आरआरबी एनटीपीसी सीबीटी 1 2021 Mathematics प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

दिया गया समीकरण cos x + 1/cos x = 2 है, मान लीजिए cos x = t।

t + 1/t = 2 t² - 2t + 1 = 0 (t - 1)² = 0 t = 1

इस प्रकार, cos x = 1।

आवश्यक व्यंजक में cos x = 1 का मान रखने पर: cosⁿ x + 1/cosⁿ x = 1ⁿ + 1/1ⁿ = 1 + 1 = 2

व्याख्या

समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोण संपूरक होते हैं, जिनका योग 180° होता है।

सबसे छोटे कोण को x मान लीजिए। आसन्न कोण 2x - 48° दिया गया है।

x + (2x - 48°) = 180° 3x = 228° x = 76°

सबसे बड़ा कोण = 180° - 76° = 104°

व्याख्या

मान लीजिए कुल पूंजी C है।

पूंजी का शेष भाग = 1 - (2/3 + 1/5) = 1 - 13/15 = 2/15।

ब्याज की प्रभावी समग्र दर है: (2/3 × 6%) + (1/5 × 10%) + (2/15 × 15%) = 4% + 2% + 2% = 8%

चूंकि कुल वार्षिक आय 600 है: C का 8% = 600 C = (600 × 100) / 8 = 7,500

व्याख्या

6, 12 और 16 से विभाज्य संख्याएँ उनके लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) की गुणज होनी चाहिए। LCM(6, 12, 16) = 48

400 और 600 के बीच 48 के गुणज हैं: 48 × 9 = 432 48 × 10 = 480 48 × 11 = 528 48 × 12 = 576

समांतर श्रेणी के योग के सूत्र का उपयोग करके: योग = n/2 × (a + l) जहाँ n = 4 पद, प्रथम पद a = 432, और अंतिम पद l = 576 हैं।

योग = 4/2 × (432 + 576) = 2 × 1008 = 2016।

व्याख्या

दिए गए पदों को सरल करने पर: √36 = 6 √64 = 8

6 और 8 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करने के लिए, उनके अभाज्य गुणनखंड लिखें: 6 = 2 × 3 8 = 2³

LCM(6, 8) = 2³ × 3 = 8 × 3 = 24

व्याख्या

विक्रय मूल्य = सूची मूल्य × (100 - छूट%)/100

चूंकि सूची मूल्य स्थिर रहता है, इसलिए दो अलग-अलग छूट दरों के लिए विक्रय मूल्यों का अनुपात इस प्रकार दिया गया है: SP₂ = SP₁ × (100 - D₂) / (100 - D₁)

SP₁ = ₹36, D₁ = 10%, और D₂ = 20% रखने पर: SP₂ = 36 × (100 - 20) / (100 - 10) SP₂ = 36 × 80 / 90 SP₂ = ₹32

व्याख्या

दो समूहों का संयुक्त माध्य x̄, जिनके नमूना आकार n₁ और n₂ तथा माध्य x̄₁ और x̄₂ हैं, भारित माध्य सूत्र द्वारा दिया जाता है:

x̄ = (n₁x̄₁ + n₂x̄₂) / (n₁ + n₂)

दिया गया है: n₁ = 100, x̄₁ = 25 n₂ = 50, x̄₂ = 70

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: x̄ = (100 × 25 + 50 × 70) / (100 + 50) x̄ = (2500 + 3500) / 150 x̄ = 6000 / 150 = 40

व्याख्या

यदि LCM(x, y) = y है, तो x, y का एक गुणनखंड है।

दिया गया है कि LCM(a, b) = b, इसका अर्थ है कि a, b को विभाजित करता है। चूंकि LCM(b, c) = c, इसका अर्थ है कि b, c को विभाजित करता है। चूंकि LCM(c, d) = d, इसका अर्थ है कि c, d को विभाजित करता है।

विभाज्यता की संक्रमणीयता (transitivity) से, a, b, और c सभी d के गुणनखंड हैं। चूंकि d, a, b, c और स्वयं से विभाज्य है, इसलिए सभी चार संख्याओं a, b, c और d का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) d होगा।

व्याख्या

क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके:

शुद्ध % परिवर्तन = a + b + (a × b) / 100

जहाँ a = -20% (कमी) और b = +10% (वृद्धि) रखने पर:

शुद्ध % परिवर्तन = -20 + 10 + (-20 × 10) / 100 = -10 - 2 = -12%

ऋणात्मक चिह्न समग्र कमी को दर्शाता है, जिससे 12% का शुद्ध परिवर्तन होता है।

व्याख्या

जब कोई दूरी d गति v₁ से तय की जाती है और गति v₂ से वापस आती है, तो पूरी यात्रा के लिए लिया गया कुल समय T इस प्रकार दिया जाता है:

T = d/v₁ + d/v₂

दिए गए मान v₁ = 20 किमी/घंटा, v₂ = 5 किमी/घंटा, और T = 5 घंटे को प्रतिस्थापित करने पर:

5 = d/20 + d/5

5 = (d + 4d) / 20

5 = 5d / 20

5 = d / 4

d = 20 किमी

व्याख्या

दिया गया है a tan α = b, तो tan α = b/a।

त्रिकोणमितीय फलनों की समकोण त्रिभुज परिभाषा का उपयोग करते हुए, यदि tan α = लम्ब / आधार = b/a, तो आधार = a और लम्ब = b।

पाइथागोरस प्रमेय द्वारा: कर्ण = √(आधार² + लम्ब²) = √(a² + b²)

इसलिए, α का कोज्या (cosine) इस प्रकार दिया जाता है: cos α = आधार / कर्ण = a / √(a² + b²)

व्याख्या

2016 में, 'ईंधन आदि' पर व्यय ₹28.8 करोड़ था, जबकि 'कर' और 'ऋण पर ब्याज' पर कुल व्यय ₹17.5 + ₹6.28 = ₹23.78 करोड़ था। यहाँ, ₹23.78 करोड़, ₹28.8 करोड़ से कम है।

व्याख्या

औसत व्यय = 2013 से 2017 तक वेतन पर व्यय का योग / वर्षों की कुल संख्या

वेतन व्यय का योग = 60.5 + 68.4 + 62.8 + 67.2 + 84.0 = 342.9 करोड़

औसत = 342.9 / 5 = ₹68.58 करोड़

व्याख्या

सीमा को दी गई अवधि में अधिकतम और न्यूनतम व्यय मानों के बीच के अंतर के रूप में परिभाषित किया गया है।

ऋण पर ब्याज के लिए सीमा = 10.11 - 4.88 = 5.23 ₹ करोड़ कर के लिए सीमा = 22.6 - 16.8 = 5.8 ₹ करोड़

ऋण पर ब्याज के लिए 5.23 ₹ करोड़ और कर के लिए 5.8 ₹ करोड़ की परिकलित सीमाएँ एक-दूसरे के सबसे करीब हैं, जो व्यय की सबसे समान सीमा का प्रतिनिधित्व करती हैं।

व्याख्या

प्रतिशत वृद्धि = [(चालू वर्ष में वेतन - पिछले वर्ष में वेतन) / पिछले वर्ष में वेतन] × 100

2017 के लिए: प्रतिशत वृद्धि = [(84.0 - 67.2) / 67.2] × 100 = (16.8 / 67.2) × 100 = 25%

चूंकि 25% 20% से अधिक है, यह दी गई शर्त को पूरा करता है।

व्याख्या

2.84 घंटे को घंटे, मिनट और सेकंड में बदलने के लिए:

पूर्ण संख्या भाग को अलग करने पर 2 घंटे मिलते हैं।

दशमलव भाग को 60 से गुणा करके मिनट में बदला जाता है: 0.84 × 60 = 50.4 मिनट

पूर्ण संख्या भाग लेने पर 50 मिनट मिलते हैं।

मिनट के शेष दशमलव भाग को 60 से गुणा करके सेकंड में बदला जाता है: 0.4 × 60 = 24 सेकंड

इन सबको मिलाने पर 2 घंटे 50 मिनट 24 सेकंड प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

अऋणात्मक पदों a², b², c², और d² के लिए अंकगणितीय माध्य - ज्यामितीय माध्य (AM-GM) असमानता द्वारा:

(a² + b² + c² + d²) / 4 ≥ (a² × b² × c² × d²)⁽1/4)

a² + b² + c² + d² = 1 प्रतिस्थापित करने पर:

1 / 4 ≥ (a²b²c²d²)⁽1/4)

दोनों पक्षों को चौथी घात तक बढ़ाने पर:

(1 / 4)⁴ ≥ a²b²c²d² 1 / 256 ≥ (abcd)²

वर्गमूल लेने पर abcd ≤ 1/16 प्राप्त होता है, जहाँ समानता तब होती है जब a = b = c = d = ½।

व्याख्या

मान लीजिए दो राशियाँ 3x और 5x हैं, जहाँ 3x छोटी राशि है।

दी गई शर्त के अनुसार: (3x - 9) / (5x - 9) = 5 / 9

x के लिए हल करने हेतु वज्र गुणन करने पर: 9(3x - 9) = 5(5x - 9) 27x - 81 = 25x - 45 2x = 36 x = 18

छोटी राशि 3x = 3 × 18 = 54 है।

व्याख्या

अधिकतम संभव दैनिक मजदूरी ज्ञात करने के लिए, हम कुल प्रस्तावित राशि (₹5,850) और प्राप्त वास्तविक राशि (₹5,200) का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करते हैं, क्योंकि दैनिक मजदूरी दोनों राशियों को पूरी तरह से विभाजित करनी चाहिए।

HCF(5850, 5200) = HCF(5850 - 5200, 5200) = HCF(650, 5200)

चूंकि 5,200 ÷ 650 = 8 और 5,850 ÷ 650 = 9, दोनों राशियों का सबसे बड़ा सामान्य भाजक 650 है।

व्याख्या

सबसे छोटी 6-अंकीय संख्या 100000 है और सबसे बड़ी 4-अंकीय संख्या 9999 है।

100000 में से 9999 घटाने पर: 100000 - 9999 = 90001

व्याख्या

लाभ की गणना विक्रय मूल्य में से क्रय मूल्य घटाकर की जाती है: लाभ = विक्रय मूल्य - क्रय मूल्य लाभ = ₹7,80,000 - ₹6,50,000 = ₹1,30,000

कार पर प्रतिशत लाभ ज्ञात करने के लिए, कुल लाभ को मूल क्रय मूल्य से विभाजित करें और 100 से गुणा करें: प्रतिशत लाभ = (लाभ / क्रय मूल्य) × 100 प्रतिशत लाभ = (1,30,000 / 6,50,000) × 100 प्रतिशत लाभ = 1/5 × 100 = 20%

व्याख्या

त्रिकोणमितीय पूरक कोण सर्वसमिकाओं और मानक संबंधों का उपयोग करके: sec 59° = cosec(90° - 59°) = cosec 31°, इसलिए sec²59° - cot²31° = cosec²31° - cot²31° = 1 sin 90° = 1 tan 56° = cot(90° - 56°) = cot 34°, इसलिए tan²56° × tan²34° = cot²34° × tan²34° = 1

इन मानों को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 6(1) + (2/3)(1) - 3y(1) = y/3 6 + 2/3 - 3y = y/3 20/3 = 3y + y/3 20/3 = 10y/3 10y = 20 y = 2

व्याख्या

तिमाही चक्रवृद्धि के लिए, प्रति तिमाही ब्याज दर r = 12% / 4 = 3% है, और 6 महीने की अवधि n = 6 / 3 = 2 तिमाहियों के अनुरूप है।

चक्रवृद्धि ब्याज सूत्र का उपयोग करके: राशि (A) = P × (1 + r/100)ⁿ A = 1200 × (1 + 3/100)² = 1200 × (1.03)² = 1200 × 1.0609 = ₹1,273.08

चक्रवृद्धि ब्याज (CI) = राशि - मूलधन CI = ₹1,273.08 - ₹1,200 = ₹73.08

व्याख्या

6 वर्षों में 3-वर्षीय अवधियों की संख्या = 6 ÷ 3 = 2

6 वर्षों में कुल दान = 2 × 2 = 4 बार

कुल रक्त दान = 4 × 330 मिली = 1320 मिली

मिली को लीटर में बदलना: 1320 मिली = 1320 ÷ 1000 = 1.32 लीटर

व्याख्या

भुजा की लंबाई a वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा दिया जाता है:

क्षेत्रफल = (√3 / 4) × a²

सूत्र में भुजा a = 12 सेमी प्रतिस्थापित करने पर:

क्षेत्रफल = (√3 / 4) × 12² = (√3 / 4) × 144 = 36√3 सेमी²

व्याख्या

1 से 26 तक की वे संख्याएँ जो 2 से विभाज्य हैं, 2 से लेकर 26 तक की सम संख्याएँ हैं।

जब इन संख्याओं को अवरोही क्रम में (26, 24, 22, ..., 2) व्यवस्थित किया जाता है, तो सबसे छोटी संख्या नीचे होती है। इसलिए, नीचे से गिनना 2 से शुरू होने वाले आरोही क्रम में सम संख्याओं के अनुक्रम को लेने के बराबर है।

नीचे से nवीं संख्या सूत्र द्वारा दी जाती है: nवीं संख्या = 2 × n

नीचे से 9वें स्थान के लिए (n = 9): 9वीं संख्या = 2 × 9 = 18

व्याख्या

एक वर्ग का क्षेत्रफल उसकी भुजा की लंबाई से Area = a² द्वारा संबंधित होता है। a = √289 = 17 सेमी

एक वर्ग के विकर्ण की लंबाई d = a√2 द्वारा दी जाती है। भुजा की लंबाई को प्रतिस्थापित करने पर: d = 17√2 सेमी

व्याख्या

सबसे छोटी पाँच अंकों की संख्या 10000 है। 10000 को 472 से विभाजित करने पर भागफल 21 और शेषफल 88 प्राप्त होता है (क्योंकि 10000 = 472 × 21 + 88)। 472 का सबसे छोटा पाँच अंकों का गुणज ज्ञात करने के लिए, हम अगला पूर्णांक भागफल 22 लेते हैं और 472 × 22 = 10384 की गणना करते हैं। वैकल्पिक रूप से, भाजक और शेषफल के बीच के अंतर (472 - 88 = 384) को 10000 में जोड़ने पर 10384 प्राप्त होता है।

व्याख्या

वर्गाकार डिज़ाइनों के अधिकतम संभव क्षेत्रफल को ज्ञात करने के लिए, प्रत्येक वर्ग की भुजा की लंबाई कमरे के आयामों के महत्तम समापवर्तक (HCF) के बराबर होनी चाहिए।

HCF(12, 8) = 4 मीटर

आवश्यक वर्गाकार डिज़ाइनों की संख्या = (लंबाई ÷ भुजा) × (चौड़ाई ÷ भुजा) = (12 ÷ 4) × (8 ÷ 4) = 3 × 2 = 6

व्याख्या

n भुजाओं वाले एक सम बहुभुज के आंतरिक कोण का माप सूत्र ((n - 2) × 180°) / n द्वारा दिया जाता है।

एक सम पंचभुज (n = 5) के लिए: आंतरिक कोण = ((5 - 2) × 180°) / 5 = (3 × 180°) / 5 = 108°

एक सम अष्टभुज (n = 8) के लिए: आंतरिक कोण = ((8 - 2) × 180°) / 8 = (6 × 180°) / 8 = 135°

पंचभुज के आंतरिक कोण का अष्टभुज से अनुपात = 108 : 135 = 4 : 5।

व्याख्या

पहिये की परिधि = π × व्यास = (22/7) × 88 सेमी = 1936/7 सेमी = 1936/700 मीटर

एक चक्कर में तय की गई दूरी पहिये की परिधि के बराबर होती है।

चक्करों की संख्या = कुल दूरी ÷ परिधि = 8712 ÷ (1936 / 700) = (8712 × 700) ÷ 1936 = 4.5 × 700 = 3150

व्याख्या

दैनिक कमाई प्रतिदिन काम करने के घंटे और प्रति घंटे की मजदूरी के गुणनफल के बराबर होती है।

दो राशियों के गुणनफल के लिए शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करते हुए: शुद्ध % परिवर्तन = a + b + (a × b) / 100

दिया गया है a = +35% और b = -25%: शुद्ध % परिवर्तन = 35 - 25 + (35 × (-25)) / 100 = 10 - 875 / 100 = 10 - 8.75 = 1.25%

व्याख्या

अंश और हर को अलग-अलग सरल करें:

अंश = 6.25 + (5/7) × 28 − 5 = 6.25 + 20 − 5 = 21.25

हर = (3/4) × (15.8 − 3.4) + 5 × 2.39 = (3/4) × 12.4 + 11.95 = 9.3 + 11.95 = 21.25

अंश को हर से विभाजित करने पर: 21.25 / 21.25 = 1

व्याख्या

दूरी = गति × समय

दिया गया है: गति = 50 किमी/घंटा समय = 2½ घंटे = 2.5 घंटे

दूरी = 50 × 2.5 = 125 किमी

व्याख्या

सापेक्ष गति = कुत्ते की गति - बिल्ली की गति सापेक्ष गति = 24 किमी/घंटा - 10 किमी/घंटा = 14 किमी/घंटा

सापेक्ष गति को मीटर प्रति मिनट में बदलना: सापेक्ष गति = (14 × 1000) / 60 = 700/3 मी/मिनट

समय = दूरी / सापेक्ष गति समय = 280 / (700/3) = (280 × 3) / 700 = 1.2 मिनट

व्याख्या

प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग सूत्र S = n(n + 1)(2n + 1) / 6 द्वारा दिया जाता है।

n = 12 के लिए: S = 12 × (12 + 1) × (2 × 12 + 1) / 6 S = 12 × 13 × 25 / 6 S = 2 × 13 × 25 = 650

व्याख्या

भिन्नों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: भिन्नों का LCM = अंशों का LCM / हरों का HCF

दी गई भिन्नों 1/3, 7/6, 5/9, 4/27, और 8/15 के लिए:

अंश = 1, 7, 5, 4, 8 LCM(1, 7, 5, 4, 8) = 280

हर = 3, 6, 9, 27, 15 HCF(3, 6, 9, 27, 15) = 3

इन मानों को सूत्र में रखने पर 280 / 3 प्राप्त होता है।

व्याख्या

माना दो संख्याएँ 19a और 19b हैं, जहाँ a और b ल.स.प. के सह-अभाज्य गुणनखंड हैं। प्रश्न में कहा गया है कि उनके ल.स.प. के अन्य दो गुणनखंड 11 और 13 हैं, इसलिए a = 11 और b = 13।

दोनों संख्याओं में बड़ी संख्या, म.स.प. को बड़े सह-अभाज्य गुणनखंड से गुणा करके प्राप्त की जाती है:

बड़ी संख्या = 19 × 13 = 247

व्याख्या

पूरक कोण सर्वसमिका sin(90° - θ) = cos θ का उपयोग करके, sin 75° को sin(90° - 15°) = cos 15° के रूप में लिखा जा सकता है।

दिए गए व्यंजक (cos 15° - sin 75°) / (cos 15° + sin 75°) में sin 75° = cos 15° को प्रतिस्थापित करने पर:

अंश = cos 15° - cos 15° = 0

हर = cos 15° + cos 15° = 2 cos 15°

चूंकि अंश का मान 0 है और हर अशून्य है, इसलिए पूरे व्यंजक का मान 0 / (2 cos 15°) = 0 है।

व्याख्या

मान लीजिए दो संख्याएँ x और y हैं।

दो संख्याओं का योग दिया गया है x + y = 84।

दो संख्याओं का गुणनफल उनके HCF और LCM के गुणनफल के बराबर होता है: x × y = HCF × LCM = 3 × 124 = 372

दो संख्याओं के व्युत्क्रमों का योग है: 1/x + 1/y = (x + y) / (x × y)

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 1/x + 1/y = 84 / 372 = 7 / 31

व्याख्या

कर्ण h वाले एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र क्षेत्रफल = h² / 4 द्वारा दिया जाता है।

दिए गए क्षेत्रफल 81 सेमी² को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 81 = h² / 4 h² = 324 h = √324 = 18 सेमी

व्याख्या

n-भुजाओं वाले बहुभुज के लिए, आंतरिक कोणों का योग (n - 2) × 180° द्वारा दिया जाता है और बाह्य कोणों का योग हमेशा 360° होता है।

समस्या के अनुसार: (n - 2) × 180° = 3 × 360° (n - 2) × 180° = 1080° n - 2 = 6 n = 8

व्याख्या

मान लीजिए पहली संख्या x है और दूसरी संख्या y है।

x का 35% = y का 30% 35x = 30y x/y = 30/35 = 6/7

अतः, x : y = 6 : 7।

व्याख्या

किसी कोण को डिग्री से रेडियन में बदलने के लिए, डिग्री माप को π / 180° से गुणा करें।

रेडियन = 54° × (π / 180°) = 54π / 180

अंश और हर दोनों को 18 से विभाजित करने पर 3π/10 प्राप्त होता है।

व्याख्या

माना दो संख्याएँ x और y हैं। दिया गया है, x + y = 80 और x - y = 8।

दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: 2x = 88 ⇒ x = 44

दोनों समीकरणों को घटाने पर: 2y = 72 ⇒ y = 36

पहली संख्या का दूसरी संख्या से अभीष्ट अनुपात है: x : y = 44 : 36 = 11 : 9

व्याख्या

मान लीजिए कि एक वस्तु का क्रय मूल्य CP है और एक वस्तु का विक्रय मूल्य SP है।

दिया गया है, 40 × SP = 35 × CP SP / CP = 35 / 40 = 7 / 8

चूंकि SP, CP से कम है, यह हानि का मामला है।

हानि प्रतिशत = [(CP - SP) / CP] × 100 हानि प्रतिशत = [(8 - 7) / 8] × 100 = (1 / 8) × 100 = 12½%

व्याख्या

यात्रा के दो समान हिस्सों के लिए औसत गति का सूत्र 2 × v₁ × v₂ / (v₁ + v₂) द्वारा दिया जाता है।

v₁ = 25 किमी/घंटा और v₂ = 30 किमी/घंटा रखने पर: औसत गति = (2 × 25 × 30) / (25 + 30) = 1500 / 55 = 300 / 11 किमी/घंटा

कुल दूरी = औसत गति × कुल समय कुल दूरी = (300 / 11) × 11 = 300 किमी

व्याख्या

मिश्रित आवर्ती दशमलव 0.53̄2̄ (जहाँ 32 अनिश्चित काल तक दोहराता है) को भिन्न में बदलने के लिए, मानक रूपांतरण सूत्र का उपयोग करें:

भिन्न = (दशमलव के बाद की पूरी संख्या - अनावर्ती भाग) / (दोहराए जाने वाले अंकों के बराबर 9 की संख्या, जिसके बाद अनावर्ती अंकों के बराबर 0 की संख्या हो)

0.53̄2̄ के लिए: अंश = 532 - 5 = 527 हर = 990 ('32' के लिए दो 9 और '5' के लिए एक 0)

बीजगणितीय रूप से: मान लीजिए x = 0.5323232... 10x = 5.323232... 1000x = 532.323232... 1000x - 10x = 532 - 5 990x = 527 x = 527/990

व्याख्या

विज्ञान में औसत अंक = विज्ञान में सभी छात्रों द्वारा प्राप्त अंकों का योग / छात्रों की संख्या

विज्ञान के अंकों का योग = 69 + 80 + 82 + 80 + 75 = 386 छात्रों की संख्या = 5

औसत = 386 / 5 = 77.2

व्याख्या

जस्टिन ने अंग्रेजी (88), गणित (85) और भूगोल (90) में सर्वाधिक अंक प्राप्त किए। तीन विषयों में शीर्ष अंक प्राप्त करने के बाद, जस्टिन वह छात्र है जिसने कम से कम 2 विषयों में सर्वाधिक अंक प्राप्त किए हैं।