एसएससी सीजीएल टियर 1 2011 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

घनमूल के अंदर के व्यंजक को p को वितरित करके निम्नानुसार विस्तारित किया जा सकता है: p(p² + 3p + 3) + 1 = p³ + 3p² + 3p + 1

द्विपद के घन के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका, (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ का उपयोग करने पर, हम पहचान सकते हैं कि: p³ + 3p²(1) + 3p(1²) + 1³ = (p + 1)³

इसलिए, संपूर्ण व्यंजक सरल होकर निम्न प्रकार हो जाता है: ³√((p + 1)³) = p + 1

दिया गया है कि p = 124, मान प्रतिस्थापित करने पर: 124 + 1 = 125

व्याख्या

मान लीजिए कि दो प्राकृतिक संख्याएँ x और y हैं। योगफल S को S = 18x + 21y के रूप में व्यक्त किया जाता है। 18 और 21 के महत्तम समापवर्तक, जो कि 3 है, को बाहर निकालने (उभयनिष्ठ लेने) पर, यह व्यंजक S = 3(6x + 7y) बन जाता है। इससे पता चलता है कि योगफल 3 का एक गुणज होना चाहिए। 3 की विभाज्यता के नियम के अनुसार, कोई संख्या 3 से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग 3 से विभाज्य हो। संख्या 2007 के लिए, अंकों का योग 2 + 0 + 0 + 7 = 9 है। चूंकि 9, 3 से विभाज्य है, इसलिए संख्या 2007, 3 का एक गुणज है। समीकरण 6x + 7y = 669 के लिए, प्राकृतिक संख्या हल मौजूद हैं, जैसे कि x = 108 और y = 3, जो इस शर्त को संतुष्ट करते हैं।

व्याख्या

मान लीजिए कि दो संख्याएँ x और y हैं। हमें दिया गया है कि उनका गुणनफल xy = 45 और उनका अंतर x - y = 4 है।

वर्गों का योग x² + y² ज्ञात करने के लिए, हम अंतर के वर्ग की बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: (x - y)² = x² + y² - 2xy

वर्गों के योग को अलग करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें प्राप्त होता है: x² + y² = (x - y)² + 2xy

समीकरण में दिए गए मानों को रखने पर: x² + y² = (4)² + 2(45) x² + y² = 16 + 90 x² + y² = 106

व्याख्या

यह व्यंजक एक नेस्टेड करणी (nested radical) है, जिसे सबसे आंतरिक वर्गमूल से शुरू करके बाहर की ओर सरल करके हल किया जाता है।

चरण 1: सबसे आंतरिक वर्गमूल का मान ज्ञात कीजिए, √(169) = 13। चरण 2: इस मान को अगली परत में प्रतिस्थापित कीजिए, √(108 + 13) = √(121) = 11। चरण 3: अगली बाहरी परत पर आगे बढ़िए, √(38 + 11) = √(49) = 7। चरण 4: अगली परत का मान ज्ञात कीजिए, √(57 + 7) = √(64) = 8। चरण 5: अंतिम वर्गमूल को हल कीजिए, √(8 + 8) = √(16) = 4।

व्याख्या

a + √b के रूप वाले व्यंजक का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए, हम बीजगणितीय सर्वसमिका (x + y)² = x² + y² + 2xy का उपयोग करते हैं। हम x² + y² = 14 और 2xy = 6√5 की पहचान करके दिए गए व्यंजक 14 + 6√5 को एक पूर्ण वर्ग के रूप में निरूपित करते हैं। दूसरे समीकरण से, xy = 3√5 प्राप्त होता है। हम x = 3 और y = √5 मानों का परीक्षण करते हैं। उनके वर्गों के योग की गणना करने पर x² + y² = 3² + (√5)² = 9 + 5 = 14 प्राप्त होता है। यह व्यंजक में परिमेय पद से मेल खाता है। परिणामस्वरूप, 14 + 6√5 को (3 + √5)² के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। (3 + √5)² का वर्गमूल लेने पर 3 + √5 प्राप्त होता है।

व्याख्या

2³¹ को 5 से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल की गणना करने के लिए, हम घात की चक्रीयता (power cyclicity) के गुण या यूलर के टोटिएंट प्रमेय (Euler's Totient Theorem) का उपयोग करते हैं। चूंकि 5 एक अभाज्य संख्या है, इसलिए टोटिएंट φ(5) = 5 - 1 = 4 है, जिसका अर्थ है कि 2⁴ ≡ 1 (mod 5) क्योंकि 2 और 5 सह-अभाज्य (coprime) हैं। हम घातांक 31 को इस चक्र की लंबाई 4 से विभाजित करके घात को पुनः लिख सकते हैं, जिससे 31 = (4 × 7) + 3 प्राप्त होता है। इस प्रकार व्यंजक 2³¹ = (2⁴)⁷ × 2³ हो जाता है। सर्वांगसमता (congruency) का मान रखने पर यह 1⁷ × 2³ (mod 5) हो जाता है, जो सरल होकर 1 × 8 = 8 हो जाता है। 8 को 5 से विभाजित करने पर शेषफल 3 बचता है। वैकल्पिक रूप से, 2ⁿ (mod 5) के लिए शेषफल के पैटर्न का अवलोकन करने पर 2, 4, 3 और 1 का एक आवर्ती अनुक्रम प्राप्त होता है। चूंकि 31 को 4 से भाग देने पर शेषफल 3 आता है, इसलिए शेषफल इस अनुक्रम के तीसरे मान के संगत होगा, जो कि 3 है।

व्याख्या

aⁿ के रूप में किसी भी व्यंजक का इकाई अंक केवल आधार a के इकाई अंक पर निर्भर करता है। व्यंजक 122¹⁷³ के लिए, आधार का इकाई अंक 2 है। 2 की घातों के इकाई अंक चार के एक आवर्ती चक्र का अनुसरण करते हैं: 2¹ = 2, 2² = 4, 2³ = 8, और 2⁴ = 16 (इकाई अंक 6)। यह चक्र (2, 4, 8, 6) प्रत्येक चार घातों के बाद दोहराता है। 122¹⁷³ का इकाई अंक निर्धारित करने के लिए, हम घातांक 173 को चक्र की लंबाई 4 से विभाजित करते हैं। गणना 173 = (43 × 4) + 1 से शेषफल 1 प्राप्त होता है। शेषफल 1 चक्र में पहले स्थान से मेल खाता है, जो कि 2 है।

व्याख्या

इस व्यंजक में दो भाग शामिल हैं जिन्हें मानक बीजगणितीय सर्वसमिकाओं और परिमेयकरण का उपयोग करके सरल किया जा सकता है। पहले दो पदों के लिए, हम सर्वसमिका (a+b)/(a-b) + (a-b)/(a+b) = 2(a² + b²){a² - b²} लागू करते हैं। a = 2 और b = √3 प्रतिस्थापित करने पर:

2 + √3{2 - √3} + 2 - √3{2 + √3} = 2(2² + (√3)²){2² - (√3)²} = (2(4 + 3))/(4 - 3) = ¹⁴⁄₁ = 14

तीसरे पद के लिए, हम अंश और हर दोनों को संयुग्मी (√3 + 1) से गुणा करके हर का परिमेयकरण करते हैं:

√3 + 1{√3 - 1} × √3 + 1{√3 + 1} = (√3 + 1)²{(√3)² - 1²} = 3 + 1 + 2√3{3 - 1} = 4 + 2√3{2} = 2 + √3

दोनों भागों के परिणामों को संयोजित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

14 + (2 + √3) = 16 + √3

व्याख्या

संक्रिया को a b = 2a + 3b - ab के रूप में परिभाषित किया गया है। (3 5 + 5^* 3) का मान ज्ञात करने के लिए, दिए गए सूत्र के आधार पर प्रत्येक पद का अलग-अलग मूल्यांकन करें।

पहले पद 3^* 5 के लिए, a = 3 और b = 5 प्रतिस्थापित करें: 3^* 5 = 2(3) + 3(5) - (3 × 5) 3^* 5 = 6 + 15 - 15 = 6

दूसरे पद 5^* 3 के लिए, a = 5 और b = 3 प्रतिस्थापित करें: 5^* 3 = 2(5) + 3(3) - (5 × 3) 5^* 3 = 10 + 9 - 15 = 4

दोनों संक्रियाओं के परिणामों को जोड़ने पर: 3 5 + 5 3 = 6 + 4 = 10

व्याख्या

दिया गया व्यंजक दो घनों के योग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का अनुसरण करता है: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)। इसे इस रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है:

(a³ + b³)/(a² - ab + b²) = a + b

दिए गए सरलीकरण प्रश्न में, माना a = 0.0347 और b = 0.9653 है। अंश a³ + b³ को दर्शाता है और हर द्विघात गुणनखंड a² - ab + b² को दर्शाता है। सर्वसमिका में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, संपूर्ण व्यंजक सीधे a और b के योग में सरल हो जाता है:

0.0347 + 0.9653 = 1.0000

व्यंजक की संरचना को एक मानक बीजगणितीय रूप के रूप में पहचानकर, जटिल दशमलव गुणा और भाग के बजाय एक साधारण जोड़ का उपयोग किया जाता है।

व्याख्या

एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र A = (√3/4) s² द्वारा दिया जाता है, जहाँ s त्रिभुज की भुजा है। दिए गए क्षेत्रफल का मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है: (√3/4) s² = 121√3। दोनों पक्षों को √3 से विभाजित करने और 4 से गुणा करने पर s² = 484 प्राप्त होता है, जिससे भुजा की लंबाई s = 22 सेमी मिलती है। तार की कुल लंबाई इस त्रिभुज के परिमाप के बराबर है, जो कि 3s = 3 × 22 = 66 सेमी है।

जब उसी तार को एक वृत्त के रूप में मोड़ा जाता है, तो परिधि 2π r तार की लंबाई के बराबर होनी चाहिए। π = 22/7 का उपयोग करते हुए, हम समीकरण 2 × 22/7 × r = 66 बनाते हैं। इसे सरल करने पर, हमें 44/7 r = 66 प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप r = (66 × 7)/(44) = (3 × 7)/(2) = 10.5 सेमी मिलता है। इसके बाद वृत्त का क्षेत्रफल सूत्र A = π r² का उपयोग करके निकाला जाता है। मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है: A = 22/7 × 21/2 × 21/2 = (11 × 3 × 21)/(2) = 693/2 = 346.5 सेमी²।

व्याख्या

जब एक ज्यामितीय ठोस को दूसरे रूप में बदला जाता है, तो कुल आयतन अपरिवर्तित रहता है। शंकु के आयतन की गणना सूत्र V = ⅓ π r² h का उपयोग करके की जाती है, और परिणामी गोले का आयतन V = ⁴⁄₃ π R³ होता है। यह देखते हुए कि शंकु की त्रिज्या r = 6 सेमी और ऊंचाई h = 24 सेमी है, हम दोनों आयतन के समीकरणों को बराबर करते हैं:

⅓ π (6)² (24) = ⁴⁄₃ π R³

दोनों पक्षों में स्थिरांक ⅓ और π समान हैं और इन्हें काटा जा सकता है, जिससे समीकरण सरल होकर निम्न रूप में आ जाता है:

36 × 24 = 4 R³

दोनों पक्षों को 4 से विभाजित करने पर:

R³ = 36 × 6 R³ = 216

216 का घनमूल लेने पर प्राप्त होता है:

R = ³√(216) = 6 सेमी

व्याख्या

मान लीजिए कि दो संख्याएँ 13x और 13y हैं, जहाँ x और y सह-अभाज्य (co-prime) पूर्णांक हैं। यह सुनिश्चित करता है कि उनका महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) 13 बना रहे। प्रश्न के अनुसार, इन दो संख्याओं का गुणनफल 2028 है:

13x × 13y = 2028 169xy = 2028 xy = ²⁰²⁸⁄₁₆₉ = 12

युग्मों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम 12 के उन गुणनखंड युग्मों की पहचान करते हैं जो एक-दूसरे के सह-अभाज्य हैं। 12 के लिए संभावित गुणनखंड युग्म हैं:

(1, 12): चूँकि HCF(1, 12) = 1 है, इसलिए ये सह-अभाज्य हैं। (2, 6): चूँकि HCF(2, 6) = 2 है, इसलिए ये सह-अभाज्य नहीं हैं। (3, 4): चूँकि HCF(3, 4) = 1 है, इसलिए ये सह-अभाज्य हैं।

(x, y) के लिए मान्य युग्म (1, 12) और (3, 4) हैं। परिणामस्वरूप, संख्याओं के ऐसे 2 युग्म हैं जो दी गई शर्तों को पूरा करते हैं।

व्याख्या

चूंकि दोनों बर्तनों का आयतन समान है, मान लेते हैं कि प्रत्येक बर्तन की क्षमता अनुपात के भागों के योग का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है। पहले बर्तन के लिए, योग 3 + 4 = 7 है। दूसरे बर्तन के लिए, योग 5 + 3 = 8 है। 7 और 8 का LCM 56 है। अतः, मान लें कि प्रत्येक बर्तन में 56 इकाई मिश्रण है।

पहले बर्तन में, पानी की मात्रा ³⁄₇ × 56 = 24 इकाई है और दूध की मात्रा ⁴⁄₇ × 56 = 32 इकाई है। दूसरे बर्तन में, पानी की मात्रा ⅝ × 56 = 35 इकाई है और दूध की मात्रा ⅜ × 56 = 21 इकाई है।

जब इन्हें एक तीसरे बर्तन में डाला जाता है, तो पानी की कुल मात्रा 24 + 35 = 59 इकाई हो जाती है और दूध की कुल मात्रा 32 + 21 = 53 इकाई हो जाती है। इसलिए, तीसरे बर्तन में पानी और दूध का अनुपात 59:53 है।

व्याख्या

माना पुत्र की वर्तमान आयु x वर्ष है। चूँकि पिता की आयु पुत्र की आयु की तीन गुनी है, इसलिए पिता की वर्तमान आयु 3x वर्ष है।

15 वर्ष बाद, पुत्र की आयु x + 15 होगी और पिता की आयु 3x + 15 होगी। प्रश्न के अनुसार, तब पिता की आयु पुत्र की आयु की दोगुनी होगी: 3x + 15 = 2(x + 15) 3x + 15 = 2x + 30 x = 15

पुत्र की वर्तमान आयु 15 वर्ष है, और पिता की वर्तमान आयु 3 × 15 = 45 वर्ष है। उनकी वर्तमान आयु का योग 15 + 45 = 60 वर्ष है।

व्याख्या

वह समयांतराल जिसके बाद तीनों घंटियाँ फिर से एक साथ बजेंगी, उनके व्यक्तिगत बजने के अंतरालों के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) द्वारा निर्धारित किया जाता है। दिए गए अंतराल 20, 30 और 40 मिनट हैं, हम अभाज्य गुणनखंडन का उपयोग करके उनका LCM ज्ञात करते हैं:

20 = 2² × 5 30 = 2 × 3 × 5 40 = 2³ × 5

LCM(20, 30, 40) = 2³ × 3 × 5 = 8 × 3 × 5 = 120 मिनट।

चूंकि एक घंटे में 60 मिनट होते हैं, इसलिए 120 मिनट 120 / 60 = 2 घंटे के बराबर है। घंटियाँ पहली बार सुबह 11 बजे एक साथ बजी थीं, इसलिए अगली बार वे 2 घंटे बाद एक साथ बजेंगी, जो कि दोपहर 1 बजे है।

व्याख्या

मान लीजिए कि कुल कार्य 60 इकाइयाँ है, जो 12 और 15 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है। A और B की संयुक्त कार्यक्षमता 60 / 12 = 5 इकाइयाँ प्रति दिन है, और B और C की संयुक्त कार्यक्षमता 60 / 15 = 4 इकाइयाँ प्रति दिन है। पहली कार्यक्षमता में से दूसरी कार्यक्षमता को घटाने पर (A + B) - (B + C) = 5 - 4 प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर A - C = 1 इकाई प्रति दिन प्राप्त होता है।

चूंकि A की कार्यक्षमता C की तुलना में दोगुनी है (A = 2C), हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं: 2C - C = 1, जिसका अर्थ है C = 1 इकाई प्रति दिन। B की कार्यक्षमता ज्ञात करने के लिए, हम B और C के समीकरण का उपयोग करते हैं: B + 1 = 4, जिससे B = 3 इकाइयाँ प्रति दिन प्राप्त होता है। अकेले B को कार्य पूरा करने के लिए आवश्यक समय कुल कार्य को B की कार्यक्षमता से विभाजित करने पर प्राप्त होता है, जो कि 60 / 3 = 20 दिन है।

व्याख्या

मान लीजिए कि कुल कार्य दी गई समय अवधियों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि LCM(12, 15, 20) = 60 इकाई है। प्रत्येक जोड़ी की दैनिक कार्य क्षमता की गणना कुल कार्य को लिए गए समय से विभाजित करके की जाती है। A और B की क्षमता 60 / 12 = 5 इकाई प्रति दिन है, B और C की क्षमता 60 / 15 = 4 इकाई प्रति दिन है, और C और A की क्षमता 60 / 20 = 3 इकाई प्रति दिन है। इन क्षमताओं को जोड़ने पर 2(A + B + C) = 5 + 4 + 3 = 12 इकाई प्रति दिन प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि A, B और C की संयुक्त क्षमता 12 / 2 = 6 इकाई प्रति दिन है। A, B और C द्वारा मिलकर कार्य को पूरा करने में लिया गया समय कुल कार्य को उनकी संयुक्त क्षमता से विभाजित करके निर्धारित किया जाता है: 60 / 6 = 10 दिन।

व्याख्या

माना B की कार्यक्षमता 2 इकाई/दिन है। चूंकि A की कार्यक्षमता B की कार्यक्षमता की 50% है, इसलिए A की कार्यक्षमता 1 इकाई/दिन है। प्रश्न के अनुसार, C, A और B द्वारा मिलकर किए गए कार्य का आधा कार्य करता है, इसलिए C की कार्यक्षमता (1 + 2)/(2) = 1.5 इकाई/दिन है। कुल कार्य की गणना C की कार्यक्षमता को उसके द्वारा अकेले कार्य पूरा करने में लिए गए समय से गुणा करके की जाती है। कुल कार्य = 1.5 × 20 = 30 इकाई। एक साथ कार्य करते हुए A, B और C की संयुक्त कार्यक्षमता 1 + 2 + 1.5 = 4.5 इकाई/दिन है। A, B और C द्वारा मिलकर कार्य को पूरा करने में लिया गया समय (30)/(4.5) है। अंश और हर को 10 से गुणा करने पर ³⁰⁰⁄₄₅ प्राप्त होता है। दोनों भागों को 15 से विभाजित करके इस भिन्न को सरल करने पर ²⁰⁄₃ दिन प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

पानी और ग्लिसरीन का प्रारंभिक अनुपात 1:3 है, जिससे कुल 1 + 3 = 4 भाग बनते हैं। चूंकि कुल आयतन 240 सीसी (cc) है, इसलिए एक भाग का आयतन 240 / 4 = 60 सीसी (cc) होगा। इसका अर्थ है कि मिश्रण में प्रारंभ में 60 सीसी पानी और 180 सीसी ग्लिसरीन है।

2:3 के नए अनुपात में, ग्लिसरीन की मात्रा अपरिवर्तित रहती है क्योंकि केवल पानी मिलाया जाता है। चूंकि नए अनुपात में भी ग्लिसरीन का हिस्सा 3 भाग है, और इसका आयतन 180 सीसी है, इसलिए नए अनुपात में एक भाग का मान 180 / 3 = 60 सीसी होगा। पानी के नए आयतन को 2 भागों द्वारा दर्शाया गया है, जो 2 × 60 = 120 सीसी के बराबर है। मिलाए गए पानी की मात्रा नए और पुराने आयतन का अंतर है: 120 सीसी - 60 सीसी = 60 सीसी।

वैकल्पिक रूप से, चूंकि ग्लिसरीन के भाग 3 पर स्थिर रहते हैं, इसलिए पानी में वृद्धि केवल 1 भाग से बढ़कर 2 भाग हो जाती है, जो कि 1 भाग की वृद्धि है। जैसा कि पहले निर्धारित किया गया है, 1 भाग 60 सीसी के बराबर है, इसलिए मिलाया गया पानी 60 सीसी है।

व्याख्या

माना माया और छाया की वर्तमान आयु क्रमशः 6x और 5x है। प्रश्न के अनुसार, अब से पंद्रह वर्ष बाद, उनकी आयु का अनुपात 9:8 होगा। हम इस भविष्य के अनुपात के आधार पर निम्नलिखित समीकरण बना सकते हैं:

(6x + 15)/(5x + 15) = 9/8

पदों का तिर्यक गुणन (cross-multiplying) करने पर:

8(6x + 15) = 9(5x + 15) 48x + 120 = 45x + 135

दोनों पक्षों से 45x और 120 घटाने पर:

3x = 15 x = 5

माया की वर्तमान आयु 6x है। x का मान रखने पर:

माया की आयु = 6 × 5 = 30 वर्ष

वैकल्पिक रूप से, अनुपात इकाई विधि (ratio unit method) का उपयोग करते हुए, माया (9 - 6 = 3) और छाया (8 - 5 = 3) दोनों के लिए अनुपात इकाइयों में वृद्धि समान है। 3 इकाइयों की यह वृद्धि बीते हुए 15 वर्षों के संगत है। इसलिए, 1 इकाई = 5 वर्ष। चूंकि माया की वर्तमान आयु 6 इकाई है, इसलिए उसकी आयु 6 × 5 = 30 वर्ष है।

व्याख्या

आय और व्यय का अनुपात 10:7 दिया गया है। चूंकि आय = व्यय + बचत, इसलिए अनुपात का बचत भाग 10 - 7 = 3 इकाई है। व्यय 10,500 रुपये दिया गया है, जो अनुपात में 7 इकाई के बराबर है। इसलिए, एक इकाई का मान 10,500 / 7 = 1,500 है। कुल बचत ज्ञात करने के लिए, हम बचत इकाइयों को प्रति इकाई मान से गुणा करते हैं: 3 × 1,500 = 4,500। इससे पुष्टि होती है कि परिवार की बचत 4,500 रुपये है।

व्याख्या

मिश्रण के नियम (rule of alligation) का उपयोग करते हुए, सेक्शन A में छात्रों की संख्या और सेक्शन B में छात्रों की संख्या का अनुपात, व्यक्तिगत सेक्शन के औसत और दोनों सेक्शन के संयुक्त औसत के बीच के निरपेक्ष अंतर (absolute differences) द्वारा निर्धारित किया जाता है।

अनुपात n_A : n_B = (संयुक्त_औसत - औसत_B) : (औसत_A - संयुक्त_औसत)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: अनुपात n_A : n_B = (74 - 70) : (77.5 - 74) अनुपात n_A : n_B = 4 : 3.5

इसे पूर्णांकों के अनुपात में बदलने के लिए, दोनों पदों को 2 से गुणा करें: n_A : n_B = 8 : 7

वैकल्पिक रूप से, इसे भारित औसत (weighted average) सूत्र का उपयोग करके हल किया जा सकता है जहाँ n_A और n_B प्रत्येक सेक्शन में छात्रों की संख्या को दर्शाते हैं: संयुक्त_औसत = (n_A × औसत_A + n_B × औसत_B)/(n_A + n_B) 74 = (77.5 n_A + 70 n_B)/(n_A + n_B) 74 (n_A + n_B) = 77.5 n_A + 70 n_B 74 n_A + 74 n_B = 77.5 n_A + 70 n_B 74 n_B - 70 n_B = 77.5 n_A - 74 n_A 4 n_B = 3.5 n_A (n_A)/(n_B) = (4)/(3.5) = ⁴⁰⁄₃₅ = ⁸⁄₇

व्याख्या

कुल वजन में परिवर्तन की गणना सही मान और गलत पढ़े गए मान के बीच का अंतर ज्ञात करके की जाती है, जो कि 87 - 78 = 9 किग्रा है। औसत में सुधार ज्ञात करने के लिए, इस अंतर को समूह में लड़कों की कुल संख्या से विभाजित किया जाता है: ⁹⁄₂₀ = 0.45 किग्रा। प्रारंभिक औसत में इस वृद्धि को जोड़कर सही औसत वजन प्राप्त किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप 89.4 + 0.45 = 89.85 किग्रा प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक पूरे चक्कर में पहिये द्वारा तय की गई दूरी उसकी परिधि C के बराबर होती है। वृत्त की परिधि का सूत्र C = π d है, जहाँ d व्यास है। d = 98 सेमी और π = ²²⁄₇ का उपयोग करने पर, परिधि है:

C = ²²⁄₇ × 98 = 22 × 14 = 308 सेमी

तय की जाने वाली कुल दूरी 1540 मीटर है। परिधि की इकाई से मिलान करने के लिए इस दूरी को सेंटीमीटर में बदलने पर, हमें प्राप्त होता है:

1540 मीटर = 1540 × 100 = 154000 सेमी

कुल दूरी D को तय करने के लिए आवश्यक चक्करों की संख्या n की गणना सूत्र n = (D)/(C) द्वारा की जाती है:

n = ¹⁵⁴⁰⁰⁰⁄₃₀₈ = 500

व्याख्या

एक समबाहु त्रिभुज ABC में, सभी भुजाएं 10 सेमी के बराबर होती हैं और सभी आंतरिक कोण 60 डिग्री होते हैं। चूंकि भुजा BC, D पर समत्रिभाजित होती है, इसलिए लंबाई BD, BC की एक-तिहाई है, जिससे BD = 10/3 सेमी प्राप्त होता है।

त्रिभुज ABD में कोसाइन का नियम (Law of Cosines) लागू करने पर: AD² = AB² + BD² - 2(AB)(BD) cos B

ज्ञात मानों AB = 10, BD = 10/3, और ∠ B = 60° को प्रतिस्थापित करने पर: AD² = 10² + (10/3)² - 2(10)(10/3) cos 60° AD² = 100 + 100/9 - 2(100/3)(1/2) AD² = 100 + 100/9 - 100/3

9 को लघुत्तम समापवर्त्य (common denominator) लेने पर: AD² = (900 + 100 - 300) / 9 AD² = 700 / 9

वर्गमूल लेने पर: AD = √(700/9) = 10√7 / 3

व्याख्या

जब छूट और लाभ दिए गए हों, तो अंकित मूल्य (MP) और क्रय मूल्य (CP) के बीच के संबंध को निम्नलिखित सूत्र द्वारा परिभाषित किया जाता है:

(MP)/(CP) = (100 + लाभ%)/(100 - छूट%)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ CP = 800 रुपये, लाभ% = 12.5, और छूट% = 10:

(MP)/(800) = (100 + 12.5)/(100 - 10)

(MP)/(800) = (112.5)/(90)

MP = ¹¹²⁵⁄₉₀₀ × 800

MP = ⁵⁄₄ × 800 = 5 × 200

MP = 1000

वैकल्पिक रूप से, पहले विक्रय मूल्य (SP) की गणना की जा सकती है। 12.5% के लाभ पर, SP = 800 × (1 + 12.5/100) = 800 × 1.125 = 900. चूंकि यह SP अंकित मूल्य पर 10% की छूट के बाद प्राप्त होता है, इसलिए 0.9 × MP = 900, जिससे MP = 1000 प्राप्त होता है।

व्याख्या

वस्तु का सूची मूल्य 1500 रुपये है। 20% की पहली छूट के बाद, घटे हुए मूल्य की गणना इस प्रकार की जाती है: पहली छूट के बाद मूल्य = 1500 × (1 - ²⁰⁄₁₀₀) = 1500 × 0.8 = 1200 रुपये

1104 रुपये के अंतिम शुद्ध मूल्य तक पहुँचने के लिए, इस 1200 रुपये पर एक अतिरिक्त छूट दी जानी चाहिए। आवश्यक अतिरिक्त छूट की राशि है: अतिरिक्त छूट की राशि = 1200 - 1104 = 96 रुपये

इस अतिरिक्त छूट की दर पहली छूट के बाद के मूल्य से छूट की राशि को विभाजित करके निर्धारित की जाती है: अतिरिक्त छूट का प्रतिशत = (⁹⁶⁄₁₂₀₀) × 100 = ⁹⁶⁄₁₂ = 8%

व्याख्या

दिए गए अनुपात (a)/(b) = (c)/(d) = (e)/(f) = k = 3 से, हम अंश के पदों को a = 3b, c = 3d, और e = 3f के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। इन संबंधों का वर्ग करने पर a² = 9b², c² = 9d², और e² = 9f² प्राप्त होता है। इन वर्ग मानों को अभीष्ट व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

(2a² + 3c² + 4e²)/(2b² + 3d² + 4f²) = (2(9b²) + 3(9d²) + 4(9f²))/(2b² + 3d² + 4f²)

अंश में प्रत्येक पद से 9 को उभयनिष्ठ (common) लेने पर, व्यंजक सरल होकर निम्न रूप में आ जाता है:

(9(2b² + 3d² + 4f²))/(2b² + 3d² + 4f²) = 9

यह परिणाम सामान्य बीजगणितीय गुणधर्म के अनुरूप है, जहाँ यदि (a)/(b) = (c)/(d) = (e)/(f) = k हो, तो (xaⁿ + ycⁿ + zeⁿ)/(xbⁿ + ydⁿ + zfⁿ) के रूप का कोई भी व्यंजक kⁿ के बराबर होगा। इस विशिष्ट प्रश्न में, k = 3 और n = 2 है, जिससे सीधे 3² = 9 प्राप्त होता है।

व्याख्या

पुताई किए जाने वाले कुल क्षेत्रफल में कमरे की चारों दीवारें और छत शामिल हैं। चारों दीवारों को दर्शाने वाले पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना सूत्र 2(l + w) × h का उपयोग करके की जाती है, जहाँ l लंबाई है, w चौड़ाई है, और h ऊंचाई है। दिए गए आयामों l = 4m, w = 3m, और h = 3m को प्रतिस्थापित करने पर, दीवारों का क्षेत्रफल 2(4 + 3) × 3 = 6 × 7 = 42m² है। छत का क्षेत्रफल फर्श के क्षेत्रफल के समान ही है, जिसकी गणना l × w = 4 × 3 = 12m² के रूप में की जाती है। इन मानों को जोड़ने पर, पुताई किया जाने वाला कुल क्षेत्रफल 42m² + 12m² = 54m² है।

व्याख्या

राजस्व, किसी वस्तु के मूल्य और बेची गई मात्रा का गुणनफल होता है (R = P × S)। जब दो कारकों का गुणा किया जाता है, तो उनके गुणनफल में शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन सूत्र x + y + ˣʸ⁄₁₀₀ द्वारा दिया जाता है, जहाँ x और y कारकों में प्रतिशत परिवर्तन हैं।

इस मामले में, मूल्य में परिवर्तन x = -20% (कमी) और बिक्री में परिवर्तन y = +80% (वृद्धि) है। इन मानों को सूत्र में रखने पर:

शुद्ध प्रभाव = -20 + 80 + ((-20 × 80))/(100)

शुद्ध प्रभाव = 60 - ¹⁶⁰⁰⁄₁₀₀

शुद्ध प्रभाव = 60 - 16 = 44%

वैकल्पिक रूप से, गुणक विधि का उपयोग करते हुए, यदि प्रारंभिक मूल्य और बिक्री दोनों 100 हैं, तो प्रारंभिक राजस्व 100 × 100 = 10,000 है। परिवर्तनों के बाद, नया मूल्य 80 है और नई बिक्री 180 है। नया राजस्व 80 × 180 = 14,400 हो जाता है। राजस्व में वृद्धि 14,400 - 10,000 = 4,400 है, जो मूल 10,000 पर 44% की वृद्धि है।

व्याख्या

जब व्यय स्थिर रहता है, तो मूल्य और खपत एक-दूसरे के व्युत्क्रमानुपाती होते हैं (E = P × C)। यदि किसी वस्तु की कीमत में r% की वृद्धि होती है, तो कुल व्यय को अपरिवर्तित रखने के लिए खपत में आवश्यक प्रतिशत कमी इस सूत्र द्वारा दी जाती है: (r)/(100 + r) × 100%।

दिए गए मान r = 20 को प्रतिस्थापित करने पर:

खपत में कमी = (20)/(100 + 20) × 100 खपत में कमी = ²⁰⁄₁₂₀ × 100 खपत में कमी = ⅙ × 100 = ⁵⁰⁄₃%

वैकल्पिक रूप से, मान लें कि प्रारंभिक मूल्य 100 है और प्रारंभिक खपत 100 इकाई है, जिससे कुल व्यय 10,000 हो जाता है। 20% की वृद्धि के बाद, नया मूल्य 120 हो जाता है। व्यय को 10,000 पर बनाए रखने के लिए, नई खपत (10,000)/(120) = ²⁵⁰⁄₃ इकाई होनी चाहिए। खपत में कमी = 100 - ²⁵⁰⁄₃ = (300 - 250)/(3) = ⁵⁰⁄₃% है।

व्याख्या

माना कारखाने में कर्मचारियों की कुल संख्या x है। प्रश्न के अनुसार, इन कर्मचारियों में से 60% कर्मचारी 30 वर्ष से अधिक आयु के हैं। इस विशिष्ट समूह में से, 75% पुरुष हैं। चूंकि 30 वर्ष से अधिक आयु के पुरुष कर्मचारियों की कुल संख्या 1350 है, हम निम्नलिखित रैखिक समीकरण बना सकते हैं:

x × ⁶⁰⁄₁₀₀ × ⁷⁵⁄₁₀₀ = 1350

x का मान ज्ञात करने के लिए, प्रतिशत को भिन्नों में सरल करें: x × ⅗ × ¾ = 1350 x × ⁹⁄₂₀ = 1350

अब, भिन्न के व्युत्क्रम से दोनों पक्षों को गुणा करके x को अलग करें: x = (1350 × 20)/(9) x = 150 × 20 x = 3000

व्याख्या

चूंकि दूरी स्थिर है, इसलिए गति और समय एक-दूसरे के व्युत्क्रमानुपाती होते हैं (S ∝ 1/T)। जब गति सामान्य गति की 3/4 होती है, तो लिया गया समय उसका व्युत्क्रम हो जाता है, जो कि सामान्य समय का 4/3 है।

माना सामान्य समय T है। प्रश्न के अनुसार, व्यक्ति 1 ½ घंटे देरी से पहुँचता है, जिसका अर्थ है कि नए समय और सामान्य समय के बीच का अंतर 1.5 घंटे है।

⁴⁄₃T - T = 1.5

⅓T = 1.5

T = 1.5 × 3 = 4.5

सामान्य समय 4.5 घंटे, 4 ½ घंटे के बराबर है।

व्याख्या

माना एक संतरे का क्रय मूल्य (CP) x है। प्रश्न के अनुसार, 10 संतरों का विक्रय मूल्य (SP), 13 संतरों के क्रय मूल्य के बराबर है, जो कि 13x है। लाभ या हानि ज्ञात करने के लिए, हम वस्तुओं की समान मात्रा के लिए मूल्यों की तुलना करते हैं। 10 संतरों का क्रय मूल्य 10x है।

लाभ की गणना विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य के बीच के अंतर के रूप में की जाती है: लाभ = 10 संतरों का SP - 10 संतरों का CP = 13x - 10x = 3x.

लाभ प्रतिशत की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: लाभ % = (लाभ)/(क्रय मूल्य) × 100 लाभ % = ³ˣ⁄₁₀ₓ × 100 = ³⁄₁₀ × 100 = 30%.

वैकल्पिक रूप से, जब n वस्तुओं का विक्रय मूल्य m वस्तुओं के क्रय मूल्य के बराबर होता है, तो लाभ प्रतिशत (m - n)/(n) × 100 द्वारा दिया जाता है। m = 13 और n = 10 रखने पर (13 - 10)/(10) × 100 = 30% प्राप्त होता है।

व्याख्या

क्रय मूल्य (CP) और अंकित मूल्य (MP) के बीच संबंध सूत्र (CP)/(MP) = (100 - D%)/(100 + P%) द्वारा दिया गया है, जहाँ D छूट प्रतिशत है और P लाभ प्रतिशत है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: (CP)/(MP) = (100 - 10)/(100 + 8) = ⁹⁰⁄₁₀₈। अंश और हर दोनों को 18 से विभाजित करके इस अनुपात को सरल करने पर, हमें प्राप्त होता है: (CP)/(MP) = ⅚।

यदि कोई छूट नहीं दी जाती है, तो वस्तु को उसके अंकित मूल्य पर बेचा जाता है, जिससे नया विक्रय मूल्य (SP), MP के बराबर हो जाता है। अनुपात का उपयोग करते हुए, हम CP को 5 इकाई और नए SP को 6 इकाई मान सकते हैं। इस स्थिति में अर्जित लाभ SP - CP = 6 - 5 = 1 इकाई है। इसके बाद लाभ प्रतिशत की गणना इस प्रकार की जाती है: ((लाभ)/(CP)) × 100 = (⅕) × 100 = 20%। प्रतिशत परिवर्तन निर्धारित करने के लिए अंकित मूल्य के वास्तविक मान की आवश्यकता नहीं है।

व्याख्या

20 सेबों का विक्रय मूल्य (SP) 1000 रुपये है, जिसका अर्थ है कि प्रति सेब का विक्रय मूल्य 1000 / 20 = 50 है। चूंकि 20% का लाभ होता है, इसलिए प्रति सेब का क्रय मूल्य (CP) सूत्र CP = (SP)/(1 + gain){100} का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है। मान रखने पर, प्रति सेब का CP = (50)/(1.2) = ⁵⁰⁰⁄₁₂ प्राप्त होता है। 1000 रुपये में खरीदे गए सेबों की संख्या ज्ञात करने के लिए, कुल राशि को प्रति सेब के क्रय मूल्य से विभाजित करें: 1000 / ⁵⁰⁰⁄₁₂ = (1000 × 12)/(500) = 2 × 12 = 24.

उन समस्याओं के लिए एक तेज़ शॉर्टकट, जहाँ कुल लेनदेन राशि (1000 रुपये) स्थिर रहती है, मूल्य और मात्रा के बीच व्युत्क्रमानुपाती संबंध का उपयोग करना है। यदि लाभ 20% है, तो प्रति इकाई विक्रय मूल्य का क्रय मूल्य से अनुपात 120:100 या 6:5 है। परिणामस्वरूप, समान कुल लागत बनाए रखने के लिए खरीदी गई मात्रा का बेची गई मात्रा से अनुपात 6:5 होना चाहिए। मान लीजिए खरीदी गई मात्रा x है। तो x / 20 = 6 / 5, जिसे हल करने पर x = 24 प्राप्त होता है।

व्याख्या

जब लंबाई L = 40 सेमी और चौड़ाई W = 15 सेमी वाली एक आयताकार शीट के कोनों से भुजा x = 4 सेमी के वर्ग काटे जाते हैं, तो बनने वाले खुले बॉक्स की विमाएँ मूल विमाओं में से वर्ग की भुजा के दोगुने को घटाकर निर्धारित की जाती हैं। नई लंबाई l = 40 - 2(4) = 32 सेमी हो जाती है, और नई चौड़ाई w = 15 - 2(4) = 7 सेमी हो जाती है। बॉक्स की ऊंचाई h हटाए गए वर्ग की भुजा के बराबर होती है, जो कि 4 सेमी है। आयताकार बॉक्स के आयतन V की गणना सूत्र V = l × w × h का उपयोग करके की जाती है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें V = 32 सेमी × 7 सेमी × 4 सेमी = 896 सेमी³ प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिया गया अनुपात 1 : ⅓ : ⅙ है। इसे एक सरल पूर्ण-संख्या अनुपात में बदलने के लिए, प्रत्येक पद को हरों के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से गुणा करें, जो कि 6 है। यह गणना 1 × 6 : ⅓ × 6 : ⅙ × 6 प्रदान करती है, जिसके परिणामस्वरूप 6 : 2 : 1 का अनुपात प्राप्त होता है।

अनुपात के भागों का कुल योग 6 + 2 + 1 = 9 है। 78 की पूरी मात्रा को इन 9 भागों में विभाजित किया गया है। एक एकल भाग का मान ⁷⁸⁄₉ के रूप में परिकलित किया जाता है, जो सरल होकर ²⁶⁄₃ हो जाता है।

मध्य भाग अनुपात के दूसरे पद से मेल खाता है, जो कि 2 है। इसलिए, मध्य भाग का मान 2 × ²⁶⁄₃ = ⁵²⁄₃ है। इस अनुचित भिन्न को मिश्रित संख्या में बदलने पर 17 ⅓ प्राप्त होता है।

व्याख्या

साधारण ब्याज का सूत्र SI = (P × R × T)/(100) है, जहाँ P मूलधन है, R वार्षिक ब्याज दर है, और T वर्षों में समय है। प्रश्न के अनुसार, साधारण ब्याज मूलधन का एक-नौवां हिस्सा है, इसलिए SI = (P)/(9) है। इसके अतिरिक्त, वर्षों की संख्या वार्षिक ब्याज दर प्रतिशत के बराबर है, इसलिए T = R है।

इन मानों को मानक सूत्र में रखने पर: (P)/(9) = (P × R × R)/(100)

दोनों पक्षों को P से विभाजित करने पर, समीकरण इस प्रकार सरल हो जाता है: ⅑ = (R²)/(100)

R² का मान ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर: R² = ¹⁰⁰⁄₉

R का मान ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: R = √(¹⁰⁰⁄₉) = ¹⁰⁄₃

अतः, वार्षिक ब्याज दर ¹⁰⁄₃% है।

व्याख्या

2 वर्ष की अवधि के लिए, चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच का अंतर सूत्र D = P × ((R)/(100))² द्वारा दिया जाता है, जहाँ D अंतर है, P मूलधन है, और R वार्षिक ब्याज दर है।

दिया गया है कि D = 48 और R = 20, हम इन मानों को सूत्र में रखते हैं: 48 = P × (²⁰⁄₁₀₀)²

भिन्न को सरल करने पर: 48 = P × (⅕)² 48 = P × ¹⁄₂₅

P का मान ज्ञात करने पर: P = 48 × 25 = 1200

प्रभावी ब्याज दर विधि का उपयोग करते हुए, 20% की दर से 2 वर्षों का साधारण ब्याज 20% × 2 = 40% है। 2 वर्षों के लिए प्रभावी चक्रवृद्धि ब्याज की गणना x + y + ˣʸ⁄₁₀₀ के रूप में की जाती है, जिससे 20 + 20 + (20 × 20)/(100) = 44% प्राप्त होता है। दोनों दरों के बीच का अंतर 44% - 40% = 4% है। चूँकि धनराशि का 4%, 48 रुपये के बराबर है, इसलिए कुल धनराशि ⁴⁸⁄₄ × 100 = 1200 है।

व्याख्या

तय की गई दूरी D की गणना गति, दूरी और समयांतराल के बीच के संबंध का उपयोग करके की जा सकती है। जब कोई वस्तु दो अलग-अलग गतियों v₁ और v₂ पर यात्रा करती है जिसके परिणामस्वरूप कुल समयांतराल Δ t होता है, तो दूरी सूत्र D = v₁ × v₂ / |v₁ - v₂| × Δ t द्वारा दी जाती है।

इस प्रश्न में, दो गतियाँ v₁ = 30 किमी/घंटा और v₂ = 24 किमी/घंटा हैं। समयांतराल Δ t, 6 मिनट पहले और 5 मिनट देरी का योग है, जो कि 6 + 5 = 11 मिनट है। इकाइयों को किमी/घंटा के अनुरूप रखने के लिए, समयांतराल को घंटों में परिवर्तित किया जाना चाहिए: Δ t = ¹¹⁄₆₀ घंटे।

सूत्र में इन मानों को रखने पर: D = (30 × 24)/(30 - 24) × ¹¹⁄₆₀ D = ⁷²⁰⁄₆ × ¹¹⁄₆₀ D = 120 × ¹¹⁄₆₀ D = 2 × 11 = 22 किमी

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र A = P(1 + r)ᵗ है, जहाँ A अंतिम मिश्रधन है, P मूलधन है, r ब्याज की दर है, और t वर्षों में समय है। पहली शर्त के अनुसार, धनराशि 3 वर्षों में आठ गुनी हो जाती है, जिसे 8P = P(1 + r)³ के रूप में व्यक्त किया जाता है। दोनों पक्षों को P से विभाजित करने पर 8 = (1 + r)³ प्राप्त होता है। चूंकि 8 = 2³ है, इसलिए हम 2³ = (1 + r)³ लिख सकते हैं, जो सरल होकर 1 + r = 2 हो जाता है।

धनराशि को सोलह गुना होने के लिए आवश्यक समय ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण 16P = P(1 + r)ᵗ बनाते हैं। इस समीकरण में पहले से निर्धारित मान 1 + r = 2 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 16 = 2ᵗ प्राप्त होता है। चूंकि 16 का मान 2⁴ होता है, इसलिए समीकरण 2⁴ = 2ᵗ बन जाता है। घातों की तुलना करने पर, हम यह निर्धारित करते हैं कि t = 4 वर्ष है।

व्याख्या

समीकरण √(1 + ˣ⁄₉) = ¹³⁄₃ को हल करने के लिए, करणी चिह्न को हटाने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग करने से शुरू करें:

1 + ˣ⁄₉ = (¹³⁄₃)²

दाहिनी ओर के भिन्न का वर्ग करने पर:

1 + ˣ⁄₉ = ¹⁶⁹⁄₉

इसके बाद, चर पद को अलग करने के लिए दोनों पक्षों से 1 घटाएं। 1 को ⁹⁄₉ के रूप में दर्शाने से भिन्नों को सीधे घटाया जा सकता है:

ˣ⁄₉ = ¹⁶⁹⁄₉ - ⁹⁄₉ ˣ⁄₉ = ¹⁶⁰⁄₉

अंत में, x का मान ज्ञात करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों को 9 से गुणा करें:

x = ¹⁶⁰⁄₉ × 9 x = 160

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (x + y)² = x² + y² + 2xy का उपयोग करके, दो संख्याओं x और y के वर्गों का योग सूत्र x² + y² = (x + y)² - 2xy का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है। दिया गया है कि योग x + y = 24 और गुणनफल xy = 143 है, इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर x² + y² = 24² - 2(143) प्राप्त होता है। चूंकि 24² = 576 और 2 × 143 = 286 है, इसलिए गणना 576 - 286 = 290 हो जाती है।

व्याख्या

व्यंजक 5⁷¹ + 5⁷² + 5⁷³ को आधार की सबसे छोटी घात, जो कि 5⁷¹ है, को उभयनिष्ठ लेकर सरल किया जा सकता है:

5⁷¹ + 5⁷² + 5⁷³ = 5⁷¹(5⁰ + 5¹ + 5²)

कोष्ठक के भीतर के पदों को सरल करने पर: 5⁷¹(1 + 5 + 25) = 5⁷¹ × 31

दिए गए विकल्पों में से भाजक ज्ञात करने के लिए, हम 5⁷¹ में से 5 का एक गुणनखंड लेकर उसे 31 से गुणा कर सकते हैं: 5⁷⁰ × 5¹ × 31 = 5⁷⁰ × 155

चूंकि 155, गुणनफल 5⁷⁰ × 155 का एक गुणनखंड है, इसलिए कुल योग 155 से पूर्णतः विभाज्य है।

व्याख्या

मान लीजिए कि दो संख्याएँ 10a और 10b हैं, जहाँ a और b सह-अभाज्य (co-prime) पूर्णांक हैं क्योंकि उनका महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) 10 दिया गया है। 10a और 10b का लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) 10ab है। चूँकि लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) 120 दिया गया है, इसलिए हमारे पास 10ab = 120 है, जिसे सरल करने पर ab = 12 प्राप्त होता है।

a और b के संभावित मान ज्ञात करने के लिए, हम 12 के ऐसे गुणनखंडों के युग्मों को देखते हैं जो सह-अभाज्य हैं। संभावित सह-अभाज्य युग्म (a, b) क्रमशः (1, 12) और (3, 4) हैं। यदि हम युग्म (3, 4) लेते हैं, तो वास्तविक संख्याएँ 10 × 3 = 30 और 10 × 4 = 40 होंगी। इन दोनों संख्याओं का योग 30 + 40 = 70 है। यह दिए गए विकल्पों में से एक से मेल खाता है।

व्याख्या

शेषफल के गुणधर्म के अनुसार, यदि किसी संख्या n को भाजक d से विभाजित करने पर शेषफल r प्राप्त होता है, तो n² को d से विभाजित करने पर वही शेषफल प्राप्त होता है जो r² को d से विभाजित करने पर प्राप्त होता है। इस स्थिति में, n ≡ 2 5 है। सर्वांगसमता के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर n² ≡ 2² 5 प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर n² ≡ 4 5 प्राप्त होता है। इसे n को n = 5k + 2 के रूप में व्यक्त करके भी सत्यापित किया जा सकता है। इस व्यंजक का वर्ग करने पर n² = (5k + 2)² = 25k² + 20k + 4 प्राप्त होता है। चूंकि पद 25k² और 20k, 5 के गुणज हैं, इसलिए संपूर्ण व्यंजक 5(5k² + 4k) + 4 को 5 से विभाजित करने पर 4 शेषफल बचता है।

व्याख्या

माना संख्या x है। छात्र की गणना के अनुसार, संख्या में 12 जोड़ने और फिर उसे 6 से भाग देने पर 112 प्राप्त हुआ। इसे समीकरण (x + 12)/(6) = 112 द्वारा दर्शाया गया है।

दोनों पक्षों को 6 से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है: x + 12 = 112 × 6 = 672 x = 672 - 12 = 660

मूल निर्देश संख्या को 6 से भाग देने और भागफल में 12 जोड़ने का था। इस सही क्रम में x = 660 का मान रखने पर: ˣ⁄₆ + 12 = ⁶⁶⁰⁄₆ + 12 110 + 12 = 122

व्याख्या

धावक पहली बार प्रारंभिक बिंदु पर उस समय मिलेंगे जो उनके व्यक्तिगत चक्कर के समय का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) होगा। दिए गए चक्कर के समय 200, 300, 360 और 450 सेकंड हैं।

LCM(200, 300, 360, 450) ज्ञात करने के लिए, हम अभाज्य गुणनखंडन का उपयोग करते हैं: 200 = 2³ × 5² 300 = 2² × 3¹ × 5² 360 = 2³ × 3² × 5¹ 450 = 2¹ × 3² × 5²

LCM सभी संख्याओं में उपस्थित सभी अभाज्य गुणनखंडों की उच्चतम घातों का गुणनफल होता है: LCM = 2ᵐᵃˣ⁽³^,²^,³^,¹⁾ × 3ᵐᵃˣ⁽⁰^,¹^,²^,²⁾ × 5ᵐᵃˣ⁽²^,²^,¹^,²⁾ LCM = 2³ × 3² × 5² LCM = 8 × 9 × 25 LCM = 1800