एसएससी सीजीएल टियर 1 2012 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

दिया गया है x = 2 + √3। हर का परिमेयकरण करके व्युत्क्रम 1/x ज्ञात किया जाता है: 1/x = (1)/(2 + √(3)) × 2 - √3{2 - √3} = 2 - √3{4 - 3} = 2 - √3.

चर और उसके व्युत्क्रम का योग है: x + ¹⁄ₓ = (2 + √3) + (2 - √3) = 4.

मान ज्ञात किया जाने वाला व्यंजक (x⁶ + x⁴ + x² + 1)/(x³) है, जो सरल होकर निम्न रूप में परिवर्तित होता है: x³ + x + ¹⁄ₓ + (1)/(x³) = (x³ + (1)/(x³)) + (x + ¹⁄ₓ).

बीजगणितीय सर्वसमिका x³ + (1)/(x³) = (x + ¹⁄ₓ)³ - 3(x + ¹⁄ₓ) का उपयोग करते हुए, हम x + ¹⁄ₓ = 4 प्रतिस्थापित करते हैं: x³ + (1)/(x³) = 4³ - 3(4) = 64 - 12 = 52.

इसे वापस सरलीकृत व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: 52 + 4 = 56.

व्याख्या

दिया गया समीकरण (x - y) का 50% = (x + y) का 30% है। इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

0.50(x - y) = 0.30(x + y)

दोनों पक्षों को 10 से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

5(x - y) = 3(x + y)

पदों का विस्तार करने पर:

5x - 5y = 3x + 3y

x और y के पदों को एक साथ करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

5x - 3x = 3y + 5y 2x = 8y x = 4y

प्रश्न में पूछा गया है कि y, x का कितना प्रतिशत है। इसकी गणना (y / x) × 100 के रूप में की जाती है। इस व्यंजक में x = 4y प्रतिस्थापित करने पर:

प्रतिशत = (y)/(4y) × 100 = ¼ × 100 = 25%

व्याख्या

B द्वारा A को देय साधारण ब्याज की गणना सूत्र SI = (P × R × T)/(100) का उपयोग करके की जाती है। P = 5000, R = 6, और T = 2 मान रखने पर, हमें SI = (5000 × 6 × 2)/(100) = 600 प्राप्त होता है।

B को C से प्राप्त होने वाले चक्रवृद्धि ब्याज की गणना सूत्र CI = P (1 + R/100)^T - P का उपयोग करके की जाती है। 2 वर्षों के लिए 10% की दर पर, प्रभावी चक्रवृद्धि ब्याज दर 10 + 10 + (10 × 10)/(100) = 21% है। इसलिए, CI = ²¹⁄₁₀₀ × 5000 = 1050।

B द्वारा अर्जित लाभ, अर्जित चक्रवृद्धि ब्याज और भुगतान किए गए साधारण ब्याज के बीच का अंतर है। लाभ = 1050 - 600 = 450।

व्याख्या

जब दो वस्तुएं एक ही समय पर चलना शुरू करती हैं और एक-दूसरे की ओर बढ़ती हैं, तो उनके मिलने तक की यात्रा का समय दोनों के लिए समान होता है। चूंकि चाल v को दूरी d को समय t से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है, इसलिए यदि समय स्थिर है, तो चाल तय की गई दूरी के सीधे आनुपातिक होती है (v ∝ d)।

एक ट्रेन d₁ = 110 किमी की दूरी तय करती है। चूंकि स्टेशनों के बीच की कुल दूरी 200 किमी है, इसलिए दूसरी ट्रेन शेष दूरी d₂ = 200 - 110 = 90 किमी तय करती है।

उनकी चाल का अनुपात उनके द्वारा तय की गई दूरी के अनुपात के बराबर होता है: चाल का अनुपात = v₁{v₂} = d₁{d₂} = ¹¹⁰⁄₉₀ = ¹¹⁄₉

व्याख्या

वह छोटी से छोटी संख्या N जिसे x, y, और z से विभाजित करने पर प्रत्येक स्थिति में एक समान शेषफल r बचता है, उसे सूत्र N = LCM(x, y, z) + r द्वारा ज्ञात किया जाता है।

25, 40 और 60 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करने के लिए, हम अभाज्य गुणनखंडन का उपयोग करते हैं: 25 = 5² 40 = 2³ × 5 60 = 2² × 3 × 5

LCM इन संख्याओं में मौजूद प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात का गुणनफल होता है: LCM(25, 40, 60) = 2³ × 3 × 5² LCM = 8 × 3 × 25 = 600

अब, सूत्र में LCM और आवश्यक शेषफल r = 7 का मान रखने पर: N = 600 + 7 = 607

व्याख्या

1 से 10 तक की सभी प्राकृतिक संख्याओं से विभाज्य होने वाली सबसे छोटी संख्या, समुच्चय {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है। LCM ज्ञात करने के लिए, हम इन संख्याओं के अभाज्य गुणनखंडन में मौजूद प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात निर्धारित करते हैं। इसमें शामिल अभाज्य गुणनखंड 2, 3, 5 और 7 हैं। 2 की उच्चतम घात 2³ = 8 है (जो 8 में है), 3 की उच्चतम घात 3² = 9 है (जो 9 में है), 5 की उच्चतम घात 5¹ = 5 है (जो 5 और 10 में है), और 7 की उच्चतम घात 7¹ = 7 है (जो 7 में है)। LCM इन उच्चतम घातों का गुणनफल है: LCM = 2³ × 3² × 5¹ × 7¹ = 8 × 9 × 5 × 7। इन्हें गुणा करने पर 40 × 63 = 2520 प्राप्त होता है।

व्याख्या

इस व्यंजक को सबसे पहले कोष्ठक के भीतर प्रत्येक वर्ग पद का मान ज्ञात करके हल किया जाता है। पहले भाग के लिए, (3² - 2²)² = (9 - 4)² = 5² = 25। दूसरे भाग के लिए, (5² - 4²)² = (25 - 16)² = 9² = 81। तीसरे भाग के लिए, (6² - 5²)² = (36 - 25)² = 11² = 121। इन मानों को आपस में जोड़ने पर अंतिम परिणाम प्राप्त होता है: 25 + 81 + 121 = 227।

व्याख्या

व्यंजक 2 × (2.11 + 2.23 + 2.16) का मान ज्ञात करने के लिए, मानक संक्रियाओं के क्रम के अनुसार, सबसे पहले कोष्ठक के भीतर का योग किया जाता है। तीनों दशमलव मानों को जोड़ने पर 2.11 + 2.23 + 2.16 = 6.50 प्राप्त होता है। इस योग को 2 के गुणक से गुणा करने पर 2 × 6.50 = 13 प्राप्त होता है।

व्याख्या

कुल कार्य स्थिर रहता है और इसे पुरुष-दिन (man-days) सूत्र M₁ D₁ = M₂ D₂ का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ M पुरुषों की संख्या को दर्शाता है और D दिनों की संख्या को दर्शाता है। प्रारंभ में, हमारे पास M₁ = 40 पुरुष और D₁ = 15 दिन हैं।

कुल कार्य 40 × 15 = 600 पुरुष-दिन है।

प्रश्न के अनुसार कार्य को मूल समय से 3 दिन पहले पूरा किया जाना है, जिससे नई अवधि D₂ = 15 - 3 = 12 दिन हो जाती है। 12 दिनों में कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक पुरुषों की कुल संख्या M₂ ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण बनाते हैं: M₂ × 12 = 600 M₂ = 600 / 12 = 50 पुरुष।

आवश्यक अतिरिक्त पुरुषों की संख्या नए कुल कार्यबल और मूल कार्यबल के बीच का अंतर है: 50 - 40 = 10।

व्याख्या

पुत्री की वर्तमान आयु 10 वर्ष है। चूंकि माता की आयु पुत्री की आयु की 3 गुनी है, इसलिए माता की वर्तमान आयु 10 × 3 = 30 वर्ष है। पिता, माता से 7 वर्ष बड़ा है, जिससे उसकी वर्तमान आयु 30 + 7 = 37 वर्ष हो जाती है। पुत्री के जन्म के समय पिता की आयु ज्ञात करने के लिए, हम पिता की वर्तमान आयु में से पुत्री की आयु घटाते हैं, जिसके परिणामस्वरूप 37 - 10 = 27 वर्ष प्राप्त होता है।

व्याख्या

माना दूसरी संख्या y है। प्रश्न के अनुसार, पहली संख्या 2y है और पहली संख्या तीसरी संख्या की आधी भी है, जिसका अर्थ है कि तीसरी संख्या पहली संख्या की दोगुनी यानी 4y है। इन तीनों संख्याओं का औसत 56 है, इसलिए उनका योग 56 × 3 = 168 है।

हम योग के लिए समीकरण को 2y + y + 4y = 168 के रूप में लिख सकते हैं। इसे सरल करने पर 7y = 168 प्राप्त होता है, और दोनों पक्षों को 7 से विभाजित करने पर y = 24 प्राप्त होता है। तीनों संख्याओं के लिए हमारे समीकरणों में y का मान वापस रखने पर, पहली संख्या 2 × 24 = 48 है, दूसरी संख्या 24 है, और तीसरी संख्या 4 × 24 = 96 है। अतः वे संख्याएँ क्रमशः 48, 24 और 96 हैं।