एसएससी सीजीएल टियर 1 2012 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

मान लीजिए कि इमारत की ऊँचाई h है, जहाँ h = 10√3 मीटर है। मान लीजिए कि इमारत के आधार से बिंदुओं P और Q की दूरियाँ क्रमशः x और y हैं। h ऊँचाई की एक इमारत और परस्पर पूरक उन्नयन कोणों (या अवनमन कोणों) वाले दो बिंदुओं के लिए, दूरियों और ऊँचाई के बीच मानक संबंध h² = xy होता है।

इस संबंध में दी गई ऊँचाई का मान रखने पर: xy = (10√3)² = 300

दोनों बिंदुओं के बीच की दूरी PQ = |x - y| = 20 मीटर दी गई है। P की दूरी ज्ञात करने के लिए, हम मानते हैं कि x > y और गुणनफल समीकरण में y = x - 20 प्रतिस्थापित करते हैं: x(x - 20) = 300 x² - 20x - 300 = 0

गुणनखंडन द्वारा इस द्विघात समीकरण को हल करने पर: (x - 30)(x + 10) = 0

चूँकि दूरी एक धनात्मक मान होनी चाहिए, इसलिए हम x = 30 मीटर लेते हैं।

व्याख्या

चूंकि A और B पूरक कोण हैं, इसलिए हमारे पास A + B = 90° है, जिसका अर्थ है B = 90° - A। पूरक कोणों के गुणों का उपयोग करते हुए, हम यह निर्धारित कर सकते हैं कि sin B = sin(90° - A) = cos A, cos B = cos(90° - A) = sin A, और tan B = tan(90° - A) = cot A है। इसके अतिरिक्त, संबंध cot B = cot(90° - A) = tan A भी लागू होता है।

दिया गया व्यंजक sin A cos B + cos A sin B tan A tan B + sec² A - cot² B है। कोण A के संदर्भ में समतुल्य मानों को प्रतिस्थापित करने पर, यह व्यंजक sin A (sin A) + cos A (cos A) (tan A cot A) + sec² A - tan² A हो जाता है।

इसे सरल करने पर, हमें sin² A + cos² A(1) + (sec² A - tan² A) प्राप्त होता है। मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं sin² A + cos² A = 1 और sec² A - tan² A = 1 का उपयोग करने पर, संपूर्ण व्यंजक का मान 1 + 1 = 2 प्राप्त होता है।

व्याख्या

चूंकि A, O, और B एक रेखाखंड पर स्थित बिंदु हैं, वे एक ऋजु कोण बनाते हैं जहाँ ∠ AOB = 180° है। कोण ∠ BOC, ∠ AOC का संपूरक कोण है, जिसकी गणना 180° - 40° = 140° के रूप में की जाती है। किसी कोण के बाह्य समद्विभाजक को उस किरण के रूप में परिभाषित किया जाता है जो मूल कोण की भुजाओं में से एक को आगे बढ़ाने पर बनने वाले संपूरक कोण को समद्विभाजित करती है। इस ज्यामिति में, O से होकर भुजा AO का विस्तार किरण OB है। इसलिए, ∠ AOC का बाह्य कोण ∠ BOC है। चूंकि OY, ∠ AOC का बाह्य समद्विभाजक है, यह ∠ BOC को समद्विभाजित करता है। अतः, ∠ BOY = ½ ∠ BOC = ½ × 140° = 70°।

व्याख्या

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका के अनुसार sec² Θ - tan² Θ = 1 होता है। दिए गए व्यंजक 4x = sec Θ और 4/x = tan Θ को इस सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:

(4x)² - (4/x)² = 1

16x² - 16/x² = 1

समीकरण के बाएं पक्ष से 16 को उभयनिष्ठ लेने पर, हमें प्राप्त होता है:

16(x² - 1/x²) = 1

दोनों पक्षों को 16 से विभाजित करने पर हमें वांछित मान प्राप्त होता है:

x² - 1/x² = 1/16

व्याख्या

दिए गए समीकरण को सभी त्रिकोणमितीय पदों को tan Θ में बदलकर हल किया जा सकता है। समीकरण 2sin² Θ + cos² Θ = 3sin Θ cos Θ के दोनों पक्षों को cos² Θ से भाग देने पर:

2 (sin² Θ)/(cos² Θ) + (cos² Θ)/(cos² Θ) = 3 (sin Θ cos Θ)/(cos² Θ)

2tan² Θ + 1 = 3tan Θ

पदों को एक मानक द्विघात रूप में व्यवस्थित करने पर:

2tan² Θ - 3tan Θ + 1 = 0

अब, द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:

(2tan Θ - 1)(tan Θ - 1) = 0

इससे दो संभावित समाधान प्राप्त होते हैं: 2tan Θ - 1 = 0 ⟹ tan Θ = 1/2 tan Θ - 1 = 0 ⟹ tan Θ = 1

शर्त sin Θ ≠ cos Θ का तात्पर्य है कि tan Θ ≠ 1। अतः, एकमात्र मान्य समाधान tan Θ = 1/2 है।

व्याख्या

सर्वसमिका cos(90° - Θ) = sin Θ के प्रयोग से मूल समीकरण sin Θ + cos Θ = √2 cos(90° - Θ) को सरल किया जा सकता है: sin Θ + cos Θ = √2 sin Θ

पूरे समीकरण को sin Θ से भाग देने पर: (sin Θ)/(sin Θ) + (cos Θ)/(sin Θ) = √2 sin Θ / sin Θ

सर्वसमिका cot Θ = (cos Θ)/(sin Θ) का प्रयोग करने पर यह सरल हो जाता है: 1 + cot Θ = √2

दोनों पक्षों से 1 घटाने पर cotangent का मान प्राप्त होता है: cot Θ = √2 - 1

व्याख्या

दिए गए समीकरणों x sin³ θ + y cos³ θ = sin θ cos θ और x sin θ = y cos θ में, हम प्रतिस्थापन का उपयोग करके x और y का मान ज्ञात कर सकते हैं। सबसे पहले, sine और cosine की घातों को अलग करके पहले समीकरण को पुनः लिखिए: (x sin θ) sin² θ + (y cos θ) cos² θ = sin θ cos θ। दूसरे समीकरण का उपयोग करते हुए, हम y cos θ के स्थान पर x sin θ प्रतिस्थापित करते हैं जिससे हमें (x sin θ) sin² θ + (x sin θ) cos² θ = sin θ cos θ प्राप्त होता है।

x sin θ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर x sin θ (sin² θ + cos² θ) = sin θ cos θ प्राप्त होता है। मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका के अनुसार, sin² θ + cos² θ = 1 होता है। इस प्रकार, समीकरण सरल होकर x sin θ = sin θ cos θ हो जाता है। चूंकि प्रश्न में दिया गया है कि sin θ ≠ 0, इसलिए हम दोनों पक्षों को sin θ से विभाजित करते हैं जिससे हमें x = cos θ प्राप्त होता है।

संबंध x sin θ = y cos θ में x = cos θ का मान वापस रखने पर cos θ sin θ = y cos θ प्राप्त होता है। चूंकि cos θ ≠ 0 है, इसलिए हमें y = sin θ प्राप्त होता है। अंतिम व्यंजक x² + y² का मान ज्ञात करने के लिए, हम प्राप्त मानों को प्रतिस्थापित करते हैं: x² + y² = (cos θ)² + (sin θ)² = cos² θ + sin² θ। पुनः सर्वसमिका का उपयोग करने पर, हमें परिणाम 1 प्राप्त होता है।

व्याख्या

बाह्य कोण प्रमेय (Exterior Angle Theorem) के अनुसार, किसी त्रिभुज के बाह्य कोण का माप उसके दो सम्मुख अंतःकोणों के मापों के योग के बराबर होता है। △ ABC में, भुजा BC को D तक बढ़ाने पर बनने वाला बाह्य कोण ∠ ACD है। सम्मुख अंतःकोण ∠ A और ∠ B हैं।

यह संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया गया है: ∠ ACD = ∠ A + ∠ B

दिए गए मानों ∠ ACD = 108° और ∠ B = (∠ A)/(2) को सूत्र में रखने पर: 108° = ∠ A + (∠ A)/(2)

∠ A का मान ज्ञात करने के लिए, समीकरण के दाहिने पक्ष को सरल करें: 108° = (2∠ A + ∠ A)/(2) 108° = (3∠ A)/(2)

∠ A को अलग करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: 3∠ A = 108° × 2 3∠ A = 216° ∠ A = (216°)/(3) ∠ A = 72°

व्याख्या

बाह्य रूप से एक-दूसरे को स्पर्श करने वाले r₁ और r₂ त्रिज्या वाले दो वृत्तों के बीच की उभयनिष्ठ अनुस्पर्श रेखा PQ की लंबाई सूत्र PQ = 2√(r₁r₂) द्वारा दी जाती है। दी गई त्रिज्याएँ 4 सेमी और 9 सेमी हैं, हम इन मानों को सूत्र में रखते हैं:

PQ = 2√(4 × 9) PQ = 2√(36) PQ = 2 × 6 = 12 सेमी

वर्ग की भुजा उभयनिष्ठ अनुस्पर्श रेखा PQ की लंबाई के बराबर है। वर्ग का क्षेत्रफल भुजा² के रूप में परिकलित किया जाता है। इसलिए, PQ भुजा वाले वर्ग का क्षेत्रफल है:

क्षेत्रफल = PQ² = 12² = 144 वर्ग सेमी

व्याख्या

एक वृत्त में, स्पर्श रेखा के स्पर्श बिंदु पर खींची गई त्रिज्या उस स्पर्श रेखा पर लंब होती है। परिणामस्वरूप, समकोण त्रिभुज OAP में, ∠ OAP = 90° होगा। दिया गया है कि ∠ AOP = 60° है, इसलिए त्रिभुज के तीसरे कोण की गणना इस प्रकार की जाती है: ∠ APO = 180° - (90° + 60°) = 30°। वृत्तों का एक मानक ज्यामितीय गुण यह बताता है कि बाहरी बिंदु P को केंद्र O से जोड़ने वाला रेखाखंड OP, दोनों स्पर्श रेखाओं PA और PB के बीच के कोण को समद्विभाजित करता है। इसलिए, कुल कोण ∠ APB = 2 × ∠ APO = 2 × 30° = 60° है।

व्याख्या

एक सम बहुभुज में, एक आंतरिक कोण और उसके आसन्न बाह्य कोण का योग हमेशा 180° होता है क्योंकि वे एक रैखिक युग्म बनाते हैं। माना बाह्य कोण E है और आंतरिक कोण I है। प्रश्न के अनुसार, आंतरिक कोण बाह्य कोण का दोगुना है, जिससे संबंध I = 2E प्राप्त होता है।

इसे रैखिक युग्म समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: I + E = 180° 2E + E = 180° 3E = 180° E = 60°

n भुजाओं वाले किसी भी सम बहुभुज के लिए, प्रत्येक बाह्य कोण का माप सूत्र E = (360°)/(n) द्वारा दिया जाता है। E के परिकलित मान को प्रतिस्थापित करने पर: 60° = (360°)/(n) n = (360°)/(60°) n = 6

व्याख्या

एक समचतुर्भुज में, सभी भुजाओं की लंबाई बराबर होती है, इसलिए PQ = QR = RS = SP = 6 सेमी। एक समचतुर्भुज में आसन्न कोण संपूरक होते हैं, जिसका अर्थ है कि उनका योग 180° होता है। दिया गया है कि ∠ PQR = 120°, इसलिए आसन्न कोण ∠ SPQ की गणना 180° - 120° = 60° के रूप में की जाती है। अब, △ PQS पर विचार करें। चूंकि PQ = PS = 6 सेमी है, इसलिए △ PQS एक समद्विबाहु त्रिभुज है। एक समद्विबाहु त्रिभुज में, यदि दो बराबर भुजाओं के बीच का कोण 60° है, तो वह त्रिभुज समबाहु होना चाहिए क्योंकि शेष दो कोण भी (180° - 60°) / 2 = 60° के बराबर होने चाहिए। एक समबाहु त्रिभुज में, सभी भुजाएँ बराबर होती हैं। इसलिए, विकर्ण QS की लंबाई भुजा PQ की लंबाई के बराबर है, जो कि 6 सेमी है।

व्याख्या

किसी दिए गए समय H:M पर एक घड़ी की घंटे की सुई और मिनट की सुई के बीच के कोण θ की गणना मानक सूत्र θ = |30H - ¹¹⁄₂M| का उपयोग करके की जा सकती है। दोपहर 2 : 15 बजे के समय के लिए, H का मान 2 है और M का मान 15 है। इन मानों को सूत्र में रखने पर:

θ = |30(2) - ¹¹⁄₂(15)| θ = |60 - ¹⁶⁵⁄₂| θ = |60 - 82.5| θ = |-22.5| θ = 22.5°

इसे 12 बजे की स्थिति से सुइयों की व्यक्तिगत गति की गणना करके भी समझा जा सकता है। 2:00 बजे, घंटे की सुई 60° पर होती है। 15 मिनट में, घंटे की सुई 15 × 0.5° = 7.5° और आगे बढ़ती है, जिससे कुल 67.5° हो जाता है। इस बीच, मिनट की सुई 15 × 6° = 90° चलती है। उनके बीच का कोण उनकी स्थितियों के बीच का पूर्ण अंतर है, जो कि |90° - 67.5°| = 22.5° है।

व्याख्या

वृत्त की त्रिज्या r, बिंदुओं P(2, 0) और Q(5, 4) के बीच की दूरी है। दूरी सूत्र r = √((x₂₎₋ₓ___₁₎_² ₊ ₍_y_₂ ₋ _y_₁₎_² का उपयोग करने पर:

r = √((5 - 2)²⁾⁺⁽⁴⁻⁰⁾^^^² = √(3²⁾⁺⁴^^^² = √(9 + 16) = √(25) = 5

वृत्त का क्षेत्रफल A, सूत्र A = π r² द्वारा दिया जाता है। सूत्र में परिकलित त्रिज्या का मान रखने पर:

A = π × (5)² = 25π

व्याख्या

(x - ¹⁄ₓ)² का मान ज्ञात करने के लिए, हम दिए गए चार की घात को आवश्यक व्यंजक से जोड़ने के लिए बुनियादी बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हैं। हमें समीकरण x⁴ + (1)/(x⁴) = 23 दिया गया है। समीकरण के दोनों पक्षों में 2 जोड़ने पर, हम बाईं ओर एक पूर्ण वर्ग बना सकते हैं: x⁴ + (1)/(x⁴) + 2 = 23 + 2। यह x⁴ + (1)/(x⁴) + 2(x²)((1)/(x²)) = 25 के बराबर है। सर्वसमिका (a + b)² = a² + b² + 2ab के अनुसार, यह व्यंजक सरल होकर (x² + (1)/(x²))² = 25 हो जाता है। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, हमें x² + (1)/(x²) = 5 प्राप्त होता है।

अब हम उस व्यंजक का विस्तार करते हैं जिसका मान हमें ज्ञात करना है: (x - ¹⁄ₓ)²। सर्वसमिका (a - b)² = a² + b² - 2ab का उपयोग करने पर, हमें (x - ¹⁄ₓ)² = x² + (1)/(x²) - 2(x)(¹⁄ₓ) प्राप्त होता है, जो सरल होकर x² + (1)/(x²) - 2 हो जाता है। इस सूत्र में पहले से प्राप्त x² + (1)/(x²) = 5 का मान प्रतिस्थापित करने पर, हम अंतिम परिणाम की गणना 5 - 2 = 3 के रूप में करते हैं।

व्याख्या

माना x = √(6 + 6 + {6 + …)}। व्यंजक की अनंत प्रकृति के कारण, करणी (radical) का आंतरिक भाग भी x के बराबर है, जिससे समीकरण x = √(6 + x) प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर x² = 6 + x प्राप्त होता है, जिसे द्विघात समीकरण x² - x - 6 = 0 के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। इस समीकरण का गुणनखंड करने पर (x - 3)(x + 2) = 0 प्राप्त होता है, जिससे x के संभावित मान 3 या -2 मिलते हैं। चूंकि धनात्मक पदों के वर्गमूल का परिणाम धनात्मक होना चाहिए, इसलिए मान 3 है।

√(n + n + …) के रूप की अनंत नेस्टेड करणी (infinite nested radicals) को हल करने का एक संक्षिप्त तरीका दो क्रमागत पूर्णांकों को खोजना है जिनका गुणनफल n हो। यदि n = k(k + 1) है, तो व्यंजक का मान बड़ा पूर्णांक (k + 1) होता है। n = 6 के लिए, क्रमागत पूर्णांक 2 और 3 हैं (2 × 3 = 6)। इसलिए, मान 3 है।

व्याख्या

द्विपद के वर्ग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका (x + 1/x)² = x² + (1/x)² + 2(x)(1/x) है, जो सरल होने पर (x + 1/x)² = x² + 1/x² + 2 हो जाती है। वांछित व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए इस सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें x² + 1/x² = (x + 1/x)² - 2 प्राप्त होता है। समीकरण में दिए गए मान x + 1/x = 12 को प्रतिस्थापित करने पर x² + 1/x² = 12² - 2 प्राप्त होता है। चूंकि 12² = 144 है, इसलिए परिणाम 144 - 2 = 142 है।

व्याख्या

Δ ABC में, चूंकि AD भुजा BC पर माध्यिका है, इसलिए D, BC का मध्यबिंदु है, जिससे BD = DC = ½ BC प्राप्त होता है। प्रश्न में दिया गया है कि AD = ½ BC, इसलिए AD = BD = DC है। यह समानता दर्शाती है कि बिंदु D, शीर्षों A, B और C से समान दूरी पर है, जिससे D त्रिभुज का परिकेंद्र बन जाता है। चूंकि परिकेंद्र भुजा BC पर स्थित है, इसलिए BC परिवृत्त का व्यास होना चाहिए, और Δ ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें ∠ BAC = 90° है।

दिए गए मान ∠ BAD = 30° का उपयोग करके, हम गणना करते हैं: ∠ DAC = ∠ BAC - ∠ BAD = 90° - 30° = 60°। Δ ADC में, चूंकि AD = DC है, इसलिए यह त्रिभुज समद्विबाहु है, जिसका अर्थ है कि इन भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर हैं। इसलिए, ∠ ACB = ∠ DAC = 60°।

व्याख्या

वर्गमूलों का गुणनफल √a × √b = √(ab) के गुणधर्म का पालन करता है। इसे दिए गए व्यंजक पर लागू करने पर:

√6 × √(15) = √(6 × 15) = √(90)

√(90) को सरल करने के लिए, इसे एक पूर्ण वर्ग और एक अन्य गुणनखंड में विभाजित (गुणनखंडन) करें:

√(90) = √(9 × 10) = 3√(10)

दिए गए समीकरण √6 × √(15) = x√(10) में, सरलीकृत मान प्रतिस्थापित करने पर:

3√(10) = x√(10)

दोनों पक्षों को √(10) से विभाजित करने पर, हमें x = 3 प्राप्त होता है। चूंकि धनात्मक संख्याओं के मुख्य वर्गमूल धनात्मक होते हैं, इसलिए गुणनफल धनात्मक होता है, जिससे x का विशिष्ट मान प्राप्त होता है।

व्याख्या

व्यंजक 3 - (3 + √5)/4 - 1/(3 + √5) को हल करने के लिए, सबसे पहले तीसरे पद के अंश और हर को हर के संयुग्मी (conjugate) 3 - √5 से गुणा करके उसका परिमेयकरण करें।

(1)/(3 + √5) × (3 - √5)/(3 - √5) = (3 - √5)/(3² - (√5)²) = (3 - √5)/(9 - 5) = (3 - √5)/4

अब, इस मान को मूल व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करें:

3 - (3 + √5)/4 - (3 - √5)/4

चूंकि दोनों भिन्नों का हर समान (4) है, इसलिए उन्हें संयोजित किया जा सकता है:

3 - [ ((3 + √5) + (3 - √5))/4 ]

अंश में, धनात्मक और ऋणात्मक √5 पद एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं:

3 - (3 + 3)/4 = 3 - 6/4

भिन्न 6/4 को सरल करके 3/2 करने पर प्राप्त होता है:

3 - 3/2 = (6 - 3)/2 = 3/2

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका के अनुसार, किन्हीं तीन चरों x, y और z के लिए, व्यंजक x³ + y³ + z³ - 3xyz को (x + y + z)(x² + y² + z² - xy - yz - zx) के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है। इस सर्वसमिका का एक प्रत्यक्ष परिणाम यह है कि यदि x + y + z = 0 है, तो संपूर्ण व्यंजक x³ + y³ + z³ - 3xyz शून्य के बराबर होना चाहिए, क्योंकि यह शून्य और एक अन्य गुणनखंड का गुणनफल बन जाता है।

दिए गए प्रश्न में, माना x = a, y = b, और z = 1 है। मूल्यांकन किया जाने वाला व्यंजक a³ + b³ + 1³ - 3(a)(b)(1) है, जो सरल होकर a³ + b³ + 1 - 3ab हो जाता है। चूंकि यह दिया गया है कि a + b + 1 = 0 है, इसलिए इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर a³ + b³ + 1 - 3ab = (0)(a² + b² + 1² - ab - b - a) = 0 प्राप्त होता है।

व्याख्या

रेखा का समीकरण x = 3y - 7 है। इसे ढाल-अंतःखंड रूप (slope-intercept form) y = mx + c में बदलने पर 3y = x + 7, या y = ⅓x + ⁷⁄₃ प्राप्त होता है। इस प्रकार, रेखा की ढाल (slope) m = ⅓ है।

किसी रेखा पर स्थित किन्हीं दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) के लिए, ढाल को m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) के रूप में परिभाषित किया जाता है। दिए गए बिंदुओं (a, b) और (a + 3, b + k) को इस सूत्र में रखने पर: m = ((b + k) - b)/((a + 3) - a) = ᵏ⁄₃

परिकलित ढाल को रेखा की ज्ञात ढाल के बराबर रखने पर: ᵏ⁄₃ = ⅓ k = 1

इसे सीधे प्रतिस्थापन द्वारा भी सत्यापित किया जा सकता है। चूंकि (a, b) रेखा पर स्थित है, इसलिए यह समीकरण a = 3b - 7 को संतुष्ट करता है। चूंकि (a + 3, b + k) भी रेखा पर स्थित है, इसलिए इसे (a + 3) = 3(b + k) - 7 को संतुष्ट करना चाहिए। दूसरे समीकरण का विस्तार करने पर a + 3 = 3b + 3k - 7 प्राप्त होता है। पहले समीकरण को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: (3b - 7) + 3 = 3b + 3k - 7 3b - 4 = 3b + 3k - 7 दोनों पक्षों से 3b घटाने और 7 जोड़ने पर 3 = 3k प्राप्त होता है, जिससे सरल करने पर k = 1 प्राप्त होता है।

व्याख्या

पाँच वर्ष पूर्व चार लड़कों की आयु का योग 4 × 9 = 36 वर्ष था। उनकी वर्तमान कुल आयु ज्ञात करने के लिए, हम पिछले योग में चारों लड़कों में से प्रत्येक के लिए 5 वर्ष जोड़ते हैं, जिससे 36 + (4 × 5) = 36 + 20 = 56 वर्ष प्राप्त होता है। वैकल्पिक रूप से, चार लड़कों की वर्तमान औसत आयु 9 + 5 = 14 वर्ष है, जिससे उनकी वर्तमान कुल आयु 14 × 4 = 56 वर्ष हो जाती है।

जब नए लड़के को शामिल किया जाता है, तो समूह में पाँच लड़के होते हैं जिनकी औसत आयु 15 वर्ष है। उनकी वर्तमान आयु का कुल योग 5 × 15 = 75 वर्ष है। नए लड़के की वर्तमान आयु की गणना पाँचों के समूह की कुल आयु में से मूल चार लड़कों की वर्तमान कुल आयु को घटाकर की जाती है, जिससे 75 - 56 = 19 वर्ष प्राप्त होता है।

व्याख्या

संख्याओं के एक समूह के औसत की गणना संख्याओं के योग को संख्याओं की कुल संख्या से विभाजित करके की जाती है। इस मामले में, 8 संख्याएँ हैं: 39, 48, 51, 63, 75, 83, x और 69। प्रश्न में कहा गया है कि उनका औसत 60 है।

औसत के मूल सूत्र का उपयोग करने पर: प्रेक्षणों का योग = औसत × प्रेक्षणों की कुल संख्या योग = 60 × 8 = 480

अब, सात ज्ञात मानों के योग की गणना करें: 39 + 48 + 51 + 63 + 75 + 83 + 69 = 428

x का मान ज्ञात करने के लिए, कुल योग में से ज्ञात संख्याओं के योग को घटाएं: x = 480 - 428 = 52

वैकल्पिक रूप से, विचलन विधि का उपयोग करने पर, औसत (60) से सभी मानों के विचलनों का योग शून्य होना चाहिए। ज्ञात संख्याओं के विचलन इस प्रकार हैं: 39 - 60 = -21 48 - 60 = -12 51 - 60 = -9 63 - 60 = 3 75 - 60 = 15 83 - 60 = 23 69 - 60 = 9

इन विचलनों को जोड़ने पर: -21 - 12 - 9 + 3 + 15 + 23 + 9 = 8

चूंकि कुल विचलन शून्य होना चाहिए, इसलिए x के लिए विचलन -8 होना चाहिए: x - 60 = -8 x = 52

व्याख्या

हीरे का मूल्य C उसके भार W के वर्ग के समानुपाती होता है, जिसे सूत्र C = kW² द्वारा व्यक्त किया जाता है। मान लीजिए कि दिए गए अनुपात 1:2:3 के आधार पर तीनों टुकड़ों का भार x, 2x और 3x है। मूल हीरे का कुल भार W = x + 2x + 3x = 6x था।

हीरे का प्रारंभिक मूल्य C_initial = k(6x)² = 36kx² है। हमें दिया गया है कि C_initial = 5184, इसलिए 36kx² = 5184 है। नियतांक kx² का मान ज्ञात करने पर, kx² = 5184 / 36 = 144 प्राप्त होता है।

काटने के बाद टुकड़ों का कुल मूल्य प्रत्येक टुकड़े के मूल्यों का योग है: C_final = k(x)² + k(2x)² + k(3x)² C_final = kx² + 4kx² + 9kx² = 14kx²

काटने की प्रक्रिया में हुई हानि, प्रारंभिक मूल्य और अंतिम मूल्य के बीच का अंतर है: हानि = 36kx² - 14kx² = 22kx² हानि = 22 × 144 = 3168

व्याख्या

विक्रय मूल्य में कमी, छूट की राशि के बराबर है। माना खिलौने का अंकित मूल्य M है। प्रश्न के अनुसार, M पर 30% की छूट से 30 रुपये की कमी होती है। इस संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: 0.30 × M = 30 M = (30)/(0.30) = 100 खिलौने का अंकित मूल्य 100 रुपये है। विक्रय मूल्य की गणना अंकित मूल्य में से छूट को घटाकर की जाती है: विक्रय मूल्य = अंकित मूल्य - छूट विक्रय मूल्य = 100 - 30 = 70 वैकल्पिक रूप से, यदि छूट 30% है, तो शेष विक्रय मूल्य अंकित मूल्य का 70% है। चूंकि 30% बराबर 30 रुपये है, इसलिए 1% बराबर 1 रुपये होगा, और 70% बराबर 70 रुपये होगा।

व्याख्या

एक अर्धगोले का आयतन V, सूत्र V = ⅔ π r³ का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है। यह सूत्र दर्शाता है कि आयतन, त्रिज्या के घन के सीधे समानुपाती होता है, V ∝ r³। परिणामस्वरूप, दो अर्धगोलाकार बर्तनों की त्रिज्याओं का अनुपात उनकी धारिताओं के अनुपात के घनमूल के बराबर होता है।

दी गई धारिताएँ V₁ = 6.4 लीटर और V₂ = 21.6 लीटर हैं, उनके आयतनों का अनुपात है:

V₁/V₂ = (6.4)/(21.6) = ⁶⁴⁄₂₁₆

त्रिज्याओं का अनुपात r₁:r₂ ज्ञात करने के लिए, हम आयतन के अनुपात का घनमूल लेते हैं:

r₁/r₂ = ³√(⁶⁴⁄₂₁₆)

r₁/r₂ = ⁴⁄₆ = ⅔

व्याख्या

मान लीजिए कि टैंक की क्षमता 8 और 6 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 24 इकाई है। पाइप A की कार्यक्षमता 24 / 8 = 3 इकाई प्रति घंटा है, और पाइप B की कार्यक्षमता 24 / 6 = 4 इकाई प्रति घंटा है। जब दोनों पाइपों को एक साथ खोला जाता है, तो उनकी संयुक्त कार्यक्षमता 3 + 4 = 7 इकाई प्रति घंटा होती है। पहले 2 घंटों में, वे टैंक का 7 × 2 = 14 इकाई भाग भरते हैं। भरा जाने वाला शेष आयतन 24 - 14 = 10 इकाई है। चूंकि पाइप A बंद है, इसलिए पाइप B को इन शेष 10 इकाइयों को अपनी व्यक्तिगत दर 4 इकाई प्रति घंटा से भरना होगा। पाइप B द्वारा टैंक को भरने में लिया गया समय 10 / 4 = 2.5 घंटे है।

व्याख्या

अंश के लिए बीजीय सर्वसमिका a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c) · ½ [(a - b)² + (b - c)² + (c - a)²] है। जब हम इस व्यंजक को हर (a + b + c) से विभाजित करते हैं, तो पद (a + b + c) निरस्त (cancel) हो जाता है, जिससे वांछित मान सरल होकर ½ [(a - b)² + (b - c)² + (c - a)²] हो जाता है।

इस सरलीकृत सूत्र में दिए गए मानों (a - b) = 3, (b - c) = 5, और (c - a) = 1 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें ½ [3² + 5² + 1²] प्राप्त होता है। वर्गों की गणना करने पर ½ [9 + 25 + 1] = ³⁵⁄₂ प्राप्त होता है, जो 17.5 के बराबर है।

व्याख्या

जनसंख्या में कुल वृद्धि 16300 - 15000 = 1300 है। मान लीजिए M पुरुषों की संख्या को और F महिलाओं की संख्या को दर्शाता है। कुल जनसंख्या को देखते हुए, हमारे पास समीकरण M + F = 15000 है। दिए गए प्रतिशत के आधार पर जनसंख्या में वृद्धि 0.08M + 0.10F = 1300 है।

महिलाओं की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम पहले समीकरण को 0.08 से गुणा करके 0.08M + 0.08F = 1200 प्राप्त कर सकते हैं। इस परिणाम को वृद्धि वाले समीकरण से घटाने पर (0.08M + 0.10F) - (0.08M + 0.08F) = 1300 - 1200 प्राप्त होता है, जो सरल होकर 0.02F = 100 हो जाता है। F के लिए हल करने पर, हमें F = 100 / 0.02 = 5000 प्राप्त होता है।

वैकल्पिक रूप से, मिश्रण (alligation) की विधि का उपयोग करने पर, औसत प्रतिशत वृद्धि (1300 / 15000) × 100 = 26/3% है। पुरुषों और महिलाओं का अनुपात (10 - 26/3) : (26/3 - 8) के रूप में परिकलित किया जाता है, जो 4/3 : 2/3, या 2 : 1 के बराबर है। 15000 की कुल जनसंख्या को तीन भागों (2 + 1 = 3) में विभाजित करने पर, महिलाओं की जनसंख्या एक भाग के अनुरूप है: 15000 / 3 = 5000।

व्याख्या

एक वर्ष में 5,000 रुपये पर अर्जित साधारण ब्याज (SI) मिश्रधन और मूलधन के बीच का अंतर है: SI = 5700 - 5000 = 700। साधारण ब्याज के सूत्र SI = (P × R × T)/(100) का उपयोग करते हुए, हम दर (R) ज्ञात करने के लिए मान प्रतिस्थापित करते हैं: 700 = (5000 × R × 1)/(100), जो सरल होकर 700 = 50R हो जाता है, जिससे R = 14% वार्षिक प्राप्त होता है।

उसी दर पर 5 वर्षों में 7,000 रुपये की राशि कितनी हो जाएगी, यह ज्ञात करने के लिए, हम नए साधारण ब्याज की गणना करते हैं: SI = (7000 × 14 × 5)/(100) = 70 × 70 = 4900। 5 वर्ष के अंत में कुल मिश्रधन (Amount), मूलधन और ब्याज का योग है: मिश्रधन (Amount) = 7000 + 4900 = 11900।

व्याख्या

चोर के सापेक्ष पुलिसकर्मी की सापेक्ष गति उनकी गतियों का अंतर है क्योंकि वे एक ही दिशा में दौड़ रहे हैं। सापेक्ष गति = 11 किमी/घंटा - 10 किमी/घंटा = 1 किमी/घंटा। इसे मीटर प्रति मिनट में बदलने के लिए, 1000/60 से गुणा करें, जिससे 50/3 मीटर/मिनट प्राप्त होता है।

6 मिनट में दोनों के बीच की दूरी में कमी की गणना इस प्रकार की जाती है: दूरी = सापेक्ष गति × समय। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें दूरी = (50/3) × 6 = 100 मीटर प्राप्त होती है। चूंकि चोर और पुलिसकर्मी के बीच की प्रारंभिक दूरी 200 मीटर थी, इसलिए 6 मिनट के बाद बची हुई दूरी 200 - 100 = 100 मीटर है।

व्याख्या

अंतिम मूल्य की गणना मूल क्रय मूल्य पर क्रमिक लाभ गुणकों को लागू करके की जाती है। माना मूल क्रय मूल्य x है।

A, B को 20% लाभ पर बेचता है, जिससे मूल्य 1.20x हो जाता है। B, C को 25% लाभ पर बेचता है, जिससे मूल्य 1.20x × 1.25 हो जाता है।

दिया गया है कि C 1,200 रुपये का भुगतान करता है: x × 1.20 × 1.25 = 1200 x × ⁶⁄₅ × ⁵⁄₄ = 1200 x × ⁶⁄₄ = 1200 x = (1200 × 4)/(6) x = 200 × 4 = 800

व्याख्या

जब 75070 को 65 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल 60 प्राप्त होता है। 65 का निकटतम गुणज ज्ञात करने के लिए, हम शेषफल को घटाने (75070 - 60 = 75010) या भाजक और शेषफल के बीच के अंतर को जोड़ने (75070 + (65 - 60) = 75075) की तुलना करते हैं। चूंकि 75075 केवल 5 इकाई दूर है जबकि 75010, 60 इकाई दूर है, इसलिए 75075 निकटतम संख्या है।

व्याख्या

दी गई संख्या y से x% अधिक मान की गणना करने के लिए, प्रयुक्त सूत्र y × (1 + ˣ⁄₁₀₀) है। इस मामले में, आधार मान y = 80 है और प्रतिशत वृद्धि x = 20% है।

सूत्र में इन मानों को रखने पर: संख्या = 80 × (1 + ²⁰⁄₁₀₀) संख्या = 80 × (1 + 0.2) संख्या = 80 × 1.2 संख्या = 96

वैकल्पिक रूप से, 80 का 20% ज्ञात करके वृद्धि की गणना की जा सकती है, जो कि ²⁰⁄₁₀₀ × 80 = 16 है। इस वृद्धि को मूल मान में जोड़ने पर 80 + 16 = 96 प्राप्त होता है।

व्याख्या

पेड़ की कुल ऊँचाई H, अभी भी खड़े ऊर्ध्वाधर भाग और टूटे हुए भाग (जो कर्ण के रूप में भूमि तक फैला हुआ है) का योग है। इस प्रकार बने समकोण त्रिभुज में, जड़ से उस बिंदु तक की दूरी जहाँ शीर्ष भूमि को स्पर्श करता है, आधार d = 30 मीटर है, और भूमि के साथ बनने वाला कोण θ = 30° है। वास्तविक ऊँचाई सूत्र H = d(tan θ + sec θ) द्वारा निर्धारित की जाती है।

सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर: H = 30(tan 30° + sec 30°) H = 30((1)/(√(3)) + (2)/(√(3))) H = 30((3)/(√(3))) H = 30√3 मीटर

खड़ा हुआ भाग 30 tan 30° = 10√3 मीटर और टूटा हुआ भाग 30 sec 30° = 20√3 मीटर मिलकर पेड़ की कुल ऊँचाई बनाते हैं।

व्याख्या

दिया गया समीकरण cos A + cos² A = 1 है। इस व्यंजक को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें cos A = 1 - cos² A प्राप्त होता है। त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² A + cos² A = 1 के अनुसार, पद 1 - cos² A, sin² A के बराबर है। इस प्रकार, हम संबंध cos A = sin² A स्थापित करते हैं। इस संबंध के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर cos² A = (sin² A)² = sin⁴ A प्राप्त होता है। जिस व्यंजक का मान ज्ञात करना है वह sin² A + sin⁴ A है। इस व्यंजक में समतुल्य कोसाइन (cosine) पदों को प्रतिस्थापित करने पर sin² A + sin⁴ A = cos A + cos² A प्राप्त होता है। चूंकि प्रारंभ में दी गई शर्त के अनुसार cos A + cos² A = 1 है, इसलिए अभीष्ट व्यंजक का मान 1 है।

व्याख्या

गायों की कुल संख्या n को चारों पुत्रों में इस प्रकार वितरित किया गया है कि उनके व्यक्तिगत हिस्सों का योग n के बराबर है। दिए गए अनुपातों और चौथे पुत्र के लिए निश्चित संख्या के आधार पर, समीकरण है:

ⁿ⁄₂ + ⁿ⁄₄ + ⁿ⁄₅ + 7 = n

n का मान ज्ञात करने के लिए, 2, 4 और 5 के लिए एक उभयनिष्ठ हर (common denominator) ज्ञात करके भिन्नात्मक भागों को जोड़ें, जो कि 20 है।

(10n + 5n + 4n)/(20) + 7 = n

¹⁹ⁿ⁄₂₀ + 7 = n

अचर (constant) को अलग करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें:

n - ¹⁹ⁿ⁄₂₀ = 7

(20n - 19n)/(20) = 7

ⁿ⁄₂₀ = 7

n = 7 × 20 = 140

व्याख्या

675 को एक पूर्ण घन बनाने के लिए जिस न्यूनतम संख्या से गुणा किया जाना चाहिए, उसे ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले इसका अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात करते हैं। 675 = 5 × 135 135 = 5 × 27 27 = 3 × 3 × 3 इसलिए, अभाज्य गुणनखंडन 675 = 3³ × 5² है।

किसी संख्या के पूर्ण घन होने के लिए, उसके अभाज्य गुणनखंडन में प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड का घातांक 3 का गुणज होना चाहिए। 675 के गुणनखंडन में, गुणनखंड 3 का घातांक 3 है, जो पहले से ही पूर्ण घन की शर्त को पूरा करता है। हालाँकि, गुणनखंड 5 का घातांक केवल 2 है। 5 के घातांक को 3 का गुणज बनाने के लिए, हमें 5³ तक पहुँचने के लिए संख्या को 5¹ से गुणा करना होगा।

675 को 5 से गुणा करने पर 3³ × 5³ = (3 × 5)³ = 15³ = 3375 प्राप्त होता है। अतः, आवश्यक न्यूनतम संख्या 5 है।

व्याख्या

ऐसे प्रश्नों में जहाँ भाजकों और उनके संबंधित शेषफलों के बीच का अंतर समान (स्थिर) होता है, वहाँ न्यूनतम संख्या ज्ञात करने के लिए सूत्र L = LCM(d₁, d₂, d₃, ...) - k का उपयोग किया जाता है, जहाँ k समान अंतर है।

सबसे पहले, समान अंतर k की गणना करें: 35 - 18 = 17 45 - 28 = 17 55 - 38 = 17 अतः, k = 17.

इसके बाद, भाजकों 35, 45 और 55 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करें: अभाज्य गुणनखंड इस प्रकार हैं: 35 = 5 × 7 45 = 3² × 5 55 = 5 × 11 LCM(35, 45, 55) = 3² × 5 × 7 × 11 = 9 × 5 × 7 × 11 = 3465

अभीष्ट न्यूनतम संख्या है: L = LCM - k = 3465 - 17 = 3448

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका csc² A - cot² A = 1 का उपयोग करके, हम इसे (csc A + cot A)(csc A - cot A) = 1 के रूप में गुणनखंडित कर सकते हैं। यह देखते हुए कि csc A + cot A = 3 है, हम इस मान को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करते हैं जिससे हमें 3(csc A - cot A) = 1 प्राप्त होता है, जो सरल होकर csc A - cot A = ⅓ हो जाता है।

अब हमारे पास दो रैखिक समीकरणों का एक निकाय है: csc A + cot A = 3 csc A - cot A = ⅓

इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर 2 csc A = 3 + ⅓ = ¹⁰⁄₃ प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप csc A = ⁵⁄₃ मिलता है। चूंकि sin A = (1)/(csc A) है, इसलिए sin A = ⅗ होगा।

पहले समीकरण में से दूसरे समीकरण को घटाने पर 2 cot A = 3 - ⅓ = ⁸⁄₃ प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप cot A = ⁴⁄₃ मिलता है। संबंध cos A = cot A × sin A का उपयोग करके, हमें cos A = ⁴⁄₃ × ⅗ = ⅘ प्राप्त होता है। वैकल्पिक रूप से, चूंकि A एक न्यून कोण है और sin A = ⅗ है, इसलिए संलग्न भुजा √(5² - 3²) = 4 होगी, जिससे cos A = ⅘ हो जाता है।

व्याख्या

संख्या 13b7, 11 से विभाज्य है। 11 की विभाज्यता के नियम के अनुसार, विषम स्थानों पर अंकों के योग और सम स्थानों पर अंकों के योग के बीच का अंतर शून्य या 11 का गुणज होना चाहिए। चार अंकों की संख्या 13b7 के लिए, हम गणना करते हैं: (1 + b) - (3 + 7) = b - 9. इस मान को शून्य होने के लिए, b का मान 9 होना चाहिए।

दिए गए समीकरण 4a3 + 984 = 13b7 का उपयोग करके और b = 9 प्रतिस्थापित करने पर, हमें 4a3 + 984 = 1397 प्राप्त होता है। a का मान ज्ञात करने के लिए, हम घटाव करते हैं: 1397 - 984 = 413. पदों की तुलना करने पर, हम देखते हैं कि तीन अंकों की संख्या 4a3, 413 के संगत है, जिसका अर्थ है a = 1. a + b का मान 1 + 9 = 10 के रूप में परिकलित किया जाता है।

व्याख्या

दो समरूप त्रिभुजों Δ ABC और Δ DEF के लिए, उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। इस ज्यामितीय गुण को निम्नलिखित सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है:

(क्षेत्रफल(Δ ABC))/(क्षेत्रफल(Δ DEF)) = ((BC)/(EF))²

सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर:

⁶⁴⁄₁₂₁ = ((BC)/(15.4))²

भुजाओं के अनुपात को हल करने के लिए दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:

√(64)/{√(121)} = (BC)/(15.4)

⁸⁄₁₁ = (BC)/(15.4)

BC का मान ज्ञात करने के लिए, समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

BC = (8 × 15.4)/(11)

BC = 8 × 1.4 = 11.2 सेमी

समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के प्रमेय का उपयोग करते हुए, भुजा BC की लंबाई 11.2 सेमी प्राप्त होती है।

व्याख्या

मान लीजिए कि AD, शीर्ष A से भुजा BC पर खींची गई माध्यिका है, जहाँ D, BC का मध्यबिंदु है। एक त्रिभुज का केन्द्रक G प्रत्येक माध्यिका को शीर्ष से मापने पर 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है। इसलिए, AG = 2GD। प्रश्न में शर्त AG = BC दी गई है, इसलिए इसे अनुपात में प्रतिस्थापित करने पर BC = 2GD प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर GD = (BC)/(2) प्राप्त होता है। △ BGC में, GD भुजा BC पर माध्यिका है क्योंकि D मध्यबिंदु है। चूंकि D मध्यबिंदु है, इसलिए लंबाई BD और DC दोनों (BC)/(2) के बराबर हैं। परिणामस्वरूप, हमें समानता GD = BD = DC प्राप्त होती है। इस ज्यामिति से तात्पर्य है कि D, △ BGC के तीनों शीर्षों से समान दूरी पर है, जिससे D त्रिभुज का परिकेंद्र बन जाता है। चूंकि परिकेंद्र D भुजा BC पर स्थित है, इसलिए BC को परिवृत्त का व्यास होना चाहिए। इस गुण के अनुसार कि व्यास द्वारा परिधि पर अंतरित कोण एक समकोण होता है, यह निष्कर्ष निकलता है कि ∠ BGC = 90°।

व्याख्या

किन्हीं दो कोणों A और B के लिए, शर्त tan A tan B = 1 का तात्पर्य है कि tan A = 1 / tan B = cot B। चूंकि cot B = tan(90° - B) होता है, इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि A + B = 90° है। दिए गए समीकरण tan(x + y) tan(x - y) = 1 पर इस गुण को लागू करते हुए, हम संबंध में A = x + y और B = x - y प्रतिस्थापित करते हैं:

(x + y) + (x - y) = 90°

समान पदों को मिलाकर समीकरण को सरल बनाने पर, हमें प्राप्त होता है:

2x = 90° x = 45°

इसलिए, tan x का मान tan 45° = 1 है। इसे टैनजेंट (tangent) योग और अंतर सर्वसमिकाओं का विस्तार करके भी सत्यापित किया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप संबंध tan² x - tan² y = 1 - tan² x tan² y प्राप्त होता है। इस व्यंजक का गुणनखंड करने पर tan² x (1 + tan² y) = 1 + tan² y प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को (1 + tan² y) से विभाजित करने पर tan² x = 1 प्राप्त होता है, जिससे पुष्टि होती है कि tan x = 1 है।

व्याख्या

एक साझेदारी में, लाभ को पूंजी और समय के गुणनफल के अनुपात में विभाजित किया जाता है। माना कुल पूंजी 1 इकाई है और कुल समय 1 इकाई है।

C द्वारा निवेश की गई पूंजी की गणना कुल पूंजी में से A और B के निवेश को घटाकर की जाती है: C = 1 - (⅙ + ¼) = 1 - ⁵⁄₁₂ = ⁷⁄₁₂

लाभ विभाजन अनुपात इस प्रकार निर्धारित किया जाता है: A : B : C = (पूंजी_A × समय_A) : (पूंजी_B × समय_B) : (पूंजी_C × समय_C) A : B : C = (⅙ × ⅙) : (¼ × ¼) : (⁷⁄₁₂ × 1) A : B : C = ¹⁄₃₆ : ¹⁄₁₆ : ⁷⁄₁₂

इस अनुपात को सरल बनाने के लिए, सभी पदों को हरों (36, 16, 12) के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से गुणा करें, जो कि 144 है: A : B : C = (¹⁄₃₆ × 144) : (¹⁄₁₆ × 144) : (⁷⁄₁₂ × 144) = 4 : 9 : 84

अनुपात के भागों का योग 4 + 9 + 84 = 97 है। दिया गया कुल लाभ 19,400 है, B के हिस्से की गणना इस प्रकार की जाती है: B का हिस्सा = ⁹⁄₉₇ × 19400 B का हिस्सा = 9 × 200 = 1800

व्याख्या

माना A और B की प्रारंभिक मात्राएँ क्रमशः 4x और x हैं। 10 लीटर मिश्रण (8 लीटर A और 2 लीटर B) को निकालने और 10 लीटर B मिलाने के बाद, नया अनुपात (4x - 8) / (x + 8) = 2/3 हो जाता है, जिससे x = 4 प्राप्त होता है। अतः, द्रव A का प्रारंभिक आयतन 4x = 16 लीटर था।

व्याख्या

दिया गया समीकरण (5x² - 3y²)/(xy) = 11/2 है। अनुपात k = (x)/(y) ज्ञात करने के लिए, अंश के पदों को xy से विभाजित करने पर हमें 5((x)/(y)) - 3(y/x) = 11/2 प्राप्त होता है। k = (x)/(y) प्रतिस्थापित करने पर समीकरण 5k - 3/k = 11/2 प्राप्त होता है।

भिन्नों को हटाने के लिए पूरे समीकरण को 2k से गुणा करने पर 10k² - 6 = 11k प्राप्त होता है, जिसे द्विघात रूप 10k² - 11k - 6 = 0 में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। मध्य पद को विभाजित करके द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर 10k² - 15k + 4k - 6 = 0 प्राप्त होता है, जो सरल होकर 5k(2k - 3) + 2(2k - 3) = 0, या (5k + 2)(2k - 3) = 0 हो जाता है। इसके मूल k = 3/2 और k = -2/5 हैं। चूंकि x और y धनात्मक दिए गए हैं, इसलिए अनुपात (x)/(y) धनात्मक होना चाहिए, इसलिए (x)/(y) = 3/2 है।

व्याख्या

एक त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग 180° होता है। जब तीनों कोणों में से प्रत्येक को 15° कम किया जाता है, तो कोणों के योग में कुल कमी 3 × 15° = 45° होती है। इसलिए, कम किए गए कोणों का योग 180° - 45° = 135° है।

कम किए गए कोण 2:3:5 के अनुपात में हैं। माना कम किए गए कोण 2x, 3x और 5x हैं। उनका योग 2x + 3x + 5x = 10x है। इसे कम किए गए कोणों के योग के बराबर रखने पर, हमें 10x = 135° प्राप्त होता है, जिससे x = 13.5° मिलता है।

सबसे बड़ा कम किया गया कोण 5x = 5 × 13.5° = 67.5° है। सबसे बड़ा मूल कोण ज्ञात करने के लिए, हम 15° की कमी को वापस जोड़ते हैं: 67.5° + 15° = 82.5°।

डिग्री माप को रेडियन में बदलने के लिए, हम (π)/(180°) से गुणा करते हैं: रेडियन माप = 82.5 × (π)/(180) = ¹⁶⁵⁄₂ × (π)/(180) = (33 × 5)/(2) × (π)/(36 × 5) = (33π)/(72) अंश और हर को 3 से विभाजित करके सरल करने पर, हमें (11π)/(24) प्राप्त होता है।

व्याख्या

किन्हीं दो धनात्मक वास्तविक संख्याओं x और y के लिए, समांतर माध्य (AM) हमेशा गुणोत्तर माध्य (GM) से बड़ा या उसके बराबर होता है। इस असमिका को पदों 4csc² a और 9sin² a पर लागू करने पर, हमें प्राप्त होता है:

4csc² a + 9sin² a{2} ≥ √((4csc²⁾ᵃ⁾^·⁽⁹ˢⁱⁿ^^^² ᵃ⁾

चूंकि csc² a = (1)/(sin²⁾ᵃ है, इसलिए वर्गमूल के अंदर के दोनों पदों का गुणनफल एक स्थिरांक के रूप में सरल हो जाता है:

4csc² a + 9sin² a ≥ 2√(4 · 9 · csc²⁾ᵃ^·ˢⁱⁿ^^^² ᵃ

4csc² a + 9sin² a ≥ 2√(36)

4csc² a + 9sin² a ≥ 2 · 6

4csc² a + 9sin² a ≥ 12

व्यंजक का न्यूनतम मान तब प्राप्त होता है जब 4csc² a = 9sin² a हो, जिससे sin⁴ a = ⁴⁄₉, या sin² a = ⅔ प्राप्त होता है। चूंकि sin² a का यह मान मान्य सीमा [0, 1] के भीतर है, इसलिए न्यूनतम मान ठीक 12 है।