एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2019 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

घन के योग के लिए मानक बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

पद a² - ab + b² को वर्ग को पूरा करके फिर से लिखा जा सकता है: a² - ab + b² = (a + b)² - 3ab

इस व्यंजक को मुख्य सर्वसमिका में वापस प्रतिस्थापित करने पर: a³ + b³ = (a + b)[(a + b)² - 3ab]

अब, दिए गए मानों, a³ + b³ = 110 और a + b = 5 को समीकरण में प्रतिस्थापित करें: 110 = 5 × [(a + b)² - 3ab]

दोनों पक्षों को 5 से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: (a + b)² - 3ab = 110 ÷ 5 = 22

व्याख्या

मान लीजिए कक्षा B में छात्रों की संख्या N है। कक्षा A में छात्रों की संख्या B से 40% अधिक है, इसलिए यह 1.4N है। कुल छात्र = 1.4N + N = 2.4N = 96 N = 40 अतः, कक्षा A में छात्रों की संख्या 56 है, और कक्षा B में 40 है। कक्षा A और कक्षा B में छात्रों की संख्या का अनुपात 56 : 40 = 7 : 5 है।

मान लीजिए कक्षा A के छात्रों का औसत भार w किग्रा है। चूँकि कक्षा B का औसत भार कक्षा A से 50% अधिक है, यह 1.5w किग्रा है।

भारित औसत संबंध का उपयोग करके: समग्र औसत = (A में छात्रों का अनुपात × A का औसत भार + B में छात्रों का अनुपात × B का औसत भार) / कुल अनुपात योग

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 58 = (7 × w + 5 × 1.5w) / (7 + 5) 58 = (7w + 7.5w) / 12 58 = 14.5w / 12 w = (58 × 12) / 14.5 w = 4 × 12 = 48 किग्रा

कक्षा B के छात्रों का औसत भार है: 1.5w = 1.5 × 48 = 72 किग्रा

व्याख्या

सही उत्तर: D

दिए गए व्यंजक के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका है: a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - (ab + bc + ca))

सबसे पहले, हम त्रिपद के वर्ग का उपयोग करके (ab + bc + ca) का मान ज्ञात करते हैं: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)

दिए गए मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 5² = 33 + 2(ab + bc + ca) 25 = 33 + 2(ab + bc + ca) 2(ab + bc + ca) = -8 ab + bc + ca = -4

अब, इन मानों को बीजगणितीय सर्वसमिका में वापस प्रतिस्थापित करने पर: a³ + b³ + c³ - 3abc = 5 × (33 - (-4)) = 5 × (33 + 4) = 5 × 37 = 185

व्याख्या

दो घनों के अंतर के बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

दिया गया व्यंजक है: 40√5 x³ - 3√3 y³ = (2√5 x)³ - (√3 y)³

माना a = 2√5 x और b = √3 y। सर्वसमिका लागू करने पर: (2√5 x)³ - (√3 y)³ = (2√5 x - √3 y)((2√5 x)² + (2√5 x)(√3 y) + (√3 y)²) = (2√5 x - √3 y)(20x² + 2√15 xy + 3y²)

इसकी तुलना दिए गए समीकरण (2√5 x - √3 y)(Ax² + Bxy + Cy²) से करने पर, हमें प्राप्त होता है: A = 20 B = 2√15 C = 3

इन मानों को आवश्यक व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: √(B² + C² - A) = √((2√15)² + 3² - 20) = √(60 + 9 - 20) = √49 = 7

व्याख्या

कुल 2½ वर्ष (जो 30 महीने हैं) की अवधि में 10-मासिक संयोजन के लिए, संयोजन अवधियों की संख्या है: n = 30 / 10 = 3

प्रति 10-माह अवधि ब्याज दर है: R = 15% × (10 / 12) = 12.5%

इस दर को भिन्न में बदलने पर: 12.5% = 1/8

3 संयोजन अवधियों के बाद राशि की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: A = P × (1 + R)ⁿ A = 4096 × (1 + 1/8)³ A = 4096 × (9/8)³ A = 4096 × 729 / 512 A = 8 × 729 A = 5832

चक्रवृद्धि ब्याज राशि और मूलधन के बीच का अंतर है: CI = A - P CI = 5832 - 4096 CI = 1736

व्याख्या

जब दो ट्रेनें विपरीत दिशाओं में चलती हैं, तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का योग होती है।

सापेक्ष गति = 84 + 52 = 136 किमी/घंटा

इस सापेक्ष गति को किमी/घंटा से मी/सेकंड में बदलें: सापेक्ष गति = 136 × 5/18 = 340/9 मी/सेकंड

जब दो ट्रेनें एक-दूसरे को पूरी तरह से पार करती हैं तो तय की गई कुल दूरी उनकी लंबाइयों का योग होती है। मान लीजिए ट्रेन x की लंबाई L है। चूँकि ट्रेन y की लंबाई x की लंबाई की दो-तिहाई है, इसलिए ट्रेन y की लंबाई 2L/3 है।

कुल दूरी = L + 2L/3 = 5L/3

सूत्र दूरी = गति × समय का उपयोग करके: 5L/3 = (340/9) × 12 5L/3 = 1360/3 5L = 1360 L = 272 मीटर

ट्रेन x की लंबाई 272 मीटर है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण है: x² + 1 = 3x

दोनों पक्षों को x से विभाजित करने पर: x + 1/x = 3

हमें इसका मान ज्ञात करना है: (x⁴ + x⁻²) / (x² + 5x + 1) = (x⁴ + 1/x²) / (x² + 5x + 1)

अंश और हर दोनों को x से विभाजित करने पर: अंश = (x⁴ + 1/x²) / x = x³ + 1/x³ हर = (x² + 5x + 1) / x = x + 5 + 1/x

बीजगणितीय सर्वसमिका x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ - 3(x + 1/x) का उपयोग करने पर: अंश = 3³ - 3(3) = 27 - 9 = 18

हर के लिए: हर = (x + 1/x) + 5 = 3 + 5 = 8

इस प्रकार, आवश्यक मान है: 18 / 8 = 9/4 = 2¼

व्याख्या

मान लीजिए सफल उम्मीदवारों की प्रारंभिक संख्या 5x है और असफल उम्मीदवारों की संख्या 2x है, जिससे उम्मीदवारों की कुल संख्या 7x हो जाती है।

यदि अनुत्तीर्णों की संख्या 14 अधिक होती, तो इसका तात्पर्य है कि 14 उम्मीदवार जो शुरू में सफल हुए थे, वे अनुत्तीर्ण हो गए, जिससे उम्मीदवारों की कुल संख्या स्थिर रही।

सफल उम्मीदवारों की नई संख्या 5x - 14 है, और असफल उम्मीदवारों की नई संख्या 2x + 14 है।

दी गई शर्त के अनुसार, सफलता और असफलता का नया अनुपात 9: 5 है: (5x - 14) / (2x + 14) = 9 / 5

पदों को तिरछा गुणा करने पर: 5 × (5x - 14) = 9 × (2x + 14) 25x - 70 = 18x + 126 7x = 196

चूंकि परीक्षा में बैठने वाले उम्मीदवारों की कुल संख्या 7x द्वारा दर्शायी जाती है, इसलिए उम्मीदवारों की कुल संख्या 196 है।

व्याख्या

प्रतिच्छेदी जीवाएँ प्रमेय के अनुसार, जब किसी वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD एक आंतरिक बिंदु E पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो जीवाओं के खंडों के गुणनफल बराबर होते हैं:

AE × BE = CE × DE

दिया गया है कि जीवा CD की कुल लंबाई 18 सेमी है और खंड DE 6 सेमी है, तो शेष खंड CE है:

CE = CD - DE = 18 - 6 = 12 सेमी

प्रतिच्छेदी जीवाओं के संबंध में AE, CE और DE के मानों का उपयोग करते हुए:

18 × BE = 12 × 6

18 × BE = 72

BE = 4 सेमी

व्याख्या

समकोण त्रिभुज ABC में, कोण A = 90° है। चूँकि BL और CM माध्यिकाएँ हैं, L, AC का मध्यबिंदु है और M, AB का मध्यबिंदु है, जिसका अर्थ है AL = AC/2 और AM = AB/2।

समकोण त्रिभुज BAL में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर: BL² = AB² + AL² BL² = AB² + (AC/2)² BL² = AB² + AC²/4 4BL² = 4AB² + AC²

समकोण त्रिभुज CAM में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर: CM² = AC² + AM² CM² = AC² + (AB/2)² CM² = AC² + AB²/4 4CM² = 4AC² + AB²

इन दो समीकरणों को जोड़ने पर: 4BL² + 4CM² = 5AB² + 5AC² 4(BL² + CM²) = 5(AB² + AC²)

चूँकि ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें कोण A = 90° है, पाइथागोरस प्रमेय से, BC² = AB² + AC²। इसे पिछले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: 4(BL² + CM²) = 5BC²

व्याख्या

त्रिज्या r वाले बेलन के आयतन (V) और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

V = (CSA × r) / 2

सूत्र में CSA = 440 सेमी² और r = 7 सेमी के दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

V = (440 × 7) / 2 V = 220 × 7 V = 1540 सेमी³