एसएससी सीजीएल टियर 1 2015 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

व्यंजक x³ + 27x² + 243x + 631 को द्विपद (binomial) (x + a)³ = x³ + 3ax² + 3a²x + a³ के प्रसार को पहचानकर सरल किया जा सकता है। दिए गए व्यंजक की तुलना इस सूत्र से करने पर, हम 3a = 27 और 3a² = 243 प्राप्त करते हैं, जिससे a = 9 प्राप्त होता है।

(x + 9)³ का प्रसार x³ + 27x² + 243x + 729 है। मूल व्यंजक को दर्शाने के लिए, हम अचर पद (constant term) को समायोजित करते हैं: x³ + 27x² + 243x + 631 = (x + 9)³ - 98

इस सरलीकृत रूप में x = 2 रखने पर: (2 + 9)³ - 98 = 11³ - 98

चूंकि 11³ = 1331 है, गणना इस प्रकार होगी: 1331 - 98 = 1233

व्याख्या

किसी गोले का आयतन V सूत्र V = ⁴⁄₃ π r³ द्वारा दिया जाता है और उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल S सूत्र S = 4 π r² द्वारा दिया जाता है, जहाँ r त्रिज्या है। प्रश्न के अनुसार, ये दोनों मान संख्यात्मक रूप से बराबर हैं:

⁴⁄₃ π r³ = 4 π r²

दोनों पक्षों को 4 π r² से विभाजित करने पर (चूंकि गोले के अस्तित्व के लिए r शून्य नहीं हो सकता है):

ʳ⁄₃ = 1

r = 3

गोले का व्यास त्रिज्या का दोगुना होता है:

d = 2r = 2 × 3 = 6 इकाई

व्याख्या

सही औसत की गणना माध्य के समायोजन सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है। प्रारंभ में कुल अंकों की गणना वास्तविक मान 68 के स्थान पर गलत मान 86 का उपयोग करके की गई थी। इसके परिणामस्वरूप योग में त्रुटि हुई।

अंकों के कुल योग में शुद्ध परिवर्तन है: शुद्ध परिवर्तन = सही मान - गलत मान शुद्ध परिवर्तन = 68 - 86 = -18

औसत में परिवर्तन, योग में शुद्ध परिवर्तन को विषयों की कुल संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: औसत में परिवर्तन = -18/6 = -3

इसलिए, सही औसत है: सही औसत = पुराना औसत + औसत में परिवर्तन सही औसत = 88 + (-3) = 85

व्याख्या

मान लीजिए कि संख्या x है। प्रश्न के अनुसार, संख्या का ¾ भाग, संख्या के ⅙ भाग से 7 अधिक है। इसे इस रैखिक समीकरण के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

¾x - ⅙x = 7

x का मान ज्ञात करने के लिए, हरों 4 और 6 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात कीजिए, जो कि 12 है। इस समान हर के साथ संरेखित करने के लिए पदों को गुणा करें:

⁹ˣ⁄₁₂ - ²ˣ⁄₁₂ = 7 ⁷ˣ⁄₁₂ = 7

दोनों पक्षों को 7 से विभाजित करें और 12 से गुणा करें:

x = 12

संख्या 12 है। प्रश्न में इस संख्या का ⁵⁄₃ भाग ज्ञात करने की आवश्यकता है:

⁵⁄₃ × 12 = 5 × 4 = 20

व्याख्या

A और B के बीच कार्यक्षमता का अनुपात इस कथन से प्राप्त होता है कि A का 2 दिनों का कार्य B के 3 दिनों के कार्य के बराबर है। इसका तात्पर्य यह है कि A, B की तुलना में अधिक कार्यकुशल है। मान लीजिए E_A और E_B क्रमशः A और B की कार्यक्षमता (प्रतिदिन किया गया कार्य) हैं। दी गई शर्त है: 2 × E_A = 3 × E_B E_A{E_B} = ³⁄₂

कुल कार्य की गणना A द्वारा कार्य पूरा करने में लिए गए समय का उपयोग करके की जा सकती है। चूंकि A कार्य को 8 दिनों में पूरा करता है, इसलिए कुल कार्य है: कार्य = E_A × 8

B द्वारा उसी कार्य को पूरा करने में लिया गया समय (T_B) कुल कार्य को B की कार्यक्षमता से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: T_B = E_A × 8{E_B}

समीकरण में कार्यक्षमता अनुपात E_A{E_B} = ³⁄₂ प्रतिस्थापित करने पर: T_B = ³⁄₂ × 8 T_B = 3 × 4 = 12 दिन

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज Δ PQR में, ∠ Q और ∠ R के आंतरिक समद्विभाजकों द्वारा अंतःकेंद्र O पर बनने वाला कोण सूत्र ∠ ROQ = 90° + ½∠ P द्वारा दिया जाता है। यह संबंध इस तथ्य से प्राप्त होता है कि Δ OQR में कोणों का योग 180° होता है, जहाँ ∠ OQR = ½∠ Q और ∠ ORQ = ½∠ R है।

दिए गए मान ∠ ROQ = 96° को सूत्र में रखने पर: 96° = 90° + ½∠ P 96° - 90° = ½∠ P 6° = ½∠ P ∠ P = 12°

इसलिए, ∠ RPQ का मान 12° है।

व्याख्या

x + 1 का मान ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले हर का परिमेयकरण करके x के दिए गए व्यंजक को सरल करें: x = (1)/(√(2) + 1)

अंश और हर दोनों को हर के संयुग्मी (conjugate) से गुणा करें, जो कि √2 - 1 है: x = (1)/(√(2) + 1) × √2 - 1{√2 - 1}

हर के लिए बीजीय सर्वसमिका (algebraic identity) (a + b)(a - b) = a² - b² का उपयोग करने पर: x = √2 - 1{(√2)² - 1²} x = √2 - 1{2 - 1} x = √2 - 1

अब, x के इस सरलीकृत मान को आवश्यक व्यंजक (x + 1) में रखें: x + 1 = (√2 - 1) + 1 x + 1 = √2

परिमेय व्यंजक को सरल करके और बुनियादी जोड़ करके, परिणाम 2 का वर्गमूल (square root of 2) प्राप्त होता है।

व्याख्या

किसी भी उत्तल बहुफलक के लिए यूलर का सूत्र बताता है कि शीर्षों की संख्या v, कोरों की संख्या e, और फलकों की संख्या f के बीच का संबंध समीकरण v - e + f = 2 द्वारा दिया जाता है। एक आयताकार समांतर षट्फलक, जो छह आयताकार फलकों से बनी एक त्रि-आयामी आकृति है, एक उत्तल बहुफलक है। इस विशिष्ट आकृति के लिए, शीर्षों की संख्या v, 8 है, कोरों की संख्या e, 12 है, और फलकों की संख्या f, 6 है। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर 8 - 12 + 6 = 2 प्राप्त होता है। यह विशिष्ट टोपोलॉजिकल गुण उन सभी बहुफलकों के लिए अपरिवर्तनीय है जो एक गोले के समरूपी (homeomorphic) होते हैं।

व्याख्या

त्रिभुज के शीर्ष दी गई रेखाओं के प्रतिच्छेदन द्वारा निर्धारित होते हैं: x = 0 और 2x + 3y = 6 का प्रतिच्छेदन: समीकरण में x = 0 प्रतिस्थापित करने पर 3y = 6 प्राप्त होता है, जिससे y = 2 प्राप्त होता है। यह शीर्ष (0, 2) है। x = 0 और x + y = 3 का प्रतिच्छेदन: समीकरण में x = 0 प्रतिस्थापित करने पर y = 3 प्राप्त होता है। यह शीर्ष (0, 3) है। 2x + 3y = 6 और x + y = 3 का प्रतिच्छेदन: दूसरे समीकरण को 2 से गुणा करने पर 2x + 2y = 6 प्राप्त होता है। इसे 2x + 3y = 6 में से घटाने पर y = 0 प्राप्त होता है। x + y = 3 में y = 0 प्रतिस्थापित करने पर x = 3 प्राप्त होता है। यह शीर्ष (3, 0) है।

त्रिभुज का आधार y-अक्ष (x = 0) पर बिंदुओं (0, 2) और (0, 3) के बीच स्थित है, जिससे आधार की लंबाई 3 - 2 = 1 इकाई प्राप्त होती है। त्रिभुज की ऊंचाई तीसरे शीर्ष (3, 0) से y-अक्ष की लंबवत दूरी है, जो कि 3 इकाई है। क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊंचाई = ½ × 1 × 3 = 1.5 = 1½ वर्ग इकाई।

व्याख्या

दिए गए समीकरण 5x + 9y = 5 और 125x³ + 729y³ = 120 हैं, हम देख सकते हैं कि 125x³ = (5x)³ और 729y³ = (9y)³ है। बीजगणितीय सर्वसमिका a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b) का उपयोग करते हुए, माना a = 5x और b = 9y है।

सर्वसमिका में मान प्रतिस्थापित करने पर: 125x³ + 729y³ = (5x + 9y)³ - 3(5x)(9y)(5x + 9y)

दिए गए मानों 5x + 9y = 5 और 125x³ + 729y³ = 120 का उपयोग करने पर: 120 = (5)³ - 3(45xy)(5) 120 = 125 - 15(45xy) 120 = 125 - 675xy

गुणनफल xy का मान ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर: 675xy = 125 - 120 675xy = 5 xy = ⁵⁄₆₇₅

अंश और हर दोनों को 5 से विभाजित करके भिन्न को सरल करने पर: xy = ¹⁄₁₃₅

व्याख्या

मान लीजिए कि अनुपात के प्रत्येक पद में जोड़ी जाने वाली संख्या x है। प्रश्न के अनुसार, अनुपात 2:5 के दोनों पदों में x जोड़ने पर परिणामी अनुपात 5:6 होना चाहिए। इस संबंध को निम्नलिखित समीकरण द्वारा व्यक्त किया जा सकता है:

(2 + x)/(5 + x) = 5/6

समीकरण के पदों का तिर्यक गुणन (cross-multiplying) करने पर, हमें प्राप्त होता है:

6(2 + x) = 5(5 + x)

दोनों पक्षों के व्यंजकों का विस्तार करने पर प्राप्त होता है:

12 + 6x = 25 + 5x

x का मान ज्ञात करने के लिए, हम x वाले सभी पदों को एक पक्ष में और अचर (constant) पदों को दूसरे पक्ष में ले जाकर समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करते हैं:

6x - 5x = 25 - 12

x = 13

जब मूल अनुपात 2:5 के प्रत्येक पद में 13 जोड़ा जाता है, तो नए पद 2 + 13 = 15 और 5 + 13 = 18 हो जाते हैं। दोनों पदों को 3 से विभाजित करने पर अनुपात 15:18 सरल होकर 5:6 हो जाता है।

व्याख्या

पूरक कोणों के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका, sin(90° - θ) = cos θ का उपयोग करके, हम sin 68° को sin(90° - 22°) = cos 22° के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। इसे व्यंजक के पहले दो पदों में प्रतिस्थापित करने पर sin² 22° + cos² 22° प्राप्त होता है। पाइथागोरस सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 को लागू करने पर, इन दोनों पदों का योग 1 होता है। cot 30° का मान √3 है, जिससे cot² 30° = (√3)² = 3 हो जाता है। इन मानों को मिलाने पर, पूरे व्यंजक का मान 1 + 3 = 4 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिया गया व्यंजक 2sin² 2Θ + 3cos² 2Θ है। मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² x + cos² x = 1 का उपयोग करके, हम व्यंजक को इस प्रकार सरल कर सकते हैं:

2sin² 2Θ + 2cos² 2Θ + cos² 2Θ

2(sin² 2Θ + cos² 2Θ) + cos² 2Θ

2(1) + cos² 2Θ = 2 + cos² 2Θ

किसी भी वास्तविक कोण x के लिए, cos² x का मान अंतराल [0, 1] में होता है। संपूर्ण व्यंजक 2 + cos² 2Θ का मान न्यूनतम करने के लिए, हमें cos² 2Θ का न्यूनतम मान प्रतिस्थापित करना होगा, जो कि 0 है।

न्यूनतम मान = 2 + 0 = 2

वैकल्पिक रूप से, asin² x + bcos² x के रूप के किसी भी व्यंजक के लिए, न्यूनतम मान केवल दो गुणांकों a और b में से छोटा मान होता है। इस स्थिति में, चूंकि 2 < 3 है, इसलिए न्यूनतम मान 2 है।

व्याख्या

दिए गए व्यंजक x²⁴ + 1{x¹²} = 7 को अंश के प्रत्येक पद को हर से विभाजित करके सरल किया जा सकता है: x²⁴{x¹²} + (1)/(x¹²⁾ = 7 x¹² + (1)/(x¹²⁾ = 7

x³⁶ + (1)/(x³⁶⁾ का मान ज्ञात करने के लिए, जो कि x⁷² + 1{x³⁶} का सरलीकृत रूप है, हम घनों के लिए बीजीय सर्वसमिका (algebraic identity) का उपयोग करते हैं: यदि k + ¹⁄ₖ = n, तो k³ + (1)/(k³) = n³ - 3n। k = x¹² और n = 7 प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: (x¹²)³ + (1)/((x¹²⁾⁾^^³ = 7³ - 3(7) x³⁶ + (1)/(x³⁶⁾ = 343 - 21 x³⁶ + (1)/(x³⁶⁾ = 322

व्याख्या

5 व्यक्तियों के लिए आवश्यक कुल फर्श का क्षेत्रफल 5 × 16 = 80 m² है। 5 व्यक्तियों के लिए आवश्यक हवा का कुल आयतन 5 × 100 = 500 m³ है। एक शंक्वाकार तंबू के लिए, फर्श का क्षेत्रफल शंकु के आधार के क्षेत्रफल को दर्शाता है, A = π r², और आयतन सूत्र V = ⅓ π r² h द्वारा दिया जाता है। आयतन सूत्र में आधार क्षेत्रफल को प्रतिस्थापित करने पर V = ⅓ A h प्राप्त होता है। ज्ञात मानों को रखने पर, हमें 500 = ⅓ × 80 × h प्राप्त होता है। ऊंचाई ज्ञात करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर h = (500 × 3)/(80) प्राप्त होता है, जो सरल होकर h = ¹⁵⁰⁄₈ = 18.75 मीटर हो जाता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि A और B के मान क्रमशः 4x और 5x हैं, जहाँ x एक धनात्मक स्थिरांक है। प्रश्न के अनुसार, उनके वर्गों का अंतर 81 है। इसे समीकरण (5x)² - (4x)² = 81 द्वारा व्यक्त किया जा सकता है। पदों को सरल करने पर, हमें 25x² - 16x² = 81 प्राप्त होता है, जो घटकर 9x² = 81 हो जाता है। दोनों पक्षों को 9 से विभाजित करने पर x² = 9 प्राप्त होता है, और वर्गमूल लेने पर x = 3 प्राप्त होता है। A का मान ज्ञात करने के लिए, हम मूल अनुपात A = 4x में x = 3 प्रतिस्थापित करते हैं, जिससे A = 4 × 3 = 12 प्राप्त होता है।

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज के अंतःकोणों का योग 180° होता है। दिए गए अनुपात 2:3:5 के अनुसार, तीनों कोणों के माप को 2x, 3x और 5x के रूप में दर्शाया जा सकता है। कोण योग गुणधर्म का उपयोग करने पर, हमें 2x + 3x + 5x = 180° प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर 10x = 180° प्राप्त होता है। x का मान ज्ञात करने पर x = 18° प्राप्त होता है। परिणामस्वरूप, त्रिभुज का सबसे बड़ा कोण 5x = 5 × 18° = 90° है। ऐसा त्रिभुज जिसका एक कोण ठीक 90° का होता है, समकोण त्रिभुज कहलाता है।

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज में मिश्रधन A की गणना सूत्र A = P(1 + ʳ⁄₁₀₀)ⁿ का उपयोग करके की जाती है, जहाँ P मूलधन है, r वार्षिक ब्याज दर है, और n वर्षों की संख्या है।

दिया गया है: मिश्रधन A = 12,100, दर r = 10%, और समय n = 2 वर्ष, इन मानों को सूत्र में रखने पर:

12100 = P(1 + ¹⁰⁄₁₀₀)² 12100 = P(1 + 0.1)² 12100 = P(1.1)² 12100 = P × 1.21

मूलधन P ज्ञात करने के लिए:

P = (12100)/(1.21) P = 10000

व्याख्या

क्रमिक छूटों d₁, d₂, और d₃ की एक श्रृंखला के लिए एकल समतुल्य छूट ज्ञात करने के लिए, हम उस अंतिम गुणक की गणना करते हैं जिससे मूल मूल्य कम हो जाता है। शुद्ध गुणक गुणनफल (1 - (d₁)/(100)) × (1 - (d₂)/(100)) × (1 - (d₃)/(100)) द्वारा दिया जाता है। 10%, 20% और 25% के दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, गणना 0.9 × 0.8 × 0.75 हो जाती है।

सबसे पहले, पहले दो गुणनखंडों के गुणनफल की गणना करें: 0.9 × 0.8 = 0.72। फिर, इस परिणाम को तीसरे गुणनखंड से गुणा करें: 0.72 × 0.75 = 0.54। इस शुद्ध गुणक को 1 में से घटाकर और परिणाम को प्रतिशत में बदलकर एकल समतुल्य छूट प्राप्त की जाती है: (1 - 0.54) × 100 = 46%।

वैकल्पिक रूप से, पहले दो छूटों 10% और 20% के लिए क्रमिक छूट सूत्र x + y - ˣʸ⁄₁₀₀ को लागू करने पर 10 + 20 - (10 × 20)/(100) = 28% प्राप्त होता है। इसी सूत्र का उपयोग करके इस 28% के परिणाम को 25% की अंतिम छूट के साथ मिलाने पर 28 + 25 - (28 × 25)/(100) = 53 - 7 = 46% प्राप्त होता है।

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज में, केंद्रक G प्रत्येक माध्यिका को शीर्ष से सम्मुख भुजा के मध्य बिंदु तक 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है। दी गई माध्यिकाओं AD और BE के लिए, खंडों AG और BG की गणना निम्नानुसार की जाती है: AG = (2/3) × AD = (2/3) × 9 = 6 सेमी BG = (2/3) × BE = (2/3) × 12 = 8 सेमी

चूंकि माध्यिकाएँ G पर समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं, इसलिए त्रिभुज AGB शीर्ष G पर समकोण वाला एक समकोण त्रिभुज है। हम पाइथागोरस प्रमेय लागू करके भुजा AB की लंबाई निर्धारित कर सकते हैं: AB = √(AG² + BG²) AB = √(6² + 8²) AB = √(36 + 64) AB = √(100) = 10 सेमी

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका tan A = cot(90° - A) का उपयोग करने पर, संबंध tan A = cot B यह दर्शाता है कि A + B = 90° है। दिए गए समीकरण tan(4Θ - 50°) = cot(50° - Θ) में, माना A = 4Θ - 50° और B = 50° - Θ है।

कोणों का योग करने पर: (4Θ - 50°) + (50° - Θ) = 90°

समीकरण को सरल करने पर: 4Θ - Θ - 50° + 50° = 90° 3Θ = 90° Θ = (90°)/(3) Θ = 30°

व्याख्या

3 सेमी, 4 सेमी और 5 सेमी भुजाओं वाला त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है क्योंकि यह पाइथागोरस प्रमेय 3² + 4² = 5² को संतुष्ट करता है। a और b भुजाओं तथा c कर्ण वाले किसी भी समकोण त्रिभुज के लिए, अंतःवृत्त C1 की अंतःत्रिज्या r की गणना सूत्र r = (a + b - c)/(2) का उपयोग करके की जाती है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें r = (3 + 4 - 5)/(2) = ²⁄₂ = 1 सेमी प्राप्त होता है।

एक समकोण त्रिभुज के लिए परिवृत्त C2 की परित्रिज्या R, कर्ण की ठीक आधी होती है, R = ᶜ⁄₂। कर्ण का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें R = ⁵⁄₂ = 2.5 सेमी प्राप्त होता है।

एक वृत्त का क्षेत्रफल π × त्रिज्या² द्वारा दिया जाता है। अंतःवृत्त C1 के क्षेत्रफल का परिवृत्त C2 के क्षेत्रफल से अनुपात है: (C1 का क्षेत्रफल)/(C2 का क्षेत्रफल) = (π r²)/(π R²) = (r²)/(R²)

गणना की गई त्रिज्याओं का मान रखने पर: (1²)/((2.5)²) = (1)/(6.25) = ¹⁰⁰⁄₆₂₅ = ⁴⁄₂₅

व्याख्या

किसी खंभे जैसी स्थिर वस्तु को पार करने में ट्रेन द्वारा लिए गए समय की गणना करने के लिए, तय की जाने वाली दूरी ट्रेन की लंबाई के बराबर होती है। ट्रेन की लंबाई 180 मीटर है। सबसे पहले, रूपांतरण कारक ⁵⁄₁₈ का उपयोग करके ट्रेन की गति को किमी/घंटा से मीटर/सेकंड में बदला जाना चाहिए।

मीटर/सेकंड में गति = 90 × ⁵⁄₁₈ = 5 × 5 = 25 मीटर/सेकंड।

समय के सूत्र, समय = (दूरी)/(गति) का उपयोग करते हुए, हम दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करते हैं:

समय = ¹⁸⁰⁄₂₅ = 7.2 सेकंड।

व्याख्या

x% और y% की दो क्रमिक छूटों के लिए एकल समतुल्य छूट की गणना सूत्र x + y - ˣʸ⁄₁₀₀ का उपयोग करके की जाती है।

40% और 30% के पहले मामले के लिए, प्रभावी छूट 40 + 30 - (40 × 30)/(100) = 70 - 12 = 58% है। 45% और 20% के दूसरे मामले के लिए, प्रभावी छूट 45 + 20 - (45 × 20)/(100) = 65 - 9 = 56% है।

इन प्रभावी छूटों के बीच का अंतर 58% - 56% = 2% है। यह देखते हुए कि यह अंतर अंकित मूल्य (MP) पर 12 रुपये को दर्शाता है, संबंध इस प्रकार है: ²⁄₁₀₀ × MP = 12 MP = (12 × 100)/(2) = 600

व्याख्या

दिए गए समीकरण 5 sin Θ = 3 से, हम यह निर्धारित कर सकते हैं कि sin Θ = ⅗ है। मूल्यांकन किया जाने वाला व्यंजक (sec Θ - tan Θ)/(sec Θ + tan Θ) है। हम इस व्यंजक को बुनियादी त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं sec Θ = (1)/(cos Θ) और tan Θ = (sin Θ)/(cos Θ) का उपयोग करके निम्नानुसार सरल कर सकते हैं:

(sec Θ - tan Θ)/(sec Θ + tan Θ) = (1)/(cos Θ) - (sin Θ)/(cos Θ){(1)/(cos Θ) + (sin Θ)/(cos Θ)}

अंश और हर दोनों को cos Θ से गुणा करने पर व्यंजक सरल होकर निम्न हो जाता है:

(1 - sin Θ)/(1 + sin Θ)

इस सरलीकृत सूत्र में ज्ञात मान sin Θ = ⅗ प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

(1 - 3)/(5){1 + ⅗} = (5 - 3)/(5){(5 + 3)/(5)} = (2)/(5){⁸⁄₅} = ²⁄₈ = ¼

इसलिए, दिए गए व्यंजक का संख्यात्मक मान 1/4 है।

व्याख्या

एक निश्चित गति से दूरी तय करने के लिए आवश्यक समय की गणना सूत्र t = d/v का उपयोग करके की जाती है, जहाँ t समय है, d दूरी है, और v गति है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

t = 1050 किमी / 75 किमी/घंटा

इसे कुशलतापूर्वक हल करने के लिए, दोनों संख्याओं को उनके उभयनिष्ठ गुणनखंडों से विभाजित करें। दोनों को 25 से विभाजित करने पर: 1050 / 25 = 42 75 / 25 = 3

फिर, 42 / 3 = 14.

ट्रेन द्वारा 75 किमी/घंटा की औसत गति से 1050 किमी की दूरी तय करने में लिया गया कुल समय 14 घंटे है।

व्याख्या

बिंदु L से बिंदु M तक व्यक्ति की गति एक समकोण त्रिभुज बनाती है जहाँ पूर्व की ओर 12 किमी की यात्रा और उत्तर की ओर 5 किमी की यात्रा दो भुजाओं (आधार और लंब) के रूप में कार्य करती है। प्रारंभिक बिंदु L और गंतव्य M के बीच की न्यूनतम दूरी इस त्रिभुज का कर्ण है।

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: LM² = आधार² + लंब² LM = √(12² + 5²) LM = √(144 + 25) LM = √(169) LM = 13 किमी

यह परिणाम सीधे पाइथागोरियन त्रिक (5, 12, 13) से प्राप्त होता है, जो a² + b² = c² की शर्त को पूरा करता है।

व्याख्या

छूट की राशि अंकित मूल्य और विक्रय मूल्य के बीच का अंतर है: छूट = 975 - 897 = 78

छूट प्रतिशत की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: छूट % = (छूट)/(अंकित मूल्य) × 100

सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर: छूट % = ⁷⁸⁄₉₇₅ × 100

भिन्न को सरल करने के लिए, हम 78 और 975 को उनके महत्तम समापवर्तक से विभाजित करते हैं, जो कि 39 है: 78 ÷ 39 = 2 975 ÷ 39 = 25

गणना इस प्रकार हो जाती है: छूट % = ²⁄₂₅ × 100 = 8%

व्याख्या

भुजा की लंबाई a वाले एक समबाहु त्रिभुज के लिए, ऊंचाई h सूत्र h = √3{2}a द्वारा भुजा से संबंधित होती है। यह देखते हुए कि ऊंचाई 12√3 सेमी है, हम भुजा की गणना कर सकते हैं:

12√3 = √3{2}a a = 12 × 2 = 24 सेमी

एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल A सूत्र A = √3{4}a² द्वारा निर्धारित किया जाता है। परिकलित भुजा की लंबाई का मान रखने पर:

A = √3{4}(24)² = √3{4}(576) = 144√3 सेमी²

वैकल्पिक रूप से, सूत्र A = (h²)/(√(3)) का उपयोग करके सीधे ऊंचाई से क्षेत्रफल की गणना की जा सकती है। दी गई ऊंचाई का मान रखने पर:

A = (12√3)²{√3} = (144 × 3)/(√(3)) = (432)/(√(3))

हर का परिमेयकरण करने के लिए, अंश और हर को √3 से गुणा करें:

A = 432√3{3} = 144√3 सेमी²

व्याख्या

प्रथम n विषम प्राकृतिक संख्याएँ एक समांतर श्रेणी बनाती हैं जहाँ प्रथम पद a = 1 और सार्व अंतर d = 2 है। समांतर श्रेणी के प्रथम n पदों का योग सूत्र Sₙ = ⁿ⁄₂ [2a + (n - 1)d] द्वारा दिया जाता है। प्रथम n विषम प्राकृतिक संख्याओं के लिए, यह सरल होकर Sₙ = ⁿ⁄₂ [2(1) + (n - 1)2] = ⁿ⁄₂ [2 + 2n - 2] = n² हो जाता है।

समांतर माध्य की गणना संख्याओं के योग को संख्याओं की कुल संख्या से विभाजित करके की जाती है। इसलिए, प्रथम n विषम प्राकृतिक संख्याओं का माध्य Sₙ/n = n²/n = n है। प्रथम 20 विषम प्राकृतिक संख्याओं के लिए, n = 20 है। इसे सरलीकृत सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, समांतर माध्य 20 प्राप्त होता है। वैकल्पिक रूप से, n = 20 के लिए सीधे योग की गणना करने पर S₂₀ = 20² = 400 प्राप्त होता है, और इसे 20 से विभाजित करने पर माध्य 20 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिए गए व्यंजकों का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करने के लिए, हम प्रत्येक बहुपद का गुणनखंड करते हैं। पहले व्यंजक, x⁸ - 1 के लिए, हम वर्गों के अंतर की सर्वसमिका a² - b² = (a - b)(a + b) को बार-बार लागू करते हैं: x⁸ - 1 = (x⁴ - 1)(x⁴ + 1) = (x² - 1)(x² + 1)(x⁴ + 1)। इसे रैखिक गुणनखंडों के रूप में आगे (x - 1)(x + 1)(x² + 1)(x⁴ + 1) के रूप में विभाजित किया जा सकता है।

दूसरे व्यंजक, x⁴ + 2x³ - 2x - 1 के लिए, हम पदों को पुनर्व्यवस्थित और समूहीकृत करते हैं: (x⁴ - 1) + (2x³ - 2x) = (x² - 1)(x² + 1) + 2x(x² - 1)। उभयनिष्ठ पद (x² - 1) को बाहर निकालने पर, हमें प्राप्त होता है: (x² - 1)(x² + 1 + 2x) = (x² - 1)(x + 1)²। पहले भाग का विस्तार करने पर (x - 1)(x + 1)(x + 1)² = (x - 1)(x + 1)³ प्राप्त होता है।

महत्तम समापवर्तक (HCF) सभी उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की न्यूनतम घातों का गुणनफल होता है। गुणनखंड रूपों की तुलना करने पर: पहला व्यंजक: (x - 1)¹ · (x + 1)¹ · (x² + 1)¹ · (x⁴ + 1)¹ दूसरा व्यंजक: (x - 1)¹ · (x + 1)³ उभयनिष्ठ गुणनखंड (x - 1) और (x + 1) हैं। प्रत्येक की न्यूनतम घात लेने पर, महत्तम समापवर्तक (HCF) (x - 1)¹ · (x + 1)¹ है, जो सरल होकर x² - 1 हो जाता है।

व्याख्या

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec² Θ - tan² Θ = 1 को (sec Θ + tan Θ)(sec Θ - tan Θ) = 1 के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है। दिए गए समीकरण sec Θ + tan Θ = p को इस सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर हमें p(sec Θ - tan Θ) = 1 प्राप्त होता है, जिससे sec Θ - tan Θ = ¹⁄ₚ प्राप्त होता है। sec Θ का मान ज्ञात करने के लिए, हम दोनों समीकरणों को आपस में जोड़ते हैं:

(sec Θ + tan Θ) + (sec Θ - tan Θ) = p + ¹⁄ₚ

2 sec Θ = p + ¹⁄ₚ

संपूर्ण समीकरण को 2 से भाग देने पर प्राप्त होता है:

sec Θ = ½ [p + 1 / p]

यह समाधान सभी p ≠ 0 के लिए सत्य है, जैसा कि प्रश्न के प्रतिबंधों में दिया गया है।

व्याख्या

प्रत्येक मिनट में तय की गई दूरी एक समांतर श्रेणी (arithmetic progression) बनाती है जिसमें पहला पद a = 500 मीटर और सार्व अंतर d = 125 मीटर है, जहाँ n = 5 मिनट है। कुल दूरी Sₙ की गणना सूत्र Sₙ = ⁿ⁄₂ [2a + (n-1)d] का उपयोग करके की जाती है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, S₅ = ⁵⁄₂ [2(500) + (5-1)125] = ⁵⁄₂ [1000 + 500] = 3750 मीटर। किमी/घंटा में औसत गति ज्ञात करने के लिए, हम कुल दूरी को किलोमीटर में और कुल समय को घंटों में बदलते हैं। दूरी 3750 / 1000 = 3.75 किमी है और समय 5 / 60 = 1/12 घंटा है। औसत गति कुल दूरी को कुल समय से विभाजित करने पर प्राप्त होती है: 3.75 / (1/12) = 3.75 × 12 = 45 किमी/घंटा।

व्याख्या

मूलधन, दर, समय और साधारण ब्याज के बीच का संबंध सूत्र SI = (P × R × T)/(100) द्वारा परिभाषित किया जाता है। प्रश्न के अनुसार, T = 1 वर्ष की समयावधि के लिए मूलधन P और साधारण ब्याज SI का अनुपात 25:1 है। इसे (P)/(SI) = ²⁵⁄₁ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। ब्याज की दर R ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र को R = (SI × 100)/(P × T) के रूप में पुनर्व्यवस्थित करते हैं। इस समीकरण में दिए गए मानों और अनुपातों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें R = (1 × 100)/(25 × 1) प्राप्त होता है। इस गणना को सरल करने पर R = ¹⁰⁰⁄₂₅ = 4% प्राप्त होता है।

व्याख्या

पुल की लंबाई उस कुल दूरी के बराबर है जो व्यक्ति द्वारा इसे पार करते समय तय की गई है। सूत्र दूरी = गति × समय का उपयोग करते हुए, अंतिम परिणाम के लिए इकाइयों को मीटर में परिवर्तित किया जाना चाहिए।

सबसे पहले, गति को किमी/घंटा से मीटर प्रति मिनट में बदलें: गति = (15 × 1000 मीटर)/(60 मिनट) = 250 मीटर/मिनट

इसके बाद, गति को समय अवधि से गुणा करें: पुल की लंबाई = 250 मीटर/मिनट × 5 मिनट = 1250 मीटर

वैकल्पिक रूप से, समय को घंटों में बदलने पर: समय = ⁵⁄₆₀ घंटे = ¹⁄₁₂ घंटे दूरी = 15 किमी/घंटा × ¹⁄₁₂ घंटे = 1.25 किमी किमी को मीटर में बदलने पर: 1.25 × 1000 = 1250 मीटर

व्याख्या

दिया गया समीकरण (m + 1) = √n + 3 है। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें (m - 2) = √n प्राप्त होता है।

जिस व्यंजक का मान ज्ञात करना है वह ½ ((m³ - 6m² + 12m - 8)/(√(n)) - n) है।

ध्यान दें कि अंश m³ - 6m² + 12m - 8, बीजीय सर्वसमिका (x - a)³ = x³ - 3ax² + 3a²x - a³ का अनुसरण करते हुए (m - 2)³ का प्रसार है। x = m और a = 2 प्रतिस्थापित करने पर, हम पुष्टि करते हैं कि (m - 2)³ = m³ - 6m² + 12m - 8 है।

अंश में (m - 2) = √n प्रतिस्थापित करने पर, हमें (√n)³ प्राप्त होता है, जो सरल होकर n√n हो जाता है। इसे वापस अभीष्ट व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

½ (n√n/{√n} - n)

कोष्ठक के भीतर के भिन्न को सरल करने पर प्राप्त होता है:

½ (n - n) = ½ (0) = 0

व्याख्या

दिए गए व्यंजक को योगान्तरानुपात (componendo and dividendo) के नियम का उपयोग करके सरल किया जा सकता है। x = (a - b)/(a + b) के लिए, हम इसे ˣ⁄₁ = (a - b)/(a + b) के रूप में मानते हैं और गणना करते हैं: (1 - x)/(1 + x) = ((a + b) - (a - b))/((a + b) + (a - b)) = ²ᵇ⁄₂ₐ = ᵇ⁄ₐ

y और z के व्यंजकों पर भी यही तर्क लागू करने पर: (1 - y)/(1 + y) = ((b + c) - (b - c))/((b + c) + (b - c)) = (2c)/(2b) = (c)/(b) (1 - z)/(1 + z) = ((c + a) - (c - a))/((c + a) + (c - a)) = (2a)/(2c) = (a)/(c)

वांछित व्यंजक इन तीनों अलग-अलग घटकों का गुणनफल है: ((1 - x)(1 - y)(1 - z))/((1 + x)(1 + y)(1 + z)) = ((1 - x)/(1 + x)) ((1 - y)/(1 + y)) ((1 - z)/(1 + z)) सरलीकृत भिन्नों का मान रखने पर: ᵇ⁄ₐ · (c)/(b) · (a)/(c) = (abc)/(abc) = 1

व्याख्या

व्यंजक √7 - 1{√7 + 1} - √7 + 1{√7 - 1} को सरल करने के लिए, हम पदों को गुणा करके एक उभयनिष्ठ हर (common denominator) ज्ञात करते हैं:

LHS = (√7 - 1)² - (√7 + 1)²{(√7 + 1)(√7 - 1)}

अंश के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका (algebraic identity) (x - y)² - (x + y)² = -4xy और हर के लिए (x + y)(x - y) = x² - y² का उपयोग करने पर:

अंश (Numerator) = -4(√7)(1) = -4√7 हर (Denominator) = (√7)² - (1)² = 7 - 1 = 6

यह व्यंजक सरल होकर निम्न रूप में आ जाता है: LHS = -4√7{6} = -⅔√7

इस परिणाम की तुलना दिए गए रूप a + √7b से करने पर: 0 - ⅔√7 = a + b√7

परिमेय और अपरिमेय भागों की तुलना (equating) करने पर, हमें a = 0 और b = -2/3 प्राप्त होता है।

व्याख्या

इस व्यंजक में (1)/(√(n) + n+1) के रूप के पद शामिल हैं। संयुग्मी √(n+1) - √n का उपयोग करके प्रत्येक पद के हर का परिमेयकरण करने पर, सामान्य पद Tₙ इस प्रकार सरल हो जाता है: Tₙ = √(n+1) - √n{(√(n+1) + √n)(√(n+1) - √n)} = √(n+1) - √n{(n+1) - n} = √(n+1) - √n

श्रेणी के सभी पदों पर इस रूपांतरण को लागू करने पर एक टेलीस्कोपिंग योग प्राप्त होता है: (√2 - √1) + (√3 - √2) + (√4 - √3) + … + (√9 - √8)

एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी में, मध्यवर्ती पद आपस में कट जाते हैं। विशेष रूप से, एक पद का धनात्मक भाग अगले पद के ऋणात्मक भाग को काट देता है (जैसे, √2 से -√2 कट जाता है, √3 से -√3 कट जाता है, इत्यादि)। इससे पूरे विस्तार के केवल पहले और अंतिम घटक ही बचते हैं: -√1 + √9 = -1 + 3 = 2

व्याख्या

व्यंजक √(a + 2b) + √(a - 2b){√(a + 2b) - √(a - 2b)} = √3{1} पर योगान्तरानुपात नियम (componendo and dividendo rule) लागू करने पर प्राप्त होता है:

(√(a + 2b) + √(a - 2b)) + (√(a + 2b) - √(a - 2b)){(√(a + 2b) + √(a - 2b)) - (√(a + 2b) - √(a - 2b))} = √3 + 1{√3 - 1}

2√(a + 2b){2√(a - 2b)} = √3 + 1{√3 - 1}

करणी (radicals) को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:

(a + 2b)/(a - 2b) = (√3 + 1)²{(√3 - 1)²} = 3 + 1 + 2√3{3 + 1 - 2√3} = 4 + 2√3{4 - 2√3}

दाहिने पक्ष को 2 से विभाजित करके सरल करने पर:

(a + 2b)/(a - 2b) = 2 + √3{2 - √3}

a और b को पृथक करने के लिए एक बार फिर योगान्तरानुपात नियम लागू करने पर:

((a + 2b) + (a - 2b))/((a + 2b) - (a - 2b)) = (2 + √3) + (2 - √3){(2 + √3) - (2 - √3)}

(2a)/(4b) = (4)/(2√(3))

(a)/(2b) = (2)/(√(3))

(a)/(b) = (4)/(√(3))

व्याख्या

कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में, किसी बिंदु (x, y) की y-अक्ष से दूरी उसके x-निर्देशांक के निरपेक्ष मान द्वारा निर्धारित होती है, जबकि x-अक्ष से उसकी दूरी उसके y-निर्देशांक के निरपेक्ष मान द्वारा निर्धारित होती है। चतुर्थ चतुर्थांश में, x-निर्देशांक हमेशा धनात्मक (x > 0) और y-निर्देशांक हमेशा ऋणात्मक (y < 0) होता है। चूंकि बिंदु y-अक्ष से 7 इकाई की दूरी पर है, इसलिए x-निर्देशांक का परिमाण 7 है, और चूंकि यह चतुर्थ चतुर्थांश में है, इसलिए x = 7 है। इसी प्रकार, x-अक्ष से 6 इकाई की दूरी का अर्थ है कि y-निर्देशांक का परिमाण 6 है, और चतुर्थ चतुर्थांश में होने के कारण y = -6 होगा। इन मानों को मिलाने पर निर्देशांक (7, -6) प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

चक्रीय पंचभुज PQRST में, शीर्षों P और S को मिलाएँ। यह रचना वृत्त के भीतर एक चक्रीय चतुर्भुज PQRS और एक त्रिभुज PST बनाती है। चक्रीय चतुर्भुज PQRS के लिए, सम्मुख कोणों का योग 180° होता है। विशेष रूप से, ∠ PQR + ∠ PSR = 180°।

चूंकि PT को वृत्त का व्यास दिया गया है, इसलिए परिधि पर किसी भी बिंदु पर व्यास द्वारा अंतरित कोण एक समकोण होता है। इसलिए, △ PST में, कोण ∠ PST = 90° है। पंचभुज का कुल कोण ∠ RST, ∠ PSR और ∠ PST का योग है।

इन संबंधों को आवश्यक योग में प्रतिस्थापित करने पर, हमें ∠ PQR + ∠ RST = ∠ PQR + (∠ PSR + ∠ PST) प्राप्त होता है। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर (∠ PQR + ∠ PSR) + ∠ PST = 180° + 90° = 270° प्राप्त होता है।

व्याख्या

x = √a + √b{√a - √b} के रूप के एक व्यंजक के लिए, x और इसके व्युत्क्रम ¹⁄ₓ का योग शॉर्टकट 2 ( (a + b)/(a - b) ) का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है। दिए गए समीकरण से a = 3 और b = 2 प्रतिस्थापित करने पर, हमें x + ¹⁄ₓ = 2 ( (3 + 2)/(3 - 2) ) = 10 प्राप्त होता है। x³ + (1)/(x³⁾ का मान ज्ञात करने के लिए, हम बीजगणितीय सर्वसमिका x³ + (1)/(x³⁾ = (x + ¹⁄ₓ)³ - 3(x + ¹⁄ₓ) का उपयोग करते हैं। इस सूत्र में मान 10 प्रतिस्थापित करने पर, हमें 10³ - 3(10) = 1000 - 30 = 970 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दो वृत्त एक-दूसरे को आंतरिक रूप से तब स्पर्श करते हैं जब एक वृत्त दूसरे वृत्त के भीतर इस प्रकार स्थित होता है कि वे अपनी परिधियों पर एक ही उभयनिष्ठ बिंदु साझा करते हैं। इस विन्यास में, दोनों वृत्तों के केंद्र और स्पर्श बिंदु संरेख (collinear) होते हैं। मान लीजिए कि क्रमशः r₁ और r₂ त्रिज्या वाले वृत्तों के केंद्र C₁ और C₂ हैं, और C₁ तथा C₂ के बीच की दूरी d है। यह मानते हुए कि r₁ बड़े वृत्त की त्रिज्या है, C₁ से परिधि पर स्थित स्पर्श बिंदु तक की दूरी r₁ है। यह दूरी दोनों केंद्रों के बीच की दूरी d और छोटे वृत्त की त्रिज्या r₂ के योग के बराबर होती है। इस ज्यामितीय संबंध को समीकरण r₁ = d + r₂ द्वारा व्यक्त किया जाता है। केंद्रों के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर d = r₁ - r₂ प्राप्त होता है। सामान्य शब्दों में, वृत्त आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं यदि उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के निरपेक्ष अंतर, |r₁ - r₂| के बिल्कुल बराबर हो।

व्याख्या

एक समद्विबाहु त्रिभुज में जहाँ AB = AC है, आधार BC पर खींची गई माध्यिका AD, आधार पर लंब भी होती है। इसका अर्थ है कि ∠ ADB = 90° और D, BC का मध्यबिंदु है।

समकोण त्रिभुज ABD में, हम BD की लंबाई ज्ञात करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय लागू कर सकते हैं:

AB² = AD² + BD²

दिए गए मानों को रखने पर: 10² = 8² + BD² 100 = 64 + BD² BD² = 100 - 64 = 36 BD = √(36) = 6 सेमी

चूँकि D, BC का मध्यबिंदु है, इसलिए आधार की कुल लंबाई है: BC = 2 × BD = 2 × 6 = 12 सेमी

व्याख्या

मान लीजिए O वृत्त का केंद्र है और P वृत्त पर स्पर्श बिंदु है। ज्यामिति में, त्रिज्या OP स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा PQ पर लंबवत होती है। इससे एक समकोण त्रिभुज △ OPQ बनता है, जहाँ OQ कर्ण है।

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: OP² + PQ² = OQ²

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ स्पर्श रेखा की लंबाई PQ = 12 सेमी और केंद्र से दूरी OQ = 13 सेमी है: r² + 12² = 13² r² + 144 = 169 r² = 25 r = 5 सेमी

वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी है। वृत्त के निकटतम बिंदु से Q की दूरी को रेखाखंड OQ के अनुदिश मापा जाता है। इस दूरी की गणना केंद्र से Q की कुल दूरी में से त्रिज्या को घटाकर की जाती है: दूरी = OQ - r दूरी = 13 - 5 = 8 सेमी

व्याख्या

लंबवत भुजाओं AB और AC वाले एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण BC की गणना पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके की जाती है: BC = √(AB² + AC²)। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, BC = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √(100) = 10 सेमी।

एक समकोण त्रिभुज के लिए, अंतःवृत्त की त्रिज्या r सूत्र r = (P + B - H)/(2) द्वारा दी जाती है, जहाँ P और B लंबवत भुजाएँ हैं और H कर्ण है। भुजाओं की लंबाई प्रतिस्थापित करने पर, r = (6 + 8 - 10)/(2) = ⁴⁄₂ = 2 सेमी।

वैकल्पिक रूप से, अंतःत्रिज्या संबंध r = (क्षेत्रफल)/(s) का उपयोग करके ज्ञात की जा सकती है, जहाँ s अर्ध-परिमाप है। △ ABC का क्षेत्रफल ½ × 6 × 8 = 24 सेमी² है और अर्ध-परिमाप s = (6 + 8 + 10)/(2) = 12 सेमी है। इस प्रकार, r = ²⁴⁄₁₂ = 2 सेमी।

व्याख्या

मान लीजिए वृत्त की त्रिज्या r है। चूंकि AB वृत्त का व्यास है, इसलिए इसकी लंबाई 2r है, जिससे r = (AB)/(2) प्राप्त होता है। व्यास AB और CD एक-दूसरे पर लंबवत हैं और केंद्र O पर प्रतिच्छेद करते हैं, जिसका अर्थ है ∠ AOC = 90°। समकोण त्रिभुज AOC में, भुजाएँ AO और CO दोनों वृत्त की त्रिज्याएँ हैं, इसलिए AO = CO = r।

△ AOC में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर: AC² = AO² + CO² AC² = r² + r² = 2r² AC = √2r

AC के समीकरण में r = (AB)/(2) का मान रखने पर: AC = √2 × (AB)/(2) AC = (√2/2) AB AC = (1)/(√(2)) AB

व्याख्या

किन्हीं दो समरूप त्रिभुजों के लिए, उनके परिमापों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है, जबकि उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। दिया गया है कि △ ABC ∼ △ DEF और उनके परिमापों का अनुपात 4:1 है, इसलिए उनकी संगत भुजाओं का अनुपात भी 4:1 है। समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल-अनुपात प्रमेय के अनुसार, उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनके परिमापों के अनुपात का वर्ग होता है, जो कि (4/1)² = 16/1 है।

व्याख्या

किसी भी दिए गए समय H:M पर एक घड़ी की घंटे की सुई और मिनट की सुई के बीच के कोण θ की गणना सूत्र θ = |30H - ¹¹⁄₂M| का उपयोग करके की जाती है। समय 7:20 के लिए, H का मान 7 है और M का मान 20 है। इन मानों को सूत्र में रखने पर θ = |30(7) - ¹¹⁄₂(20)| प्राप्त होता है।

इसे सरल करने पर θ = |210 - 110| प्राप्त होता है, जो 100° के बराबर है। यह परिणाम इस तथ्य से प्राप्त होता है कि घंटे की सुई प्रति घंटे 30° और प्रति मिनट 0.5° चलती है, जबकि मिनट की सुई प्रति मिनट 6° चलती है। 7:20 बजे, मिनट की सुई 120-डिग्री की स्थिति पर होती है (गणना: 20 × 6°), और घंटे की सुई 220-डिग्री की स्थिति पर होती है (गणना: 7 × 30° + 20 × 0.5°)। इन दोनों स्थितियों के बीच का अंतर 220° - 120° = 100° है।