एसएससी सीजीएल टियर 1 2012 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

p का मान ज्ञात करने के लिए, हम मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² Θ + cos² Θ = 1 का उपयोग करते हैं। दिए गए समीकरणों p sin Θ = √3 और p cos Θ = 1 के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर हमें p² sin² Θ = 3 और p² cos² Θ = 1 प्राप्त होता है। इन दोनों परिणामी समीकरणों को जोड़ने पर p² sin² Θ + p² cos² Θ = 3 + 1 प्राप्त होता है।

बाएँ पक्ष से p² को उभयनिष्ठ (common) लेने पर, समीकरण p² (sin² Θ + cos² Θ) = 4 हो जाता है। इस व्यंजक में सर्वसमिका sin² Θ + cos² Θ = 1 प्रतिस्थापित करने पर यह सरल होकर p² (1) = 4 हो जाता है। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेकर p के लिए हल करने पर, हमें प्राप्त होता है कि p = √4, जो कि 2 के बराबर है।

व्याख्या

एक समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल सूत्र क्षेत्रफल = ½ × (a + b) × h द्वारा दिया जाता है, जहाँ a और b समानांतर भुजाओं की लंबाइयाँ हैं और h उनके बीच की लंबवत दूरी है। दिए गए मानों a = 5 सेमी, b = 9 सेमी, और क्षेत्रफल = 35 वर्ग सेमी को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 35 = ½ × (5 + 9) × h प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर 35 = 7h प्राप्त होता है, जिससे h = 5 सेमी मिलता है।

एक समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज में जहाँ AB = CD है, बड़ी आधार रेखा BC पर गैर-समानांतर भुजा CD का प्रक्षेप x = (BC - AD)/(2) के रूप में परिकलित किया जाता है। समानांतर भुजाओं की लंबाइयों को प्रतिस्थापित करने पर, x = (9 - 5)/(2) = 2 सेमी। ऊंचाई h, प्रक्षेप x, और तिर्यक भुजा CD द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर, हमें CD² = h² + x² प्राप्त होता है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, CD² = 5² + 2² = 25 + 4 = 29। इसलिए, CD = √(29) सेमी।

व्याख्या

दिए गए समीकरण x sin Θ - y cos Θ = 0 से, हमें संबंध x sin Θ = y cos Θ प्राप्त होता है।

दूसरा दिया गया समीकरण x sin³ Θ + y cos³ Θ = sin Θ cos Θ है। हम इस समीकरण को पदों को विभाजित करके (x sin Θ) sin² Θ + (y cos Θ) cos² Θ = sin Θ cos Θ के रूप में फिर से लिख सकते हैं।

व्यंजक में y cos Θ के स्थान पर x sin Θ प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: (x sin Θ) sin² Θ + (x sin Θ) cos² Θ = sin Θ cos Θ

बाएँ पक्ष से x sin Θ को उभयनिष्ठ लेने पर: x sin Θ (sin² Θ + cos² Θ) = sin Θ cos Θ

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² Θ + cos² Θ = 1 का उपयोग करने पर, समीकरण सरल होकर निम्न हो जाता है: x sin Θ (1) = sin Θ cos Θ

दोनों पक्षों को sin Θ से विभाजित करने पर (चूंकि sin Θ cos Θ ≠ 0), हमें प्राप्त होता है: x = cos Θ

अब, संबंध x sin Θ = y cos Θ में x = cos Θ को वापस प्रतिस्थापित करने पर: cos Θ sin Θ = y cos Θ y = sin Θ

x² + y² के मान की गणना इस प्रकार की जाती है: x² + y² = (cos Θ)² + (sin Θ)² x² + y² = cos² Θ + sin² Θ = 1

व्याख्या

समीकरण √(4x - 9) + √(4x + 9) = 5 + √7 के बाएं पक्ष (LHS) में x = 4 रखने पर प्राप्त होता है:

LHS = √(4(4) - 9) + √(4(4) + 9) LHS = √(16 - 9) + √(16 + 9) LHS = √7 + √(25) LHS = √7 + 5 LHS = 5 + √7

चूंकि प्राप्त मान समीकरण के दाएं पक्ष (RHS) से बिल्कुल मेल खाता है, इसलिए x = 4 सही हल है।

वैकल्पिक रूप से, समीकरण के परिमेय और अपरिमेय भागों की तुलना करके भी मान ज्ञात किया जा सकता है। समीकरण को संतुष्ट करने के लिए, पदों की तुलना इस प्रकार की जा सकती है: √(4x + 9) = 5 ⟹ 4x + 9 = 25 ⟹ 4x = 16 ⟹ x = 4 √(4x - 9) = √7 ⟹ 4x - 9 = 7 ⟹ 4x = 16 ⟹ x = 4 दोनों स्थितियां चर के लिए समान संगत मान प्रदान करती हैं।

व्याख्या

दिया गया है uₙ = cosⁿ α + sinⁿ α। हम u₄ और u₆ को sin² α cos² α के पदों में व्यक्त करने के लिए मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² α + cos² α = 1 का उपयोग करते हैं।

u₄ के लिए सर्वसमिका a² + b² = (a+b)² - 2ab का उपयोग करने पर: u₄ = cos⁴ α + sin⁴ α = (cos² α + sin² α)² - 2 sin² α cos² α u₄ = 1 - 2 sin² α cos² α

u₆ के लिए सर्वसमिका a³ + b³ = (a+b)³ - 3ab(a+b) का उपयोग करने पर: u₆ = cos⁶ α + sin⁶ α = (cos² α + sin² α)³ - 3 sin² α cos² α (cos² α + sin² α) u₆ = 1³ - 3 sin² α cos² α (1) = 1 - 3 sin² α cos² α

अब, इन व्यंजकों को 2u₆ - 3u₄ + 1 में प्रतिस्थापित करने पर: 2(1 - 3 sin² α cos² α) - 3(1 - 2 sin² α cos² α) + 1 = 2 - 6 sin² α cos² α - 3 + 6 sin² α cos² α + 1 = 2 - 3 + 1 = 0

वैकल्पिक रूप से, α = 0 जैसा एक विशिष्ट मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें u₆ = 1⁶ + 0⁶ = 1 और u₄ = 1⁴ + 0⁴ = 1 प्राप्त होता है। तब व्यंजक 2(1) - 3(1) + 1 = 0 हो जाता है।

व्याख्या

व्यंजक √(-3) + √(3 + 8{7 + 4{3)}} को हल करने के लिए, हम सबसे भीतरी परत से शुरू करते हुए संनिहित करणी (nested radicals) को सरल बनाने के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² = a² + b² + 2ab का उपयोग करते हैं।

सबसे पहले, हम √(7 + 43) को सरल करते हैं। हम करणीगत संख्या को 7 + 4√3 = 4 + 3 + 2(2)(√3) = 2² + (√3)² + 2(2)(√3) के रूप में फिर से लिख सकते हैं, जो (2 + √3)² है। इसलिए, √(7 + 43) = 2 + √3।

इसके बाद, हम इस मान को मध्य करणी परत में प्रतिस्थापित करते हैं: √(3 + 8(2 + 3)) = √(3 + 16 + 83) = √(19 + 83)। हम 19 + 8√3 को 16 + 3 + 2(4)(√3) = 4² + (√3)² + 2(4)(√3) के रूप में फिर से लिखकर इसे सरल करते हैं, जो (4 + √3)² है। इस प्रकार, √(19 + 83) = 4 + √3।

अंत में, हम इस परिणाम को व्यंजक के सबसे बाहरी भाग में वापस प्रतिस्थापित करते हैं: √(-3) + (4 + √3) = √(-3) + 4 + √3 = √4 = 2।

व्याख्या

एक वृत्त में, जीवा के मध्य बिंदु को मिलाने वाली त्रिज्या उस जीवा पर लंब होती है। इसलिए, OP ⊥ AB और OQ ⊥ AC, जिसका अर्थ है ∠ OPA = 90° और ∠ OQA = 90°। चतुर्भुज APOQ में, अंतः कोणों का योग 360° होता है। ∠ BAC = 32° होने पर, केंद्र पर कोण ∠ POQ = 360° - (90° + 90° + 32°) = 148° है। चूंकि बिंदु R और S क्रमशः OP और OQ को आगे बढ़ाने पर वृत्त पर स्थित हैं, इसलिए केंद्रीय कोण ∠ ROS, ∠ POQ के बराबर है, जो कि 148° है। वृत्त के प्रमेय के अनुसार, किसी चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण उसी चाप द्वारा परिधि के किसी भी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है। इस प्रकार, दीर्घ चाप पर बिंदु T पर बना कोण ∠ RTS = ½ ∠ ROS = (148°)/(2) = 74° है।

व्याख्या

प्रारंभिक आयतन V में से x आयतन निकालने और उसके स्थान पर पानी मिलाने की n क्रमिक प्रक्रियाओं के बाद बर्तन में बचे दूध की अंतिम मात्रा की गणना सूत्र Q = V(1 - (x)/(V))ⁿ का उपयोग करके की जाती है।

इस प्रश्न में, दूध का प्रारंभिक आयतन V = 80 L है, और प्रत्येक चरण में प्रतिस्थापित की जाने वाली मात्रा x = 8 L है। यह प्रक्रिया एक बार की गई और फिर दो बार और दोहराई गई, जिसका अर्थ है कि प्रक्रियाओं की कुल संख्या n = 3 है।

इन मानों को सूत्र में रखने पर: Q = 80(1 - ⁸⁄₈₀)³ Q = 80(1 - ⅒)³ Q = 80(⁹⁄₁₀)³ Q = 80 × ⁷²⁹⁄₁₀₀₀ Q = (8 × 729)/(100) Q = ⁵⁸³²⁄₁₀₀ Q = 58.32 L.

व्याख्या

एक वृत्त में, केंद्र से जीवा पर खींचा गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। यह रचना एक समकोण त्रिभुज बनाती है जहाँ त्रिज्या (r) कर्ण है, केंद्र से जीवा की दूरी (d) एक भुजा है, और जीवा की आधी लंबाई (L/2) दूसरी भुजा है। पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर:

r² = d² + ((L)/(2))²

दिए गए मानों r = 13 सेमी और d = 12 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर:

13² = 12² + ((L)/(2))² 169 = 144 + ((L)/(2))² ((L)/(2))² = 169 - 144 ((L)/(2))² = 25 (L)/(2) = √(25) = 5 सेमी

जीवा XY की कुल लंबाई 2 × 5 = 10 सेमी है। यह मानक पाइथागोरियन त्रिक (5, 12, 13) का अनुसरण करता है, जहाँ 13 कर्ण है।

व्याख्या

एक त्रिभुज के तीनों आंतरिक कोणों का योग हमेशा π रेडियन होता है। दिए गए दो कोण 1/2 रेडियन और 1/3 रेडियन हैं, रेडियन में तीसरे कोण की गणना उनके योग को π से घटाकर की जाती है: तीसरा कोण = π - (1/2 + 1/3) = π - 5/6 रेडियन।

इस माप को डिग्री में बदलने के लिए, हम रेडियन के मान को 180/π से गुणा करते हैं: डिग्री में तीसरा कोण = (π - 5/6) × (180/π) = 180 - (5/6 × 180/π) = 180 - (150/π)।

π = 22/7 मान का उपयोग करने पर: डिग्री में तीसरा कोण = 180 - (150 × 7 / 22) = 180 - (75 × 7 / 11) = 180 - 525/11.

525 को 11 से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: 525/11 = 47 ⁸⁄₁₁.

इसे 180 से घटाने पर: 180 - 47 ⁸⁄₁₁ = 132 ³⁄₁₁°.

व्याख्या

जब r त्रिज्या वाले दो समान वृत्त एक-दूसरे के केंद्र से होकर गुजरते हैं, तो उनके केंद्रों के बीच की दूरी भी r होती है। मान लीजिए कि केंद्र O₁ और O₂ हैं, तथा वृत्तों के प्रतिच्छेदन बिंदु A और B हैं। त्रिभुज AO₁O₂ में, भुजा O₁O₂ = r है, और भुजाएँ O₁A और O₂A भी r के बराबर हैं क्योंकि वे संबंधित वृत्तों की त्रिज्याएँ हैं। इससे △ AO₁O₂ एक समबाहु त्रिभुज बन जाता है जिसकी भुजा की लंबाई r = 5 सेमी है। उभयनिष्ठ जीवा AB, केंद्रों O₁O₂ को मिलाने वाली रेखा पर लंबवत होती है और इसके द्वारा समद्विभाजित होती है। बिंदु A से रेखा O₁O₂ की दूरी समबाहु त्रिभुज △ AO₁O₂ के शीर्षलंब को दर्शाती है। s भुजा वाले समबाहु त्रिभुज के शीर्षलंब h का सूत्र h = (√3/2)s है। s = 5 सेमी के लिए, शीर्षलंब 5√3/2 सेमी है। चूंकि उभयनिष्ठ जीवा AB इस शीर्षलंब की दोगुनी है, इसलिए इसकी लंबाई 2 × 5√3/2 = 5√3 सेमी है।

व्याख्या

जब अनाज व्यापारी खरीदते समय 10% की धोखाधड़ी करता है, तो इसका अर्थ है कि वह 100 इकाइयों के लिए भुगतान करता है लेकिन 110 इकाइयाँ प्राप्त करता है। इस प्रकार, 110 इकाइयों के लिए उसका क्रय मूल्य (CP) 100 इकाइयों के मूल्य के बराबर है। जब वह बेचते समय 10% की धोखाधड़ी करता है, तो इसका अर्थ है कि वह ग्राहक से 100 इकाइयों के लिए मूल्य लेता है लेकिन केवल 90 इकाइयाँ ही देता है। इस प्रकार, 90 इकाइयों के लिए उसका विक्रय मूल्य (SP) 100 इकाइयों के मूल्य के बराबर है।

कुल लाभ प्रतिशत की गणना करने के लिए, हम प्रति इकाई प्रभावी क्रय मूल्य और विक्रय मूल्य की तुलना करते हैं। मान लीजिए 1 इकाई का अंकित मूल्य 1 है। 1 इकाई का क्रय मूल्य (CP) = ¹⁰⁰⁄₁₁₀ = ¹⁰⁄₁₁ 1 इकाई का विक्रय मूल्य (SP) = ¹⁰⁰⁄₉₀ = ¹⁰⁄₉

लाभ प्रतिशत = (SP - CP)/(CP) × 100 मानों को प्रतिस्थापित करने पर: लाभ प्रतिशत = (10)/(9) - ¹⁰⁄₁₁{¹⁰⁄₁₁} × 100 लाभ प्रतिशत = (1)/(9) - ¹⁄₁₁{¹⁄₁₁} × 100 लाभ प्रतिशत = (11 - 9)/(9) × 100 लाभ प्रतिशत = ²⁄₉ × 100 = 22.22%

व्याख्या

△ ACD में, यह दिया गया है कि CD = CA, जिसका अर्थ है कि △ ACD एक समद्विबाहु त्रिभुज है। इसलिए, इन भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होंगे, इसलिए ∠ CAD = ∠ CDA। चूँकि ∠ ADB = 20° दिया गया है, इसलिए ∠ CDA = 20°, जिससे ∠ CAD = 20° प्राप्त होता है।

कोण ∠ ACB, शीर्ष C पर △ ACD का एक बाह्य कोण है। बाह्य कोण प्रमेय के अनुसार, किसी त्रिभुज के बाह्य कोण का माप उसके दो सुदूर अंतः कोणों के मापों के योग के बराबर होता है। इस प्रकार, ∠ ACB = ∠ CAD + ∠ CDA = 20° + 20° = 40°।

△ ABC में, प्रश्न में कहा गया है कि AB = AC, जिसका अर्थ है कि △ ABC भी एक समद्विबाहु त्रिभुज है। इन बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होने चाहिए, इसलिए ∠ ABC = ∠ ACB। ∠ ACB के परिकलित मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है कि ∠ ABC = 40°।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin θ = cos (90° - θ) का उपयोग करने पर, या अधिक सामान्य रूप से, यदि sin A = cos B, तो A + B = 90° होता है। इसे दिए गए समीकरण sin (x + y) = cos [3(x + y)] पर लागू करने पर, हम A = (x + y) और B = 3(x + y) मानते हैं।

इन कोणों का योग करने पर: (x + y) + 3(x + y) = 90° 4(x + y) = 90°

tan [2(x + y)] का मान ज्ञात करने के लिए, हम उपरोक्त समीकरण को 2 से विभाजित करते हैं: 2(x + y) = 45°

इस मान को tan फलन में प्रतिस्थापित करने पर: tan [2(x + y)] = tan 45° = 1

व्याख्या

एक गार्डन रोलर आकार में बेलनाकार होता है, और एक पूरे चक्कर में इसके द्वारा तय किया गया क्षेत्रफल इसके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल के बराबर होता है। एक बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना सूत्र π × d × h का उपयोग करके की जाती है, जहाँ d व्यास को और h रोलर की लंबाई (या ऊंचाई) को दर्शाता है।

दिया गया है: व्यास d = 1.4 मीटर लंबाई h = 2 मीटर चक्करों की संख्या n = 5

सबसे पहले, एक चक्कर में तय किए गए क्षेत्रफल की गणना करें: प्रति चक्कर क्षेत्रफल = ²²⁄₇ × 1.4 × 2 प्रति चक्कर क्षेत्रफल = 22 × 0.2 × 2 प्रति चक्कर क्षेत्रफल = 8.8 वर्ग मीटर

5 चक्करों में तय किए गए कुल क्षेत्रफल को ज्ञात करने के लिए, एक चक्कर के क्षेत्रफल को चक्करों की कुल संख्या से गुणा करें: कुल क्षेत्रफल = 5 × 8.8 कुल क्षेत्रफल = 44 वर्ग मीटर

व्याख्या

मान लीजिए कि ट्रेन द्वारा यात्रा करने में लगा समय t घंटे है। चूंकि यात्रा का कुल समय 6 घंटे है, इसलिए बस द्वारा यात्रा करने में लगा समय (6 - t) घंटे है। संबंध दूरी = गति × समय का उपयोग करते हुए, कुल दूरी बस और ट्रेन द्वारा तय की गई दूरियों का योग है:

40(6 - t) + 55t = 285

समीकरण का विस्तार करने पर: 240 - 40t + 55t = 285 15t = 285 - 240 15t = 45 t = 3 घंटे

ट्रेन द्वारा तय की गई दूरी की गणना ट्रेन की गति को ट्रेन में बिताए गए समय से गुणा करके की जाती है: 55 किमी/घंटा × 3 घंटे = 165 किमी

वैकल्पिक रूप से, गतियों पर मिश्रण के नियम (rule of alligation) को लागू करने पर, पूरी यात्रा की औसत गति 285 / 6 = 47.5 किमी/घंटा है। बस में बिताए गए समय और ट्रेन में बिताए गए समय का अनुपात (55 - 47.5) : (47.5 - 40) है, जो कि 7.5 : 7.5 या 1 : 1 है। इस अनुपात में कुल 6 घंटे के समय को विभाजित करने पर प्रत्येक भाग के लिए 3 घंटे मिलते हैं। इसलिए ट्रेन द्वारा तय की गई दूरी 55 × 3 = 165 किमी है।

व्याख्या

संख्याओं के एक समूह का योग, औसत और संख्याओं की कुल संख्या के गुणनफल के बराबर होता है। पाँच संख्याओं के लिए, कुल योग 5 × 56.4 = 282 है।

पहली और दूसरी संख्या का योग 2 × 53 = 106 है। चौथी और पाँचवीं संख्या का योग 2 × 56 = 112 है।

तीसरी संख्या ज्ञात करने के लिए, सभी पाँच संख्याओं के कुल योग में से पहली, दूसरी, चौथी और पाँचवीं संख्या के योग को घटाएं: तीसरी संख्या = 282 - (106 + 112) तीसरी संख्या = 282 - 218 तीसरी संख्या = 64

व्याख्या

पूरक कोण संबंधों cot 70° = tan(90° - 70°) = tan 20° और tan 70° = cot(90° - 70°) = cot 20° का उपयोग करने पर, व्यंजक को इस प्रकार सरल किया जा सकता है: (1 + sec 20° + tan 20°)(1 - csc 20° + cot 20°) इन पदों को साइन (sine) और कोसाइन (cosine) फलनों के रूप में व्यक्त करने पर: (1 + (1)/(cos 20°) + (sin 20°)/(cos 20°)) (1 - (1)/(sin 20°) + (cos 20°)/(sin 20°)) दोनों भागों में उभयनिष्ठ हर (common denominator) लेने पर: ((cos 20° + 1 + sin 20°)/(cos 20°)) ((sin 20° - 1 + cos 20°)/(sin 20°)) अंशों का गुणनफल बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)(a - b) = a² - b² का अनुसरण करता है, जहाँ a = (sin 20° + cos 20°) और b = 1 है: (sin 20° + cos 20°)² - 1²{sin 20° cos 20°} वर्ग का विस्तार करने पर: sin² 20° + cos² 20° + 2 sin 20° cos 20° - 1{sin 20° cos 20°} सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 का उपयोग करने पर, अंश इस प्रकार सरल हो जाता है: (1 + 2 sin 20° cos 20° - 1)/(sin 20° cos 20°) = (2 sin 20° cos 20°)/(sin 20° cos 20°) = 2

व्याख्या

समीकरण 2 sin a + 15 cos² a = 7 को सभी त्रिकोणमितीय पदों को sin a के पदों में व्यक्त करके हल किया जा सकता है। मूलभूत सर्वसमिका cos² a = 1 - sin² a का उपयोग करते हुए, हम इसे दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

2 sin a + 15(1 - sin² a) = 7 2 sin a + 15 - 15 sin² a = 7 15 sin² a - 2 sin a - 8 = 0

यह sin a के पदों में एक द्विघात समीकरण है। हम इसे द्विघात सूत्र sin a = -b ± √(b² - 4ac){2a} का उपयोग करके हल कर सकते हैं:

sin a = 2 ± √((-2)² - 4(15)(-8)){2(15)} sin a = 2 ± √(4 + 480){30} sin a = (2 ± 22)/(30)

इससे दो संभावित मान प्राप्त होते हैं: sin a = ²⁴⁄₃₀ = ⅘ या sin a = -²⁰⁄₃₀ = -⅔। दिए गए प्रतिबंध 0 ≤ a ≤ π/2 के अनुसार, a प्रथम चतुर्थांश में स्थित है जहाँ sine का मान गैर-ऋणात्मक होना चाहिए। इसलिए, हमें प्राप्त होता है:

sin a = ⅘

एक समकोण त्रिभुज में जहाँ सम्मुख भुजा 4 है और कर्ण 5 है, आसन्न भुजा पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके ज्ञात की जाती है: √(5² - 4²) = √(25 - 16) = 3। इससे, cosine का मान है:

cos a = ⅗

cot a का मान cosine और sine के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है:

cot a = (cos a)/(sin a) = (3/5)/(4/5) = ¾

व्याख्या

कुल लाभ प्रतिशत की गणना क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र x + y + ˣʸ⁄₁₀₀ का उपयोग करके की जा सकती है, जहाँ x अंकित मूल्य में वृद्धि (markup) प्रतिशत है और y छूट प्रतिशत है।

30% की मूल्य वृद्धि (x = 30) और 10% की छूट (y = -10) दिए जाने पर, गणना इस प्रकार है:

लाभ % = 30 - 10 + (30 × (-10))/(100) लाभ % = 20 - 3 = 17%

वैकल्पिक रूप से, यदि क्रय मूल्य को 100 माना जाए, तो अंकित मूल्य 130 होगा क्योंकि यह 30% अधिक है। अंकित मूल्य पर 10% की छूट देने के लिए 130 का 10% घटाना होगा, जो कि 13 है, जिसके परिणामस्वरूप विक्रय मूल्य 130 - 13 = 117 हो जाता है। लाभ, विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य के बीच का अंतर है, जो कि 117 - 100 = 17 है, जो मूल क्रय मूल्य पर 17% लाभ को दर्शाता है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण sin 2Θ = 1/2 से, हम 2Θ की तुलना 30° से कर सकते हैं क्योंकि sin 30° = 1/2 होता है। Θ के लिए हल करने पर, हमें 2Θ = 30° प्राप्त होता है, जिससे Θ = 15° प्राप्त होता है। इस मान को व्यंजक cos (75° - Θ) में रखने पर, हमें cos (75° - 15°) = cos 60° प्राप्त होता है। मानक त्रिकोणमितीय सारणी के मान का उपयोग करने पर, cos 60° = 1/2 होता है।

व्याख्या

त्रिभुज x-अक्ष (y = 0) और रेखाओं 2x + y = 4 तथा x - y + 1 = 0 से घिरा हुआ है। चूंकि त्रिभुज का आधार x-अक्ष के अनुदिश है, इसलिए इस आधार के संगत शीर्षलंब तीसरे शीर्ष से x-अक्ष की लंबवत दूरी है। यह दूरी दोनों रेखाओं 2x + y = 4 और x - y + 1 = 0 के प्रतिच्छेदन बिंदु के y-निर्देशांक के निरपेक्ष मान के बराबर है।

प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, समीकरण निकाय को हल करें: 2x + y = 4 x - y = -1

दोनों समीकरणों को जोड़ने पर y विलुप्त हो जाता है: (2x + y) + (x - y) = 4 + (-1) 3x = 3 x = 1

x = 1 को समीकरण x - y + 1 = 0 में प्रतिस्थापित करने पर: 1 - y + 1 = 0 2 - y = 0 y = 2

x-अक्ष पर स्थित न होने वाले शीर्ष के निर्देशांक (1, 2) हैं। त्रिभुज का शीर्षलंब, जो इस शीर्ष से x-अक्ष की ऊर्ध्वाधर दूरी के रूप में मापा जाता है, शीर्ष के y-निर्देशांक के बराबर है। अतः, शीर्षलंब 2 इकाई है।

व्याख्या

सबसे पहले, x और y के दिए गए मानों का परिमेयकरण करें: x = (1)/(2 + √(3)) = 2 - √3{(2 + √3)(2 - √3)} = 2 - √3{4 - 3} = 2 - √3 y = (1)/(2 - √(3)) = 2 + √3{(2 - √3)(2 + √3)} = 2 + √3{4 - 3} = 2 + √3

ध्यान दें कि xy = (2 - √3)(2 + √3) = 4 - 3 = 1, जिसका अर्थ है y = ¹⁄ₓ। मान ज्ञात करने वाला व्यंजक (1)/(x + 1) + (1)/(y + 1) है। व्यंजक में y = ¹⁄ₓ प्रतिस्थापित करने पर:

(1)/(x + 1) + (1)/(1){x + 1} = (1)/(x + 1) + (1)/(1 + x){x} = (1)/(x + 1) + (x)/(1 + x) = (1 + x)/(x + 1) = 1

वैकल्पिक रूप से, परिमेयकृत मानों को सीधे प्रतिस्थापित करने पर: (1)/((2 - √(3)) + 1) + (1)/((2 + √(3)) + 1) = (1)/(3 - √(3)) + (1)/(3 + √(3)) उभयनिष्ठ हर लेने पर: (3 + √3) + (3 - √3){(3 - √3)(3 + √3)} = (6)/(9 - 3) = ⁶⁄₆ = 1

व्याख्या

साझेदारी के व्यवसाय में, लाभ का अनुपात निवेश की गई पूंजी और निवेश की समय अवधि के गुणनफल के अनुक्रमानुपाती (directly proportional) होता है। इस संबंध को निम्नलिखित सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है:

लाभ_A / लाभ_B = (पूंजी_A × समय_A) / (पूंजी_B × समय_B)

प्रश्न से, A की पूंजी (I_A) 7,000 रुपये है और निवेश की अवधि (T_A) 12 महीने है। B, A के 5 महीने बाद शामिल होता है, जिसका अर्थ है कि B के निवेश की अवधि (T_B) 12 - 5 = 7 महीने है। लाभ साझाकरण अनुपात 2:3 दिया गया है। माना B की पूंजी I_B है। इन मानों को अनुपात सूत्र में रखने पर:

2/3 = (7000 × 12) / (I_B × 7)

7000 को 7 से विभाजित करके समीकरण को सरल बनाने पर:

2/3 = (1000 × 12) / I_B

2/3 = 12000 / I_B

I_B का मान ज्ञात करने के लिए तिर्यक गुणन (cross-multiplying) करने पर:

2 × I_B = 12000 × 3

2 × I_B = 36000

I_B = 36000 / 2 = 18000

B द्वारा निवेश की गई पूंजी 18,000 रुपये है।

व्याख्या

मान लीजिए x = cot A है। दिया गया व्यंजक x + 1/x = 2 है। बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² = a² + b² + 2ab का उपयोग करके समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें (x + 1/x)² = 2² प्राप्त होता है, जिसका विस्तार करने पर x² + 1/x² + 2(x)(1/x) = 4 प्राप्त होता है। यह सरल होकर x² + 1/x² + 2 = 4 हो जाता है। दोनों पक्षों से 2 घटाने पर x² + 1/x² = 2 प्राप्त होता है। मूल त्रिकोणमितीय पद को समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है कि cot² A + 1/cot² A = 2 है।

वैकल्पिक रूप से, समीकरण x + 1/x = 2 को x² - 2x + 1 = 0 के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है, जो कि (x - 1)² = 0 का विस्तार है। x के लिए हल करने पर x = 1 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है cot A = 1 है। परिणामस्वरूप, cot² A + 1/cot² A = 1² + 1/1² = 1 + 1 = 2 है।

व्याख्या

व्यंजक f(x) = sin 2x + csc 2x है। हम इस गुणधर्म का उपयोग करते हैं कि किसी भी धनात्मक वास्तविक संख्या a के लिए, योग a + ¹⁄ₐ ≥ 2 होता है। यह समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य (AM-GM) असमिका से प्राप्त होता है, जो यह बताती है कि (a + b)/(2) ≥ √(ab) है। a = sin 2x और b = csc 2x = (1)/(sin 2x) रखने पर, हमें प्राप्त होता है:

(sin 2x + 1)/(sin 2x){2} ≥ √(sin 2x · (1)/(sin 2x)) = 1

दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर sin 2x + csc 2x ≥ 2 प्राप्त होता है। समता तब संतुष्ट होती है जब sin 2x = csc 2x हो, जो तब होता है जब sin² 2x = 1 हो। चूंकि sin 2x का अधिकतम मान 1 है, इसलिए इसके धनात्मक प्रांत (positive domain) में फलन का न्यूनतम मान 1 + ¹⁄₁ = 2 है।

व्याख्या

मान लीजिए कि मीनार की ऊंचाई h है। समकोण त्रिभुज के गुणों के अनुसार, ऊंचाई, आधार से दूरी और उन्नयन कोण θ के बीच का संबंध h = दूरी × tan(θ) द्वारा दिया जाता है। 500 मीटर की दूरी पर प्रारंभिक स्थिति के लिए: h = 500 × tan(30°) = 500 × (1)/(√(3)) = (500)/(√(3)) मीटर

10 सेकंड तक गाड़ी चलाने के बाद, कार मीनार से एक नई दूरी x पर है जहाँ उन्नयन कोण 60° है। ऊपर परिकलित ऊंचाई का उपयोग करने पर: x = (h)/(tan(60°)) = 500/√3{√3} = ⁵⁰⁰⁄₃ मीटर

इन 10 सेकंड के दौरान कार द्वारा तय की गई दूरी प्रारंभिक दूरी और अंतिम दूरी के बीच का अंतर है: तय की गई दूरी = 500 - ⁵⁰⁰⁄₃ = (1500 - 500)/(3) = ¹⁰⁰⁰⁄₃ मीटर

मीटर प्रति सेकंड में चाल v की गणना इस प्रकार की जाती है: v = (दूरी)/(समय) = (1000/3)/(10) = ¹⁰⁰⁄₃ मीटर/सेकंड

चाल को मीटर/सेकंड से किमी/घंटा में बदलने के लिए, हम इसे परिवर्तन कारक ¹⁸⁄₅ से गुणा करते हैं: चाल = ¹⁰⁰⁄₃ × ¹⁸⁄₅ = 20 × 6 = 120 किमी/घंटा

व्याख्या

दिया गया समीकरण tan Θ + cot Θ = 2 है। चूंकि cot Θ = (1)/(tan Θ) है, इसलिए समीकरण को tan Θ + (1)/(tan Θ) = 2 के रूप में लिखा जा सकता है। tan Θ से गुणा करने पर tan² Θ + 1 = 2 tan Θ प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर tan² Θ - 2 tan Θ + 1 = 0 प्राप्त होता है। यह पूर्ण वर्ग (tan Θ - 1)² = 0 का विस्तार है, जिससे प्राप्त होता है कि tan Θ = 1 है। एक धनात्मक न्यूनकोण के लिए, tan Θ = 1 तब होता है जब Θ = 45° हो। sec Θ के व्यंजक में इस मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें sec 45° = √2 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मीनार और भूमि द्वारा बनने वाले एक समकोण त्रिभुज में, मीनार के शीर्ष से बिंदु का अवनमन कोण, बिंदु से मीनार के शीर्ष के उन्नयन कोण के बराबर होता है क्योंकि वे एकांतर अंतःकोण हैं।

मान लीजिए कि मीनार की ऊंचाई h है और मीनार के आधार से बिंदु की क्षैतिज दूरी d है।

त्रिकोणमितीय अनुपात टैनजेंट (tangent) का उपयोग करने पर: tan(θ) = (ऊंचाई)/(दूरी)

दिया गया है h = 200 मीटर और θ = 45°: tan(45°) = (200)/(d)

चूंकि tan(45°) = 1, समीकरण इस प्रकार हो जाता है: 1 = (200)/(d) d = 200 मीटर

व्याख्या

पूरक कोण सर्वसमिका sin (90° - Θ) = cos Θ का उपयोग करने पर, दिए गए समीकरण sin Θ + cos Θ = √2 sin (90° - Θ) को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:

sin Θ + cos Θ = √2 cos Θ

cot Θ ज्ञात करने के लिए, हम पूरे समीकरण को sin Θ से विभाजित करते हैं:

1 + cot Θ = √2 cot Θ

cot Θ को एक तरफ समूहित करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर प्राप्त होता है:

√2 cot Θ - cot Θ = 1

cot Θ (√2 - 1) = 1

cot Θ = (1)/(√(2) - 1)

सरल करने के लिए, अंश और हर को संयुग्मी (√2 + 1) से गुणा करके हर का परिमेयकरण करने पर:

cot Θ = 1 × (√2 + 1){(√2 - 1)(√2 + 1)}

cot Θ = √2 + 1{(√2)² - (1)²} = √2 + 1{2 - 1} = √2 + 1

व्याख्या

दिए गए त्रिकोणमितीय समीकरणों sin (A - B) = 1/2 और cos (A + B) = 1/2 के लिए, हम इन मानों के लिए मानक कोणों की पहचान करते हैं। चूंकि A और B धनात्मक न्यून कोण हैं, इसलिए A - B और A + B भी उस सीमा के भीतर होने चाहिए जहां ये बुनियादी मान लागू होते हैं।

पहले समीकरण के लिए, sin (A - B) = 1/2 का अर्थ है A - B = 30° क्योंकि sin 30° = 0.5।

दूसरे समीकरण के लिए, cos (A + B) = 1/2 का अर्थ है A + B = 60° क्योंकि cos 60° = 0.5।

अब हमारे पास दो रैखिक समीकरणों का एक निकाय है:

1. A - B = 30°
2. A + B = 60°

समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर 2A = 90° प्राप्त होता है, जिससे A = 45° प्राप्त होता है। समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर 2B = 30° प्राप्त होता है, जिससे B = 15° प्राप्त होता है।

दोनों मान, A = 45° और B = 15°, धनात्मक न्यून कोण हैं जो प्रारंभिक प्रतिबंधों को संतुष्ट करते हैं।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos² θ = 1 - sin² θ का उपयोग करके समीकरण 7sin² θ + 3cos² θ = 4 को सरल किया जा सकता है। इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: 7sin² θ + 3(1 - sin² θ) = 4 7sin² θ + 3 - 3sin² θ = 4 4sin² θ = 1 sin² θ = 1/4

चूंकि θ एक धनात्मक न्यून कोण है, इसलिए हम धनात्मक वर्गमूल लेते हैं: sin θ = √(1/4) = 1/2 प्रथम चतुर्थांश में, sin θ = 1/2 होता है जब θ = 30° हो। इसलिए, tan θ = tan 30° = 1 / √3।

वैकल्पिक रूप से, संपूर्ण मूल समीकरण को cos² θ से विभाजित करने पर हम सीधे tan θ का मान ज्ञात कर सकते हैं: 7(sin² θ / cos² θ) + 3(cos² θ / cos² θ) = 4 / cos² θ 7tan² θ + 3 = 4sec² θ सर्वसमिका sec² θ = 1 + tan² θ का अनुप्रयोग करने पर: 7tan² θ + 3 = 4(1 + tan² θ) 7tan² θ + 3 = 4 + 4tan² θ 3tan² θ = 1 tan² θ = 1/3 tan θ = 1 / √3

व्याख्या

प्रति सेकंड चक्करों की संख्या की गणना प्रति मिनट कुल चक्करों को 60 से विभाजित करके की जाती है, जिससे ³⁶⁰⁄₆₀ = 6 चक्कर प्रति सेकंड प्राप्त होता है। चूंकि एक पूर्ण चक्कर 2π रेडियन के कोण के बराबर होता है, इसलिए एक सेकंड में पहिये द्वारा घूमा गया कुल कोण रेडियन में 6 × 2π = 12π रेडियन है।

व्याख्या

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं और पूरक कोण संबंधों का उपयोग करके इस व्यंजक को सरल किया जा सकता है। सबसे पहले, सर्वसमिका cot(90° - θ) = tanθ का उपयोग करने पर, अंश sec²θ - tan²θ हो जाता है। सर्वसमिका sec² A - tan² A = 1 के अनुसार, अंश का मान 1 के बराबर होता है।

इसके बाद, हर csc² 67° - tan² 23° पर विचार करें। चूंकि 23° और 67° पूरक कोण हैं, इसलिए tan 23° = tan(90° - 67°) = cot 67°। इसे प्रतिस्थापित करने पर, हर csc² 67° - cot² 67° हो जाता है, जो सर्वसमिका csc² A - cot² A = 1 के आधार पर 1 के बराबर है। इस प्रकार, भिन्न का मान 1/1 = 1 है।

अंत में, शेष पदों sin² 40° + sin² 50° को सरल करें। संबंध sin(90° - A) = cos A का उपयोग करने पर, हमें sin 50° = cos 40° प्राप्त होता है। इसे प्रतिस्थापित करने पर sin² 40° + cos² 40° प्राप्त होता है, जो पाइथागोरस सर्वसमिका sin² A + cos² A = 1 के अनुसार 1 के बराबर है। सरलीकृत भागों को आपस में जोड़ने पर परिणाम 1 + 1 = 2 प्राप्त होता है।

व्याख्या

भुजाओं a, b, c और परिमाप P = a + b + c वाले किसी भी त्रिभुज ABC में, मान लीजिए कि O त्रिभुज के भीतर एक बिंदु है और S = OA + OB + OC है। त्रिभुजों का एक मूलभूत गुण यह बताता है कि यदि कोई बिंदु O, △ ABC के भीतर स्थित है, तो OA + OB < AC + BC होता है। इसे AO को आगे बढ़ाकर BC से बिंदु D पर मिलाकर और △ ABD तथा △ ODC पर त्रिभुज असमानता नियम लागू करके प्राप्त किया जाता है। शीर्षों के सभी युग्मों के लिए इस सिद्धांत को चक्रीय रूप से लागू करने पर: OA + OB < a + b OB + OC < b + c OC + OA < c + a

इन तीनों असमानताओं को जोड़ने पर 2(OA + OB + OC) < 2(a + b + c) प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर OA + OB + OC < a + b + c प्राप्त होता है, जो सरल होकर S < P हो जाता है। अतः, किसी आंतरिक बिंदु से कोणीय बिंदुओं की दूरियों का योग हमेशा त्रिभुज के परिमाप से कम होता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि स्पर्श बिंदु P पर उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा, उभयनिष्ठ अनुस्पर्श रेखा QR को बिंदु S पर प्रतिच्छेद करती है। इस गुण के अनुसार कि किसी बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान होती है, पहले वृत्त के लिए, SQ = SP। इसी प्रकार, दूसरे वृत्त के लिए, SR = SP। इन्हें मिलाने पर SQ = SR = SP प्राप्त होता है।

△ SQP में, चूंकि SQ = SP है, इसलिए इन भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होंगे, अतः ∠ SQP = ∠ SPQ। △ SRP में, चूंकि SR = SP है, इसलिए ∠ SRP = ∠ SPR होगा। △ QPR पर विचार करें, जहाँ अंतः कोणों का योग 180° होना चाहिए: ∠ PQR + ∠ PRQ + ∠ QPR = 180°

चूंकि बिंदु S रेखाखंड QR पर स्थित है, इसलिए ∠ PQR वही है जो ∠ SQP है और ∠ PRQ वही है जो ∠ SRP है। समद्विबाहु त्रिभुजों से प्राप्त बराबर कोण संबंधों को प्रतिस्थापित करने पर: ∠ SPQ + ∠ SPR + ∠ QPR = 180°

यह देखते हुए कि ∠ SPQ + ∠ SPR = ∠ QPR, समीकरण इस प्रकार हो जाता है: ∠ QPR + ∠ QPR = 180° 2∠ QPR = 180° ∠ QPR = 90°

व्याख्या

समकोण त्रिभुज ABD में, कोण ∠ ADB = 90° है क्योंकि AD, A से BC पर खींचा गया लंब है। यह दिया गया है कि ∠ ABD = 60° और कर्ण AB = 12 सेमी है, आधार BD की लंबाई की गणना कोसाइन अनुपात का उपयोग करके की जा सकती है: BD = AB cos 60°। मान रखने पर, BD = 12 × ½ = 6 सेमी।

रेखाखंड BE, ∠ ABC का समद्विभाजक है, और चूंकि D रेखाखंड BC पर स्थित है, इसलिए BE, त्रिभुज ABD में ∠ ABD का आंतरिक कोण समद्विभाजक भी है। कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार, किसी त्रिभुज में कोण का आंतरिक समद्विभाजक सम्मुख भुजा को दो ऐसे खंडों में विभाजित करता है जो त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं के समानुपाती होते हैं। इसलिए, त्रिभुज ABD में, AD पर स्थित बिंदु E, अनुपात AE / ED = AB / BD को संतुष्ट करता है। भुजाओं की लंबाई का मान रखने पर, हमें AE / ED = 12 / 6 = 2 / 1 प्राप्त होता है।

व्याख्या

जब मध्यवर्ती अनुपातों की एक श्रृंखला दी गई हो, तो अनुपात a:d ज्ञात करने के लिए, हम मिश्रित अनुपातों के गुण का उपयोग करते हैं, जहाँ व्यक्तिगत अनुपातों का गुणनफल पहले पद और अंतिम पद का अनुपात प्रदान करता है:

(a)/(d) = (a)/(b) × (b)/(c) × (c)/(d)

समीकरण में दिए गए मानों को रखने पर:

(a)/(d) = ⅔ × ⅘ × ⁶⁄₇

अंशों को आपस में और हरों को आपस में गुणा करने पर:

(a)/(d) = (2 × 4 × 6)/(3 × 5 × 7) = ⁴⁸⁄₁₀₅

प्राप्त अनुपात को सरल बनाने के लिए, हम अंश और हर दोनों को उनके उभयनिष्ठ गुणनखंड 3 से विभाजित करते हैं:

(48 ÷ 3)/(105 ÷ 3) = ¹⁶⁄₃₅

अतः, अनुपात a:d, 16:35 है।

व्याख्या

इस व्यंजक को नेस्टेड मूलों (nested roots) का मूल्यांकन करके और दिए गए गुणक को लागू करके हल किया जाता है। आंतरिक पद को 0.000729 के घनमूल के रूप में व्याख्यायित किया जाता है, जिसे अंतिम वर्गमूल लेने से पहले 3 से गुणा किया जाता है।

सबसे पहले, मूल की गणना को सरल बनाने के लिए दशमलव को वैज्ञानिक संकेतन में बदलें। मान 0.000729 को 729 × 10⁻⁶ के रूप में लिखा जा सकता है। चूंकि 729 = 9³ है, इसलिए घनमूल की गणना निम्नानुसार की जाती है: ³√(0.000729) = (729 × 10⁻⁶)¹^/³ = 9 × 10⁻² = 0.09

इसके बाद, इस परिणाम को बाहरी वर्गमूल के भीतर पाए जाने वाले गुणांक 3 से गुणा करें: 3 × 0.09 = 0.27

अंत में, 0.27 के वर्गमूल की गणना करें: √(0.27) = √(²⁷⁄₁₀₀) = √(9 × 3){10} = 3√3{10}

मानक सन्निकटन √3 ≈ 1.732 का उपयोग करने पर: (3 × 1.732)/(10) = (5.196)/(10) = 0.5196

दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, अंतिम मान लगभग 0.52 है।

व्याख्या

x और 1/x का औसत सूत्र (x + 1/x)/(2) = 1 द्वारा दिया गया है। दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर, हमें समीकरण x + ¹⁄ₓ = 2 प्राप्त होता है।

x का मान ज्ञात करने के लिए, हम पूरे समीकरण को x से गुणा करते हैं जिससे हमें x² + 1 = 2x प्राप्त होता है। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर द्विघात समीकरण x² - 2x + 1 = 0 प्राप्त होता है, जो कि पूर्ण वर्ग (x - 1)² = 0 का विस्तार है। इसका अर्थ है कि x = 1 है।

अब, वांछित व्यंजक x¹⁰ + (1)/(x¹⁰) में x = 1 प्रतिस्थापित करने पर, हमें 1¹⁰ + (1)/(1¹⁰) प्राप्त होता है, जो सरल होकर 1 + 1 = 2 हो जाता है। बीजगणित में, यदि x + ¹⁄ₓ = 2 है, तो n के सभी धनात्मक पूर्णांक मानों के लिए xⁿ + (1)/(xⁿ) = 2 होगा क्योंकि x हमेशा 1 के बराबर होता है।

व्याख्या

दी गई संक्रिया a Θ b = a²b{3} के रूप में परिभाषित है। 2 Θ {3 Θ (-1)} का मान ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले कोष्ठक के भीतर के व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए। 3 Θ (-1) के लिए, सूत्र में a = 3 और b = -1 रखने पर:

3 Θ (-1) = 3² × (-1){3} = (9 × (-1))/(3) = -3

अब 2 Θ (-3) का मान ज्ञात करने के लिए इस परिणाम को वापस मुख्य व्यंजक में रखिए। a = 2 और b = -3 का उपयोग करने पर:

2 Θ (-3) = 2² × (-3){3} = (4 × (-3))/(3) = -4

व्याख्या

एक वृत्त में, केंद्र से जीवा पर डाला गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है। चूंकि OC, AB पर लम्ब है, इसलिए C, AB का मध्य-बिंदु है, जिसका अर्थ है कि AB = 2CB। समकोण त्रिभुज OCB में, OB वृत्त की त्रिज्या को दर्शाता है, जो 7 सेमी दी गई है। पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर, OC² + CB² = OB²। दी गई शर्त OC = CB को प्रतिस्थापित करने पर, हमें CB² + CB² = 7² प्राप्त होता है, जिससे 2CB² = 49 प्राप्त होता है। इससे CB = (7)/(√(2)) सेमी प्राप्त होता है। इसलिए, जीवा AB की लंबाई 2 × (7)/(√(2)) है, जिसे सरल करने पर 7√2 सेमी प्राप्त होता है।

व्याख्या

∠ B = 90° वाले समकोण त्रिभुज ABC में, क्षेत्रफल की गणना क्षेत्रफल = ½ × AB × BC के रूप में की जाती है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, Δ ABC का क्षेत्रफल = ½ × 6 × 8 = 24 वर्ग सेमी। मध्यबिंदु प्रमेय और त्रिभुजों के गुणों के अनुसार, किसी त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिंदुओं D, E, F को मिलाने से बनने वाले चारों त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं और मूल त्रिभुज को चार बराबर क्षेत्रफलों में विभाजित करते हैं। इसलिए, मध्य बिंदुओं से बने त्रिभुज Δ DEF का क्षेत्रफल मूल त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल का ठीक एक-चौथाई है। इसकी गणना करने पर, क्षेत्रफल (Δ DEF) = ¼ × क्षेत्रफल (Δ ABC) = ¼ × 24 = 6 वर्ग सेमी प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180° होता है। मान लीजिए कोण A का माप x है। दी गई शर्तों के आधार पर, कोण B, 1.5x है और कोण C, 2.5x है। इन मानों का योग करने पर प्राप्त होता है:

A + B + C = 180° x + 1.5x + 2.5x = 180° 5x = 180°

x के लिए हल करने पर: x = (180°)/(5) = 36°

B पर बनने वाले कोण को ज्ञात करने के लिए, हम B के व्यंजक में x का मान रखते हैं: B = 1.5 × 36° = 54°

व्याख्या

रेखा L₁ प्रथम चतुर्थांश को समद्विभाजित करती है, जो धनात्मक x-अक्ष के सापेक्ष 0° से 90° तक के क्षेत्र को घेरता है। इसलिए, रेखा L₁ का झुकाव कोण ₁ 45° है।

रेखा L₂ द्वितीय चतुर्थांश को त्रिभाजित करती है। द्वितीय चतुर्थांश 90° से 180° तक के क्षेत्र को घेरता है। इस 90° की सीमा को त्रिभाजित करने का अर्थ है इसे प्रत्येक 30° के तीन बराबर भागों में विभाजित करना। चूँकि L₂ को y-अक्ष के अधिक निकट निर्दिष्ट किया गया है, यह y-अक्ष (90° की स्थिति) के साथ 30° का कोण बनाती है। इस प्रकार, धनात्मक x-अक्ष के साथ रेखा L₂ का झुकाव कोण ₂ = 90° + 30° = 120° है।

xy-समतल में दो रेखाओं के बीच के कोण θ की गणना उनके झुकाव के बीच के निरपेक्ष अंतर के रूप में की जाती है: θ = |₂ - ₁|। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें θ = |120° - 45°| = 75° प्राप्त होता है। चूँकि 75° का मान 90° से कम है, इसलिए यह L₁ और L₂ के बीच का न्यूनकोण है।

व्याख्या

भुजा लंबाई s वाले एक समषट्भुज ABCDEF में, सभी आंतरिक कोण 120° के बराबर होते हैं। Δ ACE की प्रकृति निर्धारित करने के लिए, हम इसकी भुजाओं AC, CE और EA की लंबाई की गणना करते हैं। Δ ABC में, भुजाएँ AB = BC = s और ∠ ABC = 120° हैं। कोसाइन के नियम (Law of Cosines) को लागू करने पर, AC² = AB² + BC² - 2(AB)(BC) cos(120°)। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, AC² = s² + s² - 2s²(-1/2) = 3s², जिससे AC = s√3 प्राप्त होता है। एक समषट्भुज की घूर्णन समरूपता के कारण, त्रिभुज CDE और EFA, Δ ABC के सर्वांगसम हैं। परिणामस्वरूप, अन्य दो भुजाओं की लंबाई भी CE = s√3 और EA = s√3 है। चूंकि तीनों भुजाएं AC, CE और EA समान लंबाई की हैं, इसलिए Δ ACE एक समबाहु त्रिभुज है।

व्याख्या

एक वृत्त में, किसी चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण, उसके द्वारा परिधि के किसी भी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है। चाप CD के लिए, केंद्र पर कोण ∠ COD = 120° है। इसलिए, इसी चाप द्वारा शीर्ष A पर अंतरित कोण ∠ CAD = ½ ∠ COD = ½ × 120° = 60° है।

चतुर्भुज के शीर्ष A पर कुल कोण ∠ BAC और ∠ CAD का योग है। दिया गया है कि ∠ BAC = 30°, इसलिए ∠ BAD = ∠ BAC + ∠ CAD = 30° + 60° = 90°।

चूंकि ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है, इसके सम्मुख कोणों का योग 180° होता है। इस प्रकार, ∠ BAD + ∠ BCD = 180°। ∠ BAD का मान रखने पर, हमें 90° + ∠ BCD = 180° प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर ∠ BCD = 90° प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि कंपनी में कुल निवेश X है। P के पास शेयरों का 2/3 हिस्सा है, इसलिए शेष 1/3 हिस्सा Q और R के बीच समान रूप से विभाजित है। इसलिए, कुल निवेश में R का हिस्सा 1/2 × 1/3 = 1/6 है।

लाभ दर में वृद्धि 7% - 5% = 2% है। यह दिया गया है कि इस वृद्धि के कारण P को 800 रुपये अतिरिक्त प्राप्त होते हैं। अतिरिक्त कमाई की गणना P के निवेश के हिस्से पर की जाती है।

P की अतिरिक्त कमाई = P का निवेश × लाभ दर में वृद्धि

800 = ⅔X × ²⁄₁₀₀

800 = (4X)/(300)

X = (800 × 300)/(4) = 60,000

कंपनी का कुल निवेश 60,000 रुपये है। R का निवेश ज्ञात करने के लिए, हम कुल निवेश को R के हिस्से से गुणा करते हैं:

R का निवेश = ⅙ × 60,000 = 10,000

व्याख्या

जब ब्याज वार्षिक रूप से संयोजित होता है, तो 20% की दर से 2 वर्ष के लिए प्रभावी दर की गणना क्रमिक प्रतिशत सूत्र x + y + ˣʸ⁄₁₀₀ का उपयोग करके की जाती है। इस प्रकार, 20 + 20 + (20 × 20)/(100) = 44%।

जब ब्याज अर्धवार्षिक रूप से संयोजित होता है, तो प्रति अवधि दर 10% हो जाती है और 2 वर्ष में 4 अवधियां होती हैं। मिश्रधन गुणक (amount multiplier) (1 + ¹⁰⁄₁₀₀)⁴ = 1.1⁴ = 1.4641 है। प्रभावी ब्याज दर (1.4641 - 1) × 100 = 46.41% है।

दोनों प्रभावी दरों के बीच का अंतर 46.41% - 44% = 2.41% है। प्रश्न के अनुसार, यह अंतर ₹482 के बराबर है।

P का 2.41% = 482 (2.41)/(100) × P = 482 P = (482 × 100)/(2.41) P = (48200)/(2.41) = 20,000

व्याख्या

रेल और कार द्वारा तय की गई यात्रा का भिन्न ²⁄₁₅ + ⁹⁄₂₀ = ⁸⁺²⁷⁄₆₀ = ³⁵⁄₆₀ = ⁷⁄₁₂ है। इसका अर्थ है कि दूरी की कुल 12 इकाइयों में से, 7 इकाइयाँ रेल और कार द्वारा तय की जाती हैं, जिससे शेष 12 - 7 = 5 इकाइयाँ बचती हैं। पैदल तय की गई शेष दूरी 10 किमी दी गई है। इसलिए, 5 इकाइयाँ 10 किमी के बराबर हैं, जिसका अर्थ है कि 1 इकाई 2 किमी के बराबर है। कुल यात्रा को 12 इकाइयों द्वारा दर्शाया गया है, जो 12 × 2 = 24 किमी के बराबर है।