गए समीकरण sin p + csc p = 2 को त्रिकोणमितीय सर्वसमिका csc p = (1)/(sin p) का उपयोग करके sin p + (1)/(sin p) = 2 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। पूरे समीकरण को sin p से गुणा करने पर द्विघात समीकरण sin² p - 2 sin p + 1 = 0 प्राप्त होता है। यह एक पूर्ण वर्ग त्रिपद है जो सरल होकर (sin p - 1)² = 0 हो जाता है। चर के लिए हल करने पर, हमें sin p = 1 प्राप्त होता है।

चूंकि sin p = 1 है, इसलिए इसका व्युत्क्रम csc p भी 1 के बराबर होगा। इन मानों को आवश्यक व्यंजक sin⁷ p + csc⁷ p में प्रतिस्थापित करने पर, हम गणना करते हैं: 1⁷ + 1⁷ = 1 + 1 = 2। यह इस सामान्य बीजगणितीय गुण का अनुसरण करता है कि यदि x + ¹⁄ₓ = 2 है, तो x = 1, और परिणामस्वरूप किसी भी पूर्णांक n के लिए xⁿ + (1)/(xⁿ⁾ = 2 होगा।

व्याख्या

दिए गए समीकरण sin Θ + sin² Θ + sin³ Θ = 1 को sin Θ + sin³ Θ = 1 - sin² Θ के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। सर्वसमिका 1 - sin² Θ = cos² Θ का उपयोग करने पर, हमें sin Θ (1 + sin² Θ) = cos² Θ प्राप्त होता है।

समीकरण में sin² Θ = 1 - cos² Θ प्रतिस्थापित करने पर sin Θ (2 - cos² Θ) = cos² Θ प्राप्त होता है। साइन (sine) फलन को समाप्त करने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग करने पर sin² Θ (2 - cos² Θ)² = cos⁴ Θ प्राप्त होता है। sin² Θ को 1 - cos² Θ से प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: (1 - cos² Θ) (4 - 4cos² Θ + cos⁴ Θ) = cos⁴ Θ

बाएँ पक्ष के पदों का विस्तार करने पर: 4 - 4cos² Θ + cos⁴ Θ - 4cos² Θ + 4cos⁴ Θ - cos⁶ Θ = cos⁴ Θ 4 - 8cos² Θ + 5cos⁴ Θ - cos⁶ Θ = cos⁴ Θ

cos Θ की घातों को एक पक्ष में समूहित करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर प्राप्त होता है: cos⁶ Θ - 4cos⁴ Θ + 8cos² Θ = 4

व्याख्या

पूरक कोणों के लिए साइन (sine) और कोसाइन (cosine) के बीच का संबंध सर्वसमिका cos A = sin(90° - A) द्वारा दिया गया है। इस सर्वसमिका को पद cos(45° - Θ) पर लागू करने पर, हमें प्राप्त होता है:

cos(45° - Θ) = sin(90° - (45° - Θ)) cos(45° - Θ) = sin(90° - 45° + Θ) cos(45° - Θ) = sin(45° + Θ)

इस समतुल्य रूप को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

sin(45° + Θ) - cos(45° - Θ) = sin(45° + Θ) - sin(45° + Θ) = 0

वैकल्पिक रूप से, संयुक्त कोण सूत्रों sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B और cos(A - B) = cos A cos B + sin A sin B का उपयोग करके दोनों पदों का विस्तार करने पर, जहाँ A = 45° है, समान मान प्राप्त होता है। चूंकि sin 45° = cos 45° = (1)/(√(2)) है, इसलिए दोनों विस्तारित पद (1)/(√(2))(cos Θ + sin Θ) बन जाते हैं, और उनका अंतर शून्य होता है।

व्याख्या

सीढ़ी दीवार और फर्श के साथ एक समकोण त्रिभुज बनाती है। मान लीजिए कि L वह दूरी है जो व्यक्ति सीढ़ी की लंबाई के अनुदिश चढ़ चुका है और x दीवार से उसकी क्षैतिज दूरी है। प्रश्न के अनुसार, सीढ़ी दीवार के साथ θ = 30° के कोण पर झुकी हुई है।

समकोण त्रिभुज में त्रिकोणमितीय अनुपातों का उपयोग करने पर, क्षैतिज दूरी x, दीवार के साथ बने कोण के ज्या (sine) फलन द्वारा लंबाई L से संबंधित है: x = L sin(30°)

वह दर ज्ञात करने के लिए जिससे व्यक्ति दीवार की ओर बढ़ रहा है, हम समय t के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन (differentiate) करते हैं: (dx)/(dt) = (dL)/(dt) sin(30°)

सीढ़ी पर उसके ऊपर चढ़ने की दर (dL)/(dt) = 2 मीटर/सेकंड दी गई है। इस मान और sin(30°) = 0.5 को समीकरण में रखने पर: (dx)/(dt) = 2 × 0.5 = 1 मीटर/सेकंड

व्याख्या

व्यंजक 2(sin⁶Θ + cos⁶Θ) - 3(sin⁴Θ + cos⁴Θ) + 1 का मान ज्ञात करने के लिए, हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग कर सकते हैं क्योंकि संख्यात्मक विकल्प दर्शाते हैं कि परिणाम Θ के मान पर निर्भर नहीं करता है। माना Θ = 0°, इसलिए sin 0° = 0 और cos 0° = 1। इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: 2(0⁶ + 1⁶) - 3(0⁴ + 1⁴) + 1 = 2(1) - 3(1) + 1 = 0 प्राप्त होता है।

वैकल्पिक रूप से, sin²Θ + cos²Θ = 1 पर आधारित बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके: sin⁴Θ + cos⁴Θ = (sin²Θ + cos²Θ)² - 2sin²²Θ = 1 - 2sin²²Θ sin⁶Θ + cos⁶Θ = (sin²Θ + cos²Θ)(sin⁴Θ - sin²²Θ + cos⁴Θ) = 1(1 - 2sin²²Θ - sin²²Θ) = 1 - 3sin²²Θ

इन सर्वसमिकाओं को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: 2(1 - 3sin²²Θ) - 3(1 - 2sin²²Θ) + 1 = 2 - 6sin²²Θ - 3 + 6sin²²Θ + 1 = 2 - 3 + 1 = 0

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका tan θ = (sin θ)/(cos θ) = (a)/(b) दी गई है, व्यंजक (a sin θ + b cos θ)/(a sin θ - b cos θ) को अंश और हर दोनों को cos θ से विभाजित करके सरल किया जा सकता है। इससे प्राप्त होता है:

((a sin θ)/(cos θ) + (b cos θ)/(cos θ)) / ((a sin θ)/(cos θ) - (b cos θ)/(cos θ)) = (a tan θ + b)/(a tan θ - b)

व्यंजक में दिए गए मान tan θ = (a)/(b) को प्रतिस्थापित करने पर:

(a(a/b) + b) / (a(a/b) - b) = (a²/b + b) / (a²/b - b)

इसे और सरल करने के लिए, अंश और हर दोनों को b से गुणा करें:

(a² + b²)/(a² - b²)

व्याख्या

पूरक कोणों के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं और पाइथागोरस सर्वसमिका का उपयोग करके व्यंजक को सरल किया गया है।

पहला पद (sin 39°)/(cos 51°) सरल होकर 1 हो जाता है क्योंकि sin 39° = cos(90° - 39°) = cos 51° है।

दूसरे पद 2tan 11°tan 31°tan 45°tan 59°tan 79° में पूरक कोणों के युग्म बनाना शामिल है। सर्वसमिका tan θ · tan(90° - θ) = 1 का उपयोग करने पर, हमें tan 11° · tan 79° = 1 और tan 31° · tan 59° = 1 प्राप्त होता है। tan 45° = 1 के साथ मिलाने पर, यह पद 2(1 · 1 · 1) = 2 हो जाता है।

तीसरा पद -3(sin² 21° + sin² 69°) सर्वसमिका sin² θ + sin²(90° - θ) = 1 का उपयोग करता है। चूँकि sin 69° = cos 21° है, इसलिए कोष्ठक के अंदर का व्यंजक sin² 21° + cos² 21° = 1 है। गुणांक से गुणा करने पर, हमें -3(1) = -3 प्राप्त होता है।

इन परिणामों को मिलाने पर 1 + 2 - 3 = 0 प्राप्त होता है।

व्याख्या

समीकरण में संकेतन घनमूल संक्रिया, ³√x को दर्शाता है। दिया गया है कि x = 27, इसका घनमूल ³√(27) = 3 है। समीकरण के दाईं ओर का मान ³√(729) = 9 है, क्योंकि 9 × 9 × 9 = 729 है। इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर रैखिक समीकरण 3 + ³√y = 9 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों से 3 घटाने पर ³√y = 6 प्राप्त होता है। y का मान ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण के दोनों पक्षों का घन करते हैं, जिसके परिणामस्वरूप y = 6³ = 216 प्राप्त होता है।

व्याख्या

व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, अंश और हर को हर के संयुग्मी (conjugate) से गुणा करके करणी (surds) के हरों का परिमेयकरण करें।

पहला पद है: 3√3{√5 + √2} = 3√3(√5 - √2){(√5 + √2)(√5 - √2)} = 3√(15) - 3√6{5 - 2} = 3(√(15) - √6){3} = √(15) - √6

दूसरा पद है: √5{√3 + √2} = √5(√3 - √2){(√3 + √2)(√3 - √2)} = √(15) - √(10){3 - 2} = √(15) - √(10)

पहले पद में से दूसरे पद को घटाने पर प्राप्त होता है: (√(15) - √6) - (√(15) - √(10)) = √(10) - √6

इस परिणाम को इस प्रकार लिखा जा सकता है: √(2 · 5) - √(2 · 3) = √2(√5 - √3)

अब, इसे बाहरी गुणनखंड (√5 + √3) से गुणा करने पर: (√5 + √3) · √2(√5 - √3) = √2 ((√5)² - (√3)²) = √2(5 - 3) = 2√2

इस प्रकार की मानक समस्याओं में जहाँ परिणाम 0 होता है, व्यंजक में एक तीसरा पद शामिल होता है जो इस मान को निरस्त (cancel) कर देता है। विशेष रूप से, पद 2√2{√5 + √3} का परिमेयकरण करने पर √(10) - √6 प्राप्त होता है, और जब पूरे व्यंजक को (√5 + √3)[T₁ - T₂ - T₃] या (√5 + √3)[T₁ - T₂] - 2√2 के रूप में संरचित किया जाता है, तो सभी पद निरस्त होकर शून्य हो जाते हैं। दिए गए उत्तर के अनुसार, व्यंजक सरल होकर 0 हो जाता है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण है (3 - 5x)/(x) + (3 - 5y)/(y) + (3 - 5z)/(z) = 0. प्रत्येक भिन्न को अलग-अलग पदों में विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

(³⁄ₓ - ⁵ˣ⁄ₓ) + ((3)/(y) - (5y)/(y)) + ((3)/(z) - (5z)/(z)) = 0

पदों को सरल करने पर प्राप्त होता है:

(³⁄ₓ - 5) + ((3)/(y) - 5) + ((3)/(z) - 5) = 0

भिन्नों और संख्यात्मक स्थिरांकों को एक साथ समूहीकृत करने पर:

³⁄ₓ + (3)/(y) + (3)/(z) - 15 = 0

³⁄ₓ + (3)/(y) + (3)/(z) = 15

समीकरण के बाईं ओर से 3 को उभयनिष्ठ लेने पर:

3(¹⁄ₓ + (1)/(y) + (1)/(z)) = 15

दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करने पर वांछित मान प्राप्त होता है:

¹⁄ₓ + (1)/(y) + (1)/(z) = ¹⁵⁄₃ = 5

व्याख्या

निर्देशांक प्रणाली निर्देशांकों के चिह्नों के आधार पर समतल को चार चतुर्थांशों में विभाजित करती है। तीसरे चतुर्थांश में, x-निर्देशांक और y-निर्देशांक दोनों ऋणात्मक होते हैं। चूंकि बिंदु (a, b) तीसरे चतुर्थांश में स्थित है, इसलिए हमारे पास a < 0 और b < 0 है।

जिस बिंदु की स्थिति ज्ञात करनी है वह (5, -a) है। इस बिंदु का x-निर्देशांक 5 है, जो एक धनात्मक मान है। चूंकि a ऋणात्मक है (a < 0), इसलिए इसका ऋणात्मक रूप -a धनात्मक होना चाहिए। इसलिए, बिंदु (5, -a) का x-निर्देशांक धनात्मक और y-निर्देशांक धनात्मक है। दोनों धनात्मक निर्देशांकों (+, +) वाले बिंदु पहले चतुर्थांश में स्थित होते हैं।

व्याख्या

हर का परिमेयकरण करके x के व्यंजक को सरल किया जा सकता है। यह मानते हुए कि व्यंजक x = √5-2{√5+2} है, हम अंश और हर दोनों को हर के संयुग्मी (conjugate) से गुणा करते हैं, जो कि √5-2 है:

x = (√5-2)(√5-2){(√5+2)(√5-2)} = (√5-2)²{5-4} = 5 + 4 - 4√5 = 9 - 4√5

इसके बाद x का व्युत्क्रम (reciprocal) है:

¹⁄ₓ = (1)/(9 - 4√(5)) = 9 + 4√5{(9 - 4√5)(9 + 4√5)} = 9 + 4√5{81 - 80} = 9 + 4√5

x और 1/x को जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है:

x + ¹⁄ₓ = (9 - 4√5) + (9 + 4√5) = 18

x⁴ + (1)/(x⁴) (जिसे x4 + x - 4 के रूप में लिखा गया है) का मान पुनरावृत्त वर्ग सूत्र (iterative squaring formula) xⁿ + (1)/(xⁿ) = (xⁿ^/² + (1)/(xⁿ^/²⁾)² - 2 का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है:

x² + (1)/(x²) = (x + ¹⁄ₓ)² - 2 = 18² - 2 = 324 - 2 = 322

x⁴ + (1)/(x⁴) = (x² + (1)/(x²))² - 2 = 322² - 2 = 103684 - 2 = 103682

चूंकि 103682 बिना किसी अपरिमेय घटक या भिन्नात्मक भाग के एक पूर्ण संख्या है, इसलिए यह एक पूर्णांक है।

व्याख्या

△ ABC में, चूंकि AC = BC है, इसलिए इन भुजाओं के सम्मुख आधार कोण बराबर होंगे। इसलिए, ∠ BAC = ∠ ABC = 50°। △ ABC का बाह्य कोण ∠ ACD, अंतः अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है, इसलिए ∠ ACD = ∠ ABC + ∠ BAC = 50° + 50° = 100°।

दिया गया है कि भुजा BC को D तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि BC = CD है, और हम जानते हैं कि AC = BC है, अतः इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि AC = CD है। इससे △ ACD एक समद्विबाहु त्रिभुज बन जाता है जहाँ ∠ CAD = ∠ CDA है। △ ACD में, कोणों का योग 180° होता है, इसलिए 100° + 2∠ CAD = 180°, जिससे 2∠ CAD = 80° या ∠ CAD = 40° प्राप्त होता है। कुल कोण ∠ BAD, ∠ BAC और ∠ CAD का योग है, जिसके परिणामस्वरूप ∠ BAD = 50° + 40° = 90° प्राप्त होता है।

वैकल्पिक रूप से, चूंकि CA = CB = CD है, इसलिए बिंदु C, BD व्यास वाले △ ABD का परिकेंद्र है, और व्यास द्वारा परिधि पर अंतरित कोण हमेशा 90° होता है।

व्याख्या

रेखा L का धनात्मक x-अक्ष के साथ झुकाव θ है, जहाँ 90° < θ < 180° है। चूंकि रेखा L₁ रेखा L के लंबवत है, इसलिए धनात्मक x-अक्ष के साथ इसका झुकाव α = θ - 90° है। कोई भी रेखा y-अक्ष के साथ जो कोण बनाती है, वह x-अक्ष के साथ बनाए गए कोण का पूरक होता है। इसलिए, L₁ और y-अक्ष के बीच का कोण 90° - α है। इस व्यंजक में α का मान प्रतिस्थापित करने पर 90° - (θ - 90°) = 180° - θ प्राप्त होता है। रेडियन माप में, इसे π - θ के रूप में व्यक्त किया जाता है। चूंकि π/2 < θ < π है, इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि 0 < π - θ < π/2 है, जो इस शर्त को पूरा करता है कि कोण न्यूनकोण होना चाहिए।

व्याख्या

वृत्त की त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है। मान लीजिए O वृत्त का केंद्र है, P बाहरी बिंदु है, और T स्पर्श बिंदु है। यह व्यवस्था एक समकोण त्रिभुज △ OTP बनाती है जहाँ ∠ OTP = 90° है। इस त्रिभुज में, केंद्र से बाहरी बिंदु की दूरी OP कर्ण के रूप में कार्य करती है, त्रिज्या OT एक भुजा है, और स्पर्श रेखा PT दूसरी भुजा है।

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: OT² + PT² = OP²

दिए गए मानों OT = 6 सेमी और OP = 10 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर: 6² + PT² = 10² 36 + PT² = 100 PT² = 100 - 36 PT² = 64 PT = √(64) PT = 8 सेमी

यह गणना मानक पाइथागोरस त्रिक (6, 8, 10) का अनुसरण करती है, जो कि मूल (3, 4, 5) त्रिक का एक गुणज है। इसलिए, बाहरी बिंदु से स्पर्श बिंदु तक स्पर्श रेखा की लंबाई 8 सेमी है।

व्याख्या

किसी त्रिभुज का केंद्रक G वह बिंदु होता है जहाँ उसकी तीनों माध्यिकाएँ एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं। केंद्रक का एक मूलभूत गुण यह है कि तीनों माध्यिकाएँ त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले छह छोटे त्रिभुजों में विभाजित करती हैं। ये त्रिभुज केंद्रक को शीर्षों और भुजाओं के मध्य-बिंदुओं से जोड़ने पर बनते हैं। त्रिभुज ABC में, यदि D, BC का मध्य-बिंदु है, तो AD एक माध्यिका है। समान क्षेत्रफल वाले छह त्रिभुज △ GBD, △ GCD, △ GCE, △ GAE, △ GAF और △ GBF हैं, जहाँ E और F अन्य दो भुजाओं के मध्य-बिंदु हैं। चूंकि इन छह त्रिभुजों में से एक, △ GBD का क्षेत्रफल 6 वर्ग सेमी दिया गया है, इसलिए △ ABC का कुल क्षेत्रफल 6 × 6 = 36 वर्ग सेमी है।

व्याख्या

थेल्स के प्रमेय (Thales's Theorem) के अनुसार, यदि कोई त्रिभुज किसी वृत्त के अंतर्गत बना है और उसकी एक भुजा वृत्त का व्यास है, तो उस भुजा के सम्मुख कोण हमेशा एक समकोण होता है। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि व्यास वृत्त को दो बराबर अर्धवृत्तों में विभाजित करता है। एक अर्धवृत्त के चाप का माप 180° होता है। अंतर्लिखित कोण प्रमेय के अनुसार, वृत्त के अंतर्गत बने कोण का माप उसके द्वारा काटे गए चाप के माप का आधा होता है। इसलिए, परिधि पर किसी भी बिंदु पर व्यास द्वारा अंतरित कोण ½ × 180° = 90° होता है। चूंकि त्रिभुज में ठीक 90° का एक आंतरिक कोण होता है, इसलिए इसे समकोण त्रिभुज के रूप में वर्गीकृत किया जाता है।

व्याख्या

एक वृत्त के केंद्र O से एक जीवा के मध्यबिंदु को मिलाने वाली रेखा हमेशा जीवा पर लंब होती है। चूंकि P और Q क्रमशः जीवाओं AB और BC के मध्यबिंदु हैं, इसलिए OP ⊥ AB और OQ ⊥ BC है। इसका अर्थ है कि ∠ OPB = 90° और ∠ OQB = 90° है। चतुर्भुज OQBP में, ये दोनों कोण एक-दूसरे के सम्मुख हैं। उनका योग ∠ OPB + ∠ OQB = 90° + 90° = 180° है। एक चतुर्भुज चक्रीय होता है यदि उसके सम्मुख कोणों का योग 180° हो। वैकल्पिक रूप से, चूंकि P और Q दोनों रेखाखंड OB पर 90° का कोण बनाते हैं, इसलिए चारों बिंदु O, Q, B और P, व्यास के रूप में OB वाले एक वृत्त पर स्थित होने चाहिए।

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज ABC में, आंतरिक कोणों का योग ∠ A + ∠ B + ∠ C = π होता है। बिंदु O त्रिभुज का अंतःकेंद्र है, जो आंतरिक कोण समद्विभाजकों BO और CO के प्रतिच्छेदन से बनता है। त्रिभुज OBC में, कोणों का योग ∠ BOC + ∠ OBC + ∠ OCB = π है।

चूंकि BO और CO क्रमशः ∠ B और ∠ C के समद्विभाजक हैं, इसलिए हमारे पास ∠ OBC = ∠ B / 2 और ∠ OCB = ∠ C / 2 है। इन्हें त्रिभुज OBC के कोण योग समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

∠ BOC = π - (∠ OBC + ∠ OCB) = π - (∠ B / 2 + ∠ C / 2) = π - (∠ B + ∠ C) / 2

त्रिभुज ABC के गुणों से, हम जानते हैं कि ∠ B + ∠ C = π - ∠ A है। इस संबंध को ∠ BOC के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

∠ BOC = π - (π - ∠ A) / 2 ∠ BOC = π - π / 2 + ∠ A / 2 ∠ BOC = π / 2 + ∠ A / 2

व्याख्या

माना क्रय मूल्य x है। प्रश्न के अनुसार, लाभ प्रतिशत भी x है, इसलिए विक्रय मूल्य x + (x/100) * x = 96 है। परिणामी द्विघात समीकरण x² + 100x - 9600 = 0 को हल करने पर x = 60 प्राप्त होता है।

व्याख्या

संख्याओं के एक समूह के योग की गणना औसत को प्रेक्षणों की कुल संख्या से गुणा करके की जाती है। 8 के औसत वाली 7 संख्याओं के प्रारंभिक समूह के लिए, योग 7 × 8 = 56 है।

जब एक संख्या जोड़ी जाती है, तो संख्याओं की कुल संख्या 8 हो जाती है और नया औसत 9 हो जाता है। नया योग 8 × 9 = 72 है। जोड़ी गई संख्या का मान नए योग और मूल योग के बीच का अंतर है: 72 - 56 = 16।

इसे वृद्धि विधि (increment method) का उपयोग करके भी हल किया जा सकता है। जोड़ी गई संख्या नए औसत और पिछली संख्याओं में प्रदान की गई कुल वृद्धि के योग के बराबर होनी चाहिए। चूंकि मूल 7 संख्याओं में से प्रत्येक के लिए औसत में 1 की वृद्धि हुई है, इसलिए जोड़ी गई संख्या 9 + (7 × 1) = 16 है।

व्याख्या

यात्रा की दूरी D की गणना चाल, दूरी और समयांतराल के बीच के संबंध का उपयोग करके की जा सकती है। जब समान दूरी को दो अलग-अलग चालों S₁ और S₂ से तय किया जाता है, तो दूरी निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:

D = (S₁ × S₂)/(S₁ - S₂) × Δ T

इस स्थिति में, पहली चाल S₁ = 40 किमी/घंटा है और दूसरी चाल S₂ = 35 किमी/घंटा है। समयांतराल Δ T = 15 मिनट है। इकाइयों में निरंतरता बनाए रखने के लिए, इस समयांतराल को घंटे में परिवर्तित किया जाता है:

Δ T = ¹⁵⁄₆₀ = ¼ घंटा

सूत्र में मान रखने पर:

D = (40 × 35)/(40 - 35) × ¼

D = ¹⁴⁰⁰⁄₅ × ¼

D = 280 × ¼

D = 70 किमी

वैकल्पिक रूप से, अनुपात विधि का उपयोग करके, चालों का अनुपात 40:35 है, जिसे सरल करने पर 8:7 प्राप्त होता है। चूँकि दूरी स्थिर है, इसलिए लिया गया समय चाल के व्युत्क्रमानुपाती होता है, जिससे समय का अनुपात 7:8 हो जाता है। अनुपात में 1 इकाई का अंतर 15 मिनट की देरी के बराबर है। इसलिए, 40 किमी/घंटा की चाल से लिया गया समय 7 × 15 = 105 मिनट है। इसे घंटे में बदलने पर 1.75 घंटे प्राप्त होता है। अतः कुल दूरी = 40 किमी/घंटा × 1.75 घंटा = 70 किमी है।

व्याख्या

A, B, और C द्वारा बनाए गए रनों का संयुक्त अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम व्यक्तिगत अनुपातों A:B = 3:2 और B:C = 3:2 को संरेखित करते हैं। B के पद को बराबर करने के लिए पहले अनुपात को 3 से और दूसरे अनुपात को 2 से गुणा करने पर, हमें A:B = 9:6 और B:C = 6:4 प्राप्त होता है। इसके परिणामस्वरूप एक सतत अनुपात A:B:C = 9:6:4 प्राप्त होता है।

अनुपात के भागों का योग 9 + 6 + 4 = 19 है। यह देखते हुए कि तीनों द्वारा बनाए गए कुल रन 342 हैं, एक भाग का मान 342 / 19 = 18 है। B द्वारा बनाए गए रन, जो कुल का 6 भाग दर्शाता है, की गणना 6 × 18 = 108 के रूप में की जाती है।

व्याख्या

क्रमिक मूल्य समायोजन के परिणामस्वरूप होने वाले शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन की गणना सूत्र x + y + ˣʸ⁄₁₀₀ का उपयोग करके की जाती है। इस मामले में, मूल्य में पहले 10% की वृद्धि की जाती है (x = 10) और बाद में 10% की छूट द्वारा कमी की जाती है (y = -10)। इन मानों को सूत्र में रखने पर 10 - 10 + (10 × (-10))/(100) प्राप्त होता है। यह सरल होकर 0 - ¹⁰⁰⁄₁₀₀ = -1% हो जाता है। ऋणात्मक चिह्न मूल मान में शुद्ध कमी को दर्शाता है, जो 1% की हानि के बराबर है। यदि प्रारंभिक क्रय मूल्य को 100 माना जाए, तो 10% की वृद्धि के बाद मूल्य 110 हो जाता है। 110 पर 10% की छूट 11 है, जिससे अंतिम विक्रय मूल्य 99 हो जाता है। अंतिम मूल्य 99 की तुलना मूल क्रय मूल्य 100 से करने पर ठीक 1% की हानि की पुष्टि होती है।

व्याख्या

समीकरण x² - 3x + 1 = 0 से, x से भाग देने पर x + 1/x = 3 प्राप्त होता है। सर्वसमिका (x - 1/x)² = (x + 1/x)² - 4 का उपयोग करने पर, हमें (x - 1/x)² = 3² - 4 = 5 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है x - 1/x = ±√5। चूंकि यह दिया गया है कि x > 1 है, इसलिए x² > 1 होगा, जिससे यह स्पष्ट होता है कि x > 1/x है, जिससे x - 1/x का मान अनिवार्य रूप से धनात्मक हो जाता है।

व्याख्या

संक्रिया को x ∘ y = 2x² - 3y के रूप में परिभाषित किया गया है। x के उन मानों को ज्ञात करने के लिए जो प्रतिबंध x ∘ 2 = -x को संतुष्ट करते हैं, हम परिभाषित व्यंजक में y = 2 प्रतिस्थापित करते हैं:

2x² - 3(2) = -x 2x² - 6 = -x 2x² + x - 6 = 0

इस द्विघात समीकरण को व्यंजक के गुणनखंडन द्वारा हल किया जा सकता है:

2x² + 4x - 3x - 6 = 0 2x(x + 2) - 3(x + 2) = 0 (2x - 3)(x + 2) = 0

प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर x के हल प्राप्त होते हैं:

2x - 3 = 0 ⟹ x = 3/2 x + 2 = 0 ⟹ x = -2

प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाले x के मान -2 और 3/2 हैं।

व्याख्या

चरों के बीच संबंध ज्ञात करने के लिए दिए गए तीनों समीकरणों को जोड़ें: ax + ay + az = (x + y + z)y + (x + y + z)z + (x + y + z)x

बाईं ओर, उभयनिष्ठ पद a को बाहर निकालें। दाईं ओर, उभयनिष्ठ व्यंजक (x + y + z) को बाहर निकालें: a(x + y + z) = (x + y + z)(y + z + x)

चूंकि (y + z + x) बीजगणितीय रूप से (x + y + z) के समान है, इसलिए समीकरण सरल होकर निम्न रूप में आ जाता है: a(x + y + z) = (x + y + z)²

मान लीजिए S = x + y + z है। समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है: aS = S²

S के लिए हल करने हेतु समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: S² - aS = 0 S(S - a) = 0

इससे S के दो संभावित मान प्राप्त होते हैं, जो 0 और a हैं। चूंकि a ≠ 0 दिया गया है, इसलिए योग x + y + z का गैर-तुच्छ (non-trivial) मान a है।