एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2017 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

समांतर श्रेणी (AP) में संख्याओं के एक समुच्चय का औसत निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

औसत = (प्रथम पद + अंतिम पद) / 2

7 के प्रथम 7 गुणजों के लिए, पद एक समांतर श्रेणी बनाते हैं जहाँ: प्रथम पद = 7 × 1 = 7 अंतिम पद = 7 × 7 = 49

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: औसत = (7 + 49) / 2 = 56 / 2 = 28

वैकल्पिक रूप से, AP में विषम संख्या में पदों के लिए, औसत हमेशा मध्य पद होता है। 7 पदों के साथ, मध्य पद चौथा पद होता है। 7 का चौथा गुणज 7 × 4 = 28 है।

व्याख्या

मान लीजिए पहला भाग P₁ है और दूसरा भाग P₂ है। दोनों भागों का योग P₁ + P₂ = 8000 है।

चूंकि 21% प्रति वर्ष की दर से पहले भाग पर साधारण ब्याज, समान अवधि के लिए 35% प्रति वर्ष की दर से दूसरे भाग पर साधारण ब्याज के बराबर है: P₁ × 21% = P₂ × 35% P₁ × 21 = P₂ × 35 P₁ / P₂ = 35 / 21 = 5 / 3

दोनों भागों का अनुपात 5 : 3 है, और अनुपात भागों का योग 5 + 3 = 8 है।

अब, हम व्यक्तिगत भागों की गणना करते हैं: P₁ = (5 / 8) × 8000 = 5000 P₂ = (3 / 8) × 8000 = 3000

प्रत्येक भाग पर साधारण ब्याज है: SI = (5000 × 21 × 1) / 100 = 1050

व्याख्या

मान लीजिए गिलास का क्रय मूल्य (CP) CP है।

जब विक्रय मूल्य ₹1965 है, तो हानि 25% है। विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य के बीच संबंध का उपयोग करके: विक्रय मूल्य = CP × (100 - हानि%) / 100 1965 = CP × (100 - 25) / 100 1965 = CP × 75 / 100 1965 = CP × 3/4 CP = (1965 × 4) / 3 CP = 655 × 4 = 2620

जब नया विक्रय मूल्य ₹3013 है: लाभ = नया विक्रय मूल्य - CP लाभ = 3013 - 2620 = 393

लाभ प्रतिशत इस प्रकार दिया गया है: लाभ % = (लाभ / CP) × 100 लाभ % = (393 / 2620) × 100 लाभ % = 3930 / 262 लाभ % = 15%

व्याख्या

छूट प्रतिशत (D) और लाभ प्रतिशत (P) दिए जाने पर क्रय मूल्य (CP) और अंकित मूल्य (MP) के बीच संबंध है:

CP / MP = (100 - D) / (100 + P)

दिया गया है कि MP = ₹6000, D = 20, और P = 60:

CP / 6000 = (100 - 20) / (100 + 60)

CP / 6000 = 80 / 160

CP / 6000 = ½

CP = 6000 × ½ = ₹3000

व्याख्या

हम प्रत्येक वर्गमूल पद की अलग-अलग गणना करते हैं:

चूंकि 27² = 729, हमारे पास है: √729 = 27

दो दशमलव स्थानों वाले पद के लिए: √7.29 = √(729/100) = 27/10 = 2.7

एक दशमलव स्थान वाले पद के लिए, हम सन्निकटन √10 ≈ 3.162277 का उपयोग करते हैं: √72.9 = √(729/10) = 27/√10 ≈ 27 / 3.162277 ≈ 8.538

इन तीन मानों को जोड़ना: 27 + 8.538 + 2.7 = 38.238

दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर लगभग 38.23 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए रोहन, मोहित और विकास की दैनिक कार्य दरें क्रमशः R, M और V हैं।

दी गई जानकारी के आधार पर: R + M = 1/8 M + V = 1/10 V + R = 1/12

इन तीन समीकरणों को जोड़ने पर: 2 × (R + M + V) = 1/8 + 1/10 + 1/12

भिन्नों का योग ज्ञात करने के लिए, हम 8, 10 और 12 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 120 का उपयोग करते हैं: 2 × (R + M + V) = (15 + 12 + 10) / 120 2 × (R + M + V) = 37 / 120

2 से भाग देने पर तीनों के एक साथ काम करने की संयुक्त दैनिक दर प्राप्त होती है: R + M + V = 37 / (120 × 2) = 37 / 240

चूंकि दीवार को पूरा करने के लिए आवश्यक दिनों की संख्या उनकी संयुक्त दैनिक कार्य दर का व्युत्क्रम है, इसलिए जब वे एक साथ काम करते हैं तो कुल लिया गया समय 240/37 दिन है।

व्याख्या

स्कूल और घर के बीच की दूरी की गणना सीधे गति और समय के अंतर के मानक सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

दूरी = (s₁ × s₂) / |s₁ - s₂| × Δt

यहाँ, प्रारंभिक गति s₁ 5 किमी/घंटा है। बढ़ी हुई गति s₂ 5 + 4 = 9 किमी/घंटा है। पहुँचने के समय में कुल अंतर Δt 3 मिनट देर से और 3 मिनट जल्दी है, जो 6 मिनट के बराबर है। घंटों में व्यक्त करने पर, यह 6/60 = 1/10 घंटे है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

दूरी = (5 × 9) / (9 - 5) × (1/10) दूरी = 45 / 4 × 1/10 दूरी = 45 / 40 = 1.125 किमी

व्याख्या

सही उत्तर: B

समचतुर्भुज का क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

क्षेत्रफल = ½ × d₁ × d₂

जहाँ d₁ और d₂ उसके दो विकर्णों की लंबाई हैं।

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

84 = ½ × 7 × d₂

दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर:

168 = 7 × d₂

7 से विभाजित करने पर:

d₂ = 168 / 7 = 24 सेमी

व्याख्या

त्रिज्या r वाले अर्धवृत्त की परिधि सूत्र द्वारा दी जाती है:

परिधि = πr + 2r

दिए गए त्रिज्या r = 28 सेमी को प्रतिस्थापित करने और π ≈ 22/7 का उपयोग करने पर:

परिधि = (22/7 × 28) + (2 × 28) परिधि = (22 × 4) + 56 परिधि = 88 + 56 परिधि = 144 सेमी

व्याख्या

अर्धगोले के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र 2πr² है, जहाँ r त्रिज्या है। अर्धगोले का व्यास 28 सेमी दिया गया है, इसलिए त्रिज्या व्यास की आधी है, जो r = 14 सेमी है।

त्रिज्या और π ≈ 22/7 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × (22/7) × 14 × 14 वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × 22 × 2 × 14 वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 1232 सेमी²

व्याख्या

sin 60° का मान √3 / 2 के बराबर होता है।

इसे दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: sin 60° + 2 / √3 = √3 / 2 + 2 / √3

इन भिन्नों को जोड़ने के लिए, हम एक उभयनिष्ठ हर ज्ञात करते हैं, जो 2√3 है। पहले पद के अंश और हर को √3 से और दूसरे पद को 2 से गुणा करते हैं: (√3 × √3) / (2 × √3) + (2 × 2) / (2 × √3) = 3 / 2√3 + 4 / 2√3

अंशों को एक साथ जोड़ने पर: (3 + 4) / 2√3 = 7 / 2√3

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज XYZ में, जो Y पर समकोण है, न्यून कोण X और Z पूरक होते हैं, जिसका अर्थ है X + Z = 90°।

इससे Z = 90° - X प्राप्त होता है।

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके: cosec Z = cosec(90° - X) = sec X

चूंकि sec X, cos X का व्युत्क्रम है: cosec Z = 1 / cos X

यह देखते हुए कि cos X = 3/5 है, हम इस मान को प्रतिस्थापित करते हैं: cosec Z = 1 / (3/5) = 5/3

व्याख्या

किसी भी धनात्मक विषम पूर्णांक n के लिए, व्यंजक aⁿ + bⁿ हमेशा (a + b) से विभाज्य होता है।

दूसरे व्यंजक, 37³⁷ + 43³⁷ पर इसे लागू करने पर, घातांक 37 विषम है। इसलिए, 37³⁷ + 43³⁷, (37 + 43) = 80 से विभाज्य है।

अब, हम पहले व्यंजक, 37³⁷ + 43⁵⁷ का मॉड्यूलो 80 का विश्लेषण करते हैं।

चूंकि 37 ≡ -43 (mod 80), हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं: 37³⁷ + 43⁵⁷ ≡ (-43)³⁷ + 43⁵⁷ (mod 80)

क्योंकि 37 एक विषम घातांक है, (-43)³⁷ = -43³⁷। इससे प्राप्त होता है: -43³⁷ + 43⁵⁷ ≡ 43³⁷(43²⁰ - 1) (mod 80)

यह जांचने के लिए कि क्या यह 80 से विभाज्य है, हम 5 और 16 के मॉड्यूलो 43²⁰ - 1 की विभाज्यता की जांच करते हैं: मॉड्यूलो 5: 43 ≡ 3 (mod 5)। इस प्रकार, 43²⁰ ≡ 3²⁰ = (3⁴)⁵ ≡ 1⁵ ≡ 1 (mod 5)। इसका मतलब है कि 43²⁰ - 1, 5 से विभाज्य है। मॉड्यूलो 16: 43 ≡ 11 (mod 16)। इस प्रकार, 43²⁰ ≡ 11²⁰ = (121)¹⁰ ≡ 9¹⁰ = (81)⁵ ≡ 1⁵ ≡ 1 (mod 16)। इसका मतलब है कि 43²⁰ - 1, 16 से विभाज्य है।

चूंकि 43²⁰ - 1, 5 और 16 दोनों से विभाज्य है, यह उनके गुणनफल, 80 से विभाज्य है। परिणामस्वरूप, 37³⁷ + 43⁵⁷, 80 से विभाज्य है।

दोनों व्यंजकों में 80, या (43 + 37), एक सार्व गुणनखंड है।

व्याख्या

दिए गए व्यंजक को बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके सरल किया जा सकता है: a² - b² = (a - b)(a + b)

मान लीजिए a = 61681 और b = 31681।

व्यंजक बन जाता है: (a² - b²) / 30000

सर्वसमिका को प्रतिस्थापित करने पर: (a - b)(a + b) / 30000

अब पदों की गणना करें: a - b = 61681 - 31681 = 30000 a + b = 61681 + 31681 = 93362

इन मानों को व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर: (30000 × 93362) / 30000 = 93362

व्याख्या

रैखिक समीकरणों के एक युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0 के अनगिनत हल होने के लिए, गुणांकों को अनुपात की शर्त को पूरा करना चाहिए:

a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂

दिए गए समीकरणों से, हमारे पास है: a₁ = 6, b₁ = 12, c₁ = 9 a₂ = 2, b₂ = g, c₂ = 3

इन मानों को शर्त में प्रतिस्थापित करने पर:

6/2 = 12/g = 9/3

यह सरल हो जाता है:

3 = 12/g

g के लिए हल करने पर:

g = 12/3 g = 4

व्याख्या

वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। चूँकि ON, AB पर लंब है, N, AB का मध्य बिंदु है।

AN = AB / 2 = 20 / 2 = 10 सेमी

समकोण त्रिभुज ONA में, पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर: OA² = AN² + ON² OA² = 10² + (2√11)² OA² = 100 + (4 × 11) OA² = 100 + 44 OA² = 144 OA = √144 = 12 सेमी

व्याख्या

किसी भी वृत्त की सबसे बड़ी जीवा उसका व्यास होती है। इसलिए, दिए गए वृत्त का व्यास 20.4 सेमी है।

वृत्त की त्रिज्या हमेशा उसके व्यास की आधी होती है।

त्रिज्या = व्यास / 2 = 20.4 / 2 = 10.2 सेमी

व्याख्या

जब किसी आयत की लंबाई और चौड़ाई क्रमशः x% और y% बढ़ा दी जाती है, तो क्षेत्रफल में प्रतिशत वृद्धि क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र द्वारा दी जाती है:

प्रतिशत वृद्धि = x + y + xy/100

दिए गए मान x = 40 और y = 70 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

प्रतिशत वृद्धि = 40 + 70 + (40 × 70)/100 प्रतिशत वृद्धि = 110 + 2800/100 प्रतिशत वृद्धि = 110 + 28 प्रतिशत वृद्धि = 138%

व्याख्या

B का हिस्सा ज्ञात करने के लिए, पहले A, B और C के अनुपात को 10 से गुणा करके सरल करें, जो कि हर 2 और 5 का लघुत्तम समापवर्त्य है।

A : B : C का अनुपात = 1/2 : 1 : 3/5 10 से गुणा करने पर प्राप्त होता है: A : B : C = 5 : 10 : 6

अनुपात के भागों का योग 5 + 10 + 6 = 21 है।

कुल राशि ₹6300 का उपयोग करके, B का हिस्सा है: B का हिस्सा = (10 / 21) × 6300 = 10 × 300 = 3000

व्याख्या

एक व्यावसायिक साझेदारी में जहाँ निवेश की समयावधि बराबर होती है, लाभ भागीदारों द्वारा किए गए निवेश के अनुपात में वितरित किया जाता है।

U और V के निवेश का अनुपात = 184000 : 224000 = 184 : 224 = 23 : 28

माना U और V द्वारा मिलकर अर्जित कुल लाभ P है।

U का लाभ का हिस्सा = (U का निवेश / कुल निवेश) × P 20700 = (23 / (23 + 28)) × P 20700 = (23 / 51) × P P = (20700 × 51) / 23 P = 900 × 51 P = 45900

व्याख्या

प्रथम n विषम संख्याओं का योग सूत्र n² द्वारा दर्शाया जाता है। इन n संख्याओं का औसत योग को पदों की कुल संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त होता है, जो कि n² / n = n है। प्रथम 19 विषम संख्याओं के लिए, n का मान 19 है। इसलिए, प्रथम 19 विषम संख्याओं का औसत 19 है।

व्याख्या

3 वर्षों और 2 वर्षों के अंत में प्राप्त राशियों के बीच का अंतर 1 वर्ष में अर्जित साधारण ब्याज को दर्शाता है।

1 वर्ष के लिए साधारण ब्याज = 1488 - 1392 = 96

चूंकि साधारण ब्याज प्रत्येक वर्ष स्थिर रहता है, इसलिए 2 वर्षों के लिए साधारण ब्याज है: 96 × 2 = 192

मूल धनराशि 2 वर्षों के अंत में प्राप्त राशि में से उन 2 वर्षों में अर्जित साधारण ब्याज को घटाने पर प्राप्त होती है: मूलधन = 1392 - 192 = 1200

प्रति वर्ष ब्याज की दर की गणना साधारण ब्याज संबंध का उपयोग करके की जाती है: दर = (1 वर्ष के लिए साधारण ब्याज × 100) / मूलधन दर = (96 × 100) / 1200 = 8%

व्याख्या

विक्रय मूल्य (SP), क्रय मूल्य (CP), और लाभ प्रतिशत के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

CP = (SP × 100) / (100 + लाभ %)

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

CP = (2808 × 100) / (100 + 17) CP = 280800 / 117 CP = 2400

व्याख्या

कुर्सी का विक्रय मूल्य रु 520 है और दी गई छूट रु 40 है। अंकित मूल्य विक्रय मूल्य और छूट का योग होता है: अंकित मूल्य = 520 + 40 = रु 560

अंकित मूल्य क्रय मूल्य से 40% अधिक दिया गया है। क्रय मूल्य को CP से दर्शाते हुए: अंकित मूल्य = CP × 1.40 560 = CP × 1.40 CP = 560 / 1.40 = रु 400

बिक्री पर हुआ लाभ विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य के बीच का अंतर है: लाभ = 520 - 400 = रु 120

लाभ प्रतिशत की गणना क्रय मूल्य के संबंध में की जाती है: लाभ प्रतिशत = (लाभ / क्रय मूल्य) × 100 लाभ प्रतिशत = (120 / 400) × 100 = 30%

व्याख्या

कथन I की वैधता निर्धारित करने के लिए, उनके मानों की तुलना करने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग करें: (2√3)² = 4 × 3 = 12 (3√2)² = 9 × 2 = 18 चूंकि 12, 18 से कम है, 2√3, 3√2 से कम है। इस प्रकार, कथन I असत्य है।

कथन II की वैधता निर्धारित करने के लिए, असमानता के दाहिने पक्ष को सरल बनाएं: 2√8 = 2 × √(4 × 2) = 2 × 2√2 = 4√2 चूंकि 4√2, 2√8 के बराबर है, वे असमान नहीं हो सकते। इस प्रकार, कथन II असत्य है।

चूंकि दोनों कथन असत्य हैं, इसलिए कोई भी कथन सत्य नहीं है।

व्याख्या

कुल काम को व्यक्तिगत दिनों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) माना जाता है, जो कि LCM(30, 40, 50) = 600 इकाई है।

प्रत्येक व्यक्ति की दक्षता है: X की दक्षता = 600 / 30 = 20 इकाई प्रति दिन Y की दक्षता = 600 / 40 = 15 इकाई प्रति दिन Z की दक्षता = 600 / 50 = 12 इकाई प्रति दिन

यदि Y ने काम पूरा होने से 4 दिन पहले काम नहीं छोड़ा होता, तो Y ने अतिरिक्त काम पूरा किया होता: 15 × 4 = 60 इकाई

इस काल्पनिक काम को कुल काम में जोड़कर, हम यह मान सकते हैं कि X, Y और Z सभी ने D दिनों की पूरी अवधि के लिए एक साथ काम किया: कुल काल्पनिक काम = 600 + 60 = 660 इकाई

तीनों की संयुक्त दक्षता का उपयोग करके, कुल दिनों की संख्या D है: D = 660 / (20 + 15 + 12) = 660 / 47 दिन

व्याख्या

लगने वाले समय को ज्ञात करने के लिए, पहले गति को किमी/घंटा से मी/से में बदलें:

गति = 72 × 5/18 = 20 मी/से

सूत्र का प्रयोग करके:

समय = दूरी / गति

दिए गए मानों को सूत्र में रखें:

समय = 1400 / 20 = 70 सेकंड

व्याख्या

पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, एक आयत के विकर्ण d, लंबाई l, और चौड़ाई b के बीच संबंध है: d² = l² + b²

दिए गए मान d = 17 और b = 8 को प्रतिस्थापित करने पर: 17² = l² + 8² 289 = l² + 64 l² = 225 l = 15

आयत का परिमाप P सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है: P = 2(l + b)

लंबाई और चौड़ाई के मानों को प्रतिस्थापित करने पर: P = 2(15 + 8) = 2 × 23 = 46 सेमी

व्याख्या

त्रिज्या r वाले अर्धवृत्त का क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: क्षेत्रफल = ½ × π × r²

दिए गए क्षेत्रफल 1925 वर्ग सेमी को प्रतिस्थापित करना और π = 22/7 का उपयोग करना: ½ × (22/7) × r² = 1925 (11/7) × r² = 1925 r² = (1925 × 7) / 11 r² = 175 × 7 r² = 1225 r = 35 सेमी

अर्धवृत्त की परिधि में इसकी वक्रित सीमा और इसका व्यास शामिल होता है: परिधि = π × r + 2 × r परिधि = (22/7) × 35 + 2 × 35 परिधि = 110 + 70 परिधि = 180 सेमी

व्याख्या

एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: A = 4πr²

जहाँ r गोले की त्रिज्या है।

दिया गया है कि पृष्ठीय क्षेत्रफल 5544 वर्ग सेमी है, और π ≈ 22/7 का उपयोग करते हुए, हम समीकरण स्थापित कर सकते हैं: 5544 = 4 × (22/7) × r² 5544 = (88/7) × r² r² = (5544 × 7) / 88 r² = 63 × 7 r² = 441 r = √441 r = 21 सेमी

गोले का व्यास त्रिज्या का दोगुना होता है: d = 2r = 2 × 21 = 42 सेमी

व्याख्या

एक त्रिभुज में, सभी आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180° होता है। चूँकि त्रिभुज ABC, B पर समकोण है, हमारे पास है: कोण B = 90°

त्रिभुज के लिए कोण योग गुण का उपयोग करते हुए: कोण A + कोण B + कोण C = 180° 45° + 90° + कोण C = 180° 135° + कोण C = 180° कोण C = 45°

अब, कोण C का मान आवश्यक व्यंजक में प्रतिस्थापित करें: cosec C + 1 / √3 = cosec 45° + 1 / √3

चूँकि cosec 45° = √2 है, व्यंजक सरल हो जाता है: √2 + 1 / √3

√3 को उभयनिष्ठ हर के रूप में लेते हुए: (√2 × √3 + 1) / √3 = (√6 + 1) / √3

व्याख्या

समकोण त्रिभुज ΔUVW में, जहाँ ∠V = 90° है: cosec U = कर्ण / सम्मुख भुजा = UW / VW = 13/12

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करके: cosec²U - cot²U = 1 cot²U = (13/12)² - 1 = 169/144 - 1 = 25/144 cot U = 5/12

ΔUVW में: cot U = आसन्न भुजा / सम्मुख भुजा = UV / VW 5/12 = UV / VW

संबंध में UV = 2.5 सेमी रखने पर: 5/12 = 2.5 / VW VW = (2.5 × 12) / 5 VW = 0.5 × 12 VW = 6 सेमी

व्याख्या

व्यंजक √3 / (3 + √3) को सरल बनाने के लिए, हम अंश और हर दोनों को √3 से विभाजित करते हैं:

√3 / (3 + √3) = 1 / (√3 + 1)

अगला, हम अंश और हर दोनों को (√3 - 1) से गुणा करके हर का परिमेयकरण करते हैं:

(1 / (√3 + 1)) × ((√3 - 1) / (√3 - 1)) = (√3 - 1) / ((√3)² - 1²) = (√3 - 1) / (3 - 1) = (√3 - 1) / 2

सरलीकृत व्यंजक में √3 = 1.7320 का दिया गया मान रखने पर:

(1.7320 - 1) / 2 = 0.7320 / 2 = 0.366

व्याख्या

दिया गया समीकरण 9^√a + 40^√a = 41^√a है। मान लीजिए √a = x, जिससे समीकरण 9ˣ + 40ˣ = 41ˣ में बदल जाता है।

दोनों पक्षों को 41ˣ से विभाजित करने पर (9/41)ˣ + (40/41)ˣ = 1 प्राप्त होता है। चूँकि आधार मान 9/41 और 40/41 दोनों 1 से कम हैं, इसलिए बाईं ओर का फलन सख्ती से घट रहा है, जिसका अर्थ है कि x के लिए अधिकतम एक वास्तविक हल है।

पाइथागोरस त्रिक 9, 40, और 41 का उपयोग करते हुए, हम जानते हैं कि 9² + 40² = 1681 और 41² = 1681। इस प्रकार, 9² + 40² = 41² एक सत्य गणितीय पहचान है, जो सीधे अद्वितीय हल x = 2 देती है।

x को √a के बराबर रखने पर √a = 2 प्राप्त होता है। इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर a = 4 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए एक बोतल का मूल्य b है और एक थैले का मूल्य g है।

पहली शर्त के अनुसार, 5 बोतलों का मूल्य 2 थैलों के मूल्य के बराबर है: 5b = 2g

समीकरण के दोनों पक्षों को 3 से गुणा करने पर: 15b = 6g

दूसरी शर्त के अनुसार, 15 बोतलों और 4 थैलों का कुल मूल्य रु. 2,000 है: 15b + 4g = 2000

दूसरी समीकरण में 15b = 6g प्रतिस्थापित करने पर: 6g + 4g = 2000 10g = 2000 g = 200

एक थैले का मूल्य रु. 200 है।

व्याख्या

आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (Basic Proportionality Theorem) का विलोम, जिसे थेल्स प्रमेय (Thales's Theorem) के नाम से भी जाना जाता है, कहता है कि यदि कोई रेखा किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को प्रतिच्छेद करती है और उन्हें समान अनुपात में विभाजित करती है, तो वह रेखा त्रिभुज की तीसरी भुजा के समांतर होनी चाहिए।

त्रिभुज ABC के लिए, यदि कोई रेखा AB को बिंदु D पर और AC को बिंदु E पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करती है कि अनुपात AD/DB, AE/EC के बराबर है, तो रेखा DE भुजा BC के समांतर होती है।

व्याख्या

एक समबाहु त्रिभुज के लिए, परित्रिज्या R और अंतःत्रिज्या r के बीच संबंध सूत्र r = R / 2 द्वारा दिया जाता है।

यह देखते हुए कि परिवृत्त की त्रिज्या 14 सेमी है, हम इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

r = 14 / 2 = 7 सेमी

व्याख्या

दिए गए समीकरण से, हमारे पास है: (x + y) का 35% = (x - y) का 40%

प्रतिशत चिह्न को हटाकर और सरल करके: 35(x + y) = 40(x - y)

दोनों पक्षों को 5 से विभाजित करने पर: 7(x + y) = 8(x - y)

दोनों पक्षों का विस्तार करने पर: 7x + 7y = 8x - 8y

x के पदों को एक तरफ और y के पदों को दूसरी तरफ समूहित करने पर: 8x - 7x = 7y + 8y x = 15y

यह ज्ञात करने के लिए कि x, y का कितने प्रतिशत है, हम सूत्र का उपयोग करते हैं: प्रतिशत = (x / y) × 100

x = 15y को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: प्रतिशत = (15y / y) × 100 = 15 × 100 = 1500

व्याख्या

माना दो संख्याएँ 6x और 11x हैं। दोनों संख्याओं के बीच का अंतर उनके अनुपात भागों के अंतर द्वारा दर्शाया जाता है।

अंतर = 11x - 6x = 5x

दिया गया है कि अंतर 65 है: 5x = 65 x = 13

छोटी संख्या 6x के संगत है।

छोटी संख्या = 6 × 13 = 78

व्याख्या

मान लीजिए मिश्रण की कुल मात्रा T मिलीलीटर है।

चूंकि दूध कुल मिश्रण का 19% है, हम संबंध को इस प्रकार लिख सकते हैं: T का 19% = 437 (19/100) × T = 437

कुल मात्रा के लिए हल करना: T = (437 × 100) / 19 T = 23 × 100 T = 2300

व्याख्या

मान लीजिए कि शहर की प्रारंभिक जनसंख्या 100 है।

पहले वर्ष के बाद, 44% की वृद्धि के साथ, जनसंख्या हो जाती है: 100 + 44 = 144

दूसरे वर्ष के बाद, पहले वर्ष के अंत की जनसंख्या पर 75% की वृद्धि के साथ, जनसंख्या हो जाती है: 144 + (0.75 × 144) = 144 + 108 = 252

दो साल की अवधि में जनसंख्या में कुल शुद्ध वृद्धि है: 252 - 100 = 152

यह दो वर्षों की अवधि में कुल 152% की वृद्धि का प्रतिनिधित्व करता है।

इस अवधि में जनसंख्या में वृद्धि की औसत दर है: कुल प्रतिशत वृद्धि ÷ वर्षों की संख्या = 152% ÷ 2 = 76%

व्याख्या

t वर्षों के बाद चक्रवृद्धि ब्याज के तहत राशि का सूत्र A = P × (1 + R/100)ᵗ है।

2 वर्ष की अवधि के लिए चक्रवृद्धि गुणक मान लीजिए k = (1 + R/100)² है।

पहले 2 वर्षों के लिए: 3645 = 2000 × k k = 3645 / 2000 = 729 / 400

4 वर्षों के बाद राशि है: A = P × (1 + R/100)⁴ = P × k²

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: A = 2000 × (729 / 400)² A = 2000 × 531441 / 160000 A = 531441 / 80 A = 6643.0125

व्याख्या

मान लीजिए मेज का क्रय मूल्य (CP) है।

प्रारंभ में, मोहित मेज को 25% के लाभ पर बेचता है, इसलिए प्रारंभिक विक्रय मूल्य है: SP₁ = CP का 125% = 1.25 CP

जब विक्रय मूल्य 240 रुपये कम कर दिया जाता है, तो मोहित को 5% की हानि होती है, जिससे नया विक्रय मूल्य हो जाता है: SP₂ = CP का 95% = 0.95 CP

विक्रय मूल्य में परिवर्तन दोनों विक्रय मूल्यों के अंतर से दिया जाता है: SP₁ - SP₂ = 240 1.25 CP - 0.95 CP = 240 0.30 CP = 240 CP = 240 ÷ 0.30 = 800

मेज का प्रारंभिक विक्रय मूल्य है: SP₁ = 1.25 × 800 = 1000

व्याख्या

मान लीजिए कि वस्तु का अंकित मूल्य (MP) 100 है।

25% की पहली छूट के बाद, मूल्य हो जाता है: 100 × (1 - 0.25) = 75

30% की दूसरी क्रमिक छूट के बाद, अंतिम विक्रय मूल्य (SP) हो जाता है: 75 × (1 - 0.30) = 75 × 0.7 = 52.5

अंकित मूल्य और विक्रय मूल्य का अनुपात है: MP : SP = 100 : 52.5

दशमलव को समाप्त करने के लिए अनुपात के दोनों पदों को 2 से गुणा करने पर: MP : SP = 200 : 105

दोनों पदों को उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक, जो कि 5 है, से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: MP : SP = 40 : 21

व्याख्या

मान लीजिए अभीष्ट संख्या को x से दर्शाया जाता है। दी गई शर्त के अनुसार, संख्या के वर्ग में से 49 घटाने पर 576 प्राप्त होता है। इस संबंध को गणितीय रूप से इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

x² - 49 = 576

x के लिए हल करने हेतु, दोनों पक्षों में 49 जोड़ें:

x² = 576 + 49 x² = 625

दोनों पक्षों का धनात्मक वर्गमूल लेने पर संख्या का मान प्राप्त होता है:

x = √625 = 25

व्याख्या

मेज बनाने के कुल कार्य को 40 और 60 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM), जो कि 120 इकाई है, द्वारा दर्शाया जाता है। P, Q और R की एक साथ काम करने की संयुक्त दक्षता 120 ÷ 40 = 3 इकाई प्रति मिनट है। P और Q की एक साथ काम करने की संयुक्त दक्षता 120 ÷ 60 = 2 इकाई प्रति मिनट है। R की अकेले दक्षता दोनों की दक्षता का अंतर है: 3 - 2 = 1 इकाई प्रति मिनट। R द्वारा अकेले मेज पूरा करने में लिया गया समय है: 120 इकाई ÷ 1 इकाई प्रति मिनट = 120 मिनट।

व्याख्या

जब समान लंबाई L की दो ट्रेनें समान गति v से विपरीत दिशाओं में चलती हैं, तो उनकी सापेक्ष गति v + v = 2v होती है। एक-दूसरे को पूरी तरह से पार करने के लिए उन्हें तय की जाने वाली कुल दूरी उनकी लंबाई का योग है, जो कि L + L = 2L है।

गति, दूरी और समय के संबंध का उपयोग करके: सापेक्ष गति = कुल दूरी / समय

दिया गया है कि प्रत्येक ट्रेन की लंबाई L = 486 मीटर है और लिया गया समय 27 सेकंड है: 2v = (486 + 486) / 27 2v = 972 / 27 2v = 36 मी/से v = 18 मी/से

गति को मी/से से किमी/घंटा में बदलने के लिए, 18/5 से गुणा करें: v = 18 × 18/5 v = 324/5 v = 64.8 किमी/घंटा

व्याख्या

किसी आयत की परिधि P का सूत्र P = 2(l + b) द्वारा दिया जाता है, जहाँ l लंबाई है और b चौड़ाई है। दिया गया है P = 44 सेमी और b = 10 सेमी, हम लंबाई के लिए हल कर सकते हैं:

44 = 2(l + 10) 22 = l + 10 l = 12 सेमी

आयत का क्षेत्रफल सूत्र Area = l × b द्वारा दिया जाता है। 12 सेमी की लंबाई और 10 सेमी की चौड़ाई का उपयोग करके:

क्षेत्रफल = 12 × 10 = 120 सेमी²

व्याख्या

किसी भी उत्तल बहुभुज के बाह्य कोणों का योग हमेशा 360° होता है। एक सम बहुभुज के लिए, सभी बाह्य कोण माप में बराबर होते हैं।

n भुजाओं वाले एक सम बहुभुज के प्रत्येक बाह्य कोण के माप का सूत्र है: बाह्य कोण = 360° / n

भुजाओं की दी गई संख्या, n = 9 को प्रतिस्थापित करने पर: बाह्य कोण = 360° / 9 = 40°

यह सीधे प्रत्येक बाह्य कोण का माप 40° देता है।

व्याख्या

एक लम्ब वृत्तीय बेलन का आयतन V, सूत्र V = πr²h का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है, जहाँ r बेलन की त्रिज्या है और h इसकी ऊंचाई है।

यह देखते हुए कि बेलन का व्यास 21 सेमी है, त्रिज्या r 21/2 सेमी है। ऊंचाई h 10 सेमी दी गई है। π ≈ 22/7 का उपयोग करते हुए, आयतन है:

V = (22/7) × (21/2) × (21/2) × 10

V = 11 × 3 × 21 × 5

V = 33 × 105

V = 3465 सेमी³