एसएससी सीजीएल टियर 1 2015 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

दिए गए व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, मानक त्रिकोणमितीय मानों को प्रतिस्थापित करें: cos 30° = √3{2}, sin 60° = √3{2}, tan 45° = 1, sec 60° = 2, और cos 0° = 1।

इन्हें व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: cos² 30° + sin² 60° + tan² 45° + sec² 60° + cos 0° = (√3{2})² + (√3{2})² + (1)² + (2)² + 1 = ¾ + ¾ + 1 + 4 + 1 = ⁶⁄₄ + 6 = ³⁄₂ + 6 = 1½ + 6 = 7½

गणना से 7.5 प्राप्त होता है, जो मिश्रित भिन्न 7½ के बराबर है।

व्याख्या

किसी वस्तु की ऊंचाई, उसकी छाया की लंबाई और सूर्य के उन्नयन कोण के बीच का संबंध त्रिकोणमितीय अनुपात tan θ = (ऊंचाई)/(छाया) द्वारा दिया जाता है, जहां θ उन्नयन कोण को दर्शाता है।

दिया गया है: इमारत की ऊंचाई h = 48 मीटर छाया की लंबाई s = 48√3 मीटर

सूत्र में मान रखने पर: tan θ = (48)/(48√(3)) tan θ = (1)/(√(3))

त्रिकोणमिति में, tan θ का मान (1)/(√(3)) के बराबर होता है जब θ = 30° होता है। इसलिए, सूर्य का उन्नयन कोण 30° है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण cos x + cos²x = 1 से, हम cos x = 1 - cos²x लिख सकते हैं। त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin²x + cos²x = 1 का उपयोग करने पर, यह प्राप्त होता है कि cos x = sin²x। इस संबंध के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें cos²x = sin⁴x प्राप्त होता है।

मान ज्ञात किया जाने वाला व्यंजक sin⁸x + 2sin⁶x + sin⁴x है। यह व्यंजक बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b² का अनुसरण करता है, जहाँ a = sin⁴x और b = sin²x है। इस प्रकार, व्यंजक को इस रूप में फिर से लिखा जा सकता है:

sin⁸x + 2sin⁶x + sin⁴x = (sin⁴x + sin²x)²

इस पूर्ण वर्ग में पहले से प्राप्त संबंधों sin⁴x = cos²x और sin²x = cos x को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

(cos²x + cos x)²

प्रश्न में दिए गए प्रारंभिक समीकरण के अनुसार, cos x + cos²x = 1 है। व्यंजक में इस मान को प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

(1)² = 1

व्याख्या

△ ABC में, सभी आंतरिक कोणों का योग 180° होता है। दिया गया है कि ∠ BAC = 85° और ∠ BCA = 75° है, तो हमें प्राप्त होता है: ∠ ABC = 180° - (85° + 75°) = 20°।

परिकेंद्र O, त्रिभुज के शीर्षों से होकर गुजरने वाले वृत्त का केंद्र है। वृत्तों के गुणधर्म के अनुसार, किसी चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण, वृत्त के शेष भाग के किसी भी बिंदु पर इसके द्वारा अंतरित कोण का दोगुना होता है। इसलिए, ∠ AOC = 2 × ∠ ABC = 2 × 20° = 40°।

△ OAC में, भुजाएँ OA और OC परिवृत्त की त्रिज्याएँ हैं, इसलिए OA = OC है। इससे △ OAC एक समद्विबाहु त्रिभुज बन जाता है जहाँ ∠ OAC = ∠ OCA है। △ OAC के लिए कोण योग गुणधर्म का उपयोग करने पर: ∠ OAC + ∠ OCA + ∠ AOC = 180° 2 × ∠ OAC + 40° = 180° 2 × ∠ OAC = 140° ∠ OAC = 70°

व्याख्या

दिए गए समीकरण x = p csc θ और y = q cot θ हैं, हम त्रिकोणमितीय फलनों को अलग करने के लिए इन्हें ˣ⁄ₚ = csc θ और (y)/(q) = cot θ के रूप में पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं। दोनों समीकरणों का वर्ग करने पर (x²)/(p²) = csc² θ और (y²)/(q²) = cot² θ प्राप्त होता है।

इन मानों को आवश्यक व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: (x²)/(p²) - (y²)/(q²) = csc² θ - cot² θ

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका 1 + cot² θ = csc² θ का उपयोग करने पर, हम जानते हैं कि csc² θ - cot² θ = 1 होता है। इसलिए, व्यंजक का मान 1 है।

व्याख्या

मान लीजिए कि हवाई जहाज की ऊंचाई h है। विमान के ठीक नीचे स्थित बिंदु से दोनों पत्थरों की दूरियां h·cot(60°) और h·cot(30°) हैं। चूंकि पत्थर विपरीत दिशाओं में हैं, इसलिए उनके बीच की कुल दूरी h/√3 + h·√3 = 1 किमी है, जिसे सरल करने पर h(4/3) = 1 प्राप्त होता है, जिससे h = √3/4 = 1.732/4 = 0.433 किमी प्राप्त होता है।

व्याख्या

समकोण त्रिभुज Δ ABC में, जहाँ ∠ C = 90° है, भुजा AB = c कर्ण है, BC = a, ∠ A की सम्मुख भुजा है, और CA = b, ∠ B की सम्मुख भुजा है।

कोणों A और B के लिए त्रिकोणमितीय अनुपात इस प्रकार परिभाषित हैं: csc B = (कर्ण)/(B की सम्मुख भुजा) = (c)/(b) cos A = (A की संलग्न भुजा)/(कर्ण) = (b)/(c)

इन मानों को दिए गए व्यंजक में रखने पर: csc B - cos A = (c)/(b) - (b)/(c) = (c² - b²)/bc

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, a² + b² = c², जिसे c² - b² = a² के रूप में व्यवस्थित किया जा सकता है। अंश को a² से प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: (c² - b²)/bc = a²/bc

व्याख्या

या (or) और और (and) की स्थितियों वाले प्रश्नों के लिए, लिया गया समय निम्न सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है: समय = (D)/(m₂){m₁ + (w₂)/(w₁) + (b₂)/(b₁)}। इस सूत्र में, D दिए गए दिनों की संख्या है, m₁, w₁, b₁ 'या' (or) वाले कथन से पुरुषों, महिलाओं और लड़कों की प्रारंभिक संख्या है, और m₂, w₂, b₂ 'और' (and) वाले कथन से श्रमिकों की आवश्यक संख्या है।

दिए गए मान D = 44, m₁ = 1, w₁ = 2, b₁ = 3 और लक्षित समूह m₂ = 1, w₂ = 1, b₂ = 1 हैं, गणना इस प्रकार है:

समय = (44)/(1){1 + ½ + ⅓}

1, 2, और 3 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करके हर को सरल करने पर:

¹⁄₁ + ½ + ⅓ = (6 + 3 + 2)/(6) = ¹¹⁄₆

इसे वापस सूत्र में रखने पर:

समय = (44)/(11/6) = (44 × 6)/(11) = 4 × 6 = 24 दिन

व्याख्या

दी गई संख्या 66049 का इकाई अंक 9 है। एक पूर्ण वर्ग के अंत में 9 केवल तभी आता है जब उसके वर्गमूल का इकाई अंक या तो 3 हो या 7, क्योंकि 3² = 9 और 7² = 49। यह निर्धारित करने के लिए कि कौन सा अंक सही है, हम संख्या को 660 और 49 के रूप में समूहित करके वर्गमूल का अनुमान लगाते हैं। 660 से छोटा या उसके बराबर सबसे बड़ा वर्ग 25² = 625 है। यह दर्शाता है कि वर्गमूल 25 से शुरू होता है, जिससे संभावित वर्गमूल 253 या 257 हो जाते हैं।

हम पहले भाग (25) और उसकी अगली संख्या (26) के गुणनफल से 660 की तुलना करते हैं। चूंकि 25 × 26 = 650 है और दिया गया भाग 660 > 650 है, इसलिए हम बड़ा इकाई अंक चुनते हैं। वैकल्पिक रूप से, मध्य बिंदु के वर्ग 255² = 65025 से संख्या की तुलना करने पर पता चलता है कि 66049 > 65025 है। अतः, वर्गमूल 257 है, और इकाई के स्थान पर अंक 7 है।

व्याख्या

दीवार बनाने में किया गया कार्य उसके आयतन के समानुपाती होता है, जिसकी गणना लंबाई × चौड़ाई × ऊंचाई के रूप में की जाती है। श्रमिकों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम कार्य-समय संबंध सूत्र का उपयोग करते हैं:

M₁ × D₁ × H₁{W₁} = M₂ × D₂ × H₂{W₂}

जहाँ M श्रमिकों की संख्या है, D दिनों की संख्या है, H प्रतिदिन घंटों की संख्या है, और W कार्य (दीवार का आयतन) है।

प्रश्न से, हमारे पास है: M₁ = 8 D₁ = 10 H₁ = 9 W₁ = 18 × 2 × 12 = 432

दूसरे परिदृश्य के लिए: M₂ = ? D₂ = 8 H₂ = 6 W₂ = 32 × 3 × 9 = 864

इन मानों को सूत्र में रखने पर:

(8 × 10 × 9)/(432) = M₂ × 8 × 6{864}

⁷²⁰⁄₄₃₂ = M₂ × 48{864}

भिन्नों को सरल करने पर:

⁵⁄₃ = M₂{18}

M₂ = (5 × 18)/(3) = 5 × 6 = 30

व्याख्या

मान लीजिए टंकी की क्षमता C लीटर है। रिसाव टंकी को 6 घंटे में खाली करता है, इसलिए इसके खाली करने की दर प्रति घंटे टंकी का 1/6 भाग है। जब प्रवेशिका पाइप खुला होता है, तो टंकी 8 घंटे में खाली हो जाती है, इसलिए खाली करने की शुद्ध दर प्रति घंटे टंकी का 1/8 भाग है।

टंकी की प्रति घंटे की क्षमता के संदर्भ में प्रवेशिका पाइप की दर इन दोनों दरों के बीच का अंतर है: प्रवेशिका दर = 1/6 - 1/8 = (4 - 3)/(24) = 1/24 टंकी प्रति घंटा

प्रवेशिका पाइप 4 लीटर प्रति मिनट की दर से पानी भरता है। इसे प्रति घंटे की दर में बदलने पर: प्रवेशिका दर = 4 × 60 = 240 लीटर प्रति घंटा

चूंकि टंकी की क्षमता का 1/24 भाग 240 लीटर के बराबर है, इसलिए कुल क्षमता C की गणना इस प्रकार की जाती है: C = 240 × 24 = 5760 लीटर

व्याख्या

एक आयत का क्षेत्रफल उसकी लंबाई और चौड़ाई के गुणनफल द्वारा निर्धारित होता है। जब दोनों विमाओं में एक विशिष्ट प्रतिशत की वृद्धि की जाती है, तो क्षेत्रफल में होने वाली शुद्ध प्रतिशत वृद्धि की गणना क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र: x + y + ˣʸ⁄₁₀₀ का उपयोग करके की जा सकती है, जहाँ x और y क्रमशः लंबाई और चौड़ाई में प्रतिशत परिवर्तनों को दर्शाते हैं। चूंकि आयत की प्रत्येक भुजा में 20% की वृद्धि की जाती है, इसलिए हम x = 20 और y = 20 मान लेते हैं। सूत्र में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर कुल प्रतिशत वृद्धि 20 + 20 + (20 × 20)/(100) = 40 + ⁴⁰⁰⁄₁₀₀ = 40 + 4 = 44% प्राप्त होती है। यह गणितीय संबंध भुजाओं की रैखिक वृद्धि को द्वि-विमीय क्षेत्रफल की संयुक्त वृद्धि में कुशलतापूर्वक संयोजित करता है।

व्याख्या

एक घनाभाकार ईंट का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) सूत्र 2(lb + bh + hl) का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है। दी गई विमाओं l = 22.5 सेमी, b = 10 सेमी, और h = 7.5 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर: TSA = 2(22.5 × 10 + 10 × 7.5 + 7.5 × 22.5) TSA = 2(225 + 75 + 168.75) = 2(468.75) = 937.5 सेमी²

कुल क्षेत्रफल जिसे पेंट किया जा सकता है, वह 9.375 मी² दिया गया है। गणना करने के लिए, संबंध 1 मी² = 10000 सेमी² का उपयोग करके इस क्षेत्रफल को वर्ग सेंटीमीटर में बदलें: कुल पेंट क्षेत्रफल = 9.375 × 10000 = 93750 सेमी²

पेंट की जा सकने वाली ईंटों की संख्या कुल पेंट क्षेत्रफल और एक ईंट के पृष्ठीय क्षेत्रफल का भागफल है: n = (93750 सेमी²)/(937.5 सेमी²) = 100

व्याख्या

एक चक्कर में व्यक्ति द्वारा तय की गई दूरी आयताकार पार्क के परिमाप को दर्शाती है। सबसे पहले, अंतिम उत्तर की इकाइयों से मिलान करने के लिए गति को किमी/घंटा से मीटर/मिनट में बदलें: गति v = 12 किमी/घंटा = (12 × 1000)/(60) मीटर/मिनट = 200 मीटर/मिनट।

दूरी (परिमाप P) की गणना इस प्रकार की जाती है: P = गति × समय = 200 मीटर/मिनट × 8 मिनट = 1600 मीटर।

लंबाई L और चौड़ाई B का अनुपात 3:2 दिया गया है। माना L = 3x और B = 2x। एक आयत के परिमाप का सूत्र P = 2(L + B) है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 1600 = 2(3x + 2x) 1600 = 2(5x) 1600 = 10x x = 160.

अब, पार्क की विमाएँ ज्ञात कीजिए: L = 3 × 160 = 480 मीटर B = 2 × 160 = 320 मीटर।

पार्क का क्षेत्रफल है: क्षेत्रफल = L × B = 480 × 320 = 153600 वर्ग मीटर।

व्याख्या

दो क्रमिक छूटों d₁ और d₂ से प्राप्त कुल प्रतिशत छूट की गणना सूत्र d₁ + d₂ - (d₁ × d₂)/(100) का उपयोग करके की जाती है। माना कि द्वितीय श्रेणी के जूतों पर प्रारंभिक छूट d₁ = 20% है और अतिरिक्त शेयरधारक छूट d₂ = 15% है, तो कुल छूट 20 + 15 - (20 × 15)/(100) होगी। इसे सरल करने पर 35 - ³⁰⁰⁄₁₀₀ प्राप्त होता है, जो 35 - 3 = 32% के बराबर है।

वैकल्पिक रूप से, यदि जूतों का मूल मूल्य 100 माना जाए, तो 20% की छूट मूल्य को घटाकर 80 कर देती है। 80 के इस घटे हुए मूल्य पर 15% की अतिरिक्त छूट देने पर 0.15 × 80 = 12 की कमी होती है। दोनों छूटों के बाद अंतिम मूल्य 80 - 12 = 68 है। मूल मूल्य के सापेक्ष कुल छूट 100 - 68 = 32% है।

व्याख्या

माना क्रय मूल्य (CP) 100 है। चूंकि 20% का लाभ होता है, इसलिए विक्रय मूल्य (SP) 120 है। यह मूल्य 20% की छूट के बाद अंकित मूल्य (MP) को दर्शाता है।

संबंध MP × (1 - छूट%) = SP का उपयोग करने पर: MP × 0.8 = 120 MP = 150

जब छूट को बदलकर 30% कर दिया जाता है, तो इसे उसी अंकित मूल्य 150 पर लागू किया जाता है। नया विक्रय मूल्य (SP_new) है: SP_new = 150 × (1 - 0.30) = 150 × 0.7 = 105

लाभ की गणना नए विक्रय मूल्य की तुलना मूल क्रय मूल्य से करके की जाती है: लाभ = SP_new - CP = 105 - 100 = 5 लाभ प्रतिशत = ⁵⁄₁₀₀ × 100 = 5%

व्याख्या

क्रमिक छूट के बाद क्रय मूल्य की गणना सूत्र P = LP × (1 - d₁) × (1 - d₂) का उपयोग करके की जाती है, जहाँ LP अंकित मूल्य है और d₁, d₂ छूट की दरें हैं। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, P = 1500 × (1 - 0.20) × (1 - 0.10) = 1500 × 0.8 × 0.9 = 1080।

कुल क्रय मूल्य में खरीद मूल्य और परिवहन शुल्क शामिल हैं। इस प्रकार, कुल क्रय मूल्य = 1080 + 20 = 1100। 20% लाभ पर विक्रय मूल्य ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र विक्रय मूल्य = कुल क्रय मूल्य × (1 + (लाभ%)/(100)) का उपयोग करते हैं।

अंतिम मान की गणना करने पर, विक्रय मूल्य = 1100 × (1 + 0.20) = 1100 × 1.2 = 1320।

व्याख्या

तीनों मिश्रणों की समान मात्रा को मिलाने पर अंतिम अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले प्रत्येक में दूध और पानी के घटकों की पहचान करते हैं। अनुपात क्रमशः 6:1, 5:2 और 3:1 दिए गए हैं। प्रत्येक मिश्रण के लिए कुल भाग क्रमशः 7 (6 + 1), 7 (5 + 2) और 4 (3 + 1) हैं। प्रत्येक बर्तन में कुल मात्रा को बराबर करने के लिए, हम कुल भागों 7 और 4 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करते हैं, जो कि 28 है।

पहले बर्तन में, दूध 28 × ⁶⁄₇ = 24 इकाई है और पानी 28 × ⅐ = 4 इकाई है। दूसरे बर्तन में, दूध 28 × ⁵⁄₇ = 20 इकाई है और पानी 28 × ²⁄₇ = 8 इकाई है। तीसरे बर्तन में, दूध 28 × ¾ = 21 इकाई है और पानी 28 × ¼ = 7 इकाई है।

इन्हें मिलाने पर, अंतिम मिश्रण में कुल दूध 24 + 20 + 21 = 65 इकाई है। अंतिम मिश्रण में कुल पानी 4 + 8 + 7 = 19 इकाई है। इसलिए, अंतिम मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात 65:19 है।

व्याख्या

क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं की किसी भी श्रृंखला के लिए, औसत पहले और अंतिम पदों का समांतर माध्य होता है, जिसे सूत्र (a + l)/(2) द्वारा दर्शाया जाता है। जब ऐसी श्रृंखला के अंत में n अतिरिक्त क्रमागत प्राकृतिक संख्याएँ जोड़ी जाती हैं, तो नया औसत ⁿ⁄₂ बढ़ जाता है। इस प्रश्न में, 2 और क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं को शामिल किया गया है। इस गुणधर्म को लागू करने पर, औसत में वृद्धि ²⁄₂ = 1 होगी। इसलिए, इन 8 संख्याओं का औसत K + 1 है, जो मूल औसत K से 1 अधिक है।

व्याख्या

A की आय ज्ञात करने के लिए, हम अनुपात संतुलन विधि (ratio balancing method) का उपयोग करते हैं ताकि यह दर्शाया जा सके कि दोनों व्यक्ति समान राशि बचाते हैं। आय का अनुपात 3:2 (1 इकाई का अंतर) है और व्यय का अनुपात 5:3 (2 इकाइयों का अंतर) है। अंतर को बराबर करने के लिए हम आय के अनुपात को 2 से गुणा करते हैं, जिससे नया आय अनुपात 6:4 प्राप्त होता है। अब, A और B दोनों के लिए, आय की इकाइयों और व्यय की इकाइयों के बीच का अंतर उनकी बचत को दर्शाता है। A के लिए, बचत 6 - 5 = 1 इकाई है, और B के लिए, बचत 4 - 3 = 1 इकाई है। चूंकि प्रत्येक 1000 रुपये बचाता है, इसलिए हम 1 इकाई को 1000 रुपये के बराबर मानते हैं। हमारे संतुलित अनुपात में A की आय 6 इकाइयों के संगत है, इसलिए A की आय 6 × 1000 = 6000 है। वैकल्पिक रूप से, बीजगणितीय दृष्टिकोण का उपयोग करते हुए, यदि आय 3x और 2x है, तो (3x - 1000)/(2x - 1000) = 5/3 होगा। तिर्यक गुणा (cross-multiplying) करने पर 9x - 3000 = 10x - 5000 प्राप्त होता है, जिससे x = 2000 मिलता है। इस प्रकार, A की आय 3 × 2000 = 6000 है।

व्याख्या

माना एक वस्तु का क्रय मूल्य (CP) x है। 10 वस्तुओं का क्रय मूल्य 10x है। प्रश्नानुसार, 9 वस्तुओं का विक्रय मूल्य (SP), 10 वस्तुओं के क्रय मूल्य के बराबर है, इसलिए 9 वस्तुओं का विक्रय मूल्य 10x है।

एक वस्तु का विक्रय मूल्य ¹⁰ˣ⁄₉ है। चूंकि प्रति वस्तु विक्रय मूल्य, प्रति वस्तु क्रय मूल्य से अधिक है, इसलिए लाभ होगा। प्रति वस्तु लाभ की गणना इस प्रकार की जाती है: SP - CP = ¹⁰ˣ⁄₉ - x = ˣ⁄₉।

लाभ प्रतिशत की गणना इस सूत्र द्वारा की जाती है: लाभ % = (लाभ)/(क्रय मूल्य) × 100

सूत्र में मान रखने पर: लाभ % = (x/9)/(x) × 100 = ¹⁰⁰⁄₉ = 11 ⅑ %

व्याख्या

मासिक बिक्री के मूल्य पर समग्र प्रभाव, जो कि कीमत और बेची गई मात्रा का गुणनफल है, को क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र x + y + ˣʸ⁄₁₀₀ का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है। इस मामले में, कीमत में 10% की वृद्धि होती है, इसलिए x = +10, और बेची गई मात्रा में 20% की कमी होती है, इसलिए y = -20।

इन मानों को सूत्र में रखने पर: शुद्ध परिवर्तन = 10 + (-20) + (10 × (-20))/(100) शुद्ध परिवर्तन = -10 - ²⁰⁰⁄₁₀₀ शुद्ध परिवर्तन = -10 - 2 = -12%

ऋणात्मक परिणाम कमी को दर्शाता है। इसलिए, मासिक बिक्री के कुल मूल्य में 12% की कमी आई। इसे प्रारंभिक मानों पर विचार करके भी सत्यापित किया जा सकता है: यदि मूल कीमत 100 थी और बेची गई मात्रा 100 थी, तो प्रारंभिक राजस्व 10,000 था। परिवर्तनों के साथ, नई कीमत 110 है और नई मात्रा 80 है, जिससे नया राजस्व 110 × 80 = 8,800 हो जाता है। 10,000 से घटकर 8,800 होना 1,200 की कमी है, जो मूल मूल्य का 12% है।

व्याख्या

प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के घनों के माध्य की गणना इन घनों के योग को n से विभाजित करके की जाती है। प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग सूत्र Sₙ = [ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾⁄₂]² द्वारा दिया जाता है। यहाँ, अनुक्रम में प्रथम 7 प्राकृतिक संख्याओं के घन शामिल हैं, इसलिए n = 7 है।

योग सूत्र में n = 7 रखने पर: S₇ = [⁷⁽⁷⁺¹⁾⁄₂]² = [(7 × 8)/(2)]² = (7 × 4)² = 28² = 784

माध्य को प्रेक्षणों की संख्या से विभाजित योग के रूप में परिभाषित किया जाता है: माध्य = (S₇)/(n) = ⁷⁸⁴⁄₇ = 112

वैकल्पिक रूप से, प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के घनों के माध्य के सूत्र को (n(n+1)²)/(4) के रूप में सरल किया जा सकता है। n = 7 रखने पर प्राप्त होता है: (7(7+1)²)/(4) = (7 × 64)/(4) = 7 × 16 = 112