एसएससी सीजीएल टियर 1 2011 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

X और Y की कार्यक्षमता का अनुपात 3:1 है। चूँकि लिया गया समय कार्यक्षमता के व्युत्क्रमानुपाती होता है, इसलिए X और Y द्वारा लिए गए समय का अनुपात 1:3 है। मान लीजिए X को k दिन और Y को 3k दिन लगते हैं। उनके समय का अंतर 3k - k = 40 दिन दिया गया है, इसलिए 2k = 40, जिसका अर्थ है k = 20। परिणामस्वरूप, अकेले कार्य को पूरा करने में X को 20 दिन और Y को 60 दिन लगते हैं। संयुक्त कार्य के सूत्र T = Tₓ T_y / (Tₓ + T_y) का उपयोग करने पर, मिलकर कार्य को पूरा करने में लिया गया समय (20 × 60)/(20 + 60) = ¹²⁰⁰⁄₈₀ = 15 दिन है।

व्याख्या

वर्ग का क्षेत्रफल 81 सेमी² है, इसलिए वर्ग की भुजा s = √(81) = 9 सेमी है। तांबे के तार की कुल लंबाई इस वर्ग के परिमाप के बराबर है, जो कि 4 × s = 4 × 9 = 36 सेमी है।

जब इसी तार को r त्रिज्या वाले एक अर्धवृत्त के रूप में मोड़ा जाता है, तो तार की कुल लंबाई अर्धवृत्त के परिमाप के संगत होती है। इस परिमाप में वक्राकार चाप की लंबाई π r और सीधा व्यास 2r शामिल हैं। इस प्रकार, तार की लंबाई का समीकरण r(π + 2) = 36 है। π = 22/7 मान का उपयोग करने पर, यह संबंध r(22/7 + 2) = 36 हो जाता है। इसे सरल करने पर r(36/7) = 36 प्राप्त होता है। r के लिए हल करने पर, हमें r = (36 × 7) / 36 = 7 सेमी प्राप्त होता है।

व्याख्या

वर्षा जल का आयतन सतह के क्षेत्रफल और वर्षा की गहराई के गुणनफल द्वारा निर्धारित किया जाता है। दिया गया क्षेत्रफल A = 1.5 हेक्टेयर है और यह जानते हुए कि 1 हेक्टेयर 10,000 वर्ग मीटर के बराबर होता है, वर्ग मीटर में क्षेत्रफल 1.5 × 10,000 = 15,000 m² है। वर्षा की गहराई h को 5 सेमी दिया गया है, जो 0.05 मीटर (5/100 मीटर) के बराबर है। आयतन के सूत्र V = A × h का उपयोग करते हुए, गणना V = 15,000 × 0.05 है। इससे कुल 750 घन मीटर (m³) का आयतन प्राप्त होता है।

व्याख्या

प्रति मिनट समुद्र में गिरने वाले पानी के आयतन की गणना एक आयताकार प्रिज्म (घनाभ) के आयतन के सूत्र का उपयोग करके की जाती है, जहाँ पानी के स्तंभ की लंबाई वह दूरी है जो पानी एक मिनट में तय करता है।

नदी का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल (cross-sectional area) उसकी चौड़ाई और गहराई का गुणनफल है: क्षेत्रफल = 40 मीटर × 3 मीटर = 120 वर्ग मीटर (m²)।

प्रवाह की दर 2 किमी/घंटा है। एक मिनट में पानी द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात करने के लिए, हम इस गति को मीटर प्रति मिनट में बदलते हैं: गति = (2 × 1000 मीटर)/(60 मिनट) = ¹⁰⁰⁄₃ मीटर/मिनट।

एक मिनट में बहने वाले पानी का आयतन है: आयतन (m³ में) = क्षेत्रफल × दूरी = 120 × ¹⁰⁰⁄₃ = 40 × 100 = 4000 m³।

घन मीटर को लीटर में बदलने के लिए, हम मानक रूपांतरण कारक का उपयोग करते हैं जहाँ 1 m³ = 1000 लीटर: लीटर में कुल आयतन = 4000 × 1000 = 4,000,000 लीटर।

व्याख्या

एक वृत्ताकार पहिये द्वारा तय की गई दूरी D, चक्करों की संख्या n और पहिये की परिधि 2π r का गुणनफल होती है। इस संबंध को सूत्र D = n × 2π r द्वारा व्यक्त किया जाता है।

सबसे पहले, त्रिज्या के लिए आवश्यक इकाई से मिलान करने के लिए कुल दूरी को किलोमीटर से सेंटीमीटर में बदलें। दिया गया है D = 11 किमी, तो हमारे पास D = 11 × 1000 × 100 = 1,100,000 सेमी है।

ज्ञात मानों n = 5000 और π ≈ ²²⁄₇ को सूत्र में रखें:

1,100,000 = 5000 × 2 × ²²⁄₇ × r

1,100,000 = (220,000)/(7) × r

r का मान ज्ञात करने के लिए, समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें:

r = (1,100,000 × 7)/(220,000)

r = 5 × 7

r = 35 सेमी

व्याख्या

माना त्रिभुज की तीन भुजाएँ a, b, और c हैं, जहाँ c = 17 सेमी सबसे बड़ी भुजा है। परिमाप a + b + c = 40 सेमी दिया गया है, इसलिए a + b + 17 = 40, जिसे सरल करने पर a + b = 23 सेमी प्राप्त होता है। अर्ध-परिमाप s, परिमाप का आधा होता है, इसलिए s = 40 / 2 = 20 सेमी।

क्षेत्रफल के लिए हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए, क्षेत्रफल = √(s(s-a)(s-b)(s-c)), हम ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करते हैं: 60 = √(20(20-a)(20-b)(20-17)) 60 = √(60(20-a)(20-b))

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर प्राप्त होता है: 3600 = 60(20-a)(20-b) 60 = (20-a)(20-b) 60 = 400 - 20(a+b) + ab

समीकरण में a+b = 23 प्रतिस्थापित करने पर: 60 = 400 - 20(23) + ab 60 = 400 - 460 + ab ab = 120

भुजाएँ a और b ऐसे मान हैं जिनका योग 23 है और गुणनफल 120 है। वे द्विघात समीकरण x² - 23x + 120 = 0 के मूल हैं। इसका गुणनखंड करने पर (x - 8)(x - 15) = 0 प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप x = 8 और x = 15 मिलता है। इसलिए, त्रिभुज की तीनों भुजाएँ 8 सेमी, 15 सेमी और 17 सेमी हैं। इन लंबाइयों की तुलना करने पर, सबसे छोटी भुजा 8 सेमी है।

व्याख्या

दो क्रमिक छूटों d₁% और d₂% के लिए समतुल्य एकल छूट सूत्र D = (d₁ + d₂ - (d₁ × d₂)/100) % द्वारा दी जाती है।

दी गई क्रमिक छूटें d₁ = 20% और d₂ = 15% हैं, इन मानों को सूत्र में रखने पर: D = 20 + 15 - (20 × 15)/(100) D = 35 - 300/100 D = 35 - 3 D = 32%

इसे प्रारंभिक मूल्य 100 मानकर भी ज्ञात किया जा सकता है। 20% की पहली छूट के बाद, मूल्य 100 - 20 = 80 हो जाता है। दूसरी 15% की छूट इस नए मूल्य पर लागू होती है: 80 का 15% = 15/100 × 80 = 12। कुल छूट 20 + 12 = 32 है, जो 100 के मूल मूल्य पर 32% की एकल छूट को दर्शाती है।

व्याख्या

दिया गया अनुपात A:B = 1:3, B:C = 1:3, और C:D = 1:3 है। सतत अनुपात A:B:C:D ज्ञात करने के लिए, हम सभी हिस्सों को A के पदों में व्यक्त करते हैं। चूंकि A/B = 1/3 है, इसलिए हमारे पास B = 3A है। इसी प्रकार, B/C = 1/3 से प्राप्त होता है C = 3B = 3(3A) = 9A। अंत में, C/D = 1/3 से प्राप्त होता है D = 3C = 3(9A) = 27A।

A, B, C, और D के हिस्सों का अनुपात 1:3:9:27 है। अनुपात के भागों का योग 1 + 3 + 9 + 27 = 40 है। दिया गया है कि कुल लाभ 4,00,000 है, इसलिए अनुपात में एक इकाई का मान 4,00,000 / 40 = 10,000 है। C का हिस्सा अनुपात में 9 इकाइयों के संगत है, इसलिए C का हिस्सा 9 × 10,000 = 90,000 है।

व्याख्या

मान लीजिए कि कैन की कुल मात्रा V लीटर है। चूंकि 9 लीटर मिश्रण को निकाल दिया जाता है और उसके स्थान पर 9 लीटर द्रव B डाल दिया जाता है, इसलिए प्रक्रिया के अंत में कैन में द्रव की कुल मात्रा V ही रहती है। प्रारंभ में, A और B का अनुपात 7:5 है, जिसका अर्थ है कि द्रव A मिश्रण का ⁷⁄₁₂ भाग है।

जब 9 लीटर मिश्रण निकाल लिया जाता है, तो शेष मात्रा V - 9 होती है। इस शेष मिश्रण में द्रव A की मात्रा ⁷⁄₁₂(V - 9) है। चूंकि कैन को बाद में केवल द्रव B से भरा जाता है, इसलिए पुनः भरने के चरण के दौरान द्रव A की मात्रा में कोई परिवर्तन नहीं होता है। इस प्रकार, अंतिम मिश्रण में A की मात्रा अभी भी ⁷⁄₁₂(V - 9) ही है।

नए अनुपात 7:9 के अनुसार, अंतिम V लीटर में द्रव A की मात्रा ⁷⁄₇₊₉V = ⁷⁄₁₆V है। A की मात्रा के लिए इन दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:

⁷⁄₁₂(V - 9) = ⁷⁄₁₆V

दोनों पक्षों को 7 से विभाजित करने पर:

(V - 9)/(12) = (V)/(16)

दोनों पक्षों को 48 (12 और 16 का लघुत्तम समापवर्त्य) से गुणा करने पर:

4(V - 9) = 3V

4V - 36 = 3V

V = 36

प्रारंभ में द्रव A की मात्रा ⁷⁄₁₂ × 36 = 21 लीटर थी।

व्याख्या

मान लीजिए कि अनुपात के प्रत्येक पद में जोड़ी या घटाई जाने वाली संख्या x है। प्रश्न के अनुसार, परिणामी अनुपात 1:2 है। इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

(17 + x)/(24 + x) = ½

x का मान ज्ञात करने के लिए, समीकरण के पदों का वज्र-गुणन (cross-multiply) करें:

2(17 + x) = 1(24 + x) 34 + 2x = 24 + x

x का मान ज्ञात करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करें:

2x - x = 24 - 34 x = -10

ऋणात्मक परिणाम यह दर्शाता है कि प्रत्येक पद से 10 का परिमाण घटाया जाना चाहिए। जब 17 और 24 में से 10 घटाया जाता है, तो पद क्रमशः 7 और 14 हो जाते हैं, जो सरल होकर 7:14 या 1:2 का अनुपात बन जाता है।

व्याख्या

माना A और B की साप्ताहिक आय क्रमशः 9x और 7x है, और उनका साप्ताहिक व्यय क्रमशः 4y और 3y है। चूंकि बचत = आय - व्यय, और दोनों प्रति सप्ताह 200 रुपये की बचत करते हैं, हम निम्नलिखित समीकरण बना सकते हैं:

9x - 4y = 200 7x - 3y = 200

दोनों समीकरणों की तुलना करने पर (चूंकि दोनों 200 के बराबर हैं): 9x - 4y = 7x - 3y 2x = y

पहले समीकरण में y = 2x प्रतिस्थापित करने पर: 9x - 4(2x) = 200 9x - 8x = 200 x = 200

उनकी साप्ताहिक आय का योग 9x + 7x = 16x है। x का मान प्रतिस्थापित करने पर: 16 × 200 = 3200

व्याख्या

माना तीन संख्याएँ x, y, और z हैं। प्रश्न के अनुसार, पहली संख्या x अन्य संख्याओं से इस प्रकार संबंधित है: x = 2y और x = 3z। इसका अर्थ है y = ˣ⁄₂ और z = ˣ⁄₃।

तीनों संख्याओं का औसत 49.5 दिया गया है, इसलिए उनका योग 49.5 × 3 = 148.5 है। योग के समीकरण में x के पदों में y और z के मान रखने पर:

x + ˣ⁄₂ + ˣ⁄₃ = 148.5

x का मान ज्ञात करने के लिए, एक समान हर ज्ञात करें:

(6x + 3x + 2x)/(6) = 148.5 ¹¹ˣ⁄₆ = 148.5 11x = 891 x = 81

पहली संख्या 81 है। तीसरी संख्या z = ˣ⁄₃ = ⁸¹⁄₃ = 27 है। पहली और तीसरी संख्या के बीच का अंतर x - z = 81 - 27 = 54 है।

व्याख्या

पाई गई त्रुटियों के आधार पर संख्याओं के कुल योग को समायोजित करके सही माध्य की गणना की जा सकती है। 50 संख्याओं का प्रारंभिक योग, माध्य को कुल संख्या से गुणा करके प्राप्त किया जाता है: योग = 30 × 50 = 1500।

सही योग ज्ञात करने के लिए, हम गलत प्रविष्टियों को घटाते हैं और सही प्रविष्टियों को जोड़ते हैं: सही योग = 1500 - (82 + 13) + (28 + 31) सही योग = 1500 - 95 + 59 सही योग = 1405 + 59 = 1464

इसके बाद सही माध्य, सही योग को प्रविष्टियों की संख्या से विभाजित करके प्राप्त होता है: सही माध्य = ¹⁴⁶⁴⁄₅₀ = 29.28

वैकल्पिक रूप से, माध्य में परिवर्तन की गणना सीधे प्रविष्टियों के अंतर से की जा सकती है: योग में परिवर्तन = (28 + 31) - (82 + 13) = 59 - 95 = -36 माध्य में परिवर्तन = ⁻³⁶⁄₅₀ = -0.72 सही माध्य = 30 - 0.72 = 29.28

व्याख्या

माना एक वस्तु का क्रय मूल्य (CP) x है। प्रश्न के अनुसार, 10 वस्तुओं का विक्रय मूल्य (SP), 11 वस्तुओं के क्रय मूल्य के बराबर है। इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: 10 × SP = 11 × CP।

10 वस्तुओं का क्रय मूल्य 10x है, और इन्हीं 10 वस्तुओं का विक्रय मूल्य 11x है। 10 वस्तुओं की बिक्री पर होने वाला लाभ उनके विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य का अंतर है: लाभ = 11x - 10x = x।

लाभ प्रतिशत की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: लाभ % = (कुल लाभ)/(कुल क्रय मूल्य) × 100

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: लाभ % = ˣ⁄₁₀ₓ × 100 = ⅒ × 100 = 10%

वैकल्पिक रूप से, जब n वस्तुओं का विक्रय मूल्य, m वस्तुओं के क्रय मूल्य के बराबर होता है, तो लाभ प्रतिशत संबंध (m - n)/(n) × 100 द्वारा निर्धारित किया जाता है। यहाँ, m = 11 और n = 10 है। सीधे सूत्र का उपयोग करने पर: लाभ % = (11 - 10)/(10) × 100 = 10%

व्याख्या

लाभ में कमी सीधे तौर पर अंकित मूल्य पर दी जाने वाली छूट में वृद्धि के कारण होती है। दोनों छूट दरों के बीच का अंतर 6% - 5% = 1% है। चूंकि घड़ी का क्रय मूल्य समान रहता है, इसलिए छूट की राशि में यह 1% का अंतर लाभ में होने वाली 15 की कमी के बिल्कुल बराबर है।

मान लीजिए घड़ी का अंकित मूल्य M है। इस संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: M का 1% = 15 ¹⁄₁₀₀ × M = 15 M = 15 × 100 = 1,500

व्याख्या

चूंकि कृष्णा दोनों प्रकार की वस्तुओं की समान संख्या खरीदता है, मान लीजिए कि प्रत्येक प्रकार की वस्तुओं की संख्या 1 है।

पहली वस्तु का क्रय मूल्य (CP) 10 है और दूसरी वस्तु का क्रय मूल्य (CP) 14 है। इन 2 वस्तुओं का कुल क्रय मूल्य 10 + 14 = 24 है।

वह सभी वस्तुओं को 13 रुपये प्रति वस्तु की दर से बेचता है। चूंकि उसके पास कुल 2 वस्तुएं हैं, इसलिए कुल विक्रय मूल्य (SP) 13 × 2 = 26 है।

चूंकि कुल विक्रय मूल्य, कुल क्रय मूल्य से अधिक है, इसलिए लाभ होता है। लाभ की राशि 26 - 24 = 2 है।

लाभ प्रतिशत की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: लाभ% = (कुल लाभ)/(कुल क्रय मूल्य) × 100

मान रखने पर: लाभ% = ²⁄₂₄ × 100 लाभ% = ¹⁄₁₂ × 100 लाभ% = ²⁵⁄₃ लाभ% = 8 ⅓%

व्याख्या

मान लीजिए कि दोनों घोड़ों के क्रय मूल्य CP₁ और CP₂ हैं। प्रश्न के अनुसार, कुल क्रय मूल्य CP₁ + CP₂ = 19,500 है। पहले घोड़े को 20% की हानि पर बेचा जाता है, इसलिए इसका विक्रय मूल्य 0.80 CP₁ है। दूसरे घोड़े को 15% के लाभ पर बेचा जाता है, इसलिए इसका विक्रय मूल्य 1.15 CP₂ है।

चूंकि प्रत्येक घोड़े का विक्रय मूल्य समान है, हम उनकी तुलना करते हैं: 0.80 CP₁ = 1.15 CP₂ CP₁/CP₂ = (1.15)/(0.80) = ¹¹⁵⁄₈₀ = ²³⁄₁₆

अनुपात के भागों का योग 23 + 16 = 39 है। एक भाग का मान ज्ञात करने के लिए, हम कुल क्रय मूल्य को अनुपात के भागों के योग से विभाजित करते हैं: प्रति भाग मान = (19,500)/(39) = 500

अब, व्यक्तिगत क्रय मूल्यों की गणना करें: CP₁ = 23 × 500 = 11,500 CP₂ = 16 × 500 = 8,000

व्याख्या

माना विक्रय मूल्य (SP) x है। क्रय मूल्य (CP) विक्रय मूल्य का 40% दिया गया है, जिसे CP = 0.4x के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। यह ज्ञात करने के लिए कि विक्रय मूल्य, क्रय मूल्य का कितना प्रतिशत है, हम अनुपात (SP)/(CP) × 100 का उपयोग करते हैं।

सूत्र में मान रखने पर: (x)/(0.4x) × 100 = (1)/(0.4) × 100

गणना को सरल करने पर: ¹⁰⁄₄ × 100 = 2.5 × 100 = 250%

वैकल्पिक रूप से, यदि हम मानते हैं कि SP = 100 है, तो CP = 40 होगा। अभीष्ट प्रतिशत ¹⁰⁰⁄₄₀ × 100 = ⁵⁄₂ × 100 = 250% है।

व्याख्या

पहली शर्त के अनुसार, A का 90% = B का 30%। इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: ⁹⁰⁄₁₀₀A = ³⁰⁄₁₀₀B 90A = 30B B = 3A

दूसरी शर्त के अनुसार, B = A का (2x)%, जो कि है: B = ²ˣ⁄₁₀₀A

पहले समीकरण से B का मान दूसरे समीकरण में रखने पर, हमें प्राप्त होता है: 3A = ²ˣ⁄₁₀₀A 3 = ²ˣ⁄₁₀₀ 300 = 2x x = 150

व्याख्या

जब कुल व्यय स्थिर रहता है, तो कीमत और मात्रा एक-दूसरे के व्युत्क्रमानुपाती होते हैं। कीमत में कमी 10% है, जिससे वास्तविक कीमत का नई कीमत से अनुपात 100 : 90, या 10 : 9 हो जाता है। चूंकि मात्रा कीमत के व्युत्क्रमानुपाती होती है, इसलिए वास्तविक मात्रा का नई मात्रा से अनुपात 9 : 10 होगा। अनुपात इकाइयों में अंतर 10 - 9 = 1 इकाई है। प्रश्न के अनुसार, यह 1 इकाई 1 किग्रा की वृद्धि के बराबर है। इसलिए, खरीदी गई वास्तविक मात्रा 9 इकाई थी, जो 9 किग्रा के बराबर है। प्रति किग्रा वास्तविक कीमत कुल व्यय को वास्तविक मात्रा से विभाजित करके निर्धारित की जाती है: वास्तविक कीमत = ²⁷⁰⁄₉ = 30

व्याख्या

कुल व्यय, मूल्य और खपत का गुणनफल होता है। जब व्यय स्थिर रहता है, तो r% की मूल्य वृद्धि के कारण खपत में आवश्यक प्रतिशत कमी निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:

खपत में प्रतिशत कमी = ( (r)/(100 + r) ) × 100%

दिए गए मूल्य वृद्धि r = 25 को प्रतिस्थापित करने पर:

कमी = ( (25)/(100 + 25) ) × 100% कमी = ( ²⁵⁄₁₂₅ ) × 100% कमी = ⅕ × 100 = 20%

वैकल्पिक रूप से, अनुपात विधि का उपयोग करते हुए, 25% की वृद्धि का अर्थ है कि मूल्य का अनुपात 100 से बदलकर 125 हो जाता है, जो सरल होकर 4:5 का अनुपात बन जाता है। चूंकि व्यय स्थिर है, इसलिए खपत मूल्य के व्युत्क्रमानुपाती होनी चाहिए। इसलिए, खपत का अनुपात 5:4 में बदलना चाहिए। खपत में कमी मूल 5 इकाइयों में से 1 इकाई है। प्रतिशत के रूप में व्यक्त करने पर, यह ( ⅕ ) × 100 = 20% है।

व्याख्या

प्रश्न के अनुसार, A के 30% को B के 40% में जोड़ने पर B का 80% प्राप्त होता है। इसे इस रैखिक समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है: 0.3A + 0.4B = 0.8B

A और B के बीच संबंध ज्ञात करने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों से 0.4B घटाएं: 0.3A = 0.8B - 0.4B 0.3A = 0.4B

प्रश्न में पूछा गया है कि B, A का कितना प्रतिशत है, जिसकी गणना अनुपात (B)/(A) × 100 का उपयोग करके की जाती है। सरलीकृत समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर प्राप्त होता है: (B)/(A) = (0.3)/(0.4) = ¾

प्रतिशत ज्ञात करने के लिए: ¾ × 100 = 75%

व्याख्या

धारा के अनुकूल गति (D) = 6 + 2 = 8 किमी/घंटा है और धारा के प्रतिकूल गति (U) = 6 - 2 = 4 किमी/घंटा है। माना दूरी d है। प्रश्न के अनुसार, धारा के प्रतिकूल और धारा के अनुकूल यात्रा करने में लगने वाले समय का अंतर 3 घंटे है। संबंध समय = दूरी / गति का उपयोग करते हुए, हम समीकरण d/4 - d/8 = 3 बनाते हैं। d का मान ज्ञात करने के लिए, हम एक सामान्य हर (common denominator) लेते हैं: (2d - d) / 8 = 3। यह सरल होकर d / 8 = 3 हो जाता है, जिससे d = 24 किमी प्राप्त होता है।

व्याख्या

जब दो अलग-अलग चालें और उनके संगत समय अंतराल दिए गए हों, तो दूरी D ज्ञात करने के लिए सूत्र D = s₁ × s₂ / |s₁ - s₂| × Δ T का उपयोग किया जाता है, जहाँ s₁ और s₂ चालें हैं और Δ T घंटों में कुल समयांतराल है। दिया गया है कि s₁ = 2.5 किमी/घंटा और s₂ = 3 किमी/घंटा है, तो चाल में अंतर 0.5 किमी/घंटा है। छात्र पहली स्थिति में 6 मिनट देरी से पहुँचता है और दूसरी स्थिति में 10 मिनट पहले पहुँचता है, इसलिए कुल समयांतराल 6 + 10 = 16 मिनट है। इसे घंटों में बदलने पर, Δ T = ¹⁶⁄₆₀ घंटे। इन मानों को सूत्र में रखने पर D = (2.5 × 3)/(3 - 2.5) × ¹⁶⁄₆₀ = (7.5)/(0.5) × ¹⁶⁄₆₀ प्राप्त होता है। चूँकि 7.5 को 0.5 से विभाजित करने पर 15 प्राप्त होता है, इसलिए समीकरण D = 15 × ¹⁶⁄₆₀ = ¹⁶⁄₄ = 4 किमी हो जाता है।

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज में, यदि कोई धनराशि T वर्षों में n गुनी हो जाती है, तो वह m × T वर्षों में nᵐ गुनी हो जाएगी। यहाँ, धनराशि T = 4 वर्षों में स्वयं की दोगुनी (n = 2) हो जाती है। हमें इसके स्वयं के चार गुने होने में लगने वाला समय ज्ञात करना है। चूँकि 4 = 2² है, इसलिए घातांक m = 2 है। अतः, आवश्यक कुल समय m × T = 2 × 4 = 8 वर्ष है।

इसे मानक सूत्र A = P(1 + r/100)ᵗ के माध्यम से भी समझा जा सकता है। पहली शर्त से, 2P = P(1 + r/100)⁴, जिसे सरल करने पर 2 = (1 + r/100)⁴ प्राप्त होता है। धनराशि को चार गुना होने के लिए, हमें 4 = (1 + r/100)ᵗ की आवश्यकता है। पहले समीकरण का वर्ग करने पर 2² = [(1 + r/100)⁴]² प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप 4 = (1 + r/100)⁸ मिलता है। मिश्रधन के चार गुना होने के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर, हमें t = 8 प्राप्त होता है।

व्याख्या

साधारण ब्याज (SI) की गणना सूत्र SI = (P × R × T)/(100) का उपयोग करके की जाती है, जहाँ P मूलधन है, R प्रति वर्ष ब्याज की दर है, और T वर्षों में समय है। प्रश्न के अनुसार, 5 वर्षों का साधारण ब्याज धनराशि का एक-चौथाई है, जिससे संबंध SI = ¼P और T = 5 प्राप्त होता है।

इन मानों को सूत्र में रखने पर:

¼P = (P × R × 5)/(100)

दोनों पक्षों से P को निरस्त करने पर, समीकरण इस प्रकार हो जाता है:

¼ = (5R)/(100)

दाहिने पक्ष को सरल करने पर:

¼ = (R)/(20)

R का मान ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों को 20 से गुणा करने पर:

R = ²⁰⁄₄ = 5

वार्षिक ब्याज की दर 5% है।

व्याख्या

2 वर्ष की अवधि के लिए चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच का अंतर D, सूत्र D = P((R)/(100))² द्वारा निर्धारित किया जाता है, जहाँ P मूलधन है और R वार्षिक ब्याज दर है। दिए गए मानों P = 10,000 और D = 25 को सूत्र में रखने पर:

25 = 10,000 × ((R)/(100))²

25 = 10,000 × (R²)/(10,000)

अंश और हर दोनों से 10,000 को निरस्त करने पर, समीकरण सरल होकर R² = 25 हो जाता है। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर R = 5 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि अर्धगोले और शंकु दोनों के आधार की त्रिज्या r है। एक अर्धगोले के लिए, ऊँचाई हमेशा उसकी त्रिज्या के बराबर होती है, इसलिए h = r। चूँकि प्रश्न में कहा गया है कि ऊँचाइयाँ बराबर हैं, इसलिए शंकु की ऊँचाई भी r है।

अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र 2π r² द्वारा दिया जाता है। शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल π rl द्वारा दिया जाता है, जहाँ l तिर्यक ऊँचाई है। शंकु की तिर्यक ऊँचाई l की गणना पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके l = √(r² + h²) के रूप में की जाती है। h = r प्रतिस्थापित करने पर, हमें l = √(r² + r²) = √(2r²) = r√2 प्राप्त होता है।

इसलिए शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल π · r · r√2 = √2π r² है। अर्धगोले के वक्र पृष्ठ का शंकु के वक्र पृष्ठ से अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम दोनों क्षेत्रफलों का अनुपात लेते हैं: 2π r² : √2π r²। यह सरल होकर 2 : √2 हो जाता है। अनुपात का परिमेयकरण करने पर, हमें √2 : 1 प्राप्त होता है।

व्याख्या

सबसे पहले, x के लिए वर्गमूल के अंदर के व्यंजक का परिमेयकरण करने के लिए अंश और हर को हर के संयुग्मी, √5 + 1 से गुणा करें: x = √({5) + 1{√5 - 1} × √5 + 1{√5 + 1}} = √(({5) + 1)²{5 - 1}} = √(({5) + 1)²{4}} = √5 + 1{2}

समीकरण x = √5 + 1{2} को पुनर्व्यवस्थित करने पर 2x - 1 = √5 प्राप्त होता है। इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर (2x - 1)² = (√5)² प्राप्त होता है, जिससे यह सरल होकर 4x² - 4x + 1 = 5 हो जाता है। दोनों पक्षों से 5 घटाने पर 4x² - 4x - 4 = 0 प्राप्त होता है। पूरे समीकरण को 4 से विभाजित करने पर सरल द्विघात समीकरण x² - x - 1 = 0, या x² - x = 1 प्राप्त होता है।

वह व्यंजक जिसका मान ज्ञात करना है, 5x² - 5x - 1 है। पहले दो पदों में से 5 को उभयनिष्ठ (common) लेने पर, हम इस व्यंजक को 5(x² - x) - 1 के रूप में लिख सकते हैं। इस व्यंजक में पहले से प्राप्त मान x² - x = 1 को प्रतिस्थापित करने पर 5(1) - 1 = 4 प्राप्त होता है।

व्याख्या

जब किसी संख्या को 10 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल हमेशा उस संख्या के इकाई अंक के बराबर होता है। 2³³ का इकाई अंक ज्ञात करने के लिए, हम चक्रीयता (cyclicity) की अवधारणा का उपयोग करते हैं। 2 की घातों के इकाई अंक चार के एक आवर्ती चक्र का अनुसरण करते हैं: 2¹=2, 2²=4, 2³=8, और 2⁴=16 (इकाई अंक 6)।

इकाई अंकों का चक्र {2, 4, 8, 6} है। यह निर्धारित करने के लिए कि चक्र में कौन सा अंक 2³³ के संगत है, हम घातांक 33 को चक्र की लंबाई 4 से विभाजित करते हैं। विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करते हुए, 33 = (4 × 8) + 1। चूंकि शेषफल 1 है, इसलिए 2³³ का इकाई अंक वही होगा जो 2¹ का इकाई अंक है, जो कि 2 है। अतः, जब 2³³ को 10 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल 2 होता है।

व्याख्या

सतत भिन्न को हल करने के लिए, सबसे नीचे के हर से शुरू करते हुए व्यंजक को सरल करें। सबसे पहले, सबसे निचले भाग की गणना करें: 3 + ⅓ = ¹⁰⁄₃।

इसके बाद, इस मान को भिन्न के अगले स्तर में प्रतिस्थापित करें: 3 + (1)/(10){3} = 3 + ³⁄₁₀ = ³³⁄₁₀।

अब, इस परिणाम को वापस मुख्य व्यंजक में प्रतिस्थापित करें: 3 + (3)/(33){10}। यह सरल होकर 3 + 3 × ¹⁰⁄₃₃ हो जाता है, जो कि 3 + ³⁰⁄₃₃ है। भिन्न ³⁰⁄₃₃ के अंश और हर को 3 से विभाजित करने पर, यह घटकर ¹⁰⁄₁₁ हो जाता है।

अंत में, योग की गणना करें: 3 + ¹⁰⁄₁₁ = (33 + 10)/(11) = ⁴³⁄₁₁।

व्याख्या

किसी घातांकीय व्यंजक का इकाई अंक केवल आधार के इकाई अंक पर निर्भर करता है। पहले पद (4387)²⁴⁵ के लिए, इकाई का अंक 7²⁴⁵ द्वारा निर्धारित होता है। 7 की घातों के इकाई अंक 4 की लंबाई के एक चक्रीय पैटर्न का अनुसरण करते हैं: 7¹ → 7, 7² → 9, 7³ → 3, और 7⁴ → 1। चक्र में स्थिति ज्ञात करने के लिए, हम घात 245 को 4 से विभाजित करते हैं। चूंकि 245 = (61 × 4) + 1 है, इसलिए शेषफल 1 है। इसलिए, (4387)²⁴⁵ का इकाई अंक 7¹ के समान ही है, जो कि 7 है।

दूसरे पद (621)⁷² के लिए, इकाई का अंक 1⁷² द्वारा निर्धारित होता है। 1 पर समाप्त होने वाली किसी भी संख्या की कोई भी घात का इकाई अंक हमेशा 1 ही होगा। इस प्रकार, (621)⁷² का इकाई अंक 1 है। दोनों पदों के इकाई अंकों को गुणा करने पर 7 × 1 = 7 प्राप्त होता है, जो अंतिम गुणनफल का इकाई अंक है।

व्याख्या

दिया गया व्यंजक 2√2 + √2 + (1)/(2 + √(2)) + (1)/(√(2) + 1) है।

इसे हल करने के लिए, पहले गैर-भिन्नात्मक पदों को सरल करें और फिर भिन्नात्मक पदों के हर का परिमेयकरण करें।

पहले दो पदों का योग है: 2√2 + √2 = 3√2

संयुग्मी 2 - √2 से अंश और हर को गुणा करके तीसरे पद (1)/(2 + √(2)) का परिमेयकरण करने पर: 1(2 - √2){(2 + √2)(2 - √2)} = 2 - √2{4 - 2} = 2 - √2{2} = 1 - √2{2}

संयुग्मी √2 - 1 से अंश और हर को गुणा करके चौथे पद (1)/(√(2) + 1) का परिमेयकरण करने पर: 1(√2 - 1){(√2 + 1)(√2 - 1)} = √2 - 1{2 - 1} = √2 - 1

अब, सभी सरलीकृत भागों को संयोजित करने पर: 3√2 + (1 - √2{2}) + (√2 - 1) 3√2 + √2 - √2{2} + 1 - 1 4√2 - 0.5√2 = 3.5√2

√2 = 1.4142 का मान रखने पर: 3.5 × 1.4142 = 4.9497

व्याख्या

इस संक्रिया को सूत्र XY = X² + Y² - XY द्वारा परिभाषित किया गया है। 11^*13 का मान ज्ञात करने के लिए, दिए गए व्यंजक में X = 11 और Y = 13 प्रतिस्थापित करें।

11^*13 = 11² + 13² - (11 × 13)

प्रत्येक पद की गणना करने पर: 11² = 121 13² = 169 11 × 13 = 143

इन मानों को वापस व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: 11^*13 = 121 + 169 - 143 11^*13 = 290 - 143 = 147

व्याख्या

दिया गया व्यंजक बीजगणितीय रूप (a³ - b³)/(a² + ab + b²) का अनुसरण करता है जहाँ a = 3.2 और b = 0.2 है। यह स्पष्ट है क्योंकि 0.008 = (0.2)³, 0.64 = 3.2 × 0.2, और 0.04 = (0.2)² है।

बीजगणितीय सर्वसमिका a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) का उपयोग करते हुए, व्यंजक को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:

((3.2 - 0.2)((3.2)² + (3.2 × 0.2) + (0.2)²))/((3.2)² + 0.64 + 0.04)

चूंकि पद (3.2)² + 0.64 + 0.04 अंश और हर दोनों में समान है, इसलिए वे एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं:

3.2 - 0.2 = 3

व्याख्या

दिए गए समीकरण a¹/³ = 11 से, हम समीकरण के दोनों पक्षों का घन (cube) करके a का मान ज्ञात करते हैं: a = 11³ = 1331। a² - 331a का मान ज्ञात करने के लिए, हम व्यंजक का गुणनखंड a(a - 331) के रूप में करते हैं। इस सरलीकृत व्यंजक में a का मान प्रतिस्थापित करने पर 1331(1331 - 331) प्राप्त होता है, जो आगे सरल होकर 1331 × 1000 हो जाता है। इन मानों का गुणा करने पर परिणाम 1331000 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण √(1 + x/961) = 32/31 में, वर्गमूल को हटाने के लिए हम दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं:

1 + x/961 = (32/31)²

चूंकि 32² = 1024 और 31² = 961 है, इसलिए समीकरण इस प्रकार हो जाता है:

1 + x/961 = 1024/961

दोनों पक्षों से 1 घटाने पर:

x/961 = 1024/961 - 1

x/961 = (1024 - 961)/961

x/961 = 63/961

अंशों की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है: x = 63

√(1 + x/n²) = (n+1)/n के रूप वाले समीकरणों के लिए एक उपयोगी शॉर्टकट यह है कि x का मान हमेशा दाईं ओर की भिन्न के अंश और हर के योग के बराबर होगा: x = (n+1) + n। इस मामले में, x = 32 + 31 = 63।

व्याख्या

मान लीजिए a और b विषम संख्याएँ हैं। सम-विषम (पैरिटी) के गुणों के अनुसार, दो विषम संख्याओं का योग हमेशा सम होता है, जिसका अर्थ है कि a + b एक सम संख्या है। इसके अतिरिक्त, किसी भी पूर्णांक को 2 से गुणा करने पर एक सम संख्या प्राप्त होती है, इसलिए पद 2ab भी सम है। दो सम संख्याओं का योग हमेशा सम होता है, इसलिए व्यंजक (a + b) + 2ab का मान एक सम संख्या प्राप्त होता है। उदाहरण के लिए, यदि a = 1 और b = 3 है, तो 1 + 3 + 2(1 × 3) = 4 + 6 = 10, जो कि एक सम संख्या है।

व्याख्या

व्यंजक 2¹⁶ - 1 को बीजगणितीय सर्वसमिका a² - b² = (a - b)(a + b) का उपयोग करके सरल किया जा सकता है। इस सर्वसमिका को बार-बार लागू करने पर, हमें प्राप्त होता है: 2¹⁶ - 1 = (2⁸ - 1)(2⁸ + 1) 2⁸ - 1 = (2⁴ - 1)(2⁴ + 1) = (16 - 1)(16 + 1) = 15 × 17

इसे वापस पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं कि 2¹⁶ - 1 = 15 × 17 × (2⁸ + 1)। चूंकि 17 इस गुणनफल का एक अभाज्य गुणनखंड है, इसलिए मूल व्यंजक 17 से विभाज्य है। वैकल्पिक रूप से, फर्मेट के लघु प्रमेय (Fermat's Little Theorem) के अनुसार, किसी भी अभाज्य संख्या p के लिए जो a को विभाजित नहीं करती है, aᵖ⁻¹ ≡ 1 p होता है। a = 2 और p = 17 के लिए, यह प्रमेय 2¹⁷⁻¹ = 2¹⁶ ≡ 1 17 देता है, जो इसकी पुष्टि करता है कि 2¹⁶ - 1, 17 से विभाज्य है।

व्याख्या

संख्याओं के एक समूह के योग की गणना उनके औसत और संख्याओं की कुल संख्या के गुणनफल के रूप में की जाती है (योग = औसत × n)।

सबसे पहले, सभी पाँच संख्याओं का कुल योग ज्ञात करें: कुल योग = 34.4 × 5 = 172

इसके बाद, पहली दो संख्याओं का योग ज्ञात करें: पहली और दूसरी संख्या का योग = 46.5 × 2 = 93

फिर, चौथी और पाँचवीं संख्या का योग ज्ञात करें: चौथी और पाँचवीं संख्या का योग = 18 × 2 = 36

तीसरी संख्या ज्ञात करने के लिए, सभी पाँच संख्याओं के कुल योग में से पहली, दूसरी, चौथी और पाँचवीं संख्या के योग को घटाएं: तीसरी संख्या = 172 - (93 + 36) तीसरी संख्या = 172 - 129 = 43

व्याख्या

वह सबसे छोटी संख्या जिसे 5, 6, 7 और 8 से विभाजित करने पर 3 शेषफल प्राप्त होता है, वह LCM(5, 6, 7, 8) × k + 3 के रूप में होनी चाहिए। LCM(5, 6, 7, 8) ज्ञात करने के लिए, हम इसमें शामिल अभाज्य गुणनखंडों की उच्चतम घातों की पहचान करते हैं: 5 = 5¹, 6 = 2¹ × 3¹, 7 = 7¹, और 8 = 2³। इस प्रकार, LCM = 2³ × 3 × 5 × 7 = 840।

संख्या को 840k + 3 के रूप में व्यक्त किया जाता है। हमें सबसे छोटा पूर्णांक k ज्ञात करना होगा ताकि यह व्यंजक 9 से विभाज्य हो। k के मानों का परीक्षण करने पर: यदि k = 1, तो 840(1) + 3 = 843 (अंकों का योग 8+4+3=15, जो 9 से विभाज्य नहीं है)। यदि k = 2, तो 840(2) + 3 = 1683 (अंकों का योग 1+6+8+3=18, जो 9 से विभाज्य है)।

संख्या 1683 सभी शर्तों को पूरा करती है। यह 5, 6, 7 और 8 से विभाजित करने पर 3 शेषफल छोड़ती है क्योंकि यह उनके लघुत्तम समापवर्त्य (2 से गुणा करने पर) से ठीक 3 अधिक है। इसके अतिरिक्त, इसके अंकों का योग 18 है, जो 9 से इसकी विभाज्यता की पुष्टि करता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि दिए गए अनुपात 3:4:5 के अनुसार तीन संख्याएँ 3x, 4x और 5x हैं। इस क्रम में, 3x सबसे छोटी संख्या है, 4x दूसरी संख्या है, और 5x सबसे बड़ी संख्या है।

प्रश्न के अनुसार, सबसे बड़ी और सबसे छोटी संख्या का योग, दूसरी संख्या और 52 के योग के बराबर है। इस संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: 3x + 5x = 4x + 52

बाईं ओर के पदों को जोड़कर समीकरण को सरल करने पर: 8x = 4x + 52

समीकरण के दोनों पक्षों से 4x घटाने पर: 4x = 52

4 से भाग देने पर उभयनिष्ठ अनुपात गुणक का मान प्राप्त होता है: x = 13

सबसे छोटी संख्या 3x है। x का मान प्रतिस्थापित करने पर: 3 × 13 = 39

व्याख्या

वृत्त के क्षेत्रफल की गणना सूत्र A = π r² का उपयोग करके की जाती है, जहाँ r त्रिज्या को दर्शाता है। जब कोई राशि किसी चर के वर्ग के समानुपाती होती है, तो उस चर में वृद्धि के परिणामस्वरूप होने वाले शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन को क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र x + y + ˣʸ⁄₁₀₀ का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है।

त्रिज्या में 50% की वृद्धि पर इसे लागू करने पर, हम x = 50 और y = 50 मान लेते हैं। क्षेत्रफल में प्रतिशत वृद्धि 50 + 50 + (50 × 50)/(100) = 100 + 25 = 125% है।

वैकल्पिक रूप से, यदि प्रारंभिक त्रिज्या r है, तो प्रारंभिक क्षेत्रफल π r² है। 50% की वृद्धि से नई त्रिज्या 1.5r हो जाती है। नया क्षेत्रफल π (1.5r)² = 2.25π r² है। क्षेत्रफल में वृद्धि 2.25π r² - π r² = 1.25π r² है। प्रतिशत वृद्धि ज्ञात करने के लिए, हम गणना करते हैं: (1.25π r² / π r²) × 100 = 125%।

व्याख्या

मान लीजिए कि कुल कार्य A और B द्वारा लिए गए समय का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है। कुल कार्य = LCM(9, 12) = 36 इकाई।

A की कार्यक्षमता = 36 / 9 = 4 इकाई प्रति दिन, और B की कार्यक्षमता = 36 / 12 = 3 इकाई प्रति दिन है।

चूंकि वे A से शुरू करते हुए बारी-बारी से दिनों में कार्य करते हैं, इसलिए हम 2 दिनों के एक चक्र पर विचार करते हैं। 1 चक्र (2 दिन) में किया गया कार्य = 4 + 3 = 7 इकाई।

पूर्ण चक्रों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम कुल कार्य को प्रति चक्र किए गए कार्य से विभाजित करते हैं: 36 / 7 = 5 चक्र और शेष 1 इकाई। 5 चक्रों में लिया गया समय = 5 × 2 = 10 दिन। 10 दिनों में पूरा किया गया कार्य = 5 × 7 = 35 इकाई।

शेष कार्य = 36 - 35 = 1 इकाई। 11वें दिन, कार्य करने की बारी A की है। चूंकि A एक पूरे दिन में 4 इकाई कार्य कर सकता है, इसलिए शेष 1 इकाई कार्य को पूरा करने में A द्वारा लिया गया समय = 1 / 4 दिन है।

कुल समय = 10 + 1/4 = 10 ¼ दिन।

व्याख्या

मान लीजिए कि कुल कार्य दिए गए समय अंतरालों 10, 6, और 12 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 60 इकाई है।

युग्मों की कार्यक्षमता (प्रतिदिन किया गया कार्य) की गणना इस प्रकार की जाती है: A + B की कार्यक्षमता = 60 / 10 = 6 इकाई/दिन B + C की कार्यक्षमता = 60 / 6 = 10 इकाई/दिन A + C की कार्यक्षमता = 60 / 12 = 5 इकाई/दिन

इन कार्यक्षमताओं का योग करने पर: 2(A + B + C) = 6 + 10 + 5 = 21 इकाई/दिन A + B + C की कार्यक्षमता = 21 / 2 = 10.5 इकाई/दिन

A, B और C द्वारा मिलकर कार्य को पूरा करने में लिया गया समय है: समय = कुल कार्य / कार्यक्षमता समय = 60 / 10.5 = 600 / 105 = 40 / 7 दिन

अनुचित भिन्न 40 / 7 को मिश्रित भिन्न में बदलने पर: 40 / 7 = 5 ⁵⁄₇ दिन

व्याख्या

कार्यकुशलता या कार्य की दर R को कार्य / समय (Work / Time) के रूप में परिभाषित किया जाता है। माना A और B की कार्य दर क्रमशः R_A और R_B है। प्रश्न के अनुसार, A, B के तीन-चौथाई समय में उसका आधा कार्य करता है। यदि B, T समय में W कार्य करता है, तो A, 3/4 T समय में W/2 कार्य करता है।

R_A = (W/2)/(3T/4) = ½ × ⁴⁄₃ × (W)/(T) = ⅔ R_B

उनकी कार्यकुशलता का अनुपात R_A : R_B = 2:3 है। एक साथ काम करने वाले A और B की संयुक्त कार्यकुशलता उनकी व्यक्तिगत कार्यकुशलता का योग है:

Rₜₒₜₐₗ = R_A + R_B = ⅔ R_B + R_B = ⁵⁄₃ R_B

चूंकि वे मिलकर कार्य को 18 दिनों में पूरा करते हैं, इसलिए कुल कार्य को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

कुल कार्य (Total Work) = Rₜₒₜₐₗ × 18 = ⁵⁄₃ R_B × 18 = 30 R_B

अकेले B द्वारा कुल कार्य को पूरा करने में लिया गया समय, कुल कार्य को B की कार्यकुशलता से विभाजित करके निकाला जाता है:

B का समय (Time_B) = (30 R_B)/(R_B) = 30 दिन

व्याख्या

वर्ग का क्षेत्रफल 81 सेमी² है, इसलिए इसकी भुजा s की लंबाई √(81) = 9 सेमी है। तार की कुल लंबाई वर्ग के परिमाप के बराबर है, जिसकी गणना 4s = 4 × 9 = 36 सेमी के रूप में की जाती है।

जब तार को पुनः एक अर्धवृत्ताकार आकार में मोड़ा जाता है, तो तार की लंबाई अर्धवृत्त के परिमाप के अनुरूप होती है, जिसमें वक्राकार चाप π r और सीधा व्यास 2r शामिल होता है। कुल लंबाई को 36 सेमी के बराबर रखने पर: r(π + 2) = 36 π = ²²⁄₇ रखने पर: r(²²⁄₇ + 2) = 36 r(³⁶⁄₇) = 36 r = 7 सेमी

अर्धवृत्त का क्षेत्रफल ½ π r² सूत्र द्वारा परिभाषित होता है। त्रिज्या का मान रखने पर: क्षेत्रफल = ½ × ²²⁄₇ × 7 × 7 क्षेत्रफल = 11 × 7 = 77 सेमी²

व्याख्या

बेलनाकार बीकर में विस्थापित पानी का आयतन उसमें डूबे हुए गोलाकार कंचों के कुल आयतन के बराबर होता है। माना डाले गए कंचों की संख्या n है। विस्थापित पानी के आयतन की गणना बेलन के आयतन के सूत्र, V_c_yₗ = π R² h का उपयोग करके की जाती है, जहाँ R बीकर की त्रिज्या है और h पानी के स्तर में हुई वृद्धि है। एक गोलाकार कंचे का आयतन Vₛₚₕ = ⁴⁄₃ π r³ है, जहाँ r कंचे की त्रिज्या है।

बीकर की त्रिज्या R, 3.5 सेमी (7 सेमी का आधा) है और पानी के स्तर में वृद्धि h, 5.6 सेमी है। प्रत्येक कंचे की त्रिज्या r, 0.7 सेमी (1.4 सेमी का आधा) है। n कंचों के कुल आयतन को विस्थापित पानी के आयतन के बराबर रखने पर:

n × ⁴⁄₃ π r³ = π R² h

n = (3 R² h)/(4 r³)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

n = (3 × (3.5)² × 5.6)/(4 × (0.7)³)

n = (3 × 12.25 × 5.6)/(4 × 0.343)

n = (205.8)/(1.372)

n = 150

व्याख्या

हौज को भरने के लिए आवश्यक पानी के आयतन की गणना बेलन के आयतन के सूत्र, V = π R² H का उपयोग करके की जाती है। दिया गया है कि हौज का व्यास 10 मीटर है, इसलिए त्रिज्या R = 5 मीटर है, और गहराई H = 2 मीटर है। इस प्रकार, भरा जाने वाला कुल आयतन V_हौज = π × 5² × 2 = 50π m³ है।

वृत्ताकार पाइप से पानी के प्रवाह की दर उसके अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल और पानी की गति पर निर्भर करती है। पाइप का आंतरिक व्यास 20 सेमी है, जो 0.2 मीटर के बराबर है, इसलिए त्रिज्या r = 0.1 मीटर है। पानी की गति 3 किमी/घंटा है, जो 3000 मीटर/घंटा है। प्रति घंटे पाइप से बाहर बहने वाले पानी का आयतन V_प्रवाह = π r² × गति = π × (0.1)² × 3000 = π × 0.01 × 3000 = 30π m³/घंटा है।

हौज को भरने के लिए आवश्यक समय कुल आयतन को प्रवाह दर से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: समय = (50π)/(30π) = ⁵⁄₃ घंटे। इसे घंटों और मिनटों में बदलने पर, ⁵⁄₃ घंटे 1 घंटे और 1 घंटे के ⅔ भाग के बराबर है। चूंकि ⅔ × 60 = 40 मिनट, इसलिए लिया गया कुल समय 1 घंटा 40 मिनट है।

व्याख्या

एक पहिये द्वारा तय की गई कुल दूरी सूत्र D = n × C द्वारा दी जाती है, जहाँ n चक्करों की संख्या है और C पहिये की परिधि है। परिधि की गणना C = π d के रूप में की जाती है, जहाँ d व्यास को दर्शाता है।

सबसे पहले, आवश्यक इकाई से मिलान करने के लिए कुल दूरी को किलोमीटर से सेंटीमीटर में बदलें: 11 किमी = 11 × 1000 × 100 = 1,100,000 सेमी।

सूत्र D = n × π d का उपयोग करने पर: 1,100,000 = 5000 × ²²⁄₇ × d

दोनों पक्षों को 5000 से विभाजित करने पर: 220 = ²²⁄₇ × d

d का मान ज्ञात करने पर: d = (220 × 7)/(22) d = 10 × 7 d = 70 सेमी