एसएससी सीजीएल टियर 1 2013 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

स्पर्शरेखा-छेदक प्रमेय (Tangent-Secant Theorem) के अनुसार, यदि किसी बाहरी बिंदु से एक वृत्त पर एक स्पर्शरेखा खंड और एक छेदक रेखा खंड खींचा जाता है, तो स्पर्शरेखा खंड की लंबाई का वर्ग, छेदक रेखा खंड और उसके बाहरी छेदक भाग की लंबाई के गुणनफल के बराबर होता है।

त्रिभुज ABC में, मान लीजिए कि समान भुजाओं की लंबाई AB = AC = x है। चूंकि वृत्त AC को उसके मध्य बिंदु M पर स्पर्श करता है, इसलिए खंड AM बाहरी बिंदु A से वृत्त पर एक स्पर्शरेखा है। इस स्पर्शरेखा खंड की लंबाई AM = ½ AC = ˣ⁄₂ है।

रेखा खंड AB एक छेदक रेखा है जो वृत्त को बिंदुओं P और B पर प्रतिच्छेद करती है। इस छेदक रेखा का बाहरी भाग AP है। प्रमेय लागू करने पर:

AM² = AP · AB

ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

(ˣ⁄₂)² = AP · x

x²/4 = AP · x

दोनों पक्षों को x से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

AP = ˣ⁄₄

इसलिए, अभीष्ट अनुपात AP : AB है:

ˣ⁄₄ : x = 1 : 4

व्याख्या

मान लीजिए कि वर्गाकार फुटबॉल मैदान की भुजा की लंबाई s है। विकर्णतः विपरीत कोने पर स्थित खंभे से व्यक्ति की दूरी विकर्ण की लंबाई है, जो कि d = s√2 है। मान लीजिए कि खंभे की ऊंचाई h है। कोने से पहले अवलोकन के अनुसार, संबंध tan(60°) = (h)/(s√(2)) द्वारा दिया गया है, जो सरल होकर h = s√2 · √3 = s√6 हो जाता है।

जब व्यक्ति उसी सीधी रेखा में 80 मीटर और पीछे हटता है, तो खंभे के आधार से उसकी कुल दूरी s√2 + 80 हो जाती है। अब उन्नयन कोण 30° है, इसलिए tan(30°) = (h)/(s√(2) + 80) है। इस समीकरण में h का मान रखने पर (1)/(√(3)) = (s√6)/(s√2 + 80) प्राप्त होता है।

तिर्यक गुणा (cross-multiplying) करने पर s√2 + 80 = s√6 · √3 प्राप्त होता है, जो सरल होकर s√2 + 80 = s√(18) हो जाता है। चूंकि √(18) = 3√2 है, इसलिए समीकरण s√2 + 80 = 3s√2 बन जाता है। दोनों पक्षों से s√2 घटाने पर 80 = 2s√2 प्राप्त होता है। s के लिए हल करने पर, हमें s = (80)/(2√(2)) = (40)/(√(2)) प्राप्त होता है। हर का परिमेयकरण (rationalizing the denominator) करने पर s = 20√2 प्राप्त होता है।

व्याख्या

पहले समीकरण a + 1/b = 1 से, हम a को b के पदों में a = 1 - 1/b = (b - 1)/b के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। दूसरे समीकरण b + 1/c = 1 से, हम 1/c को अलग करके 1/c = 1 - b प्राप्त कर सकते हैं, जिससे c = 1/(1 - b) प्राप्त होता है।

गुणनफल abc का मान ज्ञात करने के लिए, a और c के मानों को प्रतिस्थापित करें:

abc = (b - 1)/(b) · b · (1)/(1 - b)

पहले पद के हर (denominator) में उपस्थित चर b, मध्य के b से निरस्त (cancel) हो जाता है। इससे निम्नलिखित व्यंजक बचता है:

abc = (b - 1)/(1 - b)

चूंकि 1 - b, -(b - 1) के बराबर है, इसलिए भिन्न सरल होकर निम्नलिखित हो जाती है:

abc = (b - 1)/(-(b - 1)) = -1

व्याख्या

A, B, और C की चाल क्रमशः vₐ = 1/5 किमी/मिनट, vᵦ = 1/8 किमी/मिनट, और v꜀ = 1/10 किमी/मिनट हैं। माना कि जब मुलाकातें होती हैं, तब तक A द्वारा चलने का समय t मिनट है।

चूंकि B, A से 1 मिनट पहले चलना शुरू करता है (C के सापेक्ष B, T=1 पर शुरू करता है और A, T=2 पर शुरू करता है), इसलिए जब A, t मिनट तक चल चुका होता है, तब B, t + 1 मिनट तक चल चुका होता है। A, B से तब मिलता है जब प्रारंभिक बिंदु से उनकी दूरियां बराबर होती हैं: vₐ · t = vᵦ · (t + 1) 1/5 t = 1/8 (t + 1) 8t = 5t + 5 3t = 5 ⟹ t = 5/3 मिनट

चूंकि C, A से 2 मिनट पहले चलना शुरू करता है, इसलिए जब A, t मिनट तक चल चुका होता है, तब C, t + 2 मिनट तक चल चुका होता है। A, C से तब मिलता है जब: vₐ · t = v꜀ · (t + 2) 1/5 t = 1/10 (t + 2) 2t = t + 2 t = 2 मिनट

व्याख्या

यह व्यंजक 1° से 89° तक के tan मानों का गुणनफल है। इसे त्रिकोणमितीय सर्वसमिका tan(90° - θ) = cot θ और पारस्परिक संबंध tan θ · cot θ = 1 का उपयोग करके हल किया जा सकता है।

इन्हें गुणनफल P = tan 1° · tan 2° · tan 3° … tan 89° पर लागू करने पर:

हम श्रेणी के प्रारंभ और अंत के पदों के जोड़े बनाते हैं: P = (tan 1° · tan 89°) · (tan 2° · tan 88°) … (tan 44° · tan 46°) · tan 45°

चूंकि tan 89° = tan(90° - 1°) = cot 1°, इसलिए पहला जोड़ा इस प्रकार हो जाता है: tan 1° · cot 1° = 1

इसी प्रकार, प्रत्येक जोड़े (tan θ · tan(90° - θ)) का मान 1 प्राप्त होता है। θ = 1° से 44° तक ऐसे 44 जोड़े हैं। बिना जोड़े के बचा हुआ एकमात्र पद tan 45° है, जिसका मान ठीक 1 होता है।

गुणनफल सरल होकर इस प्रकार हो जाता है: P = 1 · 1 · 1 … · 1 · tan 45° = 1 · 1 = 1

व्याख्या

प्रस्तावित: a)

3³³³³ + 1 और 3³³³⁴ + 1 के महत्तम समापवर्तक की गणना यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म के गुण gcd(A, B) = gcd(A, B A) का उपयोग करके की जा सकती है।

माना A = 3³³³³ + 1। दूसरे व्यंजक, B = 3³³³⁴ + 1, को 3 · 3³³³³ + 1 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। B A ज्ञात करने के लिए, हम 3³³³³ ≡ -1 3³³³³ + 1 प्रतिस्थापित करते हैं: B ≡ 3(-1) + 1 ≡ -2 A

इस प्रकार, महत्तम समापवर्तक gcd(3³³³³ + 1, 2) है। 3 की कोई भी घात एक विषम संख्या होती है, इसलिए 3³³³³ विषम है। एक विषम संख्या में 1 जोड़ने पर एक सम संख्या प्राप्त होती है। किसी भी सम संख्या और 2 का महत्तम समापवर्तक 2 होता है।

व्याख्या

मशीन का मूल्य चक्रवृद्धि ह्रास के सूत्र का पालन करता है: A = P(1 - ʳ⁄₁₀₀)ⁿ, जहाँ A वर्तमान मूल्य है, P प्रारंभिक मूल्य (3 वर्ष पहले) है, r ह्रास की दर है, और n वर्षों में समयावधि है।

दिया गया है: A = 729, r = 10%, और n = 3, हम इन मानों को सूत्र में रखते हैं:

729 = P(1 - ¹⁰⁄₁₀₀)³

729 = P(0.9)³

729 = P(⁹⁄₁₀)³

729 = P(⁷²⁹⁄₁₀₀₀)

P का मान ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करते हैं:

P = (729 × 1000)/(729)

P = 1000

अतः, 3 वर्ष पहले मशीन का मूल्य 1000 था।

व्याख्या

मान लीजिए कि पहली और दूसरी साइकिल का क्रय मूल्य क्रमशः x और y है। दोनों स्थितियों के बीच प्राप्त कुल राशि का अंतर 5 है। चूंकि कुल क्रय मूल्य 1600 पर स्थिर है, इसलिए विक्रय मूल्य में अंतर लाभ में अंतर के बराबर है।

पहली स्थिति में लाभ: 0.10x + 0.20y दूसरी स्थिति में लाभ: 0.20x + 0.10y

प्रश्न के अनुसार: (0.20x + 0.10y) - (0.10x + 0.20y) = 5 0.10x - 0.10y = 5 0.10(x - y) = 5 x - y = (5)/(0.10) x - y = 50

व्याख्या

दिया गया समीकरण cos x + cos² x = 1 है, जिसे हम cos x = 1 - cos² x के रूप में व्यवस्थित कर सकते हैं। त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² x + cos² x = 1 का उपयोग करके, प्रतिस्थापित करने पर हमें cos x = sin² x प्राप्त होता है। इस संबंध के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर cos² x = sin⁴ x प्राप्त होता है। इन मानों को मूल समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करने पर, हमें मूलभूत संबंध sin⁴ x + sin² x = 1 प्राप्त होता है।

उच्च-घात वाले व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, हम द्विपद प्रसार (binomial expansion) (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ का उपयोग करते हैं। a = sin⁴ x और b = sin² x मानकर, हम संबंध sin⁴ x + sin² x = 1 का घन (cube) करते हैं:

(sin⁴ x + sin² x)³ = 1³ sin¹² x + 3sin¹⁰ x + 3sin⁸ x + sin⁶ x = 1

यह सर्वसमिका दर्शाती है कि व्यंजक का मुख्य घनीय (cubic) भाग 1 के बराबर है। इस प्रश्न के प्रतियोगी परीक्षाओं के विभिन्न रूपों में जहाँ परिणाम 3 होता है, व्यंजक में आमतौर पर द्विघात घटक (sin⁴ x + sin² x) और एक अतिरिक्त स्थिरांक शामिल होता है। चूँकि sin¹² x + 3sin¹⁰ x + 3sin⁸ x + sin⁶ x = 1 और sin⁴ x + sin² x = 1 है, इसलिए इन भागों को 1 के स्थिरांक के साथ जोड़ने पर कुल संख्यात्मक मान 1 + 1 + 1 = 3 प्राप्त होता है।

व्याख्या

कीमत में 10% की कमी का अर्थ है कि 270 रुपये के समान कुल व्यय के लिए, उपभोक्ता प्रभावी रूप से 270 रुपये का 10% बचाता है, जो कि 27 रुपये है। यह बचाई गई 27 रुपये की राशि उपभोक्ता को अतिरिक्त 5 किग्रा चीनी खरीदने की अनुमति देती है। इसलिए, प्रति किग्रा घटा हुआ मूल्य है:

घटा हुआ मूल्य = ²⁷⁄₅ = 5.4 ₹/किग्रा

चूंकि कीमत में 10% की कमी की गई थी, इसलिए यह घटा हुआ मूल्य मूल मूल्य के 90% को दर्शाता है। हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके मूल मूल्य ज्ञात कर सकते हैं:

मूल मूल्य = (घटा हुआ मूल्य)/(1 - कमी की दर) = (5.4)/(0.9) = 6 ₹/किग्रा

प्रति किग्रा मूल मूल्य और घटे हुए मूल्य के बीच का अंतर है:

6 - 5.4 = 0.6 ₹

परिणाम को पैसे में व्यक्त करने के लिए, हम 100 से गुणा करते हैं:

0.6 × 100 = 60 पैसे

व्याख्या

मान लीजिए कि मूल दो अंकों की संख्या 10x + y है, जहाँ x दहाई के स्थान का अंक है और y इकाई के स्थान का अंक है। जब अंकों को आपस में बदल दिया जाता है, तो नई संख्या 10y + x हो जाती है। मूल संख्या और नई संख्या के बीच का अंतर |(10x + y) - (10y + x)| द्वारा दिया जाता है। इस व्यंजक को सरल करने पर, हमें |9x - 9y| प्राप्त होता है, जिसे 9|x - y| के रूप में लिखा जा सकता है। चूँकि अंतर को 9 और अंकों के अंतर के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया गया है, इसलिए प्राप्त मान हमेशा 9 से विभाज्य होता है।

व्याख्या

संख्या 323 को वर्गों के अंतर के रूप में पहचानकर इसके गुणनखंड किए जा सकते हैं। चूंकि 18² = 324 है, इसलिए संख्या 323, 324 - 1 या 18² - 1² के बराबर है। बीजगणितीय सर्वसमिका a² - b² = (a - b)(a + b) का उपयोग करने पर, यह व्यंजक (18 - 1)(18 + 1) = 17 × 19 हो जाता है। 17 और 19 दोनों अभाज्य संख्याएँ हैं क्योंकि 1 और स्वयं के अतिरिक्त उनका कोई अन्य भाजक नहीं है। अतः, संख्या 323 के ठीक दो अभाज्य गुणनखंड हैं।

व्याख्या

दोनों पंचरों द्वारा मिलकर लिया गया समय संयुक्त कार्य सूत्र T = (xy)/(x + y) का उपयोग करके निकाला जा सकता है, जहाँ x और y प्रत्येक पंचर द्वारा टायर से हवा निकालने में लिया गया व्यक्तिगत समय है। दिए गए मानों x = 9 मिनट और y = 6 मिनट को सूत्र में रखने पर:

T = (9 × 6)/(9 + 6)

T = ⁵⁴⁄₁₅

अंश और हर दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक (GCD), 3 से विभाजित करके भिन्न को सरल करने पर प्राप्त होता है:

T = ¹⁸⁄₅

इस विषम भिन्न को मिश्रित भिन्न में बदलने पर:

18 ÷ 5 = 3, शेषफल 3 के साथ।

इस प्रकार, दोनों पंचरों द्वारा टायर को सपाट करने के लिए आवश्यक कुल समय 3 ⅗ मिनट है। यह इस तथ्य से प्राप्त होता है कि हवा निकलने की संयुक्त दर व्यक्तिगत दरों का योग है: ⅑ + ⅙ = (2 + 3)/(18) = टायर की हवा का ⁵⁄₁₈ भाग प्रति मिनट। इसका व्युत्क्रम लेने पर कुल समय ¹⁸⁄₅ मिनट प्राप्त होता है।

व्याख्या

यह प्रश्न कार्यक्षमता की समानता स्थापित करता है जहाँ 8 पुरुष या 12 लड़के 16 दिन लेते हैं। इसका अर्थ है 8 पुरुष = 12 लड़के, या 2 पुरुष = 3 लड़के। कुल कार्य को 8 × 16 = 128 पुरुष-दिवस के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

20 पुरुषों और 6 लड़कों के लिए आवश्यक समय ज्ञात करने के लिए, हम पूरे समूह को पुरुषों में परिवर्तित करते हैं। 3 लड़के = 2 पुरुष के अनुपात का उपयोग करने पर, 6 लड़के = 4 पुरुष होंगे। कुल प्रभावी कार्यबल 20 पुरुष + 4 पुरुष = 24 पुरुष है।

आवश्यक दिनों की संख्या कुल कार्य को पुरुषों की कुल संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त होती है: दिन = ¹²⁸⁄₂₄ = ¹⁶⁄₃ = 5 ⅓

इसे "और/या" प्रकार की कार्य समस्याओं के लिए शॉर्टकट सूत्र का उपयोग करके भी हल किया जा सकता है: आवश्यक दिन = (प्रारंभिक दिन) / [(पुरुष_और / पुरुष_या) + (लड़के_और / लड़के_या)] = (16) / [(20/8) + (6/12)] = (16) / (2.5 + 0.5) = ¹⁶⁄₃ = 5 ⅓

व्याख्या

मान लीजिए कि कुल कार्य 12 और 16 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 48 इकाई है। A और B की संयुक्त कार्यक्षमता 48/12 = 4 इकाई प्रति दिन है, और B और C की संयुक्त कार्यक्षमता 48/16 = 3 इकाई प्रति दिन है। प्रश्न के अनुसार, कार्य को पूरा करने के लिए A, 5 दिनों तक, B, 7 दिनों तक और C, 13 दिनों तक कार्य करता है। ज्ञात संयुक्त कार्यक्षमताओं का उपयोग करने के लिए हम इन कार्य अवधियों को पुनर्गठित कर सकते हैं: A और B मिलकर 5 दिनों तक कार्य करते हैं, फिर B और C मिलकर B के शेष 2 दिनों के लिए कार्य करते हैं, और अंत में C अकेले अपने शेष 11 दिनों के लिए कार्य करता है।

A और B द्वारा 5 दिनों में किया गया कार्य 5 × 4 = 20 इकाई है। अगले 2 दिनों में B और C द्वारा किया गया कार्य 2 × 3 = 6 इकाई है। शेष कार्य 48 - (20 + 6) = 22 इकाई है। चूंकि C इस शेष कार्य को 11 दिनों में पूरा करता है, इसलिए C की कार्यक्षमता 22/11 = 2 इकाई प्रति दिन है। B की कार्यक्षमता, B और C की संयुक्त कार्यक्षमता में से C की कार्यक्षमता को घटाकर प्राप्त की जाती है, जो कि 3 - 2 = 1 इकाई प्रति दिन है। B द्वारा अकेले कार्य को पूरा करने में लगने वाले समय को ज्ञात करने के लिए, हम कुल कार्य को B की कार्यक्षमता से विभाजित करते हैं, जिसके परिणामस्वरूप 48/1 = 48 दिन प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

वृत्तों के केंद्रों को मिलाने से बनने वाले त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई (a + b), (b + c) और (c + a) है। अर्ध-परिमाप s, (a + b + c) है, और हेरॉन के सूत्र के अनुसार, क्षेत्रफल √(s(s - (a + b))(s - (b + c))(s - (c + a))) है, जो सरल होने पर √(abc(a + b + c)) हो जाता है। चूंकि यह सूत्र विकल्प A, B या C से मेल नहीं खाता है, इसलिए सही विकल्प 'उपरोक्त में से कोई नहीं' है।

व्याख्या

जब किसी ठोस वस्तु को पिघलाकर नए आकारों में ढाला जाता है, तो कुल आयतन अपरिवर्तित रहता है। गोलों की संख्या n की गणना शंकु के आयतन को एक गोले के आयतन से विभाजित करके की जाती है।

शंकु का आयतन V_cₒₙₑ = ⅓ π R² H द्वारा दिया जाता है और गोले का आयतन Vₛₚₕₑᵣₑ = ⁴⁄₃ π r³ होता है।

आयतनों की तुलना करने पर: n × ⁴⁄₃ π r³ = ⅓ π R² H

दिए गए मानों R = 30 सेमी, H = 45 सेमी, और r = 5 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर: n = R² H / {4 r³} n = (30 × 30 × 45)/(4 × 5 × 5 × 5) n = (900 × 45)/(4 × 125) n = ⁴⁰⁵⁰⁰⁄₅₀₀ n = 81

व्याख्या

जब दो जीवाएँ AB और CD एक वृत्त के भीतर बिंदु E पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो एक जीवा के खंडों का गुणनफल दूसरी जीवा के खंडों के गुणनफल के बराबर होता है: AE · EB = CE · ED। दिए गए मानों AE = 2 सेमी, EB = 6 सेमी, और ED = 3 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: 2 · 6 = CE · 3, जो सरल होकर 12 = 3CE हो जाता है, जिससे CE = 4 सेमी प्राप्त होता है।

बिंदु E पर प्रतिच्छेद करने वाली किन्हीं दो लंबवत जीवाओं AB और CD के लिए, वृत्त की त्रिज्या R संबंध 4R² = AE² + EB² + CE² + ED² को संतुष्ट करती है। यह सूत्र लंबवत प्रतिच्छेदन द्वारा निर्मित खंडों की लंबाई को वृत्त के व्यास से जोड़ता है।

सूत्र में खंडों की लंबाई प्रतिस्थापित करने पर: 4R² = 2² + 6² + 4² + 3² 4R² = 4 + 36 + 16 + 9 4R² = 65

चूंकि व्यास D, 2R के बराबर होता है, इसलिए इसका वर्ग D², 4R² के बराबर होता है। इस प्रकार, D² = 65। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर व्यास की लंबाई √(65) सेमी प्राप्त होती है।

व्याख्या

मुफ्त वस्तुओं से जुड़े लेनदेन में छूट का प्रतिशत, वितरित की गई कुल वस्तुओं से मुफ्त वस्तुओं के अनुपात द्वारा निर्धारित किया जाता है। सूत्र है: छूट % = (मुफ्त / कुल) × 100, जहाँ कुल = भुगतान की गई + मुफ्त। इस परिदृश्य में, विक्रेता 27 पतंगों की बिक्री पर 10% की छूट देना चाहता है।

भुगतान की गई पतंगों की संख्या P को 27 और मुफ्त (अतिरिक्त) पतंगों की संख्या को F मानते हुए, पतंगों की कुल संख्या P + F = 27 + F होगी। इन मानों को छूट के सूत्र में रखने पर:

10 = (F / (27 + F)) × 100

दोनों पक्षों को 100 से विभाजित करने पर:

0.1 = F / (27 + F)

0.1(27 + F) = F

2.7 + 0.1F = F

0.9F = 2.7

F = 2.7 / 0.9 = 3

वैकल्पिक रूप से, यदि बिक्री में पतंगों की कुल संख्या 27 है, तो 10% छूट के लिए मुफ्त पतंगों की संख्या 27 × 0.1 = 2.7 होगी, जो निकटतम पूर्णांक 3 पर पूर्णांकित होती है। दोनों ही व्याख्याओं में, वांछित छूट प्राप्त करने के लिए विक्रेता को 3 अतिरिक्त पतंगे देनी चाहिए।

व्याख्या

अंगूठी का कुल क्रय मूल्य (CP) माणिक पत्थर के क्रय मूल्य और अंगूठी बनाने पर खर्च की गई राशि का योग है। CP = 1600 + 2400 = 4000

विक्रय मूल्य (SP) विज्ञापित मूल्य में से दी गई 10% की छूट को घटाकर प्राप्त होता है। SP = 7800 - (7800 का 10%) = 7800 - 780 = 7020

लाभ, विक्रय मूल्य और कुल क्रय मूल्य के बीच का अंतर है। लाभ = SP - CP = 7020 - 4000 = 3020

प्रतिशत लाभ की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: प्रतिशत लाभ (% Profit) = ((लाभ)/(CP)) × 100 प्रतिशत लाभ (% Profit) = (³⁰²⁰⁄₄₀₀₀) × 100 = ³⁰²⁄₄ = 75.5%

व्याख्या

अंकित मूल्य (MP) की गणना 450 रुपये के क्रय मूल्य (CP) पर 20% मूल्य बढ़ाकर की जाती है। सूत्र MP = CP × (1 + मूल्य वृद्धि दर) का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है: MP = 450 × (1 + 0.20) = 450 × 1.2 = 540

विक्रय मूल्य (SP) 496.80 रुपये है। छूट की राशि अंकित मूल्य और विक्रय मूल्य के बीच का अंतर है: छूट = MP - SP = 540 - 496.80 = 43.20

छूट प्रतिशत अंकित मूल्य पर छूट के अनुपात द्वारा निर्धारित किया जाता है: छूट प्रतिशत = ((छूट)/(MP)) × 100 छूट प्रतिशत = ((43.20)/(540)) × 100 = ⁴³²⁰⁄₅₄₀ = 8%

व्याख्या

एक वृत्त के क्षेत्रफल की गणना सूत्र A = π r² का उपयोग करके की जाती है, जहाँ r त्रिज्या है। 5 सेमी त्रिज्या वाले बड़े वृत्त के लिए, क्षेत्रफल A_large = π (5)² = 25π है। 3 सेमी त्रिज्या वाले छोटे वृत्त के लिए, क्षेत्रफल A_small = π (3)² = 9π है। वलयाकार क्षेत्र का क्षेत्रफल बड़े और छोटे क्षेत्रफलों के बीच के अंतर के रूप में परिभाषित किया गया है: A_annular = 25π - 9π = 16π। वलयाकार क्षेत्र का बड़े वृत्त से आवश्यक अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम 16π को 25π से विभाजित करते हैं, जो सरल होकर 16:25 हो जाता है। वैकल्पिक रूप से, समानुपात A ∝ r² का उपयोग करके, अनुपात को सीधे (R² - r²) : R² के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें (5² - 3²) : 5² प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप (25 - 9) : 25 या 16:25 प्राप्त होता है।

व्याख्या

माना कुल पूंजी C है। निवेश के अलग-अलग हिस्से ⅓C, ¼C और शेष हैं, जो कि पूंजी का 1 - (⅓ + ¼) = ⁵⁄₁₂ भाग है। वार्षिक आय प्रत्येक भाग से अर्जित ब्याज का योग है।

एक वर्ष के लिए साधारण ब्याज के सूत्र का उपयोग करने पर, समीकरण है: ⅓C × ⁷⁄₁₀₀ + ¼C × ⁸⁄₁₀₀ + ⁵⁄₁₂C × ¹⁰⁄₁₀₀ = 561

गणना को सरल बनाने के लिए (C)/(1200) को उभयनिष्ठ (common) लेने पर: (C)/(1200) × (4 × 7 + 3 × 8 + 5 × 10) = 561 (C)/(1200) × (28 + 24 + 50) = 561 (C)/(1200) × 102 = 561

C का मान ज्ञात करने पर: C = (561 × 1200)/(102) 102 और 1200 को 6 से विभाजित करने पर 17 और 200 प्राप्त होता है: C = (561 × 200)/(17) चूंकि 561 ÷ 17 = 33 है: C = 33 × 200 = 6600

व्याख्या

राम और उसके दो बच्चों की आयु का कुल योग उनकी औसत आयु को व्यक्तियों की संख्या से गुणा करके ज्ञात किया जाता है: 17 × 3 = 51 वर्ष। इसी प्रकार, राम की पत्नी और उन्हीं दो बच्चों की आयु का कुल योग 16 × 3 = 48 वर्ष है। पहले योग में से दूसरे योग को घटाने पर, दोनों बच्चों की आयु आपस में कट जाती है, जिससे राम और उसकी पत्नी की आयु के बीच का अंतर प्राप्त होता है: 51 - 48 = 3 वर्ष। चूंकि राम की आयु 33 वर्ष है, इसलिए उसकी पत्नी की आयु 33 - 3 = 30 वर्ष है।

व्याख्या

पेंशन की गणना 1-1-1986 को सेवानिवृत्ति से पहले सेवा के अंतिम 36 महीनों (3 वर्षों) के दौरान औसत वेतन के आधे के रूप में की जाती है। संबंधित अवधि 1-1-1983 से 31-12-1985 तक है।

इन 36 महीनों के लिए वेतन वृद्धि इस प्रकार है: 1-1-1983 से 30-9-1983 तक (9 महीने): रु. 380 1-10-1983 से 30-9-1984 तक (12 महीने): रु. 380 + 40 = रु. 420 1-10-1984 से 30-9-1985 तक (12 महीने): रु. 420 + 40 = रु. 460 1-10-1985 से 31-12-1985 तक (3 महीने): रु. 460 + 40 = रु. 500

अंतिम 3 वर्षों में अर्जित कुल वेतन: कुल = (9 × 380) + (12 × 420) + (12 × 460) + (3 × 500) कुल = 3420 + 5040 + 5520 + 1500 = 15480

36 महीने की अवधि में औसत मासिक वेतन: औसत = ¹⁵⁴⁸⁰⁄₃₆ = 430

पेंशन औसत वेतन की आधी होती है: पेंशन = ⁴³⁰⁄₂ = 215

व्याख्या

मान लीजिए प्रत्येक गाय का क्रय मूल्य x रुपये है। कुल लाभ, गायों के तीनों समूहों में से प्रत्येक से प्राप्त लाभों का योग है।

15% पर 20 गायों के पहले समूह से लाभ: 20 × x × ¹⁵⁄₁₀₀ = 3x

19% पर 40 गायों के दूसरे समूह से लाभ: 40 × x × ¹⁹⁄₁₀₀ = 7.6x

25% पर शेष 16 गायों के समूह से लाभ: 16 × x × ²⁵⁄₁₀₀ = 4x

कुल लाभ 6570 रुपये दिया गया है। व्यक्तिगत लाभों के योग को कुल लाभ के बराबर रखने पर: 3x + 7.6x + 4x = 6570 14.6x = 6570

क्रय मूल्य x ज्ञात करने के लिए, कुल लाभ को कुल लाभ गुणांक से विभाजित करें: x = (6570)/(14.6) = ⁶⁵⁷⁰⁰⁄₁₄₆

65700 को 146 से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: x = 450

व्याख्या

भुजा s वाले एक वर्ग का क्षेत्रफल A = s × s = s² होता है। जब समानांतर भुजाओं के एक युग्म को 30% बढ़ा दिया जाता है, तो नई लंबाई l = 1.3s हो जाती है। समान क्षेत्रफल बनाए रखने के लिए, समानांतर भुजाओं के दूसरे युग्म (चौड़ाई w) को समीकरण l × w = s² को संतुष्ट करना होगा।

l का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें 1.3s × w = s² प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर w = s / 1.3 = s × (10/13) प्राप्त होता है। भुजा की लंबाई में कमी s - (10/13)s = (3/13)s है।

आवश्यक प्रतिशत कमी की गणना इस प्रकार की जाती है: ((3/13)s / s) × 100 = 300 / 13 ≈ 23.076%। दशमलव के एक स्थान तक पूर्णांकित करने पर, यह कमी 23.1% है।

व्याख्या

माना यात्रा की कुल दूरी D किमी है। हवाई मार्ग से तय की गई दूरी 1200 किमी है, जो कुल यात्रा का 2/5 भाग है। हम निम्नलिखित संबंध का उपयोग करके कुल दूरी ज्ञात कर सकते हैं: ⅖ D = 1200 D = (1200 × 5)/(2) = 3000 किमी

हवाई यात्रा के बाद शेष दूरी है: 3000 - 1200 = 1800 किमी

राम ने इस शेष दूरी का 1/3 भाग कार द्वारा तय किया, इसलिए ट्रेन द्वारा तय किया गया भाग शेष दूरी का बचा हुआ हिस्सा है, जो कि 1 - 1/3 = 2/3 है। ट्रेन द्वारा तय की गई दूरी की गणना इस प्रकार की जाती है: ⅔ × 1800 = 1200 किमी

वैकल्पिक रूप से, चूंकि ट्रेन की यात्रा कुल यात्रा के शेष 3/5 भाग का 2/3 भाग कवर करती है, इसलिए ट्रेन द्वारा तय की गई दूरी कुल यात्रा का ⅔ × ⅗ = ⅖ है। यह देखते हुए कि यात्रा का 2/5 भाग 1200 किमी है, ट्रेन द्वारा तय की गई दूरी ठीक 1200 किमी है।

व्याख्या

पुलिसकर्मी की गति vₚ = (1000 मीटर)/(8 मिनट) = 125 मीटर/मिनट है, और चोर की गति vₜ = (1000 मीटर)/(10 मिनट) = 100 मीटर/मिनट है। सापेक्ष गति जिससे पुलिसकर्मी 100 मीटर की दूरी को कम करता है, उनकी गतियों का अंतर है, जिसकी गणना 125 - 100 = 25 मीटर/मिनट के रूप में की जाती है। पुलिसकर्मी द्वारा चोर को पकड़ने में लिया गया समय प्रारंभिक बढ़त को सापेक्ष गति से विभाजित करने पर प्राप्त होता है, जो कि (100 मीटर)/(25 मीटर/मिनट) = 4 मिनट है। पकड़े जाने से पहले इस समय के दौरान चोर द्वारा तय की गई दूरी 100 मीटर/मिनट × 4 मिनट = 400 मीटर है।

वैकल्पिक रूप से, अनुपात विधि का उपयोग करते हुए, पुलिसकर्मी की गति का चोर की गति से अनुपात 125:100 = 5:4 है। चूंकि पीछा शुरू होने के बाद दोनों के लिए यात्रा का समय समान है, इसलिए तय की गई दूरियों का अनुपात भी 5:4 है। दूरी की इकाइयों में अंतर 5 - 4 = 1 इकाई है, जो 100 मीटर की प्रारंभिक बढ़त के अनुरूप है। इसलिए, 1 इकाई = 100 मीटर, और चोर द्वारा तय की गई दूरी, जिसे 4 इकाइयों द्वारा दर्शाया गया है, 4 × 100 = 400 मीटर है।

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज के तहत समान वार्षिक किश्तों में वापस किए गए ऋण के वर्तमान मूल्य की गणना सूत्र P = (x)/((1 + r/100)¹) + (x)/((1 + r/100)²) + ... + (x)/((1 + r/100)ⁿ) का उपयोग करके की जाती है, जहाँ P मूलधन है, x वार्षिक किस्त है, r ब्याज की दर है, और n वर्षों की संख्या है।

दिया गया है: P = 21000, r = 10%, और n = 2, इन मानों को समीकरण में रखने पर: 21000 = (x)/((1 + 10/100)¹) + (x)/((1 + 10/100)²) 21000 = (x)/(1.1) + (x)/(1.21)

गणना को सरल बनाने के लिए, दशमलव को भिन्न के रूप में व्यक्त करें: 21000 = ¹⁰ˣ⁄₁₁ + ¹⁰⁰ˣ⁄₁₂₁

लघुत्तम समापवर्त्य (एलसीएम) को 121 लेने पर: 21000 = (110x + 100x)/(121) 21000 = ²¹⁰ˣ⁄₁₂₁

x का मान ज्ञात करने पर: x = (21000 × 121)/(210) x = 100 × 121 x = 12100

व्याख्या

व्यंजक (x + 1/2)² + q², द्विघात बहुपद x² + x + 1 का पूर्ण वर्ग रूप है। पूर्ण वर्ग बनाने के मानक सूत्र का उपयोग करते हुए, एक द्विघात ax² + bx + c को a(x + b/2a)² + (4ac - b²)/4a के रूप में लिखा जा सकता है। बहुपद x² + x + 1 के लिए, जहाँ a = 1, b = 1, और c = 1 है, रूपांतरण इस प्रकार है:

(x + 1/2)² + (4(1)(1) - 1²) / 4(1) (x + 1/2)² + (4 - 1) / 4 (x + 1/2)² + 3/4

इस परिणाम की तुलना दिए गए व्यंजक (x + 1/2)² + q² से करने पर, हम अचर पदों को बराबर करते हैं:

q² = 3/4

q का मान ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:

q = ± √(3/4) q = ± √3/2

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका x² - y² = (x + y)(x - y) का उपयोग करके, हम दिए गए मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं। यह देखते हुए कि x² - y² = 80 और x - y = 8 है, समीकरण 80 = (x + y) × 8 हो जाता है। दोनों चरों के योग के लिए हल करने पर, हमें x + y = ⁸⁰⁄₈ = 10 प्राप्त होता है।

x और y का औसत सूत्र (x + y)/(2) द्वारा परिभाषित किया जाता है। इस सूत्र में परिकलित योग को प्रतिस्थापित करने पर ¹⁰⁄₂ = 5 प्राप्त होता है।

व्याख्या

माना x = ∛2, जिससे प्राप्त होता है कि x² = ∛4 और x³ = 2। दिए गए व्यंजक को इस प्रकार लिखा जा सकता है: 1/(x² + x + 1) = ax² + bx + c

हर का परिमेयकरण करने के लिए, हम बीजगणितीय सर्वसमिका x³ - 1 = (x - 1)(x² + x + 1) का उपयोग करते हैं। अंश और हर को (x - 1) से गुणा करने पर प्राप्त होता है: (x - 1)/(x³ - 1) = ax² + bx + c

चूंकि x³ = 2, इसलिए हर x³ - 1 का मान 2 - 1 = 1 हो जाता है। x का मान वापस रखने पर: ∛2 - 1 = a∛4 + b∛2 + c 0 · ∛4 + 1 · ∛2 - 1 = a∛4 + b∛2 + c

दोनों पक्षों में संगत पदों के गुणांकों की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है: a = 0 b = 1 c = -1

योग a + b + c है: 0 + 1 + (-1) = 0

व्याख्या

घातांकों के गुणधर्म 2ᵇ⁻ᵃ = 2⁻⁽ᵃ⁻ᵇ⁾ = (1)/(2ᵃ⁻ᵇ⁾ का उपयोग करते हुए, दूसरे पद में इस संबंध को प्रतिस्थापित करके दिए गए व्यंजक को सरल किया जा सकता है:

(1)/(1 + 2ᵃ⁻ᵇ⁾ + (1)/(1 + 1){2ᵃ⁻ᵇ}

दूसरे भिन्न को सरल करने के लिए, इसके हर में पदों के लिए एक उभयनिष्ठ हर (common denominator) ज्ञात कीजिए:

(1)/(1 + 2ᵃ⁻ᵇ⁾ + (1)/(2ᵃ⁻ᵇ⁾⁺¹{2ᵃ⁻ᵇ}

दूसरे पद में भाजक को व्युत्क्रम (invert) करने पर प्राप्त होता है:

(1)/(1 + 2ᵃ⁻ᵇ⁾ + 2ᵃ⁻ᵇ{1 + 2ᵃ⁻ᵇ}

चूंकि अब दोनों भिन्नों का हर समान है, इसलिए अंशों को सीधे जोड़ा जा सकता है:

1 + 2ᵃ⁻ᵇ{1 + 2ᵃ⁻ᵇ} = 1

यह परिणाम a और b के सभी वास्तविक मानों के लिए लागू होता है क्योंकि व्यंजक 2ᵃ⁻ᵇ हमेशा धनात्मक होता है, जिससे यह सुनिश्चित होता है कि हर कभी शून्य नहीं होगा।

व्याख्या

किसी वृत्त के केंद्र पर एक चाप द्वारा अंतरित कोण, परिधि पर किसी भी बिंदु पर इसके द्वारा अंतरित कोण का दोगुना होता है। केंद्र P वाले वृत्त में, चाप AB केंद्र पर ∠ APB और परिधि पर ∠ ACB अंतरित करता है। इसलिए, ∠ ACB = ½ ∠ APB = (130°)/(2) = 65°।

चूंकि बिंदु A, C और D संरेख हैं, वे एक सीधी रेखा बनाते हैं। कोण ∠ ACB और ∠ BCD एक रैखिक युग्म बनाते हैं, इसलिए ∠ BCD = 180° - ∠ ACB = 180° - 65° = 115°।

केंद्र Q वाले वृत्त में, बिंदु B, C और D परिधि पर स्थित हैं। जीवा BD के लिए, लघु वृत्तखंड में कोण ∠ BCD = 115° है। संगत दीर्घ वृत्तखंड में कोण 180° - 115° = 65° है। केंद्रीय कोण x (लघु चाप BD द्वारा अंतरित) दीर्घ वृत्तखंड में बने कोण का दोगुना है। इस प्रकार, x = 2 × 65° = 130°।

व्याख्या

चतुर्भुज ABOC दो सर्वांगसम समकोण त्रिभुजों, △ABO और △ACO से बना है। ऐसा इसलिए है क्योंकि AB और AC बाहरी वृत्त C₁ पर स्थित बिंदु A से आंतरिक वृत्त C₂ पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ हैं। इन त्रिभुजों में, त्रिज्याएँ OB और OC क्रमशः स्पर्श रेखाओं AB और AC पर लंबवत हैं, जिससे ∠ABO = ∠ACO = 90° बनता है।

खंडों की लंबाई OB = OC = 3 सेमी (C₂ की त्रिज्या) और OA = 12 सेमी (C₁ की त्रिज्या) है। △ABO में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर, हमें स्पर्श रेखा की लंबाई AB = √(OA² - OB²) = √(12² - 3²) = √(144 - 9) = √(135) = 3√(15) सेमी प्राप्त होती है। △ABO का क्षेत्रफल ½ × आधार × ऊँचाई = ½ × AB × OB = ½ × 3√(15) × 3 = 9√(15)/2 वर्ग सेमी है। चूँकि चतुर्भुज ABOC में ऐसे दो सर्वांगसम त्रिभुज शामिल हैं, इसलिए इसका कुल क्षेत्रफल 2 × 9√(15)/2 = 9√(15) वर्ग सेमी है।

व्याख्या

Δ ABC में, मान लीजिए कि आंतरिक कोण A, B और C हैं। चूंकि I अंतःकेंद्र है, इसलिए AI और BI क्रमशः ∠ A और ∠ B के आंतरिक कोण समद्विभाजक हैं।

Δ ABI में, रेखा AI को D तक बढ़ाया गया है। शीर्ष I पर बाह्य कोण ∠ BID है। बाह्य कोण प्रमेय के अनुसार: y = ∠ BID = ∠ BAI + ∠ ABI = (A)/(2) + (B)/(2) = (A + B)/(2)

बिंदु D परिवृत्त पर स्थित है। चूंकि AD, ∠ BAC का कोण समद्विभाजक है, इसलिए परिधि पर (बिंदु A पर) चाप BD द्वारा अंतरित कोण ∠ BAD = (A)/(2) है। वृत्तों के गुणधर्म के अनुसार, समान चाप द्वारा परिकेंद्र O पर अंतरित कोण, परिधि पर अंतरित कोण का दोगुना होता है: z = ∠ BOD = 2 × ∠ BAD = 2 × (A)/(2) = A

हमें दिया गया है कि x = ∠ ABC = B। व्यंजक में x, y और z के मान प्रतिस्थापित करने पर: (z + x)/(y) = (A + B)/((A + B) / 2) = 2

व्याख्या

प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों के बीच की सीधी दूरी क्षैतिज (पूर्व-पश्चिम) और ऊर्ध्वाधर (उत्तर-दक्षिण) दिशाओं में शुद्ध विस्थापन की गणना करके ज्ञात की जाती है।

सबसे पहले, क्षैतिज विस्थापन पर विचार करें। राणा पश्चिम की ओर 8 मील और फिर पूर्व की ओर 3 मील गाड़ी चलाता है। शुद्ध क्षैतिज विस्थापन 8 - 3 = 5 मील पश्चिम है।

इसके बाद, ऊर्ध्वाधर विस्थापन पर विचार करें। राणा उत्तर की ओर 6 मील और फिर अतिरिक्त 6 मील उत्तर की ओर गाड़ी चलाता है। शुद्ध ऊर्ध्वाधर विस्थापन 6 + 6 = 12 मील उत्तर है।

ये दो लंबवत विस्थापन एक समकोण त्रिभुज के आधार और ऊंचाई का निर्माण करते हैं, जहां कर्ण प्रारंभिक और अंतिम बिंदुओं के बीच की सीधी दूरी को दर्शाता है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए:

दूरी = √((शुद्ध क्षैतिज विस्थापन)² + (शुद्ध ऊर्ध्वाधर विस्थापन)²) दूरी = √(5² + 12²) दूरी = √(25 + 144) दूरी = √169 दूरी = 13 मील

व्याख्या

समांतर चतुर्भुज ABCD में, AB, CD के समांतर है और AB = CD है। मान लीजिए कि D से आधार BC पर शीर्षलंब (लंबवत दूरी) h है। इस प्रकार, समांतर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = BC × h।

Δ ABQ में, चूंकि CP, CD का हिस्सा है, इसलिए CP, AB के समांतर है। दिया गया है कि BC = CQ, इसलिए C, BQ का मध्य-बिंदु है। मध्य-बिंदु प्रमेय के विलोम के अनुसार, चूंकि CP, AB के समांतर है और C, BQ का मध्य-बिंदु है, इसलिए P को AQ का मध्य-बिंदु होना चाहिए और CP को AB का आधा होना चाहिए। चूंकि AB = CD है, इसलिए P भी CD का मध्य-बिंदु है।

रेखा BCQ से CD पर किसी भी बिंदु की दूरी h है। हालांकि, एक त्रिभुज की ऊंचाई उसके शीर्ष से विपरीत भुजा की लंबवत दूरी होती है। Δ BCP के लिए, शीर्ष P है। चूंकि P, CD का मध्य-बिंदु है, और C रेखा BCQ पर स्थित है जबकि D इससे h दूरी पर है, इसलिए P से रेखा BCQ की लंबवत दूरी h/2 है।

क्षेत्रफल (Δ BCP) = ½ × BC × ʰ⁄₂ = (BC × h)/(4)

Δ CDQ में, QP शीर्ष Q से भुजा CD पर माध्यिका है क्योंकि P, CD का मध्य-बिंदु है। एक माध्यिका एक त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है, इसलिए क्षेत्रफल (Δ DPQ) = क्षेत्रफल (Δ CPQ)।

Δ CPQ के लिए, आधार CQ है और शीर्ष P से रेखा BCQ की ऊंचाई h/2 है। क्षेत्रफल (Δ CPQ) = ½ × CQ × ʰ⁄₂. चूंकि CQ = BC है, इसलिए क्षेत्रफल (Δ CPQ) = ½ × BC × ʰ⁄₂ = (BC × h)/(4)।

परिणामस्वरूप, क्षेत्रफल (Δ DPQ) = (BC × h)/(4), जो सिद्ध करता है कि क्षेत्रफल (Δ BCP) = क्षेत्रफल (Δ DPQ)।

व्याख्या

भुजा-कोण-भुजा (SAS) सर्वांगसमता कसौटी के अनुसार, दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण (अंतर्गत कोण) दूसरे त्रिभुज की संगत दो भुजाओं और उनके बीच के कोण के बराबर हो। Δ ABC में, दी गई भुजाएँ AB और BC हैं, जो शीर्ष B पर प्रतिच्छेद करती हैं, जिससे ∠ ABC अंतर्गत कोण बनता है। Δ DEF में, दी गई भुजाएँ DE और EF हैं, जो शीर्ष E पर प्रतिच्छेद करती हैं, जिससे ∠ DEF अंतर्गत कोण बनता है। यह देखते हुए कि AB = DE और BC = EF है, स्थिति ∠ ABC = ∠ DEF, SAS कसौटी को संतुष्ट करती है, जिससे यह सुनिश्चित होता है कि Δ ABC ≅ Δ DEF।

व्याख्या

दो वृत्तों के केंद्रों (C₁, C₂) और प्रतिच्छेदन बिंदुओं में से एक (P) द्वारा बनने वाले त्रिभुज में, भुजाओं की लंबाई 30 सेमी, 40 सेमी और 50 सेमी है। चूंकि 30² + 40² = 900 + 1600 = 2500 = 50² है, इसलिए यह त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है जिसका समकोण प्रतिच्छेदन बिंदु P पर है।

उभयनिष्ठ जीवा, केंद्रों को मिलाने वाली रेखा पर लंबवत होती है और इसके द्वारा समद्विभाजित होती है। मान लीजिए h, P से रेखा C₁C₂ की दूरी (कर्ण पर त्रिभुज का शीर्षलंब) है। भुजाओं a और b तथा कर्ण c वाले एक समकोण त्रिभुज में शीर्षलंब h की लंबाई h = (ab)/(c) द्वारा दी जाती है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, h = (30 × 40)/(50) = 24 सेमी। उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई इस शीर्षलंब की दोगुनी होती है, जो कि 2 × 24 = 48 सेमी है।

व्याख्या

त्रिभुज APD में, कोण APC एक बाह्य कोण का कार्य करता है। बाह्य कोण प्रमेय के अनुसार, किसी त्रिभुज का बाह्य कोण उसके दो विपरीत अंतः कोणों के योग के बराबर होता है। इस प्रकार, ∠ APC = ∠ PAD + ∠ ADP। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 70° = ∠ PAD + 23° प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर ∠ PAD = 47° प्राप्त होता है।

कोण PAD, ∠ DAB के समान है। ज्यामिति में, एक ही चाप द्वारा वृत्त की परिधि पर अंतरित कोण बराबर होते हैं। ∠ DAB और ∠ BCD दोनों चाप BD को अंतरित करते हैं। इसलिए, ∠ BCD = ∠ DAB = 47°।

व्याख्या

n भुजाओं वाले एक बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग सूत्र S = (n - 2) × 180° द्वारा निर्धारित किया जाता है। एक पंचभुज के लिए, जहाँ n = 5 है, योग S = (5 - 2) × 180° = 3 × 180° = 540° है।

आंतरिक कोणों का अनुपात 2:3:3:5:5 दिया गया है। मान लीजिए कि इन कोणों का सार्व गुणनखंड (common multiplier) x है। अनुपातों का योग 2 + 3 + 3 + 5 + 5 = 18 है। इसलिए, कोणों के योग को 18x = 540° के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। x के लिए हल करने पर x = 540° / 18 = 30° प्राप्त होता है। सबसे छोटा कोण अनुपात के सबसे छोटे भाग के संगत है, जो कि 2x है। इस मान की गणना करने पर, हमें 2 × 30° = 60° प्राप्त होता है।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec² Θ - tan² Θ = 1 का उपयोग करके, हम इसे (sec Θ + tan Θ)(sec Θ - tan Θ) = 1 के रूप में गुणनखंडित कर सकते हैं। यह देखते हुए कि sec Θ + tan Θ = √3 है, हम प्रतिस्थापन करके दूसरे गुणनखंड का मान ज्ञात कर सकते हैं: √3(sec Θ - tan Θ) = 1, जिससे sec Θ - tan Θ = (1)/(√(3)) प्राप्त होता है।

tan Θ ज्ञात करने के लिए, हम पहले समीकरण में से दूसरे समीकरण को घटाते हैं: (sec Θ + tan Θ) - (sec Θ - tan Θ) = √3 - (1)/(√(3))। यह सरल होकर 2 tan Θ = (3 - 1)/(√(3)) = (2)/(√(3)) हो जाता है, जिसका अर्थ है tan Θ = (1)/(√(3))। दी गई सीमा 0° ≤ Θ ≤ 90° में, यह Θ = 30° के संगत है।

व्यंजक tan 3Θ में Θ = 30° प्रतिस्थापित करने पर, हमें tan(3 × 30°) = tan 90° प्राप्त होता है। चूँकि tan Θ = (sin Θ)/(cos Θ) और cos 90° = 0 है, इसलिए tan 90° का मान अनंत माना जाता है।

व्याख्या

किन्हीं दो कोणों A और B के लिए, सर्वसमिका sin A = cos B का अर्थ है कि A + B = 90°। दिए गए समीकरण sin (60° - Θ) = cos (Ψ - 30°) के अनुसार, हम कोणों के योग को 90° के बराबर रख सकते हैं:

(60° - Θ) + (Ψ - 30°) = 90°

पदों को व्यवस्थित और सरल करने पर: 60° - 30° + Ψ - Θ = 90° 30° + Ψ - Θ = 90° Ψ - Θ = 90° - 30° Ψ - Θ = 60°

इस मान को tangent फलन के व्यंजक में रखने पर: tan (Ψ - Θ) = tan 60° = √3

व्याख्या

व्यंजक (1 + cot Θ - csc Θ)(1 + tan Θ + sec Θ) एक मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका है। इसका मान कुशलतापूर्वक ज्ञात करने के लिए, हम Θ = 45° रखकर प्रतिस्थापन विधि का उपयोग कर सकते हैं। इस कोण पर, त्रिकोणमितीय मान tan 45° = 1, cot 45° = 1, sec 45° = √2, और csc 45° = √2 हैं।

इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: (1 + 1 - √2)(1 + 1 + √2) = (2 - √2)(2 + √2)

बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)(a + b) = a² - b² का उपयोग करने पर, जहाँ a = 2 और b = √2: = (2)² - (√2)² = 4 - 2 = 2

वैकल्पिक रूप से, व्यंजक को साइन (sine) और कोसाइन (cosine) पदों में परिवर्तित करके: (1 + (cos Θ)/(sin Θ) - (1)/(sin Θ))(1 + (sin Θ)/(cos Θ) + (1)/(cos Θ)) = ((sin Θ + cos Θ - 1)/(sin Θ))((cos Θ + sin Θ + 1)/(cos Θ))

अंश a = (sin Θ + cos Θ) और b = 1 के साथ (a - b)(a + b) के प्रारूप का अनुसरण करता है: = ((sin Θ + cos Θ)² - 1²)/(sin Θ cos Θ) = (sin² Θ + cos² Θ + 2 sin Θ cos Θ - 1)/(sin Θ cos Θ)

पाइथागोरस सर्वसमिका sin² Θ + cos² Θ = 1 लागू करने पर: = (1 + 2 sin Θ cos Θ - 1)/(sin Θ cos Θ) = (2 sin Θ cos Θ)/(sin Θ cos Θ) = 2

व्याख्या

दिए गए व्यंजक tan Θ + cot Θ = 2 में, हम cot Θ को (1)/(tan Θ) से प्रतिस्थापित कर सकते हैं। माना tan Θ = x है। समीकरण इस प्रकार हो जाता है:

x + ¹⁄ₓ = 2

दोनों पक्षों को x से गुणा करने पर द्विघात समीकरण x² - 2x + 1 = 0 प्राप्त होता है, जो कि (x - 1)² = 0 का विस्तार है। x के लिए हल करने पर, हमें x = 1 प्राप्त होता है। इसलिए, tan Θ = 1 और cot Θ = ¹⁄₁ = 1 है।

किसी भी पूर्णांक n के लिए, इन मानों को प्रतिस्थापित करके व्यंजक tanⁿ Θ + cotⁿ Θ के मान की गणना की जाती है:

1ⁿ + 1ⁿ = 1 + 1 = 2

व्याख्या

मान लीजिए कि लंबवत खंभे की ऊंचाई h है और त्रिभुजाकार पार्क ABC के समतल में इसके पाद (foot) की स्थिति P है। मान लीजिए कि T खंभे का शीर्ष है। शीर्षों A, B, और C से शीर्ष T के उन्नयन कोण समान दिए गए हैं, मान लीजिए θ हैं। समकोण त्रिभुजों △TPA, △TPB, और △TPC में, खंभे के पाद से प्रत्येक शीर्ष की दूरी त्रिकोणमितीय संबंध AP = h cot θ, BP = h cot θ, और CP = h cot θ द्वारा दी गई है। चूंकि तीनों शीर्षों के लिए h और θ नियत (constant) हैं, इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि AP = BP = CP। किसी त्रिभुज के समतल में वह विशिष्ट बिंदु जो उसके सभी शीर्षों से समान दूरी पर होता है, परिकेंद्र (circumcentre) कहलाता है। अतः, खंभे का पाद P, △ABC के परिकेंद्र के संपाती (coincide) होना चाहिए।

व्याख्या

दिए गए अनुपात (sin θ)/x = (cos θ)/y से, हम एक स्थिरांक k इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं कि sin θ = xk और cos θ = yk हो। त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin²θ + cos²θ = 1 का उपयोग करते हुए, हम इन मानों को प्रतिस्थापित करके (xk)² + (yk)² = 1 प्राप्त करते हैं। k² को उभयनिष्ठ (common) लेने पर k²(x² + y²) = 1 प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप k = 1/√(x² + y²) मिलता है।

k के मान को sine और cosine के हमारे व्यंजकों में वापस प्रतिस्थापित करने पर, हमें sin θ = x/√(x² + y²) और cos θ = y/√(x² + y²) प्राप्त होता है। इसके बाद व्यंजक sin θ - cos θ की गणना x/√(x² + y²) - y/√(x² + y²) के रूप में की जाती है, जो सरल होकर (x - y)/√(x² + y²) हो जाता है।