एसएससी सीजीएल टियर 1 2015 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

एक ही उभयनिष्ठ शीर्ष वाले और एक ही सीधी रेखा पर स्थित आधार वाले त्रिभुजों के क्षेत्रफल उनके आधारों की लंबाई के समानुपाती होते हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि वे उभयनिष्ठ शीर्ष से आधारों वाली रेखा पर डाले गए एक ही शीर्षलंब h को साझा करते हैं। Δ ABC में, Δ ABD और Δ ADC शीर्ष A साझा करते हैं और उनके आधार BD और DC रेखा BC पर स्थित हैं।

उनके क्षेत्रफलों का अनुपात है:

(क्षेत्रफल(Δ ABD))/(क्षेत्रफल(Δ ADC)) = (1)/(2) × BD × h / {½ × DC × h} = (BD)/(DC)

दिया गया है BD : DC = 4 : 5 और क्षेत्रफल(Δ ABD) = 60 सेमी², हम इन्हें इस संबंध में प्रतिस्थापित करते हैं:

(60)/(क्षेत्रफल(Δ ADC)) = 4/5

क्षेत्रफल(Δ ADC) = (60 × 5)/(4) = 15 × 5 = 75 सेमी²

व्याख्या

वृत्त की त्रिज्या हमेशा स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है। यह ज्यामितीय गुण एक समकोण त्रिभुज बनाता है जहाँ त्रिज्या r = 6 सेमी और स्पर्श रेखा की लंबाई L दो भुजाएँ हैं, और केंद्र से बाहरी बिंदु की दूरी d = 10 सेमी कर्ण है।

पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर: r² + L² = d² 6² + L² = 10² 36 + L² = 100 L² = 100 - 36 L² = 64 L = √(64) = 8 सेमी

वैकल्पिक रूप से, यह मानक पाइथागोराई त्रिक (6, 8, 10) का अनुसरण करता है, जो मूल त्रिक (3, 4, 5) का एक गुणज है। चूँकि दो भुजाएँ 6 और 10 हैं, इसलिए तीसरी भुजा 8 होनी चाहिए।

व्याख्या

जहाज की गति एक समकोण त्रिभुज बनाती है जहाँ दक्षिण की ओर 12 किमी की यात्रा और पूर्व की ओर 5 किमी की यात्रा दो भुजाओं (लंब और आधार) के रूप में कार्य करती है। प्रारंभिक बिंदु से सीधी दूरी इस त्रिभुज के कर्ण को दर्शाती है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।

मान लीजिए कि सीधी दूरी d है: d² = 12² + 5² d² = 144 + 25 d² = 169 d = √(169) = 13 किमी

यह गणना पाइथागोरियन त्रिक (5, 12, 13) पर आधारित है, जो एक समकोण त्रिभुज का वर्णन करता है जहाँ भुजाएँ 5:12:13 के अनुपात में होती हैं। इसलिए, प्रारंभिक बिंदु से सीधी दूरी 13 किमी है।

व्याख्या

भुजाओं का अनुपात 3:4:5 यह दर्शाता है कि त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है क्योंकि यह पाइथागोरस प्रमेय 3² + 4² = 5² को संतुष्ट करता है। माना त्रिभुज की भुजाएँ 3x, 4x और 5x हैं, जहाँ 3x और 4x आधार और ऊँचाई हैं।

एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई का उपयोग करके निकाला जाता है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: ½ × 3x × 4x = 7776 6x² = 7776 x² = ⁷⁷⁷⁶⁄₆ = 1296 x = √(1296) = 36

त्रिभुज का परिमाप उसकी सभी भुजाओं का योग होता है: परिमाप = 3x + 4x + 5x = 12x x का मान प्रतिस्थापित करने पर: परिमाप = 12 × 36 = 432 सेमी।

व्याख्या

त्रिज्या r वाले एक वृत्त के केंद्र पर θ कोण अंतरित करने वाली जीवा की लंबाई सूत्र L = 2r sin(θ/2) द्वारा दी जाती है।

केंद्र पर 60° का कोण बनाने वाली a इकाई लंबाई की पहली जीवा के लिए, हमारे पास a = 2r sin(60°/2) = 2r sin 30° है। चूंकि sin 30° = 1/2 है, इसलिए a = 2r × (1/2) = r प्राप्त होता है।

केंद्र पर 90° का कोण बनाने वाली b इकाई लंबाई की दूसरी जीवा के लिए, संबंध b = 2r sin(90°/2) = 2r sin 45° है। चूंकि sin 45° = 1/√2 है, हमें b = 2r × (1/√2) = √2r प्राप्त होता है। पहले संबंध से r = a का मान दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें संबंध b = √2a प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक समांतर चतुर्भुज PQRS में, आसन्न कोण संपूरक होते हैं, जिसका अर्थ है कि उनका योग 180° होता है। दिया गया है कि ∠ P = 4∠ Q, हम समीकरण ∠ P + ∠ Q = 180° को 4∠ Q + ∠ Q = 180° के रूप में लिख सकते हैं। यह सरल होकर 5∠ Q = 180° हो जाता है, जिससे ∠ Q = 36° प्राप्त होता है। किसी भी समांतर चतुर्भुज में, सम्मुख कोण बराबर होते हैं, इसलिए ∠ R = ∠ P। प्रारंभिक संबंध में ∠ Q का मान रखने पर, हमें ∠ R = ∠ P = 4 × 36° = 144° प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि चार संख्याएँ x₁, x₂, x₃, और x₄ हैं। प्रश्न के अनुसार उनका योग 48 है, और निर्दिष्ट परिवर्तनों के बाद, वे सभी एक ही अचर मान k के बराबर हो जाती हैं। हम इन संबंधों को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं: x₁ + 5 = k, x₂ + 1 = k, x₃ - 3 = k, और x₄ - 7 = k। k के पदों में प्रत्येक चर का मान निकालने पर हमें प्राप्त होता है: x₁ = k - 5, x₂ = k - 1, x₃ = k + 3, और x₄ = k + 7।

इन मूल संख्याओं का योग x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 48 है। इस समीकरण में k से संबंधित व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: (k - 5) + (k - 1) + (k + 3) + (k + 7) = 48। पदों को मिलाने पर 4k + 4 = 48 प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर 4k = 44 प्राप्त होता है, जिससे k = 11 मान मिलता है।

k = 11 को अलग-अलग समीकरणों में वापस प्रतिस्थापित करने पर, हमें चारों संख्याओं के मान प्राप्त होते हैं: x₁ = 11 - 5 = 6 x₂ = 11 - 1 = 10 x₃ = 11 + 3 = 14 x₄ = 11 + 7 = 18

व्याख्या

वह न्यूनतम संख्या ज्ञात करने के लिए जिसे 2055 में जोड़ने पर यह 27 से पूर्णतः विभाज्य हो जाए, हम सबसे पहले शेषफल ज्ञात करने के लिए 2055 को 27 से विभाजित करते हैं।

2055 = 27 × 76 + 3

विभाजन करने पर, 2055 ÷ 27 से भागफल 76 और शेषफल 3 प्राप्त होता है। शेषफल यह दर्शाता है कि संख्या, 27 के पिछले गुणज से कितनी अधिक है। 27 के अगले गुणज तक पहुँचने के लिए, हमें भाजक और शेषफल के बीच का अंतर जोड़ना होगा।

जोड़ी जाने वाली आवश्यक संख्या = भाजक - शेषफल जोड़ी जाने वाली आवश्यक संख्या = 27 - 3 = 24

2055 में 24 जोड़ने पर, हमें 2079 प्राप्त होता है, जो 27 से पूर्णतः विभाज्य है (2079 = 27 × 77)।

व्याख्या

A और B की मिलकर कार्यक्षमता या दैनिक कार्य दर 1/6 है। यह दिया गया है कि A अकेला इस कार्य को 18 दिनों में पूरा कर सकता है, इसलिए A की दैनिक कार्य दर 1/18 है।

B की दैनिक कार्य दर, A और B की संयुक्त दर में से A की दर को घटाकर प्राप्त की जाती है: B की दर = 1/6 - 1/18 इन भिन्नों को घटाने के लिए, 18 को सामान्य हर (common denominator) के रूप में उपयोग करें: B की दर = 3/18 - 1/18 = 2/18 = 1/9

चूंकि B एक दिन में कार्य का 1/9 भाग पूरा करता है, इसलिए B को पूरा कार्य समाप्त करने के लिए आवश्यक कुल दिनों की संख्या इस दर का व्युत्क्रम (reciprocal) होगी: B के लिए दिन = 1 / (1/9) = 9 दिन।

वैकल्पिक रूप से, इसे कार्य के गुणनफल-अंतर सूत्र (product-difference formula) का उपयोग करके हल किया जा सकता है: समय_B = (समय_A × समय_A₊_B) / (समय_A - समय_A₊_B) समय_B = (18 × 6) / (18 - 6) समय_B = 108 / 12 = 9 दिन।

व्याख्या

पहला पाइप टैंक को 1/x इकाई प्रति घंटे की दर से भरता है, जबकि दूसरा पाइप टैंक को 1/y इकाई प्रति घंटे की दर से खाली करता है। जब दोनों पाइपों को एक साथ चलाया जाता है, तो टैंक के भरने की शुद्ध दर, भरने की दर और खाली करने की दर के बीच का अंतर होती है, जो कि 1/x - 1/y है। इस व्यंजक को सरल बनाने के लिए, हम xy को उभयनिष्ठ हर (common denominator) के रूप में उपयोग करते हैं, जिससे शुद्ध भरने की दर (y - x) / xy इकाई प्रति घंटा प्राप्त होती है। टैंक को भरने में लगा कुल समय इस शुद्ध भरने की दर का व्युत्क्रम (reciprocal) होता है, जो कि xy / (y - x) घंटे है। चूंकि y > x की स्थिति दी गई है, इसलिए भरने की दर खाली करने की दर से अधिक है, जिसके परिणामस्वरूप एक धनात्मक शुद्ध भरने की दर प्राप्त होती है जो टैंक को पूरा भरने में सक्षम बनाती है।

व्याख्या

खंभों के शीर्षों के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए, हम इस परिदृश्य को एक समकोण त्रिभुज के रूप में निरूपित कर सकते हैं। मान लीजिए कि दो खंभे AB और CD हैं जिनकी ऊंचाई क्रमशः h₁ = 7 मीटर और h₂ = 12 मीटर है। उनके निचले सिरों के बीच की क्षैतिज दूरी d = 12 मीटर है।

छोटे खंभे (A) के शीर्ष से बड़े खंभे (CD) तक एक क्षैतिज रेखा खींचकर, हम एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं जहाँ आधार निचले सिरों के बीच की दूरी (12 मीटर) के बराबर होता है और ऊंचाई दोनों खंभों की ऊंचाई का अंतर होती है।

इस त्रिभुज की ऊर्ध्वाधर ऊंचाई h₂ - h₁ = 12 - 7 = 5 मीटर है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, शीर्षों के बीच की दूरी (D) इस त्रिभुज का कर्ण है:

D = √(12² + 5²) D = √(144 + 25) D = √(169) D = 13 मीटर

यह परिणाम मानक पाइथागोरियन त्रिक (5, 12, 13) का अनुसरण करता है, जिससे शीर्षों के बीच की दूरी 13 मीटर हो जाती है।

व्याख्या

a sin Θ + b cos Θ के रूप वाले त्रिकोणमितीय व्यंजक के लिए, अधिकतम मान सूत्र √(a² + b²) द्वारा दिया जाता है। व्यंजक sin Θ + cos Θ में, गुणांक a = 1 और b = 1 हैं। सूत्र में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर √(1² + 1²) प्राप्त होता है, जो सरल होकर √2 हो जाता है। इस परिणाम को व्यंजक को √2 ((1)/(√(2)) sin Θ + (1)/(√(2)) cos Θ) के रूप में फिर से लिखकर भी प्राप्त किया जा सकता है, जो √2 sin(Θ + (π)/(4)) के समतुल्य है। चूंकि किसी भी ज्या (sine) फलन का अधिकतम मान 1 होता है, इसलिए √2 sin(Θ + (π)/(4)) का अधिकतम मान √2 × 1 = √2 है।

व्याख्या

व्यंजक का मान त्रिकोणमितीय सर्वसमिका tan θ · tan(90° - θ) = 1 का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है, जो इस तथ्य से प्राप्त होता है कि tan(90° - θ) = cot θ और tan θ · cot θ = 1।

दिए गए व्यंजक tan 4° tan 43° tan 47° tan 86° में, हम उन पदों के जोड़े बना सकते हैं जिनके कोणों का योग 90° है।

सबसे पहले, tan 4° और tan 86° के जोड़े पर विचार करें। चूंकि 86° = 90° - 4° है, इसलिए tan 86° = cot 4° होगा। अतः, tan 4° · tan 86° = tan 4° · cot 4° = 1।

इसके बाद, tan 43° और tan 47° के जोड़े पर विचार करें। चूंकि 47° = 90° - 43° है, इसलिए tan 47° = cot 43° होगा। अतः, tan 43° · tan 47° = tan 43° · cot 43° = 1।

इन परिणामों को आपस में गुणा करने पर 1 · 1 = 1 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि चतुर्थांश-वृत्त का केंद्र मूल बिंदु O(0,0) है और इसकी दो त्रिज्याएँ धनात्मक x और y अक्षों के अनुदिश हैं। मान लीजिए कि वर्ग के चार शीर्ष A, B, C और D हैं।

दो आसन्न शीर्ष A और B केंद्र से समान दूरी a पर त्रिज्याओं पर स्थित हैं। इस प्रकार, A = (a, 0) और B = (0, a) है। वर्ग की भुजा की लंबाई x है, जो A और B के बीच की दूरी के संगत है: x = √((a - 0)² + (0 - a)²) = √(2a²) = a√2 a = (x)/(√(2))

अन्य दो शीर्ष C और D वृत्ताकार चाप पर स्थित हैं। चूंकि वर्ग रेखा y = x के परितः सममित है, हम AB के लंबवत दिशा में B(0, a) से आगे बढ़कर C के निर्देशांक निर्धारित कर सकते हैं। सदिश AB = (a, -a) है, इसलिए चाप की ओर इंगित करने वाला लंबाई x का एक लंबवत सदिश (x/√2, x/√2) है। C के निर्देशांक हैं: C = (0, a) + ((x)/(√(2)), (x)/(√(2))) = ((x)/(√(2)), (x)/(√(2)) + (x)/(√(2))) = ((x)/(√(2)), √2x)

वृत्त की त्रिज्या R, मूल बिंदु O से चाप पर किसी भी बिंदु, जैसे कि शीर्ष C, की दूरी है: R² = ((x)/(√(2)))² + (√2x)² R² = (x²)/(2) + 2x² = (5x²)/(2) R = √((5x²)/(2)) = √5x / √2

व्याख्या

x% और y% की दो क्रमिक छूटों के लिए समतुल्य एकल छूट का सूत्र (x + y - ˣʸ⁄₁₀₀)% द्वारा दिया जाता है। इसे दिए गए मानों पर लागू करने पर, जहाँ x = 10 और y = 20 है:

प्रभावी छूट = (10 + 20 - (10 × 20)/(100))% प्रभावी छूट = (30 - ²⁰⁰⁄₁₀₀)% प्रभावी छूट = (30 - 2)% प्रभावी छूट = 28%

इसे प्रारंभिक मान 100 मानकर भी ज्ञात किया जा सकता है। 10% की छूट मान को घटाकर 90 (100 - 10) कर देती है। फिर, शेष 90 पर 20% की छूट इसे 18 (90 × 0.20) कम कर देती है, जिससे अंतिम मान 72 हो जाता है। मूल 100 से कुल कमी 100 - 72 = 28 है, जो कि 28% की छूट के समतुल्य है।

व्याख्या

घड़ी का अंकित मूल्य (MP) 720 रुपये है। पहली छूट 10% है। पहली छूट के बाद मूल्य की गणना इस प्रकार की जाती है: मूल्य₁ = 720 - (720 का 10%) = 720 - 72 = 648

अंतिम विक्रय मूल्य (SP) 550.80 रुपये है। दूसरी छूट 648 रुपये के मध्यवर्ती मूल्य पर दी जाती है। दूसरी छूट की राशि इस मध्यवर्ती मूल्य और अंतिम मूल्य के बीच का अंतर है: छूट की राशि = 648 - 550.80 = 97.20

दूसरी छूट की दर की गणना छूट की राशि को उस मूल्य से विभाजित करके की जाती है जिस पर इसे लागू किया गया था: दूसरी छूट की दर = (97.20)/(648) × 100 दूसरी छूट की दर = ⁹⁷²⁰⁄₆₄₈ = 15%

व्याख्या

जब दो नल एक ही कार्य (इस मामले में, एक टैंक को खाली करना) को करने के लिए एक साथ काम करते हैं, तो उनके संयुक्त समय T की गणना सूत्र T = (x × y)/(x + y) का उपयोग करके की जा सकती है, जहाँ x और y प्रत्येक नल द्वारा लिया गया व्यक्तिगत समय है।

यह देखते हुए कि पहला नल टैंक को x = 30 मिनट में खाली करता है और दूसरा नल इसे y = 45 मिनट में खाली करता है, इन मानों को सूत्र में रखने पर प्राप्त होता है:

T = (30 × 45)/(30 + 45)

T = ¹³⁵⁰⁄₇₅

T = 18 मिनट

वैकल्पिक रूप से, कार्यक्षमता विधि का उपयोग करते हुए, मान लें कि टैंक की कुल क्षमता 30 और 45 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 90 इकाई है। पहले नल की कार्यक्षमता 90 / 30 = 3 इकाई प्रति मिनट है, और दूसरे नल की कार्यक्षमता 90 / 45 = 2 इकाई प्रति मिनट है। उनकी संयुक्त कार्यक्षमता 3 + 2 = 5 इकाई प्रति मिनट है। दोनों नलों द्वारा मिलकर 90-इकाई वाले टैंक को खाली करने में लगने वाला समय 90 / 5 = 18 मिनट है।

व्याख्या

एक घन के वर्गाकार फलक का परिमाप सूत्र P = 4a द्वारा दिया जाता है, जहाँ a एक भुजा की लंबाई को दर्शाता है। यह देखते हुए कि परिमाप 20 सेमी है, हम 4a = 20 को हल करके भुजा की लंबाई ज्ञात करते हैं, जिससे a = 5 सेमी प्राप्त होता है। एक घन के आयतन V की गणना सूत्र V = a³ का उपयोग करके की जाती है। इस समीकरण में भुजा की लंबाई का मान रखने पर, हमें V = 5³ = 125 सेमी³ प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक वृत्त का क्षेत्रफल सूत्र A = π r² द्वारा दिया जाता है और परिधि C = 2π r द्वारा दी जाती है। परिधि C को त्रिज्या r से गुणा करने पर, हमें rC = r(2π r) = 2π r² प्राप्त होता है। चूँकि A = π r² है, इसलिए 2A = 2π r² होगा। इन दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है कि rC = 2A।

व्याख्या

जब किसी समूह में एक व्यक्ति को दूसरे व्यक्ति से प्रतिस्थापित किया जाता है, तो समूह के कुल वजन में परिवर्तन, सदस्यों की संख्या और औसत वजन में परिवर्तन के गुणनफल के बराबर होता है। इस स्थिति में, 15 नाविकों का कुल वजन बढ़ जाता है क्योंकि औसत वजन में वृद्धि होती है। वजन में कुल वृद्धि की गणना 15 × 1.6 = 24 किग्रा के रूप में की जाती है। यह वृद्धि इसलिए होती है क्योंकि नए व्यक्ति का वजन उसके द्वारा प्रतिस्थापित किए गए व्यक्ति के वजन से अधिक है। संबंध Wₙₑ_w = Wₒₗ_d + (n × Δ Average) का उपयोग करते हुए, जहाँ Wₒₗ_d = 42 किग्रा, n = 15, और Δ Average = 1.6 किग्रा है, नए व्यक्ति का वजन 42 + 24 = 66 किग्रा है।

व्याख्या

संख्याओं के एक समूह के समांतर माध्य को उन संख्याओं के योग को उन संख्याओं की कुल संख्या से विभाजित करने के रूप में परिभाषित किया जाता है। प्रथम n प्राकृतिक संख्याएँ एक समांतर श्रेणी बनाती हैं: 1, 2, 3, ..., n। प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के योग की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

S = (n(n + 1))/(2)

इस अनुक्रम में पदों की संख्या n है। इसलिए, समांतर माध्य योग को n से विभाजित करके निर्धारित किया जाता है:

समांतर माध्य = (n(n + 1))/(2){n}

व्यंजक को सरल बनाकर और अंश तथा हर से उभयनिष्ठ गुणनखंड n को निरस्त करने पर, सूत्र इस प्रकार हो जाता है:

समांतर माध्य = (n + 1)/(2)

यह परिणाम दर्शाता है कि प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के किसी भी अनुक्रम के लिए, माध्य हमेशा पहले और अंतिम पदों का औसत होता है।

व्याख्या

चावल का कुल क्रय मूल्य (CP) दोनों अलग-अलग प्रकारों के मूल्यों का योग है। पहले प्रकार के लिए, मूल्य 30 किलोग्राम × 70 रुपये/किलोग्राम = 2100 रुपये है। दूसरे प्रकार के लिए, मूल्य 20 किलोग्राम × 70.75 रुपये/किलोग्राम = 1415 रुपये है। इसलिए, कुल क्रय मूल्य (CP) = 2100 + 1415 = 3515 रुपये है।

मिश्रण की कुल मात्रा 30 किलोग्राम + 20 किलोग्राम = 50 किलोग्राम है। कुल विक्रय मूल्य (SP) इस कुल मात्रा को विक्रय दर से गुणा करके निर्धारित किया जाता है: 50 किलोग्राम × 80.50 रुपये/किलोग्राम = 4025 रुपये। दुकानदार का कुल लाभ कुल विक्रय मूल्य (SP) और कुल क्रय मूल्य (CP) के बीच का अंतर है, जो कि 4025 - 3515 = 510 रुपये है।

व्याख्या

क्रमिक छूट के बाद अंकित मूल्य (MP) और विक्रय मूल्य (SP) के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया गया है: SP = MP × (1 - (d₁)/(100)) × (1 - (d₂)/(100))

दिए गए मानों SP = 3060, d₁ = 20%, और d₂ = 15% को सूत्र में रखने पर:

3060 = MP × (1 - ²⁰⁄₁₀₀) × (1 - ¹⁵⁄₁₀₀)

3060 = MP × ⁸⁰⁄₁₀₀ × ⁸⁵⁄₁₀₀

3060 = MP × ⅘ × ¹⁷⁄₂₀

3060 = MP × ⁶⁸⁄₁₀₀

MP = (3060 × 100)/(68)

3060 को 68 से विभाजित करने पर, हमें 45 प्राप्त होता है। इसलिए:

MP = 45 × 100 = 4500

व्याख्या

मान लीजिए कि A और B की वर्तमान आयु क्रमशः 5x और 7x है, जो उनके वर्तमान अनुपात 5:7 के अनुसार है। अठारह वर्ष पहले, उनकी आयु क्रमशः 5x - 18 और 7x - 18 थी। प्रश्न के अनुसार, उस समय का अनुपात 8:13 था, जिससे निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है:

(5x - 18)/(7x - 18) = 8/13

x का मान ज्ञात करने के लिए तिर्यक गुणन (cross-multiplication) करने पर:

13(5x - 18) = 8(7x - 18)

65x - 234 = 56x - 144

x वाले पदों को एक तरफ और अचर (constants) पदों को दूसरी तरफ व्यवस्थित करने पर:

65x - 56x = 234 - 144

9x = 90

x = 10

चूंकि A की वर्तमान आयु को 5x द्वारा दर्शाया गया है, इसलिए x का मान रखने पर:

A की वर्तमान आयु = 5 × 10 = 50 वर्ष।

व्याख्या

729 मिलीलीटर के प्रारंभिक मिश्रण में, अनुपात 7:2 के लिए कुल भाग 7 + 2 = 9 इकाई हैं। एक इकाई का मान 729 / 9 = 81 मिलीलीटर के रूप में परिकलित किया जाता है। पानी मिलाने के बाद दूध और पानी का अनुपात 7:2 से बदलकर 7:3 हो जाता है। चूंकि दूध की मात्रा स्थिर रहती है और प्रारंभिक तथा अंतिम दोनों अनुपातों में 7 इकाइयों के अनुरूप है, इसलिए मिश्रण में बदलाव पूरी तरह से पानी की वृद्धि के कारण है। पानी का घटक 2 इकाइयों से बढ़कर 3 इकाइयाँ हो जाता है, जो कि 3 - 2 = 1 इकाई की वृद्धि है। यह देखते हुए कि 1 इकाई 81 मिलीलीटर के बराबर है, मिश्रण में मिलाए गए पानी की मात्रा 81 मिलीलीटर है।

व्याख्या

साधारण ब्याज के तहत किसी धनराशि को स्वयं का दोगुना होने के लिए, अर्जित ब्याज मूलधन के बराबर होना चाहिए। माना मूलधन P है। तब साधारण ब्याज (SI) भी P होगा। ब्याज की दर R = 6 ¼% = ²⁵⁄₄% वार्षिक है।

साधारण ब्याज के सूत्र SI = (P × R × T)/(100) का उपयोग करके, हम समय T को निम्नानुसार प्राप्त कर सकते हैं: T = (100 × SI)/(P × R)

ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: T = (100 × P)/(P × 25){4} T = (100)/(25){4} T = (100 × 4)/(25) T = 4 × 4 = 16 वर्ष

दोगुना होने के समय के लिए शॉर्टकट T = (100)/(R) का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है: T = (100)/(6.25) = 16 वर्ष

व्याख्या

निर्देशांक अक्षों के बीच अंतःखंडित रेखा 3x + 4y = 12 के भाग की लंबाई ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले x-अंतःखंड और y-अंतःखंड निर्धारित करते हैं। y = 0 रखने पर x-अंतःखंड प्राप्त होता है, जिससे 3x = 12 मिलता है, इसलिए x = 4 है। x = 0 रखने पर y-अंतःखंड प्राप्त होता है, जिससे 4y = 12 मिलता है, इसलिए y = 3 है।

रेखा x-अक्ष को बिंदु A(4, 0) पर और y-अक्ष को बिंदु B(0, 3) पर प्रतिच्छेद करती है। अक्षों के बीच अंतःखंडित खंड, मूल बिंदु O(0, 0) और इन दोनों बिंदुओं द्वारा बनने वाले समकोण त्रिभुज का कर्ण है। इस खंड की लंबाई L की गणना दूरी सूत्र L = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²), या केवल पाइथागोरस प्रमेय द्वारा की जाती है क्योंकि अक्ष परस्पर लंबवत होते हैं। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें L = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √(25) = 5 प्राप्त होता है।

व्याख्या

इस व्यंजक का मान वर्गमूलों के संयुग्मी गुणधर्म का उपयोग करके प्रत्येक व्यक्तिगत पद का परिमेयकरण करके ज्ञात किया जाता है। (1)/(√(a) - b) के रूप के किसी भी भिन्न के लिए, अंश और हर दोनों को संयुग्मी √a + √b से गुणा करने पर √a + √b{a - b} प्राप्त होता है।

इस श्रृंखला में, प्रत्येक हर में संख्याओं के वर्गों के बीच का अंतर 1 है (3² - 8 = 1, 8 - 7 = 1, 7 - 6 = 1, 6 - 5 = 1, और 5 - 2² = 1)। इस प्रकार, प्रत्येक पद का परिमेयकृत रूप निम्नानुसार सरल हो जाता है:

(1)/(3 - √(8)) = 3 + √8 (1)/(√(8) - 7) = √8 + √7 (1)/(√(7) - 6) = √7 + √6 (1)/(√(6) - 5) = √6 + √5 (1)/(√(5) - 2) = √5 + 2

इन परिमेयकृत मानों को वापस एकांतर श्रृंखला में प्रतिस्थापित करने पर: (3 + √8) - (√8 + √7) + (√7 + √6) - (√6 + √5) + (√5 + 2)

व्यंजक का विस्तार करने और कोष्ठक हटाने पर, मध्यवर्ती वर्गमूल पद एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं: 3 + √8 - √8 - √7 + √7 + √6 - √6 - √5 + √5 + 2

यह सरल होकर 3 + 2 हो जाता है, जो 5 के बराबर है।

व्याख्या

जनसंख्या वृद्धि चक्रवृद्धि ब्याज के सूत्र P = P₀(1 + ʳ⁄₁₀₀)ⁿ का अनुसरण करती है, जहाँ P वर्तमान जनसंख्या है, P₀ n वर्ष पूर्व की जनसंख्या है, और r वार्षिक वृद्धि दर है।

दिया गया है: P = 9261, r = 5, और n = 3, इन मानों को सूत्र में रखने पर:

9261 = P₀(1 + ⁵⁄₁₀₀)³

कोष्ठक के भीतर के भिन्न को सरल करने पर, हमें 1 + ¹⁄₂₀ = ²¹⁄₂₀ प्राप्त होता है।

9261 = P₀(²¹⁄₂₀)³

9261 = P₀ × ⁹²⁶¹⁄₈₀₀₀

P₀ का मान ज्ञात करने के लिए, हम दोनों पक्षों को व्युत्क्रम (reciprocal) से गुणा करते हैं:

P₀ = 9261 × ⁸⁰⁰⁰⁄₉₂₆₁

P₀ = 8000

व्याख्या

माना पैदल यात्रा करने में लगा समय t घंटे है। चूंकि कुल समय 9 घंटे है, इसलिए साइकिल से यात्रा करने में लगा समय 9 - t है।

दूरी = गति × समय के संबंध का उपयोग करके, हम 61 किमी की कुल दूरी को इस प्रकार दर्शा सकते हैं: 4(t) + 9(9 - t) = 61 4t + 81 - 9t = 61 -5t = 61 - 81 -5t = -20 t = 4 घंटे

इसके बाद पैदल तय की गई दूरी को पैदल चलने की गति को पैदल चलने में लगे समय से गुणा करके निर्धारित किया जाता है: दूरी = 4 किमी/घंटा × 4 घंटे = 16 किमी

व्याख्या

तय की गई दूरी स्थिर है, इसलिए हम गति और समय के बीच व्युत्क्रमानुपाती संबंध का उपयोग करते हैं: s₁ × t₁ = s₂ × t₂। सबसे पहले, प्रारंभिक समय को घंटों में बदलें: 2 घंटे 45 मिनट = 2 + ⁴⁵⁄₆₀ = 2.75 घंटे।

दूरी d की गणना इस प्रकार की जाती है: d = 4 किमी/घंटा × 2.75 घंटे = 11 किमी

अब, 16.5 किमी/घंटा की दौड़ने की गति पर लगने वाला समय ज्ञात करें: t₂ = (11)/(16.5) घंटे

समय को मिनटों में बदलने के लिए, 60 से गुणा करें: t₂ = (11)/(16.5) × 60 = ¹¹⁰⁄₁₆₅ × 60 = ⅔ × 60 = 40 मिनट

व्याख्या

दिए गए व्यंजक के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका x³ + y³ + z³ - 3xyz = ½(x + y + z)[(x - y)² + (y - z)² + (z - x)²] है। इस प्रश्न में, मान x = 332, y = 332, और z = 332 दिए गए हैं। वर्गाकार कोष्ठक के भीतर अंतर की गणना करने पर, हम पाते हैं कि (x - y) = 332 - 332 = 0, (y - z) = 332 - 332 = 0, और (z - x) = 332 - 332 = 0। इन्हें सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर ½(332 + 332 + 332)[0² + 0² + 0²] प्राप्त होता है। चूंकि योग से गुणा किया जाने वाला पद शून्य है, इसलिए संपूर्ण व्यंजक का मान शून्य हो जाता है। यह बीजगणित में एक मानक परिणाम है जहाँ x³ + y³ + z³ - 3xyz व्यंजक का मान शून्य हो जाता है जब भी x = y = z हो।

व्याख्या

x का मान ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले समीकरण के दाईं ओर के हर का परिमेयकरण करें:

(1)/(2 + √(3)) = (1)/(2 + √(3)) × 2 - √3{2 - √3}

हर में बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)(a - b) = a² - b² का उपयोग करने पर:

2 - √3{2² - (√3)²} = 2 - √3{4 - 3} = 2 - √3

अब, इस परिणाम को वापस मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

2 + x√3 = 2 - √3

समीकरण के दोनों पक्षों से 2 घटाने पर, हमें प्राप्त होता है:

x√3 = -√3

दोनों पक्षों को √3 से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:

x = -1

व्याख्या

माना कि अभीष्ट कोण x है। कोण x का पूरक कोण (90° - x) के रूप में परिभाषित किया जाता है, और इसका संपूरक कोण (180° - x) के रूप में परिभाषित किया जाता है। दी गई शर्त के आधार पर कि संपूरक कोण, पूरक कोण का तीन गुना है, इस संबंध को निम्नलिखित समीकरण द्वारा व्यक्त किया जाता है:

180° - x = 3(90° - x)

x के लिए हल करने पर: 180° - x = 270° - 3x 3x - x = 270° - 180° 2x = 90° x = 45°

45° के कोण के लिए, पूरक कोण 45° है और संपूरक कोण 135° है। चूंकि 135°, 45° का तीन गुना है, इसलिए कोण के मान की पुष्टि होती है।

व्याख्या

व्यंजक m³ - 3m² + 3m + 3n + 3n² + n³ को द्विपद के घन के लिए बीजीय सर्वसमिकाओं को पहचानकर सरल किया जा सकता है। (a + b)³ का प्रसार a³ + 3a²b + 3ab² + b³ है और (a - b)³ का प्रसार a³ - 3a²b + 3ab² - b³ है।

m और n से संबंधित पदों को समूहीकृत करके, हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं: (m³ - 3m² + 3m) + (n³ + 3n² + 3n)

घनों को पूर्ण करने के लिए, हम प्रत्येक समूह में 1 जोड़ते और घटाते हैं: (m³ - 3m² + 3m - 1 + 1) + (n³ + 3n² + 3n + 1 - 1) = (m - 1)³ + 1 + (n + 1)³ - 1 = (m - 1)³ + (n + 1)³

इस सरलीकृत रूप में दिए गए मानों m = -4 और n = -2 को प्रतिस्थापित करने पर: = (-4 - 1)³ + (-2 + 1)³ = (-5)³ + (-1)³ = -125 - 1 = -126

वैकल्पिक रूप से, सीधे मान प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: (-4)³ - 3(-4)² + 3(-4) + 3(-2) + 3(-2)² + (-2)³ = -64 - 3(16) - 12 - 6 + 3(4) - 8 = -64 - 48 - 12 - 6 + 12 - 8 = -126

व्याख्या

रैखिक समीकरण निकाय a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0 का कोई हल न होने के लिए, रेखाएँ समानांतर और भिन्न होनी चाहिए। ऐसा तब होता है जब गुणांक इस शर्त को संतुष्ट करते हैं: (a₁)/(a₂) = (b₁)/(b₂) ≠ (c₁)/(c₂)।

दिए गए समीकरणों 2x - ky + 7 = 0 और 6x - 12y + 15 = 0 में, गुणांक a₁ = 2, b₁ = -k, c₁ = 7, a₂ = 6, b₂ = -12, और c₂ = 15 हैं। x और y के गुणांकों के अनुपात में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

²⁄₆ = ⁻ᵏ⁄₋₁₂

भिन्नों को सरल करने पर प्राप्त होता है:

⅓ = ᵏ⁄₁₂

वज्र-गुणन (cross-multiplication) द्वारा k का मान ज्ञात करने पर:

3k = 12 k = 4

तीसरा अनुपात (c₁)/(c₂) = ⁷⁄₁₅, ⅓ के बराबर नहीं है, जो कोई हल न होने की शर्त को संतुष्ट करता है।

व्याख्या

व्यंजकों की तुलना करने के लिए, दोनों पक्षों का वर्ग करें: (√6 + √2)² = 8 + 2√(12) और (√5 + √3)² = 8 + 2√(15)। चूँकि √(12) < √(15) है, इसलिए संबंध √6 + √2 < √5 + √3 ही एकमात्र सही संबंध (ii) है, जिसका अर्थ है कि संबंध (i) और (iii) गलत हैं। इसलिए, गलत संबंध (i) और (iii) हैं, जो विकल्प D के संगत है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण x cos Θ - sin Θ = 1 को हम इस प्रकार पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं: x cos Θ = 1 + sin Θ। समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर हमें x² cos² Θ = (1 + sin Θ)² प्राप्त होता है। मूलभूत सर्वसमिका cos² Θ = 1 - sin² Θ का उपयोग करके, प्रतिस्थापित करने पर हमें x² (1 - sin² Θ) = (1 + sin Θ)² प्राप्त होता है।

वर्गों के अंतर की सर्वसमिका का उपयोग करके बाएं पक्ष का गुणनखंड करने पर x² (1 - sin Θ)(1 + sin Θ) = (1 + sin Θ)² प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को उभयनिष्ठ गुणनखंड (1 + sin Θ) से विभाजित करने पर x² (1 - sin Θ) = 1 + sin Θ प्राप्त होता है।

पदों का विस्तार और पुनर्व्यवस्थित करने पर हम sin Θ को समूहीकृत कर सकते हैं: x² - x² sin Θ = 1 + sin Θ x² - 1 = x² sin Θ + sin Θ x² - 1 = (1 + x²) sin Θ

हमें व्यंजक x² - (1 + x²) sin Θ का मान ज्ञात करना है। ऊपर प्राप्त (1 + x²) sin Θ के मान को प्रतिस्थापित करने पर, व्यंजक इस प्रकार हो जाता है: x² - (x² - 1) = x² - x² + 1 = 1

व्याख्या

सीढ़ी, दीवार और जमीन द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में, सीढ़ी कर्ण (h = 10 मीटर) का कार्य करती है। जमीन के साथ झुकाव कोण (θ = 30°) के सापेक्ष, सीढ़ी के निचले सिरे (पाद) से दीवार की दूरी आसन्न भुजा (आधार) है। कोसाइन (cosine) के त्रिकोणमितीय संबंध का उपयोग करने पर:

cos(θ) = (आधार)/(कर्ण)

ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

cos(30°) = (आधार)/(10)

चूंकि cos(30°) = √3/2 है, इसलिए समीकरण इस प्रकार बनता है:

√3/2 = (आधार)/(10)

आधार = 10 × √3/2 = 5√3

दिए गए मान √3 = 1.732 का उपयोग करने पर:

आधार = 5 × 1.732 = 8.66 मीटर

व्याख्या

दिए गए समीकरण sin Θ + sin²Θ = 1 से, हम इसे sin Θ = 1 - sin²Θ प्राप्त करने के लिए पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं। मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin²Θ + cos²Θ = 1 का उपयोग करते हुए, हम जानते हैं कि 1 - sin²Θ = cos²Θ होता है। इसलिए, हम संबंध sin Θ = cos²Θ स्थापित करते हैं।

इस संबंध के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें sin²Θ = cos⁴Θ प्राप्त होता है। जिस व्यंजक का मान ज्ञात करना है वह cos²Θ + cos⁴Θ है। इस व्यंजक में व्युत्पन्न समतुल्य मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें sin Θ + sin²Θ प्राप्त होता है। चूंकि sin Θ + sin²Θ = 1 दिया गया है, इसलिए cos²Θ + cos⁴Θ का मान भी 1 होगा।

व्याख्या

एक घड़ी की घंटे की सुई 12 घंटे में 360° का एक पूरा चक्कर पूरा करती है। इसका अर्थ है कि घंटे की सुई की कोणीय गति 360° / 12 = 30° प्रति घंटा है, जिसे आगे सरल करने पर यह 30° / 60 = 0.5° प्रति मिनट हो जाती है। दोपहर (12:00 बजे) से दोपहर 3:45 बजे तक, बीता हुआ कुल समय 3 घंटे और 45 मिनट है। घूमे गए कुल कोण को ज्ञात करने के लिए, हम पूरी अवधि को मिनटों में बदलते हैं: (3 × 60) + 45 = 225 मिनट। कुल मिनटों को घंटे की सुई की प्रति मिनट की दर से गुणा करने पर, हमें 225 × 0.5° = 112.5° प्राप्त होता है। मिश्रित भिन्न के रूप में व्यक्त करने पर, यह मान 112 1/2° है।

व्याख्या

सबसे पहले, रूपांतरण कारक 1 रेडियन = 180 / π डिग्री का उपयोग करके कोणों के योग को रेडियन से डिग्री में बदलें। दिए गए मान π = 22/7 को प्रतिस्थापित करने पर, योग S की गणना इस प्रकार की जाती है: S = (22 / 9) × (180 / (22 / 7)) = (22 / 9) × (180 × 7 / 22) = (180 × 7) / 9 = 20 × 7 = 140°.

मान लीजिए कि दो कोण x और y हैं, जहाँ x > y। प्रश्न के अनुसार: x + y = 140° x - y = 36°

छोटे कोण y का मान ज्ञात करने के लिए, पहले समीकरण में से दूसरे समीकरण को घटाएं: (x + y) - (x - y) = 140 - 36 2y = 104 y = 104 / 2 = 52°

व्याख्या

दिए गए व्यंजक p(p² + 3p + 3) को p³ + 3p² + 3p के रूप में विस्तारित किया जा सकता है। इसे सरल बनाने के लिए, हम द्विपद के घन के लिए बीजीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: (p + 1)³ = p³ + 3p² + 3p + 1। दोनों पक्षों से 1 घटाने पर, यह व्यंजक p³ + 3p² + 3p = (p + 1)³ - 1 हो जाता है। इस सूत्र में p = 99 का मान रखने पर, हमें (99 + 1)³ - 1 प्राप्त होता है, जो सरल होकर 100³ - 1 हो जाता है। 100 का घन ज्ञात करने पर 1,000,000 प्राप्त होता है, और इसमें से 1 घटाने पर परिणाम 999,999 प्राप्त होता है।

व्याख्या

संख्याओं के एक समूह से विभाजित करने पर एक समान शेषफल r छोड़ने वाली सबसे छोटी संख्या ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र N = LCM(a, b, c, …) + r का उपयोग करते हैं। इस प्रश्न में, भाजक 6, 9, 12, 15 और 18 हैं, और आवश्यक शेषफल 2 है।

सबसे पहले, अभाज्य गुणनखंडन के माध्यम से भाजकों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करें: 6 = 2 × 3 9 = 3² 12 = 2² × 3 15 = 3 × 5 18 = 2 × 3²

LCM सभी अभाज्य गुणनखंडों की उच्चतम घातों का गुणनफल होता है: LCM(6, 9, 12, 15, 18) = 2² × 3² × 5 = 4 × 9 × 5 = 180

चूँकि प्रत्येक स्थिति में विभाजन से 2 शेषफल बचना चाहिए, इसलिए हम इस शेषफल को LCM में जोड़ते हैं: संख्या = 180 + 2 = 182

व्याख्या

सामान्य समीकरण ax + by + c = 0 द्वारा निरूपित एक सरल रेखा मूल बिंदु (0, 0) से केवल और केवल तभी गुजरती है जब अचर पद c शून्य के बराबर हो। ऐसा इसलिए है क्योंकि बिंदु (0, 0) द्वारा समीकरण को संतुष्ट करने के लिए, x = 0 और y = 0 प्रतिस्थापित करने पर a(0) + b(0) + c = 0 प्राप्त होना चाहिए, जो सरल होकर c = 0 हो जाता है।

समीकरण 2x - 3y = 0 में, अचर पद शून्य है। मूल बिंदु के निर्देशांक प्रतिस्थापित करने पर: 2(0) - 3(0) = 0 - 0 = 0 चूंकि समीकरण संतुष्ट होता है, इसलिए रेखा मूल बिंदु से गुजरती है।

व्याख्या

एक त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180° होता है। कोण योग गुण के अनुसार, हम समीकरण (x + 15) + (6x/5 + 6) + (2x/3 + 30) = 180 बनाते हैं। अचर पदों को जोड़ने पर x + 6x/5 + 2x/3 + 51 = 180 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों से 51 घटाने पर x + 6x/5 + 2x/3 = 129 प्राप्त होता है। x का मान ज्ञात करने के लिए, हम भिन्नों का उभयनिष्ठ हर 15 लेते हैं, जिससे (15x + 18x + 10x)/15 = 129 प्राप्त होता है। इसे सरल करने पर 43x/15 = 129 प्राप्त होता है। 15 से गुणा करने और 43 से भाग देने पर x = (129 × 15) / 43 प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप x = 3 × 15 = 45 आता है।

तीनों कोणों के व्यंजकों में x = 45 का मान रखने पर, हमें पहला कोण 45 + 15 = 60° प्राप्त होता है। दूसरा कोण 6(45)/5 + 6 = 54 + 6 = 60° है। तीसरा कोण 2(45)/3 + 30 = 30 + 30 = 60° है। चूंकि तीनों आंतरिक कोण 60° के बराबर हैं, इसलिए यह त्रिभुज समबाहु है।

व्याख्या

पतंग, डोरी और भूमि द्वारा बनने वाले समकोण त्रिभुज में, पतंग की ऊंचाई लंब (p = 75 मीटर) है और डोरी कर्ण (l) को दर्शाती है। हमें cot θ = 8 / 15 दिया गया है, और चूंकि cot θ = आधार / लंब होता है, इसलिए आधार (b) और लंब (p) का अनुपात 8:15 है।

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, 8 और 15 के अनुपात वाली भुजाओं वाले त्रिभुज का कर्ण (l) √(8² + 15²) = √(64 + 225) = √(289) = 17 है। यह पाइथागोरस त्रिक (8, 15, 17) को दर्शाता है। चूंकि वास्तविक लंबवत ऊंचाई 75 मीटर है, जो कि 5 × 15 है, इसलिए त्रिभुज के लिए आनुपातिकता स्थिरांक 5 है। इसलिए, डोरी की लंबाई (कर्ण) 17 × 5 = 85 मीटर है।

व्याख्या

परीक्षा के लिए आवश्यक उत्तीर्ण अंक, छात्र द्वारा प्राप्त अंकों और उन अंकों का योग हैं जिनसे वह अनुत्तीर्ण हुआ है। चूंकि छात्र ने 190 अंक प्राप्त किए और वह 35 अंकों से अनुत्तीर्ण हो गया, इसलिए उत्तीर्ण अंक 190 + 35 = 225 हैं।

प्रश्न के अनुसार, उत्तीर्ण अंक कुल अंकों का 36% हैं। मान लीजिए कुल अंक T हैं। इस संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

T का 36% = 225

³⁶⁄₁₀₀ × T = 225

T = (225 × 100)/(36)

225 और 36 दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक (greatest common divisor), 9 से विभाजित करके गणना को सरल बनाने पर:

T = (25 × 100)/(4)

T = 25 × 25 = 625

व्याख्या

मध्य-बिंदु प्रमेय (Midpoint Theorem) के अनुसार, किसी त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले चार सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करते हैं। मान लीजिए D, E, F क्रमशः BC, CA, AB के मध्य बिंदु हैं। ये मध्य बिंदु चार छोटे त्रिभुज बनाते हैं: Δ AFE, Δ FBD, Δ EDC, और Δ DEF। मान लीजिए कि इनमें से प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल k है।

समांतर चतुर्भुज DEFB इन दो त्रिभुजों, Δ FBD और Δ DEF से मिलकर बना है। इसलिए, समांतर चतुर्भुज DEFB का क्षेत्रफल = क्षेत्रफल(Δ FBD) + क्षेत्रफल(Δ DEF) = k + k = 2k.

समलंब चतुर्भुज CAFD इन तीन त्रिभुजों, Δ AFE, Δ DEF, और Δ EDC से मिलकर बना है। इसलिए, समलंब चतुर्भुज CAFD का क्षेत्रफल = क्षेत्रफल(Δ AFE) + क्षेत्रफल(Δ DEF) + क्षेत्रफल(Δ EDC) = k + k + k = 3k.

समांतर चतुर्भुज DEFB के क्षेत्रफल और समलंब चतुर्भुज CAFD के क्षेत्रफल का अनुपात है: (क्षेत्रफल(DEFB))/(क्षेत्रफल(CAFD)) = ²ᵏ⁄₃ₖ = ⅔

व्याख्या

मान लीजिए कि M और W क्रमशः एक पुरुष और एक महिला की कार्यक्षमता को दर्शाते हैं। चूंकि दोनों मामलों में किया गया कार्य समान है और समान दिनों (8) में पूरा होता है, इसलिए हम कुल कार्य को बराबर करते हैं:

(4M + 6W) × 8 = (2M + 9W) × 8

दोनों पक्षों से 8 को निरस्त करने पर, हमें प्राप्त होता है: 4M + 6W = 2M + 9W 4M - 2M = 9W - 6W 2M = 3W M = ³⁄₂W

महिला-दिनों के संदर्भ में कुल कार्य ज्ञात करने के लिए, पहली स्थिति में M = ³⁄₂W प्रतिस्थापित करें: कुल कार्य = (4 × ³⁄₂W + 6W) × 8 कुल कार्य = (6W + 6W) × 8 कुल कार्य = 12W × 8 = 96W

18 महिलाओं द्वारा इस कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक दिनों की संख्या है: दिन = (कुल कार्य)/(18 महिलाओं की कार्यक्षमता) दिन = (96W)/(18W) = ¹⁶⁄₃ दिन = 5 ⅓ दिन