एसएससी सीजीएल टियर 1 2012 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करने के लिए जो 19, 35 और 59 को विभाजित करने पर प्रत्येक स्थिति में समान शेषफल छोड़े, संख्याओं के बीच के निरपेक्ष अंतर का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात कीजिए। अभीष्ट संख्या HCF(|35 - 19|, |59 - 35|, |59 - 19|) है।

अंतरों की गणना करने पर 35 - 19 = 16, 59 - 35 = 24, और 59 - 19 = 40 प्राप्त होता है। 16, 24 और 40 का HCF वह सबसे बड़ा पूर्णांक ज्ञात करके निर्धारित किया जाता है जो इन तीनों को विभाजित करता है। संख्याओं का गुणनखंड करने पर, 16 = 8 × 2, 24 = 8 × 3, और 40 = 8 × 5।

इन मानों में महत्तम समापवर्तक 8 है। मूल संख्याओं में से प्रत्येक को 8 से विभाजित करने पर समान शेषफल 3 प्राप्त होता है, क्योंकि 19 = (8 × 2) + 3, 35 = (8 × 4) + 3, और 59 = (8 × 7) + 3।

व्याख्या

मान लीजिए कि M, T, W, और Th क्रमशः सोमवार, मंगलवार, बुधवार और गुरुवार के तापमान को दर्शाते हैं। औसत की परिभाषा के आधार पर, पहले तीन दिनों के तापमान का योग M + T + W = 3 × 30°C = 90°C है। इसी प्रकार, मंगलवार, बुधवार और गुरुवार के तापमान का योग T + W + Th = 3 × 33°C = 99°C है।

गुरुवार और सोमवार के तापमान के बीच का अंतर ज्ञात करने के लिए, दूसरे योग में से पहले योग को घटाएं: (T + W + Th) - (M + T + W) = 99°C - 90°C Th - M = 9°C

यह देखते हुए कि सोमवार का तापमान 32°C था, इस मान को समीकरण में रखें: Th - 32°C = 9°C Th = 32°C + 9°C = 41°C

व्याख्या

a और b के दिए गए मानों से, हम देखते हैं कि वे एक-दूसरे के व्युत्क्रम हैं, जिसका अर्थ है ab = 1। उनका योग ज्ञात करने के लिए, हम हरों का परिमेयकरण करते हैं: a = √3 - √2{√3 + √2} × √3 - √2{√3 - √2} = (√3 - √2)²{3 - 2} = 3 + 2 - 2√6 = 5 - 2√6 b = √3 + √2{√3 - √2} × √3 + √2{√3 + √2} = (√3 + √2)²{3 - 2} = 3 + 2 + 2√6 = 5 + 2√6

योग a + b = (5 - 2√6) + (5 + 2√6) = 10।

मूल्यांकन करने योग्य व्यंजक (a²)/(b) + (b²)/(a) है। एक सामान्य हर लेने पर, यह (a³ + b³)/(ab) हो जाता है। चूँकि ab = 1 है, इसलिए व्यंजक सरल होकर a³ + b³ हो जाता है। बीजगणितीय सर्वसमिका a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b) का उपयोग करते हुए, हम परिकलित मानों को प्रतिस्थापित करते हैं: (10)³ - 3(1)(10) = 1000 - 30 = 970

व्याख्या

यह श्रृंखला गणितीय पैटर्न Tₙ = n³ - 2 का अनुसरण करती है, जहाँ n अनुक्रम में पद के स्थान को दर्शाता है। हम n के मान 1 से 6 तक रखकर इस पैटर्न को सत्यापित कर सकते हैं: n = 1 के लिए: 1³ - 2 = 1 - 2 = -1 n = 2 के लिए: 2³ - 2 = 8 - 2 = 6 n = 3 के लिए: 3³ - 2 = 27 - 2 = 25 n = 4 के लिए: 4³ - 2 = 64 - 2 = 62 n = 5 के लिए: 5³ - 2 = 125 - 2 = 123 n = 6 के लिए: 6³ - 2 = 216 - 2 = 214

श्रृंखला में अगला पद ज्ञात करने के लिए, हम n = 7 के लिए मान की गणना करते हैं। इसी तर्क का उपयोग करते हुए, हम 7 का घन लेते हैं और उसमें से 2 घटाते हैं, जिससे 7³ - 2 = 343 - 2 = 341 प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक त्रिभुज में, परिकेंद्र O वह बिंदु होता है जहाँ भुजाओं के लंब समद्विभाजक एक दूसरे को प्रतिच्छेद करते हैं। चूँकि OD, BC पर लंब है, इसलिए यह भुजा BC का लंब समद्विभाजक होना चाहिए। अतः, D, BC का मध्यबिंदु है, जिससे BD = DC = (BC)/(2) = ²⁴⁄₂ = 12 सेमी प्राप्त होता है।

परित्रिज्या, परिकेंद्र से त्रिभुज के किसी भी शीर्ष की दूरी होती है, इसलिए OB = 13 सेमी। समकोण त्रिभुज ODB में, हम पाइथागोरस प्रमेय लागू करते हैं:

OB² = OD² + BD²

ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

13² = OD² + 12² 169 = OD² + 144 OD² = 169 - 144 OD² = 25 OD = 5 सेमी

OD की लंबाई 5 सेमी है, जो पाइथागोरस त्रिक (5, 12, 13) के अनुरूप है।

व्याख्या

a² + b² का मान ज्ञात करने के लिए, मानक बीजगणितीय सर्वसमिका (ax + by)² + (bx - ay)² = (a² + b²)(x² + y²) का उपयोग करें।

दिए गए दोनों समीकरणों का वर्ग करें और उन्हें आपस में जोड़ें: (ax + by)² + (bx - ay)² = 6² + 2² a²x² + b²y² + 2abxy + b²x² + a²y² - 2abxy = 36 + 4

2abxy और -2abxy पद एक-दूसरे को निरस्त (cancel) कर देते हैं। a² और b² का गुणनखंड करके शेष पदों को समूहीकृत करें: a²(x² + y²) + b²(x² + y²) = 40 (a² + b²)(x² + y²) = 40

समीकरण में दी गई स्थिति x² + y² = 4 को प्रतिस्थापित करें: (a² + b²)(4) = 40 a² + b² = 40 / 4 = 10

व्याख्या

एक त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना सूत्र A = ½ × आधार × ऊँचाई का उपयोग करके की जाती है। त्रिज्या x वाले एक अर्धवृत्त में अंकित त्रिभुज के क्षेत्रफल को अधिकतम करने के लिए, हमें आधार और ऊँचाई दोनों को अधिकतम करना होगा। ऐसे त्रिभुज के लिए सबसे लंबा संभावित आधार अर्धवृत्त का व्यास है, जो कि 2x है। इस आधार से अर्धवृत्त की परिधि तक की अधिकतम संभावित ऊँचाई त्रिज्या x है, जो तब होती है जब शीर्ष चाप के मध्य बिंदु पर होता है। इन मानों को सूत्र में रखने पर A = ½ × 2x × x = x² प्राप्त होता है।

व्याख्या

मध्यबिंदु प्रमेय (Midpoint Theorem) के अनुसार, किसी त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्यबिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर होता है और उसकी लंबाई का आधा होता है। Δ ABC में, चूंकि D और E भुजाओं AB और AC के मध्यबिंदु हैं, इसलिए DE ∥ BC और DE = ½ BC होगा। मान लीजिए कि H, शीर्ष A से आधार BC पर खींची गई Δ ABC की ऊंचाई (altitude) है। चूंकि DE मध्यबिंदुओं को जोड़ता है, इसलिए A से DE की लंबवत दूरी H/2 है, और समांतर रेखाओं DE और BC के बीच की लंबवत दूरी भी H/2 है।

Δ ABC का क्षेत्रफल इस सूत्र द्वारा दिया गया है: क्षेत्रफल (Δ ABC) = ½ × BC × H

त्रिभुज PED आधार DE और शीर्ष P के साथ बनता है। चूंकि P बढ़ाई गई रेखा BC पर स्थित है, इसलिए आधार DE के सापेक्ष Δ PED की ऊंचाई समांतर रेखाओं DE और BC के बीच की स्थिर लंबवत दूरी है, जो कि H/2 है। Δ PED का क्षेत्रफल है: क्षेत्रफल (Δ PED) = ½ × DE × (H)/(2)

समीकरण में DE = ½ BC प्रतिस्थापित करने पर: क्षेत्रफल (Δ PED) = ½ × ( ½ BC ) × (H)/(2) = ⅛ × BC × H

इसकी तुलना मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल से करने पर: क्षेत्रफल (Δ PED) = ¼ × ( ½ × BC × H ) = ¼ × क्षेत्रफल (Δ ABC)

व्याख्या

दिए गए समीकरण a + ¹⁄ₐ = 1 से a² + (1)/(a²) का मान ज्ञात करने के लिए, हम बीजगणितीय सर्वसमिका (x + y)² = x² + y² + 2xy का उपयोग करते हैं। x = a और y = ¹⁄ₐ रखने पर, यह सर्वसमिका इस प्रकार हो जाती है:

(a + ¹⁄ₐ)² = a² + (1)/(a²) + 2 · a · ¹⁄ₐ (a + ¹⁄ₐ)² = a² + (1)/(a²) + 2

इस सर्वसमिका में दिए गए मान a + ¹⁄ₐ = 1 को प्रतिस्थापित करने पर:

1² = a² + (1)/(a²) + 2 1 = a² + (1)/(a²) + 2

वांछित व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

a² + (1)/(a²) = 1 - 2 a² + (1)/(a²) = -1

यह दृष्टिकोण परिणाम तक कुशलतापूर्वक पहुँचने के लिए व्युत्क्रम योग के मानक द्विघात संबंध का उपयोग करता है।

व्याख्या

सभी 19 प्रेक्षणों के योग की गणना इस प्रकार की जाती है: 19 × 24 = 456। पहले 10 प्रेक्षणों का योग 10 × 17 = 170 है, और अंतिम 10 प्रेक्षणों का योग 10 × 24 = 240 है। जब हम पहले 10 प्रेक्षणों के योग और अंतिम 10 प्रेक्षणों के योग को जोड़ते हैं, तो 10वें प्रेक्षण की गणना दो बार की जाती है क्योंकि यह पहले समूह का अंतिम तत्व और दूसरे समूह का प्रारंभिक तत्व है।

10वां प्रेक्षण ज्ञात करने के लिए, हम निम्नलिखित संबंध का उपयोग करते हैं: 10वां प्रेक्षण = (पहले 10 प्रेक्षणों का योग + अंतिम 10 प्रेक्षणों का योग) - 19 प्रेक्षणों का योग मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 10वां प्रेक्षण = (170 + 240) - 456 10वां प्रेक्षण = 410 - 456 = -46

व्याख्या

माना घड़ी का क्रय मूल्य CP है। 30% के लाभ का तात्पर्य है कि प्रारंभिक विक्रय मूल्य, CP का 130% है। 10% की हानि का तात्पर्य है कि वैकल्पिक विक्रय मूल्य, CP का 90% है। इन दोनों मूल्य बिंदुओं के बीच का संख्यात्मक अंतर 80 रुपये दिया गया है।

30% लाभ और 10% हानि के बीच प्रतिशत का अंतर 30% - (-10%) = 40% है। हम यह संबंध स्थापित कर सकते हैं: CP का 40% = 80 ⁴⁰⁄₁₀₀ × CP = 80 CP = (80 × 100)/(40) CP = 2 × 100 = 200

व्याख्या

मान लीजिए रेलगाड़ी की लंबाई L मीटर है और उसकी गति V किमी/घंटा है। जब कोई रेलगाड़ी समान दिशा में चल रहे व्यक्तियों को पार करती है, तो सापेक्ष गति उनकी गतियों का अंतर होती है। चूंकि दूरी = गति × समय, और 1 किमी/घंटा = ⁵⁄₁₈ मीटर/सेकंड, हम रेलगाड़ी की लंबाई के लिए दो समीकरण बना सकते हैं:

2 किमी/घंटा की गति से चलने वाले पहले व्यक्ति के लिए: L = (V - 2) × ⁵⁄₁₈ × 9 = ⁵⁄₂(V - 2)

4 किमी/घंटा की गति से चलने वाले दूसरे व्यक्ति के लिए: L = (V - 4) × ⁵⁄₁₈ × 10 = ²⁵⁄₉(V - 4)

L के दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: ⁵⁄₂(V - 2) = ²⁵⁄₉(V - 4) 9(V - 2) = 10(V - 4) 9V - 18 = 10V - 40 V = 22 किमी/घंटा

पहले समीकरण में V = 22 का मान रखने पर: L = ⁵⁄₂(22 - 2) = ⁵⁄₂ × 20 = 50 मीटर

व्याख्या

दोनों वृत्तों की त्रिज्याएँ r₁ = 15 सेमी और r₂ = 20 सेमी हैं, और उनके केंद्रों के बीच की दूरी d = 25 सेमी है। ये मान पाइथागोरियन त्रिक (Pythagorean triple) 15² + 20² = 225 + 400 = 625 = 25² को संतुष्ट करते हैं। इससे यह पुष्टि होती है कि दोनों वृत्तों के केंद्रों और वृत्तों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं में से एक बिंदु द्वारा निर्मित त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है, जहाँ केंद्रों के बीच की दूरी कर्ण है।

उभयनिष्ठ जीवा केंद्रों को मिलाने वाली रेखा पर लंब होती है और इसके द्वारा समद्विभाजित होती है। मान लीजिए कि प्रतिच्छेदन बिंदु से केंद्रों को मिलाने वाली रेखा की दूरी h है (समकोण त्रिभुज के कर्ण पर डाला गया लंब)। उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई 2h है। समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना इसकी भुजाओं का उपयोग करके की जा सकती है: क्षेत्रफल = ½ × 15 × 20 = 150 सेमी²। क्षेत्रफल को कर्ण और लंब का उपयोग करके भी व्यक्त किया जा सकता है: क्षेत्रफल = ½ × 25 × h। क्षेत्रफल के दोनों समीकरणों की तुलना करने पर 150 = ²⁵ʰ⁄₂ प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर 300 = 25h प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप h = 12 सेमी मिलता है। इसलिए, उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई 2 × 12 = 24 सेमी है।

व्याख्या

अंकित मूल्य (MP) और क्रय मूल्य (CP) के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया गया है: MP/CP = (100 + लाभ%) / (100 - कमीशन%)। प्रारंभिक मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ लाभ 20% है और कमीशन 10% है:

MP/CP = (100 + 20) / (100 - 10) = 120 / 90 = 4 / 3

इसका अर्थ है MP = (4/3) CP। जब कमीशन बढ़ाकर 15% कर दिया जाता है, तो नया विक्रय मूल्य (SP) हो जाता है:

SP = MP × (100 - 15) / 100 = (4/3) CP × 85 / 100 SP = (4/3) × (17/20) CP = 17/15 CP

लाभ प्रतिशत की गणना ((SP - CP) / CP) × 100 के रूप में की जाती है:

लाभ % = (17/15 - 1) × 100 = (2/15) × 100 = 40/3 = 13 1/3%

व्याख्या

√x + 1/√x का मान ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले 1/x का मान निर्धारित करते हैं। दिया गया है कि x = 2 + √3, हम अंश और हर को संयुग्मी (conjugate) 2 - √3 से गुणा करके 1/x का परिमेयकरण करते हैं:

1/x = 1 / (2 + √3) × (2 - √3) / (2 - √3) = (2 - √3) / (2² - (√3)²) = (2 - √3) / (4 - 3) = 2 - √3

अब, हम योग x + 1/x की गणना करते हैं:

x + 1/x = (2 + √3) + (2 - √3) = 4

जिस व्यंजक का मान हमें ज्ञात करना है, वह इस योग से बीजगणितीय सर्वसमिका (algebraic identity) (a + b)² = a² + b² + 2ab द्वारा संबंधित है। माना a = √x और b = 1/√x:

(√x + 1/√x)² = (√x)² + (1/√x)² + 2(√x)(1/√x) (√x + 1/√x)² = x + 1/x + 2

समीकरण में x + 1/x = 4 का मान रखने पर:

(√x + 1/√x)² = 4 + 2 = 6

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर अंतिम परिणाम प्राप्त होता है:

√x + 1/√x = √6

व्याख्या

प्रश्न द्वारा स्थापित कार्यक्षमता का संबंध यह है कि 12 पुरुष 18 महिलाओं के बराबर कार्य करते हैं, जिसका अर्थ है कि 1 पुरुष = 18/12 = 1.5 महिलाओं के बराबर है। दूसरे समूह के लिए, 8 पुरुषों और 16 महिलाओं के कुल कार्यबल को पूरी तरह से महिलाओं के रूप में इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: (8 × 1.5) + 16 = 12 + 16 = 28 महिलाएं। कार्य-दर सूत्र M₁D₁ = M₂D₂ का उपयोग करने पर, जहाँ M₁ = 18 महिलाएं और D₁ = 14 दिन हैं, M₂ = 28 महिलाओं के साथ नई अवधि D₂ की गणना इस प्रकार होगी: 18 × 14 = 28 × D₂। D₂ का मान ज्ञात करने पर, हमें प्राप्त होता है: D₂ = (18 × 14) / 28 = 252 / 28 = 9 दिन।

ऐसी "और/या" (And/Or) समस्याओं के लिए एक त्वरित शॉर्टकट सूत्र है: समय = दिन / ((m)/(M) + (w)/(W)), जहाँ m, w "और" (And) वाले मान हैं तथा M, W "या" (Or) वाले मान हैं। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 14 / (8/12 + 16/18) = 14 / (2/3 + 8/9) = 14 / (6/9 + 8/9) = 14 / (14/9) = 9 दिन।

व्याख्या

एक निश्चित कुल लेनदेन राशि (दोनों मामलों में 1 रुपया) के लिए, वस्तुओं की संख्या क्रय मूल्य (CP) के प्रतिशत के रूप में व्यक्त विक्रय मूल्य के व्युत्क्रमानुपाती होती है।

पहले मामले में, 4% की हानि का अर्थ है कि विक्रय मूल्य क्रय मूल्य (CP) का 100% - 4% = 96% है। दूसरे मामले में, 44% का वांछित लाभ प्राप्त करने के लिए विक्रय मूल्य क्रय मूल्य (CP) का 100% + 44% = 144% होना चाहिए।

मान लीजिए n₁ वस्तुओं की प्रारंभिक संख्या है और n₂ वस्तुओं की आवश्यक संख्या है। व्युत्क्रम संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया गया है: n₁ × प्रतिशत₁ = n₂ × प्रतिशत₂

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 9 × 96 = n₂ × 144 n₂ = (9 × 96)/(144) n₂ = ⁸⁶⁴⁄₁₄₄ = 6

44% का लाभ प्राप्त करने के लिए, व्यक्ति को एक रुपये में 6 वस्तुएं बेचनी चाहिए।

व्याख्या

दो घनों के अंतर के लिए बीजीय सर्वसमिका सूत्र a³ - b³ = (a - b)(a² + b² + ab) द्वारा दी गई है।

दिए गए मान a³ - b³ = 56 और a - b = 2 को हम सीधे सर्वसमिका में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

56 = 2 × (a² + b² + ab)

दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:

a² + b² + ab = ⁵⁶⁄₂ = 28

व्याख्या

दिए गए समीकरण a = tan θ - cot θ और b = cos θ - sin θ हैं, हम प्रत्येक पद को अलग-अलग सरल कर सकते हैं।

सबसे पहले, a को साइन और कोसाइन के पदों में व्यक्त करें: a = (sin θ)/(cos θ) - (cos θ)/(sin θ) = (sin² θ - cos² θ)/(sin θ cos θ)

अब, a² + 4 की गणना करें: a² + 4 = ( (sin² θ - cos² θ)/(sin θ cos θ) )² + 4 = ((sin² θ - cos² θ)² + 4 sin² θ cos² θ)/(sin² θ cos² θ)

बीजगणितीय सर्वसमिका (x - y)² + 4xy = (x + y)² का उपयोग करने पर, जहाँ x = sin² θ और y = cos² θ है: a² + 4 = ((sin² θ + cos² θ)²)/(sin² θ cos² θ) = (1)/(sin² θ cos² θ)

इसके बाद, b वाले पद को सरल करें: b = cos θ - sin θ b² = (cos θ - sin θ)² = cos² θ + sin² θ - 2 sin θ cos θ = 1 - 2 sin θ cos θ b² - 1 = - 2 sin θ cos θ (b² - 1)² = (- 2 sin θ cos θ)² = 4 sin² θ cos² θ

अंत में, दोनों परिणामों को गुणा करें: (a² + 4)(b² - 1)² = ( (1)/(sin² θ cos² θ) ) · (4 sin² θ cos² θ) = 4

व्याख्या

x-अक्ष, y-अक्ष और दो समानांतर रेखाओं 3x + 4y = 12 तथा 6x + 8y = 60 द्वारा घिरा क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में एक समलंब चतुर्भुज बनाता है। इस क्षेत्रफल की गणना इन रेखाओं द्वारा निर्देशांक अक्षों के साथ बनने वाले दो समकोण त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के बीच का अंतर ज्ञात करके की जा सकती है।

पहली रेखा 3x + 4y = 12 के लिए, y = 0 रखने पर x-अंतःखंड (x-intercept) प्राप्त होता है, जिससे 3x = 12 या x = 4 प्राप्त होता है। x = 0 रखने पर y-अंतःखंड प्राप्त होता है, जिससे 4y = 12 या y = 3 प्राप्त होता है। छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल A₁ = ½ × आधार × ऊँचाई = ½ × 4 × 3 = 6 वर्ग इकाई है।

दूसरी रेखा 6x + 8y = 60 के लिए, जिसे सरल करने पर 3x + 4y = 30 प्राप्त होता है, y = 0 रखने पर x-अंतःखंड प्राप्त होता है, जिससे 3x = 30 या x = 10 प्राप्त होता है। x = 0 रखने पर y-अंतःखंड प्राप्त होता है, जिससे 4y = 30 या y = 7.5 प्राप्त होता है। बड़े त्रिभुज का क्षेत्रफल A₂ = ½ × 10 × 7.5 = 37.5 वर्ग इकाई है।

समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल इन दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है: A₂ - A₁ = 37.5 - 6 = 31.5 वर्ग इकाई।

व्याख्या

रेखा ax + by + c = 0 और निर्देशांक अक्षों द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र (c²)/(2|ab|) द्वारा दिया जाता है। रेखा 2x - 3y + 6 = 0 के लिए, गुणांक a = 2, b = -3, और c = 6 हैं। इन मानों को सूत्र में रखने पर:

क्षेत्रफल = (6²)/(2 × |2 × -3|) = (36)/(2 × 6) = ³⁶⁄₁₂ = 3 वर्ग इकाई।

वैकल्पिक रूप से, रेखा के अंतःखंड (intercepts) ज्ञात करने से समकोण त्रिभुज का आधार और ऊंचाई प्राप्त होती है। y = 0 रखने पर x-अंतःखंड 2x = -6 प्राप्त होता है, इसलिए x = -3। x = 0 रखने पर y-अंतःखंड -3y = -6 प्राप्त होता है, इसलिए y = 2। आधार और ऊंचाई की लंबाई इन अंतःखंडों के निरपेक्ष मान (absolute values) हैं, जो क्रमशः 3 और 2 इकाई हैं। क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊंचाई = ½ × 3 × 2 = 3 वर्ग इकाई।

व्याख्या

दिए गए समीकरण (a² - b²)sin Θ + 2abcos Θ = a² + b² को दाईं ओर के पद, a² + b² से पूरे समीकरण को विभाजित करके मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका से तुलना की जा सकती है। इससे प्राप्त होता है:

(a² - b²)/(a² + b²) sin Θ + (2ab)/(a² + b²) cos Θ = 1

हम जानते हैं कि किसी भी कोण Θ के लिए, सर्वसमिका sin² Θ + cos² Θ = 1 सत्य होती है। गुणांकों की तुलना करने पर, हम पहचान सकते हैं:

sin Θ = (a² - b²)/(a² + b²) cos Θ = (2ab)/(a² + b²)

यह पहचान मान्य है क्योंकि इन गुणांकों के वर्गों का योग 1 के बराबर है, जो पाइथागोरियन त्रिक (Pythagorean triplet) की स्थिति को संतुष्ट करता है: (a² - b²)² + (2ab)² = a⁴ - 2a²b² + b⁴ + 4a²b² = a⁴ + 2a²b² + b⁴ = (a² + b²)².

tan Θ का मान ज्ञात करने के लिए, हम sin Θ और cos Θ के अनुपात का उपयोग करते हैं:

tan Θ = (sin Θ)/(cos Θ) = ((a² - b²) / (a² + b²))/((2ab) / (a² + b²))

उभयनिष्ठ हर a² + b² आपस में कट जाता है, जिसके परिणामस्वरूप प्राप्त होता है:

tan Θ = (a² - b²)/(2ab)

व्याख्या

प्रभात द्वारा अर्जित लाभ, आशीष से प्राप्त ब्याज और बैंक को भुगतान किए गए ब्याज के बीच का अंतर है। चूंकि दोनों लेन-देन के लिए मूलधन P और समय अवधि T समान हैं, इसलिए शुद्ध लाभ वार्षिक ब्याज दरों के अंतर से निर्धारित होता है।

माना बैंक को भुगतान की जाने वाली ब्याज दर R₁ = 8% है और आशीष से प्राप्त ब्याज दर R₂ = 12% है। T = 12 वर्षों में कुल लाभ इस सूत्र द्वारा दिया गया है: लाभ = (P × T × (R₂ - R₁))/(100)

समीकरण में ज्ञात मानों को रखने पर: 960 = (P × 12 × (12 - 8))/(100) 960 = (P × 12 × 4)/(100) 960 = (48P)/(100)

मूलधन P ज्ञात करने के लिए, समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: P = (960 × 100)/(48) P = 20 × 100 P = 2000

व्याख्या

मान लीजिए कि r वृत्त की त्रिज्या है। चूंकि जीवा CD त्रिज्या के बराबर है, इसलिए OC = OD = CD = r। इससे △ OCD एक समबाहु त्रिभुज बन जाता है, इसलिए जीवा CD द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण ∠ COD = 60° है। किसी जीवा द्वारा परिधि पर किसी भी बिंदु पर अंतरित कोण, केंद्र पर अंतरित कोण का आधा होता है। इसलिए, ∠ CBD = ½ ∠ COD = (60°)/(2) = 30°।

चूंकि AB व्यास है, इसलिए अर्धवृत्त में बना कोण ∠ ACB = 90° है। जब AC को P तक बढ़ाया जाता है, तो कोण ∠ BCP, ∠ ACB का संपूरक होता है, इसलिए ∠ BCP = 180° - 90° = 90°। अब △ BCP पर विचार करें। एक त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग 180° होता है। हमारे पास ∠ BCP = 90° है और ∠ CBP वही है जो ∠ CBD है, जो कि 30° है। इस प्रकार, ∠ CPB = 180° - (90° + 30°) = 60°। चूंकि P बढ़ाई गई रेखाओं AC और BD का प्रतिच्छेदन बिंदु है, इसलिए ∠ APB वही है जो ∠ CPB है, जिससे इसका माप 60° प्राप्त होता है।

व्याख्या

बिंदु की घात प्रमेय (Power of a Point theorem) के अनुसार, केंद्र O और त्रिज्या r वाले एक वृत्त के बाहर स्थित बिंदु P के लिए, यदि P से खींची गई एक छेदक रेखा वृत्त को बिंदुओं A और B पर प्रतिच्छेद करती है, तो गुणनफल PA × PB, OP² - r² के बराबर होता है।

दिए गए आंकड़ों से, PA = 9 सेमी और AB = 7 सेमी है। बिंदु P से दूसरे प्रतिच्छेदन बिंदु B तक की कुल लंबाई PB = PA + AB = 9 + 7 = 16 सेमी है। केंद्र से दूरी OP = 13 सेमी है।

सूत्र में मान रखने पर: PA × PB = OP² - r² 9 × 16 = 13² - r² 144 = 169 - r² r² = 169 - 144 r² = 25 r = √(25) = 5 सेमी

यह गणना वृत्त की ज्यामिति के संबंध में बिंदु की घात को केंद्र से दूरी के साथ समीकृत करके त्रिज्या निर्धारित करती है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण a + 1/(a+2) = 0 है, पदों को सुसंगत बनाने के लिए दोनों पक्षों में 2 जोड़ें: (a + 2) + 1/(a+2) = 2

मान लीजिए x = a + 2 है। समीकरण x + 1/x = 2 हो जाता है। किसी भी वास्तविक संख्या x के लिए, x और उसके व्युत्क्रम का योग 2 के बराबर केवल और केवल तभी होता है जब x = 1 हो। इसे द्विघात समीकरण x² - 2x + 1 = 0 को हल करके दिखाया जा सकता है, जो कि (x - 1)² = 0 है, जिससे x = 1 प्राप्त होता है।

मान ज्ञात करने वाला व्यंजक (a + 2)² + 1/(a + 2)³ है। इस व्यंजक में x = a + 2 प्रतिस्थापित करने पर, हमें x² + 1/x³ प्राप्त होता है। चूंकि x = 1 है, इसलिए मान होगा: 1² + 1/1³ = 1 + 1 = 2

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos² α = 1 - sin² α का उपयोग करने पर, समीकरण 2 sin α + 15 cos² α = 7 को sin α के पदों में एक द्विघात समीकरण के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

2 sin α + 15(1 - sin² α) = 7 2 sin α + 15 - 15 sin² α = 7 15 sin² α - 2 sin α - 8 = 0

मध्य पद को विभाजित करके द्विघात समीकरण को हल करने पर: 15 sin² α - 12 sin α + 10 sin α - 8 = 0 3 sin α (5 sin α - 4) + 2 (5 sin α - 4) = 0 (3 sin α + 2)(5 sin α - 4) = 0

इससे, हमें sin α = 4/5 या sin α = -2/3 प्राप्त होता है। चूंकि α एक धनात्मक न्यून कोण (0 < α < π/2) है, इसलिए sin α का मान धनात्मक होना चाहिए। इसलिए, sin α = 4/5।

sin α = 4/5 वाले एक समकोण त्रिभुज में, लंब 4 है और कर्ण 5 है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर, आधार √(5² - 4²) = 3 है। cot α का मान आधार और लंब के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है:

cot α = (आधार)/(लंब) = ¾

व्याख्या

माना x = 876543। बीजगणितीय सर्वसमिका (a - 1)(a + 1) = a² - 1 का उपयोग करके इस व्यंजक को सरल किया जा सकता है। व्यंजक में x को प्रतिस्थापित करके, हम पदों को निम्नानुसार निरूपित कर सकते हैं:

अंश: 1 + 876542 × 876544 = 1 + (x - 1)(x + 1) सर्वसमिका लागू करने पर: 1 + (x² - 1) = x²

हर: 876543 × 876543 = x²

इसके बाद व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:

(x²)/(x²) = 1

यह प्रतिस्थापन विधि बड़े संख्यात्मक मानों को एक सरल बीजगणितीय अनुपात में बदलकर गणना को हल करती है।

व्याख्या

समरूप त्रिभुजों के लिए, उनके परिमापों का अनुपात उनकी किन्हीं दो संगत भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है। त्रिभुज Δ ABC और Δ PQR में, संबंध को निम्नलिखित सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है:

(Δ ABC का परिमाप)/(Δ PQR का परिमाप) = (AB)/(PQ)

दिया गया है कि Δ ABC का परिमाप 36 सेमी है और दूसरे त्रिभुज (Δ PQR) का परिमाप 24 सेमी है, तथा भुजा PQ की लंबाई 10 सेमी है, इन मानों को समीकरण में रखने पर:

³⁶⁄₂₄ = (AB)/(10)

अंश और हर दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक, 12 से विभाजित करके भिन्न ³⁶⁄₂₄ को सरल करने पर, हमें प्राप्त होता है:

³⁄₂ = (AB)/(10)

AB का मान ज्ञात करने के लिए, तिर्यक गुणा (cross-multiply) करने पर:

2 × AB = 3 × 10

2 × AB = 30

AB = ³⁰⁄₂ = 15 सेमी

व्याख्या

दिया गया अनुक्रम प्रथम दस प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों, 1², 2², 3², 4², 5², 6², 7², 8², 9², 10² को दर्शाता है। प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों के योग की गणना सूत्र Sₙ = ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾⁽²ⁿ⁺¹⁾⁄₆ का उपयोग करके की जाती है। औसत ज्ञात करने के लिए, हम योग को पदों की कुल संख्या n से विभाजित करते हैं, जिससे निम्नलिखित सूत्र प्राप्त होता है:

औसत = ⁽ⁿ⁺¹⁾⁽²ⁿ⁺¹⁾⁄₆

इस सूत्र में n = 10 रखने पर:

औसत = ((10 + 1)(2 × 10 + 1))/(6) औसत = (11 × 21)/(6) औसत = (11 × 7)/(2) औसत = ⁷⁷⁄₂ = 38.5

वैकल्पिक रूप से, सीधे योग की गणना करने पर: 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 + 81 + 100 = 385। योग को प्रेक्षणों की संख्या से विभाजित करने पर, 385 / 10, औसत 38.5 प्राप्त होता है।

व्याख्या

ऊर्ध्वाधर रेखा x = 3 और क्षैतिज रेखा y = 4 का प्रतिच्छेदन बिंदु ठीक बिंदु (3, 4) है। मूल बिंदु (0, 0) और कार्तीय तल में किसी भी बिंदु (x, y) के बीच की दूरी d सूत्र d = √(x² + y²) द्वारा दी जाती है। प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांकों को सूत्र में रखने पर, हम गणना करते हैं: d = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √(25)। इससे 5 इकाई की दूरी प्राप्त होती है, जो एक मानक 3-4-5 पाइथागोरियन त्रिक के कर्ण को भी दर्शाती है।

व्याख्या

संख्या N को N = 899k + 65 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ k भागफल है। जब हम इस संख्या को 31 से विभाजित करते हैं, तो हम प्रत्येक पद की विभाज्यता को देखते हैं। चूंकि 899 = 31 × 29 है, इसलिए पद 899k, 31 से पूर्णतः विभाज्य है और कोई शेषफल नहीं बचता है। परिणामस्वरूप, N को 31 से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल वही होगा जो 65 को 31 से विभाजित करने पर प्राप्त होता है। भाग 65 = (31 × 2) + 3 करने पर, हम पाते हैं कि शेषफल 3 है।

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज में, तीनों माध्यिकाएँ त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले छह छोटे त्रिभुजों में विभाजित करती हैं। चूंकि AD, BE, और CF माध्यिकाएँ हैं और G केंद्रक है, इसलिए बनने वाले छह त्रिभुज △ AFG, △ BFG, △ BDG, △ CDG, △ CEG, और △ AEG हैं।

इनमें से प्रत्येक छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल मूल त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल का ठीक 1/6 भाग होता है। इसलिए, △ BDG के क्षेत्रफल की गणना इस प्रकार की जाती है:

△ BDG का क्षेत्रफल = ⅙ × △ ABC का क्षेत्रफल

△ BDG का क्षेत्रफल = ⅙ × 72 = 12 वर्ग सेमी

व्याख्या

मानक बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² + (a - b)² = 2(a² + b²) का उपयोग करके, हम दिए गए चरों के मान प्रतिस्थापित करके सीधे आवश्यक मान ज्ञात कर सकते हैं। दिया गया है कि a + b = 6 और a - b = 2, तो व्यंजक 6² + 2² = 2(a² + b²) हो जाता है। वर्गों का मान निकालने पर 36 + 4 = 2(a² + b²) प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप 40 = 2(a² + b²) प्राप्त होता है।

वैकल्पिक रूप से, रैखिक समीकरणों के निकाय को हल करने पर, a + b = 6 और a - b = 2 को जोड़ने पर 2a = 8 प्राप्त होता है, इसलिए a = 4। पहले समीकरण में से दूसरे समीकरण को घटाने पर 2b = 4 प्राप्त होता है, इसलिए b = 2। इन विशिष्ट मानों को अभीष्ट व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हम गणना करते हैं: 2(4² + 2²) = 2(16 + 4) = 2(20) = 40।

व्याख्या

यह अनुक्रम एक ऐसे पैटर्न का अनुसरण करता है जहाँ क्रमागत पदों के बीच का अंतर 2 से बढ़ता है, जिससे क्रमागत सम संख्याओं की एक श्रेणी बनती है। दिए गए पदों के बीच के अंतर की गणना करने पर: 7 - 3 = 4 13 - 7 = 6 21 - 13 = 8 अंतरों की इस समांतर श्रेणी का अनुसरण करते हुए, अगला अंतर 10 होना चाहिए। चौथे पद में 10 जोड़ने पर 21 + 10 = 31 प्राप्त होता है। शेष अनुक्रम को सत्यापित करने के लिए, 31 में 12 जोड़ने पर 31 + 12 = 43 प्राप्त होता है, और 43 में 14 जोड़ने पर 43 + 14 = 57 प्राप्त होता है। 43 और 57 दोनों दिए गए अनुक्रम के बाद के पदों से मेल खाते हैं। अतः, पाँचवाँ पद 33 विषम (असंगत) पद है क्योंकि इसके स्थान पर 31 होना चाहिए था।

वैकल्पिक रूप से, यह अनुक्रम सामान्य सूत्र Tₙ = n² + n + 1 के अनुरूप है। पहले चार पदों के लिए, n = 1 रखने पर 3, n = 2 रखने पर 7, n = 3 रखने पर 13, और n = 4 रखने पर 21 प्राप्त होता है। n = 5 के लिए, सूत्र से 5² + 5 + 1 = 31 प्राप्त होता है, जिससे यह पुष्टि होती है कि 33 गलत है।

व्याख्या

O केंद्र वाले एक वृत्त में, मान लीजिए कि P एक बाहरी बिंदु है जिससे स्पर्श रेखाएं PA और PB खींची गई हैं। त्रिज्याएं OA और OB स्पर्श बिंदुओं पर स्पर्श रेखाओं पर लंबवत हैं, जिससे ∠ OAP = ∠ OBP = 90° बनता है। चतुर्भुज OAPB में, आंतरिक कोणों का योग 360° होता है, जिससे संबंध ∠ APB = 180° - ∠ AOB प्राप्त होता है। दिया गया है कि ∠ AOB = 120°, हम गणना करते हैं ∠ APB = 180° - 120° = 60°।

त्रिभुज △ OAP और △ OBP RHS (समकोण-कर्ण-भुजा) कसौटी द्वारा सर्वांगसम हैं क्योंकि वे कर्ण OP साझा करते हैं, उनकी त्रिज्याएं OA = OB बराबर हैं, और A तथा B पर समकोण हैं। परिणामस्वरूप, OP कोण ∠ APB को समद्विभाजित करता है। इसका अर्थ है कि ∠ APO = ½ ∠ APB = ½ × 60° = 30°। अभीष्ट अनुपात ∠ APB : ∠ APO = 60° : 30° है, जो सरल होकर 2 : 1 हो जाता है।

व्याख्या

मान लीजिए H = 90 मीटर चट्टान की ऊँचाई है और h मीनार की ऊँचाई है। ऊँचाई H के शिखर से किसी वस्तु के शिखर (₁) और आधार (₂) के अवनमन कोणों वाली समस्याओं में, ऊँचाई h को निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है: h = H ( 1 - tan ₁ / tan ₂ )

दिए गए मानों H = 90, ₁ = 30°, और ₂ = 60° को सूत्र में रखने पर: h = 90 ( 1 - (tan 30°)/(tan 60°) )

tan 30° = 1/√3 और tan 60° = √3 के मानक मानों का उपयोग करने पर: h = 90 ( 1 - (1/√3)/√3 ) h = 90 ( 1 - ⅓ ) h = 90 × ⅔ h = 60 मीटर।

व्याख्या

वह न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक ज्ञात करने के लिए जो एक पूर्ण वर्ग है और 21, 36 तथा 66 से विभाज्य है, हम सबसे पहले प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात करते हैं: 21 = 3 × 7 36 = 2² × 3² 66 = 2 × 3 × 11

लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) इन संख्याओं में मौजूद प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात लेकर ज्ञात किया जाता है: LCM = 2² × 3² × 7¹ × 11¹ = 2772

किसी संख्या के पूर्ण वर्ग होने के लिए, उसके अभाज्य गुणनखंडन में प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड का घातांक सम होना चाहिए। ऊपर परिकलित LCM में, अभाज्य गुणनखंडों 7 और 11 के घातांक विषम (7¹ और 11¹) हैं। इन संख्याओं से विभाज्य सबसे छोटा पूर्ण वर्ग प्राप्त करने के लिए, हमें सभी घातांकों को सम बनाने के लिए LCM को अनुपस्थित अभाज्य गुणनखंडों से गुणा करना होगा।

अभीष्ट पूर्ण वर्ग = (2² × 3² × 7¹ × 11¹) × (7¹ × 11¹) अभीष्ट पूर्ण वर्ग = 2² × 3² × 7² × 11² अभीष्ट पूर्ण वर्ग = (2 × 3 × 7 × 11)² अभीष्ट पूर्ण वर्ग = (462)² (462)² = 213444

व्याख्या

दिए गए संबंध को एक रैखिक समीकरण के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जहाँ पद √(2x) का 5%, 0.01 के बराबर है। हम समीकरण स्थापित करके शुरुआत करते हैं:

⁵⁄₁₀₀ · √(2x) = 0.01

समीकरण को सरल बनाने के लिए, दोनों पक्षों को 100 से गुणा करें:

5 · √(2x) = 1

करणी को अलग करने के लिए दोनों पक्षों को 5 से विभाजित करें:

√(2x) = ⅕

√(2x) = 0.2

x का मान ज्ञात करने के लिए, वर्गमूल को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें:

(√(2x))² = (0.2)²

2x = 0.04

अंत में, x का मान ज्ञात करने के लिए 2 से विभाजित करें:

x = (0.04)/(2)

x = 0.02

व्याख्या

समीकरण को इस प्रकार व्यवस्थित किया गया है कि पदों को पुनर्व्यवस्थित करने से x का सीधा हल प्राप्त होता है। करणी (radical) पदों और भिन्नात्मक पदों को समूहीकृत करने पर, हमें प्राप्त होता है: √((x - a)/(x - b)) - √((x - b)/(x - a)) = (b - a)/(x)

माना y = √((x - a)/(x - b))। समीकरण इस प्रकार हो जाता है: y - (1)/(y) = (b - a)/(x) (y² - 1)/(y) = (b - a)/(x)

अंश में y² = (x - a)/(x - b) प्रतिस्थापित करने पर: y² - 1 = (x - a)/(x - b) - 1 = (x - a - (x - b))/(x - b) = (b - a)/(x - b)

इसे पुनर्व्यवस्थित समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करने पर: (b - a)/(y(x - b)) = (b - a)/(x)

चूंकि b ≠ a है, हम दोनों पक्षों को (b - a) से विभाजित कर सकते हैं, जिससे प्राप्त होता है: x = y(x - b)

करणी (radical) को हटाने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: x² = y²(x - b)² x² = (x - a)/(x - b) · (x - b)² x² = (x - a)(x - b) x² = x² - ax - bx + ab

दोनों पक्षों से x² को निरस्त करने पर: ax + bx = ab x(a + b) = ab x = (ab)/(a + b)

व्याख्या

x के लिए दिए गए व्यंजक को इस प्रकार सरल किया जा सकता है: x = 2√(4 × 6){√3 + √2} = 4√6{√3 + √2}। यह बीजगणितीय रूप x = (4ab)/(a+b) से मेल खाता है, जहाँ a = √3 और b = √2 है। ऐसे किसी भी संबंध के लिए, ˣ⁺²ᵃ⁄ₓ₋₂ₐ + (x+2b)/(x-2b) का मान हमेशा 2 होता है।

मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 2a = 2√3 = √(12) और 2b = 2√2 = √8 प्राप्त होता है। व्यंजक x + √8{x - √8} + x + √(12){x - √(12)} बन जाता है।

योगान्तरानुपात नियम (Componendo and Dividendo rule) का उपयोग करके हल करने के लिए, पहले प्रथम पद के लिए x को पुनः लिखें: (x)/(√(8)) = (x)/(2√(2)) = 2√3{√3 + √2} योगान्तरानुपात नियम लागू करने पर: x + √8{x - √8} = 2√3 + √3 + √2{2√3 - (√3 + √2)} = 3√3 + √2{√3 - √2}

इसके बाद, द्वितीय पद के लिए x को पुनः लिखें: (x)/(√(12)) = (x)/(2√(3)) = 2√2{√3 + √2} योगान्तरानुपात नियम लागू करने पर: x + √(12){x - √(12)} = 2√2 + √3 + √2{2√2 - (√3 + √2)} = 3√2 + √3{√2 - √3}

दोनों परिणामों को जोड़ने पर: 3√3 + √2{√3 - √2} + 3√2 + √3{√2 - √3} = 3√3 + √2 - (3√2 + √3){√3 - √2} = 2√3 - 2√2{√3 - √2} = 2(√3 - √2){√3 - √2} = 2

व्याख्या

हर के संयुग्मी (conjugate) से अंश और हर को गुणा करके a और b का परिमेयकरण करने पर: a = 2+√3{2-√3} × 2+√3{2+√3} = (2+√3)²{4-3} = 7+4√3 b = 2-√3{2+√3} × 2-√3{2-√3} = (2-√3)²{4-3} = 7-4√3

योगफल a+b और गुणनफल ab की गणना करने पर: a+b = (7+4√3) + (7-4√3) = 14 ab = 2+√3{2-√3} × 2-√3{2+√3} = 1

अभीष्ट व्यंजक a² + b² + ab है। इसे बीजगणितीय सर्वसमिका (a+b)² = a² + b² + 2ab का उपयोग करके इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है: a² + b² + ab = (a+b)² - ab a+b और ab के मान प्रतिस्थापित करने पर: 14² - 1 = 196 - 1 = 195

व्याख्या

दिया गया समीकरण sec Θ - csc Θ = 0 है, जिसे sec Θ = csc Θ के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। इन्हें इनके व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों में बदलने पर, हमें (1)/(cos Θ) = (1)/(sin Θ) प्राप्त होता है। यह सरल होकर sin Θ = cos Θ, या (sin Θ)/(cos Θ) = 1 हो जाता है, जिसका अर्थ है tan Θ = 1। एक न्यून कोण के लिए, ऐसा तब होता है जब Θ = 45° हो।

sec Θ + csc Θ का मान ज्ञात करने के लिए, हम व्यंजक में Θ = 45° रखते हैं: sec 45° + csc 45° = √2 + √2 = 2√2

व्याख्या

मान लीजिए कि कुल कार्य 20 और 15 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 60 इकाई (units) है। इसके आधार पर, A की कार्यक्षमता 60 / 20 = 3 इकाई प्रति दिन है, और B की कार्यक्षमता 60 / 15 = 4 इकाई प्रति दिन है।

पहले 6 दिनों के दौरान, A और B एक साथ कार्य करते हैं और 6 × (3 + 4) = 42 इकाई कार्य पूरा करते हैं। शेष कार्य 60 - 42 = 18 इकाई है। यह शेष कार्य अगले 4 दिनों में A और C द्वारा पूरा किया जाता है। इन 4 दिनों में, A ने 4 × 3 = 12 इकाई कार्य पूरा किया। इसका अर्थ है कि C ने उन 4 दिनों में शेष 18 - 12 = 6 इकाई कार्य पूरा किया।

C की कार्यक्षमता की गणना इस प्रकार की जाती है: 6 इकाई / 4 दिन = 1.5 इकाई प्रति दिन। C अकेले कुल 60 इकाई कार्य को पूरा करने में 60 / 1.5 = 40 दिन का समय लेगा।

व्याख्या

दिए गए समीकरण x = 2√6{√3 + √2} को a = √2 और b = √3 मानकर x = (2ab)/(a+b) के रूप में लिखा जा सकता है, जो ab = √6 को संतुष्ट करता है। x = (2ab)/(a+b) के रूप में a और b के हरात्मक माध्य (harmonic mean) के रूप में परिभाषित किसी भी चर x के लिए, व्यंजक ˣ⁺ᵃ⁄ₓ₋ₐ + (x+b)/(x-b) का मान हमेशा 2 होता है।

इसे योगानुपात नियम (Componendo and Dividendo rule) का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है। सबसे पहले, समीकरण को ˣ⁄ₐ = (2b)/(a+b) के रूप में फिर से लिखें। नियम लागू करने पर प्राप्त होता है: ˣ⁺ᵃ⁄ₓ₋ₐ = (2b + (a+b))/(2b - (a+b)) = (3b+a)/(b-a)

इसके बाद, मूल समीकरण को (x)/(b) = (2a)/(a+b) के रूप में फिर से लिखें। फिर से नियम लागू करने पर प्राप्त होता है: (x+b)/(x-b) = (2a + (a+b))/(2a - (a+b)) = (3a+b)/(a-b)

दोनों घटकों को जोड़ने पर: (3b+a)/(b-a) + (3a+b)/(a-b) = (3b+a)/(b-a) - (3a+b)/(b-a) = (3b + a - 3a - b)/(b-a) = (2b-2a)/(b-a) = (2(b-a))/(b-a) = 2

इस सर्वसमिका में a = √2 और b = √3 प्रतिस्थापित करने पर, मान 2 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि आयत ABCD की भुजा AB की लंबाई L और चौड़ाई BC, W है। आयत ABCD का क्षेत्रफल L × W द्वारा दिया गया है। चूंकि भुजा AB को बिंदुओं X, Y और Z द्वारा चार बराबर भागों में विभाजित किया गया है, इसलिए खंड XY की लंबाई कुल लंबाई AB के एक-चौथाई के बराबर है, जो कि (L)/(4) है।

त्रिभुज XYC का आधार XY भुजा AB पर है और इसका तीसरा शीर्ष C विपरीत भुजा CD पर है। आधार XY के संबंध में त्रिभुज XYC की ऊंचाई, शीर्ष C से भुजा AB की लंबवत दूरी है, जो आयत की चौड़ाई BC या W के बराबर है।

त्रिभुज XYC के क्षेत्रफल की गणना सूत्र ½ × आधार × ऊंचाई का उपयोग करके की जाती है: △ XYC का क्षेत्रफल = ½ × XY × BC = ½ × (L)/(4) × W = (LW)/(8)

त्रिभुज XYC के क्षेत्रफल और आयत ABCD के क्षेत्रफल का अनुपात है: (△ XYC का क्षेत्रफल)/(ABCD का क्षेत्रफल) = (LW)/(8){LW} = ⅛

व्याख्या

एकांतर वृत्तखंड प्रमेय (Alternate Segment Theorem) के अनुसार, वृत्त के एकांतर वृत्तखंड में जीवा द्वारा अंतरित कोण, स्पर्श रेखा और जीवा के बीच के कोण के बराबर होता है, जो कि 45° है। किसी वृत्त के केंद्र पर जीवा द्वारा अंतरित कोण, परिधि के शेष भाग पर किसी भी बिंदु पर इसके द्वारा अंतरित कोण का दोगुना होता है। इसलिए, इस जीवा द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण 2 × 45° = 90° है।

वृत्त के केंद्र और जीवा के अंत्यबिंदुओं द्वारा बनने वाले त्रिभुज में, दो भुजाएँ त्रिज्याएँ r हैं, और उनके बीच का कोण 90° है। समकोण त्रिभुज के गुणों या जीवा की लंबाई के सूत्र c = 2r sin(θ) का उपयोग करने पर, जहाँ θ जीवा और स्पर्श रेखा के बीच का कोण है:

6 = 2r sin 45° 6 = 2r × (1)/(√(2)) 6 = r√2 r = (6)/(√(2)) r = 3√2 सेमी

व्याख्या

मान लीजिए कि कुर्सी का क्रय मूल्य C है और मेज का क्रय मूल्य T है। हमें दिया गया है कि C + T = 500। कुल लेनदेन पर शुद्ध लाभ 10 रुपये है, जिसे कुल लाभ प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जा सकता है: कुल लाभ % = (10 / 500) × 100 = 2%

मेज और कुर्सी के क्रय मूल्य का अनुपात ज्ञात करने के लिए मिश्रण (alligation) के नियम का उपयोग करने पर: मेज पर हानि = -10% कुर्सी पर लाभ = +10% औसत लाभ = +2%

मेज के क्रय मूल्य और कुर्सी के क्रय मूल्य का अनुपात इन मानों और औसत के बीच संख्यात्मक अंतर द्वारा निकाला जाता है: CP_Table : CP_Chair = (10 - 2) : (2 - (-10)) CP_Table : CP_Chair = 8 : 12 = 2 : 3

अनुपातों का कुल योग 2 + 3 = 5 भाग है, जो कुल क्रय मूल्य 500 रुपये के बराबर है। इसका अर्थ है कि प्रत्येक भाग 500 / 5 = 100 को दर्शाता है। कुर्सी का क्रय मूल्य 3 भागों के संगत है: CP_Chair = 3 × 100 = 300

कुर्सी का क्रय मूल्य 300 रुपये है।

व्याख्या

त्रिभुज ABC की तीन माध्यिकाएँ AD, BE, और CF केंद्रक G पर प्रतिच्छेद करती हैं। केंद्रक का एक मूलभूत गुण यह है कि यह त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले छह छोटे त्रिभुजों में विभाजित करता है: △ GAF, △ GBF, △ GBD, △ GCD, △ GCE, और △ GAE।

यह देखते हुए कि △ ABC का क्षेत्रफल 60 वर्ग सेमी है, इन छह छोटे त्रिभुजों में से प्रत्येक का क्षेत्रफल है: क्षेत्रफल = ⅙ × क्षेत्रफल(△ ABC) = ⁶⁰⁄₆ = 10 वर्ग सेमी

चतुर्भुज CDGE (अक्सर ऐसे प्रश्नों में अभीष्ट आकृति जहाँ क्षेत्रफल कुल का एक-तिहाई होता है) इन दो छोटे त्रिभुजों, △ GCD और △ GCE के संयोजन से बनता है। इसी प्रकार, चतुर्भुज BDGF, △ GBD और △ GBF द्वारा बनता है। ऐसे चतुर्भुज का क्षेत्रफल है: क्षेत्रफल = 10 + 10 = 20 वर्ग सेमी

किसी भी त्रिभुज में, केंद्रक, दो भुजाओं के मध्य बिंदुओं और उन भुजाओं के उभयनिष्ठ शीर्ष द्वारा बनने वाले चतुर्भुज (या दो छोटे माध्यिका-बद्ध त्रिभुजों से युक्त समतुल्य क्षेत्र) का क्षेत्रफल हमेशा त्रिभुज के कुल क्षेत्रफल के ठीक एक-तिहाई के बराबर होता है। क्षेत्रफल = ⅓ × 60 = 20 वर्ग सेमी

व्याख्या

जब कोई धनराशि P मूल्य में तीन गुनी हो जाती है, तो अंतिम मिश्रधन A, 3P हो जाता है। इस अवधि में अर्जित कुल साधारण ब्याज (SI) मिश्रधन और मूलधन के बीच का अंतर होता है: SI = A - P = 3P - P = 2P।

साधारण ब्याज का मानक सूत्र SI = (P × R × T)/(100) है, जहाँ R वार्षिक ब्याज दर है और T वर्षों में समय है। दिए गए मानों SI = 2P और T = 25 को प्रतिस्थापित करने पर:

2P = (P × R × 25)/(100)

दोनों पक्षों को P से विभाजित करने और समीकरण को सरल बनाने पर:

2 = (25R)/(100) 2 = (R)/(4) R = 2 × 4 = 8

वैकल्पिक रूप से, किसी भी धनराशि को T वर्षों में स्वयं का n गुना होने के लिए, साधारण ब्याज की दर R को प्रत्यक्ष सूत्र R = (100(n - 1))/(T) का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है। n = 3 और T = 25 प्रतिस्थापित करने पर:

R = (100(3 - 1))/(25) R = (100 × 2)/(25) R = 4 × 2 = 8%