एसएससी सीजीएल टियर 1 2013 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

सभी नौ संख्याओं का कुल योग औसत को संख्या से गुणा करके प्राप्त किया जाता है: 9 × 50 = 450। पहली पांच संख्याओं का योग 5 × 54 = 270 है, और अंतिम तीन संख्याओं का योग 3 × 52 = 156 है। छठी संख्या ज्ञात करने के लिए, इन दोनों समूहों के योग को नौ संख्याओं के कुल योग में से घटाएं। इसकी गणना 450 - (270 + 156) है, जो सरल होकर 450 - 426 = 24 हो जाती है।

व्याख्या

मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec²θ - tan²θ = 1 का उपयोग करके, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि (sec θ + tan θ)(sec θ - tan θ) = 1। यह दिया गया है कि sec θ + tan θ = √5 + 2 है, तो sec θ - tan θ का मान इसका व्युत्क्रम होना चाहिए, जो कि 1/(√5 + 2) हैं। हर का परिमेयकरण करने पर, हमें sec θ - tan θ = √5 - 2(5 - 4) = √5 - 2 प्राप्त होता है॥

दोन्हों समीकरणों, sec θ + tan θ = √5 + 2 और sec θ - tan θ = √5 - 2 को जोड़ने पर, हमें 2 sec θ = 2√5 प्राप्त होता है, जिससे sec θ = √5 और परिणामस्वरूप cos θ = 1/√5 प्राप्त होता है। एक ही तरीके से, पहले समीकरण में से दूसरे समीकरण को घटाने पर, हमें 2 tan θ = 4 प्राप्त होता है, जिससे tan θ = 2 प्राप्त होता है। चूंकि tan θ = sin θ / cos θ है, इसलिए sin θ = tan θ · cos θ = 2 · 1/√5 = 2/√5 होता है।

इसलिए, sin θ + cos θ का मान 2/√5 + 1/√5 = 3/√5 है।

व्याख्या

व्यंजक का मान पूरक कोणों के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है, जो यह बताती है कि sin(90° - θ) = cos θ।

यह देखते हुए कि 25° + 65° = 90°, हम sin 65° को इसके पूरक के रूप में व्यक्त कर सकते हैं: sin 65° = sin(90° - 25°) = cos 25°

इस मान को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: sin² 25° + sin² 65° = sin² 25° + (cos 25°)² sin² 25° + sin² 65° = sin² 25° + cos² 25°

किसी भी कोण θ के लिए मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है: sin² 25° + cos² 25° = 1

व्याख्या

मीनार, भूमि और दृष्टि रेखा द्वारा बनने वाले एक समकोण त्रिभुज में, मीनार की ऊंचाई h और आधार से दूरी d, स्पर्शज्या (tangent) फलन द्वारा उन्नयन कोण θ से संबंधित हैं:

tan(θ) = (लंब)/(आधार) = (h)/(d)

यह दिया गया है कि उन्नयन कोण θ, 30° है और आधार से दूरी d, 100 मीटर है, सूत्र को निम्नानुसार लागू किया जाता है:

tan(30°) = h/100

tan(30°) का त्रिकोणमितीय मान 1/√3 है। इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

1/√3 = h/100

ऊंचाई h का मान ज्ञात करने के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:

h = 100/√3 मीटर

व्याख्या

इस प्रश्न को कार्य-दर सूत्र (M₁ D₁)/(W₁) = (M₂ D₂)/(W₂) का उपयोग करके हल किया जा सकता है, जहाँ M पुरुषों की संख्या है, D दिनों की संख्या है, और W पूर्ण किए गए कार्य की मात्रा है। पहले चरण में, M₁ = 200 पुरुषों ने कुल कार्य का W₁ = 1/4 भाग पूरा करने के लिए D₁ = 50 दिनों तक कार्य किया।

पूरा किया जाने वाला शेष कार्य W₂ = 1 - 1/4 = 3/4 है। 150 दिनों की समय सीमा के अनुसार कार्य को पूरा करने के लिए बचा हुआ समय D₂ = 150 - 50 = 100 दिन है। मान लीजिए कि दूसरे चरण में कार्य करने वाले पुरुषों की कुल संख्या M₂ है। सूत्र में मान रखने पर:

(200 × 50)/(1/4) = (M₂ × 100)/(3/4)

¹⁰⁰⁰⁰⁄₁ = (100 × M₂)/(3)

100 = (M₂)/(3)

M₂ = 300

शेष कार्य को 100 दिनों में पूरा करने के लिए आवश्यक पुरुषों की कुल संख्या 300 है। चूंकि 200 पुरुष पहले से ही कार्यरत थे, इसलिए आवश्यक अतिरिक्त पुरुषों की संख्या 300 - 200 = 100 है।

व्याख्या

3 के प्रथम नौ पूर्णांक गुणज 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24 और 27 हैं। ये संख्याएँ एक समांतर श्रेणी (AP) बनाती हैं जहाँ प्रथम पद a = 3, सार्व अंतर d = 3, और पदों की संख्या n = 9 है।

किसी भी समांतर श्रेणी के लिए, जब पदों की संख्या विषम होती है, तो औसत मध्य पद के बराबर होता है। 9 पदों की इस श्रृंखला में, मध्य पद (ⁿ⁺¹⁄₂)-वाँ पद है, जो कि 5वाँ पद है। 5वें पद की गणना 3 × 5 = 15 के रूप में की जाती है।

वैकल्पिक रूप से, समांतर श्रेणी के औसत की गणना इस सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है: औसत = (प्रथम पद + अंतिम पद)/(2)। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

औसत = (3 + 27)/(2) = ³⁰⁄₂ = 15

व्याख्या

सबसे पहले, सूत्र क्रय मूल्य (CP) = (विक्रय मूल्य (SP) × 100)/(100 + लाभ%) का उपयोग करके वस्तु का क्रय मूल्य (CP) ज्ञात करें। दिया गया है कि प्रारंभिक विक्रय मूल्य (SP) 300 रुपये है और लाभ 20% है, तो गणना इस प्रकार है: CP = (300 × 100)/(120) = 250।

जब वस्तु को 235 रुपये के नए मूल्य पर बेचा जाता है, तो हानि क्रय मूल्य और नए विक्रय मूल्य के बीच का अंतर होती है: हानि (Loss) = 250 - 235 = 15। इसके बाद हानि प्रतिशत की गणना (हानि)/(CP) × 100 के रूप में की जाती है, जिससे ¹⁵⁄₂₅₀ × 100 = 6% प्राप्त होता है।

व्याख्या

बक्से में गेंदों की प्रारंभिक संख्या 100 नीली, 50 लाल और 50 काली है, जो कुल मिलाकर 200 गेंदें हैं। जब 25% नीली गेंदें निकाल ली जाती हैं, तो शेष नीली गेंदें 100 - (0.25 × 100) = 75 बचती हैं। जब 50% लाल गेंदें निकाल ली जाती हैं, तो शेष लाल गेंदें 50 - (0.50 × 50) = 25 बचती हैं। काली गेंदों की संख्या 50 पर अपरिवर्तित रहती है। बक्से में वर्तमान में गेंदों की कुल संख्या शेष गेंदों का योग है: 75 + 25 + 50 = 150। काली गेंदों का प्रतिशत, काली गेंदों की संख्या और वर्तमान में उपस्थित कुल गेंदों की संख्या के अनुपात को 100 से गुणा करके निर्धारित किया जाता है। सूत्र (काली गेंदें)/(कुल गेंदें) × 100 का उपयोग करने पर, हमें ⁵⁰⁄₁₅₀ × 100 = ⅓ × 100 प्राप्त होता है, जो सरल होकर 100 / 3% हो जाता है।

व्याख्या

चौराहे पर टक्कर से बचने के लिए, दोनों कारों को अलग-अलग समय पर प्रतिच्छेदन बिंदु पर पहुँचना चाहिए। किसी वस्तु द्वारा नियत चाल v पर d दूरी तय करने में लिया गया समय सूत्र t = d/v द्वारा दिया जाता है।

पहली कार के लिए, चौराहे से दूरी d₁ = 40 मीटर है और इसकी चाल v₁ है, इसलिए चौराहे तक पहुँचने में लिया गया समय t₁ = (40)/(v₁) है। दूसरी कार के लिए, दूरी d₂ = 50 मीटर है और इसकी चाल v₂ है, इसलिए लिया गया समय t₂ = (50)/(v₂) है।

टक्कर तब होगी जब दोनों कारें बिल्कुल एक ही समय पर चौराहे पर पहुँचेंगी, जिसे स्थिति t₁ = t₂ द्वारा दर्शाया जाता है। समय के समीकरणों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें (40)/(v₁) = (50)/(v₂) प्राप्त होता है, जो सरल होकर (v₁)/(v₂) = 40/50 या v₁:v₂ = 4:5 हो जाता है। परिणामस्वरूप, यह सुनिश्चित करने के लिए कि कारें आपस में न टकराएं, उनकी चाल ऐसी होनी चाहिए कि वे एक साथ चौराहे पर न पहुँचें, जिसका अर्थ है t₁ ≠ t₂ और इस प्रकार v₁:v₂ ≠ 4:5।

व्याख्या

मान लीजिए कि प्रारंभिक दूरी D और प्रारंभिक समय T है, इसलिए प्रारंभिक चाल S1 = D/T है। नई दूरी D/2 है और नया समय 2T है, इसलिए नई चाल S2 = (D/2) / (2T) = D/4T होगी। दोनों चालों का अनुपात S1:S2 = (D/T) : (D/4T) है, जो सरल करने पर 4:1 हो जाता है।

व्याख्या

साधारण ब्याज के सूत्र SI = (P × R × T)/(100) का उपयोग करते हुए, हम दोनों स्थितियों से प्राप्त ब्याज की तुलना करते हैं:

(4000 × x × 3)/(100) = (5000 × 12 × 2)/(100)

हर (denominators) को निरस्त करने और अचरों (constants) को सरल करने पर: 12000x = 5000 × 24 12000x = 120000

x का मान ज्ञात करने पर: x = ¹²⁰⁰⁰⁰⁄₁₂₀₀₀ x = 10

x का मान 10% है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण x² - 3x + 1 = 0 है। पूरे समीकरण को x से विभाजित करने पर, हमें x - 3 + 1/x = 0 प्राप्त होता है, जो सरल होकर x + 1/x = 3 हो जाता है। जिस व्यंजक का मान ज्ञात करना है उसे (x² + 1/x²) + (x + 1/x) के रूप में समूहीकृत किया जा सकता है। पहले समूह का मान ज्ञात करने के लिए, हम सर्वसमिका (x + 1/x)² = x² + 1/x² + 2 का उपयोग करते हैं। इस सर्वसमिका में x + 1/x = 3 प्रतिस्थापित करने पर 3² = x² + 1/x² + 2 प्राप्त होता है, जो सरल होकर x² + 1/x² = 9 - 2 = 7 हो जाता है। अंत में, दोनों समूहों के मानों को आपस में जोड़ने पर, हमें 7 + 3 = 10 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण (4x - 3)/(x) + (4y - 3)/(y) + (4z - 3)/(z) = 0 है। प्रत्येक पद को अलग-अलग भिन्नों में विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

(⁴ˣ⁄ₓ - ³⁄ₓ) + ((4y)/(y) - (3)/(y)) + ((4z)/(z) - (3)/(z)) = 0

सरल करने पर:

(4 - ³⁄ₓ) + (4 - (3)/(y)) + (4 - (3)/(z)) = 0

अचरों और व्युत्क्रम पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

4 + 4 + 4 - (³⁄ₓ + (3)/(y) + (3)/(z)) = 0

12 - 3(¹⁄ₓ + (1)/(y) + (1)/(z)) = 0

ऋणात्मक पद का दाईं ओर पक्षांतरण करने पर:

12 = 3(¹⁄ₓ + (1)/(y) + (1)/(z))

दोनों पक्षों को 3 से भाग देने पर:

¹⁄ₓ + (1)/(y) + (1)/(z) = ¹²⁄₃ = 4

व्याख्या

व्यंजक 2√(50) + √(18) - √(72) का सरलतम मान ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले प्रत्येक करणी (radical) से पूर्ण वर्ग गुणनखंडों को बाहर निकालकर उन्हें सरल करें। पद √(50) को √(25 × 2) के रूप में लिखा जा सकता है, जो सरल होकर 5√2 हो जाता है। इसलिए, 2√(50) का मान 2 × 5√2 = 10√2 हो जाता है। पद √(18) को √(9 × 2) के रूप में लिखा जा सकता है, जो सरल होकर 3√2 हो जाता है। पद √(72) को √(36 × 2) के रूप में लिखा जा सकता है, जो सरल होकर 6√2 हो जाता है।

इन सरलीकृत रूपों को मूल व्यंजक में वापस रखने पर 10√2 + 3√2 - 6√2 प्राप्त होता है। इन समान पदों के गुणांकों को जोड़ने और घटाने पर (10 + 3 - 6)√2 = 7√2 प्राप्त होता है। √2 = 1.414 के दिए गए मान का उपयोग करने पर, अंतिम गणना 7 × 1.414 = 9.898 है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। पदों को दाईं ओर से बाईं ओर स्थानांतरित करने पर: a² - 2a + b² - 2b + 4c² + 4c + 3 = 0

प्रत्येक चर के लिए पूर्ण वर्ग बनाने के लिए अचर 3 को 1 + 1 + 1 के रूप में विभाजित किया जा सकता है: (a² - 2a + 1) + (b² - 2b + 1) + (4c² + 4c + 1) = 0 (a - 1)² + (b - 1)² + (2c + 1)² = 0

चूंकि a, b और c वास्तविक संख्याएँ हैं, इसलिए वर्गों का योग केवल तभी शून्य हो सकता है जब प्रत्येक व्यक्तिगत वर्ग पद शून्य हो। प्रत्येक भाग को शून्य के बराबर रखने पर प्राप्त होता है: a - 1 = 0 ⟹ a = 1 b - 1 = 0 ⟹ b = 1 2c + 1 = 0 ⟹ c = -½

इन मानों को व्यंजक a² + b² + c² में प्रतिस्थापित करने पर: a² + b² + c² = (1)² + (1)² + (-½)² a² + b² + c² = 1 + 1 + ¼ a² + b² + c² = 2 + ¼ = 9⁄4

व्याख्या

संख्या x को x = 289k + 18 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ k एक पूर्णांक भागफल है। जब x को 17 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल ज्ञात करने के लिए, हम देखते हैं कि 289, 17 का एक पूर्ण वर्ग है, अर्थात 289 = 17 × 17। चूंकि भाजक 289 नए भाजक 17 का एक गुणज है, इसलिए व्यंजक का पहला भाग 289k, 17 से पूर्णतः विभाज्य है और कोई शेषफल नहीं बचता है। परिणामस्वरूप, शेषफल y केवल वही शेषफल है जो मूल शेषफल 18 को 17 से विभाजित करने पर प्राप्त होता है। चूंकि 18 = (17 × 1) + 1 है, इसलिए y का मान 1 है।

व्याख्या

एक सरल रेखा का सामान्य समीकरण ax + by + c = 0 द्वारा दिया जाता है। जब अचर पद c शून्य के बराबर होता है, तो समीकरण सरल होकर ax + by = 0 हो जाता है। यह निर्धारित करने के लिए कि क्या कोई रेखा मूल बिंदु से होकर गुजरती है, हम मूल बिंदु के निर्देशांक (0, 0) को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं। ax + by = 0 में x = 0 और y = 0 प्रतिस्थापित करने पर a(0) + b(0) = 0 प्राप्त होता है, जिसका परिणाम 0 = 0 होता है। चूंकि मूल बिंदु के निर्देशांक a और b के गैर-शून्य मानों के बावजूद समीकरण को संतुष्ट करते हैं, इसलिए सरल रेखा अनिवार्य रूप से मूल बिंदु से होकर गुजरती है।

व्याख्या

मान लीजिए कि भिन्न का हर x है। चूंकि अंश, हर से 4 कम है, इसलिए इसे x - 4 के रूप में दर्शाया जा सकता है। मूल भिन्न (x - 4)/(x) है।

दी गई शर्त के अनुसार, यदि अंश में 2 की कमी की जाती है और हर में 1 की वृद्धि की जाती है, तो हर, अंश का आठ गुना हो जाता है। इस संबंध को निम्नलिखित समीकरण द्वारा व्यक्त किया गया है: x + 1 = 8(x - 4 - 2) x + 1 = 8(x - 6) x + 1 = 8x - 48 7x = 49 x = 7

अंश और हर के व्यंजकों में x = 7 प्रतिस्थापित करने पर, हर 7 है और अंश 7 - 4 = 3 है। इसलिए, भिन्न 3/7 है।

व्याख्या

दिए गए समीकरणों x² = y + z, y² = z + x, और z² = x + y के लिए, हम प्रत्येक पद में बदलाव करके व्यंजक S = (1)/(1 + x) + (1)/(1 + y) + (1)/(1 + z) का मान ज्ञात कर सकते हैं।

पहले पद के अंश और हर को x से गुणा करने पर: (x)/(x(1 + x)) = (x)/(x + x²) हर में x² = y + z प्रतिस्थापित करने पर: (x)/(x + y + z)

इसी प्रकार, दूसरे पद के अंश और हर को y से तथा तीसरे पद के अंश और हर को z से गुणा करने पर: (y)/(y(1 + y)) = (y)/(y + y²) = (y)/(y + z + x) (z)/(z(1 + z)) = (z)/(z + z²) = (z)/(z + x + y)

अब, तीनों परिवर्तित पदों को जोड़ने पर: S = (x)/(x + y + z) + (y)/(x + y + z) + (z)/(x + y + z) S = (x + y + z)/(x + y + z) = 1

वैकल्पिक रूप से, सममित समीकरणों के लिए प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते हुए, माना x = y = z है। दिए गए समीकरण x² = 2x बन जाते हैं, जिससे x = 2 प्राप्त होता है (x ≠ 0 के लिए)। अभीष्ट व्यंजक में x = y = z = 2 प्रतिस्थापित करने पर: (1)/(1 + 2) + (1)/(1 + 2) + (1)/(1 + 2) = 1/3 + 1/3 + 1/3 = 1

व्याख्या

समकोण त्रिभुज ABC में, कोणों का योग 180° होता है। दिया गया है कि ∠A = 90° और ∠C = 55°, हम कोण योग गुणधर्म का उपयोग करके ∠B ज्ञात करते हैं: ∠B = 180° - (∠A + ∠C) = 180° - (90° + 55°) = 35°।

चूंकि AD, BC पर लंब है, इसलिए △ABD भी एक समकोण त्रिभुज है जिसमें ∠ADB = 90° है। △ABD पर कोण योग गुणधर्म लागू करने पर: ∠BAD + ∠ADB + ∠B = 180° ∠BAD + 90° + 35° = 180° ∠BAD = 180° - 125° = 55°।

वैकल्पिक रूप से, किसी भी समकोण त्रिभुज में, कर्ण पर डाला गया लंब दो छोटे त्रिभुज बनाता है जो मूल त्रिभुज के समरूप होते हैं। इस विन्यास में, △BAD, △BCA के समरूप है, जिसका अर्थ है कि ∠BAD = ∠BCA = 55°।

व्याख्या

किसी त्रिभुज का केंद्रक G वह बिंदु होता है जहाँ उसकी तीनों माध्यिकाएँ एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं। केंद्रक का एक मूलभूत ज्यामितीय गुण यह है कि यह त्रिभुज ABC को समान क्षेत्रफल वाले तीन छोटे त्रिभुजों: Δ ABG, Δ BGC, और Δ CGA में विभाजित करता है। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि केंद्रक आधार से उस दूरी पर स्थित होता है जो उस आधार से त्रिभुज की कुल ऊंचाई (शीर्षलंब) का ठीक एक-तिहाई होती है। इसलिए, Δ BGC का क्षेत्रफल पूरे त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल का ठीक एक-तिहाई होता है।

दिए गए कुल क्षेत्रफल का उपयोग करने पर: क्षेत्रफल(Δ BGC) = ⅓ × क्षेत्रफल(Δ ABC) क्षेत्रफल(Δ BGC) = ⅓ × 48 सेमी² = 16 सेमी²

व्याख्या

एक चक्रीय चतुर्भुज में, विकर्ण AC और BD परिवृत्त की जीवाएँ हैं जो बिंदु P पर प्रतिच्छेद करती हैं। प्रतिच्छेदी जीवा प्रमेय (Intersecting Chords Theorem) के अनुसार, एक जीवा के खंडों का गुणनफल दूसरी जीवा के खंडों के गुणनफल के बराबर होता है, जिसका अर्थ है AP * CP = BP * DP।

व्याख्या

एक वृत्त में जहाँ AB व्यास है, परिधि पर स्थित कोई भी बिंदु P एक समकोण त्रिभुज APB बनाता है क्योंकि व्यास द्वारा परिधि पर अंतरित कोण 90° होता है। दिया गया है कि त्रिज्या 7 सेमी है, इसलिए व्यास AB = 2 × 7 = 14 सेमी है। जब P से AB पर लंब PN डाला जाता है, तो N कर्ण पर लंब का पाद होता है। समकोण त्रिभुज APB में, भुजा PB का वर्ग, कर्ण पर इसके प्रक्षेप BN और स्वयं कर्ण AB के गुणनफल के बराबर होता है। इसलिए, PB² = BN · AB। दिए गए मानों PB = 12 सेमी और AB = 14 सेमी को सूत्र में रखने पर, हमें 12² = BN · 14 प्राप्त होता है, जो सरल होकर 144 = 14 · BN हो जाता है। BN के लिए हल करने पर, हमें BN = ¹⁴⁴⁄₁₄ = ⁷²⁄₇ = 10 ²⁄₇ सेमी प्राप्त होता है। यह मान बिंदु N की बिंदु B से दूरी को दर्शाता है।

व्याख्या

एक त्रिभुज में जहाँ O परिकेंद्र है, केंद्र से प्रत्येक शीर्ष की दूरियाँ बराबर होती हैं, इसलिए OP = OQ = OR। यह गुण बड़े त्रिभुज के भीतर समद्विबाहु त्रिभुज बनाता है। △OPR में, चूँकि OP = OR है, इसलिए आधार कोण बराबर हैं, जिससे ∠ORP = ∠OPR = 25° प्राप्त होता है। इसी प्रकार, △OQR में, चूँकि OQ = OR है, इसलिए आधार कोण ∠ORQ और ∠OQR बराबर हैं। △OQR में कोण योग गुण लागू करने पर, हमें 2 × ∠ORQ + ∠QOR = 180° प्राप्त होता है। दिया गया है कि ∠QOR = 110°, इसलिए 2 × ∠ORQ = 180° - 110° = 70° होगा, जिससे ∠ORQ = 35° प्राप्त होता है। ∠PRQ का कुल माप दो आसन्न कोणों ∠ORP और ∠ORQ का योग है, जिसके परिणामस्वरूप 25° + 35° = 60° प्राप्त होता है।

व्याख्या

किसी भी दिए गए समय पर, एक ही क्षेत्र में सभी ऊर्ध्वाधर वस्तुओं के लिए सूर्य का उन्नयन कोण समान होता है। इसका तात्पर्य यह है कि किसी वस्तु की ऊंचाई और उसकी छाया की लंबाई का अनुपात स्थिर रहता है, क्योंकि वस्तुएं और उनकी छायाएं समरूप समकोण त्रिभुज बनाती हैं।

समरूप त्रिभुजों के गुण का उपयोग करते हुए, इस संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: (छड़ी की ऊंचाई)/(छड़ी की छाया) = (मीनार की ऊंचाई)/(मीनार की छाया)

समीकरण में दिए गए मानों को रखने पर: (12 सेमी)/(8 सेमी) = (मीनार की ऊंचाई)/(40 मीटर)

बाईं ओर के अनुपात को सरल करने पर: ³⁄₂ = (मीनार की ऊंचाई)/(40)

मीनार की ऊंचाई ज्ञात करने पर: मीनार की ऊंचाई = ³⁄₂ × 40 मीनार की ऊंचाई = 3 × 20 मीनार की ऊंचाई = 60

चूंकि मीनार की छाया को मीटर में मापा गया है, इसलिए मीनार की ऊंचाई 60 मीटर है।

व्याख्या

वृत्त में जहाँ A, B, C, और D परिधि पर स्थित बिंदु हैं, जीवाएँ AC और BD बिंदु E पर प्रतिच्छेद करती हैं। त्रिभुज CED के लिए बाह्य कोण प्रमेय के अनुसार, शीर्ष E पर बाह्य कोण, जो कि ∠ BEC है, दो सम्मुख अंतः कोणों, ∠ ECD और ∠ EDC के योग के बराबर होता है।

दिया गया है कि ∠ BEC = 130° और ∠ ECD = 20°, इन मानों को बाह्य कोण संबंध में प्रतिस्थापित करने पर: ∠ BEC = ∠ ECD + ∠ EDC 130° = 20° + ∠ EDC ∠ EDC = 130° - 20° = 110°

चूंकि बिंदु E, D, और B संरेखीय हैं, इसलिए ∠ EDC वही है जो ∠ BDC है। इसके अतिरिक्त, ∠ BAC और ∠ BDC वृत्त की परिधि पर एक ही चाप BC द्वारा अंतरित कोण हैं। इस गुण के अनुसार कि एक ही वृत्तखंड के कोण बराबर होते हैं, ∠ BAC = ∠ BDC। इसलिए, ∠ BAC = 110°।

व्याख्या

एक त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना सूत्र क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई का उपयोग करके की जाती है। मान लीजिए कि त्रिभुज की तीन भुजाएँ a, b, और c हैं, और उनके संगत शीर्षलंब क्रमशः hₐ, h_b, और h_c हैं। त्रिभुज के क्षेत्रफल A को तीन तरीकों से व्यक्त किया जा सकता है: A = ½ a hₐ = ½ b h_b = ½ c h_c। चूंकि दिया गया है कि तीनों शीर्षलंब बराबर हैं, इसलिए हमारे पास hₐ = h_b = h_c = h है। इसे क्षेत्रफल के समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर ½ a h = ½ b h = ½ c h प्राप्त होता है। चूंकि शीर्षलंब h एक गैर-शून्य मान है, इसलिए हम पूरे समीकरण को ½ h से विभाजित कर सकते हैं, जिससे a = b = c प्राप्त होता है। चूंकि त्रिभुज की तीनों भुजाएँ बराबर हैं, इसलिए यह त्रिभुज समबाहु है।

व्याख्या

माना कि दोनों खंभों को उनकी ऊंचाइयों h₁ = 36 मीटर और h₂ = 24 मीटर द्वारा दर्शाया गया है। जब छोटे खंभे के शीर्ष से बड़े खंभे तक एक क्षैतिज रेखा खींची जाती है, तो यह एक समकोण त्रिभुज बनाती है जिसमें लंबवत भुजा दोनों खंभों की ऊंचाई का अंतर होती है।

ऊंचाई में अंतर d = 36 - 24 = 12 मीटर क्षैतिज के साथ कोण θ = 60° तार की लंबाई L = कर्ण

त्रिकोणमितीय संबंध sin θ = (लंब)/(कर्ण) का उपयोग करने पर: sin 60° = (12)/(L) √3/2 = (12)/(L) L = (24)/(√(3))

हर का परिमेयकरण करने पर: L = 24 × √3/3 = 8√3

व्याख्या

मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका के अनुसार, csc² θ - cot² θ = 1 होता है। वर्गों के अंतर के सूत्र, a² - b² = (a - b)(a + b) का उपयोग करके इस सर्वसमिका का गुणनखंड किया जा सकता है, जिससे (csc θ - cot θ)(csc θ + cot θ) = 1 प्राप्त होता है। इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें प्राप्त होता है कि 1/(csc θ - cot θ) = csc θ + cot θ।

दिए गए व्यंजक में इस सर्वसमिका का मान रखने पर: 1/(csc θ - cot θ) - 1/sin θ = (csc θ + cot θ) - 1/sin θ

चूंकि sin θ का व्युत्क्रम csc θ है, इसलिए यह व्यंजक इस प्रकार हो जाता है: (csc θ + cot θ) - csc θ = cot θ

धनात्मक और ऋणात्मक csc θ पद एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं, जिसके परिणामस्वरूप अंतिम मान cot θ प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण cos Θ + sin Θ = √2 cos Θ है। इस व्यंजक को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें प्राप्त होता है: sin Θ = √2 cos Θ - cos Θ sin Θ = (√2 - 1) cos Θ

cos Θ - sin Θ का मान ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण के दोनों पक्षों को (√2 + 1) से गुणा करते हैं: (√2 + 1) sin Θ = (√2 + 1)(√2 - 1) cos Θ √2 sin Θ + sin Θ = ((√2)² - 1²) cos Θ √2 sin Θ + sin Θ = (2 - 1) cos Θ √2 sin Θ + sin Θ = cos Θ

sin Θ को समीकरण के दाईं ओर पक्षांतरित करने पर, हमें प्राप्त होता है: √2 sin Θ = cos Θ - sin Θ

वैकल्पिक रूप से, इसे त्रिकोणमितीय सर्वसमिका (a cos θ + b sin θ)² + (b cos θ - a sin θ)² = a² + b² का उपयोग करके हल किया जा सकता है। a = 1 और b = 1 के लिए, यह संबंध बन जाता है: (cos Θ + sin Θ)² + (cos Θ - sin Θ)² = 1² + 1² = 2

दिए गए मान cos Θ + sin Θ = √2 cos Θ को प्रतिस्थापित करने पर: (√2 cos Θ)² + (cos Θ - sin Θ)² = 2 2 cos² Θ + (cos Θ - sin Θ)² = 2 (cos Θ - sin Θ)² = 2 - 2 cos² Θ (cos Θ - sin Θ)² = 2(1 - cos² Θ) (cos Θ - sin Θ)² = 2 sin² Θ

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर cos Θ - sin Θ = √2 sin Θ प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिए गए त्रिकोणमितीय संबंध sin α = m sin β और tan α = n tan β हैं। पहले संबंध से, हमें sin β = (sin α)/(m) प्राप्त होता है। दूसरे संबंध से, हमें tan β = (tan α)/(n) प्राप्त होता है।

cos² α का मान ज्ञात करने के लिए, हम सर्वसमिका cos β = (sin β)/(tan β) का उपयोग करते हैं। sin β और tan β के मान प्रतिस्थापित करने पर: cos β = (sin α / m)/(tan α / n) = (n sin α)/(m tan α) = (n cos α)/(m)

फिर हम sin β और cos β के इन मानों को मूलभूत सर्वसमिका sin² β + cos² β = 1 में प्रतिस्थापित करते हैं: ((sin α)/(m))² + ((n cos α)/(m))² = 1 sin² α + n² cos² α = m²

sin² α = 1 - cos² α प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: 1 - cos² α + n² cos² α = m² cos² α (n² - 1) = m² - 1 cos² α = (m² - 1)/(n² - 1)

व्याख्या

व्यंजक cos⁴ Θ - sin⁴ Θ को बीजगणितीय सर्वसमिका a² - b² = (a + b)(a - b) का उपयोग करके गुणनखंडित किया जा सकता है, जहाँ a = cos² Θ और b = sin² Θ है।

cos⁴ Θ - sin⁴ Θ = (cos² Θ + sin² Θ)(cos² Θ - sin² Θ)

मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos² Θ + sin² Θ = 1 को लागू करने पर:

1 × (cos² Θ - sin² Θ) = 2/3 cos² Θ - sin² Θ = 2/3

कोसाइन (cosine) के लिए द्वि-कोण सर्वसमिका (double-angle identity) के अनुसार cos 2Θ = cos² Θ - sin² Θ = 1 - 2sin² Θ होता है। इसलिए, अभीष्ट व्यंजक का मान है:

1 - 2sin² Θ = 2/3

व्याख्या

त्रिकोणमितीय अनुपात tan Θ एक समकोण त्रिभुज में लंब (P) और आधार (B) के अनुपात को दर्शाता है। दिया गया है कि tan Θ = 3/4, हम P = 3 और B = 4 मान सकते हैं। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए, कर्ण (H) को सूत्र H = √(P² + B²) द्वारा निर्धारित किया जाता है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, H = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √(25) = 5। चूंकि csc Θ कर्ण और लंब (H/P) का अनुपात है, इसलिए परिकलित मानों को प्रतिस्थापित करने पर csc Θ = 5/3 प्राप्त होता है।

व्याख्या

व्यंजक 1/(1 + tan² θ) + 1/(1 + cot² θ) है। मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं 1 + tan² θ = sec² θ और 1 + cot² θ = csc² θ का उपयोग करने पर, व्यंजक इस प्रकार सरल हो जाता है:

1/sec² θ + 1/csc² θ

चूंकि 1/sec θ = cos θ और 1/csc θ = sin θ, हम इन पदों को इस प्रकार लिख सकते हैं:

cos² θ + sin² θ

पाइथागोरस सर्वसमिका के अनुसार, θ के किसी भी मान के लिए sin² θ + cos² θ = 1 होता है। अतः, दिए गए व्यंजक का मान 1 है।

व्याख्या

माना एक वस्तु का क्रय मूल्य (CP) x है। प्रश्न के अनुसार, 20 वस्तुओं का विक्रय मूल्य (SP), 22 वस्तुओं के क्रय मूल्य के बराबर है। इसलिए, 20 वस्तुओं का विक्रय मूल्य (SP) = 22x। इन्हीं 20 वस्तुओं का क्रय मूल्य 20x है।

इन 20 वस्तुओं को बेचने पर अर्जित लाभ, उनके विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य का अंतर है: लाभ = 20 वस्तुओं का विक्रय मूल्य (SP) - 20 वस्तुओं का क्रय मूल्य (CP) = 22x - 20x = 2x

लाभ प्रतिशत की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: लाभ % = (लाभ)/(क्रय मूल्य) × 100 लाभ % = ²ˣ⁄₂₀ₓ × 100 = ⅒ × 100 = 10%

उन समस्याओं के लिए एक त्वरित तरीका (शॉर्टकट), जहाँ m वस्तुओं का विक्रय मूल्य, n वस्तुओं के क्रय मूल्य के बराबर होता है, सूत्र लाभ % = (n - m)/(m) × 100 का उपयोग करना है। n = 22 और m = 20 रखने पर, गणना इस प्रकार होगी: (22 - 20)/(20) × 100 = ²⁄₂₀ × 100 = 10%।

व्याख्या

मान लीजिए कि वस्तु का क्रय मूल्य CP है। चूंकि व्यक्ति को प्रारंभिक विक्रय मूल्य (SP₁) पर 10% का लाभ होता है, इसलिए: SP₁ = CP + CP का 10% = 1.1CP

यदि वस्तु को दोगुने मूल्य पर बेचा जाता है, तो नया विक्रय मूल्य (SP₂) होगा: SP₂ = 2 × SP₁ = 2 × 1.1CP = 2.2CP

इस नए मूल्य पर होने वाला लाभ नए विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य के बीच का अंतर है: लाभ = SP₂ - CP = 2.2CP - CP = 1.2CP

लाभ प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, हम निम्न सूत्र का उपयोग करते हैं: लाभ प्रतिशत = (लाभ / CP) × 100 लाभ प्रतिशत = (1.2CP / CP) × 100 = 120%

वैकल्पिक रूप से, यदि हम मान लें कि क्रय मूल्य 100 है, तो प्रारंभिक विक्रय मूल्य 110 होगा। इस मूल्य को दोगुना करने पर नया विक्रय मूल्य 220 प्राप्त होता है। इस प्रकार लाभ 220 - 100 = 120 है, जो कि 100 के मूल क्रय मूल्य पर 120% का लाभ है।

व्याख्या

यदि संख्या x है, तो इसे 37.5% (75/2%) बढ़ाने पर नया मान x + 0.375x = 1.375x प्राप्त होता है। इस परिणाम को 33 के बराबर रखने पर x = 33 / 1.375 प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर x = 24 आता है। यद्यपि तकनीकी रूप से 'वृद्धि' (increment) शब्द का अर्थ जोड़ी गई मात्रा से है (जिससे संख्या 88 हो जाएगी), लेकिन विकल्पों में 88 की अनुपस्थिति और 24 की उपस्थिति यह दर्शाती है कि 33 को वृद्धि के बाद का अंतिम परिणाम माना गया था।

व्याख्या

माना वृत्त की त्रिज्या r है। प्रश्न के अनुसार, वृत्त की त्रिज्या वर्ग की भुजा के बराबर है, इसलिए वर्ग की भुजा s = r है। वृत्त का क्षेत्रफल सूत्र A_cᵢᵣ_cₗₑ = π r² का उपयोग करके परिकलित किया जाता है, और वर्ग का क्षेत्रफल Aₛ_qᵤₐᵣₑ = s² का उपयोग करके परिकलित किया जाता है। भुजा का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें Aₛ_qᵤₐᵣₑ = r² प्राप्त होता है। वृत्त के क्षेत्रफल और वर्ग के क्षेत्रफल का अनुपात A_cᵢᵣ_cₗₑ : Aₛ_qᵤₐᵣₑ = π r² : r² है। दोनों पदों को उभयनिष्ठ गुणनखंड r² से विभाजित करने पर सरल अनुपात π : 1 प्राप्त होता है।

व्याख्या

आवश्यक अंकित मूल्य वृद्धि प्रतिशत की गणना अंकित मूल्य (MP) और क्रय मूल्य (CP) के बीच के संबंध का उपयोग करके की जाती है: (MP)/(CP) = (100 + लाभ%)/(100 - छूट%)। लाभ = 20% और छूट = 25% रखने पर, समीकरण इस प्रकार हो जाता है: (MP)/(CP) = (100 + 20)/(100 - 25) = ¹²⁰⁄₇₅। अंश और हर दोनों को 15 से विभाजित करने पर, अनुपात सरल होकर ⁸⁄₅ हो जाता है। क्रय मूल्य पर अंकित मूल्य वृद्धि प्रतिशत को सूत्र (MP - CP)/(CP) × 100 द्वारा निर्धारित किया जाता है। सरल किए गए अनुपात से मान रखने पर परिणाम (8 - 5)/(5) × 100 = ⅗ × 100 = 60% प्राप्त होता है।

व्याख्या

अंकित मूल्य (MP) पर x%, y%, और z% की क्रमिक छूट के बाद शुद्ध विक्रय मूल्य (SP) की गणना प्रत्येक प्रतिशत को क्रमिक रूप से घटाकर की जाती है। इन तीन छूटों के बाद अंतिम मूल्य के लिए गणितीय अभिव्यक्ति है:

SP = MP × (1 - ˣ⁄₁₀₀) × (1 - ʸ⁄₁₀₀) × (1 - ᶻ⁄₁₀₀)

सूत्र में MP = 5,000 का दिया गया मान रखने पर:

SP = 5000 × (100 - x)/(100) × (100 - y)/(100) × (100 - z)/(100)

संख्यात्मक स्थिरांकों को सरल करने पर:

SP = (5000)/(100 × 100 × 100) × (100 - x)(100 - y)(100 - z)

SP = ⁵⁰⁰⁰⁄₁₀₀₀₀₀₀ × (100 - x)(100 - y)(100 - z)

SP = ⁵⁄₁₀₀₀ × (100 - x)(100 - y)(100 - z)

SP = ((100 - x)(100 - y)(100 - z))/(200)

व्याख्या

छूट के बाद किसी वस्तु के विक्रय मूल्य की गणना सूत्र SP = MP - (Discount% × MP) का उपयोग करके की जाती है। यहाँ अंकित मूल्य MP = 450 और छूट की दर 10% दी गई है, इसलिए छूट की राशि 450 × ¹⁰⁄₁₀₀ = 45 है। अंकित मूल्य में से इस छूट को घटाने पर विक्रय मूल्य 450 - 45 = 405 प्राप्त होता है। वैकल्पिक रूप से, अंकित मूल्य के 90% की गणना करके सीधे विक्रय मूल्य ज्ञात किया जा सकता है: 450 × 0.9 = 405।

व्याख्या

माना थैलों x और y में गेंदों की प्रारंभिक संख्या क्रमशः 2k और 3k है। शर्त के अनुसार, 2k + 5 = 3k - 5, जिससे k = 10 प्राप्त होता है। अब प्रत्येक थैले में गेंदों की संख्या 2(10) + 5 = 25 है।

व्याख्या

A, B, और C के बीच विभाजन के लिए दिया गया अनुपात 1/2 : 1/3 : 1/4 है। इस भिन्नात्मक अनुपात को पूर्णांकों में सरल बनाने के लिए, प्रत्येक पद को हरों 2, 3, और 4 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM), जो कि 12 है, से गुणा करें।

सरलीकृत अनुपात = (1/2 × 12) : (1/3 × 12) : (1/4 × 12) = 6 : 4 : 3

अनुपात के भागों का योग 6 + 4 + 3 = 13 है। विभाजित की जाने वाली कुल राशि 2,600 है। एक भाग का मान इस प्रकार निकाला जाता है: एक भाग = 2600 / 13 = 200

प्रत्येक व्यक्ति का हिस्सा अनुपात के भागों को एक भाग के मान से गुणा करके निकाला जाता है: A का हिस्सा = 6 × 200 = 1,200 B का हिस्सा = 4 × 200 = 800 C का हिस्सा = 3 × 200 = 600

व्याख्या

संख्या को विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके N = 425k + 45 के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहाँ k एक पूर्णांक भागफल है। जब हम इस व्यंजक को 17 से विभाजित करते हैं, तो हम इसके घटकों की विभाज्यता की जाँच करते हैं। चूँकि 425, 17 से पूर्णतः विभाज्य है (17 × 25 = 425), इसलिए 425k पद को 17 से विभाजित करने पर शेषफल 0 प्राप्त होता है। परिणामस्वरूप, N को 17 से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल वही होगा जो 45 को 17 से विभाजित करने पर प्राप्त होता है। 45 को 17 से विभाजित करने पर 45 = (17 × 2) + 11 प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप शेषफल 11 बचता है।

व्याख्या

घातांक के नियमों के अनुसार, जब समान आधार वाले पदों का गुणा किया जाता है, तो उनके घातांक जुड़ जाते हैं: aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ। इस व्यंजक में, आधार 256 है, इसलिए गणना (256)⁰^.¹⁶⁺⁰^.⁰⁹ हो जाती है।

घातांकों को जोड़ने पर 0.25 प्राप्त होता है। व्यंजक सरल होकर (256)⁰^.²⁵ हो जाता है। दशमलव घातांक 0.25, भिन्न 1/4 के बराबर है। इसलिए, व्यंजक (256)¹^/⁴ है, जो 256 के चतुर्थ मूल (fourth root) को दर्शाता है।

आधार 256 को 4 की घात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, क्योंकि 4 × 4 × 4 × 4 = 256, या 4⁴ है। इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें (4⁴)¹^/⁴ प्राप्त होता है। घात के घात नियम (aᵐ)ⁿ = aᵐ^×ⁿ का उपयोग करने पर, घातांकों का गुणा 4 × 1/4 = 1 हो जाता है, जिसके परिणामस्वरूप 4¹ = 4 प्राप्त होता है।

व्याख्या

कार्य की एक निश्चित मात्रा के लिए कार्यक्षमता और समय एक-दूसरे के व्युत्क्रमानुपाती होते हैं। यदि A की कार्यक्षमता को 100% माना जाए, तो B की कार्यक्षमता 125% होगी। उनकी कार्यक्षमताओं का अनुपात A:B = 100 : 125 है, जिसे सरल करने पर 4 : 5 प्राप्त होता है।

A और B द्वारा लिए गए समय का अनुपात उनकी कार्यक्षमता के अनुपात का व्युत्क्रम होता है, जो कि 5 : 4 है। यह देखते हुए कि A कार्य को पूरा करने में 6 दिन लेता है, B द्वारा लिया गया समय इस प्रकार ज्ञात किया जाता है: B का समय = ⅘ × A का समय B का समय = ⅘ × 6 B का समय = ²⁴⁄₅

अनुचित भिन्न ²⁴⁄₅ को मिश्रित भिन्न में बदलने पर, हमें 4 ⅘ दिन प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

मान लीजिए कि कुल कार्य 60 इकाइयाँ (units) है, जो व्यक्तिगत समय अवधियों 20, 30 और 60 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है। A की दैनिक कार्यक्षमता 60 / 20 = 3 इकाइयाँ है, B की 60 / 30 = 2 इकाइयाँ है, और C की 60 / 60 = 1 इकाई है। प्रश्न के अनुसार, A पहले और दूसरे दिन अकेले कार्य करता है, जबकि तीसरे दिन B और C द्वारा A की सहायता की जाती है।

पहले दिन किया गया कार्य 3 इकाइयाँ है, और दूसरे दिन भी किया गया कार्य 3 इकाइयाँ है। तीसरे दिन, A, B और C का संयुक्त कार्य 3 + 2 + 1 = 6 इकाइयाँ है। इसलिए, तीन दिनों के एक चक्र में, पूरा किया गया कुल कार्य 3 + 3 + 6 = 12 इकाइयाँ है। 60 इकाइयों के कार्य के लिए आवश्यक कुल समय ज्ञात करने के लिए, हम कुल कार्य को प्रति चक्र किए गए कार्य से विभाजित करते हैं: 60 / 12 = 5 चक्र। चूंकि प्रत्येक चक्र 3 दिनों का प्रतिनिधित्व करता है, इसलिए कुल अवधि 5 × 3 = 15 दिन है।

व्याख्या

किया गया कुल कार्य स्थिर रहता है, इसलिए हम दोनों स्थितियों से कुल पुरुष-लड़का दिनों की तुलना करते हैं। मान लीजिए कि M और B क्रमशः एक पुरुष और एक लड़के की कार्य दर को दर्शाते हैं। सूत्र W = (n₁ M + n₂ B) × D₁ का उपयोग करने पर: 10(2M + 3B) = 8(3M + 2B) 20M + 30B = 24M + 16B 4M = 14B ⟹ 2M = 7B यह दर्शाता है कि 2 पुरुषों की कार्य क्षमता 7 लड़कों के बराबर है। पहली स्थिति में 2M = 7B प्रतिस्थापित करने पर, लड़कों के दिनों के संदर्भ में कुल कार्य W है: W = 10(7B + 3B) = 10(10B) = 100B 2 पुरुषों और 1 लड़के के लिए समय ज्ञात करने के लिए, हम उनकी संयुक्त कार्य दर निर्धारित करते हैं: दर = 2M + 1B = 7B + 1B = 8B लिया गया समय T, कुल कार्य को दैनिक दर से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: T = (100B)/(8B) = 12.5 दिन

व्याख्या

एक आयत का परिमाप P, P = 2(l + w) द्वारा दिया जाता है और क्षेत्रफल A, A = l × w द्वारा दिया जाता है। दिया गया है कि P = 48 मीटर, विमाओं का योग l + w = 48 / 2 = 24 मीटर है। विमाओं का गुणनफल A = 108 वर्ग मीटर है।

हमें ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात करनी हैं जिनका योग 24 हो और गुणनफल 108 हो। ये विमाएँ द्विघात समीकरण x² - (योग)x + (गुणनफल) = 0 के मूल हैं:

x² - 24x + 108 = 0

द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने के लिए ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात करते हैं जिनका गुणनफल 108 हो और योग -24 हो:

(x - 18)(x - 6) = 0

x का मान ज्ञात करने पर विमाएँ 18 मीटर और 6 मीटर प्राप्त होती हैं। इन मानों को सत्यापित करने पर, योग 18 + 6 = 24 मीटर है और गुणनफल 18 × 6 = 108 वर्ग मीटर है।

व्याख्या

एक अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और उसके वृत्ताकार आधार के क्षेत्रफल का योग होता है। कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) का सूत्र है: TSA = 2π r² + π r² = 3π r² जहाँ r आधार की त्रिज्या को दर्शाता है। यह दिया गया है कि कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 27π वर्ग सेमी है, हम निम्नलिखित समीकरण स्थापित कर सकते हैं: 3π r² = 27π समीकरण के दोनों पक्षों को 3π से विभाजित करने पर संबंध सरल हो जाता है: r² = (27π)/(3π) r² = 9 दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर त्रिज्या प्राप्त होती है: r = √9 = 3 सेमी