एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2017 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

शब्द के प्रत्येक अक्षर को पहले उसकी पंक्ति संख्या और फिर उसके कॉलम संख्या द्वारा दर्शाया जाता है।

अक्षर T के लिए, मैट्रिक्स II को देखते हुए, पंक्ति 7 है और कॉलम 7 है, जिससे कोड 77 प्राप्त होता है।

अक्षर O के लिए, मैट्रिक्स II को देखते हुए, पंक्ति 6 है और कॉलम 9 है, जिससे कोड 69 प्राप्त होता है।

अक्षर M (जो गलत वर्तनी वाले लक्ष्य शब्द TONB में अक्षर N के अनुरूप है) के लिए, मैट्रिक्स I को देखते हुए, पंक्ति 4 है और कॉलम 3 है, जिससे कोड 43 प्राप्त होता है।

अक्षर B के लिए, मैट्रिक्स I को देखते हुए, पंक्ति 2 है और कॉलम 2 है, जिससे कोड 22 प्राप्त होता है।

व्याख्या

व्यंजक (49)³/² + (49)⁻³/² है।

घातांक के नियमों का उपयोग करके, हम 49 को 7² के रूप में व्यक्त करके प्रत्येक पद को सरल बना सकते हैं: (49)³/² = (7²)³/² = 7³ = 343 (49)⁻³/² = (7²)⁻³/² = 7⁻³ = 1/7³ = 1/343

इन दोनों मानों को एक साथ जोड़ने पर: 343 + 1/343 = (343 × 343 + 1) / 343

चूंकि 343 × 343 = 117649, अंश बन जाता है: 117649 + 1 = 117650

यह सरलीकृत मान देता है: 117650/343

व्याख्या

दिए गए व्यंजक में अभाज्य गुणनखंडों की कुल संख्या ज्ञात करने के लिए, हमें पहले सभी भाज्य आधार संख्याओं को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में व्यक्त करना होगा।

दिया गया व्यंजक है: 4¹¹ × 5⁵ × 3² × 13²

यहाँ, आधार 4 एक भाज्य संख्या है, जिसे 2² के रूप में लिखा जा सकता है। अन्य आधार (5, 3, और 13) पहले से ही अभाज्य संख्याएँ हैं।

व्यंजक में 4 = 2² को प्रतिस्थापित करने पर: (2²)¹¹ × 5⁵ × 3² × 13² = 2²² × 5⁵ × 3² × 13²

अब जब सभी आधार (2, 5, 3, और 13) अभाज्य संख्याएँ हैं, तो अभाज्य गुणनखंडों की कुल संख्या उनके घातांकों का योग है: 22 + 5 + 2 + 2 = 31

व्याख्या

दिए गए व्यंजक के हर का परिमेयकरण करने के लिए, अंश और हर दोनों को हर के संयुग्मी, जो कि √5 - 2 है, से गुणा करें:

15 / (√5 + 2) = (15 × (√5 - 2)) / ((√5 + 2) × (√5 - 2))

हर में बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)(a - b) = a² - b² लागू करें:

(√5 + 2)(√5 - 2) = (√5)² - 2² = 5 - 4 = 1

अब, अंश का विस्तार करें:

15 × (√5 - 2) = 15√5 - 30

सरलीकृत अंश को हर से विभाजित करें:

(15√5 - 30) / 1 = 15√5 - 30

व्याख्या

इस व्यंजक को हल करने के लिए, हम मानक बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग कर सकते हैं: (a + b)² - (a - b)² = 4ab

मान लीजिए a = 943 और b = 864। दिए गए व्यंजक का अंश बन जाता है: (943 + 864)² - (943 - 864)² = 4 × 943 × 864

अब हम हर में पदों को फिर से लिखते हैं: 1886 = 2 × 943 1728 = 2 × 864

इसका मतलब है कि हर है: 1886 × 1728 = (2 × 943) × (2 × 864) = 4 × 943 × 864

सरलीकृत अंश और हर को वापस समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: x = (4 × 943 × 864) / (4 × 943 × 864)

अंश और हर दोनों समान हैं, इसलिए वे पूरी तरह से कट जाते हैं: x = 1

व्याख्या

दो त्रिभुजों को गणितीय रूप से समरूप तब परिभाषित किया जाता है जब उनके संगत कोण बराबर होते हैं और उनकी संगत भुजाएँ एक-दूसरे के समानुपाती होती हैं। जब दो त्रिभुज समरूप होते हैं, तो उनकी संगत भुजाओं का अनुपात स्थिर रहता है, जिसका अर्थ है कि उनकी भुजाओं की लंबाई बराबर (स्केल फैक्टर 1 के साथ सर्वांगसम त्रिभुज) या असमान हो सकती है। इस प्रकार, संगत भुजाएँ एक-दूसरे के बराबर हो भी सकती हैं और नहीं भी, जिससे समरूप त्रिभुजों के लिए सभी दी गई शर्तें मान्य हो जाती हैं।

व्याख्या

किसी समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल उसकी ऊँचाई h से सीधे सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है:

क्षेत्रफल = h² / √3

दिए गए ऊँचाई h = 2√3 सेमी को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

क्षेत्रफल = (2√3)² / √3 क्षेत्रफल = 12 / √3 क्षेत्रफल = 4√3 सेमी²

वैकल्पिक रूप से, भुजा की लंबाई a वाले समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई h = (√3/2)a द्वारा दी जाती है। (√3/2)a = 2√3 को बराबर करने पर भुजा की लंबाई a = 4 सेमी प्राप्त होती है। समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल (√3/4)a² द्वारा दिया जाता है, जिसका मान (√3/4) × 4² = 4√3 सेमी² होता है।

व्याख्या

जब किसी आयत की लंबाई a% और चौड़ाई b% बढ़ाई जाती है, तो क्षेत्रफल में प्रतिशत परिवर्तन निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

शुद्ध प्रतिशत वृद्धि = a + b + (a × b)/100 %

दिए गए मानों, a = 10 और b = 20 को प्रतिस्थापित करने पर:

शुद्ध प्रतिशत वृद्धि = 10 + 20 + (10 × 20)/100 % शुद्ध प्रतिशत वृद्धि = 30 + 200/100 % शुद्ध प्रतिशत वृद्धि = 30 + 2 % शुद्ध प्रतिशत वृद्धि = 32%

व्याख्या

मान लीजिए तीन संख्याएँ 3x, 6x और 8x हैं।

इन तीन संख्याओं का गुणनफल 9216 दिया गया है: 3x × 6x × 8x = 9216 144x³ = 9216

x³ के लिए हल करना: x³ = 9216 / 144 x³ = 64 x = 4

तीन संख्याओं का योग है: 3x + 6x + 8x = 17x

x का मान प्रतिस्थापित करना: 17 × 4 = 68

व्याख्या

साझेदारी में लाभ का अनुपात निवेश और निवेश की अवधि के गुणनफल द्वारा दिया जाता है।

लाभ अनुपात = (निवेश₁ × अवधि₁) : (निवेश₂ × अवधि₂)

रोहित को व्यक्ति 1 और सिमरन को व्यक्ति 2 मानें। रोहित का निवेश (I₁) = ₹75000 रोहित की अवधि (T₁) = 12 महीने सिमरन का निवेश (I₂) = ₹60000 सिमरन की अवधि = T₂ महीने लाभ अनुपात = 3 : 1

सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करने पर: (75000 × 12) ÷ (60000 × T₂) = 3 ÷ 1

समीकरण को सरल बनाने पर: (5 × 12) ÷ (4 × T₂) = 3 60 ÷ (4 × T₂) = 3 15 ÷ T₂ = 3 T₂ = 5 महीने

सिमरन ने अपना पैसा 5 महीने के लिए निवेश किया। इसलिए, सिमरन के व्यवसाय में जुड़ने के महीनों की संख्या है: 12 - 5 = 7 महीने

व्याख्या

50 चॉकलेट का कुल मूल्य ₹1000 है।

30 चॉकलेट का औसत मूल्य ₹25 है, इसलिए उनका कुल मूल्य है: 30 × 25 = ₹750

शेष चॉकलेट की संख्या है: 50 - 30 = 20

इन शेष 20 चॉकलेट का कुल मूल्य है: 1000 - 750 = ₹250

इसलिए, शेष चॉकलेट का औसत मूल्य है: 250 / 20 = ₹12.5

व्याख्या

किसी धनराशि पर अर्जित कुल साधारण ब्याज की गणना संबंधित अवधियों के दौरान अर्जित ब्याज के योग के रूप में की जाती है।

मान लीजिए मूलधन P है। ब्याज की दर पहले 5 वर्षों के लिए 10% प्रति वर्ष और अगले 3 वर्षों के लिए 15% प्रति वर्ष है।

8 वर्षों में अर्जित कुल ब्याज प्रतिशत है: (10% × 5) + (15% × 3) = 50% + 45% = 95%

समस्या के अनुसार, यह कुल ब्याज रु 47500 के बराबर है: P का 95% = 47500 P × 95 / 100 = 47500 P = 47500 × 100 / 95 P = 500 × 100 P = 50000

मूलधन रु 50000 है।

व्याख्या

क्रय मूल्य (CP), विक्रय मूल्य (SP), और हानि प्रतिशत के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

CP = SP × 100 / (100 - हानि%)

दिए गए मानों, SP = रु 1386 और हानि% = 23% को प्रतिस्थापित करने पर:

CP = 1386 × 100 / (100 - 23)

CP = 1386 × 100 / 77

CP = 18 × 100 = 1800

व्याख्या

कंप्यूटर का अंकित मूल्य रु 48000 है।

13% की पहली छूट के बाद, मध्यवर्ती विक्रय मूल्य बन जाता है: 48000 × (1 - 0.13) = 48000 × 0.87 = रु 41760

ग्राहक को दी जाने वाली अंतिम कीमत रु 39672 है।

रु 41760 के मध्यवर्ती मूल्य पर आवश्यक अतिरिक्त छूट राशि है: 41760 - 39672 = रु 2088

अतिरिक्त छूट प्रतिशत है: (2088 / 41760) × 100 = 5%

व्याख्या

कथन I में, पद को 125 के घनमूल के रूप में दर्शाते हुए, हमारे पास ∛125 = 5 है। LHS = √144 × √36 = 12 × 6 = 72 RHS = ∛125 × √121 = 5 × 11 = 55 चूंकि 72, 55 से बड़ा है, कथन I असत्य है।

कथन II में, पद को 216 के घनमूल के रूप में दर्शाते हुए, हमारे पास ∛216 = 6 है। LHS = √324 + √49 = 18 + 7 = 25 RHS = ∛216 × √9 = 6 × 3 = 18 चूंकि 25, 18 से बड़ा है, कथन II सत्य है।

व्याख्या

मान लीजिए टंकी की कुल क्षमता 20 और 35 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 140 इकाई है।

पाइप X की दक्षता 140 ÷ 20 = 7 इकाई प्रति घंटा है। पाइप Y की दक्षता 140 ÷ 35 = 4 इकाई प्रति घंटा है।

चूंकि वे पाइप Y से शुरू होकर बारी-बारी से एक-एक घंटे के अंतराल पर खोले जाते हैं, तो 2 घंटे के चक्र में किया गया कार्य है: पहले घंटे में किया गया कार्य (Y द्वारा) = 4 इकाई दूसरे घंटे में किया गया कार्य (X द्वारा) = 7 इकाई एक 2 घंटे के चक्र में कुल किया गया कार्य = 4 + 7 = 11 इकाई

पूर्ण चक्रों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम कुल क्षमता को एक चक्र में किए गए कार्य से विभाजित करते हैं: 140 ÷ 11 = 12 चक्र शेष 8 इकाई के साथ।

12 पूर्ण चक्रों के लिए लिया गया समय 12 × 2 = 24 घंटे है। किया गया कार्य 12 × 11 = 132 इकाई है, जिससे 140 - 132 = 8 इकाई भरने के लिए शेष रह जाती है।

25वें घंटे में, पाइप Y खोला जाता है और 4 इकाई भरता है। शेष क्षमता 8 - 4 = 4 इकाई है, और बीता हुआ कुल समय 25 घंटे है।

अगले घंटे में, पाइप X शेष 4 इकाई भरने के लिए खोला जाता है। चूंकि पाइप X की दक्षता 7 इकाई प्रति घंटा है, पाइप X द्वारा लिया गया समय 4/7 घंटे है।

टंकी को भरने में लिया गया कुल समय 25 + 4/7 = 179/7 घंटे है।

व्याख्या

गति को किमी/घंटा से मी/से में बदलने के लिए, गति को 5/18 से गुणा करें: गति = 54 × 5/18 = 15 मी/से

मानक संबंध का उपयोग करके: समय = दूरी / गति

सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करें: समय = 450 / 15 = 30 सेकंड

व्याख्या

आयत का विकर्ण उसकी दो आसन्न भुजाओं के साथ एक समकोण त्रिभुज बनाता है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: d² = l² + w²

यहाँ, विकर्ण (d) 25 सेमी है और एक भुजा (l) 7 सेमी है। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 25² = 7² + w² 625 = 49 + w² w² = 625 - 49 w² = 576 w = 24 सेमी

आयत की दूसरी भुजा 24 सेमी है।

आयत का परिमाप सूत्र द्वारा दिया जाता है: परिमाप = 2 × (l + w) परिमाप = 2 × (7 + 24) परिमाप = 2 × 31 परिमाप = 62 सेमी

व्याख्या

n भुजाओं वाले एक सम बहुभुज के लिए, प्रत्येक बाह्य कोण का माप सूत्र 360°/n द्वारा दिया जाता है।

n = 5 रखने पर: बाह्य कोण = 360°/5 = 72°

चूंकि किसी बहुभुज के किसी शीर्ष पर आंतरिक कोण और बाह्य कोण का योग 180° होता है: आंतरिक कोण = 180° - 72° = 108°

आंतरिक कोण और बाह्य कोण के बीच का अंतर है: 108° - 72° = 36°

व्याख्या

घन का आयतन V = s³ सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है, जहाँ s घन की भुजा की लंबाई को दर्शाता है।

दिए गए भुजा की लंबाई 3.5 सेमी को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: V = (3.5)³ V = 3.5 × 3.5 × 3.5 V = 42.875 सेमी³

व्याख्या

त्रिभुज XYZ में, जो Y पर समकोण है, सभी आंतरिक कोणों का योग 180° होता है। दिया गया है कि ∠Y = 90° और ∠X = 60°, हम त्रिभुजों के कोण योग गुण का उपयोग करके कोण Z का माप ज्ञात कर सकते हैं: ∠Z = 180° - ∠Y - ∠X = 180° - 90° - 60° = 30°

हमें व्यंजक sec Z + 2 / √3 का मूल्यांकन करना है। व्यंजक में ∠Z = 30° प्रतिस्थापित करने पर: sec 30° + 2 / √3

मानक त्रिकोणमितीय अनुपात का उपयोग करते हुए, sec 30° = 2 / √3। इस प्रकार, व्यंजक बन जाता है: 2 / √3 + 2 / √3 = 4 / √3

व्याख्या

BODMAS नियमों को चरण-दर-चरण लागू करना:

1. सबसे भीतरी कोष्ठकों को सरल करें: (b - a - b) = -a।
2. मंझले कोष्ठकों को सरल करें: {b - (-a)} = {b + a}।
3. वर्ग कोष्ठक को सरल करें: [b - (a + b) - (b + a) + 2a] = [b - a - b - b - a + 2a] = [-b]।
4. अंत में, इस परिणाम को सबसे बाहरी पद से घटाएं: b - [-b] = 2b (विकल्प A)।

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (x + y)² + (x - y)² = 2(x² + y²) का उपयोग करके, हम दिए गए व्यंजक को x = 200 और y = 13 चुनकर सरल कर सकते हैं।

यहाँ, 213 = 200 + 13 और 187 = 200 - 13 है।

इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:

213² + 187² = (200 + 13)² + (200 - 13)²

यह सरल हो जाता है:

2 × (200² + 13²) = 2 × (40000 + 169)

पदों को गुणा करने पर:

2 × 40169 = 80338

व्याख्या

द्विपद के वर्ग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हुए:

(x - y)² = x² + y² - 2xy

दिए गए मान x - y = 5 और x² + y² = 45 को सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

5² = 45 - 2xy

25 = 45 - 2xy

2xy के लिए हल करने हेतु पदों को पुनर्व्यवस्थित करें:

2xy = 45 - 25

2xy = 20

2 से भाग देने पर प्राप्त होता है:

xy = 10

व्याख्या

त्रिभुज के सभी आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180° होता है। मान लीजिए त्रिभुज के सबसे बड़े, सबसे छोटे और तीसरे कोण को क्रमशः L, S और T से दर्शाया गया है।

दिया गया है कि सबसे बड़ा कोण L = 80°।

सबसे छोटा कोण S सबसे बड़े कोण से 40° कम है: S = 80° - 40° = 40°

त्रिभुज कोण योग सूत्र का उपयोग करके: L + S + T = 180° 80° + 40° + T = 180° 120° + T = 180° T = 60°

व्याख्या

आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (Basic Proportionality Theorem), जिसे थेल्स प्रमेय (Thales's Theorem) के नाम से भी जाना जाता है, के अनुसार, यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समानांतर एक रेखा खींची जाती है जो अन्य दो भुजाओं को भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है, तो अन्य दो भुजाएँ समान अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।

त्रिभुज ABC में, रेखा DE आधार BC के समानांतर खींची गई है, जो भुजाओं AB और AC को क्रमशः D और E बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है। यह समानांतर रेखा भुजाओं AB और AC को समानुपातिक रूप से विभाजित करती है, जो गणितीय रूप से AD/DB = AE/EC संबंध प्रदान करती है।

व्याख्या

मान लीजिए कि चीनी के 1 किलोग्राम का मूल मूल्य x है।

मूल्य में 30% की वृद्धि हुई है, जो ₹48 के बराबर है। प्रतिशत संबंध का उपयोग करके: x का 30% = 48 (30/100) × x = 48 x = (48 × 100) / 30 x = 160

चीनी का मूल मूल्य ₹160 है।

नया मूल्य मूल मूल्य और वृद्धि का योग है: नया मूल्य = 160 + 48 = 208

व्याख्या

मान लीजिए तीन संख्याएँ x, y, और z हैं।

पहली संख्या का दूसरी संख्या से अनुपात है: x : y = 3 : 5

दूसरी संख्या का तीसरी संख्या से अनुपात है: y : z = 4 : 7

इन अनुपातों को संयोजित करने के लिए, हम y का प्रतिनिधित्व करने वाले पद को दोनों अनुपातों में समान बनाते हैं, 5 और 4 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) को लेकर, जो कि 20 है।

पहले अनुपात को 4 से गुणा करने पर: x : y = 12 : 20

दूसरे अनुपात को 5 से गुणा करने पर: y : z = 20 : 35

इस प्रकार, तीन संख्याओं का संयुक्त अनुपात है: x : y : z = 12 : 20 : 35

मान लीजिए तीन संख्याएँ 12k, 20k, और 35k हैं। तीन संख्याओं का योग 67 दिया गया है: 12k + 20k + 35k = 67 67k = 67 k = 1

दूसरी संख्या है: 20k = 20 × 1 = 20

व्याख्या

साझेदारी में, लाभ को निवेशित पूंजी और निवेश की अवधि के गुणनफल के अनुपात में वितरित किया जाता है।

A ने पूरे 12 महीनों के लिए 1800 रुपये का निवेश किया: A का समतुल्य निवेश = 1800 × 12 = 21600

B 4 महीने बाद जुड़ा, जिसका अर्थ है कि B ने 8 महीने के लिए 3600 रुपये का निवेश किया: B का समतुल्य निवेश = 3600 × 8 = 28800

C 6 महीने बाद जुड़ा, जिसका अर्थ है कि C ने 6 महीने के लिए 1200 रुपये का निवेश किया: C का समतुल्य निवेश = 1200 × 6 = 7200

A, B और C के बीच लाभ-साझेदारी अनुपात है: A : B : C = 21600 : 28800 : 7200 = 3 : 4 : 1

अनुपात भागों का योग 3 + 4 + 1 = 8 है।

चूंकि कुल लाभ 1760 रुपये है, इसलिए 1 अनुपात भाग का मान 1760 ÷ 8 = 220 है।

लाभ में A का हिस्सा 3 अनुपात भागों का प्रतिनिधित्व करता है, जो 3 × 220 = 660 के बराबर है।

व्याख्या

किसी भी समांतर श्रेणी, जिसमें क्रमागत पूर्णांक शामिल हैं, का औसत मध्य मान होता है, जो पहले और अंतिम पद के औसत के बराबर होता है।

n से शुरू होने वाले 8 क्रमागत पूर्णांकों के लिए, पद n, n+1, ..., n+7 हैं।

इन 8 पूर्णांकों का औसत = (n + n + 7)/2 = (2n + 7)/2

दिया गया है कि औसत 23/2 है: (2n + 7)/2 = 23/2 2n + 7 = 23 2n = 16 n = 8

पहले तीन पूर्णांक 8, 9 और 10 हैं।

पहले तीन क्रमागत पूर्णांकों का औसत केवल उनका मध्य पद है, जो कि 9 है।

व्याख्या

साधारण ब्याज का सूत्र है: SI = (P × R × T) / 100

जहाँ SI साधारण ब्याज है, P मूल राशि है, R ब्याज की वार्षिक दर है, और T वर्षों में समय अवधि है।

दिए गए 8 महीने के समय को वर्षों में बदलना: T = 8/12 = 2/3 वर्ष

सूत्र में दिए गए मानों (SI = 340 रुपये, R = 6%) को प्रतिस्थापित करना: 340 = (P × 6 × (2/3)) / 100 340 = (P × 4) / 100 340 = P / 25 P = 340 × 25 P = 8500

व्याख्या

मान लीजिए तार का क्रय मूल्य (CP) ₹100 है।

चूंकि व्यापारी क्रय मूल्य पर 60% लाभ कमाता है, इसलिए लाभ ₹60 है।

विक्रय मूल्य (SP) है: SP = CP + लाभ = 100 + 60 = ₹160

विक्रय मूल्य पर लाभ प्रतिशत की गणना इस प्रकार की जाती है: SP पर लाभ प्रतिशत = (लाभ / SP) × 100

मान रखने पर: SP पर लाभ प्रतिशत = (60 / 160) × 100 = (3 / 8) × 100 = 37.5%

व्याख्या

छूट = अंकित मूल्य - विक्रय मूल्य छूट = 520 - 384.8 = 135.2

छूट प्रतिशत = (छूट / अंकित मूल्य) × 100 छूट प्रतिशत = (135.2 / 520) × 100 = 26%

व्याख्या

व्यंजक से 5 को गुणनखंडित करने पर, हमें प्राप्त होता है: 5 × [1/(√2 + 1) + 1/(√3 + √2) + 1/(√4 + √3) + ... + 1/(√121 + √120)]

हम प्रत्येक पद को उसके संयुग्मी से अंश और हर को गुणा करके परिमेय बना सकते हैं: 1/(√(n+1) + √n) = (√(n+1) - √n) / ((√(n+1) + √n)(√(n+1) - √n)) = √(n+1) - √n

इस परिमेयकरण को कोष्ठक के अंदर प्रत्येक व्यक्तिगत पद पर लागू करने पर: 1/(√2 + 1) = √2 - 1 1/(√3 + √2) = √3 - √2 1/(√4 + √3) = √4 - √3 ... 1/(√121 + √120) = √121 - √120

इन परिमेयकृत मानों को व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर एक टेलीस्कोपिक योग प्राप्त होता है जहाँ मध्यवर्ती पद एक दूसरे को रद्द कर देते हैं: 5 × [(√2 - 1) + (√3 - √2) + (√4 - √3) + ... + (√121 - √120)] 5 × (√121 - 1)

चूंकि √121 = 11 है, गणना सरल हो जाती है: 5 × (11 - 1) = 5 × 10 = 50

व्याख्या

जब दो व्यक्ति किसी कार्य को पूरा करने के लिए समान अवधि के लिए एक साथ काम करते हैं, तो उनकी मजदूरी उनकी दक्षता के अनुपात में वितरित की जाती है, जो व्यक्तिगत रूप से कार्य पूरा करने में लगने वाले समय के विपरीत अनुपात है।

राम और श्याम द्वारा लिए गए समय का अनुपात = 5 : 9

इसलिए, उनकी दक्षता और मजदूरी वितरण का अनुपात 9 : 5 है।

अनुपात में कुल भाग = 9 + 5 = 14 भाग

कुल मजदूरी राशि = ₹ 5600

1 भाग का मान = 5600 / 14 = ₹ 400

अनुपात भागों में उनके हिस्सों के बीच का अंतर 9 - 5 = 4 भाग है।

प्राप्त राशि में अंतर = 4 × 400 = ₹ 1600

व्याख्या

यात्रा में लगने वाला समय निम्न संबंध द्वारा दिया जाता है: समय = दूरी ÷ गति

मान लीजिए एक तरफ की दूरी d किमी है। ट्रेन से यह दूरी तय करने में लगने वाला समय d/40 घंटे है, और वही दूरी पैदल चलकर वापस आने में लगने वाला समय d/8 घंटे है।

चूंकि पूरी यात्रा में कुल 12 घंटे लगे, हम समीकरण लिख सकते हैं: d/40 + d/8 = 12

d के लिए हल करने के लिए, 40 का सामान्य भाजक लें: (d + 5d) / 40 = 12 6d / 40 = 12 6d = 480 d = 80

व्याख्या

भुजा की लंबाई 'a' वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा दिया जाता है:

क्षेत्रफल = (√3/4) × a²

इस सूत्र में दी गई भुजा की लंबाई 8 सेमी रखने पर:

क्षेत्रफल = (√3/4) × 8² क्षेत्रफल = (√3/4) × 64 क्षेत्रफल = 16√3

व्याख्या

एक वृत्त का क्षेत्रफल सूत्र A = πr² द्वारा दिया जाता है, जहाँ r वृत्त की त्रिज्या है।

दिए गए क्षेत्रफल को प्रतिस्थापित करने पर: πr² = 346.5 (22/7) × r² = 346.5 r² = (346.5 × 7) / 22 r² = 110.25 r = √110.25 = 10.5 सेमी

वृत्त की परिधि सूत्र C = 2πr द्वारा दी जाती है।

त्रिज्या का मान प्रतिस्थापित करने पर: C = 2 × (22/7) × 10.5 C = 2 × 22 × 1.5 C = 66 सेमी

व्याख्या

a भुजा वाले घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6 × a²

दिया गया है कि भुजा की लंबाई a = 7.5 सेमी:

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6 × (7.5)²

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6 × 56.25

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 337.5 सेमी²

व्याख्या

हम जानते हैं कि tan 45° का मानक त्रिकोणमितीय मान 1 होता है।

इस मान को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: tan 45° + 1 / √2 = 1 + 1 / √2

√2 के सामान्य भाजक को लेकर, हम पदों को संयोजित कर सकते हैं: 1 + 1 / √2 = (√2 + 1) / √2

यह (√2 + 1) / √2 तक सरल हो जाता है।

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज PQR में जहाँ कोण Q = 90°, भुजाएँ पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करती हैं।

दिया गया है cosec P = PR / QR = 17 / 15, जहाँ PR कर्ण है और QR कोण P की सम्मुख भुजा है।

पाइथागोरस संबंध PQ² + QR² = PR² का उपयोग करके: PQ = √(PR² - QR²) PQ = √(17² - 15²) = √(289 - 225) = √64 = 8

कोण R के लिए, सम्मुख भुजा PQ है और कर्ण PR है। कोण R का साइन इस प्रकार दिया जाता है: sin R = PQ / PR = 8 / 17

व्याख्या

69120 का अभाज्य गुणनखंडन है: 69120 = 2⁹ × 3³ × 5¹

किसी संख्या के पूर्ण घन होने के लिए, उसके अभाज्य गुणनखंडन में प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड का घातांक 3 का गुणज होना चाहिए।

2 का घातांक 9 है, जो 3 का गुणज है। 3 का घातांक 3 है, जो 3 का गुणज है। 5 का घातांक 1 है, जो 3 का गुणज नहीं है। 1 से बड़ा 3 का निकटतम गुणज 3 है।

5 के घातांक को 3 का गुणज बनाने के लिए, संख्या को 5² से गुणा किया जाना चाहिए: 5² = 25

69120 को 25 से गुणा करने पर 1728000 प्राप्त होता है, जो 120 का घन (120³) है।

व्याख्या

मान लीजिए कि यात्रा के दिनों की मूल संख्या 'd' है। चूँकि यात्रा के लिए कुल बजट 360 रुपये है, इसलिए मूल दैनिक व्यय 360/d है।

यदि यात्रा 4 दिनों के लिए बढ़ाई जाती है, तो नई अवधि d + 4 दिन हो जाती है, जिससे नया दैनिक व्यय 360/(d + 4) हो जाता है।

दैनिक व्यय में अंतर 3 रुपये है, जो समीकरण देता है: 360/d - 360/(d + 4) = 3

समीकरण के दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करने पर: 120/d - 120/(d + 4) = 1

सामान्य हर लेने और सरलीकरण करने पर: 120 × (d + 4 - d) / (d(d + 4)) = 1 480 / (d(d + 4)) = 1 d(d + 4) = 480 d² + 4d - 480 = 0

द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: d² + 24d - 20d - 480 = 0 d(d + 24) - 20(d + 24) = 0 (d + 24)(d - 20) = 0

चूँकि दिनों की संख्या एक धनात्मक मान होनी चाहिए, इसलिए हमें d = 20 मिलता है।

व्याख्या

घनों के योग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका है: r³ + s³ = (r + s)³ - 3rs(r + s)

दिए गए मानों r³ + s³ = 0 और r + s = 6 को प्रतिस्थापित करने पर: 0 = 6³ - 3rs(6) 0 = 216 - 18rs 18rs = 216 rs = 12

मूल्यांकन किया जाने वाला व्यंजक है: 1/r + 1/s = (r + s) / rs

r + s = 6 और rs = 12 के मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 1/r + 1/s = 6 / 12 = 0.5

व्याख्या

रैखिक समीकरण 59x + 14y - 112 = 0 का y-अवरोधन ज्ञात करने के लिए, समीकरण में x = 0 प्रतिस्थापित करें:

59(0) + 14y - 112 = 0

14y = 112

y = 112 / 14

y = 8

यह y-अवरोधन 8 देता है।

व्याख्या

जब दो वृत्त बाह्यतः स्पर्श करते हैं, तो उनके केन्द्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग के बराबर होती है:

d = r₁ + r₂

यहाँ, केन्द्रों के बीच की दूरी d 12 सेमी है और एक वृत्त की त्रिज्या r₁ 7 सेमी है। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

12 = 7 + r₂ r₂ = 5 सेमी

दूसरे वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी है। इसलिए, इसका व्यास है:

व्यास = 2 × r₂ व्यास = 2 × 5 = 10 सेमी

व्याख्या

9 सेमी, 12 सेमी और 15 सेमी भुजाओं वाले त्रिभुज के लिए, हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके सत्यापित कर सकते हैं कि क्या यह एक समकोण त्रिभुज है:

9² + 12² = 81 + 144 = 225 15² = 225

चूंकि 9² + 12² = 15², दिया गया त्रिभुज 15 सेमी के कर्ण के साथ एक समकोण त्रिभुज है।

किसी भी समकोण त्रिभुज के लिए, परिकेन्द्र (परिधि का केंद्र) कर्ण के मध्य बिंदु पर स्थित होता है। परिणामस्वरूप, परित्रिज्या (R) कर्ण की लंबाई की आधी होती है:

R = कर्ण / 2 = 15 / 2 = 7.5 सेमी

व्याख्या

X, Y से कितना प्रतिशत कम है, यह ज्ञात करने के लिए, प्रतिशत कमी सूत्र का प्रयोग करें:

प्रतिशत कमी = ((Y - X) / Y) × 100

दिए गए मान X = 600 और Y = 800 को सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

प्रतिशत कमी = ((800 - 600) / 800) × 100 = (200 / 800) × 100 = ¼ × 100 = 25%

व्याख्या

माना तीन संख्याएँ 2x, 3x और 5x हैं।

इन तीनों संख्याओं का योग है: 2x + 3x + 5x = 10x

चूंकि तीनों संख्याओं का योग 275 दिया गया है, हम लिख सकते हैं: 10x = 275 x = 27.5

तीनों संख्याओं में सबसे बड़ी संख्या सबसे बड़े अनुपात घटक, जो कि 5x है, द्वारा दर्शायी जाती है। x का मान रखने पर: 5 × 27.5 = 137.5

व्याख्या

किसी भी साझेदारी व्यवसाय में, भागीदारों के बीच साझा किया गया लाभ उनके द्वारा निवेशित पूँजी और निवेश की अवधि के गुणनफल के सीधे आनुपातिक होता है। संबंध इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

लाभ = पूँजी × अवधि

अवधि ज्ञात करने के लिए इसे पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है:

अवधि = लाभ / पूँजी

मान लीजिए S, T और U की पूँजी का अनुपात C_S : C_T : C_U = 3 : 4 : 6 है, और उनके लाभ का हिस्सा P_S : P_T : P_U = 1 : 2 : 3 के अनुपात में है।

उनके निवेश की अवधि का अनुपात T_S : T_T : T_U है:

T_S : T_T : T_U = (P_S / C_S) : (P_T / C_T) : (P_U / C_U)

दिए गए अनुपातों को प्रतिस्थापित करने पर:

T_S : T_T : T_U = (1/3) : (2/4) : (3/6)

भिन्नों को सरल बनाने पर:

T_S : T_T : T_U = (1/3) : (1/2) : (1/2)

इसे पूर्णांक अनुपात में बदलने के लिए, प्रत्येक पद को हर 3 और 2 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से गुणा करें, जो कि 6 है:

T_S : T_T : T_U = (1/3 × 6) : (1/2 × 6) : (1/2 × 6) = 2 : 3 : 3