एसएससी सीजीएल टियर 1 2013 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

माना भिन्न (x)/(y) है। पहली शर्त के अनुसार, जब अंश और हर दोनों में 2 जोड़ा जाता है, तो भिन्न ⁹⁄₁₁ हो जाती है। भिन्न ⁷⁄₉ का परीक्षण करने पर, हम देखते हैं कि (7 + 2)/(9 + 2) = ⁹⁄₁₁, जो पहली शर्त को पूरा करता है।

दूसरी शर्त के अनुसार, जब अंश और हर दोनों में 3 जोड़ा जाता है, तो भिन्न ⅚ हो जाती है। इस शर्त के साथ ⁷⁄₉ का परीक्षण करने पर (7 + 3)/(9 + 3) = ¹⁰⁄₁₂ प्राप्त होता है। दोनों पदों को 2 से विभाजित करके ¹⁰⁄₁₂ को सरल करने पर ⅚ प्राप्त होता है, जो दूसरी शर्त को पूरा करता है।

वैकल्पिक रूप से, इसे युगपत समीकरणों का उपयोग करके हल किया जा सकता है। शर्तों से हमें 11(x + 2) = 9(y + 2) और 6(x + 3) = 5(y + 3) प्राप्त होता है। इन्हें सरल करने पर 11x - 9y = -4 और 6x - 5y = -3 प्राप्त होता है। x और y के लिए हल करने पर x = 7 और y = 9 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण (a)/(b) + ᵇ⁄ₐ - 1 = 0 को पूरे व्यंजक को उभयनिष्ठ हर ab से गुणा करके सरल किया जा सकता है। इससे a² + b² - ab = 0 प्राप्त होता है, जो a² - ab + b² = 0 के समतुल्य है।

दो घनों के योग के लिए बीजीय सर्वसमिका a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) है। प्रारंभिक स्थिति (a² - ab + b² = 0) से प्राप्त द्विघात गुणनखंड के मान को इस सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर, हमें a³ + b³ = (a + b) × 0 = 0 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण x + ¹⁄ₓ = 99 के दोनों पक्षों को x से गुणा करके इसे पुनः लिखा जा सकता है, जिससे x² + 1 = 99x प्राप्त होता है। जिस व्यंजक का मान ज्ञात करना है वह (100x)/(2x² + 102x + 2) है। हर के पहले और अंतिम पदों में से 2 को उभयनिष्ठ (common) लेने पर, यह व्यंजक (100x)/(2(x² + 1) + 102x) बन जाता है। हर में x² + 1 = 99x का मान रखने पर (100x)/(2(99x) + 102x) प्राप्त होता है। यह सरल होकर (100x)/(198x + 102x) = ¹⁰⁰ˣ⁄₃₀₀ₓ हो जाता है। अंश और हर को 100x से भाग देने पर अंतिम मान ⅓ प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिया गया है कि x = 3 + 2√2, हम सबसे पहले हर का परिमेयकरण करके ¹⁄ₓ का मान ज्ञात करते हैं। अंश और हर को संयुग्मी 3 - 2√2 से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है: ¹⁄ₓ = (1)/(3 + 2√(2)) × 3 - 2√2{3 - 2√2} = 3 - 2√2{3² - (2√2)²} = 3 - 2√2{9 - 8} = 3 - 2√2

इसके बाद, हम x और ¹⁄ₓ के योग की गणना करते हैं: x + ¹⁄ₓ = (3 + 2√2) + (3 - 2√2) = 6

x² + (1)/(x²) का मान ज्ञात करने के लिए, हम बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² = a² + b² + 2ab का उपयोग करते हैं। a = x और b = ¹⁄ₓ रखने पर, हमें प्राप्त होता है: (x + ¹⁄ₓ)² = x² + (1)/(x²) + 2(x)(¹⁄ₓ) 6² = x² + (1)/(x²) + 2 36 = x² + (1)/(x²) + 2 x² + (1)/(x²) = 36 - 2 = 34

व्याख्या

दिए गए व्यंजक को तीनों पदों के लिए एक उभयनिष्ठ हर (common denominator) ज्ञात करके सरल किया जा सकता है। bc, ca, और ab का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM), abc है। इस उभयनिष्ठ हर के साथ व्यंजक को पुनः लिखने पर प्राप्त होता है:

a²{bc} + b²{ca} + c²{ab} = a³ + b³ + c³{abc}

बीजगणित में, एक मानक सर्वसमिका (identity) होती है: a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca)। जब यह दिया गया है कि a + b + c = 0, तो इस सर्वसमिका का पूरा दायां पक्ष शून्य हो जाता है, जिससे निम्नलिखित संबंध प्राप्त होता है:

a³ + b³ + c³ = 3abc

हमारे सरलीकृत व्यंजक में अंश के स्थान पर 3abc प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

(3abc)/(abc) = 3

व्याख्या

किन्हीं दो धनात्मक वास्तविक संख्याओं a और b के लिए, समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य (AM-GM) असमिका दर्शाती है कि (a + b)/(2) ≥ √(ab)।

इस प्रश्न में, हमें 2x + y का न्यूनतम मान ज्ञात करना है, जबकि दिया गया है कि x और y धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं और xy = 8 है। माना a = 2x और b = y है। AM-GM असमिका लागू करने पर:

(2x + y)/(2) ≥ √((2x)(y))

असमिका में दिए गए मान xy = 8 को प्रतिस्थापित करने पर:

(2x + y)/(2) ≥ √(2(xy)) (2x + y)/(2) ≥ √(2(8)) (2x + y)/(2) ≥ √(16) (2x + y)/(2) ≥ 4

असमिका के दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर प्राप्त होता है:

2x + y ≥ 8

व्यंजक का न्यूनतम मान तब प्राप्त होता है जब 2x = y हो। प्रतिबंध xy = 8 के साथ इस संगति को सत्यापित करने के लिए, y = 2x प्रतिस्थापित करने पर x(2x) = 8 प्राप्त होता है, जो सरल होकर 2x² = 8 या x² = 4 हो जाता है। चूंकि x एक धनात्मक वास्तविक संख्या है, इसलिए x = 2 और y = 4 है। इन मानों को वापस उद्देश्य फलन में प्रतिस्थापित करने पर 2(2) + 4 = 8 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दोनों रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु को ज्ञात करने के लिए, हम दिए गए समीकरणों को x और y के लिए स्वतंत्र रूप से हल करते हैं।

पहला समीकरण 2x + 1 = 0 है। दोनों पक्षों से 1 घटाने पर 2x = -1 प्राप्त होता है। 2 से विभाजित करने पर, हमें x = -1/2 प्राप्त होता है। यह समीकरण एक ऊर्ध्वाधर रेखा (vertical line) को दर्शाता है जहाँ प्रत्येक बिंदु का x-निर्देशांक -1/2 होता है।

दूसरा समीकरण 3y - 9 = 0 है। दोनों पक्षों में 9 जोड़ने पर 3y = 9 प्राप्त होता है। 3 से विभाजित करने पर, हमें y = 3 प्राप्त होता है। यह समीकरण एक क्षैतिज रेखा (horizontal line) को दर्शाता है जहाँ प्रत्येक बिंदु का y-निर्देशांक 3 होता है।

एक ऊर्ध्वाधर रेखा x = a और एक क्षैतिज रेखा y = b का प्रतिच्छेदन अद्वितीय बिंदु (a, b) होता है। परिकलित मानों को प्रतिस्थापित करने पर, प्रतिच्छेदन बिंदु (-1/2, 3) है।

व्याख्या

बाह्य कोण प्रमेय के अनुसार, किसी त्रिभुज का बाह्य कोण उसके दो सम्मुख अंतः कोणों के योग के बराबर होता है। चूंकि BC को D तक बढ़ाया गया है, इसलिए ∠ ACD शीर्ष C पर बाह्य कोण है।

x = ∠ BAC + ∠ ABC = 75° + 45° = 120°

प्रश्न में 60° का (x / 3)% पूछा गया है। x = 120 मान रखने पर:

60° का (120 / 3)% = 60° का 40%

प्रतिशत सूत्र का उपयोग करने पर:

(40 / 100) × 60 = 24°

व्याख्या

मान लीजिए कि चार संख्याएँ n₁, n₂, n₃, और n₄ हैं। पहली तीन संख्याओं का योग 3 × 15 = 45 है, जिसे n₁ + n₂ + n₃ = 45 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। अंतिम तीन संख्याओं का योग 3 × 16 = 48 है, जिसे n₂ + n₃ + n₄ = 48 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। दूसरे समीकरण में से पहले समीकरण को घटाने पर (n₂ + n₃ + n₄) - (n₁ + n₂ + n₃) = 48 - 45 प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर n₄ - n₁ = 3 प्राप्त होता है। चूंकि अंतिम संख्या n₄, 19 है, इसलिए इस मान को प्रतिस्थापित करने पर 19 - n₁ = 3 प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप n₁ = 16 प्राप्त होता है।

व्याख्या

वर्तमान में 5 सदस्यों के परिवार की कुल आयु की गणना 33 × 5 = 165 वर्ष के रूप में की जाती है। सबसे छोटे सदस्य के जन्म के ठीक पहले की औसत आयु निर्धारित करने के लिए, हम 9 वर्ष पहले परिवार की स्थिति की गणना करते हैं। इस 9 वर्ष के अंतराल के दौरान, सभी 5 सदस्यों की आयु का योग 5 × 9 = 45 वर्ष कम हो गया। इस प्रकार, 9 वर्ष पहले परिवार की कुल आयु 165 - 45 = 120 वर्ष थी। उस विशिष्ट समय पर, जन्म के ठीक पहले, परिवार में केवल 4 सदस्य थे। इसलिए, औसत आयु कुल आयु को सदस्यों की संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त होती है: 120 / 4 = 30 वर्ष।

व्याख्या

ऐसे मामलों में जहां एक व्यापारी क्रय मूल्य पर सामान बेचता है लेकिन गलत वजन का उपयोग करता है, लाभ प्रतिशत की गणना निम्नलिखित मानक संबंध का उपयोग करके की जाती है:

लाभ % = ( (वास्तविक वजन - गलत वजन)/(गलत वजन) ) × 100

चूंकि वास्तविक वजन 1000 ग्राम (1 किलोग्राम) है और व्यापारी द्वारा उपयोग किया जाने वाला गलत वजन 850 ग्राम है, इसलिए गणना इस प्रकार है:

लाभ % = ( (1000 - 850)/(850) ) × 100

लाभ % = ( ¹⁵⁰⁄₈₅₀ ) × 100

अंश और हर को 50 से विभाजित करके भिन्न को सरल करने पर:

लाभ % = ( ³⁄₁₇ ) × 100 = ³⁰⁰⁄₁₇%

300 को 17 से विभाजित करने पर, हमें भागफल 17 और शेषफल 11 प्राप्त होता है। इसे मिश्रित भिन्न के रूप में व्यक्त करने पर 17 ¹¹⁄₁₇% प्राप्त होता है।

व्याख्या

माना समूहों के लिए आवेदन करने वाले छात्रों की कुल संख्या x है। प्रश्न के अनुसार, 40% छात्रों को समूह A आवंटित किया गया था, जिससे कुल छात्रों का 60% शेष बचता है। शेष छात्रों की गणना 0.60x के रूप में की जाती है।

इस शेष में से, 75% को समूह B दिया गया। इसलिए, समूह B में छात्रों की संख्या 0.75 × 0.60x = 0.45x है।

समूह C को आवंटित छात्र कुल संख्या के अंतिम शेष भाग को दर्शाते हैं। इसे कुल छात्रों में से समूह A और B के छात्रों को घटाकर ज्ञात किया जा सकता है: x - (0.40x + 0.45x) = x - 0.85x = 0.15x

चूंकि समूह C में छात्रों की संख्या 12 दी गई है, हम समीकरण बनाते हैं: 0.15x = 12 x = (12)/(0.15) x = ¹²⁰⁰⁄₁₅ x = 80

वैकल्पिक रूप से, शेष भिन्न विधि का उपयोग करते हुए, यदि 40% समूह A में हैं, तो 60% शेष बचते हैं। यदि उनमें से 75% समूह B में जाते हैं, तो 60% का 25% समूह C के लिए बचता है। 0.25 × 0.60 × x = 12 0.15x = 12 x = 80

व्याख्या

पहली ट्रेन की चाल v₁ उस समय से निर्धारित होती है जो वह एक स्थिर मील के पत्थर को पार करने में लेती है। चाल के सूत्र v = d/t का उपयोग करते हुए, जहाँ d ट्रेन की लंबाई है: v₁ = 150/15 = 10 मीटर/सेकंड।

जब L₁ और L₂ लंबाई की दो ट्रेनें विपरीत दिशाओं में यात्रा करते हुए एक-दूसरे को पार करती हैं, तो तय की गई कुल दूरी उनकी लंबाइयों का योग, L₁ + L₂ होती है। सापेक्ष चाल उनकी व्यक्तिगत चालों का योग, v₁ + v₂ होती है। प्रश्न के अनुसार, दूसरी ट्रेन की लंबाई पहली ट्रेन के समान है (L₂ = 150 मीटर) और वे एक-दूसरे को 12 सेकंड में पार करती हैं।

सापेक्ष चाल की गणना इस प्रकार की जाती है: v₁ + v₂ = (150 + 150) / 12 = 300 / 12 = 25 मीटर/सेकंड।

समीकरण में पहली ट्रेन की चाल का मान रखने पर: 10 + v₂ = 25 v₂ = 15 मीटर/सेकंड।

दूसरी ट्रेन की चाल को मीटर/सेकंड से किमी/घंटा में बदलने के लिए, इसे परिवर्तन कारक 18/5 से गुणा करें: 15 × (18/5) = 3 × 18 = 54 किमी/घंटा।

व्याख्या

धारा के प्रतिकूल गति u की गणना दूरी को घंटों में लिए गए समय से विभाजित करके की जाती है: u = (1 किमी)/(10/60 घंटा) = 6 किमी/घंटा। इसी प्रकार, धारा के अनुकूल गति v की गणना v = (1 किमी)/(4/60 घंटा) = 15 किमी/घंटा के रूप में की जाती है। धारा की गति मानक संबंध 'धारा की गति = (v - u)/(2)' का उपयोग करके प्राप्त की जाती है। इस सूत्र में प्राप्त मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें (15 - 6)/(2) = ⁹⁄₂ = 4.5 किमी/घंटा प्राप्त होता है।

व्याख्या

साधारण ब्याज के तहत किसी धनराशि को दोगुना होने के लिए, अर्जित ब्याज मूलधन (P) के बराबर होना चाहिए। माना ब्याज की दर R और समय T है। साधारण ब्याज का सूत्र SI = (P × R × T)/(100) है। चूंकि मिश्रधन दोगुना हो जाता है, इसलिए ब्याज SI, P के बराबर है। सूत्र में दिए गए समय T = 15 वर्ष को प्रतिस्थापित करने पर, हमें P = (P × R × 15)/(100) प्राप्त होता है। दोनों पक्षों से P को निरस्त करने पर, समीकरण 1 = (15R)/(100) हो जाता है। R के लिए हल करने पर R = ¹⁰⁰⁄₁₅ प्राप्त होता है। अंश और हर दोनों को 5 से विभाजित करके भिन्न को सरल करने पर R = ²⁰⁄₃ प्राप्त होता है, जो कि 6 ⅔ प्रतिशत वार्षिक के बराबर है।

व्याख्या

एक समद्विबाहु त्रिभुज में, माना दो समान कोण y हैं और तीसरा, असमान कोण x है। प्रश्न के अनुसार, असमान कोण, समान कोणों के योग का दोगुना है, जिससे संबंध x = 2(y + y), या x = 4y प्राप्त होता है।

किसी भी त्रिभुज के सभी आंतरिक कोणों का योग 180° होता है। इसलिए, x + y + y = 180°। पहले संबंध से x का मान इस समीकरण में रखने पर, हमें 4y + 2y = 180° प्राप्त होता है, जो सरल होकर 6y = 180° हो जाता है। 6 से भाग देने पर, हमें y = 30° प्राप्त होता है। अतः, प्रत्येक समान कोण का माप 30° है।

व्याख्या

मान लीजिए कि h खंभे की ऊंचाई है और L जमीन पर खंभे द्वारा बनने वाली छाया की लंबाई है। ऊंचाई, छाया की लंबाई और सूर्य के उन्नयन कोण θ के बीच का संबंध त्रिकोणमितीय अनुपात द्वारा दिया गया है: tan θ = (खंभे की ऊंचाई)/(छाया की लंबाई)

दी गई स्थिति के अनुसार, छाया की लंबाई खंभे की ऊंचाई की √3 गुनी है, जिसे L = √3h के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इस मान को सूत्र में रखने पर: tan θ = (h)/(√(3)h) tan θ = (1)/(√(3))

त्रिकोणमिति में, किसी कोण का स्पर्शज्या (tangent) (1)/(√(3)) के बराबर होता है जब कोण 30° होता है। इसलिए, θ = 30°।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec²Θ = 1 + tan²Θ का उपयोग करके, हम इसे दिए गए समीकरण 3(sec²Θ + tan²Θ) = 5 में प्रतिस्थापित करते हैं:

3(1 + tan²Θ + tan²Θ) = 5 3(1 + 2tan²Θ) = 5 3 + 6tan²Θ = 5 6tan²Θ = 2 tan²Θ = ²⁄₆ = ⅓

चूंकि Θ एक धनात्मक न्यून कोण है, इसलिए हम धनात्मक वर्गमूल लेते हैं: tanΘ = (1)/(√(3)) यह Θ = 30° के संगत है।

अब, हम सही संबंध में व्यंजकों का मान ज्ञात करते हैं: cos 2Θ = cos(2 × 30°) = cos 60° = ½ sin Θ = sin 30° = ½

चूंकि दोनों पक्ष ½ के बराबर हैं, इसलिए समानता cos 2Θ = sin Θ सत्य है।

व्याख्या

जब दो वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं, तो उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग के बराबर होती है। इस संबंध को सूत्र d = r₁ + r₂ द्वारा व्यक्त किया जाता है, जहाँ d केंद्रों के बीच की दूरी है और r₁ तथा r₂ दोनों वृत्तों की त्रिज्याएँ हैं। इस समीकरण में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 7 = 4 + r₂ प्राप्त होता है। दोनों पक्षों से 4 घटाने पर, हमें r₂ = 7 - 4 प्राप्त होता है, जो 3 सेमी के बराबर है।

व्याख्या

Δ ABC में, चूँकि AB = AC है, इसलिए इन भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होंगे, अतः ∠ ABC = ∠ ACB। माना ∠ ABC = ∠ ACB = x। चूँकि AC = AD और AB = AC है, इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि AB = AD है, जिससे A रेखाखंड BD का मध्यबिंदु बन जाता है। Δ ACD में, चूँकि AC = AD है, इसलिए इन भुजाओं के सम्मुख कोण भी बराबर होंगे, अतः ∠ ACD = ∠ ADC। माना ∠ ACD = ∠ ADC = y।

बड़े त्रिभुज BCD में, अंतः कोणों का योग 180° होना चाहिए। इसलिए, ∠ CBD + ∠ BDC + ∠ BCD = 180°। संबंधित मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें x + y + (x + y) = 180° प्राप्त होता है, जो सरल होकर 2(x + y) = 180° हो जाता है, जिससे x + y = 90° प्राप्त होता है। चूँकि ∠ BCD = ∠ ACB + ∠ ACD = x + y है, इसलिए ∠ BCD का माप 90° है। ज्यामितीय रूप से, चूँकि AB = AC = AD है, बिंदु A बिंदुओं B, C और D से समान दूरी पर है, जिससे A, Δ BCD का परिकेंद्र बन जाता है। चूँकि A रेखाखंड BD पर स्थित है, इसलिए BD परिवृत्त का व्यास है, और व्यास द्वारा अंतरित कोण ∠ BCD हमेशा 90° होता है।

व्याख्या

किसी भी समकोण त्रिभुज में, परिकेंद्र कर्ण के मध्य बिंदु पर स्थित होता है, जिसका अर्थ है कि परित्रिज्या (R) कर्ण की लंबाई के आधे के बराबर होती है। दिया गया है कि ∠ ABC = 90°, इसलिए भुजा AC कर्ण है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:

AC = √(AB² + BC²) AC = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √(169) = 13 सेमी

इसलिए, परिवृत्त की त्रिज्या कर्ण की आधी होगी: R = (AC)/(2) = ¹³⁄₂ = 6.5 सेमी

व्याख्या

एक समबाहु त्रिभुज में, परिकेंद्र और केंद्रक संपाती होते हैं। केंद्रक माध्यिका को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है, जो समबाहु त्रिभुज में ऊंचाई या शीर्षलंब का भी कार्य करती है। शीर्ष से केंद्रक की दूरी परित्रिज्या R है, जबकि केंद्रक से सम्मुख भुजा के मध्य बिंदु की दूरी अंतःत्रिज्या r है।

त्रिभुज की ऊंचाई h इन दोनों रेखाखंडों का योग है: h = R + r। एक समबाहु त्रिभुज में, परित्रिज्या अंतःत्रिज्या की दोगुनी होती है, अर्थात R = 2r। ऊंचाई के समीकरण में r = (R)/(2) प्रतिस्थापित करने पर, हमें सीधा संबंध h = ³⁄₂R प्राप्त होता है।

दी गई परित्रिज्या R = 8 सेमी के लिए, ऊंचाई की गणना इस प्रकार की जाती है: h = ³⁄₂ × 8 = 12 सेमी।

व्याख्या

बिंदु की घात प्रमेय (power of a point theorem) के अनुसार, किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींचे गए स्पर्श रेखा खंड की लंबाई का वर्ग, उस बिंदु से होकर गुजरने वाली और वृत्त को प्रतिच्छेद करने वाली किसी भी छेदक रेखा के खंडों की लंबाइयों के गुणनफल के बराबर होता है। इस आकृति में, P बढ़ाई गई रेखा BA पर एक बिंदु है, जिससे PAB दोनों प्रतिच्छेदी वृत्तों के लिए एक उभयनिष्ठ छेदक रेखा बन जाती है। पहले वृत्त के लिए, जहाँ PT स्पर्श रेखा है, संबंध PT² = PA · PB है। दूसरे वृत्त के लिए, जहाँ PQ स्पर्श रेखा है, संबंध PQ² = PA · PB है। इन दोनों समीकरणों की तुलना करने पर, यह स्पष्ट है कि PT² = PQ² है। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, हम पाते हैं कि स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर हैं, अर्थात PT = PQ।

व्याख्या

परिकेंद्र O, त्रिभुज के शीर्षों A, B और C से होकर गुजरने वाले वृत्त का केंद्र है। वृत्त के प्रमेय के अनुसार, एक चाप BC द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण, वृत्त के शेष भाग पर किसी भी बिंदु पर इसके द्वारा अंतरित कोण का दोगुना होता है। इसलिए, ∠BOC = 2∠BAC, जिसे ∠BOC = 2∠A के रूप में लिखा जा सकता है।

△BOC में, भुजाएँ OB और OC बराबर हैं क्योंकि वे दोनों परिवृत्त की त्रिज्याएँ हैं। यह △BOC को एक समद्विबाहु त्रिभुज बनाता है। दिया गया है कि OD ⊥ BC है, एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष O से आधार BC पर खींचा गया शीर्षलंब OD शीर्ष कोण ∠BOC को समद्विभाजित भी करता है। परिणामस्वरूप, ∠BOD = ½∠BOC होगा। वृत्त प्रमेय से प्राप्त संबंध को प्रतिस्थापित करने पर, ∠BOD = ½(2∠A) = ∠A प्राप्त होता है।

व्याख्या

मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं 1 + cot²θ = csc²θ और 1 + tan²θ = sec²θ का उपयोग करके व्यंजक को सरल किया जाता है। इन्हें पदों में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

(1)/(csc²θ) + (3)/(sec²θ) + 2sin²θ

व्युत्क्रम सर्वसमिकाओं को लागू करने पर, जहाँ sinθ = (1)/(cscθ) और cosθ = (1)/(secθ) है, व्यंजक निम्न में परिवर्तित हो जाता है:

sin²θ + 3cos²θ + 2sin²θ

sin²θ पदों को संयोजित करने पर प्राप्त होता है:

3sin²θ + 3cos²θ

उभयनिष्ठ गुणांक 3 को बाहर निकालने पर, हम पाइथागोरस सर्वसमिका sin²θ + cos²θ = 1 का उपयोग करते हैं:

3(sin²θ + cos²θ) = 3(1) = 3

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं 1 + tan²θ = sec²θ और 1 + cot²θ = csc²θ का उपयोग करके, दिए गए व्यंजक को निम्नानुसार सरल किया जा सकता है:

पहला पद (4)/(1 + tan²θ) = (4)/(sec²θ) = 4cos²θ है। दूसरा पद (1)/(1 + cot²θ) = (1)/(csc²θ) = sin²θ है।

इन्हें मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: 4cos²θ + sin²θ + 3sin²θ

sin²θ पदों को संयोजित करने पर: 4cos²θ + 4sin²θ

उभयनिष्ठ गुणांक को बाहर निकालने पर: 4(cos²θ + sin²θ)

मूलभूत पाइथागोरस सर्वसमिका sin²θ + cos²θ = 1 को लागू करने पर: 4(1) = 4

व्याख्या

चूंकि दिया गया व्यंजक एक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका है जिसका मान x से स्वतंत्र है, इसलिए प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए सबसे कुशल दृष्टिकोण प्रतिस्थापन विधि (substitution method) है। एक सुविधाजनक मान जैसे कि x = 0 प्रतिस्थापित करने पर, गणना सरल हो जाती है क्योंकि sin 0 = 0 और cos 0 = 1 होता है।

व्यंजक में x = 0 प्रतिस्थापित करने पर: 3(sin 0 - cos 0)⁴ + 6(sin 0 + cos 0)² + 4(sin⁶ 0 + cos⁶ 0) = 3(0 - 1)⁴ + 6(0 + 1)² + 4(0⁶ + 1⁶) = 3(-1)⁴ + 6(1)² + 4(1) = 3(1) + 6(1) + 4 = 13

वैकल्पिक रूप से, बीजगणितीय प्रसार और त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके, व्यंजक को निम्नानुसार सरल किया जा सकता है: 3((sin x - cos x)²)² + 6(1 + 2 sin x cos x) + 4((sin² x + cos² x)³ - 3 sin² x cos² x (sin² x + cos² x)) = 3(1 - 2 sin x cos x)² + 6(1 + 2 sin x cos x) + 4(1 - 3 sin² x cos² x) = 3(1 - 4 sin x cos x + 4 sin² x cos² x) + 6 + 12 sin x cos x + 4 - 12 sin² x cos² x = 3 - 12 sin x cos x + 12 sin² x cos² x + 6 + 12 sin x cos x + 4 - 12 sin² x cos² x अचर पदों 3 + 6 + 4 को जोड़ने पर 13 प्राप्त होता है, जबकि sin x cos x और sin² x cos² x वाले पद एक-दूसरे को निरस्त (cancel) कर देते हैं।

व्याख्या

कोष्ठक के भीतर के व्यंजक को उभयनिष्ठ हर (common denominator) ज्ञात करके और त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके सरल किया जा सकता है। दी गई संरचना के अनुसार, हम पदों को संयोजित करते हैं:

(1 + sin θ)/(cos θ) - (cos θ)/(1 + sin θ) = ((1 + sin θ)² - cos² θ)/(cos θ (1 + sin θ))

अंश का विस्तार करने पर: 1 + 2sin θ + sin² θ - cos² θ

सर्वसमिका 1 - cos² θ = sin² θ का उपयोग करने पर, अंश इस प्रकार हो जाता है: sin² θ + 2sin θ + sin² θ = 2sin² θ + 2sin θ = 2sin θ (1 + sin θ)

इसे वापस भिन्न में प्रतिस्थापित करने पर: (2sin θ (1 + sin θ))/(cos θ (1 + sin θ)) = (2sin θ)/(cos θ) = 2tan θ

अब, इसे बाहरी पद cosec θ sec θ से गुणा करें: ((1)/(sin θ) · (1)/(cos θ)) · 2tan θ = (1)/(sin θ cos θ) · (2sin θ)/(cos θ) = (2)/(cos² θ) = 2sec² θ

अंत में, शेष पद 2tan² θ को घटाएं: 2sec² θ - 2tan² θ = 2(sec² θ - tan² θ)

चूंकि sec² θ - tan² θ = 1 है, इसलिए व्यंजक का मान होगा: 2(1) = 2

व्याख्या

माना sin Θ = x। चूँकि csc Θ = (1)/(sin Θ) है, इसलिए दिए गए समीकरण sin Θ + csc Θ = 2 को x + ¹⁄ₓ = 2 के रूप में लिखा जा सकता है। पूरे समीकरण को x से गुणा करने पर द्विघात समीकरण x² + 1 = 2x प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर x² - 2x + 1 = 0 प्राप्त होता है। यह व्यंजक एक पूर्ण वर्ग है, (x - 1)² = 0, जिसके परिणामस्वरूप अद्वितीय हल x = 1 प्राप्त होता है।

फलस्वरूप, हमें प्राप्त होता है कि sin Θ = 1 और csc Θ = ¹⁄₁ = 1 है। इन मानों को आवश्यक व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें sin⁵ Θ + csc⁵ Θ = 1⁵ + 1⁵ = 1 + 1 = 2 प्राप्त होता है। यह सामान्य बीजगणितीय गुण का अनुसरण करता है जहाँ यदि एक वास्तविक चर x के लिए x + ¹⁄ₓ = 2 है, तो किसी भी धनात्मक पूर्णांक घात n के लिए xⁿ + (1)/(xⁿ) = 2 होता है।

व्याख्या

24010000 का चतुर्थ मूल ज्ञात करने के लिए, हम इस संख्या को 10 की घातों और इसके गुणांक में विभाजित कर सकते हैं: 24010000 = 2401 × 10⁴। घातांक के गुण ⁴√(a × b) = ⁴√a × ⁴√b का उपयोग करते हुए, हम प्रत्येक गुणनखंड के चतुर्थ मूल की गणना अलग-अलग करते हैं।

संख्या 2401, 7 की चौथी घात है, क्योंकि 7 × 7 × 7 × 7 = 49 × 49 = 2401। इसलिए, ⁴√(2401) = 7। दूसरे गुणनखंड के लिए, 10⁴ का चतुर्थ मूल केवल 10 है। इन परिणामों को गुणा करने पर 7 × 10 = 70 प्राप्त होता है। इसकी पुष्टि 70 को चौथी घात तक बढ़ाकर की जा सकती है: 70⁴ = (7 × 10)⁴ = 7⁴ × 10⁴ = 2401 × 10000 = 24010000।

व्याख्या

4 अंकों की सबसे बड़ी संख्या 9999 है। चूंकि 100² = 10000, 5 अंकों की सबसे छोटी संख्या है, इसलिए 4 अंकों का सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग 100 से ठीक पहले वाले पूर्णांक का वर्ग होना चाहिए, जो कि 99 है।

99² की त्वरित गणना करने के लिए, सर्वसमिका (a - b)² = a² - 2ab + b² का उपयोग करें: 99² = (100 - 1)² 99² = 100² - 2(100)(1) + 1² 99² = 10000 - 200 + 1 99² = 9801

वैकल्पिक रूप से, 9999 का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए भाग विधि का उपयोग करने पर, हमें भागफल 99 और शेषफल 198 प्राप्त होता है। मूल संख्या में से शेषफल को घटाने पर सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग प्राप्त होता है: 9999 - 198 = 9801।

व्याख्या

माना कुल कार्य 12, 15 और 20 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 60 इकाई है।

राम और श्याम की मिलकर दैनिक कार्य क्षमता = 60 / 12 = 5 इकाई प्रति दिन है। श्याम और हरि की मिलकर दैनिक कार्य क्षमता = 60 / 15 = 4 इकाई प्रति दिन है। हरि और राम की मिलकर दैनिक कार्य क्षमता = 60 / 20 = 3 इकाई प्रति दिन है।

इन क्षमताओं को जोड़ने पर, हमें राम, श्याम और हरि की संयुक्त क्षमता का दोगुना प्राप्त होता है: 2 × (राम + श्याम + हरि) = 5 + 4 + 3 = 12 इकाई प्रति दिन। इसलिए, राम, श्याम और हरि की संयुक्त क्षमता = 12 / 2 = 6 इकाई प्रति दिन है।

अकेले राम की क्षमता ज्ञात करने के लिए, कुल संयुक्त क्षमता में से श्याम और हरि की संयुक्त क्षमता को घटाएं: राम की क्षमता = (राम + श्याम + हरि) - (श्याम + हरि) = 6 - 4 = 2 इकाई प्रति दिन।

राम द्वारा अकेले कार्य को पूरा करने में लिया गया समय है: कुल कार्य / राम की क्षमता = 60 / 2 = 30 दिन।

व्याख्या

इस प्रकार की समस्या को हल करने का सबसे कुशल तरीका 'और/या' (and/or) वाली स्थितियों के लिए संयुक्त दक्षता सूत्र का उपयोग करना है: आवश्यक दिन = (D) / (M₂/M₁ + W₂/W₁) इस सूत्र में, D प्रारंभिक स्थिति में दिए गए दिनों की संख्या (12) है, M₁ और W₁ 'या' (or) वाली स्थिति में पुरुषों और महिलाओं की संख्या (3 पुरुष और 5 महिलाएं) हैं, और M₂ और W₂ 'और' (and) वाली स्थिति में पुरुषों और महिलाओं की संख्या (6 पुरुष और 5 महिलाएं) हैं। सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर: आवश्यक दिन = (12) / (6/3 + 5/5) आवश्यक दिन = (12) / (2 + 1) आवश्यक दिन = 12/3 = 4 दिन।

व्याख्या

मान लीजिए कि कुल कार्य 12, 15 और 20 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 60 इकाई है। A और B द्वारा मिलकर किया गया दैनिक कार्य 60 / 12 = 5 इकाई है। B और C द्वारा मिलकर किया गया दैनिक कार्य 60 / 15 = 4 इकाई है, और C और A द्वारा मिलकर किया गया दैनिक कार्य 60 / 20 = 3 इकाई है। इन कार्यक्षमताओं को जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है: 2(A + B + C) = 5 + 4 + 3 = 12 इकाई प्रति दिन। इस प्रकार, A, B और C की संयुक्त कार्यक्षमता 12 / 2 = 6 इकाई प्रति दिन है। A की कार्यक्षमता ज्ञात करने के लिए, हम कुल कार्यक्षमता में से B और C की संयुक्त कार्यक्षमता को घटाते हैं: 6 - 4 = 2 इकाई प्रति दिन। A द्वारा अकेले कार्य को पूरा करने में लिया गया समय कुल कार्य को A की कार्यक्षमता से विभाजित करने पर प्राप्त होता है, जो कि 60 / 2 = 30 दिन है।

व्याख्या

एक वृत्त की परिधि की गणना सूत्र C = π d का उपयोग करके की जाती है, जहाँ d व्यास को दर्शाता है। प्रश्न के अनुसार, परिधि और व्यास के बीच का अंतर X दिया गया है। इस संबंध को समीकरण π d - d = X द्वारा व्यक्त किया जाता है। बाईं ओर से व्यास d को उभयनिष्ठ (common) लेने पर, समीकरण d(π - 1) = X हो जाता है। व्यास d का मान ज्ञात करने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों को (π - 1) से विभाजित किया जाता है, जिससे d = (X)/(π - 1) प्राप्त होता है। अतः, वृत्त का व्यास X/(π - 1) इकाई है।

व्याख्या

एक लंब वृत्तीय बेलन का आधार एक वृत्त होता है। आधार का परिमाप, जो 'a' दिया गया है, वृत्त की परिधि, 2π r के बराबर होता है, जहाँ r त्रिज्या है। इससे, त्रिज्या को r = a / (2π) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

एक लंब वृत्तीय बेलन का आयतन V सूत्र V = π r² h द्वारा दिया जाता है, जहाँ h ऊंचाई है। आयतन के सूत्र में r के मान को प्रतिस्थापित करने पर V = π (a / (2π))² h प्राप्त होता है। इस समीकरण को सरल करने पर, V = π (a² / (4π²)) h प्राप्त होता है, जो घटकर V = (a² / (4π)) h हो जाता है। ऊंचाई ज्ञात करने के लिए, समीकरण को h = 4π V / a² के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जाता है।

व्याख्या

आर्किमिडीज के सिद्धांत के अनुसार, पूरी तरह से जलमग्न वस्तु द्वारा विस्थापित पानी का आयतन स्वयं वस्तु के आयतन के बराबर होता है। मान लीजिए कि बेलनाकार बर्तन में पानी के स्तर में हुई वृद्धि h है।

गोले की त्रिज्या rₛ = ⁶⁄₂ = 3 सेमी है, और बेलनाकार बर्तन की त्रिज्या r_c = ¹²⁄₂ = 6 सेमी है।

गोले का आयतन सूत्र Vₛ = ⁴⁄₃ π rₛ³ द्वारा दिया जाता है। त्रिज्या का मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है: Vₛ = ⁴⁄₃ π (3)³ = ⁴⁄₃ π × 27 = 36π सेमी³।

बेलनाकार बर्तन में विस्थापित पानी का आयतन h ऊंचाई और r_c त्रिज्या का एक बेलन बनाता है। यह आयतन V_w = π r_c² h = π (6)² h = 36π h सेमी³ है।

गोले के आयतन को विस्थापित पानी के आयतन के बराबर रखने पर: 36π h = 36π h = 1 सेमी

व्याख्या

कुल लाभ प्रतिशत की गणना क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र x + y + ˣʸ⁄₁₀₀ का उपयोग करके की जा सकती है, जहाँ x अंकित मूल्य में वृद्धि प्रतिशत को दर्शाता है और y छूट प्रतिशत को दर्शाता है। 20% की मूल्य वृद्धि (x = 20) और 15% की छूट (y = -15) को देखते हुए, गणना इस प्रकार है:

कुल लाभ % = 20 - 15 + (20 × (-15))/(100) कुल लाभ % = 5 - ³⁰⁰⁄₁₀₀ कुल लाभ % = 5 - 3 = 2%

वैकल्पिक रूप से, यदि हम मान लें कि क्रय मूल्य 100 है, तो अंकित मूल्य 120 हो जाता है (क्रय मूल्य से 20% अधिक)। छूट अंकित मूल्य पर दी जाती है, इसलिए 120 का 15% इस प्रकार निकाला जाता है: 0.15 × 120 = 18। विक्रय मूल्य, अंकित मूल्य में से छूट घटाने पर प्राप्त होता है: 120 - 18 = 102। 100 रुपये के क्रय मूल्य की तुलना में 102 रुपये का विक्रय मूल्य 2 का लाभ देता है, जो कि ठीक 2% है।

व्याख्या

क्रय मूल्य (CP) और अंकित/मुद्रित मूल्य (MP) के बीच के संबंध को निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है: (CP)/(MP) = (100 - छूट प्रतिशत)/(100 + लाभ प्रतिशत)

10% की छूट और 12% का लाभ दिया गया है, इन मानों को सूत्र में रखने पर प्राप्त होता है: (CP)/(MP) = (100 - 10)/(100 + 12) = ⁹⁰⁄₁₁₂

अनुपात का सरलतम रूप ज्ञात करने के लिए, अंश और हर दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक (GCD) से विभाजित किया जाता है, जो कि 2 है: (90 ÷ 2)/(112 ÷ 2) = ⁴⁵⁄₅₆

यह गणना क्रय मूल्य का मुद्रित मूल्य से अनुपात प्रदान करती है।

व्याख्या

वस्तु का अंकित मूल्य 160 है। 10% की पहली छूट लागू होने के बाद, मूल्य घटकर हो जाता है: 160 - (160 का 10%) = 160 - 16 = 144

ग्राहक अंततः दूसरी क्रमिक छूट के बाद वस्तु को 122.40 में खरीदता है। यह दूसरी छूट 144 के घटे हुए मूल्य पर लागू होती है। दूसरी छूट का वास्तविक मान है: 144 - 122.40 = 21.60

दूसरी छूट का प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं: दूसरी छूट % = (दूसरी छूट की राशि)/(पहली छूट के बाद का मूल्य) × 100 दूसरी छूट % = (21.60)/(144) × 100 = ²¹⁶⁰⁄₁₄₄

भाग करने पर: 2160 / 144 = 15%

व्याख्या

मान लीजिए लड़कों की संख्या B है और लड़कियों की संख्या G है। प्रश्न के अनुसार, लड़कियों की संख्या का 10%, लड़कों की संख्या के 1/20 भाग के बराबर है। प्रतिशत को भिन्न के रूप में व्यक्त करने पर, 10% = 10/100 = 1/10। दी गई स्थिति को निम्नलिखित समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है:

(1/10) × G = (1/20) × B

लड़कों की संख्या और लड़कियों की संख्या का अनुपात (B:G) ज्ञात करने के लिए, B/G को अलग करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करें:

B / G = (1/10) / (1/20) B / G = (1/10) × (20/1) B / G = 2 / 1

यह सरल होकर B:G = 2:1 हो जाता है।

व्याख्या

यह व्यंजक घातांकों के अनुपात से संबंधित है जहाँ पद 25^(2.5) : 5³ हैं। इसे सरल करने के लिए, हम सर्वसमिका 25 = 5² का उपयोग करके आधार 25 को 5 की घात के रूप में व्यक्त करते हैं।

इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने और घात के नियम (aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ को लागू करने पर: 25^(2.5) = (5²)^(2.5) = 5^(2 × 2.5) = 5⁵

इसके बाद अनुपात हो जाता है: 5⁵ : 5³

विभाजन के लिए घातांक के नियम aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ का उपयोग करने पर: (5⁵)/(5³) = 5⁵⁻³ = 5² = 25

इसके परिणामस्वरूप अनुपात 25:1 प्राप्त होता है।

व्याख्या

विषम पदों वाली एक समांतर श्रेणी (Arithmetic Progression) में, औसत हमेशा मध्य पद के बराबर होता है। चूंकि a, b, c, d, e पांच क्रमागत विषम संख्याएं हैं, इसलिए वे 2 के सार्व अंतर (common difference) के साथ एक समांतर श्रेणी बनाती हैं। हम पहले पद a के संबंध में प्रत्येक पद को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं: b = a + 2, c = a + 4, d = a + 6, और e = a + 8।

औसत की गणना पदों के योग को पदों की कुल संख्या से विभाजित करके की जाती है: औसत = (a + b + c + d + e)/(5) औसत = (a + (a + 2) + (a + 4) + (a + 6) + (a + 8))/(5) औसत = (5a + 20)/(5) औसत = a + 4

चूंकि पांच पद हैं, इसलिए मध्य पद तीसरा पद है, जो कि c = a + 4 है। औसत सूत्र में सीधे मानों को प्रतिस्थापित करने पर a + 4 प्राप्त होता है।

व्याख्या

20 संख्याओं का कुल योग उनकी संख्या को औसत से गुणा करके प्राप्त किया जाता है: 20 × 15 = 300। इसी प्रकार, पहली पांच संख्याओं का योग 5 × 12 = 60 है। शेष 15 संख्याओं का योग कुल योग और पहली पांच संख्याओं के योग के बीच का अंतर है: 300 - 60 = 240। इन शेष संख्याओं का औसत ²⁴⁰⁄₁₅ = 16 है।

वैकल्पिक रूप से, विचलन विधि का उपयोग करते हुए, पहली पांच संख्याओं का औसत समग्र औसत से 3 इकाई कम है (15 - 12 = 3)। इससे कुल 5 × 3 = 15 इकाइयों की कमी होती है। समग्र औसत 15 बनाए रखने के लिए, शेष 15 संख्याओं को सामूहिक रूप से अतिरिक्त 15 इकाइयाँ प्रदान करनी होंगी। इस अतिरिक्त मात्रा को शेष 15 संख्याओं में समान रूप से वितरित करने पर समग्र औसत में ¹⁵⁄₁₅ = 1 इकाई जुड़ जाती है। परिणामस्वरूप, शेष संख्याओं का औसत 15 + 1 = 16 है।

व्याख्या

20% की हानि और 5% के लाभ के बीच प्रतिशत मानों का अंतर विक्रय मूल्य में कुल परिवर्तन को दर्शाता है। चूंकि यह परिवर्तन 20% की हानि से 5% के लाभ में हो रहा है, इसलिए कुल प्रतिशत वृद्धि है:

5% - (-20%) = 25%

मान में यह 25% की वृद्धि विक्रय मूल्य में हुई वास्तविक वृद्धि के संगत है, जो कि 100 दी गई है। माना क्रय मूल्य CP है।

CP का 25% = 100

²⁵⁄₁₀₀ × CP = 100

CP = (100 × 100)/(25) = 400

वैकल्पिक रूप से, यदि क्रय मूल्य को 100 इकाई माना जाए, तो 20% की हानि के परिणामस्वरूप विक्रय मूल्य 80 इकाई होगा, और 5% के लाभ के परिणामस्वरूप विक्रय मूल्य 105 इकाई होगा। इन दोनों विक्रय मूल्यों के बीच का अंतर 25 इकाई है। चूंकि 25 इकाई 100 के बराबर है, इसलिए 1 इकाई 4 के बराबर होगी। अतः, क्रय मूल्य (100 इकाई) = 100 × 4 = 400 है।

व्याख्या

मान लीजिए वस्तु का मूल मूल्य x है। प्रश्न के अनुसार, मूल्य में पहले 20% की कमी की जाती है और फिर 30% की वृद्धि की जाती है, जिससे अंतिम मूल्य 416 हो जाता है।

मूल मूल्य और अंतिम मूल्य के बीच के संबंध को क्रमिक प्रतिशत परिवर्तनों के लिए दशमलव गुणकों का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है: x × (1 - 0.20) × (1 + 0.30) = 416 x × 0.8 × 1.3 = 416

दशमलव कारकों का गुणा करने पर शुद्ध गुणक प्राप्त होता है: x × 1.04 = 416

x का मान ज्ञात करने पर: x = (416)/(1.04) x = ⁴¹⁶⁰⁰⁄₁₀₄ x = 400

इसकी गणना शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन सूत्र a + b + ᵃᵇ⁄₁₀₀ का उपयोग करके भी की जा सकती है, जहाँ a = -20 और b = 30 है। शुद्ध परिवर्तन -20 + 30 + ⁽⁻²⁰⁾⁽³⁰⁾⁄₁₀₀ = 10 - 6 = 4% है। मूल मूल्य पर 4% की वृद्धि से अंतिम मूल्य प्राप्त होता है: x का 104% = 416 1.04x = 416 x = 400

व्याख्या

कुल यात्रा की दूरी x ज्ञात करने के लिए, हम परिवहन के विभिन्न साधनों द्वारा तय की गई यात्रा के अंशों को जोड़ते हैं। ट्रेन द्वारा तय की गई यात्रा का अंश ²⁄₁₅ है और बस द्वारा ⁹⁄₂₀ है।

ट्रेन और बस द्वारा तय किया गया कुल अंश है: ²⁄₁₅ + ⁹⁄₂₀ = (8 + 27)/(60) = ³⁵⁄₆₀ = ⁷⁄₁₂

पैदल तय की गई यात्रा का शेष भाग पूरी यात्रा और वाहनों द्वारा तय किए गए भागों के बीच के अंतर को दर्शाता है: 1 - ⁷⁄₁₂ = ⁵⁄₁₂

चूंकि पैदल तय की गई दूरी 10 किमी दी गई है, इसलिए हम समीकरण बनाते हैं: ⁵⁄₁₂ × x = 10 x = (10 × 12)/(5) x = 2 × 12 = 24 किमी

व्याख्या

एक निश्चित दूरी के लिए, गति समय के व्युत्क्रमानुपाती होती है। यदि व्यक्ति अपनी सामान्य गति की ¾ गति से चलता है, तो उसकी सामान्य गति और नई गति का अनुपात 4 : 3 है। परिणामस्वरूप, उसके सामान्य समय और नए समय का अनुपात 3 : 4 है।

नए समय और सामान्य समय के बीच का अंतर 4 - 3 = 1 इकाई है। प्रश्न के अनुसार, यह 1 इकाई का अंतर 20 मिनट की देरी के बराबर है। चूंकि अनुपात में सामान्य समय को 3 इकाइयों द्वारा दर्शाया गया है, इसलिए गणना 3 × 20 = 60 मिनट है।

व्याख्या

ब्याज की दर R पर दो वर्ष की अवधि के लिए चक्रवृद्धि ब्याज (CI) और साधारण ब्याज (SI) के बीच का संबंध सूत्र CI = SI × (1 + (R)/(200)) द्वारा दिया गया है।

सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर: 2,544 = SI × (1 + ¹²⁄₂₀₀) 2,544 = SI × (1 + ³⁄₅₀) 2,544 = SI × ⁵³⁄₅₀

साधारण ब्याज के लिए हल करने पर: SI = (2,544 × 50)/(53) SI = 48 × 50 SI = 2,400

वैकल्पिक रूप से, 2 वर्षों के लिए साधारण ब्याज की प्रभावी दर 12% + 12% = 24% है। 2 वर्षों के लिए चक्रवृद्धि ब्याज की प्रभावी दर की गणना क्रमिक प्रतिशत सूत्र x + y + ˣʸ⁄₁₀₀ का उपयोग करके की जाती है, जिससे 12 + 12 + (12 × 12)/(100) = 25.44% प्राप्त होता है। यह देखते हुए कि राशि का 25.44%, 2,544 है, राशि के 24% को दर्शाने वाला साधारण ब्याज (2,544)/(25.44) × 24 = 100 × 24 = 2,400 होगा।

व्याख्या

मान लीजिए कि एक बाल्टी की कीमत b है और एक मग की कीमत m है। प्रश्न के अनुसार, हम समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली स्थापित कर सकते हैं:

8b + 5m = 92 5b + 8m = 77

दोनों समीकरणों को जोड़ने पर 13b + 13m = 169 प्राप्त होता है। इस पूरे समीकरण को 13 से विभाजित करने पर b + m = 13 प्राप्त होता है। पहले समीकरण में से दूसरे समीकरण को घटाने पर 3b - 3m = 15 प्राप्त होता है। इस समीकरण को 3 से विभाजित करने पर b - m = 5 प्राप्त होता है।

व्यक्तिगत कीमतें ज्ञात करने के लिए, दोनों सरलीकृत समीकरणों को जोड़ें: (b + m) + (b - m) = 13 + 5, जो सरल होकर 2b = 18 हो जाता है, जिससे b = 9 प्राप्त होता है। b = 9 को b + m = 13 में प्रतिस्थापित करने पर 9 + m = 13 प्राप्त होता है, जिससे m = 4 प्राप्त होता है।

2 मगों और 3 बाल्टियों की कीमत की गणना इस प्रकार की जाती है: 2m + 3b = 2(4) + 3(9) = 8 + 27 = 35।