एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2019 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

भुजा की लंबाई 'a' वाले एक सम षट्भुज का क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: क्षेत्रफल = 6 × (√3/4) × a²

चूंकि खेत का क्षेत्रफल 2400√3 वर्ग मीटर दिया गया है, हम भुजा की लंबाई ज्ञात करने के लिए इसे सूत्र में प्रतिस्थापित कर सकते हैं: 6 × (√3/4) × a² = 2400√3 (3/2) × a² = 2400 a² = 1600 a = 40 मीटर

षट्भुज की परिधि है: परिधि = 6 × a = 6 × 40 = 240 मीटर

₹18.50 प्रति मीटर की दर से खेत की बाड़ लगाने का खर्च है: खर्च = परिधि × दर = 240 × 18.50 = 120 × 37 = 4440

व्याख्या

कॉल:गूगल:सर्च{क्वेरी:["केंद्र O वाले एक वृत्त में, AD व्यास है और AC एक जीवा है" "OBA = 60","केंद्र O वाले एक वृत्त में, AD व्यास है और AC एक जीवा है। B, AC पर एक बिंदु है"]}

व्याख्या

माना कुल कार्य 1 इकाई है।

A और B की कार्य करने की संयुक्त दर है: A + B = 1/25 प्रति दिन

चूंकि B अकेला 15 दिनों में कार्य का 33 ⅓% (जो कि 1/3 है) पूरा करता है, B की कार्य दर है: B = (1/3) ÷ 15 = 1/45 प्रति दिन

A की अकेले कार्य दर उनकी संयुक्त दर और B की दर का अंतर है: A = (A + B) - B A = 1/25 - 1/45 A = (9 - 5) / 225 = 4/225 प्रति दिन

A द्वारा अकेले कार्य का 4/15 भाग पूरा करने के लिए आवश्यक समय की गणना आवश्यक कार्य के हिस्से को A की दैनिक दर से विभाजित करके की जाती है: समय = (4/15) ÷ (4/225) समय = (4/15) × (225/4) = 15 दिन

व्याख्या

सही उत्तर: D

चूंकि एक बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्शरेखाएँ लंबाई में बराबर होती हैं, इसलिए AB = AC है।

त्रिभुज ABC में, चूंकि AB = AC है, विपरीत कोण बराबर होते हैं: ∠ABC = ∠ACB। त्रिभुज ABC के कोण योग गुण का उपयोग करके: ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180° 40° + 2 × ∠ABC = 180° 2 × ∠ABC = 140° ∠ABC = 70° इसलिए, ∠ACB = 70°।

चूंकि जीवा CP स्पर्शरेखा BA (BA || CP) के समानांतर है और BC तिर्यक रेखा है, एकांतर अंतः कोण बराबर होते हैं: ∠BCP = ∠ABC = 70°

एकांतर खंड प्रमेय द्वारा, स्पर्शरेखा AB और जीवा BC के बीच का कोण एकांतर खंड में जीवा BC द्वारा बनाए गए कोण के बराबर होता है: ∠BPC = ∠ABC = 70°

त्रिभुज BCP में, कोणों का योग 180° होता है: ∠CBP + ∠BCP + ∠BPC = 180° ∠CBP + 70° + 70° = 180° ∠CBP + 140° = 180° ∠CBP = 40°

व्याख्या

वस्तु का अंकित मूल्य रु 600 है। 25% की छूट देने के बाद, छूट की राशि है: छूट = 600 × 25/100 = रु 150

विक्रय मूल्य की गणना अंकित मूल्य से छूट घटाकर की जाती है: विक्रय मूल्य = 600 - 150 = रु 450

चूंकि रु 30 का नुकसान हुआ है, वस्तु का क्रय मूल्य है: क्रय मूल्य = विक्रय मूल्य + नुकसान = 450 + 30 = रु 480

नुकसान प्रतिशत निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: नुकसान प्रतिशत = (नुकसान / क्रय मूल्य) × 100 नुकसान प्रतिशत = (30 / 480) × 100 = (1 / 16) × 100 = 6.25%

व्याख्या

साधारण ब्याज ज्ञात करने के लिए, सूत्र का प्रयोग करें: साधारण ब्याज (SI) = P × R × T / 100

यहाँ, मूलधन (P) = 12,000, दर (R) = 12% प्रति वर्ष, और समय (T) = 1¼ वर्ष = 5/4 वर्ष। SI = 12000 × 12 × (5/4) / 100 = 1800

5-मासिक चक्रवृद्धि ब्याज के लिए: कुल समयावधि = 1¼ वर्ष = 15 महीने। चक्रवृद्धि अवधियों की संख्या (n) = 15 / 5 = 3। प्रति 5-मासिक अवधि ब्याज दर (r) = 12% × 5/12 = 5%।

चक्रवृद्धि ब्याज सूत्र का प्रयोग करके: मिश्रधन (A) = P × (1 + r/100)ⁿ A = 12000 × (1 + 5/100)³ A = 12000 × (21/20)³ A = 12000 × 9261 / 8000 A = 1.5 × 9261 = 13891.50

चक्रवृद्धि ब्याज (CI) = A - P CI = 13891.50 - 12000 = 1891.50

चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच का अंतर है: अंतर = CI - SI अंतर = 1891.50 - 1800 = 91.50

व्याख्या

v₁ और v₂ गति के साथ एक गोल यात्रा के लिए औसत गति का सूत्र है: औसत गति = 2v₁v₂ / (v₁ + v₂)

v₁ = 12 किमी/घंटा और v₂ = 9 किमी/घंटा रखने पर: औसत गति = 2 × 12 × 9 / (12 + 9) = 216 / 21 = 72/7 किमी/घंटा

लिया गया कुल समय 2⅓ घंटे है, जो 7/3 घंटे है।

तय की गई कुल दूरी औसत गति को कुल समय से गुणा करने पर प्राप्त होती है: कुल दूरी = (72/7) × (7/3) = 24 किमी

व्याख्या

हम दिए गए व्यंजक के हर को सरल करते हैं: (1 - sin θ)(sec θ + tan θ)

चूंकि sec θ = 1/cos θ और tan θ = sin θ/cos θ, इसलिए (sec θ + tan θ) पद को (1 + sin θ)/cos θ के रूप में लिखा जा सकता है।

इसे हर में वापस प्रतिस्थापित करने पर: (1 - sin θ) × (1 + sin θ)/cos θ = (1 - sin² θ)/cos θ

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका 1 - sin² θ = cos² θ का उपयोग करके, हर सरल होकर यह हो जाता है: cos² θ/cos θ = cos θ

अब, सरल किए गए हर को मूल व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर: cot θ/cos θ = (cos θ/sin θ)/cos θ = 1/sin θ = cosec θ

व्याख्या

मान लीजिए तीन संख्याएँ a, b और c हैं। प्रश्न के अनुसार:

(a + b)/2 + c = 177, जिसे सरल करने पर a + b + 2c = 354 प्राप्त होता है (b + c)/2 + a = 163, जिसे सरल करने पर 2a + b + c = 326 प्राप्त होता है (c + a)/2 + b = 138, जिसे सरल करने पर a + 2b + c = 276 प्राप्त होता है

इन तीन सरलीकृत समीकरणों को एक साथ जोड़ने पर:

4a + 4b + 4c = 354 + 326 + 276 4(a + b + c) = 956 a + b + c = 239

प्रत्येक व्यक्तिगत संख्या का मान ज्ञात करने के लिए, हम इस योग को तीन सरलीकृत समीकरणों में से प्रत्येक से घटाते हैं:

c = 354 - 239 = 115 a = 326 - 239 = 87 b = 276 - 239 = 37

सबसे बड़ी संख्या 115 है और सबसे छोटी संख्या 37 है। सबसे बड़ी और सबसे छोटी संख्याओं का औसत है:

(115 + 37) / 2 = 152 / 2 = 76

व्याख्या

दिए गए बीजीय व्यंजक x + y = 7 और xy = 10 हैं।

1/x³ + 1/y³ का मान ज्ञात करने के लिए, व्यंजक को एक सामान्य हर ज्ञात करके सरल करें: 1/x³ + 1/y³ = (x³ + y³) / (xy)³

अंश का मूल्यांकन करने के लिए घनों के योग के लिए बीजीय सर्वसमिका का प्रयोग करें: x³ + y³ = (x + y)³ - 3xy(x + y)

इस सर्वसमिका में x + y और xy के दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करें: x³ + y³ = 7³ - 3 × 10 × 7 x³ + y³ = 343 - 210 x³ + y³ = 133

अगला, xy के मान का उपयोग करके हर की गणना करें: (xy)³ = 10³ = 1000

सरलीकृत व्यंजक में अंश और हर के मानों को वापस प्रतिस्थापित करें: 1/x³ + 1/y³ = 133 / 1000 = 0.133

व्याख्या

मान लीजिए व्यक्ति की प्रारंभिक आय 100 है।

चूंकि वह अपनी आय का 72% खर्च करता है, इसलिए उसका प्रारंभिक व्यय 72 है, और उसकी प्रारंभिक बचत 100 - 72 = 28 है।

जब उसकी आय में 28% की वृद्धि होती है, तो नई आय 128 हो जाती है। जब उसके व्यय में 25% की वृद्धि होती है, तो नया व्यय 72 + (72 का 25%) = 72 + 18 = 90 हो जाता है।

व्यक्ति की नई बचत उसकी नई आय और नए व्यय के बीच का अंतर है: नई बचत = 128 - 90 = 38।

उसकी बचत में वृद्धि 38 - 28 = 10 है।

बचत में प्रतिशत वृद्धि ज्ञात करने के लिए: प्रतिशत वृद्धि = (बचत में वृद्धि / प्रारंभिक बचत) × 100 प्रतिशत वृद्धि = (10 / 28) × 100 = 250 / 7 ≈ 35.7%

व्याख्या

BODMAS नियम का प्रयोग करके, व्यंजक 3/4 ÷ 3/4 का 3/4 × 4/3 + 5/2 ÷ 2/5 का 5/4 - (2/3 + 2/3 का 5/6) को संचालन के क्रम में सरलीकृत किया गया है: ब्रैकेट, का, भाग, गुणा, जोड़, और घटाव।

सबसे पहले, ब्रैकेट को हल करें: (2/3 + 2/3 का 5/6)

ब्रैकेट के अंदर 'का' संक्रिया का मूल्यांकन करें: 2/3 का 5/6 = 2/3 × 5/6 = 5/9

अब, ब्रैकेट के अंदर जोड़ें: 2/3 + 5/9 = 6/9 + 5/9 = 11/9

अगला, व्यंजक में शेष 'का' पदों का मूल्यांकन करें: 3/4 का 3/4 = 9/16 2/5 का 5/4 = 1/2

इन्हें व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करें: 3/4 ÷ 9/16 × 4/3 + 5/2 ÷ 1/2 - 11/9

अब भाग संक्रियाएँ करें: 3/4 ÷ 9/16 = 3/4 × 16/9 = 4/3 5/2 ÷ 1/2 = 5/2 × 2 = 5

इन मानों को प्रतिस्थापित करें: 4/3 × 4/3 + 5 - 11/9

अब, गुणा का मूल्यांकन करें: 4/3 × 4/3 = 16/9

अंत में, जोड़ और घटाव को हल करें: 16/9 + 5 - 11/9 = 5/9 + 5 = 50/9

व्याख्या

नौ-अंकीय संख्या 43x1145y2 के 88 से विभाज्य होने के लिए, इसे 8 और 11 दोनों से विभाज्य होना चाहिए।

8 से विभाज्यता के लिए अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या, 5y2, का 8 से विभाज्य होना आवश्यक है। y के एकल-अंकीय मानों को 0 से शुरू करके परीक्षण करने पर, हम पाते हैं कि y = 1 के लिए, संख्या 512, 8 से विभाज्य है। इस प्रकार, y का सबसे छोटा मान 1 है।

11 से विभाज्यता के लिए विषम स्थानों पर अंकों के योग और सम स्थानों पर अंकों के योग के बीच का अंतर 11 का गुणज या 0 होना चाहिए। विषम स्थानों पर अंकों का योग = 4 + x + 1 + 5 + 2 = 12 + x सम स्थानों पर अंकों का योग = 3 + 1 + 4 + 1 = 9 अंतर = (12 + x) - 9 = 3 + x

3 + x के 11 का गुणज होने के लिए, x का एकल-अंकीय मान 8 होना चाहिए (क्योंकि 3 + 8 = 11)।

आवश्यक व्यंजक में x = 8 और y = 1 के मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 3x - 2y = 3(8) - 2(1) = 24 - 2 = 22

व्याख्या

सही वितरण में, राशि को 3 : 4 : 5 : 8 के अनुपात में बाँटा गया है। कुल भाग = 3 + 4 + 5 + 8 = 20 भाग। इस सही वितरण में D का हिस्सा = (8 / 20) × 4360 = 1744।

गलत वितरण में, राशि को 1/3 : 1/4 : 1/5 : 1/8 के अनुपात में बाँटा गया है। अनुपात पदों को हरों के LCM (120) से गुणा करने पर यह अनुपात 40 : 30 : 24 : 15 हो जाता है। इस गलत अनुपात में कुल भाग = 40 + 30 + 24 + 15 = 109 भाग। इस गलत वितरण में D का हिस्सा = (15 / 109) × 4360 = 15 × 40 = 600।

D के हिस्से में अंतर = 1744 - 600 = 1144। गलती के परिणामस्वरूप, D को रु. 1,144 कम मिले।

व्याख्या

मान लीजिए एक वस्तु का विक्रय मूल्य x है।

72 वस्तुओं का विक्रय मूल्य 72x है।

हुई हानि 8 वस्तुओं के विक्रय मूल्य के बराबर है, जो कि 8x है।

वस्तुओं का क्रय मूल्य इस प्रकार दिया गया है: क्रय मूल्य = विक्रय मूल्य + हानि क्रय मूल्य = 72x + 8x = 80x

हानि प्रतिशत की गणना इस प्रकार की जाती है: हानि % = (हानि / क्रय मूल्य) × 100 हानि % = (8x / 80x) × 100 = 10%

व्याख्या

माना cos θ = x। दिया गया द्विघात समीकरण है: 2x² - 5x + 2 = 0

द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: 2x² - 4x - x + 2 = 0 2x(x - 2) - 1(x - 2) = 0 (2x - 1)(x - 2) = 0

इससे x = ½ या x = 2 प्राप्त होता है। चूँकि cos θ का मान -1 और 1 के बीच होना चाहिए, हम x = 2 को छोड़ देते हैं। अतः, cos θ = ½। चूँकि 0° < θ < 90°, हमें θ = 60° प्राप्त होता है।

अब, दिए गए व्यंजक में θ = 60° प्रतिस्थापित करने पर: cosec θ + cot θ = cosec 60° + cot 60° cosec 60° + cot 60° = 2/√3 + 1/√3 = 3/√3 = √3।

व्याख्या

दिए गए द्विघात समीकरण के पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: 8x² - 4xy + y² - 12x + 9 = 0

हम 8x² को 4x² + 4x² में विभाजित कर सकते हैं ताकि पदों को पूर्ण वर्गों में समूहीकृत किया जा सके: (4x² - 4xy + y²) + (4x² - 12x + 9) = 0

यह सरल हो जाता है: (2x - y)² + (2x - 3)² = 0

चूंकि दो गैर-ऋणात्मक वर्ग पदों का योग शून्य है, इसलिए प्रत्येक पद व्यक्तिगत रूप से शून्य के बराबर होना चाहिए: 2x - 3 = 0 → x = 3/2

2x - y = 0 → y = 2x = 2(3/2) = 3

x और y के मानों को व्यंजक 14x - 5y में प्रतिस्थापित करने पर: 14(3/2) - 5(3) = 21 - 15 = 6

व्याख्या

आवश्यक व्यंजक के लिए हल करने हेतु हम मानक बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हैं।

सबसे पहले, हम सर्वसमिका का उपयोग करके वर्गों का योग ज्ञात करते हैं: x² + y² + z² = (x + y + z)² - 2(xy + yz + zx)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: x² + y² + z² = 19² - 2(114) = 361 - 228 = 133

इसके बाद, हम सर्वसमिका का उपयोग करके घनों का योग ज्ञात करते हैं: x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² - (xy + yz + zx))

सर्वसमिका में हमारे मानों को प्रतिस्थापित करने पर: x³ + y³ + z³ - 3(216) = 19 × (133 - 114) x³ + y³ + z³ - 648 = 19 × 19 = 361 x³ + y³ + z³ = 361 + 648 = 1009

अब, हम आवश्यक मान की गणना करते हैं: √(x³ + y³ + z³ + xyz) = √(1009 + 216) = √1225 = 35

व्याख्या

दिए गए व्यंजक को अंश और हर को अलग-अलग मान निकालकर सरल किया जा सकता है।

अंश के लिए: tan 13° tan 37° tan 45° tan 53° tan 77°

पूरक कोण सर्वसमिका tan(90° - θ) = cot θ का उपयोग करके: tan 77° = tan(90° - 13°) = cot 13° tan 53° = tan(90° - 37°) = cot 37° tan 45° = 1

यह अंश को सरल करता है: (tan 13° × cot 13°) × (tan 37° × cot 37°) × tan 45° = 1 × 1 × 1 = 1

हर के लिए, व्यंजक के टाइपोग्राफिक प्रतिनिधित्व को 2 csc² 60° (cos² 60° - 3 cos 60° + 2) के रूप में पहचानते हुए: csc 60° = 2/√3, जिससे csc² 60° = 4/3 cos 60° = ½, जिससे cos² 60° = ¼

इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 2 × (4/3) × (¼ - 3(½) + 2) = (8/3) × (¼ - 6/4 + 8/4) = (8/3) × (3/4) = 2

सरलीकृत अंश को सरलीकृत हर से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: 1 / 2

व्याख्या

त्रिभुज ABC में, चूँकि DE, AC के समानांतर है, इसलिए त्रिभुज BDE, त्रिभुज BAC के समरूप है।

इन समरूप त्रिभुजों की भुजाओं का अनुपात BD/BA है। चूँकि BD = 2 सेमी और DA = 3 सेमी है, इसलिए: BA = BD + DA = 2 + 3 = 5 सेमी

त्रिभुज BDE और त्रिभुज BAC की भुजाओं की लंबाई का अनुपात है: BD/BA = 2/5

दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है: Area(ΔBDE)/Area(ΔBAC) = (BD/BA)² = (2/5)² = 4/25

मान लीजिए त्रिभुज BAC का क्षेत्रफल 25 इकाई है और त्रिभुज BDE का क्षेत्रफल 4 इकाई है।

समलम्ब ACED का क्षेत्रफल दो त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के अंतर के बराबर है: Area(समलम्ब ACED) = Area(ΔBAC) - Area(ΔBDE) = 25 - 4 = 21 इकाई

त्रिभुज BDE के क्षेत्रफल और समलम्ब ACED के क्षेत्रफल का अनुपात है: Area(ΔBDE) : Area(समलम्ब ACED) = 4:21

व्याख्या

दिए गए त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने के लिए: cos²θ - sin²θ - 3cosθ + 2 = 0

हम समीकरण में sin²θ = 1 - cos²θ प्रतिस्थापित करते हैं: cos²θ - (1 - cos²θ) - 3cosθ + 2 = 0 2cos²θ - 3cosθ + 1 = 0

cosθ के पदों में इस द्विघात समीकरण का गुणनखंडन: (2cosθ - 1)(cosθ - 1) = 0

चूंकि कोण अंतराल 0 < θ < 90° में स्थित है, cosθ का मान 1 नहीं हो सकता। इसलिए: 2cosθ - 1 = 0 cosθ = 1/2 θ = 60°

θ = 60° का उपयोग करके, हम व्यंजक 4 cosec θ + cot θ का मूल्यांकन करते हैं: 4 cosec 60° + cot 60° = 4 × (2/√3) + 1/√3 = 8/√3 + 1/√3 = 9/√3 = 3√3

वैकल्पिक रूप से, यदि θ = 30° पर व्यंजक 4 cos θ + cot θ का मूल्यांकन किया जाए: 4 cos 30° + cot 30° = 4 × (√3/2) + √3 = 2√3 + √3 = 3√3

व्याख्या

दिए गए समीकरण को हल करने के लिए: a² + 4b² + 49c² + 18 = 2(2b + 28c - a)

सबसे पहले, सभी पदों को विस्तारित करें और एक तरफ ले आएं: a² + 4b² + 49c² + 18 = 4b + 56c - 2a a² + 2a + 4b² - 4b + 49c² - 56c + 18 = 0

अगला, पूर्ण वर्ग बनाने के लिए पदों को समूहित करें। स्थिरांक 18 को 1 + 1 + 16 में विभाजित किया जा सकता है: (a² + 2a + 1) + (4b² - 4b + 1) + (49c² - 56c + 16) = 0 (a + 1)² + (2b - 1)² + (7c - 4)² = 0

चूंकि वास्तविक संख्याओं के वर्गों का योग शून्य होना चाहिए, इसलिए प्रत्येक व्यक्तिगत वर्ग पद शून्य के बराबर होना चाहिए: a + 1 = 0 → a = -1 2b - 1 = 0 → 2b = 1 7c - 4 = 0 → 7c = 4

अब, इन मानों को व्यंजक 3a + 2b + 7c में प्रतिस्थापित करें: 3a + 2b + 7c = 3(-1) + 1 + 4 = -3 + 1 + 4 = 2

व्याख्या

जब समान लंबाई की दो ट्रेनें, मान लीजिए L मीटर, एक ही दिशा में चलते हुए एक-दूसरे को पार करती हैं, तो तय की जाने वाली कुल दूरी उनकी व्यक्तिगत लंबाई का योग होती है, जो कि 2L मीटर है।

एक ही दिशा में चल रही ट्रेनों की सापेक्ष गति उनकी गति के बीच का अंतर है: सापेक्ष गति = 54 किमी/घंटा - 42 किमी/घंटा = 12 किमी/घंटा

सापेक्ष गति को 5/18 से गुणा करके किमी/घंटा से मी/से में परिवर्तित करना: सापेक्ष गति = 12 × 5/18 = 10/3 मी/से

मानक संबंध दूरी = गति × समय का उपयोग करना: 2L = (10/3) × 63 2L = 210 L = 105 मीटर

व्याख्या

मान लीजिए बड़े वृत्त की त्रिज्या R = 15 सेमी और छोटे वृत्त की त्रिज्या r = 9 सेमी है।

बड़े वृत्त की एक जीवा जो छोटे वृत्त की स्पर्शरेखा है, स्पर्श बिंदु पर छोटे वृत्त की त्रिज्या पर लंबवत होती है। संकेंद्रित वृत्तों के केंद्र से यह लंबवत रेखा जीवा को समद्विभाजित करती है।

छोटे वृत्त की त्रिज्या (r), जीवा के आधे भाग (x), और बड़े वृत्त की त्रिज्या (R) से बने समकोण त्रिभुज में पाइथागोरस प्रमेय लागू करके: R² = r² + x²

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 15² = 9² + x² 225 = 81 + x² x² = 144 x = 12 सेमी

जीवा की कुल लंबाई 2x है: 2 × 12 = 24 सेमी

व्याख्या

साधारण ब्याज सूत्र का प्रयोग करके: SI = (P × R × T) / 100

मूलधन (P) ज्ञात करने के लिए सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करें: 2940 = (P × 10 × 3.5) / 100 2940 = 0.35 × P P = 2940 / 0.35 P = 8400

मूलधन राशि रु. 8,400 है।

10% वार्षिक दर से 2½ वर्ष के लिए चक्रवृद्धि ब्याज की गणना करने के लिए, पहले 2 वर्षों के लिए ब्याज दर 10% प्रति वर्ष है, और शेष ½ वर्ष के लिए, ब्याज दर वार्षिक दर का आधा है: R = 10% × ½ = 5%

2½ वर्ष के अंत में कुल राशि (A) है: A = P × (1 + 10/100) × (1 + 10/100) × (1 + 5/100) A = 8400 × 1.1 × 1.1 × 1.05 A = 8400 × 1.21 × 1.05 A = 10164 × 1.05 A = 10672.20

चक्रवृद्धि ब्याज (CI) राशि और मूलधन के बीच का अंतर है: CI = A - P CI = 10672.20 - 8400 = 2272.20

निकटतम रुपये तक पूर्णांकित करने पर, चक्रवृद्धि ब्याज रु. 2,272 है।

व्याख्या

हम व्यंजक के अंश और हर को अलग-अलग सरल करते हैं।

अंश: (sec θ + tan θ)(1 - sin θ) = (1/cos θ + sin θ/cos θ)(1 - sin θ) = ((1 + sin θ)/cos θ)(1 - sin θ) = (1 - sin² θ)/cos θ = cos² θ/cos θ = cos θ

हर: cosec θ (1 + cos θ)(cosec θ - cot θ) = (1/sin θ)(1 + cos θ)(1/sin θ - cos θ/sin θ) = (1/sin θ)(1 + cos θ)((1 - cos θ)/sin θ) = (1 - cos² θ)/sin² θ = sin² θ/sin² θ = 1

सरलीकृत अंश को सरलीकृत हर से विभाजित करने पर: cos θ / 1 = cos θ

व्याख्या

मान लीजिए वस्तु का अंकित मूल्य (MP) और क्रय मूल्य (CP) है।

वस्तु को MP पर 10% की छूट के बाद रु. 360 में बेचा जाता है। SP = MP × (1 - छूट%) 360 = MP × 0.90 MP = 360 / 0.90 = रु. 400

यदि कोई छूट न दी जाए, तो विक्रय मूल्य रु. 400 के अंकित मूल्य के बराबर हो जाता है। इस स्थिति में, लाभ 25% है। MP = CP × (1 + लाभ%) 400 = CP × 1.25 CP = 400 / 1.25 = रु. 320

व्याख्या

मान लीजिए A और B की आय क्रमशः 2I और 3I है, और उनके व्यय क्रमशः E और 2E हैं।

प्रश्न के अनुसार, B के व्यय का 90% A की आय के बराबर है: 0.9 × 2E = 2I 1.8E = 2I I = 0.9E

बचत की गणना आय माइनस व्यय के रूप में की जाती है: A की बचत = 2I - E = 2(0.9E) - E = 1.8E - E = 0.8E B की बचत = 3I - 2E = 3(0.9E) - 2E = 2.7E - 2E = 0.7E

A और B की बचत का अनुपात है: 0.8E : 0.7E = 8 : 7

व्याख्या

मान लीजिए वस्तु का क्रय मूल्य CP है।

प्रारंभिक लेन-देन में 8% की हानि होती है, जिसका अर्थ है कि विक्रय मूल्य क्रय मूल्य का 92% है। दूसरी स्थिति में 10.5% का लाभ होता है, जिसका अर्थ है कि विक्रय मूल्य क्रय मूल्य का 110.5% है।

इन दोनों विक्रय मूल्यों के बीच का अंतर है: 110.5% - 92% = CP का 18.5%

दी गई जानकारी के अनुसार, यह अंतर 37 रुपये के बराबर है: CP का 18.5% = 37

क्रय मूल्य ज्ञात करने के लिए सीधे सूत्र का उपयोग करना: CP = (विक्रय मूल्य में अंतर × 100) / (हानि% + लाभ%) CP = (37 × 100) / (8 + 10.5) CP = 3700 / 18.5 CP = 200

व्याख्या

मान लीजिए D का मान 100 है।

चूंकि C, D से 60% कम है, हमारे पास है: C = 100 - 100 का 60% = 40

चूंकि B, C से 25% अधिक है, हमारे पास है: B = 40 + 40 का 25% = 40 + 10 = 50

चूंकि A, B से 20% अधिक है, हमारे पास है: A = 50 + 50 का 20% = 50 + 10 = 60

A और D की तुलना करने पर: A = 60 और D = 100। अंतर 100 - 60 = 40 है। A, D से जितने प्रतिशत कम है वह (40 / 100) × 100% = 40% है।

व्याख्या

त्रिभुज ABC में, चूँकि DE || BC है, इसलिए त्रिभुज ADE, त्रिभुज ABC के समरूप है। समरूप त्रिभुजों के लिए, उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है:

क्षेत्रफल(त्रिभुज ADE) / क्षेत्रफल(त्रिभुज ABC) = (DE / BC)² = (3 / 5)² = 9 / 25

इसका मतलब है कि यदि त्रिभुज ADE का क्षेत्रफल 9 इकाई है, तो त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल 25 इकाई है।

चतुर्भुज DECB का क्षेत्रफल पूरे त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल और छोटे त्रिभुज ADE के क्षेत्रफल का अंतर है:

क्षेत्रफल(चतुर्भुज DECB) = क्षेत्रफल(त्रिभुज ABC) - क्षेत्रफल(त्रिभुज ADE) = 25 - 9 = 16 इकाई

त्रिभुज ADE के क्षेत्रफल और चतुर्भुज DECB के क्षेत्रफल का आवश्यक अनुपात 9 : 16 है।

व्याख्या

चूंकि त्रिभुज ABC की भुजाओं की लंबाई AB = 7 सेमी, BC = 24 सेमी, और AC = 25 सेमी है, हम देखते हैं कि 7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25²। यह पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करता है, जिसका अर्थ है कि त्रिभुज ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसका समकोण शीर्ष B पर है, और AC कर्ण है।

मान लीजिए BM शीर्ष B से कर्ण AC तक की माध्यिका है। किसी भी समकोण त्रिभुज में, कर्ण पर खींची गई माध्यिका की लंबाई कर्ण की लंबाई की ठीक आधी होती है: BM = AC / 2 = 25 / 2 = 12.5 सेमी

त्रिभुज का केंद्रक G माध्यिका BM पर स्थित होता है और इसे शीर्ष B से 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है। इस प्रकार, BG की लंबाई माध्यिका BM की कुल लंबाई का दो-तिहाई होती है: BG = (2 / 3) × BM = (2 / 3) × (25 / 2) = 25 / 3 = 8⅓ सेमी

व्याख्या

एक निश्चित मात्रा में कार्य के लिए व्यक्ति, दिनों और काम के घंटों के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया जाता है:

M₁ × D₁ × H₁ = M₂ × D₂ × H₂

यहाँ, M₁ = 30 व्यक्ति, D₁ = 10 दिन, H₁ = 8 घंटे प्रतिदिन, M₂ = 40 व्यक्ति, और D₂ = 6 दिन।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

30 × 10 × 8 = 40 × 6 × H₂

2400 = 240 × H₂

H₂ = 2400 ÷ 240

H₂ = 10

व्याख्या

एक लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन V सूत्र V = ⅓ × आधार का क्षेत्रफल × h द्वारा दिया जाता है, जहाँ h ऊँचाई है।

यह देखते हुए कि आयतन V 924 cm³ है और ऊँचाई h 18 cm है, इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

924 = ⅓ × आधार का क्षेत्रफल × 18

924 = आधार का क्षेत्रफल × 6

आधार का क्षेत्रफल = 924 ÷ 6 = 154 cm²

व्याख्या

किसी संख्या के 72 से विभाज्य होने के लिए, वह 8 और 9 दोनों से विभाज्य होनी चाहिए, क्योंकि 8 और 9 सह-अभाज्य हैं।

8 की विभाज्यता नियम के अनुसार, संख्या के अंतिम तीन अंक, 8y6, 8 से विभाज्य होने चाहिए। चूँकि 800, 8 से विभाज्य है, इसलिए दो अंकों की संख्या y6 भी 8 से विभाज्य होनी चाहिए। y के संभावित मान जो y6 को 8 से विभाज्य बनाते हैं, वे 1, 5 और 9 हैं क्योंकि 16, 56 और 96, 8 से विभाज्य हैं।

y के सबसे बड़े मान के लिए, हम y = 9 चुनते हैं।

9 की विभाज्यता नियम के अनुसार, संख्या 342x1896 के सभी अंकों का योग 9 से विभाज्य होना चाहिए।

अंकों का योग = 3 + 4 + 2 + x + 1 + 8 + 9 + 6 = 33 + x

33 + x के 9 से विभाज्य होने के लिए, x का मान 3 होना चाहिए क्योंकि 33 के बाद 9 का अगला गुणज 36 है।

अब, व्यंजक √(9x + y) में x = 3 और y = 9 रखने पर:

√(9 × 3 + 9) = √(27 + 9) = √36 = 6

व्याख्या

दिया गया है cot θ = 1/√3, एक न्यून कोण θ के लिए, हमारे पास θ = 60° है।

θ = 60° पर संगत त्रिकोणमितीय मान हैं: sin² θ = 3/4 cos² θ = 1/4 cosec² θ = 4/3 sec θ = 2

इन मानों को व्यंजक के पहले पद में प्रतिस्थापित करने पर: (2 - sin² θ) / (1 - cos² θ) = (2 - 3/4) / (1 - 1/4) = (5/4) / (3/4) = 5/3

इन मानों को व्यंजक के दूसरे पद में प्रतिस्थापित करने पर: cosec² θ + sec θ = 4/3 + 2 = 10/3

दोनों पदों को एक साथ जोड़ने पर: 5/3 + 10/3 = 15/3 = 5

व्याख्या

मान लीजिए O₁ और O₂ क्रमशः r₁ = 15 सेमी और r₂ = 12 सेमी त्रिज्या वाले दो वृत्तों के केंद्र हैं। मान लीजिए AB उभयनिष्ठ जीवा है जिसकी लंबाई 18 सेमी है।

दो प्रतिच्छेदी वृत्तों के केंद्रों को मिलाने वाला रेखाखंड उनकी उभयनिष्ठ जीवा का लंब समद्विभाजक होता है। इसलिए, यदि O₁O₂ AB को M पर काटता है, तो AM = MB = 18/2 = 9 सेमी, और ∠O₁MA = ∠O₂MA = 90°।

समकोण त्रिभुज O₁MA में: O₁M = √(O₁A² - AM²) = √(15² - 9²) = √(225 - 81) = √144 = 12 सेमी

समकोण त्रिभुज O₂MA में: O₂M = √(O₂A² - AM²) = √(12² - 9²) = √(144 - 81) = √63 = 3√7 सेमी

केंद्रों O₁ और O₂ के बीच की दूरी इन खंडों का योग है: O₁O₂ = O₁M + O₂M = 12 + 3√7 सेमी

व्याख्या

व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, हम BODMAS नियम का उपयोग करके अंश और हर का अलग-अलग मूल्यांकन करते हैं।

अंश का मूल्यांकन: अंश 3 ÷ {5 - 5 ÷ (6 - 7) × 8 + 9} है। सबसे पहले, आंतरिक कोष्ठक को हल करें: 6 - 7 = -1

इसके बाद, कर्ली ब्रेसिज़ के अंदर भाग और गुणा को बाएं से दाएं हल करें: 5 ÷ (-1) = -5 -5 × 8 = -40

इसे कर्ली ब्रेसिज़ में वापस प्रतिस्थापित करना: 5 - (-40) + 9 = 5 + 40 + 9 = 54

अब, बाहरी भाग का मूल्यांकन करें: 3 ÷ 54 = 3/54 = 1/18

हर का मूल्यांकन: हर 4 + 4 × 4 ÷ 4 का 4 है (जहाँ "का" मूल प्रश्न पत्र में "of" का प्रतिनिधित्व करता है)। BODMAS के अनुसार, "का" संक्रिया का प्राथमिकता भाग से अधिक होती है: 4 का 4 = 16

इसे हर व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करना: 4 + 4 × 4 ÷ 16

अब, भाग करें: 4 ÷ 16 = 1/4

गुणा करें: 4 × 1/4 = 1

अंत में, जोड़ करें: 4 + 1 = 5

अंश और हर को मिलाना: (1/18) ÷ 5 = 1 / (18 × 5) = 1/90

व्याख्या

बीजीय सर्वसमिका का प्रयोग करें: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)

दिए गए मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करें: 5² = 27 + 2(ab + bc + ca) 25 = 27 + 2(ab + bc + ca) 2(ab + bc + ca) = -2 ab + bc + ca = -1

अगला, घनों के योग के लिए बीजीय सर्वसमिका का प्रयोग करें: a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - (ab + bc + ca))

मानों को प्रतिस्थापित करें: 125 - 3abc = 5 × (27 - (-1)) 125 - 3abc = 5 × 28 125 - 3abc = 140 -3abc = 15 abc = -5

4abc का मान ज्ञात करें: 4abc = 4 × (-5) = -20

व्याख्या

दो घनों के अंतर के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका है: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

दिए गए पदों को इस रूप में व्यक्त करने पर: (√3 x)³ - (√2 y)³ = (√3 x - √2 y)((√3 x)² + (√3 x)(√2 y) + (√2 y)²) 3√3 x³ - 2√2 y³ = (√3 x - √2 y)(3x² + √6 xy + 2y²)

इस परिणाम की तुलना दिए गए व्यंजक (√3 x - √2 y)(Ax² - Bxy + Cy²) से करने पर: Ax² - Bxy + Cy² = 3x² + √6 xy + 2y²

गुणांकों की तुलना करने पर: A = 3 -B = √6, जिससे B = -√6 C = 2

इन मानों को आवश्यक व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: A² - B² + C² = 3² - (-√6)² + 2² A² - B² + C² = 9 - 6 + 4 A² - B² + C² = 7

व्याख्या

मान लीजिए अनु की प्रारंभिक आय 100 है। चूंकि वह अपनी आय का 90% खर्च करती है: प्रारंभिक व्यय = 90 प्रारंभिक बचत = 100 - 90 = 10

उसके व्यय और बचत का अनुपात 90 : 10 या 9 : 1 है।

आय में समग्र प्रतिशत वृद्धि (वेतन) ज्ञात करने के लिए भारित औसत सूत्र का उपयोग करना: आय में प्रतिशत वृद्धि = (व्यय अनुपात × व्यय वृद्धि + बचत अनुपात × बचत वृद्धि) / (व्यय अनुपात + बचत अनुपात) आय में प्रतिशत वृद्धि = (9 × 25% + 1 × 30%) / (9 + 1) आय में प्रतिशत वृद्धि = (225% + 30%) / 10 आय में प्रतिशत वृद्धि = 255% / 10 = 25.5%

वैकल्पिक रूप से, मूल विधि का उपयोग करके: नया व्यय = 90 × 1.25 = 112.5 नई बचत = 10 × 1.30 = 13 नई आय = 112.5 + 13 = 125.5 आय में प्रतिशत वृद्धि = (125.5 - 100) / 100 × 100% = 25.5%

व्याख्या

समरूप त्रिभुजों के लिए, उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।

चूंकि ΔABC ~ ΔQPR, AB की संगत भुजा QP है। इससे संबंध प्राप्त होता है: ar(ΔABC) / ar(ΔQPR) = (AB / QP)²

यह देखते हुए कि ar(ΔABC) / ar(ΔPQR) = 9/16 है, हमारे पास है: (AB / QP)² = 9/16

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: AB / QP = 3/4

AB = 12 सेमी का दिया गया मान रखने पर: 12 / QP = 3/4 QP = (12 × 4) / 3 QP = 16 सेमी

व्याख्या

वृत्त के स्पर्शरेखा गुणों के अनुसार, एक बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्शरेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं। इसे चतुर्भुज ABCD के प्रत्येक शीर्ष पर लागू करने पर:

शीर्ष A से, AP = AS = 8 सेमी। शीर्ष C से, CQ = CR = 5 सेमी।

चूंकि BC, BQ और CQ खंडों से बना है, हमारे पास BC = BQ + CQ है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 11 = BQ + 5 BQ = 6 सेमी।

शीर्ष B से, BP = BQ = 6 सेमी।

भुजा AB की लंबाई खंड AP और BP का योग है: AB = AP + BP = 8 + 6 = 14 सेमी।

व्याख्या

दिया गया समीकरण है: 3cos²A + 6sin²A = 3

पूरे समीकरण को 3 से विभाजित करने पर: cos²A + 2sin²A = 1

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos²A = 1 - sin²A का उपयोग करने पर, समीकरण बन जाता है: 1 - sin²A + 2sin²A = 1 1 + sin²A = 1 sin²A = 0 sin A = 0

चूंकि A को अंतराल 0° ≤ A ≤ 90° तक सीमित किया गया है, इस शर्त को संतुष्ट करने वाला एकमात्र मान A = 0° है।

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज ABC के लिए जहाँ AD, BC पर शीर्षलम्ब है और AE, कोण A का कोण समद्विभाजक है, शीर्षलम्ब और कोण समद्विभाजक के बीच का कोण DAE मानक सूत्र द्वारा दिया जाता है:

कोण DAE = ½ |कोण B - कोण C|

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, कोण B = 72° और कोण C = 26°:

कोण DAE = ½ |72° - 26°|

कोण DAE = ½ × 46°

कोण DAE = 23°

यह सीधा सूत्र सभी मध्यवर्ती कोणों की गणना करने की आवश्यकता के बिना कोण DAE का माप शीघ्रता से देता है।

व्याख्या

पूरक कोण संबंधों का उपयोग करके, हम दिए गए व्यंजक के अंश और हर दोनों को सरल बना सकते हैं।

सबसे पहले, अंश को सरल बनाएं: (cos 9° + sin 81°)(sec 9° + cosec 81°)

चूंकि sin 81° = sin(90° - 9°) = cos 9° और cosec 81° = cosec(90° - 9°) = sec 9°, हम इन्हें व्यंजक में प्रतिस्थापित कर सकते हैं: (cos 9° + cos 9°)(sec 9° + sec 9°) = (2 cos 9°)(2 sec 9°) = 4 × cos 9° × sec 9°

चूंकि cos θ × sec θ = 1, अंश सरल होकर यह हो जाता है: 4 × 1 = 4

इसके बाद, हर को सरल बनाएं: sin 56° sec 34° + cos 25° cosec 65°

चूंकि sec 34° = sec(90° - 56°) = cosec 56° और cosec 65° = cosec(90° - 25°) = sec 25°, हम इन्हें व्यंजक में प्रतिस्थापित कर सकते हैं: sin 56° cosec 56° + cos 25° sec 25°

चूंकि sin θ × cosec θ = 1 और cos θ × sec θ = 1, हर सरल होकर यह हो जाता है: 1 + 1 = 2

अंश को हर से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: 4 ÷ 2 = 2

व्याख्या

दिए गए व्यंजक को सरल बनाने के लिए, इसे दो भागों में तोड़ा जा सकता है।

पहला भाग है: (sin θ / (1 + cos θ)) + ((1 + cos θ) / sin θ)

सामान्य हर लेने पर, यह बन जाता है: (sin² θ + (1 + cos θ)²) / (sin θ (1 + cos θ)) = (sin² θ + 1 + 2cos θ + cos² θ) / (sin θ (1 + cos θ))

मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 का उपयोग करके, अंश सरल हो जाता है: (1 + 1 + 2cos θ) / (sin θ (1 + cos θ)) = (2 + 2cos θ) / (sin θ (1 + cos θ)) = 2(1 + cos θ) / (sin θ (1 + cos θ)) = 2 / sin θ

दूसरा भाग है: 1 / (tan θ + cot θ)

tan θ और cot θ को sin θ और cos θ के पदों में व्यक्त करने पर: 1 / ((sin θ / cos θ) + (cos θ / sin θ)) = 1 / ((sin² θ + cos² θ) / (sin θ cos θ))

सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 का उपयोग करके: = 1 / (1 / (sin θ cos θ)) = sin θ cos θ

दो सरलीकृत भागों को एक साथ गुणा करने पर प्राप्त होता है: (2 / sin θ) × (sin θ cos θ) = 2 cos θ

व्याख्या

दिए गए समीकरण को हल करने के लिए: 3 - 2 sin² θ - 3 cos θ = 0

sin² θ = 1 - cos² θ को प्रतिस्थापित करें: 3 - 2(1 - cos² θ) - 3 cos θ = 0 3 - 2 + 2 cos² θ - 3 cos θ = 0 2 cos² θ - 3 cos θ + 1 = 0

द्विघात समीकरण को गुणनखंडित करें: (2 cos θ - 1)(cos θ - 1) = 0

इससे प्राप्त होता है: cos θ = 1 या cos θ = ½

चूंकि 0° < θ < 90°, cos θ का मान 1 नहीं हो सकता। इसलिए: cos θ = ½ θ = 60°

θ = 60° पर व्यंजक 2 cosec θ + tan θ (जहां cosec θ को प्रश्न पाठ में cos θ के रूप में दर्शाया गया है) का मूल्यांकन: 2 cosec 60° + tan 60° = 2(2/√3) + √3 = 4/√3 + √3 = 7/√3 = 7√3/3

व्याख्या

प्रत्येक वस्तु का विक्रय मूल्य ₹5,220 है।

पहली वस्तु के लिए जिसे 16% लाभ पर बेचा गया था: क्रय मूल्य₁ = विक्रय मूल्य / (1 + लाभ%) = 5220 / 1.16 = 4500 इस वस्तु पर लाभ = 5220 - 4500 = 720

दूसरी वस्तु के लिए जिसे 10% हानि पर बेचा गया था: क्रय मूल्य₂ = विक्रय मूल्य / (1 - हानि%) = 5220 / 0.90 = 5800 इस वस्तु पर हानि = 5800 - 5220 = 580

कुल लाभ या हानि = पहली वस्तु पर लाभ - दूसरी वस्तु पर हानि = 720 - 580 = 140

चूंकि परिणाम सकारात्मक है, इसलिए कुल ₹140 का लाभ हुआ।

व्याख्या

कुल कार्य 16, 32 और 24 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 96 इकाई है।

(A + B) की दक्षता = 96 / 16 = 6 इकाई प्रति दिन (C + A) की दक्षता = 96 / 32 = 3 इकाई प्रति दिन (B + C) की दक्षता = 96 / 24 = 4 इकाई प्रति दिन

इन दक्षताओं को जोड़ने पर: 2(A + B + C) = 6 + 3 + 4 = 13 इकाई प्रति दिन (A + B + C) की दक्षता = 13 / 2 = 6.5 इकाई प्रति दिन

A, B और C द्वारा 12 दिनों तक एक साथ काम करने पर पूरा किया गया कार्य: 12 × 6.5 = 78 इकाई

शेष कार्य: 96 - 78 = 18 इकाई

C की अकेले दक्षता: (A + B + C) की दक्षता - (A + B) की दक्षता = 6.5 - 6 = 0.5 इकाई प्रति दिन

शेष कार्य को C द्वारा अकेले पूरा करने में लिया गया समय: 18 / 0.5 = 36 दिन