एसएससी सीजीएल टियर 1 2013 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

मान लीजिए कि कुल कार्य दिए गए समय अंतरालों (12, 20, और 15) का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 60 इकाई है।

जोड़ियों की दैनिक कार्यक्षमता की गणना इस प्रकार की जाती है: (A + B) की कार्यक्षमता = 60 / 12 = 5 इकाई/दिन (B + C) की कार्यक्षमता = 60 / 20 = 3 इकाई/दिन (C + A) की कार्यक्षमता = 60 / 15 = 4 इकाई/दिन

इन कार्यक्षमताओं को जोड़ने पर 2(A + B + C) = 5 + 3 + 4 = 12 इकाई/दिन प्राप्त होता है। एक साथ काम करने वाले A, B और C की संयुक्त कार्यक्षमता ज्ञात करने के लिए, हम इसे 2 से विभाजित करते हैं, जिससे 12 / 2 = 6 इकाई/दिन प्राप्त होता है।

A, B और C को मिलकर कार्य पूरा करने में लगने वाला कुल समय है: समय = कुल कार्य / संयुक्त कार्यक्षमता = 60 / 6 = 10 दिन।

व्याख्या

माना कुल कार्य 1 इकाई है। चूंकि A और B मिलकर कार्य को 3 दिनों में पूरा कर सकते हैं, इसलिए उनकी संयुक्त कार्यक्षमता 1/3 इकाई प्रति दिन है।

पहले 2 दिनों में, A और B एक साथ कार्य करते हैं और कुल कार्य का 2 × (1/3) = 2/3 भाग पूरा करते हैं। शेष कार्य कुल कार्य का 1 - 2/3 = 1/3 भाग है।

B के जाने के बाद, A इस शेष 1/3 कार्य को 2 दिनों में पूरा करता है। इस प्रकार, A की कार्यक्षमता (1/3) / 2 = 1/6 इकाई प्रति दिन है। B की कार्यक्षमता ज्ञात करने के लिए, हम संयुक्त कार्यक्षमता में से A की कार्यक्षमता को घटाते हैं: 1/3 - 1/6 = 1/6 इकाई प्रति दिन।

B द्वारा अकेले कार्य को पूरा करने में लिया गया समय कुल कार्य को B की कार्यक्षमता से विभाजित करने पर प्राप्त होता है, जो कि 1 / (1/6) = 6 दिन है।

व्याख्या

माना B की कार्यक्षमता 100% है। चूंकि A समान समय में B से 20% कम कार्य करता है, इसलिए A की कार्यक्षमता 80% है। A और B की कार्यक्षमता का अनुपात 80 : 100 है, जिसे सरल करने पर 4 : 5 प्राप्त होता है। जब कुल कार्य स्थिर होता है, तो लिया गया समय कार्यक्षमता के व्युत्क्रमानुपाती होता है, जिसका अर्थ है कि A द्वारा लिए गए समय और B द्वारा लिए गए समय का अनुपात 5 : 4 है।

दिया गया है कि A कार्य को पूरा करने में 15/2 घंटे या 7.5 घंटे लेता है, हम अनुपात T_A / T_B = E_B / E_A स्थापित करके B के लिए समय की गणना कर सकते हैं। ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर 7.5 / T_B = 5 / 4 प्राप्त होता है। T_B के लिए हल करने पर, हमें T_B = (7.5 × 4) / 5 = 30 / 5 = 6 घंटे प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

3/4 और 3/8 के बीच एक परिमेय संख्या ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले दोनों भिन्नों को एक समान हर (denominator) के रूप में व्यक्त करते हैं। 4 और 8 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 8 है, लेकिन सही विकल्प में हर से मिलान करने के लिए, हम 16 को समान हर के रूप में उपयोग कर सकते हैं।

दिए गए भिन्नों को बदलने पर: 3/8 = (3 × 2) / (8 × 2) = 6/16 3/4 = (3 × 4) / (4 × 4) = 12/16

एक परिमेय संख्या 3/8 और 3/4 के बीच तब होगी जब उसका मान 6/16 से अधिक और 12/16 से कम हो। भिन्न 9/16 इस शर्त को पूरा करता है क्योंकि 6/16 < 9/16 < 12/16।

वैकल्पिक रूप से, दशमलव समतुल्य का उपयोग करने पर, 3/8 = 0.375 और 3/4 = 0.75 है। 9/16 का मान 0.5625 है। चूंकि 0.375 < 0.5625 < 0.75 है, इसलिए परिमेय संख्या 9/16 दिए गए दोनों नंबरों के बीच स्थित है।

व्याख्या

दो संख्याओं को सह-अभाज्य तब परिभाषित किया जाता है जब उनका महत्तम समापवर्तक (HCF) 1 हो। किन्हीं दो संख्याओं और उनके सामान्य गुणजों और गुणनखंडों के बीच का संबंध इस गणितीय सूत्र द्वारा निर्धारित होता है: दो संख्याओं का गुणनफल = LCM × HCF इस मामले में, दो संख्याओं का गुणनफल 117 दिया गया है। चूंकि संख्याएं सह-अभाज्य हैं, इसलिए उनका HCF 1 है। इन ज्ञात मानों को समीकरण में रखने पर: 117 = LCM × 1 समीकरण को सरल करने पर, LCM 117 प्राप्त होता है। यह गुण सह-अभाज्य संख्याओं के सभी युग्मों के लिए सत्य है, जहाँ लघुत्तम समापवर्त्य हमेशा स्वयं संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है क्योंकि विभाजित करने के लिए कोई सामान्य अभाज्य गुणनखंड नहीं होते हैं।

व्याख्या

माना वर्ग की भुजा s है। छोटे वृत्त का व्यास वर्ग की भुजा के बराबर है, इसलिए d₁ = s। बड़े वृत्त का व्यास वर्ग के विकर्ण के बराबर है, जो सूत्र d₂ = s√2 द्वारा दिया गया है।

व्यास d वाले एक वृत्त का क्षेत्रफल A, सूत्र A = (π d²)/(4) का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है। चूंकि π/4 एक स्थिरांक है, इसलिए दो वृत्तों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनके व्यासों के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।

छोटे वृत्त का क्षेत्रफल / बड़े वृत्त का क्षेत्रफल = (d₁²)/(d₂²) = (s²)/((s√(2))²) = (s²)/(2s²) = ½

अतः, छोटे वृत्त और बड़े वृत्त के क्षेत्रफलों का अनुपात 1:2 है।

व्याख्या

एक गोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र A = 4π r² द्वारा दिया जाता है। प्रश्न के अनुसार, 4π r² = 8π। दोनों पक्षों को 4π से विभाजित करने पर r² = 2 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि त्रिज्या r = √2 है।

गोले के आयतन की गणना सूत्र V = ⁴⁄₃π r³ का उपयोग करके की जाती है। इस सूत्र में r का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: V = ⁴⁄₃π (√2)³ V = ⁴⁄₃π (2√2) V = 8√2/3 π

इस प्रकार, गोले का आयतन 8√2/3 π वर्ग इकाई है।

व्याख्या

आधार त्रिज्या r और ऊंचाई h वाले एक शंक्वाकार फ्लॉस्क में पानी का आयतन सूत्र V = ⅓π r²h द्वारा निर्धारित किया जाता है। जब पानी के इस आयतन को एक बेलनाकार फ्लॉस्क में स्थानांतरित किया जाता है, तो पानी का आयतन अपरिवर्तित रहता है।

आधार त्रिज्या mr और अज्ञात ऊंचाई H वाले बेलनाकार फ्लॉस्क में पानी का आयतन सूत्र V = π(mr)²H द्वारा दिया जाता है। दोनों आयतनों को एक दूसरे के बराबर रखने पर, हमें प्राप्त होता है:

⅓π r²h = π m²r²H

समीकरण के दोनों पक्षों को π r² से विभाजित करने पर, यह व्यंजक सरल होकर निम्न रूप में आ जाता है:

⅓h = m²H

बेलनाकार फ्लॉस्क में पानी की ऊंचाई H ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करते हैं:

H = (h)/(3m²)

व्याख्या

छूट के बाद एक दर्जन (12 जोड़ी) मोज़ों के विक्रय मूल्य (SP) की गणना सूत्र SP = MP × (1 - (D)/(100)) का उपयोग करके की जाती है, जहाँ MP अंकित मूल्य है और D छूट प्रतिशत है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, SP = 180 × (1 - ²⁰⁄₁₀₀) = 180 × 0.8 = 144 रुपये।

चूंकि 12 जोड़ी मोज़ों की कीमत 144 रुपये है, इसलिए मोज़े की एक जोड़ी की कीमत ¹⁴⁴⁄₁₂ = 12 रुपये है। 48 रुपये में खरीदे जा सकने वाले जोड़ों की संख्या कुल उपलब्ध राशि को प्रति जोड़ी कीमत से विभाजित करके निर्धारित की जाती है: ⁴⁸⁄₁₂ = 4 जोड़ी।

व्याख्या

किसी वस्तु पर दी जाने वाली छूट की राशि उसके अंकित मूल्य और उसके विक्रय मूल्य के बीच का अंतर होती है। सूत्र, छूट = अंकित मूल्य - विक्रय मूल्य का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है: छूट = 12000 - 10500 = 1500।

छूट की दर की गणना अंकित मूल्य के प्रतिशत के रूप में की जाती है, जिसके लिए सूत्र है: छूट की दर = ((छूट)/(अंकित मूल्य)) × 100। सूत्र में मान रखने पर हमें प्राप्त होता है: दर = (¹⁵⁰⁰⁄₁₂₀₀₀) × 100। भिन्न को सरल करने पर, हमें ¹⁵⁄₁₂₀ × 100 प्राप्त होता है, जो घटकर ⅛ × 100 हो जाता है। इसकी गणना करने पर 12.5% प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण (3 / 4)³ (4 / 3)⁻⁷ = (3 / 4)²ˣ है। घातांक के नियम (a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ का उपयोग करके, पद (4/3)⁻⁷ को (3/4)⁷ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। इसे वापस समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर (3 / 4)³ (3 / 4)⁷ = (3 / 4)²ˣ प्राप्त होता है। घातांकों के गुणन नियम aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ को लागू करने पर, बायाँ पक्ष (3 / 4)³⁺⁷ हो जाता है, जो सरल होकर (3 / 4)¹⁰ हो जाता है। चूंकि समीकरण के दोनों पक्षों के आधार समान हैं, इसलिए घातांक भी समान होने चाहिए, जिससे रैखिक समीकरण 10 = 2x प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर x = 5 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि 1:2:3 के अनुपात के आधार पर मूल तीन संख्याएँ x, 2x और 3x हैं। जब इनमें से प्रत्येक संख्या में 5 जोड़ा जाता है, तो नए मान x+5, 2x+5 और 3x+5 हो जाते हैं, जो 2:3:4 के अनुपात में हैं।

पहले दो पदों का उपयोग करके एक समानुपात स्थापित करने पर:

(x+5)/(2x+5) = 2/3

x का मान ज्ञात करने के लिए तिर्यक गुणन (cross-multiplication) करने पर:

3(x+5) = 2(2x+5) 3x + 15 = 4x + 10 x = 5

मूल संख्याएँ x, 2x और 3x हैं। x = 5 प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

1 × 5 = 5 2 × 5 = 10 3 × 5 = 15

वैकल्पिक रूप से, ध्यान दें कि अनुपात 1:2:3 का प्रत्येक भाग ठीक 1 इकाई बढ़कर 2:3:4 हो जाता है (2-1=1, 3-2=1, और 4-3=1)। चूंकि प्रत्येक संख्या में 5 जोड़ने पर अनुपात में 1 इकाई की वृद्धि होती है, इसलिए 1 इकाई 5 के बराबर है। इस प्रकार, संख्याएँ 1 × 5 = 5, 2 × 5 = 10, और 3 × 5 = 15 हैं।

व्याख्या

दिए गए समीकरण a² + b² + c² + 3 = 2(a - b - c) को सभी पदों को एक तरफ लाकर पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है:

a² - 2a + b² + 2b + c² + 2c + 3 = 0

प्रत्येक चर के लिए वर्ग पूर्ण करने के लिए अचर 3 को 1 + 1 + 1 में विभाजित किया जा सकता है:

(a² - 2a + 1) + (b² + 2b + 1) + (c² + 2c + 1) = 0

बीजगणितीय सर्वसमिका (x ± y)² = x² ± 2xy + y² का उपयोग करने पर, व्यंजक इस प्रकार सरल हो जाता है:

(a - 1)² + (b + 1)² + (c + 1)² = 0

वास्तविक संख्याओं के वर्गों का योग शून्य होने के लिए, प्रत्येक व्यक्तिगत पद स्वतंत्र रूप से शून्य के बराबर होना चाहिए। इससे प्राप्त होता है:

a - 1 = 0 ⟹ a = 1 b + 1 = 0 ⟹ b = -1 c + 1 = 0 ⟹ c = -1

इन मानों को आवश्यक व्यंजक 2a - b + c में प्रतिस्थापित करने पर:

2(1) - (-1) + (-1) = 2 + 1 - 1 = 2

व्याख्या

मान लीजिए एक गाय की कीमत C है और एक बकरी की कीमत G है। दी गई जानकारी के आधार पर, हम दो रैखिक समीकरण बना सकते हैं। पहली खरीद 47,200 रुपये में 3 गायों और 8 बकरियों की है, जिससे निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है: 3C + 8G = 47,200

दूसरी स्थिति के अनुसार, 8 गायों और 3 बकरियों की कीमत पहली खरीद से 53,000 रुपये अधिक है। इसलिए, दूसरी स्थिति के लिए कुल लागत 47,200 + 53,000 = 100,200 रुपये है। इससे दूसरा समीकरण प्राप्त होता है: 8C + 3G = 100,200

C का मान कुशलतापूर्वक ज्ञात करने के लिए, हम इन समीकरणों के योग और अंतर का उपयोग कर सकते हैं। दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: 11C + 11G = 147,400 C + G = 13,400

दूसरे समीकरण में से पहले समीकरण को घटाने पर: 5C - 5G = 53,000 C - G = 10,600

अब, इन दोनों सरलीकृत समीकरणों को जोड़ने पर: (C + G) + (C - G) = 13,400 + 10,600 2C = 24,000 C = 12,000

व्याख्या

एक वृत्त में, केंद्र से जीवा पर खींचा गया लंबवत रेखाखंड उस जीवा को समद्विभाजित करता है। यह रचना एक समकोण त्रिभुज बनाती है जहाँ त्रिज्या r कर्ण है, केंद्र से दूरी d एक भुजा है, और जीवा की आधी लंबाई L/2 दूसरी भुजा है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके त्रिज्या की गणना की जा सकती है:

r² = d² + (L/2)²

दिए गए मानों L = 30 सेमी और d = 8 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर:

r² = 8² + (30/2)² r² = 8² + 15² r² = 64 + 225 r² = 289 r = √(289) = 17

यह गणना मानक पाइथागोरस त्रिक (8, 15, 17) के अनुरूप है।

व्याख्या

n अंकों वाली किसी संख्या के वर्गमूल में अंकों की संख्या सूत्र ⌈ n/2 ⌉ द्वारा दी जाती है। यदि n सम है, तो वर्गमूल में n/2 अंक होते हैं; यदि n विषम है, तो वर्गमूल में (n+1)/2 अंक होते हैं। संख्या 62478078 में 8 अंक हैं। चूंकि n = 8 एक सम संख्या है, इसलिए इसके वर्गमूल में अंकों की संख्या 8/2 = 4 है। यह गणना इस गणितीय सिद्धांत के अनुरूप है कि किसी भी k-अंकीय संख्या के वर्ग के परिणामस्वरूप प्राप्त गुणनफल में या तो 2k-1 या 2k अंक होते हैं। यह देखते हुए कि 62478078 में 8 अंक हैं, इसका वर्गमूल 4-अंकीय पूर्णांक होना चाहिए क्योंकि 1000² = 1,000,000 (7 अंक) और 9999² = 99,980,001 (8 अंक) हैं।

व्याख्या

मान लीजिए कि वर्ग की भुजा s है। एक वर्ग का अंतःवृत्त इसकी चारों भुजाओं के मध्य बिंदुओं को स्पर्श करता है, जिससे इसका व्यास वर्ग की भुजा की लंबाई के बराबर हो जाता है। इस प्रकार, अंतःत्रिज्या r भुजा की आधी होती है, अर्थात r = s/2। एक वर्ग का परिवृत्त इसके चारों शीर्षों से होकर गुजरता है, जिससे इसका व्यास वर्ग के विकर्ण के बराबर हो जाता है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर, भुजा s वाले वर्ग का विकर्ण s√2 होता है। इसलिए, परित्रिज्या R विकर्ण की आधी होती है, अर्थात R = s√2/2। अंतःत्रिज्या और परित्रिज्या का अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम r : R = s/2 : s√2/2 की गणना करते हैं। उभयनिष्ठ पदों s और 2 को निरस्त करके इस व्यंजक को सरल करने पर 1 : √2 का अनुपात प्राप्त होता है।

व्याख्या

किसी समूह के जाने वाले और आने वाले सदस्यों की आयु तथा औसत आयु में परिवर्तन के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया गया है: सेवानिवृत्त शिक्षक की आयु = नए शिक्षक की आयु + (शिक्षकों की संख्या × औसत आयु में कमी)।

दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर, जहाँ शिक्षकों की संख्या 10 है, नए शिक्षक की आयु 25 वर्ष है, और औसत आयु में कमी 3 वर्ष है:

सेवानिवृत्त शिक्षक की आयु = 25 + (10 × 3) सेवानिवृत्त शिक्षक की आयु = 25 + 30 सेवानिवृत्त शिक्षक की आयु = 55 वर्ष

ऐसा इसलिए होता है क्योंकि औसत में 3 वर्ष की कमी होने के लिए 10 शिक्षकों की आयु का कुल योग 10 × 3 = 30 वर्ष कम होना चाहिए। चूंकि समूह में एकमात्र परिवर्तन सेवानिवृत्त शिक्षक के स्थान पर 25 वर्षीय शिक्षक का आना था, इसलिए सेवानिवृत्त शिक्षक की आयु नए शिक्षक से 30 वर्ष अधिक होनी चाहिए।

व्याख्या

यह व्यंजक tan फलनों का एक गुणनफल है जहाँ कोण 1° से 89° तक हैं। त्रिकोणमितीय सर्वसमिका tan(90° - θ) = cot θ का उपयोग करके, हम श्रृंखला के प्रारंभ और अंत के पदों के जोड़े बना सकते हैं। उदाहरण के लिए, tan 89° को tan(90° - 1°) = cot 1° के रूप में लिखा जा सकता है।

चूंकि tan θ · cot θ = 1 होता है, इसलिए पहले और अंतिम पदों का गुणनफल tan 1° · tan 89° = tan 1° · cot 1° = 1 होगा। इसी पैटर्न का अनुसरण करते हुए, tan 2° · tan 88° = 1, tan 3° · tan 87° = 1, और इसी तरह, tan 44° · tan 46° = 1 के जोड़े तक यही क्रम चलेगा। इससे कुल 44 जोड़े बनते हैं, जिनमें से प्रत्येक का मान 1 होता है। बिना जोड़े वाला एकमात्र पद मध्य पद, tan 45° है, जिसका मान भी 1 के बराबर होता है। इन सभी परिणामों को आपस में गुणा करने पर 1 × 1 × … × 1 = 1 प्राप्त होता है।

व्याख्या

अंकित मूल्य (MP) और क्रय मूल्य (CP) के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया गया है: CP/MP = (100 - छूट%)/(100 + लाभ%)। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

CP/MP = (100 - 10)/(100 + 8) = 90/108 = 5/6

यदि कोई छूट नहीं दी जाती है, तो विक्रय मूल्य (SP) अंकित मूल्य (MP) के बराबर हो जाता है। जब SP = MP हो, तो लाभ प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, हम ऊपर प्राप्त अनुपात का उपयोग करते हैं जहाँ CP = 5 इकाई और MP = 6 इकाई है।

लाभ प्रतिशत की गणना इस प्रकार की जाती है: लाभ% = [(SP - CP)/CP] × 100 लाभ% = [(6 - 5)/5] × 100 लाभ% = (1/5) × 100 = 20%

वैकल्पिक रूप से, वास्तविक मानों का उपयोग करते हुए, SP = 480 × 0.9 = 432। चूंकि यह 8% लाभ को दर्शाता है, इसलिए CP = 432/1.08 = 400। यदि इसे 480 के अंकित मूल्य (MP) पर बेचा जाता है, तो लाभ 480 - 400 = 80 होगा, और लाभ प्रतिशत (80/400) × 100 = 20% होगा।

व्याख्या

x-अक्ष के समानांतर एक सरल रेखा का समीकरण हमेशा y = k के रूप में होता है, जहाँ k उस रेखा पर प्रत्येक बिंदु के लिए नियत कोटि (ordinate) को दर्शाता है। k का मान x-अक्ष से ऊर्ध्वाधर दूरी और दिशा द्वारा निर्धारित होता है। चूँकि रेखा x-अक्ष से 3 इकाई नीचे स्थित है, इसलिए रेखा पर किसी भी बिंदु का y-निर्देशांक -3 है। इस मान को सामान्य रूप में प्रतिस्थापित करने पर समीकरण y = -3 प्राप्त होता है।

व्याख्या

चतुर्भुज OPSQ में, OP और OQ त्रिज्याएँ हैं तथा SP और SQ स्पर्श रेखाएँ हैं। चूँकि स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंबवत होती है, इसलिए ∠ OPS = ∠ OQS = 90° है। एक चतुर्भुज के कोणों का योग 360° होता है, इसलिए केंद्र O पर जीवा PQ द्वारा अंतरित कोण ∠ POQ = 180° - ∠ PSQ = 180° - 20° = 160° है।

दीर्घ चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण, प्रतिवर्ती ∠ POQ = 360° - 160° = 200° है। इस प्रमेय के अनुसार कि किसी चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण वृत्त के शेष भाग पर किसी भी बिंदु पर उसके द्वारा अंतरित कोण का दोगुना होता है, लघु चाप पर स्थित बिंदु R पर दीर्घ चाप द्वारा अंतरित कोण ∠ PRQ, केंद्र पर बने प्रतिवर्ती कोण का आधा होता है।

∠ PRQ = ½ × (प्रतिवर्ती ∠ POQ) = ½ × 200° = 100°

व्याख्या

एक निश्चित वार्षिक दर से ह्रासमान मशीन के मूल्य की गणना सूत्र V = P(1 - ʳ⁄₁₀₀)ⁿ का उपयोग करके की जाती है, जहाँ P वर्तमान मूल्य है, r ह्रास की दर है, और n वर्षों की संख्या है। दिए गए मानों P = 50,000, r = 10, और n = 2 को प्रतिस्थापित करने पर, गणना 50,000 × (1 - ¹⁰⁄₁₀₀)² होगी। यह सरल होकर 50,000 × (0.9)² हो जाता है, जो 50,000 × 0.81 = 40,500 के बराबर है। वैकल्पिक रूप से, क्रमिक कमी का उपयोग करने पर, पहले वर्ष के बाद मूल्य 50,000 - 10%(50,000) = 45,000 है, और दूसरे वर्ष के बाद मूल्य 45,000 - 10%(45,000) = 40,500 है।

व्याख्या

△ ABC में, चूंकि AB = AC है, इसलिए त्रिभुज समद्विबाहु है, जिसका अर्थ है कि इन भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर हैं, इसलिए ∠ ABC = ∠ ACB। किसी भी त्रिभुज के अंतः कोणों का योग 180° होता है। दिया गया है कि ∠ BAC = 40°, तो शेष दो कोणों का योग 180° - 40° = 140° है। चूंकि ∠ ABC = ∠ ACB है, इसलिए इनमें से प्रत्येक कोण 140° / 2 = 70° है। शीर्ष B पर बाह्य कोण, अंतः कोण ABC का संपूरक है क्योंकि वे एक सीधी रेखा पर एक रैखिक युग्म बनाते हैं। इस प्रकार, B पर बाह्य कोण = 180° - 70° = 110°। वैकल्पिक रूप से, बाह्य कोण प्रमेय का उपयोग करते हुए, B पर बाह्य कोण सम्मुख अंतः कोणों का योग है, ∠ BAC + ∠ ACB = 40° + 70° = 110°।

व्याख्या

मान लीजिए कि कुल कार्य को व्यक्तिगत रूप से कार्य पूरा करने में लगने वाले समय के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) द्वारा दर्शाया गया है। 18 और 5 का LCM 90 इकाई है। इसलिए, A की कार्य दर 90 / 18 = 5 इकाई प्रति दिन है, और B की कार्य दर 90 / 5 = 18 इकाई प्रति दिन है। B ने 2 दिनों तक काम किया, जिससे 18 × 2 = 36 इकाई काम पूरा हुआ। A द्वारा पूरा किया जाने वाला शेष कार्य 90 - 36 = 54 इकाई है। चूंकि A प्रति दिन 5 इकाई काम पूरा करता है, इसलिए A को शेष काम पूरा करने में लगने वाला समय 54 / 5 = 10.8 दिन है।

व्याख्या

शांत जल में व्यक्ति की चाल u = 3 किमी/घंटा है और धारा का वेग v = 2 किमी/घंटा है। धारा के प्रतिकूल (upstream) तैरते समय, प्रभावी चाल व्यक्ति की चाल और धारा की चाल का अंतर होती है, जो कि u - v = 3 - 2 = 1 किमी/घंटा है। धारा के अनुकूल (downstream) तैरते समय, प्रभावी चाल व्यक्ति की चाल और धारा की चाल का योग होती है, जो कि u + v = 3 + 2 = 5 किमी/घंटा है।

d = 10 किमी की दूरी की आने-जाने की यात्रा में लगा कुल समय, धारा के प्रतिकूल जाने में लगे समय और धारा के अनुकूल आने में लगे समय के योग द्वारा दिया जाता है: T = (d)/(u - v) + (d)/(u + v) T = ¹⁰⁄₁ + ¹⁰⁄₅ T = 10 + 2 = 12 घंटे

व्याख्या

दी गई कार्यक्षमता के अनुपात से, 10 पुरुष = 20 महिलाएँ = 40 बच्चे, हम यह स्थापित करते हैं कि 1 पुरुष = 4 बच्चे और 1 महिला = 2 बच्चे। कुल कार्य की गणना बाल-महीनों (child-months) के रूप में 40 × 7 = 280 इकाई की जा सकती है। लक्ष्य इस कार्य का आधा हिस्सा पूरा करना है, जो कि ²⁸⁰⁄₂ = 140 इकाई है।

5 पुरुषों, 5 महिलाओं और 5 बच्चों की संयुक्त दर को बच्चों की इकाइयों में व्यक्त करने पर 5(4) + 5(2) + 5 = 20 + 10 + 5 = 35 इकाई प्रति माह प्राप्त होती है। कार्य के सूत्र समय = (कार्य)/(दर) का उपयोग करने पर, आवश्यक समय है:

समय = ¹⁴⁰⁄₃₅ = 4 महीने

व्याख्या

यह व्यंजक 1° से 179° तक के प्रत्येक पूर्णांक डिग्री के लिए कोसाइन (cosine) फलनों का एक गुणनफल है। पदों के अनुक्रम को इस प्रकार लिखा जा सकता है: cos 1° · cos 2° · cos 3° … cos 89° · cos 90° · cos 91° … cos 179° पदों के किसी भी गुणनफल में, यदि गुणनखंडों में से एक शून्य है, तो संपूर्ण गुणनफल शून्य हो जाता है। इस विशिष्ट अनुक्रम में, पद cos 90° उपस्थित है क्योंकि कोण 1° से शुरू होकर 179° पर समाप्त होने वाले 1° के अंतराल पर बढ़ते हैं। त्रिकोणमितीय सर्वसमिका के अनुसार, cos 90° का मान ठीक 0 होता है। इसलिए, गुणनफल में इस मान को प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: (cos 1° · cos 2° … cos 89°) · 0 · (cos 91° … cos 179°) = 0

व्याख्या

द्विपद के घन के लिए बीजीय सर्वसमिका (a - b)³ = a³ - b³ - 3ab(a - b) है। a = p और b = 2q प्रतिस्थापित करने पर, इसका प्रसार (p - 2q)³ = p³ - (2q)³ - 3(p)(2q)(p - 2q) होता है, जो सरल होकर p³ - 8q³ - 6pq(p - 2q) हो जाता है। दी गई शर्त p - 2q = 4 के अनुसार, हम समीकरण में इस मान को प्रतिस्थापित करते हैं जिससे हमें 4³ = p³ - 8q³ - 6pq(4) प्राप्त होता है। इस गणना से 64 = p³ - 8q³ - 24pq प्राप्त होता है। समीकरण के दोनों पक्षों से 64 घटाने पर p³ - 8q³ - 24pq - 64 = 0 प्राप्त होता है। वैकल्पिक रूप से, प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके ऐसे मान चुनकर जो p - 2q = 4 को संतुष्ट करते हैं, जैसे कि q = 0 और p = 4, हम सीधे लक्षित व्यंजक का मान ज्ञात कर सकते हैं। इन मानों को p³ - 8q³ - 24pq - 64 में प्रतिस्थापित करने पर 4³ - 8(0)³ - 24(4)(0) - 64 प्राप्त होता है, जिसका मान 64 - 0 - 0 - 64 = 0 आता है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण sin θ + csc θ = 2 के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर हम वांछित मान ज्ञात कर सकते हैं। बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² = a² + b² + 2ab का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है:

(sin θ + csc θ)² = 2²

sin²θ + csc²θ + 2(sin θ)(csc θ) = 4

चूंकि csc θ = 1/sin θ है, इसलिए गुणनफल sin θ · csc θ = 1 होगा। इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

sin²θ + csc²θ + 2(1) = 4

sin²θ + csc²θ = 4 - 2

sin²θ + csc²θ = 2

यह परिणाम इस गुण के अनुरूप है कि यदि किसी धनात्मक वास्तविक संख्या x के लिए x + ¹⁄ₓ = 2 है, तो x का मान 1 होना चाहिए। यहाँ, sin θ = 1 और csc θ = 1 है, इसलिए sinⁿθ + cscⁿθ का कोई भी घात भी 2 के बराबर होगा।

व्याख्या

मान लीजिए कि दिए गए 7:5 के अनुपात के आधार पर स्कूल बैग और जूते के मूल्य को क्रमशः 7x और 5x द्वारा दर्शाया गया है। प्रश्न के अनुसार, स्कूल बैग का मूल्य जूते के मूल्य से 200 रुपये अधिक है। अनुपात के संदर्भ में यह अंतर है:

7x - 5x = 200 2x = 200 x = 100

जूते के मूल्य को 5x द्वारा दर्शाया गया है। इस व्यंजक में x का मान रखने पर:

जूते का मूल्य = 5 × 100 = 500

ऐकिक नियम का उपयोग करने पर, अनुपात के भागों के बीच का अंतर 7 - 5 = 2 इकाई है। ये 2 इकाइयाँ 200 रुपये के मूल्य के बराबर हैं। इसलिए, 1 इकाई 100 रुपये के बराबर है। जूते का मूल्य, जो कि 5 इकाइयाँ है, इस प्रकार ज्ञात किया जाता है: 5 × 100 = 500।

व्याख्या

d₁% और d₂% की दो क्रमिक छूटों के बाद विक्रय मूल्य (SP) की गणना सूत्र SP = MP × (1 - (d₁)/(100)) × (1 - (d₂)/(100)) का उपयोग करके की जाती है। दिया गया अंकित मूल्य MP = 80 है और प्रत्येक 5% की क्रमिक छूट है, पहली छूट मूल्य को घटाकर 80 × 0.95 = 76 कर देती है। इसके बाद इस नए मूल्य पर दूसरी 5% की छूट लागू की जाती है, जिसके परिणामस्वरूप 76 × 0.95 = 72.2 प्राप्त होता है।

वैकल्पिक रूप से, दो क्रमिक छूटों x और y के लिए प्रभावी एकल छूट (x + y - ˣʸ⁄₁₀₀)% द्वारा दी जाती है। दो 5% की छूटों के लिए, शुद्ध छूट (5 + 5 - (5 × 5)/(100))% = 9.75% है। इसके बाद विक्रय मूल्य 80 × (1 - 0.0975) = 80 × 0.9025 = 72.2 होगा।

व्याख्या

यह निर्धारित करने के लिए कि ग्राहक के लिए कौन-सी क्रमिक छूट बेहतर है, हम प्रारंभिक मूल्य 100 पर छूट के प्रत्येक सेट को लागू करने के बाद अंतिम मूल्य की गणना करते हैं। क्रमिक छूटों d₁, d₂, d₃ के एक सेट के लिए, अंतिम मूल्य P सूत्र P = 100 × (1 - d₁) × (1 - d₂) × (1 - d₃) द्वारा दिया जाता है।

20%, 15% और 10% की छूट वाले अनुक्रम (a) के लिए, अंतिम मूल्य की गणना इस प्रकार है: 100 × (1 - 0.20) × (1 - 0.15) × (1 - 0.10) = 100 × 0.80 × 0.85 × 0.90 = 61.2। इसके परिणामस्वरूप कुल प्रभावी छूट 100 - 61.2 = 38.8% प्राप्त होती है।

25%, 12% और 8% की छूट वाले अनुक्रम (b) के लिए, अंतिम मूल्य की गणना इस प्रकार है: 100 × (1 - 0.25) × (1 - 0.12) × (1 - 0.08) = 100 × 0.75 × 0.88 × 0.92। पहले भाग को सरल करने पर, 100 × 0.75 × 0.88 = 75 × 0.88 = 66। फिर, 66 × 0.92 = 60.72। इसके परिणामस्वरूप कुल प्रभावी छूट 100 - 60.72 = 39.28% प्राप्त होती है। चूंकि 39.28%, 38.8% से अधिक है, इसलिए अनुक्रम (b) अधिक समग्र छूट प्रदान करता है और ग्राहक के लिए बेहतर है।

व्याख्या

एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC में जहाँ AB = AC है, समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं, इसलिए ∠ C = ∠ B = 35°। त्रिभुज ABC के आंतरिक कोणों का योग 180° होता है, इसलिए शीर्ष कोण ∠ BAC = 180° - (∠ B + ∠ C) = 180° - (35° + 35°) = 110°।

एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार BC पर खींची गई माध्यिका AD, शीर्ष कोण ∠ BAC के कोण समद्विभाजक के रूप में भी कार्य करती है। इसलिए, ∠ BAD का माप शीर्ष कोण ∠ BAC का ठीक आधा होता है। इसकी गणना करने पर ∠ BAD = 110° / 2 = 55° प्राप्त होता है। वैकल्पिक रूप से, चूँकि एक समद्विबाहु त्रिभुज के आधार पर खींची गई माध्यिका उसका शीर्षलंब (ऊंचाई) भी होती है, इसलिए △ ABD एक समकोण त्रिभुज है जिसमें ∠ ADB = 90° है। △ ABD में, ∠ BAD = 180° - (90° + 35°) = 180° - 125° = 55°।

व्याख्या

रेडियन और डिग्री के बीच संबंध को सर्वसमिका π रेडियन = 180° द्वारा परिभाषित किया जाता है। इसलिए, 1 रेडियन = (180)/(π) डिग्री। दिए गए मान π = ²²⁄₇ का उपयोग करने पर, गणना इस प्रकार है:

1 रेडियन = (180)/(22/7) = (180 × 7)/(22) = (90 × 7)/(11) = ⁶³⁰⁄₁₁ डिग्री

630 को 11 से विभाजित करने पर शेषफल 3 के साथ 57 डिग्री प्राप्त होता है। शेष ³⁄₁₁ डिग्री को मिनट में बदलने के लिए, हम इसे 60 से गुणा करते हैं (चूंकि 1° = 60^′):

³⁄₁₁ × 60 = ¹⁸⁰⁄₁₁ = 16 ⁴⁄₁₁ मिनट

शेष ⁴⁄₁₁ मिनट को सेकंड में बदलने के लिए, हम इसे 60 से गुणा करते हैं (चूंकि 1^′ = 60^′^′):

⁴⁄₁₁ × 60 = ²⁴⁰⁄₁₁ ≈ 21.81 सेकंड

सेकंड को निकटतम पूर्ण संख्या में पूर्णांकित करने पर 22^′^′ प्राप्त होता है। इन सभी भागों को मिलाने पर, 1 रेडियन का माप लगभग 57° 16^′ 22^′^′ है।

व्याख्या

ट्रेन की गति को मीटर प्रति सेकंड में बदलने के लिए किमी/घंटा में गति को ⁵⁄₁₈ से गुणा किया जाता है। v = 36 × ⁵⁄₁₈ = 10 मीटर/सेकंड

जब कोई ट्रेन एक खड़े व्यक्ति को पार करती है, तो तय की गई दूरी ट्रेन की लंबाई (Lₜ) के बराबर होती है। सूत्र दूरी = गति × समय का उपयोग करने पर: Lₜ = 10 मीटर/सेकंड × 10 सेकंड = 100 मीटर

एक प्लेटफॉर्म को पार करने के लिए, ट्रेन को अपनी लंबाई और प्लेटफॉर्म की लंबाई (Lₚ) के योग के बराबर कुल दूरी तय करनी होगी। दिया गया है Lₚ = 55 मीटर, कुल दूरी है: D = Lₜ + Lₚ = 100 + 55 = 155 मीटर

प्लेटफॉर्म को पार करने के लिए आवश्यक समय की गणना इस प्रकार की जाती है: t = (कुल दूरी)/(गति) = ¹⁵⁵⁄₁₀ = 15.5 सेकंड

दशमलव को भिन्न में बदलने पर, 15.5 सेकंड 15 ½ सेकंड के बराबर होता है।

व्याख्या

ax² + bx + c के रूप का एक द्विघात व्यंजक एक पूर्ण वर्ग होता है यदि इसका विविक्तकर (discriminant) D = b² - 4ac शून्य के बराबर हो। दिए गए व्यंजक n² - tn + 1/4 में, गुणांक a = 1, b = -t, और c = 1/4 हैं।

विविक्तकर को शून्य के बराबर रखने पर: (-t)² - 4(1)(1/4) = 0 t² - 1 = 0 t² = 1 t = ± 1

वैकल्पिक रूप से, हम इस व्यंजक की तुलना एक पूर्ण वर्ग द्विपद (perfect square binomial) की मानक सर्वसमिका (A ± B)² = A² ± 2AB + B² से कर सकते हैं। n² - tn + 1/4 को इस रूप में व्यवस्थित करने पर, हम पाते हैं कि A² = n², जिससे A = n प्राप्त होता है, और B² = 1/4, जिससे B = 1/2 प्राप्त होता है। इसके बाद मध्य पद -tn को ± 2AB के संगत होना चाहिए: -tn = ± 2(n)(1/2) -tn = ± n -t = ± 1 t = ∓ 1

दोनों मान, t = 1 और t = -1, व्यंजक को एक पूर्ण वर्ग बनाते हैं, जो कि क्रमशः (n - 1/2)² और (n + 1/2)² हैं।

व्याख्या

दिया गया समीकरण x / a = 1 / a - 1 / x है। x - x² का मान ज्ञात करने के लिए, भिन्नों को समाप्त करने के लिए सबसे पहले पूरे समीकरण को उभयनिष्ठ हर ax से गुणा करें:

ax · ˣ⁄ₐ = ax · (¹⁄ₐ - ¹⁄ₓ)

x² = x - a

व्यंजक x - x² प्राप्त करने के लिए, दोनों पक्षों से x² घटाकर और दोनों पक्षों में a जोड़कर पदों को पुनर्व्यवस्थित करें:

x² + a = x

a = x - x²

परिणामी समीकरण की तुलना आवश्यक व्यंजक से करने पर, मान a प्राप्त होता है।

व्याख्या

समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल का प्रमेय यह बताता है कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। यह दिया गया है कि Δ ABC ∼ Δ DEF, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

(क्षेत्रफल(Δ ABC))/(क्षेत्रफल(Δ DEF)) = ((BC)/(EF))²

दिए गए मानों BC = 3 सेमी, EF = 4 सेमी, और क्षेत्रफल(Δ ABC) = 54 सेमी² को समीकरण में रखने पर:

(54)/(क्षेत्रफल(Δ DEF)) = (¾)²

(54)/(क्षेत्रफल(Δ DEF)) = ⁹⁄₁₆

क्षेत्रफल(Δ DEF) के लिए हल करने पर:

क्षेत्रफल(Δ DEF) = (54 × 16)/(9)

भिन्न को सरल करने पर, 54 ÷ 9 = 6 प्राप्त होता है। इसलिए:

क्षेत्रफल(Δ DEF) = 6 × 16 = 96 सेमी²

व्याख्या

विक्रय मूल्यों और उनके संबंधित लाभ या हानि प्रतिशत के बीच के संबंध को निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है: SP₂ = (SP₁ × (100 + लाभ%))/((100 - हानि%))

दिया गया है कि प्रारंभिक विक्रय मूल्य SP₁ 170 है जिसमें 15% की हानि होती है, और वांछित लाभ 20% है, हम इन मानों को सूत्र में रखते हैं: SP₂ = (170 × (100 + 20))/((100 - 15)) SP₂ = (170 × 120)/(85)

भिन्न को सरल करने पर, 170 ÷ 85 = 2: SP₂ = 2 × 120 = 240

व्याख्या

जब ब्याज अर्धवार्षिक रूप से संयोजित होता है, तो ब्याज की दर आधी हो जाती है और संयोजन अवधियों की संख्या दोगुनी हो जाती है। प्रति छमाही प्रभावी दर r = 10% / 2 = 5% है, और अवधियों की संख्या n = 2T है, जहाँ T वर्षों में समय है। चक्रवृद्धि ब्याज सूत्र A = P(1 + r/100)ⁿ का उपयोग करने पर:

92,610 = 80,000 (1 + ⁵⁄₁₀₀)ⁿ

(92,610)/(80,000) = (¹⁰⁵⁄₁₀₀)ⁿ

(9,261)/(8,000) = (²¹⁄₂₀)ⁿ

यह देखते हुए कि 9,261, 21 का घन है और 8,000, 20 का घन है, हम समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:

(²¹⁄₂₀)³ = (²¹⁄₂₀)ⁿ

घातों की तुलना करने पर, हमें n = 3 प्राप्त होता है। चूंकि n अर्धवार्षिक अवधियों की संख्या को दर्शाता है, इसलिए वर्षों में समय T = n/2 = 3/2 = 1.5 वर्ष है।

व्याख्या

माना P का हिस्सा x है। प्रश्न के अनुसार, Q को P से 30 रुपये अधिक मिलते हैं, इसलिए Q का हिस्सा x + 30 है। R को Q से 60 रुपये अधिक मिलते हैं, जिससे R का हिस्सा (x + 30) + 60 = x + 90 हो जाता है। उनके हिस्सों का योग 300 रुपये है, जिसे समीकरण x + (x + 30) + (x + 90) = 300 द्वारा व्यक्त किया गया है।

इसे सरल करने पर 3x + 120 = 300 प्राप्त होता है, जिससे 3x = 180 और x = 60 प्राप्त होता है। x का मान वापस हिस्सों में रखने पर, P को 60 रुपये, Q को 60 + 30 = 90 रुपये और R को 90 + 60 = 150 रुपये मिलते हैं। उनके हिस्सों का अनुपात P:Q:R = 60:90:150 है। प्रत्येक मान को 30 से विभाजित करने पर सरल अनुपात 2:3:5 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए O वृत्त का केंद्र है और r इसकी त्रिज्या है। मान लीजिए P और Q क्रमशः जीवाओं AB और CD के मध्य-बिंदु हैं। चूंकि वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है, इसलिए हमारे पास AP = ½ AB = 5 सेमी और CQ = ½ CD = 12 सेमी है। मान लीजिए केंद्र से जीवा AB की दूरी OP = x है। चूंकि जीवाएं केंद्र के विपरीत दिशाओं में हैं और उनके बीच की कुल दूरी 17 सेमी है, इसलिए केंद्र से जीवा CD की दूरी OQ = 17 - x है।

समकोण त्रिभुजों OPA और OQC में, हम पाइथागोरस प्रमेय लागू करते हैं: r² = OP² + AP² = x² + 5² r² = OQ² + CQ² = (17 - x)² + 12²

r² के दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: x² + 25 = (17 - x)² + 144 x² + 25 = 289 - 34x + x² + 144 34x = 289 + 144 - 25 34x = 408 x = 12

पहली समीकरण में x = 12 रखने पर: r² = 12² + 5² r² = 144 + 25 r² = 169 r = √(169) = 13 सेमी

व्याख्या

प्रारंभिक 50 संख्याओं के योग की गणना 50 × 38 = 1900 के रूप में की जाती है। जब 45 और 55 संख्याओं को हटा दिया जाता है, तो शेष 48 संख्याओं का योग 1900 - (45 + 55) = 1800 हो जाता है। इस शेष योग को संख्याओं की शेष संख्या से विभाजित करके नया औसत प्राप्त किया जाता है: ¹⁸⁰⁰⁄₄₈ = 37.5।

वैकल्पिक रूप से, विचलन विधि (deviation method) का उपयोग करते हुए, हटाई गई दो संख्याएँ 45 और 55, मूल औसत 38 से क्रमशः 7 और 17 इकाई अधिक हैं। समूह से हटाई गई कुल अतिरिक्त मात्रा 7 + 17 = 24 है। यह कुल कमी शेष 48 संख्याओं में विभाजित हो जाती है, जिससे औसत में ²⁴⁄₄₈ = 0.5 की कमी आती है। अतः, नया औसत 38 - 0.5 = 37.5 है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण (x)/(x² - 2x + 1) = ⅓ में, व्यंजक को सरल बनाने के लिए हम दोनों पक्षों का व्युत्क्रम (reciprocal) ले सकते हैं:

(x² - 2x + 1)/(x) = 3

अंश के प्रत्येक पद को x से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

x - 2 + ¹⁄ₓ = 3

पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर चर और उसके व्युत्क्रम का योग प्राप्त होता है:

x + ¹⁄ₓ = 5

x³ + (1)/(x³) का मान ज्ञात करने के लिए, हम बीजगणितीय सर्वसमिका a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b) का उपयोग करते हैं। a = x और b = ¹⁄ₓ प्रतिस्थापित करने पर, हम संक्षिप्त सूत्र (shortcut formula) लागू करते हैं, जहाँ यदि x + ¹⁄ₓ = k है, तो x³ + (1)/(x³) = k³ - 3k होगा:

x³ + (1)/(x³) = (x + ¹⁄ₓ)³ - 3(x)(¹⁄ₓ)(x + ¹⁄ₓ)

x³ + (1)/(x³) = 5³ - 3(5)

x³ + (1)/(x³) = 125 - 15 = 110

व्याख्या

10% की पहली छूट 1600 के अंकित मूल्य पर दी जाती है। इस प्रारंभिक छूट के बाद मूल्य की गणना इस प्रकार की जाती है: पहली छूट के बाद मूल्य = 1600 × (1 - ¹⁰⁄₁₀₀) = 1600 × 0.9 = 1440

ग्राहक द्वारा भुगतान किया गया अंतिम मूल्य 1224 है। x% की दूसरी छूट 1440 के मध्यवर्ती मूल्य पर दी जाती है। इस दूसरी छूट की राशि मध्यवर्ती मूल्य और अंतिम विक्रय मूल्य के बीच का अंतर है: दूसरी छूट की राशि = 1440 - 1224 = 216

दूसरी छूट की दर, x, मध्यवर्ती मूल्य के सापेक्ष इस छूट की राशि का प्रतिशत है: x = (²¹⁶⁄₁₄₄₀) × 100 x = ²¹⁶⁰⁰⁄₁₄₄₀ = ²¹⁶⁰⁄₁₄₄ x = 15

वैकल्पिक रूप से, क्रमिक छूट सूत्र का उपयोग करके: 1224 = 1600 × (1 - ¹⁰⁄₁₀₀) × (1 - ˣ⁄₁₀₀) 1224 = 1600 × 0.9 × (1 - ˣ⁄₁₀₀) 1224 = 1440 × (1 - ˣ⁄₁₀₀) 1 - ˣ⁄₁₀₀ = ¹²²⁴⁄₁₄₄₀ = 0.85 ˣ⁄₁₀₀ = 0.15 x = 15

व्याख्या

दिए गए प्रतिशतों के आधार पर A और B के मानों को C के अनुपात के रूप में व्यक्त करें। चूंकि A, C से 50% बड़ा है, इसलिए A = 1.5C। चूंकि B, C से 25% बड़ा है, इसलिए B = 1.25C।

A, B से कितने प्रतिशत बड़ा है, इसकी गणना उनके सापेक्ष मानों की तुलना करके की जाती है: (A)/(B) = (1.5C)/(1.25C) = (1.5)/(1.25)

गणना को सरल बनाने के लिए, अंश और हर दोनों को 100 से गुणा करके दशमलव हटा दें: ¹⁵⁰⁄₁₂₅ = ⁶⁄₅

अनुपात ⁶⁄₅ का तात्पर्य है कि B के प्रत्येक 5 भागों के लिए, A के पास 6 भाग हैं। यह वृद्धि 5 भागों के आधार पर 1 भाग की है। इस भिन्नात्मक वृद्धि को प्रतिशत में बदलने पर: ⅕ × 100 = 20%

व्याख्या

x + 1/x = k के रूप के किसी भी व्यंजक के लिए, x² + 1/x² का मान सर्वसमिका (a + b)² = a² + b² + 2ab का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर (x + 1/x)² = k² प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर x² + 1/x² + 2 = k², या x² + 1/x² = k² - 2 प्राप्त होता है।

दिया गया है, x + 1/x = 4: x² + 1/x² = 4² - 2 = 16 - 2 = 14

x⁴ + 1/x⁴ का मान ज्ञात करने के लिए, हम x² + 1/x² के व्यंजक का वर्ग करके इस प्रक्रिया को दोहराते हैं: (x² + 1/x²)² = 14² x⁴ + 1/x⁴ + 2(x²)(1/x²) = 196 x⁴ + 1/x⁴ + 2 = 196 x⁴ + 1/x⁴ = 196 - 2 = 194

व्याख्या

एक लंब वृत्तीय शंकु का आधार एक वृत्त होता है। आधार का परिमाप (परिधि) C = 2π r द्वारा दिया जाता है, जहाँ r त्रिज्या है। दिया गया है C = 8 सेमी, हम त्रिज्या ज्ञात करते हैं: 2π r = 8 r = (8)/(2π) = (4)/(π) सेमी

एक लंब वृत्तीय शंकु का आयतन V सूत्र V = ⅓π r² h का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है। त्रिज्या r = (4)/(π) और ऊंचाई h = 21 सेमी का मान रखने पर: V = ⅓ × π × ((4)/(π))² × 21 V = ⅓ × π × (16)/(π²) × 21 V = (16)/(π) × 7 V = (112)/(π) सेमी³

व्याख्या

किसी वृत्त की परिधि सूत्र 2 π r द्वारा निर्धारित की जाती है, जहाँ r त्रिज्या है। माना बाहरी वृत्त की त्रिज्या R है और आंतरिक मैदान की त्रिज्या r है। सड़क की चौड़ाई इन दोनों सकेंद्रीय वृत्तों के बीच की निरंतर दूरी है, जिसे व्यंजक R - r द्वारा परिभाषित किया गया है। प्रश्न के अनुसार, परिधियों के बीच का अंतर 66 मीटर है, जिसे 2 π R - 2 π r = 66 के रूप में व्यक्त किया गया है।

2 π को उभयनिष्ठ लेने पर, समीकरण 2 π (R - r) = 66 हो जाता है। π = ²²⁄₇ के सन्निकट मान का उपयोग करके, हम चौड़ाई (R - r) के लिए हल कर सकते हैं:

2 × ²²⁄₇ × (R - r) = 66 ⁴⁴⁄₇ × (R - r) = 66 R - r = (66 × 7)/(44) R - r = (3 × 7)/(2) R - r = 10.5

R - r का मान 10.5 है, जो मीटर में सड़क की चौड़ाई के संगत है।