एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2025 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

त्रिज्या r वाले अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र द्वारा दिया जाता है: CSA = 2πr²

हमें दिया गया है कि वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 154π वर्ग सेमी है: 2πr² = 154π r² = 77 r = √77

अर्धगोले का आयतन V सूत्र द्वारा दिया जाता है: V = (2/3)πr³

आयतन सूत्र में r = √77 प्रतिस्थापित करने पर: V = (2/3)π(√77)³ V = (2/3)π(77√77) V = (154/3)π√77

व्याख्या

भिन्नों को अवरोही क्रम में व्यवस्थित करने के लिए, प्रत्येक भिन्न को उसके दशमलव समतुल्य में बदलें:

3/4 = 0.75 2/3 ≈ 0.67 1/3 ≈ 0.33 2/7 ≈ 0.29

इन दशमलव मानों की तुलना सबसे बड़े से सबसे छोटे तक करने पर: 0.75 > 0.67 > 0.33 > 0.29

इस प्रकार, भिन्नों का सही अवरोही क्रम 3/4, 2/3, 1/3, 2/7 है।

व्याख्या

एक वृत्त की परिधि का सूत्र C = 2πr है, जहाँ r वृत्त की त्रिज्या है। π = 22/7 के मानक सन्निकटन का उपयोग करके, हम समीकरण स्थापित कर सकते हैं:

2 × (22/7) × r = 88

त्रिज्या के लिए हल करना:

44/7 × r = 88 r = 88 × 7/44 r = 14 सेमी

वृत्त का क्षेत्रफल सूत्र A = πr² का उपयोग करके गणना की जाती है। त्रिज्या के मान को प्रतिस्थापित करना:

A = (22/7) × 14² A = (22/7) × 196 A = 22 × 28 A = 616 वर्ग सेमी।

व्याख्या

घनों के अंतर के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके, हमारे पास है: p³ - q³ = (p - q)³ + 3pq(p - q)

p - q = 6 और pq = 7 का मान रखने पर: p³ - q³ = 6³ + 3 × 7 × 6 p³ - q³ = 216 + 126 = 342

इसके बाद, दो संख्याओं के योग और अंतर को जोड़ने वाली सर्वसमिका का उपयोग करके: (p + q)² = (p - q)² + 4pq

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: (p + q)² = 6² + 4 × 7 (p + q)² = 36 + 28 = 64

अब, इन परिकलित मानों को आवश्यक व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: p³ - q³ + 6(p + q)² = 342 + 6 × 64 p³ - q³ + 6(p + q)² = 342 + 384 = 726

व्याख्या

घातांक के नियमों का उपयोग करते हुए, पहले सभी आधारों को अभाज्य आधार 3 के रूप में व्यक्त करें। चूँकि 81 = 3⁴ है, हम इसे दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

81² ÷ 3⁴ = 3ⁿ (3⁴)² ÷ 3⁴ = 3ⁿ

घात की घात नियम, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ लागू करने पर:

3⁸ ÷ 3⁴ = 3ⁿ

घातांक के भागफल नियम, aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ लागू करने पर:

3⁸⁻⁴ = 3ⁿ 3⁴ = 3ⁿ

समान आधार के घातांकों को बराबर करके, हमें n = 4 प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक शंकु का आयतन V = ⅓ × π × r² × h सूत्र द्वारा दिया जाता है, जहाँ r त्रिज्या है और h ऊँचाई है।

सूत्र से, आयतन r² × h के सीधे समानुपाती होता है।

जब त्रिज्या r में 10% की वृद्धि की जाती है, तो नई त्रिज्या 1.1r हो जाती है। जब ऊँचाई h में 20% की वृद्धि की जाती है, तो नई ऊँचाई 1.2h हो जाती है।

नया आयतन Vₙew इस प्रकार गणना की जाती है: Vₙew = ⅓ × π × (1.1r)² × (1.2h) Vₙew = 1.21 × 1.2 × (⅓ × π × r² × h) Vₙew = 1.452 × V

आयतन में भिन्नात्मक वृद्धि है: 1.452 - 1 = 0.452

इसे प्रतिशत के रूप में व्यक्त करना: 0.452 × 100% = 45.2%

व्याख्या

दिए गए व्यंजक को सरल करने के लिए, बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)² = a² + b² - 2ab का उपयोग करके अंश का विस्तार करें:

(sin x - cos x)² = sin² x + cos² x - 2 sin x cos x

मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² x + cos² x = 1 लागू करने पर, अंश सरल होकर यह हो जाता है:

1 - 2 sin x cos x

इसे मूल भिन्न में वापस प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

(1 - 2 sin x cos x) / (1 - sin x cos x)

व्याख्या

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin²A + cos²A = 1 का उपयोग करके, हम न्यून कोण A के लिए sin A ज्ञात कर सकते हैं।

sin A = √(1 - cos²A)

cos A = 12/13 का दिया गया मान रखने पर: sin A = √(1 - (12/13)²) sin A = √(1 - 144/169) sin A = √(25/169) sin A = 5/13

चूंकि A एक न्यून कोण है, sin A धनात्मक होना चाहिए, जिससे 5/13 प्राप्त होता है।

व्याख्या

हमें sin θ = ½ दिया गया है। एक समकोण त्रिभुज में, यह θ = 30° के संगत है।

θ = 30° के लिए cos θ का मान cos 30° = √3/2 है।

इन मानों को व्यंजक 2 sin θ cos θ में प्रतिस्थापित करने पर:

2 sin θ cos θ = 2 × ½ × √3/2 = √3/2।

व्याख्या

रेखा का दिया गया समीकरण 3x + 4y - 12 = 0 है।

इस समीकरण को ढाल-अवरोधन रूप, y = mx + c, में पुनः लिखकर, रेखा की ढाल m₁ निर्धारित की जा सकती है: 4y = -3x + 12 y = (-3/4)x + 3

इस प्रकार, दी गई रेखा की ढाल m₁ = -3/4 है।

किसी भी दो लंबवत रेखाओं के लिए, उनकी ढालों का गुणनफल -1 होता है: m₁ × m₂ = -1

m₁ का मान सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: (-3/4) × m₂ = -1 m₂ = 4/3

व्याख्या

साधारण ब्याज के लिए, जब मूलधन और ब्याज दर स्थिर होती है, तो अर्जित ब्याज समय अवधि के सीधे समानुपाती होता है।

जब कोई धनराशि स्वयं की n गुनी हो जाती है, तो अर्जित ब्याज मूलधन का (n - 1) गुना होता है। इसलिए, किसी धनराशि को स्वयं का n गुना होने के लिए आवश्यक समय T, (n - 1) के सीधे समानुपाती होता है: T₁ / T₂ = (n₁ - 1) / (n₂ - 1)

यह देखते हुए कि धनराशि 10 वर्षों (T₁ = 10) में स्वयं की 3 गुनी (n₁ = 3) हो जाती है, हमें यह ज्ञात करना है कि यह स्वयं की 6 गुनी (n₂ = 6) कितने समय T₂ में होगी:

10 / T₂ = (3 - 1) / (6 - 1)

10 / T₂ = 2 / 5

T₂ = 10 × 5 / 2

T₂ = 25 वर्ष

व्याख्या

मानक बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: (x + y + z)² = x² + y² + z² + 2(xy + yz + zx)

दिए गए मानों x + y + z = 15 और xy + yz + zx = 54 को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 15² = x² + y² + z² + 2(54) 225 = x² + y² + z² + 108

दोनों पक्षों से 108 घटाने पर मान प्राप्त होता है: x² + y² + z² = 225 - 108 x² + y² + z² = 117

व्याख्या

मान लीजिए योजना Y में निवेश की गई राशि P_Y है और योजना X की ब्याज दर R% है।

चूंकि योजना X में 3,000 का निवेश, योजना Y में निवेश से 25% कम है: 3,000 = P_Y × (1 - 0.25) P_Y = 3,000 / 0.75 = 4,000

योजना Y के लिए ब्याज दर (R + 4)% है।

साधारण ब्याज सूत्र, SI = (मूलधन × दर × समय) / 100 का उपयोग करके: योजना X से ब्याज = (3,000 × R × 3) / 100 = 90R योजना Y से ब्याज = (4,000 × (R + 4) × 6) / 100 = 240R + 960

अर्जित कुल साधारण ब्याज 2,520 है: 90R + 240R + 960 = 2,520 330R + 960 = 2,520 330R = 1,560 R = 1,560 / 330 = 52 / 11 ≈ 4.73%

व्याख्या

संख्या 146689 एक पूर्ण वर्ग है क्योंकि इसका वर्गमूल एक पूर्णांक है। विशेष रूप से, 383 का वर्ग है:

383 × 383 = 146689

चूंकि 146689 का वर्गमूल ठीक 383 है, इसलिए यह एक पूर्ण वर्ग है।

व्याख्या

मिश्रण में पानी के प्रतिशत के लिए भारित औसत सूत्र है:

P = (V₁P₁ + V₂P₂) / (V₁ + V₂)

जहाँ: V₁ = 5 लीटर, P₁ = 20% V₂ = 7 लीटर, P₂ = 35%

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

P = (5 × 20 + 7 × 35) / (5 + 7) P = (100 + 245) / 12 P = 345 / 12 P = 28.75%

व्याख्या

अभाज्य गुणनखंडन के रूप में व्यक्त की गई संख्याओं के महत्तम समापवर्तक (HCF) को ज्ञात करने के लिए, हम दी गई संख्याओं में उपस्थित प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की निम्नतम घात का गुणनफल लेते हैं।

अभाज्य गुणनखंडनों की तुलना करने पर: पहली संख्या: 2³ × 3³ × 5² × 11¹ दूसरी संख्या: 2¹ × 3¹ × 5¹ × 7¹ × 11²

उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड 2, 3, 5 और 11 हैं। प्रत्येक के लिए निम्नतम घात लेने पर: 2 के लिए, निम्नतम घात 2¹ है 3 के लिए, निम्नतम घात 3¹ है 5 के लिए, निम्नतम घात 5¹ है 11 के लिए, निम्नतम घात 11¹ है

इन निम्नतम घातों को गुणा करने पर HCF प्राप्त होता है: HCF = 2 × 3 × 5 × 11

व्याख्या

प्रतिशत परिवर्तनों की एक श्रृंखला के बाद अंतिम जनसंख्या को क्रमिक प्रतिशत सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है:

अंतिम जनसंख्या = P × (1 - r₁/100) × (1 + r₂/100) × (1 - r₃/100)

यहां, प्रारंभिक जनसंख्या P 50,000 है। पहले वर्ष के लिए परिवर्तन की दर r₁ 15% की कमी है, दूसरे वर्ष के लिए r₂ 20% की वृद्धि है, और तीसरे वर्ष के लिए r₃ 10% की कमी है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

अंतिम जनसंख्या = 50,000 × (1 - 15/100) × (1 + 20/100) × (1 - 10/100)

अंतिम जनसंख्या = 50,000 × 0.85 × 1.20 × 0.90

अंतिम जनसंख्या = 50,000 × 17/20 × 6/5 × 9/10

गणना को सरल बनाने पर:

अंतिम जनसंख्या = 50,000 × 918/1,000

अंतिम जनसंख्या = 50 × 918

अंतिम जनसंख्या = 45,900

व्याख्या

जब तक मोटरसाइकिल सवार सुबह 7:00 बजे चलना शुरू करता है, तब तक साइकिल चालक पहले ही 1 घंटा चला चुका होता है।

उनके बीच प्रारंभिक दूरी है: दूरी = साइकिल चालक की गति × समय = 12 किमी/घंटा × 1 घंटा = 12 किमी

साइकिल चालक का पीछा करने वाले मोटरसाइकिल सवार की सापेक्ष गति है: सापेक्ष गति = मोटरसाइकिल सवार की गति - साइकिल चालक की गति = 24 किमी/घंटा - 12 किमी/घंटा = 12 किमी/घंटा

मोटरसाइकिल सवार को यह दूरी तय करके साइकिल चालक को पकड़ने के लिए आवश्यक समय है: समय = दूरी / सापेक्ष गति = 12 किमी / 12 किमी/घंटा = 1 घंटा

इस 1 घंटे को मोटरसाइकिल सवार के शुरुआती समय सुबह 7:00 बजे में जोड़ने पर सुबह 8:00 बजे प्राप्त होता है।

व्याख्या

वस्तु का अंकित मूल्य (MP) विक्रय मूल्य (SP) और दी गई छूट का योग होता है: MP = SP + छूट MP = 1800 + 200 = 2000

चूंकि वस्तु का अंकित मूल्य उसके क्रय मूल्य (CP) से 25% अधिक है: MP = CP × (1 + 25/100) 2000 = CP × 1.25 CP = 2000 / 1.25 = 1600

व्याख्या

चीनी मिश्रण का कुल क्रय मूल्य दोनों किस्मों की अलग-अलग लागतों को जोड़कर निकाला जाता है: कुल क्रय मूल्य = (40 × 45) + (60 × 55) = 1800 + 3300 = ₹ 5100

मिश्रण का कुल भार 40 + 60 = 100 किग्रा है।

कुल विक्रय मूल्य की गणना कुल भार को प्रति किग्रा विक्रय दर से गुणा करके की जाती है: कुल विक्रय मूल्य = 100 × 52 = ₹ 5200

चूंकि कुल विक्रय मूल्य कुल क्रय मूल्य से अधिक है, इसलिए लेन-देन से लाभ होता है: लाभ = कुल विक्रय मूल्य - कुल क्रय मूल्य = 5200 - 5100 = ₹ 100

व्याख्या

LCM विधि का उपयोग करके, कुल कार्य को 20 और 40 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) मानें, जो कि 40 इकाई है।

X की दक्षता 40 / 20 = 2 इकाई प्रति दिन है। Y की दक्षता 40 / 40 = 1 इकाई प्रति दिन है।

उनकी संयुक्त दक्षता 2 + 1 = 3 इकाई प्रति दिन है।

4 दिनों में, X और Y द्वारा एक साथ पूरा किया गया कार्य 3 × 4 = 12 इकाई है।

शेष कार्य 40 - 12 = 28 इकाई है।

चूंकि X चला जाता है, शेष कार्य को पूरा करने के लिए Y द्वारा लिया गया समय 28 / 1 = 28 दिन है।

व्याख्या

10 संख्याओं के योग में शुद्ध परिवर्तन की गणना कुल वृद्धि ज्ञात करके और कुल कमी को घटाकर की जाती है।

पहली 5 संख्याओं से कुल वृद्धि है: 5 × 4 = 20

शेष 5 संख्याओं से कुल कमी है: 5 × 2 = 10

संख्याओं के योग में शुद्ध परिवर्तन है: 20 - 10 = 10

औसत में परिवर्तन ज्ञात करने के लिए, योग में इस शुद्ध परिवर्तन को मानों की कुल संख्या, जो कि 10 है, से विभाजित किया जाता है: 10 / 10 = 1

इस परिवर्तन को मूल औसत में जोड़ने पर नया औसत प्राप्त होता है: 38 + 1 = 39

व्याख्या

मान लीजिए वह निश्चित संख्या 100 है।

पहली संख्या इस संख्या से 25% कम है, जो कि है: 100 - 25 = 75

दूसरी संख्या इस संख्या से 40% अधिक है, जो कि है: 100 + 40 = 140

पहली संख्या का दूसरी संख्या से अनुपात 75 : 140 है। दोनों पदों को उनके महत्तम समापवर्तक, जो कि 5 है, से विभाजित करने पर अनुपात 15 : 28 हो जाता है।

व्याख्या

दिया गया व्यंजक sin P cos Q + cos P sin Q है।

सबसे पहले, मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin²θ + cos²θ = 1 का उपयोग करके cos P और sin Q ज्ञात करें:

cos P = √(1 - sin²P) = √(1 - (5/13)²) = √(1 - 25/169) = √(144/169) = 12/13

sin Q = √(1 - cos²Q) = √(1 - (12/13)²) = √(1 - 144/169) = √(25/169) = 5/13

इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

sin P cos Q + cos P sin Q = (5/13) × (12/13) + (12/13) × (5/13) = 60/169 + 60/169 = 120/169

व्याख्या

साझेदारी में लाभ-बंटवारे का अनुपात निवेश की राशि और निवेश की अवधि के गुणनफल द्वारा निर्धारित किया जाता है।

12 महीनों के लिए X का समतुल्य निवेश है: 72,000 × 12 = 8,64,000

पहले 4 महीनों के लिए Y का प्रारंभिक निवेश 54,000 है। फिर वह अपने निवेश में 20% की वृद्धि करता है, जिससे उसका नया निवेश बनता है: 54,000 × 1.20 = 64,800 12 महीनों के लिए Y का समतुल्य निवेश है: (54,000 × 4) + (64,800 × 8) = 2,16,000 + 5,18,400 = 7,34,400

पहले 4 महीनों के लिए Z का प्रारंभिक निवेश 36,000 है। फिर वह अपने निवेश में 15% की कमी करता है, जिससे उसका नया निवेश बनता है: 36,000 × 0.85 = 30,600 12 महीनों के लिए Z का समतुल्य निवेश है: (36,000 × 4) + (30,600 × 8) = 1,44,000 + 2,44,800 = 3,88,800

उनके लाभ-भागों का अनुपात X : Y : Z है: 8,64,000 : 7,34,400 : 3,88,800 प्रत्येक को 43,200 से विभाजित करने पर यह अनुपात 20 : 17 : 9 हो जाता है।

अनुपात के भागों का योग 20 + 17 + 9 = 46 है।

रु. 1,08,000 के कुल लाभ में Z का हिस्सा है: (9 / 46) × 1,08,000 = (9 × 54,000) / 23 = 4,86,000 / 23

व्याख्या

n वर्षों के बाद चक्रवृद्धि ब्याज राशि का सूत्र Aₙ = P(1 + R/100)ⁿ है, जहाँ P मूलधन है, R वार्षिक ब्याज दर है, और n वर्षों की संख्या है।

दो क्रमागत वर्षों की राशियों का अनुपात (1 + R/100) का गुणक देता है: A₄ / A₃ = (P(1 + R/100)⁴) / (P(1 + R/100)³) = 1 + R/100

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

1 + R/100 = 14,641 / 13,310 = 1.1

इस गुणक को तीसरे वर्ष के अंत में राशि के सूत्र में वापस प्रतिस्थापित करने पर: A₃ = P(1 + R/100)³ 13,310 = P(1.1)³ 13,310 = P × 1.331 P = 13,310 / 1.331 P = 10,000

व्याख्या

कुल कार्य A और B द्वारा लिए गए व्यक्तिगत समय का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है। 24 और 16 का लघुत्तम समापवर्त्य 48 इकाई है।

A की दक्षता = 48 / 24 = 2 इकाई प्रति दिन। B की दक्षता = 48 / 16 = 3 इकाई प्रति दिन।

A और B की संयुक्त दक्षता = 2 + 3 = 5 इकाई प्रति दिन।

पहले 4 दिनों में, A और B एक साथ काम करते हैं और पूरा करते हैं: 5 इकाई प्रति दिन × 4 दिन = 20 इकाई।

शेष कार्य = 48 - 20 = 28 इकाई।

B के जाने के बाद, A शेष कार्य को पूरा करने के लिए अकेले काम करता है। A द्वारा आवश्यक अतिरिक्त दिनों की संख्या = शेष कार्य / A की दक्षता = 28 / 2 = 14 दिन।

व्याख्या

पेन की कीमत में कमी 160 रुपये का 20% है।

बचत राशि = 160 का 20% = (20 / 100) × 160 = 32 रुपये

चूंकि 32 रुपये की यह बचत राशि व्यक्ति को 4 अतिरिक्त पेन खरीदने की अनुमति देती है, इसलिए प्रत्येक पेन का नया मूल्य बचत राशि को अतिरिक्त पेन की संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त होता है।

प्रत्येक पेन का नया मूल्य = 32 / 4 = 8 रुपये

व्याख्या

संख्याओं के एक समूह का योग सूत्र द्वारा दिया जाता है: योग = औसत × पदों की संख्या।

सभी 9 संख्याओं का योग है: 9 × 40 = 360

पहली 5 संख्याओं का योग है: 5 × 38 = 190

अंतिम 5 संख्याओं का योग है: 5 × 44 = 220

पहली 5 संख्याओं और अंतिम 5 संख्याओं के योग को जोड़ने पर मध्य (पाँचवीं) संख्या दो बार गिनी जाती है। इसलिए, मध्य संख्या इस संयुक्त योग और सभी 9 संख्याओं के योग के बीच का अंतर है: मध्य संख्या = (190 + 220) - 360 = 410 - 360 = 50

व्याख्या

संयुक्त अनुपात a:b:c ज्ञात करने के लिए, दोनों अनुपातों में उभयनिष्ठ पद b को बराबर करना होगा।

दिए गए अनुपात हैं: a:b = 3:4 b:c = 5:6

b पदों, 4 और 5 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 20 है।

पहले अनुपात के पदों को 5 से गुणा करने पर: a:b = (3 × 5) : (4 × 5) = 15:20

दूसरे अनुपात के पदों को 4 से गुणा करने पर: b:c = (5 × 4) : (6 × 4) = 20:24

दोनों अनुपातों को मिलाने पर प्राप्त होता है: a:b:c = 15:20:24

व्याख्या

दो बिंदुओं के बीच की दूरी 'd' जब जाने और वापस आने की चाल क्रमशः v₁ और v₂ हो, और कुल लिया गया समय T हो, तो सूत्र द्वारा दी जाती है:

d = (v₁ × v₂ × T) / (v₁ + v₂)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: v₁ = 6 किमी/घंटा v₂ = 3 किमी/घंटा T = 2 घंटे

d = (6 × 3 × 2) / (6 + 3) d = 36 / 9 d = 4 किमी

व्याख्या

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका (fundamental trigonometric identity) के अनुसार sin²θ + cos²θ = 1 होता है।

इसमें cosθ = 7/25 का मान रखने पर: sin²θ + (7/25)² = 1 sin²θ + 49/625 = 1 sin²θ = 1 - 49/625 sin²θ = 576/625 sinθ = ±24/25

चतुर्थ चतुर्थांश (Quadrant IV) में, cos फलन धनात्मक होता है और sin फलन ऋणात्मक होता है। चूँकि θ चतुर्थ चतुर्थांश में स्थित है, sinθ का मान ऋणात्मक होगा, जिससे sinθ = -24/25 प्राप्त होता है।

व्याख्या

किसी भी शुद्ध आवर्ती दशमलव के लिए जहाँ अंकों का एक समूह अनिश्चित काल तक दोहराता है, दशमलव को दोहराए जाने वाले समूह को अंश में और समान संख्या में नौ को हर में रखकर सीधे भिन्न में परिवर्तित किया जा सकता है।

आवर्ती दशमलव 0.363636... में, दोहराया जाने वाला समूह 36 है, जिसकी लंबाई 2 अंक है।

इस नियम को लागू करने पर: 0.363636... = 36/99

इस भिन्न को उसके निम्नतम पदों तक कम करने के लिए, अंश और हर दोनों को उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक, जो कि 9 है, से विभाजित करें: 36 ÷ 9 = 4 99 ÷ 9 = 11

यह सरलीकृत भिन्न 4/11 देता है।

व्याख्या

प्रत्येक साझेदार के लाभ के हिस्से का पता लगाने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करके 1-वर्ष की अवधि में उनके समतुल्य निवेशों के अनुपात की गणना करते हैं: समकक्ष निवेश = निवेश × समय

A के लिए, पहले 6 महीनों के लिए निवेश रु. 80,000 है, और फिर अगले 6 महीनों के लिए रु. 1,00,000 है: A का समकक्ष निवेश = (80,000 × 6) + (1,00,000 × 6) = 4,80,000 + 6,00,000 = 10,80,000

B के लिए, पहले 6 महीनों के लिए निवेश रु. 50,000 है, और फिर अगले 6 महीनों के लिए रु. 40,000 है: B का समकक्ष निवेश = (50,000 × 6) + (40,000 × 6) = 3,00,000 + 2,40,000 = 5,40,000

C के लिए, पूरे 12 महीनों के लिए निवेश रु. 70,000 है: C का समकक्ष निवेश = 70,000 × 12 = 8,40,000

लाभ वितरण का अनुपात है: A : B : C = 10,80,000 : 5,40,000 : 8,40,000 A : B : C = 18 : 9 : 14

अनुपात पदों का योग 18 + 9 + 14 = 41 है।

कुल लाभ रु. 2,40,000 में से B का हिस्सा है: B का हिस्सा = (9 / 41) × 2,40,000 = 21,60,000 / 41 ≈ 52,683

व्याख्या

2 वर्षों की अवधि के लिए चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच का अंतर मानक सूत्र द्वारा दिया जाता है:

अंतर = P × (R / 100)²

जहाँ P मूल राशि है और R प्रति वर्ष ब्याज की दर है।

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

72 = P × (12 / 100)²

72 = P × (3 / 25)²

72 = P × (9 / 625)

P = (72 × 625) / 9

P = 8 × 625

P = 5000

मूल राशि रु. 5,000 है।

व्याख्या

समानांतर रेखाओं का ढलान समान होता है। एक रैखिक समीकरण का ढलान-अवरोधन रूप y = mx + c होता है, जहाँ m ढलान को दर्शाता है। दी गई रेखा y = -2x + 3 का ढलान m = -2 है। इसलिए, इसके समानांतर किसी भी रेखा का ढलान -2 होना चाहिए।

बिंदु-ढलान सूत्र का उपयोग करके, एक बिंदु (x₁, y₁) से गुजरने वाली m ढलान वाली रेखा का समीकरण है:

y - y₁ = m(x - x₁)

इस सूत्र में ढलान m = -2 और बिंदु (2, -1) के निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने पर:

y - (-1) = -2(x - 2)

y + 1 = -2x + 4

y = -2x + 3

व्याख्या

किन्हीं दो समरूप बहुभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। इस संबंध को सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है:

क्षेत्रफल₁ / क्षेत्रफल₂ = (भुजा₁ / भुजा₂)²

दिए गए क्षेत्रफलों के अनुपात 16:49 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

16 / 49 = (भुजा₁ / भुजा₂)²

संगत भुजाओं का अनुपात ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:

भुजा₁ / भुजा₂ = √(16 / 49) = 4 / 7

यह संगत भुजाओं का अनुपात 4:7 देता है।

व्याख्या

त्रिभुज के शीर्ष A(0,0), B(6,0), और C(0,8) हैं। भुजा AB x-अक्ष के अनुदिश स्थित है, और भुजा AC y-अक्ष के अनुदिश स्थित है। क्योंकि x-अक्ष और y-अक्ष एक-दूसरे पर लंबवत हैं, शीर्ष A(0,0) पर कोण ठीक 90° है।

किसी भी समकोण त्रिभुज में, दो न्यून कोण वाले शीर्षों से खींचे गए शीर्षलंब लंबवत भुजाओं के अनुदिश होते हैं और समकोण वाले शीर्ष पर प्रतिच्छेद करते हैं। इसलिए, लंबकेंद्र, जो कि तीन शीर्षलंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु है, हमेशा समकोण वाले शीर्ष के साथ संपाती होता है। इससे लंबकेंद्र मूल बिंदु, A(0,0) पर स्थित होता है।

व्याख्या

वांछित संख्या ज्ञात करने के लिए, हम पहले भाजक 5, 8 और 12 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करते हैं।

LCM(5, 8, 12) = 120

कोई भी संख्या जिसे 5, 8 और 12 से विभाजित करने पर 2 शेष बचता है, वह 120k + 2 के रूप की होनी चाहिए, जहाँ k एक पूर्णांक है।

सबसे बड़ी चार अंकों की संख्या 9999 है। 9999 को 120 से विभाजित करने पर भागफल 83 और शेषफल 39 प्राप्त होता है।

सबसे बड़ी चार अंकों की संख्या जो 120 का गुणज है, वह है: 120 × 83 = 9960

इस गुणज में आवश्यक शेषफल 2 जोड़ने पर: 9960 + 2 = 9962

व्याख्या

घातांक के नियम के अनुसार, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ। इसे समीकरण के बाईं ओर लागू करने पर:

(2³)ˣ = 2³ˣ

हमें समीकरण दिया गया है:

2³ˣ = 2¹²

चूंकि दोनों पक्षों के आधार बराबर हैं, हम उनके घातांकों को बराबर कर सकते हैं:

3x = 12

दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करने पर:

x = 4

व्याख्या

मिश्रण में दूध की मात्रा स्थिर रहती है क्योंकि केवल पानी मिलाया जा रहा है।

शुरुआत में, 60 लीटर मिश्रण में पानी 20% है, जिसका अर्थ है कि दूध मिश्रण का 80% है। दूध की मात्रा = 60 × 0.80 = 48 लीटर

अंतिम मिश्रण में, पानी 40% हो जाता है, जिसका अर्थ है कि दूध अब कुल अंतिम आयतन का 60% है। मान लीजिए मिश्रण का अंतिम आयतन V है।

0.60 × V = 48 V = 48 / 0.60 V = 80 लीटर

मिलाए जाने वाले पानी की मात्रा अंतिम और प्रारंभिक मिश्रण के आयतन के बीच का अंतर है: मिलाया गया पानी = 80 - 60 = 20 लीटर

व्याख्या

दिया गया है कि tanθ - cotθ = 0, इसलिए tanθ = cotθ, जिसका अर्थ है sinθ/cosθ = cosθ/sinθ, या sin²θ = cos²θ। यह मानते हुए कि θ एक न्यून कोण है, इससे sinθ = cosθ प्राप्त होता है, और इसलिए sinθ - cosθ = 0।

व्याख्या

व्यास D वाले एक गोले के अंदर अंकित त्रिज्या r और ऊँचाई h वाले एक लंब वृत्तीय बेलन के लिए, बेलन के अनुदैर्ध्य अनुप्रस्थ काट का विकर्ण गोले के व्यास का प्रतिनिधित्व करता है। यह अनुप्रस्थ काट एक आयत है जिसकी चौड़ाई बेलन के व्यास (2r) के बराबर और ऊँचाई बेलन की ऊँचाई (h) के बराबर है।

बेलन के व्यास, ऊँचाई और गोले के व्यास द्वारा बनने वाले इस समकोण त्रिभुज पर पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर:

D² = (2r)² + h²

D² = 4r² + h²

h को D और r के पदों में व्यक्त करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

h² = D² - 4r²

h = √(D² - 4r²)

व्याख्या

10 पुस्तकों का विक्रय मूल्य (SP) ₹ 500 है। इसलिए, एक पुस्तक का SP है: एक पुस्तक का SP = 500 / 10 = ₹ 50

व्यापारी को 2 पुस्तकों के विक्रय मूल्य के बराबर हानि होती है: हानि = 2 × एक पुस्तक का SP = 2 × 50 = ₹ 100

हानि के लिए मौलिक संबंध का उपयोग करते हुए: क्रय मूल्य (CP) = विक्रय मूल्य (SP) + हानि

10 पुस्तकों के लिए मानों को प्रतिस्थापित करें: 10 पुस्तकों का CP = 500 + 100 = ₹ 600

इसलिए, एक पुस्तक का क्रय मूल्य है: एक पुस्तक का CP = 10 पुस्तकों का CP / 10 = 600 / 10 = ₹ 60

व्याख्या

साधारण ब्याज सूत्र का उपयोग करके, साधारण ब्याज (SI) = P × R × T / 100 और राशि (A) = P + SI।

दूसरे मामले के लिए, मूलधन रु. 10,000 है और यह रु. 12,000 हो जाती है। SI = 12,000 - 10,000 = रु. 2,000 ब्याज के सूत्र का उपयोग करके: 2,000 = 10,000 × 10 × T / 100 T = 2 वर्ष

पहले मामले के लिए, समय T 2 वर्ष है, ब्याज की दर 8% प्रति वर्ष है, और राशि रु. 9,280 है। राशि A = x × (1 + R × T / 100) 9,280 = x × (1 + 8 × 2 / 100) 9,280 = x × (1 + 16 / 100) 9,280 = x × (116 / 100) x = 9,280 × 100 / 116 x = 8,000

व्याख्या

मॉडल और भवन की विमाओं का अनुपात 1:500 है।

मॉडल की ऊँचाई ज्ञात करने के लिए, हम पैमाना अनुपात सूत्र का उपयोग करते हैं: मॉडल की ऊँचाई = भवन की ऊँचाई ÷ पैमाना गुणक

सबसे पहले, भवन की ऊँचाई को मीटर से सेंटीमीटर में बदलें: 75 मीटर = 75 × 100 सेमी = 7500 सेमी

500 के पैमाना गुणक का उपयोग करके: मॉडल की ऊँचाई = 7500 सेमी ÷ 500 = 15 सेमी

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करते हुए जहाँ यदि a + b + c = 0 है, तो a³ + b³ + c³ = 3abc होता है।

माना a = x² - y², b = y² - z², और c = z² - x²।

इन तीन पदों को जोड़ने पर: a + b + c = (x² - y²) + (y² - z²) + (z² - x²) = 0

चूंकि योग शून्य है, इसलिए उनके घनों का योग है: (x² - y²)³ + (y² - z²)³ + (z² - x²)³ = 3(x² - y²)(y² - z²)(z² - x²)

वर्गों के अंतर सूत्र, a² - b² = (a - b)(a + b), को प्रत्येक गुणनखंड पर लागू करने पर: x² - y² = (x - y)(x + y) y² - z² = (y - z)(y + z) z² - x² = (z - x)(z + x)

इन विस्तारों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: 3(x - y)(x + y)(y - z)(y + z)(z - x)(z + x)

पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर प्राप्त होता है: 3(x - y)(y - z)(z - x)(x + y)(y + z)(z + x)

व्याख्या

एक अर्धगोलाकार कटोरे में धातु का आयतन बाहरी अर्धगोले के आयतन में से आंतरिक अर्धगोले के आयतन को घटाकर ज्ञात किया जाता है। सूत्र V = (2/3)π(R³ - r³) है, जहाँ R बाहरी त्रिज्या है और r आंतरिक त्रिज्या है।

यह देखते हुए कि आंतरिक त्रिज्या r 7 सेमी है और धातु की मोटाई 3 सेमी है, बाहरी त्रिज्या R की गणना इस प्रकार की जाती है: R = 7 + 3 = 10 सेमी

इन मानों को आयतन सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: V = (2/3)π(10³ - 7³) V = (2/3)π(1000 - 343) V = (2/3)π × 657 V = 2π × 219 V = 438π सेमी³

व्याख्या

चूंकि 81 का वर्गमूल ठीक 9 है और 80 का वर्गमूल लगभग 8.94 है, इन मानों का योग लगभग 17.94 है। इसलिए, व्यंजक का पूर्णांक भाग 17 है।

व्याख्या

साधारण ब्याज की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

साधारण ब्याज = (मूलधन × दर × समय) / 100

जहाँ: मूलधन वह राशि है जो उधार ली गई है, जो 15,000 रुपये है। दर प्रति वर्ष ब्याज की दर है, जो 10% है। समय अवधि है, जो 4 वर्ष है।

दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर:

साधारण ब्याज = (15000 × 10 × 4) / 100 साधारण ब्याज = 15000 × 0.40 साधारण ब्याज = 6000

4 वर्षों की अवधि के अंत में देय कुल ब्याज 6,000 रुपये है।