एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2025 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

(a + b)³ के बीजगणितीय विस्तार का उपयोग करके: x³ = (√3 + √5)³ = (√3)³ + (√5)³ + 3 × √3 × √5 × (√3 + √5) = 3√3 + 5√5 + 3√15(√3 + √5) = 3√3 + 5√5 + 3√45 + 3√75 = 3√3 + 5√5 + 9√5 + 15√3 = 18√3 + 14√5

व्यंजक x³ − 3x में x³ और x के मानों को प्रतिस्थापित करने पर: x³ − 3x = (18√3 + 14√5) − 3(√3 + √5) = 18√3 + 14√5 − 3√3 − 3√5 = 15√3 + 11√5

व्याख्या

10 कुर्सियों का कुल अंकित मूल्य, एक कुर्सी के अंकित मूल्य को मात्रा से गुणा करके निकाला जाता है: कुल अंकित मूल्य = 10 × 500 = रु. 5000

सेट का विक्रय मूल्य रु. 4200 है।

छूट की राशि कुल अंकित मूल्य और विक्रय मूल्य के बीच का अंतर है: छूट = 5000 - 4200 = रु. 800

छूट प्रतिशत की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: छूट प्रतिशत = (छूट / कुल अंकित मूल्य) × 100 छूट प्रतिशत = (800 / 5000) × 100 = 16%

व्याख्या

बेलनाकार टैंक में विस्थापित पानी का आयतन पूरी तरह से डुबोए गए नियमित लम्ब पिरामिड के आयतन के बराबर होता है।

विस्थापित पानी का आयतन सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है: V = π × R² × h

जहाँ R बेलनाकार टैंक की त्रिज्या है और h पानी के स्तर में वृद्धि है। दिया गया है R = 8 सेमी और h = 22.5 - 20 = 2.5 सेमी, आयतन है: V = π × 8² × 2.5 = 160π सेमी³

एक नियमित लम्ब पिरामिड का आयतन सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है: V = ⅓ × आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई

पिरामिड का आधार 16 सेमी भुजा वाला एक समबाहु त्रिभुज है। इसका क्षेत्रफल है: आधार का क्षेत्रफल = (√3/4) × a² = (√3/4) × 16² = 64√3 सेमी²

मान लीजिए H पिरामिड की लम्बवत ऊँचाई है। पिरामिड के आयतन को विस्थापित पानी के आयतन के बराबर करने पर: ⅓ × 64√3 × H = 160π

H के लिए हल करने पर: H = (160π × 3) / (64√3) H = 480π / (64√3) H = 15π / (2√3) H = 5π√3/2 सेमी

व्याख्या

भुजा 'a' वाले वर्ग आधार और 'h' ऊर्ध्वाधर ऊंचाई वाले एक समकोणीय पिरामिड की तिर्यक ऊंचाई 'l' की गणना ऊर्ध्वाधर ऊंचाई, आधार की अंतःत्रिज्या और तिर्यक ऊंचाई से बनने वाले समकोण त्रिभुज पर पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके की जाती है: l = √(h² + (a/2)²)

h = 24 सेमी और a = 14 सेमी का मान रखने पर: l = √(24² + (14/2)²) l = √(576 + 7²) l = √(576 + 49) l = √625 l = 25 सेमी

पिरामिड का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) वर्ग के क्षेत्रफल और चार त्रिकोणीय फलकों के पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल का योग होता है: TSA = a² + 4 × (½ × a × l) TSA = a² + 2 × a × l

मान रखने पर: TSA = 14² + 2 × 14 × 25 TSA = 196 + 700 TSA = 896 सेमी²

व्याख्या

एक अपरिमेय संख्या एक वास्तविक संख्या होती है जिसे भिन्न p/q के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q शून्य के बराबर नहीं है। परिणामस्वरूप, जब इसे दशमलव रूप में लिखा जाता है, तो इसका विस्तार कभी समाप्त हुए बिना और किसी भी आवधिक पैटर्न या अंकों के अनुक्रम को स्थापित किए बिना अनंत तक जारी रहता है। इसे π जैसे सुप्रसिद्ध अपरिमेय संख्याओं द्वारा उदाहरणित किया जाता है, जो लगभग 3.14159... है, या √2, जो लगभग 1.41421... है, जहाँ अंक बिना किसी आवर्ती चक्र को स्थापित किए अनिश्चित काल तक जारी रहते हैं।

व्याख्या

मान लीजिए दूसरे गैजेट का क्रय मूल्य x है। चूँकि पहले गैजेट का क्रय मूल्य दूसरे गैजेट के क्रय मूल्य से 50% अधिक है, इसलिए इसका क्रय मूल्य 1.5x है।

पहले गैजेट पर अर्जित लाभ 1.5x का 20% है, जो कि 0.20 × 1.5x = 0.30x है। दूसरे गैजेट पर हुई हानि x का 15% है, जो कि 0.15 × x = 0.15x है।

कुल लाभ लाभ और हानि के बीच का अंतर है: कुल लाभ = 0.30x - 0.15x = 0.15x

हमें दिया गया है कि कुल लाभ 75 रुपये है: 0.15x = 75 x = 75 / 0.15 = 500

इस प्रकार, दूसरे गैजेट का क्रय मूल्य 500 रुपये है, और पहले गैजेट का क्रय मूल्य 1.5 × 500 = 750 रुपये है।

व्याख्या

मिश्रणों में दूध की सांद्रता पर मिश्रण के नियम का उपयोग करके:

पहले पात्र में, दूध का अंश M₁ = 5 / (5 + 4) = 5/9 है। दूसरे पात्र में, दूध का अंश M₂ = 9 / (9 + 5) = 9/14 है। अंतिम मिश्रण में, दूध का अंश M_f = 7 / (7 + 5) = 7/12 है।

दो मिश्रणों को जिस अनुपात में मिलाया जाना चाहिए वह है: अनुपात = |M₂ - M_f| : |M₁ - M_f|

निरपेक्ष अंतर की गणना: |M₂ - M_f| = |9/14 - 7/12| = |54/84 - 49/84| = 5/84 |M₁ - M_f| = |5/9 - 7/12| = |20/36 - 21/36| = 1/36

अनुपात ज्ञात करना: अनुपात = (5/84) : (1/36)

उनके लघुत्तम समापवर्त्य, 252 से दोनों पदों को गुणा करना: अनुपात = (5/84) × 252 : (1/36) × 252 अनुपात = 15 : 7

व्याख्या

कोण A का मान ज्ञात करने के लिए, हम sec A = 1/cos A प्रतिस्थापित करके समीकरण को पुनः लिखते हैं:

4cos A + 2/cos A = 4√2

मान लीजिए x = cos A। समीकरण बन जाता है:

4x + 2/x = 4√2

भिन्न को समाप्त करने के लिए पूरे समीकरण को x से गुणा करने पर:

4x² - 4√2 x + 2 = 0

पूरे समीकरण को 2 से विभाजित करने पर:

2x² - 2√2 x + 1 = 0

हम इस द्विघात समीकरण को पूर्ण वर्ग के रूप में पुनः लिख सकते हैं:

(√2 x - 1)² = 0

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:

√2 x - 1 = 0 x = 1/√2

x को वापस cos A के रूप में प्रतिस्थापित करने पर:

cos A = 1/√2

चूंकि A अंतराल 0° < A < 90° में स्थित है, इसलिए वह कोण जिसका कोसाइन मान 1/√2 है, 45° है।

व्याख्या

एक परिमेय संख्या को p/q के रूप में व्यक्त की जा सकने वाली किसी भी संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है, जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q ≠ 0। एक अपरिमेय संख्या, परिभाषा के अनुसार, एक वास्तविक संख्या है जिसे दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। चूंकि संख्याओं के ये दो समूह परस्पर अनन्य और पूरी तरह से अलग हैं, इसलिए कोई भी परिमेय संख्या कभी भी अपरिमेय संख्या नहीं हो सकती है।

व्याख्या

आदमी और लड़के की एक साथ दैनिक मजदूरी है: कुल मजदूरी ÷ दिनों की संख्या = 960 ÷ 6 = रु. 160

मजदूरी कार्यक्षमता के अनुपात में वितरित की जाती है। चूँकि आदमी लड़के से तीन गुना अधिक कार्यक्षम है, इसलिए आदमी की दैनिक मजदूरी और लड़के की दैनिक मजदूरी का अनुपात 3 : 1 है।

मान लीजिए लड़के की दैनिक मजदूरी x है। आदमी की दैनिक मजदूरी 3x है।

3x + x = 160 4x = 160 x = 40

लड़के की दैनिक मजदूरी रु. 40 है।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² A = 1 - cos² A का प्रयोग करके, हम इसे दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

2(1 - cos² A) + √3 cos A - 2 = 0

समीकरण का विस्तार और सरलीकरण करने पर:

2 - 2 cos² A + √3 cos A - 2 = 0 -2 cos² A + √3 cos A = 0 cos A (√3 - 2 cos A) = 0

इससे दो संभावित हल मिलते हैं: cos A = 0 या cos A = √3/2।

यदि cos A = 0 है, तो tan A अपरिभाषित है।

यदि cos A = √3/2 है, तो हम संबंध का उपयोग करके tan A का मान ज्ञात करते हैं:

tan A = sin A / cos A = √(1 - cos² A) / cos A

cos A = √3/2 को प्रतिस्थापित करने पर:

tan A = √(1 - 3/4) / (√3/2) = (½) / (√3/2) = 1/√3

व्याख्या

जब निवेश की अवधि समान होती है तो लाभ को प्रत्येक साझेदार द्वारा निवेश की गई पूंजी के अनुपात में साझा किया जाता है। X, Y, और Z के निवेश का अनुपात है: 24,000 : 36,000 : 60,000 = 2 : 3 : 5

अनुपात पदों का योग = 2 + 3 + 5 = 10

लाभ में Y का हिस्सा इस प्रकार गणना की जाती है: (3 / 10) × 60,000 = 18,000

व्याख्या

एक लम्ब वृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: CSA = 2πrh

एक लम्ब वृत्तीय बेलन का आयतन निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: V = πr²h

वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन को बराबर करने पर: 2πrh = πr²h

दोनों पक्षों को πrh से विभाजित करने पर (जहाँ r ≠ 0 और h ≠ 0): r = 2

व्याख्या

वर्ग के उस भाग का क्षेत्रफल जो अंकित वृत्त के बाहर स्थित है, वर्ग के क्षेत्रफल और वृत्त के क्षेत्रफल का अंतर है।

भुजा s वाले वर्ग का क्षेत्रफल s² होता है। चूँकि वृत्त वर्ग में अंकित है, इसका व्यास वर्ग की भुजा के बराबर होता है, जिसका अर्थ है कि इसकी त्रिज्या r, s/2 है।

दिया गया है s = 14 सेमी: वृत्त की त्रिज्या r = 14 / 2 = 7 सेमी।

वर्ग का क्षेत्रफल है: 14² = 196 सेमी²

वृत्त का क्षेत्रफल है: πr² = (22/7) × 7² = 154 सेमी²

वृत्त के बाहर वर्ग के भाग का क्षेत्रफल है: 196 - 154 = 42 सेमी²

व्याख्या

त्रिपद के वर्ग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका है: (x + y + z)² = x² + y² + z² + 2(xy + yz + zx)

सर्वसमिका में x = a, y = -b, और z = c प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: (a - b + c)² = a² + (-b)² + c² + 2(a(-b) + (-b)c + ca) (a - b + c)² = a² + b² + c² - 2(ab + bc - ca)

इस समीकरण में a² + b² + c² = 180 और ab + bc - ca = 44 के दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करें: (a - b + c)² = 180 - 2(44) (a - b + c)² = 180 - 88 (a - b + c)² = 92

व्याख्या

त्रिज्या r और तिर्यक ऊँचाई l वाले शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र द्वारा दिया जाता है: CSA_cone = πrl

त्रिज्या r वाले अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र द्वारा दिया जाता है: CSAₕemisphere = 2πr²

चूंकि दोनों ठोसों के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल बराबर हैं: πrl = 2πr²

समीकरण के दोनों पक्षों को πr से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: l = 2r

व्याख्या

पहले वर्ष में अर्जित ब्याज मूलधन P पर एक वर्ष के लिए साधारण ब्याज का प्रतिनिधित्व करता है।

पहले वर्ष का ब्याज (I₁) = P × r / 100 = 1,800

दूसरे वर्ष में, अर्जित ब्याज में मूलधन पर ब्याज के साथ-साथ पहले वर्ष के ब्याज पर ब्याज शामिल होता है।

दूसरे वर्ष का ब्याज (I₂) = I₁ + (I₁ × r / 100)

समीकरण में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करें:

2,160 = 1,800 + (1,800 × r / 100)

360 = 18 × r

r = 20%

ब्याज दर का उपयोग करके, मूलधन P की गणना इस प्रकार की जाती है:

P × 20 / 100 = 1,800

P = 1,800 × 5 = 9,000

मूलधन का 50% ज्ञात करने के लिए:

P का 50% = 9,000 × 0.5 = 4,500

व्याख्या

एक आयताकार ठोस का आयतन V सूत्र द्वारा दिया जाता है:

V = आधार क्षेत्रफल × ऊँचाई

यह देखते हुए कि आधार का क्षेत्रफल 54 सेमी² है और ठोस की ऊँचाई 12 सेमी है, आयतन की गणना सीधे इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करके की जा सकती है:

V = 54 × 12 = 648 सेमी³

इस प्रकार, ठोस का आयतन 648 घन सेमी है।

व्याख्या

सही उत्तर: B

हम सीधे उत्तरोत्तर प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके समग्र प्रतिशत लाभ या हानि ज्ञात कर सकते हैं:

शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = a + b + ab/100

यहाँ, अंकित प्रतिशत (a) +32% है और छूट प्रतिशत (b) -15% है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = 32 - 15 + (32 × (-15))/100 शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = 17 - 4.8 = 12.2%

चूंकि शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन सकारात्मक है, इसलिए सौदे में 12.2% का लाभ हुआ। प्रतिशत लाभ की गणना के लिए पेंटिंग के वास्तविक क्रय मूल्य की आवश्यकता नहीं है।

व्याख्या

दो समुच्चयों के लिए समावेशन-अपवर्जन (inclusion-exclusion) के सिद्धांत के अनुसार, दो में से कम से कम एक विषय में अर्हता प्राप्त करने वाले उम्मीदवारों का प्रतिशत निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

P(R ∪ Q) = P(R) + P(Q) - P(R ∩ Q)

यहाँ, P(R) तर्क (Reasoning) में अर्हता प्राप्त करने वाले उम्मीदवारों का प्रतिशत दर्शाता है, जो 55% है।

P(Q) मात्रात्मक अभिरुचि (Quantitative Aptitude) में अर्हता प्राप्त करने वाले उम्मीदवारों का प्रतिशत दर्शाता है, जो 65% है।

P(R ∩ Q) दोनों विषयों में अर्हता प्राप्त करने वाले उम्मीदवारों का प्रतिशत दर्शाता है, जो 40% है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

P(R ∪ Q) = 55% + 65% - 40%

P(R ∪ Q) = 120% - 40% = 80%

व्याख्या

मान लीजिए इतिहास में प्राप्त अंक H हैं।

छात्र ने इतिहास की तुलना में अंग्रेजी (E) में 25% अधिक अंक प्राप्त किए, जिससे यह प्राप्त होता है: E = H + 0.25H = 1.25H

दोनों विषयों में अंकों का औसत 90 है: (E + H) / 2 = 90 E + H = 180

समीकरण में H के पदों में E का मान प्रतिस्थापित करने पर: 1.25H + H = 180 2.25H = 180 H = 180 / 2.25 H = 80

व्याख्या

किसी व्यवसाय में भागीदारों के बीच लाभ-बंटवारे का अनुपात सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है: लाभ = पूंजी × समय।

P ने 12 महीने के लिए रु. 40,000 का निवेश किया। Q ने 12 महीने के लिए रु. 60,000 का निवेश किया। R 4 महीने बाद शामिल हुआ, जिसका अर्थ है कि R ने 8 महीने (12 - 4 = 8) के लिए रु. 80,000 का निवेश किया।

एक वर्ष के अंत में उनके लाभ का अनुपात है: P का लाभ : Q का लाभ : R का लाभ = (40,000 × 12) : (60,000 × 12) : (80,000 × 8) = 4,80,000 : 7,20,000 : 6,40,000

प्रत्येक भाग को 80,000 से विभाजित करने पर अनुपात सरल हो जाता है: 6 : 9 : 8

व्याख्या

सही औसत अंक औसत सुधार सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है:

सही औसत = गलत औसत + (सही मान - गलत मान) / n

दिए गए मानों का उपयोग करके: गलत औसत = 64.5 गलत मान = 55 सही मान = 75 छात्रों की संख्या (n) = 20

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

सही औसत = 64.5 + (75 - 55) / 20 सही औसत = 64.5 + 20 / 20 सही औसत = 64.5 + 1 सही औसत = 65.5

व्याख्या

मान लीजिए ठोस घन की भुजा की लंबाई a है।

मूल घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: मूल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6a²

जब घन को उसकी मध्य-ऊंचाई से गुजरने वाले एक तल द्वारा दो बराबर घनाभों में काटा जाता है, तो आधार के समानांतर एक कट लगाया जाता है। यह कट दो नई समान सतहों को उजागर करता है, जिनमें से प्रत्येक का क्षेत्रफल घन के फलक के बराबर होता है, जो कि a² है।

परिणामी दो घनाभों का संयुक्त कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल है: नया पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6a² + 2a² = 8a²

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल में वृद्धि है: वृद्धि = 8a² - 6a² = 2a²

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल में प्रतिशत वृद्धि की गणना इस प्रकार की जाती है: प्रतिशत वृद्धि = (वृद्धि / मूल पृष्ठीय क्षेत्रफल) × 100% प्रतिशत वृद्धि = (2a² / 6a²) × 100% = (1/3) × 100% ≈ 33.33%

व्याख्या

कुल प्रतिशत लाभ या हानि ज्ञात करने के लिए, हम भारित औसत विधि का उपयोग कर सकते हैं। चूँकि प्रत्येक बोरी का क्रय मूल्य समान है, हम बोरियों की संख्या को भार के रूप में उपयोग कर सकते हैं।

दुकानदार 25 बोरे 12% लाभ पर और शेष 15 बोरे 8% हानि पर बेचता है। बोरियों की दो मात्राओं का अनुपात 25 से 15 है, जो 5 से 3 तक सरल हो जाता है।

भारित औसत सूत्र का उपयोग करके:

कुल प्रतिशत = (5 × 12 + 3 × (-8)) / (5 + 3)

कुल प्रतिशत = (60 - 24) / 8

कुल प्रतिशत = 36 / 8 = 4.5%

चूंकि परिणामी मान धनात्मक है, दुकानदार को कुल 4.5% का लाभ होता है।

व्याख्या

योजना A के लिए, निवेश पर अर्जित साधारण ब्याज की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है: SI = P × R × T / 100

P = ₹15,000, R = 10%, और T = 3 वर्ष रखने पर: SI = 15000 × 10 × 3 / 100 = ₹4,500

योजना A से प्राप्त कुल राशि (A₁) है: A₁ = P + SI = 15000 + 4500 = ₹19,500

योजना B के लिए, ₹19,500 की यह राशि 2 वर्षों के लिए 5% प्रति वर्ष की दर से, चक्रवृद्धि ब्याज पर निवेश की जाती है। अंतिम चक्रवृद्धि ब्याज राशि (A₂) की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है: A₂ = P₂ × (1 + R₂/100)ⁿ

P₂ = ₹19,500, R₂ = 5%, और n = 2 वर्ष रखने पर: A₂ = 19500 × (1 + 5/100)² A₂ = 19500 × (1.05)² A₂ = 19500 × 1.1025 A₂ = ₹21,498.75

व्याख्या

मान लीजिए कि डिब्बे में रु. 10, रु. 5 और रु. 2 के सिक्कों की संख्या क्रमशः 4x, 3x और 2x है।

इन सिक्कों का कुल मूल्य इस प्रकार गणना किया जाता है: कुल मूल्य = (10 × 4x) + (5 × 3x) + (2 × 2x) कुल मूल्य = 40x + 15x + 4x कुल मूल्य = 59x

यह देखते हुए कि डिब्बे में कुल राशि रु. 1,180 है, हम लिख सकते हैं: 59x = 1180 x = 1180 ÷ 59 x = 20

रु. 5 के सिक्कों की संख्या 3x है: रु. 5 के सिक्कों की संख्या = 3 × 20 = 60

व्याख्या

एक साझेदारी में, जब सभी भागीदारों के लिए निवेश की अवधि समान होती है, तो लाभ उनके प्रारंभिक निवेश के अनुपात में वितरित किया जाता है। A और B के निवेश का अनुपात है: अनुपात = 24,000 : 36,000 = 2 : 3

मान लीजिए A का लाभ हिस्सा 2x है और B का लाभ हिस्सा 3x है। उनके लाभ हिस्सों के बीच का अंतर है: 3x - 2x = x

प्रश्न के अनुसार, B को A से रु. 1200 अधिक प्राप्त होते हैं, जिसका अर्थ है: x = 1200

कुल लाभ A और B के लाभ हिस्सों का योग है: कुल लाभ = 2x + 3x = 5x

x का मान रखने पर: कुल लाभ = 5 × 1200 = 6000

अतः, कुल लाभ रु. 6000 है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण sin θ + sin² θ = 1 है।

पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें प्राप्त होता है: sin θ = 1 - sin² θ

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 का उपयोग करके, हम जानते हैं कि: 1 - sin² θ = cos² θ

इसलिए: sin θ = cos² θ

इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर प्राप्त होता है: sin² θ = cos⁴ θ

हमें cos² θ + cos⁴ θ का मान ज्ञात करना है। sin θ के पदों में cos² θ और cos⁴ θ के मानों को इस व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है: cos² θ + cos⁴ θ = sin θ + sin² θ

चूंकि यह दिया गया है कि sin θ + sin² θ = 1 है, इसलिए: cos² θ + cos⁴ θ = 1

व्याख्या

5000 और 15000 के बीच पूर्ण वर्ग n² की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम पूर्णांक n की सीमा ज्ञात करते हैं जैसे कि: 5000 < n² < 15000

असमानता का वर्गमूल लेने पर: √5000 < n < √15000

अनुमानित वर्गमूलों की गणना करने पर: √5000 ≈ 70.71 √15000 ≈ 122.47

चूंकि n एक पूर्णांक होना चाहिए, n का मान 70.71 से बड़े पहले पूर्णांक से लेकर 122.47 से छोटे अंतिम पूर्णांक तक होता है। सबसे छोटा पूर्णांक n = 71 सबसे बड़ा पूर्णांक n = 122

इस सीमा में पूर्णांकों की कुल संख्या ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं: पदों की संख्या = (सबसे बड़ा पद - सबसे छोटा पद) + 1 पदों की संख्या = 122 - 71 + 1 = 52

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos(90° − p) = sin p का प्रयोग करने पर, दिया गया समीकरण सरल हो जाता है:

sin p × sin p = 1/4 sin²p = 1/4

चूंकि 0° < p < 90°, धनात्मक वर्गमूल लेने पर प्राप्त होता है:

sin p = 1/2

इससे p = 30° प्राप्त होता है।

अब, p = 30° को आवश्यक व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

cot²2p + cos²3p = cot²(2 × 30°) + cos²(3 × 30°) = cot²60° + cos²90°

मानक त्रिकोणमितीय मान cot 60° = 1/√3 और cos 90° = 0 प्रतिस्थापित करने पर:

(1/√3)² + 0² = 1/3 + 0 = 1/3

व्याख्या

किसी यात्रा की औसत गति का सूत्र है:

औसत गति = कुल दूरी ÷ कुल समय

कुल दूरी 300 किमी है, और समग्र औसत गति 50 किमी/घंटा है।

यात्रा को 100 किमी के तीन बराबर भागों में विभाजित किया गया है: पहले 100 किमी को 50 किमी/घंटा की गति से तय करने में लिया गया समय: t₁ = 100 / 50 = 2 घंटे

अगले 100 किमी को 40 किमी/घंटा की गति से तय करने में लिया गया समय: t₂ = 100 / 40 = 2.5 घंटे

शेष 100 किमी को x किमी/घंटा की गति से तय करने में लिया गया समय: t₃ = 100 / x घंटे

कुल समय है: कुल समय = t₁ + t₂ + t₃ = 2 + 2.5 + 100/x = 4.5 + 100/x घंटे

औसत गति सूत्र का उपयोग करके: 50 = 300 / (4.5 + 100/x)

4.5 + 100/x = 300 / 50 4.5 + 100/x = 6 100/x = 1.5 x = 100 / 1.5 = 200/3 = 66 2/3 किमी/घंटा

व्याख्या

2 वर्षों की अवधि के लिए चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच का अंतर P(R/100)² सूत्र द्वारा दिया जाता है। P = ₹ 25,000 और R = 12% को सूत्र में रखने पर 25000 * (12/100)² = 25000 * 0.0144 = ₹ 360 प्राप्त होता है।

व्याख्या

यात्रा की औसत गति सूत्र द्वारा दी जाती है: औसत गति = कुल दूरी ÷ कुल समय

सबसे पहले, ट्रेन द्वारा तय की गई दूरी 600 किमी का 60% है, जो है: d₁ = 0.60 × 600 = 360 किमी

75 किमी/घंटा की गति से ट्रेन द्वारा लिया गया समय है: t₁ = 360 ÷ 75 = 4.8 घंटे

बस द्वारा तय की गई शेष दूरी 600 किमी का 40% है, जो है: d₂ = 0.40 × 600 = 240 किमी

50 किमी/घंटा की गति से बस द्वारा लिया गया समय है: t₂ = 240 ÷ 50 = 4.8 घंटे

पूरी यात्रा के लिए कुल समय है: T = t₁ + t₂ = 4.8 + 4.8 = 9.6 घंटे

औसत गति सूत्र का उपयोग करके: औसत गति = 600 ÷ 9.6 = 62.5 किमी/घंटा

व्याख्या

भारित औसत सूत्र का उपयोग करके, अंतिम मिश्रण में अल्कोहल का प्रतिशत (2 * 30 + 3 * x) / (2 + 3) = 24 के रूप में गणना की जाती है। समीकरण 60 + 3x = 120 को हल करने पर 3x = 60 प्राप्त होता है, जिससे x = 20 मिलता है।

व्याख्या

अंकित मूल्य पर d₁% और d₂% की क्रमिक छूट के बाद अंतिम मूल्य सूत्र द्वारा दिया जाता है: अंतिम मूल्य = अंकित मूल्य × (1 - d₁/100) × (1 - d₂/100)

दिया गया है कि अंकित मूल्य रु. 40,000 है, पहली छूट 20% है, और अतिरिक्त नकद छूट 5% है: अंतिम मूल्य = 40,000 × (1 - 0.20) × (1 - 0.05) अंतिम मूल्य = 40,000 × 0.80 × 0.95 अंतिम मूल्य = 32,000 × 0.95 अंतिम मूल्य = 30,400

व्याख्या

विक्रय मूल्य, अंकित मूल्य और छूट प्रतिशत के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

अंकित मूल्य = विक्रय मूल्य / (1 - छूट/100)

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

अंकित मूल्य = 1710 / (1 - 5/100) अंकित मूल्य = 1710 / 0.95 अंकित मूल्य = 1800

व्याख्या

मिश्रण और एलिगेशन विधि का उपयोग करके, प्रारंभिक छात्रों की संख्या और नए छात्रों की संख्या का अनुपात उनकी व्यक्तिगत औसत आयु और संयुक्त औसत आयु के बीच के अंतर से निर्धारित होता है।

प्रारंभिक छात्रों के लिए अंतर: |18 - 17.6| = 0.4 नए छात्रों के लिए अंतर: |16 - 17.6| = 1.6

प्रारंभिक छात्रों की संख्या और नए छात्रों की संख्या का अनुपात 1.6 : 0.4 है, जो सरल होकर 4 : 1 हो जाता है।

चूंकि प्रारंभिक छात्रों की संख्या 100 है, जो अनुपात के 4 भाग का प्रतिनिधित्व करती है, इसलिए 1 भाग नए छात्रों की संख्या का प्रतिनिधित्व करता है:

100 ÷ 4 = 25

व्याख्या

उन छात्रों का प्रतिशत जिन्हें अंग्रेजी या हिंदी या दोनों पसंद हैं, समुच्चय संघ सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है:

प्रतिशत = E + H - (E ∩ H)

दिए गए प्रतिशत को प्रतिस्थापित करने पर:

प्रतिशत = 60% + 50% - 35% = 75%

उन छात्रों का शेष प्रतिशत जिन्हें अंग्रेजी या हिंदी पसंद नहीं है, वह है:

शेष प्रतिशत = 100% - 75% = 25%

कुल 1000 सर्वेक्षण किए गए छात्रों के लिए, शेष छात्रों की संख्या है:

शेष छात्र = 1000 का 25% = 250

इन 250 छात्रों में से, 20% संस्कृत को प्राथमिकता देते हैं, जिसका अर्थ है कि शेष 80% की तीनों विषयों में से किसी के लिए कोई प्राथमिकता नहीं है।

कोई प्राथमिकता नहीं = 250 का 80% = 0.80 × 250 = 200

व्याख्या

कुल कार्य दैनिक कार्य दर और कार्य दिवसों की संख्या का गुणनफल होता है: कार्य = दर × समय

चूंकि पूरा किया जाने वाला कुल कार्य स्थिर रहता है, इसलिए आवश्यक दैनिक कार्य दर कार्य दिवसों की संख्या के व्युत्क्रमानुपाती होती है: दर ∝ 1 / समय

मान लीजिए पुराने दिनों की संख्या Tₒld है और हड़ताल के कारण वास्तव में काम किए गए नए दिनों की संख्या Tₙew है। Tₙew = Tₒld का 75% = 0.75 Tₒld

व्युत्क्रम संबंध का उपयोग करके: Rₙew / Rₒld = Tₒld / Tₙew = Tₒld / (0.75 Tₒld) = 1 / 0.75 = 4/3

दैनिक कार्य दर में प्रतिशत वृद्धि है: प्रतिशत वृद्धि = ((Rₙew - Rₒld) / Rₒld) × 100% प्रतिशत वृद्धि = (4/3 - 1) × 100% = 1/3 × 100% = 33.33%

व्याख्या

सही उत्तर: D

एक पूर्ण वर्ग शून्य की विषम संख्या के साथ समाप्त नहीं हो सकता है। संख्या 750 एक शून्य के साथ समाप्त होती है, जो गणितीय रूप से इसे पूर्ण वर्ग बनने से रोकता है।

इसके अलावा, 750 का वर्गमूल √750 ≈ 27.386 है, जो एक पूर्णांक नहीं है। लगातार पूर्णांक 27 और 28 के वर्ग क्रमशः 27² = 729 और 28² = 784 हैं। चूंकि 750 इन दो लगातार पूर्ण वर्गों के बीच सख्ती से स्थित है, इसलिए यह एक पूर्ण वर्ग नहीं है।

व्याख्या

एक जैसी वस्तुओं पर समग्र लाभ या हानि प्रतिशत केवल वस्तुओं की संख्या और उनके संबंधित लाभ या हानि दरों पर निर्भर करता है, जिससे ₹7,500 की कुल लागत इस गणना के लिए अनावश्यक हो जाती है।

भारित औसत सूत्र का उपयोग करके: समग्र प्रतिशत = (n₁ × r₁ + n₂ × r₂) / (n₁ + n₂)

यहाँ, n₁ = 3 कुर्सियाँ जिनका लाभ दर r₁ = +20% है, और n₂ = 2 कुर्सियाँ जिनका हानि दर r₂ = -10% है।

सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करने पर: समग्र प्रतिशत = (3 × 20 + 2 × (-10)) / (3 + 2) समग्र प्रतिशत = (60 - 20) / 5 समग्र प्रतिशत = 40 / 5 समग्र प्रतिशत = 8%

चूंकि परिणाम सकारात्मक है, यह 8% के समग्र लाभ का प्रतिनिधित्व करता है।

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b)

दिए गए मानों (a - b) = 6 और (a³ - b³) = 936 को सूत्र में प्रतिस्थापित करें: 936 = 6³ + 3ab(6)

सरल करें और ab के लिए हल करें: 936 = 216 + 18ab 18ab = 720 ab = 40

व्याख्या

सीढ़ी, दीवार और जमीन द्वारा बनाए गए समकोण त्रिभुज में, सीढ़ी की लंबाई कर्ण (h) को दर्शाती है, जो 50 मीटर है।

दीवार की ऊर्ध्वाधर ऊंचाई (y) जहाँ सीढ़ी स्पर्श करती है, निम्न द्वारा दी जाती है: y = h × sin θ = 50 × (48/50) = 48 मीटर

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, सीढ़ी के पाद (foot) की दीवार से क्षैतिज दूरी (x) है: x² + y² = h² x² + 48² = 50² x² + 2304 = 2500 x² = 2500 - 2304 x² = 196 x = √196 = 14 मीटर

व्याख्या

किसी व्यवसायिक साझेदारी में, जब समय अवधि स्थिर होती है, तो लाभ को साझेदारों के निवेश के समान अनुपात में साझा किया जाता है।

P और Q के निवेश का अनुपात = 3 : 7

मान लीजिए लाभ में P और Q का हिस्सा क्रमशः 3x और 7x है।

Q का हिस्सा रु. 1400 दिया गया है।

7x = 1400 x = 200

कुल लाभ P और Q के हिस्से का योग है: कुल लाभ = 3x + 7x = 10x

x का मान प्रतिस्थापित करने पर: कुल लाभ = 10 × 200 = 2000

व्याख्या

जब सभी साझेदारों के लिए निवेश की अवधि समान होती है, तो लाभ-बंटवारे का अनुपात उनके निवेश के अनुपात के सीधे आनुपातिक होता है।

कुल निवेश = X का निवेश + Y का निवेश + Z का निवेश कुल निवेश = 15,000 + 25,000 + 10,000 = 50,000

कुल लाभ में Y का प्रतिशत हिस्सा = (Y का निवेश / कुल निवेश) × 100 कुल लाभ में Y का प्रतिशत हिस्सा = (25,000 / 50,000) × 100 = 50%

व्याख्या

आयतन संरक्षण विधि का उपयोग करके, मान लीजिए पात्र का कुल आयतन V है।

प्रारंभ में, तरल A और तरल B का अनुपात 7 : 5 है, जिसका अर्थ है कि मिश्रण में तरल A का अंश 7/12 है।

जब मिश्रण के 9 लीटर को हटा दिया जाता है और तरल B के 9 लीटर से बदल दिया जाता है, तो मिश्रण का कुल आयतन V बना रहता है। नए मिश्रण में तरल A की मात्रा पूरी तरह से मूल मिश्रण के शेष V - 9 लीटर के कारण है।

अंतिम मिश्रण में तरल A का अंश 7 / (7 + 9) = 7/16 है।

प्रतिस्थापन से पहले और बाद में तरल A की मात्रा को बराबर करना: (V - 9) × 7/12 = V × 7/16

दोनों पक्षों को 7 से विभाजित करना: (V - 9) / 12 = V / 16

V के लिए हल करने हेतु वज्र गुणन करना: 16(V - 9) = 12V 4(V - 9) = 3V 4V - 36 = 3V V = 36 लीटर

मिश्रण का कुल प्रारंभिक आयतन 36 लीटर था।

तरल A की प्रारंभिक मात्रा है: 36 × 7/12 = 21 लीटर