एसएससी सीजीएल टियर 1 2013 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

व्यंजक (1)/(1 - a) + (1)/(1 - b) + (1)/(1 - c) का मान ज्ञात करने के लिए, हम बीजीय सर्वसमिका (algebraic identity) (x)/(1 - x) + 1 = (x + (1 - x))/(1 - x) = (1)/(1 - x) का उपयोग कर सकते हैं।

दिया गया समीकरण: (a)/(1 - a) + (b)/(1 - b) + (c)/(1 - c) = 1

समीकरण के बाईं ओर के तीनों पदों में से प्रत्येक में 1 जोड़ें। समानता बनाए रखने के लिए, हमें दाईं ओर 3 जोड़ना होगा: ((a)/(1 - a) + 1) + ((b)/(1 - b) + 1) + ((c)/(1 - c) + 1) = 1 + 3

कोष्ठक के भीतर प्रत्येक पद को सरल करने पर: (a + 1 - a)/(1 - a) + (b + 1 - b)/(1 - b) + (c + 1 - c)/(1 - c) = 4

इसके परिणामस्वरूप प्राप्त होता है: (1)/(1 - a) + (1)/(1 - b) + (1)/(1 - c) = 4

व्याख्या

वास्तविक संख्याओं के किसी भी समुच्चय के लिए, उनके वर्गों का योग शून्य के बराबर केवल और केवल तभी होता है जब प्रत्येक व्यक्तिगत पद शून्य के बराबर हो। दिए गए समीकरण (x - 3)² + (y - 5)² + (z - 4)² = 0 पर इस सिद्धांत को लागू करने पर, हमारे पास (x - 3)² = 0, (y - 5)² = 0, और (z - 4)² = 0 होना चाहिए। इन व्यक्तिगत समीकरणों को हल करने पर x = 3, y = 5, और z = 4 मान प्राप्त होते हैं।

व्यंजक x² / 9 + y² / 25 + z² / 16 का मान ज्ञात करने के लिए, इन मानों को प्रतिस्थापित करें: 3² / 9 + 5² / 25 + 4² / 16 = 9/9 + 25/25 + 16/16 = 1 + 1 + 1 = 3।

व्याख्या

जब x = 6 हो, तो P का मान ज्ञात करने के लिए, दिए गए मान को रैखिक समीकरण ⁴ˣ⁄₃ + 2P = 12 में प्रतिस्थापित करें। इससे निम्नलिखित व्यंजक प्राप्त होता है:

⁴⁽⁶⁾⁄₃ + 2P = 12

पहले पद को सरल करने पर, हम ²⁴⁄₃ की गणना करते हैं, जिसका परिणाम 8 होता है। अब समीकरण इस प्रकार है:

8 + 2P = 12

P वाले पद को अलग करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों से 8 घटाने पर प्राप्त होता है:

2P = 12 - 8

2P = 4

दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर P का अंतिम मान प्राप्त होता है:

P = ⁴⁄₂ = 2

व्याख्या

व्यंजक 4 + 3√3 / (7 + 4√3) को हर का परिमेयकरण करके सरल किया जाता है। ऐसा करने के लिए, अंश और हर दोनों को हर के संयुग्मी (conjugate), जो कि 7 - 4√3 है, से गुणा करें।

हर के लिए, बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)(a - b) = a² - b² का उपयोग करें: (7 + 4√3)(7 - 4√3) = 7² - (4√3)² = 49 - (16 × 3) = 49 - 48 = 1

अंश के लिए, पदों का विस्तार करें: (4 + 3√3)(7 - 4√3) = 4(7) + 4(-4√3) + 3√3(7) + 3√3(-4√3) = 28 - 16√3 + 21√3 - 12(3) = 28 + 5√3 - 36 = 5√3 - 8

इन परिणामों को वापस भिन्न में रखने पर प्राप्त होता है: (5√3 - 8) / 1 = 5√3 - 8

व्याख्या

व्यंजक 16a² - 12a को एक पूर्ण वर्ग बनाने के लिए, इसे (x - y)² = x² - 2xy + y² के रूप में लिखा जाना चाहिए। पदों की तुलना करने पर, हम पाते हैं कि x² = 16a², जिसका अर्थ है x = 4a। मध्य पद -2xy, -12a के संगत है। मध्य पद के समीकरण में x = 4a प्रतिस्थापित करने पर -2(4a)y = -12a प्राप्त होता है। इसे सरल करने पर -8ay = -12a प्राप्त होता है, जिससे y = ¹²ᵃ⁄₈ₐ = ³⁄₂ मिलता है। वर्ग को पूर्ण करने के लिए जोड़ी जाने वाली संख्या y² है। इसकी गणना करने पर, हमें y² = (³⁄₂)² = ⁹⁄₄ प्राप्त होता है। इस मान को जोड़ने पर पूर्ण वर्ग त्रिपद (4a - ³⁄₂)² प्राप्त होता है।

व्याख्या

समीकरण 2x + 3y = 12 के प्रत्येक पद को 12 से विभाजित करके इसे अंतःखंड रूप ˣ⁄ₐ + (y)/(b) = 1 में परिवर्तित किया जा सकता है। इससे ²ˣ⁄₁₂ + ³ʸ⁄₁₂ = ¹²⁄₁₂ प्राप्त होता है, जो सरल होकर ˣ⁄₆ + ʸ⁄₄ = 1 हो जाता है। यह दर्शाता है कि रेखा का x-अक्ष पर एक धनात्मक अंतःखंड x = 6 और y-अक्ष पर एक धनात्मक अंतःखंड y = 4 है।

इन दोनों अंतःखंडों (6, 0) और (0, 4) को जोड़ने वाला रेखाखंड प्रथम चतुर्थांश में स्थित है, जहाँ x और y दोनों धनात्मक हैं। जैसे-जैसे रेखा y-अक्ष के बाईं ओर आगे बढ़ती है, x-निर्देशांक ऋणात्मक हो जाते हैं जबकि y-निर्देशांक धनात्मक रहते हैं, जिसका अर्थ है कि रेखा द्वितीय चतुर्थांश से होकर गुजरती है। जैसे-जैसे रेखा x-अक्ष के दाईं ओर आगे बढ़ती है, x-निर्देशांक धनात्मक रहते हैं जबकि y-निर्देशांक ऋणात्मक हो जाते हैं, जिसका अर्थ है कि रेखा चतुर्थ चतुर्थांश से होकर गुजरती है। व्यंजक 2x + 3y में x और y दोनों के लिए ऋणात्मक मान रखने पर हमेशा एक ऋणात्मक मान प्राप्त होगा, जिससे यह पुष्टि होती है कि रेखा तृतीय चतुर्थांश के बिंदुओं के लिए समीकरण को कभी संतुष्ट नहीं कर सकती है।

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज ABC में, मान लीजिए कि hₐ, h_b, और h_c क्रमशः शीर्षों A, B, और C से सम्मुख भुजाओं a, b, और c पर डाले गए शीर्षलंबों की लंबाई हैं। एक शीर्षलंब द्वारा बनने वाले समकोण त्रिभुज में, शीर्षलंब एक भुजा (लंब) होता है और मूल त्रिभुज की आसन्न भुजाओं में से एक कर्ण का कार्य करती है। चूंकि समकोण त्रिभुज में कर्ण हमेशा सबसे लंबी भुजा होती है, इसलिए प्रत्येक शीर्षलंब उस शीर्ष पर मिलने वाली त्रिभुज की भुजाओं से छोटा होता है। विशेष रूप से, hₐ < c और hₐ < b, h_b < a और h_b < c, तथा h_c < a और h_c < b। संबंधों hₐ < c, h_b < a, और h_c < b को जोड़ने पर, हमें hₐ + h_b + h_c < a + b + c प्राप्त होता है। यह दर्शाता है कि तीनों शीर्षलंबों का योग त्रिभुज के परिमाप से निश्चित रूप से कम होता है।

व्याख्या

एक वृत्त की स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या पर लंबवत होती है, जिससे एक समकोण त्रिभुज बनता है जहाँ बाहरी बिंदु से केंद्र की दूरी कर्ण का कार्य करती है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, स्पर्श रेखा की लंबाई L की गणना सूत्र L = √(d² - r²) का उपयोग करके की जाती है, जहाँ d केंद्र से दूरी है और r त्रिज्या है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, L = √(5² - 4²) = √(25 - 16) = √9 = 3 सेमी। यह परिणाम मानक (3, 4, 5) पाइथागोरस त्रिक (Pythagorean triplet) का अनुसरण करता है।

व्याख्या

चक्रीय चतुर्भुज ABCD में, भुजाओं AD = DC की समानता यह स्थापित करती है कि △ ADC एक समद्विबाहु त्रिभुज है। चूंकि एक समद्विबाहु त्रिभुज के आधार कोण बराबर होते हैं, इसलिए कोण ∠ ACD = ∠ CAD = θ होगा। एक त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग 180° होता है, इसलिए शीर्ष D पर कोण की गणना इस प्रकार की जाती है: ∠ ADC = 180° - (∠ CAD + ∠ ACD) = 180° - 2θ। किसी भी चक्रीय चतुर्भुज में, सम्मुख कोण संपूरक होते हैं, जिसका अर्थ है कि उनका योग 180° होता है। इसलिए, ∠ ABC + ∠ ADC = 180°। इस संबंध में ∠ ADC के व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर, हमें ∠ ABC + (180° - 2θ) = 180° प्राप्त होता है। अज्ञात कोण के लिए इस समीकरण को हल करने पर ∠ ABC = 2θ प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल को सूत्र क्षेत्रफल = (h²)/(√(3)) का उपयोग करके सीधे उसकी ऊंचाई h के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। दिया गया है कि ऊंचाई h = 15 सेमी है, क्षेत्रफल की गणना इस प्रकार की जाती है:

क्षेत्रफल = (15²)/(√(3)) = (225)/(√(3))

इस व्यंजक को सरल करने के लिए, अंश और हर को √3 से गुणा करें:

क्षेत्रफल = 225 · √3/{√3 · √3} = 225√3/{3} = 75√3 वर्ग सेमी।

व्याख्या

वृत्त की त्रिज्या R व्यास की आधी होती है, इसलिए R = 10 सेमी। लंबाई L की किसी भी जीवा के लिए, केंद्र से जीवा की लंबवत दूरी d सूत्र d = √(R²⁾⁻⁽^L^/²⁾^^^² द्वारा दी जाती है, जो त्रिज्या, केंद्र से दूरी और जीवा की आधी लंबाई द्वारा बनने वाले समकोण त्रिभुज में पाइथागोरस प्रमेय से प्राप्त होता है।

12 सेमी लंबाई की पहली जीवा के लिए, केंद्र से दूरी d₁ = √(10²⁾⁻⁽¹²^/²⁾^^^² = √(100 - 36) = √(64) = 8 सेमी है। 16 सेमी लंबाई की दूसरी जीवा के लिए, केंद्र से दूरी d₂ = √(10²⁾⁻⁽¹⁶^/²⁾^^^² = √(100 - 64) = √(36) = 6 सेमी है। चूंकि जीवाएँ केंद्र के विपरीत पक्षों पर स्थित हैं, इसलिए उनके बीच की कुल दूरी इन लंबवत दूरियों का योग है: d₁ + d₂ = 8 + 6 = 14 सेमी।

व्याख्या

आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार, यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समानांतर अन्य दो भुजाओं को प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाती है, तो यह उन दोनों भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है। Δ ABC में, दिया गया है कि DE ∥ AC है, प्रमेय के अनुसार (BD)/(DA) = (BE)/(EC) होगा।

रेखाखंड BD की लंबाई, भुजा AB की कुल लंबाई में से AD को घटाकर प्राप्त की जाती है, जिससे BD = AB - AD = 10 सेमी - 4 सेमी = 6 सेमी प्राप्त होता है। ज्ञात लंबाइयों को आनुपातिकता संबंध में प्रतिस्थापित करने पर, हमें (BE)/(EC) = (BD)/(DA) = ⁶⁄₄ प्राप्त होता है। इस भिन्न के अंश और हर दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक, 2 से विभाजित करके सरल करने पर, ³⁄₂ प्राप्त होता है। अतः, अनुपात BE : CE, 3 : 2 है।

व्याख्या

केंद्र O वाले एक वृत्त में, रेखाखंड OA, OB और OC त्रिज्याएँ हैं, जिसका अर्थ है OA = OB = OC। यह गुण दो समद्विबाहु त्रिभुज, △ OAB और △ OAC बनाता है। △ OAB में, अंतः कोणों का योग 180° होता है। चूंकि OA = OB है, इसलिए आधार कोण बराबर हैं, अतः ∠ OAB = ∠ OBA। गणना इस प्रकार है: 2∠ OAB + ∠ AOB = 180°, जो सरल होकर 2∠ OAB + 90° = 180° हो जाता है, जिसके परिणामस्वरूप ∠ OAB = 45° प्राप्त होता है।

इसी प्रकार, △ OAC में, समानता OA = OC का तात्पर्य है कि ∠ OAC = ∠ OCA। कोण योग गुण से 2∠ OAC + ∠ AOC = 180° प्राप्त होता है, जिससे 2∠ OAC + 110° = 180° प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप ∠ OAC = 35° होता है। उस स्थिति पर विचार करने पर जहाँ B और C त्रिज्या OA के विपरीत पक्षों में हैं, कुल कोण ∠ BAC इन दोनों कोणों का योग है: ∠ BAC = ∠ OAB + ∠ OAC = 45° + 35° = 80°।

व्याख्या

मान लीजिए कि h गुब्बारे की ऊंचाई है और d दो क्रमिक किलोमीटर-पत्थरों के बीच की दूरी है, जो कि 1 किमी है। जब गुब्बारे के एक ही ओर स्थित दो बिंदुओं से उन्नयन कोण α = 30° और β = 60° मापे जाते हैं, तो ऊंचाई सूत्र h = (d)/(cot α - cot β) द्वारा निर्धारित की जाती है। समीकरण में ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें h = (1)/(cot 30° - cot 60°) प्राप्त होता है। त्रिकोणमितीय मानों cot 30° = √3 और cot 60° = 1 / √3 का उपयोग करने पर, हर (denominator) √3 - 1 / √3 हो जाता है, जो सरल होकर (3 - 1) / √3 = 2 / √3 हो जाता है। इसलिए, h = (1)/(2 / √(3)) = √3/2 किमी।

व्याख्या

इस व्यंजक का मान पूरक कोण सर्वसमिका cos θ = sin(90° - θ) और व्युत्क्रम संबंध csc θ = (1)/(sin θ) का उपयोग करके निकाला गया है।

व्यंजक के पहले भाग, 3 cos 80° csc 10° में, हम cos 80° को sin(90° - 80°) = sin 10° से प्रतिस्थापित करते हैं। चूंकि csc 10° = (1)/(sin 10°) है, इसलिए गुणनफल इस प्रकार हो जाता है: 3 sin 10° · (1)/(sin 10°) = 3

व्यंजक के दूसरे भाग, 2 cos 59° csc 31° में, हम cos 59° को sin(90° - 59°) = sin 31° से प्रतिस्थापित करते हैं। चूंकि csc 31° = (1)/(sin 31°) है, इसलिए गुणनफल इस प्रकार हो जाता है: 2 sin 31° · (1)/(sin 31°) = 2

दोनों भागों के परिणामों को जोड़ने पर अंतिम मान प्राप्त होता है: 3 + 2 = 5

व्याख्या

रेडियन और डिग्री के बीच संबंध सर्वसमिका π रेडियन = 180° द्वारा स्थापित होता है। किसी भी कोण को रेडियन से डिग्री में बदलने के लिए, रेडियन माप को परिवर्तन कारक 180°/π से गुणा किया जाता है।

इसे दिए गए मान पर लागू करने पर:

डिग्री में कोण = (3π)/(5) × (180°)/(π)

π का गुणनखंड अंश और हर से कट जाता है, जिससे व्यंजक सरल होकर निम्न हो जाता है:

डिग्री में कोण = (3 × 180°)/(5)

180° को 5 से विभाजित करने पर 36° प्राप्त होता है। इस परिणाम को 3 से गुणा करने पर प्राप्त होता है:

3 × 36° = 108°

व्याख्या

दिया गया समीकरण tan Θ + cot Θ = 2 है। व्युत्क्रम संबंध cot Θ = (1)/(tan Θ) का उपयोग करने पर, यह व्यंजक tan Θ + (1)/(tan Θ) = 2 के बराबर है। बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² = a² + b² + 2ab के अनुसार इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर निम्नलिखित चरण प्राप्त होते हैं:

(tan Θ + cot Θ)² = 2²

tan² Θ + cot² Θ + 2 tan Θ cot Θ = 4

चूंकि tan Θ और cot Θ एक-दूसरे के व्युत्क्रम हैं, इसलिए उनका गुणनफल tan Θ · cot Θ = 1 होता है। इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

tan² Θ + cot² Θ + 2(1) = 4

tan² Θ + cot² Θ = 4 - 2 = 2

वैकल्पिक रूप से, x = tan Θ के लिए समीकरण x + ¹⁄ₓ = 2 केवल तब संतुष्ट होता है जब x = 1 हो। इसका अर्थ है कि tan Θ = 1 और cot Θ = 1 है। इन विशिष्ट मानों को वर्गों के योग में प्रतिस्थापित करने पर 1² + 1² = 2 प्राप्त होता है। यह संबंध यह सुनिश्चित करता है कि किसी भी धनात्मक पूर्णांक घात n के लिए, जब tan Θ + cot Θ = 2 हो, तो योग tanⁿ Θ + cotⁿ Θ का मान 2 के बराबर होगा।

व्याख्या

दिए गए निकाय से Θ को विलोपित करने के लिए, दोनों समीकरणों का वर्ग करें और उन्हें आपस में जोड़ें। दिए गए समीकरण xcos Θ - ysin Θ = 2 और xsin Θ + ycos Θ = 4 हैं।

पहले समीकरण का वर्ग करने पर प्राप्त होता है: x² cos² Θ + y² sin² Θ - 2xy sin Θ cos Θ = 4

दूसरे समीकरण का वर्ग करने पर प्राप्त होता है: x² sin² Θ + y² cos² Θ + 2xy sin Θ cos Θ = 16

इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर परस्पर-गुणनफल (cross-product) पद -2xy sin Θ cos Θ और +2xy sin Θ cos Θ एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं, जिसके परिणामस्वरूप प्राप्त होता है: x² (cos² Θ + sin² Θ) + y² (sin² Θ + cos² Θ) = 4 + 16

मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² Θ + cos² Θ = 1 का उपयोग करने पर, यह व्यंजक सरल होकर निम्न रूप में आ जाता है: x²(1) + y²(1) = 20 x² + y² = 20

व्याख्या

इस व्यंजक का मान घनों के योग और अंतर के बीजीय सर्वसमिकाओं, x³ + y³ = (x + y)(x² - xy + y²) और x³ - y³ = (x - y)(x² + xy + y²) का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है।

पहले घटक, (sin³ A + cos³ A)/(sin A + cos A) को ((sin A + cos A)(sin² A - sin A cos A + cos² A))/(sin A + cos A) के रूप में विस्तारित किया जा सकता है। अंश और हर में उभयनिष्ठ गुणनखंड (sin A + cos A) को निरस्त (cancel) करने के बाद, व्यंजक sin² A + cos² A - sin A cos A के रूप में बचता है। मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² A + cos² A = 1 का उपयोग करने पर, यह सरल होकर 1 - sin A cos A हो जाता है।

दूसरे घटक, (cos³ A - sin³ A)/(cos A - sin A) को भी इसी तरह ((cos A - sin A)(cos² A + cos A sin A + sin² A))/(cos A - sin A) के रूप में विस्तारित किया जाता है। उभयनिष्ठ गुणनखंड (cos A - sin A) को निरस्त करने पर, व्यंजक cos² A + sin² A + cos A sin A बन जाता है, जो सरल होकर 1 + sin A cos A हो जाता है।

दोनों सरलीकृत घटकों को एक साथ जोड़ने पर (1 - sin A cos A) + (1 + sin A cos A) प्राप्त होता है। पद -sin A cos A और +sin A cos A एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं, जिससे अंतिम मान 1 + 1 = 2 बचता है।

व्याख्या

मान लीजिए a = 1/x, b = 1/y, और c = 1/z है। दिया गया समीकरण 1 / x² + 1 / y² + 1 / z² = 1 / xy + 1 / yz + 1 / zx बीजगणितीय सर्वसमिका a² + b² + c² = ab + bc + ca में परिवर्तित हो जाता है।

संपूर्ण समीकरण को 2 से गुणा करने और पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें प्राप्त होता है: 2a² + 2b² + 2c² - 2ab - 2bc - 2ca = 0

इस व्यंजक को पूर्ण वर्गों के योग के रूप में समूहीकृत किया जा सकता है: (a² - 2ab + b²) + (b² - 2bc + c²) + (c² - 2ca + a²) = 0 (a - b)² + (b - c)² + (c - a)² = 0

वास्तविक संख्याओं के वर्गों का योग शून्य होने के लिए, प्रत्येक व्यक्तिगत वर्ग पद स्वतंत्र रूप से शून्य होना चाहिए। इससे समीकरणों का निम्नलिखित समूह प्राप्त होता है: a - b = 0 ⟹ a = b b - c = 0 ⟹ b = c c - a = 0 ⟹ c = a

इसलिए, a = b = c। मूल चरों को वापस संबंध में प्रतिस्थापित करने पर 1/x = 1/y = 1/z प्राप्त होता है, जो सरल होकर x = y = z हो जाता है।

व्याख्या

a cos Θ - b sin Θ का मान ज्ञात करने के लिए, मान लेते हैं कि इस व्यंजक को x द्वारा दर्शाया गया है। दिए गए समीकरण a sin Θ + b cos Θ = c और x के व्यंजक दोनों का वर्ग करके, हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका (a sin Θ + b cos Θ)² + (a cos Θ - b sin Θ)² = a² + b² का उपयोग कर सकते हैं। यह सर्वसमिका वर्गों का विस्तार करके प्राप्त की जाती है, जिसके परिणामस्वरूप a² sin² Θ + b² cos² Θ + 2ab sin Θ cos Θ + a² cos² Θ + b² sin² Θ - 2ab sin Θ cos Θ प्राप्त होता है। परस्पर गुणन वाले पद (cross-product terms) एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं, और शेष पद सरल होकर a²(sin² Θ + cos² Θ) + b²(sin² Θ + cos² Θ) हो जाते हैं, जो a² + b² के बराबर है क्योंकि sin² Θ + cos² Θ = 1 होता है।

सर्वसमिका में दिए गए मान c को प्रतिस्थापित करने पर c² + x² = a² + b² प्राप्त होता है। x के लिए हल करने पर x² = a² + b² - c² प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, व्यंजक का मान x = ± √(a² + b² - c²) प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिए गए समीकरणों x = a sec Θ cos Φ, y = b sec Θ sin Φ, और z = c tan Θ को वांछित व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

(x²)/(a²) + (y²)/(b²) - (z²)/(c²) = ((a sec Θ cos Φ)²)/(a²) + ((b sec Θ sin Φ)²)/(b²) - ((c tan Θ)²)/(c²)

अचरों a², b², और c² को विभाजित करके पदों को सरल करने पर:

= sec² Θ cos² Φ + sec² Θ sin² Φ - tan² Θ

पहले दो पदों में से sec² Θ को उभयनिष्ठ लेने पर:

= sec² Θ (cos² Φ + sin² Φ) - tan² Θ

चूंकि त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos² Φ + sin² Φ = 1 होती है, इसलिए व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:

= sec² Θ (1) - tan² Θ

= sec² Θ - tan² Θ

मूल सर्वसमिका sec² Θ - tan² Θ = 1 का उपयोग करने पर, अंतिम मान 1 है।

व्याख्या

माना मोहन द्वारा सही हल किए गए प्रश्नों की संख्या x है। चूंकि उसने कुल 30 प्रश्नों को हल करने का प्रयास किया था, इसलिए उसके द्वारा गलत हल किए गए प्रश्नों की संख्या 30 - x है।

अंक योजना के आधार पर, उसे प्रत्येक सही उत्तर के लिए 3 अंक मिलते हैं और प्रत्येक गलत उत्तर के लिए 2 अंक कट जाते हैं। कुल प्राप्तांक को निम्नलिखित समीकरण द्वारा दर्शाया जा सकता है: 3x - 2(30 - x) = 40

समीकरण का विस्तार और सरलीकरण करने पर: 3x - 60 + 2x = 40 5x - 60 = 40 5x = 100 x = 20

मोहन ने 20 प्रश्नों को सही ढंग से हल किया, जिससे उसे 60 अंक मिले, जबकि 10 गलत प्रश्नों के कारण 20 अंकों की कटौती हुई, जिससे उसका अंतिम प्राप्तांक 40 रहा।

व्याख्या

समीकरण (sec Θ + tan Θ)/(sec Θ - tan Θ) = ⁵⁄₃ पर योगान्तरानुपात नियम (componendo and dividendo rule) लागू करने से इसका सीधा सरलीकरण किया जा सकता है:

((sec Θ + tan Θ) + (sec Θ - tan Θ))/((sec Θ + tan Θ) - (sec Θ - tan Θ)) = (5 + 3)/(5 - 3)

(2 sec Θ)/(2 tan Θ) = ⁸⁄₂

(sec Θ)/(tan Θ) = 4

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं sec Θ = (1)/(cos Θ) और tan Θ = (sin Θ)/(cos Θ) को प्रतिस्थापित करने पर, यह व्यंजक निम्न प्रकार बन जाता है:

(1 / cos Θ)/(sin Θ / cos Θ) = 4

(1)/(sin Θ) = 4

sin Θ = ¼

व्याख्या

720 के अंकित मूल्य पर 10% की पहली छूट के बाद मूल्य है: 720 × (1 - ¹⁰⁄₁₀₀) = 720 × 0.9 = 648

दूसरी छूट 648 के इस मध्यवर्ती मूल्य पर लागू की जाती है जिसके परिणामस्वरूप अंतिम मूल्य 550.80 प्राप्त होता है। दूसरी छूट की राशि है: 648 - 550.80 = 97.20

दूसरी छूट की दर की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: दूसरी छूट % = ((छूट की राशि)/(पहली छूट के बाद का मूल्य)) × 100 ((97.20)/(648)) × 100 = ⁹⁷²⁰⁄₆₄₈ = 15%

व्याख्या

मान लीजिए टंकी की कुल क्षमता 12 और 15 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 60 इकाई है। पाइप P की भरने की दर 60 / 12 = 5 इकाई प्रति मिनट है, और पाइप Q की भरने की दर 60 / 15 = 4 इकाई प्रति मिनट है। जब दोनों पाइपों को एक साथ खोला जाता है, तो उनकी संयुक्त दर 5 + 4 = 9 इकाई प्रति मिनट होती है।

पहले 3 मिनट में, दोनों पाइप 9 × 3 = 27 इकाई भरते हैं। टंकी में भरने के लिए शेष आयतन 60 - 27 = 33 इकाई है। पाइप P को बंद करने के बाद, पाइप Q अकेले 4 इकाई प्रति मिनट की अपनी दर से टंकी को भरना जारी रखता है। इसलिए, शेष भाग को भरने के लिए पाइप Q द्वारा आवश्यक अतिरिक्त समय 33 / 4 मिनट है, जो सरल करने पर 8 1/4 मिनट हो जाता है।

व्याख्या

शिक्षक की आयु की गणना शिक्षक सहित समूह की कुल आयु और शिक्षक को बाहर करने के बाद की कुल आयु के बीच के अंतर को ज्ञात करके की जाती है। प्रारंभ में, 15 व्यक्ति (14 लड़कियां और 1 शिक्षक) हैं जिनकी औसत आयु 15 वर्ष है, जिससे कुल योग 15 × 15 = 225 वर्ष होता है। जब शिक्षक को बाहर कर दिया जाता है, तो व्यक्तियों की संख्या 14 हो जाती है और औसत आयु 1 वर्ष घटकर 14 वर्ष हो जाती है, जिसके परिणामस्वरूप नया कुल योग 14 × 14 = 196 वर्ष होता है। शिक्षक की आयु इन दोनों योगों के बीच का अंतर है: 225 - 196 = 29 वर्ष। इसे शॉर्टकट सूत्र का उपयोग करके भी हल किया जा सकता है जहाँ बाहर निकाला गया मान पुराने औसत और नई संख्या तथा औसत में परिवर्तन के गुणनफल के योग के बराबर होता है: 15 + (14 × 1) = 29 वर्ष।

व्याख्या

33 - 4√(35) का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए, हम इस व्यंजक को (x - y)² = x² + y² - 2xy के रूप में व्यक्त करते हैं।

दिए गए व्यंजक 33 - 4√(35) की तुलना सर्वसमिका से करने पर, हम अपरिमेय भाग को 2xy के बराबर रखते हैं: 2xy = 4√(35) xy = 2√(35) = √(4 × 35) = √(140)

हमें √(140) के ऐसे दो गुणनखंड ज्ञात करने की आवश्यकता है जिनके वर्गों का योग 33 हो। माना वे गुणनखंड 2√7 और √5 हैं। उनके वर्गों के योग की जाँच करने पर: (2√7)² + (√5)² = (4 × 7) + 5 = 28 + 5 = 33

चूंकि वर्गों का योग अचर पद 33 से मेल खाता है, इसलिए हम मूल व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं: 33 - 4√(35) = (2√7)² + (√5)² - 2(2√7)(√5) = (2√7 - √5)²

(2√7 - √5)² का वर्गमूल लेने पर ± (2√7 - √5) प्राप्त होता है।

व्याख्या

छूट देने के बाद लाभ प्राप्त करने की इच्छा होने पर अंकित मूल्य (MP) और क्रय मूल्य (CP) के बीच का संबंध निम्नलिखित अनुपात द्वारा दिया जाता है:

(MP)/(CP) = (100 + लाभ%)/(100 - छूट%)

यह देखते हुए कि निर्माण लागत (CP) 900 है, वांछित लाभ 25% है, और दी जाने वाली छूट 10% है, हम इन मानों को सूत्र में रखते हैं:

(MP)/(900) = (100 + 25)/(100 - 10)

(MP)/(900) = ¹²⁵⁄₉₀

अंकित मूल्य ज्ञात करने के लिए समीकरण को सरल करने पर:

MP = ¹²⁵⁄₉₀ × 900

MP = 125 × 10

MP = 1250

अंकित मूल्य को 1250 पर निर्धारित करके, व्यापारी यह सुनिश्चित करता है कि 10% की कमी (125) के बाद भी, 1125 का विक्रय मूल्य 900 की मूल लागत पर 25% का लाभ प्रदान करता है।

व्याख्या

त्रिभुजाकार मैदान की भुजाएँ 15 मीटर, 20 मीटर और 25 मीटर हैं। हम पाइथागोरस प्रमेय लागू करके यह जांच सकते हैं कि क्या यह एक समकोण त्रिभुज है, जहाँ सबसे लंबी भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होना चाहिए। यहाँ, 15² + 20² = 225 + 400 = 625, और 25² = 625 है। चूँकि 15² + 20² = 25² है, इसलिए यह मैदान 15 मीटर आधार और 20 मीटर ऊँचाई वाला एक समकोण त्रिभुज है।

एक समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना सूत्र क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई का उपयोग करके की जाती है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें क्षेत्रफल = ½ × 15 × 20 = 15 × 10 = 150 वर्ग मीटर प्राप्त होता है।

बीज बोने की लागत 5 रुपये प्रति वर्ग मीटर दी गई है। इसलिए, कुल लागत = क्षेत्रफल × दर = 150 × 5 = 750 रुपये है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण a² + 1 = a है, जिसे a² - a + 1 = 0 के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। यह व्यंजक घनों के योग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का एक गुणनखंड है: (a + 1)(a² - a + 1) = a³ + 1। चूंकि a² - a + 1 = 0 है, इसलिए a³ + 1 = 0 प्राप्त होता है, जिससे a³ = -1 मिलता है।

मूल्यांकन किया जाने वाला व्यंजक a¹² + a⁶ + 1 है। हम a की उच्च घातों को a³ के पदों में पुनः लिख सकते हैं: a¹² = (a³)⁴ = (-1)⁴ = 1 a⁶ = (a³)² = (-1)² = 1

इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: 1 + 1 + 1 = 3

द्विघात समीकरण और घन सर्वसमिका के बीच संबंध की पहचान करके, हम यह निर्धारित करते हैं कि a की कोई भी घात जो 6 का गुणज है, वह 1 के बराबर होगी, जबकि 3 का कोई भी विषम गुणज -1 के बराबर होगा। यह चक्रीय गुण अंतिम मान के सीधे प्रतिस्थापन और गणना की अनुमति देता है।

व्याख्या

यदि कोई व्यक्ति अन्य लोगों द्वारा भुगतान की जाने वाली राशि का ¹⁄ₙ भुगतान करता है, तो कुल लागत T में उसका हिस्सा ¹⁄ₙ₊₁ × T द्वारा दिया जाता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि यदि X = ¹⁄ₙ(T - X), तो nX = T - X, जिसे सरल करने पर (n+1)X = T या X = (T)/(n+1) प्राप्त होता है।

दिया गया है कि कुल लागत T = 60:

A अन्य लोगों द्वारा भुगतान की जाने वाली राशि का ½ भुगतान करता है, इसलिए A = ¹⁄₂₊₁ × 60 = ⁶⁰⁄₃ = 20. B अन्य लोगों द्वारा भुगतान की जाने वाली राशि का ⅓ भुगतान करता है, इसलिए B = ¹⁄₃₊₁ × 60 = ⁶⁰⁄₄ = 15. C अन्य लोगों द्वारा भुगतान की जाने वाली राशि का ¼ भुगतान करता है, इसलिए C = ¹⁄₄₊₁ × 60 = ⁶⁰⁄₅ = 12.

A, B और C द्वारा भुगतान की गई कुल राशि = 20 + 15 + 12 = 47 है।

D द्वारा भुगतान की गई राशि उपहार की कुल कीमत की शेष राशि है: D = 60 - (A + B + C) = 60 - 47 = 13।

व्याख्या

दी गई द्विआधारी संक्रिया (binary operation) सूत्र ab = a + b + (a)/(b) द्वारा परिभाषित है। 124 का मान ज्ञात करने के लिए, हम इस व्यंजक में a = 12 और b = 4 मान प्रतिस्थापित करते हैं।

मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: 12^*4 = 12 + 4 + ¹²⁄₄

पदों की गणना करने पर: 12 + 4 = 16 ¹²⁄₄ = 3

इन परिणामों को आपस में जोड़ने पर: 16 + 3 = 19

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज ABC में, मान लीजिए कि BC आधार है और AM इस आधार पर खींची गई माध्यिका है। चूँकि M, BC का मध्यबिंदु है, इसलिए हमारे पास BM = MC = ½ BC है। प्रश्न के अनुसार, माध्यिका की लंबाई आधार की लंबाई की आधी है, इसलिए AM = ½ BC है। परिणामस्वरूप, AM = BM = MC।

इस समानता का तात्पर्य है कि बिंदु M तीनों शीर्षों A, B और C से समान दूरी पर है। ज्यामिति में, त्रिभुज के सभी शीर्षों से समान दूरी पर स्थित बिंदु परिकेंद्र (circumcenter) होता है। जब किसी त्रिभुज का परिकेंद्र उसकी एक भुजा पर (विशेष रूप से, कर्ण के मध्यबिंदु पर) स्थित होता है, तो वह त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज होता है। यह थेल्स के प्रमेय (Thales's Theorem) का प्रत्यक्ष परिणाम है, जिसके अनुसार अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है। यहाँ, BC, M पर केंद्रित एक वृत्त के व्यास के रूप में कार्य करता है, और चूँकि A इस वृत्त पर स्थित है, इसलिए ∠ BAC = 90° होना चाहिए।

वैकल्पिक रूप से, माध्यिका द्वारा निर्मित दो समद्विबाहु त्रिभुजों के कोणों पर विचार करें। △ ABM में, चूँकि AM = BM है, मान लीजिए ∠ MAB = ∠ MBA = α है। △ ACM में, चूँकि AM = MC है, मान लीजिए ∠ MAC = ∠ MCA = β है। △ ABC के आंतरिक कोणों का योग ∠ ABC + ∠ BCA + ∠ BAC = 180° है। कोणों के मान प्रतिस्थापित करने पर α + β + (α + β) = 180° प्राप्त होता है, जो सरल होकर 2(α + β) = 180° हो जाता है। इसके परिणामस्वरूप α + β = 90° प्राप्त होता है। चूँकि ∠ BAC = α + β है, इसलिए त्रिभुज में शीर्ष A पर एक समकोण है।

व्याख्या

किन्हीं भी तीन रेखाखंडों द्वारा एक त्रिभुज बनाने के लिए, उन्हें त्रिभुज असमानता प्रमेय (Triangle Inequality Theorem) को संतुष्ट करना होगा, जिसके अनुसार किन्हीं भी दो भुजाओं की लंबाइयों का योग तीसरी भुजा की लंबाई से अधिक होना चाहिए: a + b > c। दिए गए 2 सेमी, 3 सेमी, 5 सेमी और 6 सेमी के चार रेखाखंडों में से, हम तीन रेखाखंडों के संभावित संयोजनों का परीक्षण यह जाँच कर सकते हैं कि क्या दो सबसे छोटे रेखाखंडों का योग उस समूह के सबसे लंबे रेखाखंड से अधिक है।

संयोजन (2, 3, 5) के लिए, योग 2 + 3 = 5 है, जो 5 से अधिक नहीं है। संयोजन (2, 3, 6) के लिए, योग 2 + 3 = 5 है, जो 6 से कम है। संयोजन (2, 5, 6) के लिए, योग 2 + 5 = 7 है, जो 6 से अधिक है, जो इस शर्त को संतुष्ट करता है। संयोजन (3, 5, 6) के लिए, योग 3 + 5 = 8 है, जो 6 से अधिक है, जो इस शर्त को भी संतुष्ट करता है। परिणामस्वरूप, रेखाखंडों के केवल दो समूह ही एक त्रिभुज बना सकते हैं।

व्याख्या

दिए गए समीकरण x² + y² + z² = 2(x - y - z) - 3 के सभी पदों को समीकरण के बाईं ओर लाकर इस प्रकार पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है: x² - 2x + y² + 2y + z² + 2z + 3 = 0। अचर 3 को 1 + 1 + 1 में विभाजित करके, व्यंजक को प्रत्येक चर के लिए पूर्ण वर्ग के रूप में समूहीकृत किया जा सकता है: (x² - 2x + 1) + (y² + 2y + 1) + (z² + 2z + 1) = 0। यह वर्गों के योग के रूप में सरल हो जाता है: (x - 1)² + (y + 1)² + (z + 1)² = 0।

वास्तविक संख्याओं x, y और z के लिए, वर्ग पदों का योग शून्य केवल और केवल तभी होता है जब प्रत्येक व्यक्तिगत पद शून्य के बराबर हो। इसलिए, हम x - 1 = 0, y + 1 = 0, और z + 1 = 0 रखते हैं, जिससे मान x = 1, y = -1, और z = -1 प्राप्त होते हैं। इन विशिष्ट मानों को आवश्यक व्यंजक 2x - 3y + 4z में प्रतिस्थापित करने पर 2(1) - 3(-1) + 4(-1) प्राप्त होता है। अंकगणितीय गणना करने पर 2 + 3 - 4 प्राप्त होता है, जो 1 के बराबर है।

व्याख्या

मान लीजिए कि शांत जल में तैराक की गति u है और धारा की गति v है।

जब तैराक 5 मिनट तक धारा के विपरीत (प्रतिकूल) चलता है, तो बिंदु A से एक मध्यवर्ती बिंदु C तक तय की गई दूरी है: AC = (u - v) × 5

जब तैराक अगले 5 मिनट के लिए बिंदु C से बिंदु B तक धारा के अनुकूल (अनुप्रवाह) चलता है, तो तय की गई दूरी है: CB = (u + v) × 5

दूरी AB प्रारंभिक बिंदु से शुद्ध विस्थापन को दर्शाती है। चूंकि धारा के अनुकूल गति, धारा के विपरीत गति से अधिक है, इसलिए बिंदु B, बिंदु A से धारा के अनुकूल दिशा में स्थित है। दूरियों के बीच संबंध है: AB = CB - AC 100 = 5(u + v) - 5(u - v) 100 = 5u + 5v - 5u + 5v 100 = 10v v = 10 मीटर/मिनट

गति को मीटर प्रति मिनट से किलोमीटर प्रति घंटे में बदलने के लिए: v = (10 × 60)/(1000) = ⁶⁰⁰⁄₁₀₀₀ = 0.6 किमी/घंटा

व्याख्या

मान लीजिए O₁ और O₂ दोनों वृत्तों के केंद्र हैं और M रेखाखंड O₁O₂ तथा उभयनिष्ठ जीवा AB का प्रतिच्छेदन बिंदु है। ज्यामिति में, दो प्रतिच्छेदी वृत्तों के केंद्रों को मिलाने वाली रेखा उनकी उभयनिष्ठ जीवा की लंब समद्विभाजक होती है। इस प्रकार, AM = MB = (AB)/(2) = ⁸⁄₂ = 4 सेमी और ∠ O₁MA = 90° है।

समकोण त्रिभुज O₁MA में, भुजा O₁A वृत्त की त्रिज्या है, जो 5 सेमी दी गई है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: O₁M = √(O₁A² - AM²) O₁M = √(5² - 4²) = √(25 - 16) = √9 = 3 सेमी।

चूंकि दोनों वृत्तों की त्रिज्या समान है, इसलिए मध्यबिंदु M से प्रत्येक केंद्र की दूरी समान होगी, अर्थात O₁M = MO₂ = 3 सेमी। केंद्रों O₁O₂ के बीच की कुल दूरी इन दोनों रेखाखंडों का योग है: O₁O₂ = O₁M + MO₂ = 3 + 3 = 6 सेमी।

व्याख्या

मान लीजिए कि समचतुर्भुज ABCD की भुजा a है। चूँकि E, A, B, F संरेख हैं और EA = AB = BF है, इसलिए हमारे पास EA = AB = BF = BC = CD = DA = a है।

मान लीजिए ∠ DAB = θ है। △ EAD में, चूँकि EA = AD = a है, इसलिए यह त्रिभुज समद्विबाहु है। बाह्य कोण ∠ DAB = θ, अंतः अभिमुख कोणों के योग ∠ AED + ∠ ADE के बराबर है। चूँकि ये कोण बराबर हैं, इसलिए ∠ AED = θ/2 होगा।

△ BCF में, बाह्य कोण ∠ CBF, ∠ DAB के बराबर है (संगत कोण क्योंकि AD ∥ BC), इसलिए ∠ CBF = θ है। चूँकि BC = BF = a है, इसलिए △ BCF भी समद्विबाहु है। इसके अंतः कोणों का योग 180° होता है, इसलिए 2 ∠ BFC + ∠ CBF = 180° है। इससे हमें ∠ BFC = (180° - θ)/2 = 90° - θ/2 प्राप्त होता है।

आधार EF के साथ ED और CF के प्रतिच्छेदन से बने त्रिभुज पर विचार कीजिए। मान लीजिए प्रतिच्छेदन बिंदु P है। △ PEF में, कोणों का योग 180° होना चाहिए। हमारे पास ∠ PEF = ∠ AED = θ/2 और ∠ PFE = ∠ BFC = 90° - θ/2 है।

प्रतिच्छेदन पर बना कोण ∠ EPF = 180° - (∠ PEF + ∠ PFE) = 180° - (θ/2 + 90° - θ/2) = 180° - 90° = 90° है।

इसलिए, ED, CF पर लंबवत है, जिसे ED ⊥ CF के रूप में व्यक्त किया जाता है।

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज में, परित्रिज्या R कर्ण c की आधी होती है, जिसे R = ᶜ⁄₂ के रूप में व्यक्त किया जाता है। दिया गया है R = 15 सेमी, इसलिए कर्ण c = 2 × 15 = 30 सेमी। एक समकोण त्रिभुज की अंतःत्रिज्या r सूत्र r = (a + b - c)/(2) द्वारा दी जाती है, जहाँ a और b अन्य दो भुजाएँ हैं। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, 6 = (a + b - 30)/(2), जो सरल करने पर a + b = 42 सेमी हो जाता है।

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए, a² + b² = c² = 30² = 900। हम समीकरण निकाय a + b = 42 और a² + b² = 900 को हल करके भुजाएँ ज्ञात कर सकते हैं। दूसरे समीकरण में b = 42 - a प्रतिस्थापित करने पर a² + (42 - a)² = 900 प्राप्त होता है, जो सरल होकर 2a² - 84a + 1764 = 900, या a² - 42a + 432 = 0 हो जाता है। गुणनखंडों 18 × 24 = 432 और 18 + 24 = 42 का उपयोग करके इस द्विघात समीकरण को हल करने पर, हमें a = 18 और b = 24 प्राप्त होता है। इसलिए, त्रिभुज की भुजाएँ 18 सेमी, 24 सेमी और 30 सेमी हैं।

व्याख्या

एक सीधी सड़क के एक किनारे पर लगाए जाने वाले पेड़ों की संख्या, सड़क की कुल लंबाई को पेड़ों के बीच की दूरी से विभाजित करके और प्रारंभिक बिंदु पर पेड़ के लिए एक जोड़कर निर्धारित की जाती है। सूत्र N = (L)/(d) + 1 का उपयोग करने पर, जहाँ L सड़क की लंबाई है और d पेड़ों के बीच की दूरी है, हमें एक तरफ के लिए ¹⁷⁶⁰⁄₂₀ + 1 = 88 + 1 = 89 पेड़ मिलते हैं। चूंकि पेड़ सड़क के दोनों ओर लगाए गए हैं, इसलिए पेड़ों की कुल संख्या 89 × 2 = 178 है।

व्याख्या

मान लीजिए कि त्रिभुज की भुजाएँ 4k, 5k और 6k हैं। अर्ध-परिमाप s इस प्रकार दिया गया है: s = (4k + 5k + 6k)/(2) = ¹⁵ᵏ⁄₂ = 7.5k। त्रिभुज के क्षेत्रफल Δ को इसकी अंतःत्रिज्या r और अर्ध-परिमाप s के पदों में सूत्र Δ = r · s का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है। दी गई अंतःत्रिज्या r = 3 सेमी का मान रखने पर, क्षेत्रफल Δ = 3 · 7.5k = 22.5k प्राप्त होता है।

त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना Δ = ½ · आधार · शीर्षलंब के रूप में भी की जाती है। सबसे बड़ी भुजा (6k) को आधार मानते हुए संगत शीर्षलंब h के लिए, क्षेत्रफल Δ = ½ · 6k · h = 3kh है।

क्षेत्रफल के दोनों समीकरणों को बराबर करने पर 3kh = 22.5k प्राप्त होता है। चूँकि k भुजा की लंबाई के अनुपात का गुणक है और शून्य नहीं हो सकता, इसलिए h का मान ज्ञात करने के लिए हम दोनों पक्षों को 3k से विभाजित करते हैं। इससे h = (22.5)/(3) = 7.5 सेमी प्राप्त होता है।

व्याख्या

दी गई आकृति में, दोनों वृत्तों की त्रिज्या a है और वे एक-दूसरे के केंद्रों O और O' से होकर गुजरते हैं। इसलिए, केंद्रों के बीच की दूरी OO' = a है। चूंकि बिंदु A और B दोनों वृत्तों के प्रतिच्छेद बिंदु हैं, इसलिए वे दोनों केंद्रों O और O' से a दूरी पर हैं। परिणामस्वरूप, OA = O'A = OB = O'B = a है।

चतुर्भुज AOBO' दो समबाहु त्रिभुजों, △ AOO' और △ BOO' से मिलकर बना है, जो उभयनिष्ठ भुजा OO' को साझा करते हैं। इन त्रिभुजों की सभी भुजाएँ (OA, O'A, OO', OB, O'B) a के बराबर हैं। भुजा की लंबाई a वाले एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र √3/4 a² द्वारा दिया जाता है। चूंकि चतुर्भुज में ऐसे दो त्रिभुज शामिल हैं, इसलिए इसका कुल क्षेत्रफल 2 × √3/4 a² = √3/2 a² है।

व्याख्या

एक संयुक्त समूह के समांतर माध्य की गणना उसके घटक भागों के माध्य के भारित योग के रूप में की जाती है। मान लीजिए कि शेष 55 प्रतिशत छात्रों का माध्य अंक x है। कुल समूह को 100 प्रतिशत मानते हुए, अंकों के कुल योग को निम्नलिखित समीकरण द्वारा दर्शाया जा सकता है:

100 × 52 = (20 × 80) + (25 × 31) + (55 × x)

5200 = 1600 + 775 + 55x

5200 = 2375 + 55x

55x = 5200 - 2375

55x = 2825

x = ²⁸²⁵⁄₅₅ ≈ 51.3636

दशमलव के एक स्थान तक पूर्णांकित करने पर गणना से लगभग 51.4 प्रतिशत का मान प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है। दिए गए अनुपात ∠ A: ∠ B: ∠ C = 2: 3: 4 के अनुसार, हम कोणों को 2x, 3x और 4x के रूप में दर्शा सकते हैं। इनका योग करने पर 2x + 3x + 4x = 180° प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर 9x = 180° होता है, जिसके परिणामस्वरूप x = 20° प्राप्त होता है। इसलिए, ∠ A = 2 × 20° = 40°।

चूंकि रेखा CD, AB के समांतर खींची गई है, इसलिए भुजा AC इन समांतर रेखाओं को प्रतिच्छेद करने वाली एक तिर्यक रेखा के रूप में कार्य करती है। समांतर रेखाओं के गुणों के अनुसार, एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं। इस प्रकार, ∠ ACD = ∠ BAC = ∠ A। ∠ A का मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है कि ∠ ACD = 40°।

व्याख्या

एक बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) 2π rh होता है और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) 2π r(h+r) होता है। दिया गया अनुपात CSA : TSA = 1:2 है, इसलिए हमारे पास है:

(2π rh)/(2π r(h+r)) = ½ ʰ⁄ₕ₊ᵣ = ½ 2h = h+r ⇒ h = r

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 616 सेमी² दिया गया है। TSA सूत्र में h=r रखने पर:

2π r(r+r) = 4π r² = 616 4 × ²²⁄₇ × r² = 616 r² = (616 × 7)/(88) = 7 × 7 = 49 r = 7 सेमी

चूंकि h = r है, इसलिए ऊंचाई h भी 7 सेमी होगी। बेलन के आयतन V की गणना इस प्रकार की जाती है:

V = π r² h = ²²⁄₇ × 7² × 7 V = 22 × 7 × 7 = 1078 सेमी³

व्याख्या

माना वृत्ताकार मैदान की त्रिज्या r मीटर है। सीमा के अनुदिश तय की गई दूरी परिधि C = 2π r है, और व्यास के अनुदिश तय की गई दूरी D = 2r है।

सूत्र समय = दूरी / चाल का उपयोग करते हुए, चाल v = 30 मीटर/मिनट और समय का अंतर 30 सेकंड (जो कि 0.5 मिनट है) के साथ, इस संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

(2π r)/(30) - ²ʳ⁄₃₀ = 0.5

समीकरण के बाईं ओर से उभयनिष्ठ पदों को बाहर निकालने पर:

²ʳ⁄₃₀ (π - 1) = 0.5

π = 22/7 रखने पर:

ʳ⁄₁₅ (²²⁄₇ - 1) = 0.5

ʳ⁄₁₅ × ¹⁵⁄₇ = 0.5

ʳ⁄₇ = 0.5

r = 7 × 0.5 = 3.5

वृत्ताकार मैदान की त्रिज्या 3.5 मीटर है।

व्याख्या

दी गई शर्त a + b + c = 0 के अनुसार, हम इस सर्वसमिका के भागों को व्यंजक में प्रतिस्थापित कर सकते हैं। व्यंजक को दो योगों के गुणनफल के रूप में समझा जाता है: ((a + b)/c + (b + c)/a + (c + a)/b) और (a/(b + c) + b/(c + a) + c/(a + b))।

a + b + c = 0 से, हमें प्राप्त होता है: a + b = -c ⟹ (a + b)/c = (-c)/c = -1 b + c = -a ⟹ (b + c)/a = -a/a = -1 c + a = -b ⟹ (c + a)/b = (-b)/b = -1

पहले कोष्ठक का मान होगा: (-1) + (-1) + (-1) = -3

दूसरे कोष्ठक में हरों के लिए समान सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर: a/(b + c) = a/(-a) = -1 b/(c + a) = b/(-b) = -1 c/(a + b) = c/(-c) = -1

दूसरे कोष्ठक का मान होगा: (-1) + (-1) + (-1) = -3

संपूर्ण व्यंजक का मान दोनों परिणामों का गुणनफल है: (-3) × (-3) = 9

व्याख्या

माना कुल धनराशि S है। A की दैनिक मजदूरी S/21 है और B की दैनिक मजदूरी S/28 है। जब दोनों को समान धनराशि से भुगतान किया जाता है, तो उनकी संयुक्त दैनिक मजदूरी उनकी व्यक्तिगत दैनिक मजदूरी का योग होती है।

संयुक्त दैनिक मजदूरी = (S)/(21) + (S)/(28)

दोनों के लिए यह धनराशि कितने दिनों (D) तक चलेगी, यह ज्ञात करने के लिए हम कुल धनराशि को संयुक्त दैनिक मजदूरी से विभाजित करते हैं:

D = (S)/{(S)/(21) + (S)/(28)} = (1)/{(1)/(21) + ¹⁄₂₈}

21 और 28 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेने पर, जो कि 84 है, यह व्यंजक इस प्रकार बनता है:

D = (1)/{(4 + 3)/84} = 84/7 = 12 दिन

व्याख्या

माना कलाई घड़ी का अंकित मूल्य L = 100 है। अरविंद ने घड़ी को 30% की छूट पर खरीदा, इसलिए उसका क्रय मूल्य C = 100 - (0.30 × 100) = 70 है। फिर उसने घड़ी को अपने क्रय मूल्य पर 40% के लाभ पर बेचा। इसलिए, विक्रय मूल्य S = 70 + (0.40 × 70) = 70 + 28 = 98 है। मूल अंकित मूल्य के संबंध में हानि की राशि L - S = 100 - 98 = 2 है। अंकित मूल्य पर प्रतिशत हानि का निर्धारण सूत्र (हानि)/(अंकित मूल्य) × 100 द्वारा किया जाता है। माने गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें ²⁄₁₀₀ × 100 = 2% प्राप्त होता है।