एसएससी सीजीएल टियर 1 2011 सामान्य बुद्धि एवं तर्क प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

अक्षरों के पहले दो समूहों के बीच का संबंध अंग्रेजी वर्णमाला में उनके स्थान परिवर्तन पर आधारित है। दूसरे समूह के संगत अक्षर को प्राप्त करने के लिए पहले समूह के प्रत्येक अक्षर को 12 स्थान आगे बढ़ाया जाता है:

C(3) + 12 = 15 (O) F(6) + 12 = 18 (R) I(9) + 12 = 21 (U) L(12) + 12 = 24 (X)

तीसरे समूह (GDJM) पर भी यही तर्क लागू करने पर, हमें चौथे समूह के अक्षर प्राप्त होते हैं। अक्षरों के संख्यात्मक स्थानों का उपयोग करने पर:

G(7) + 12 = 19 (S) D(4) + 12 = 16 (P) J(10) + 12 = 22 (V) M(13) + 12 = 25 (Y)

परिणामी अक्षर P, S, V और Y हैं। विकल्पों में दिए गए क्रम के अनुसार इन्हें व्यवस्थित करने पर PSVY प्राप्त होता है।

व्याख्या

अक्षर समूहों के पहले युग्म, BEHK और YVSP के बीच का संबंध अंग्रेजी वर्णमाला में विपरीत अक्षरों की अवधारणा पर आधारित है। दो अक्षरों को विपरीत माना जाता है यदि वर्णमाला के प्रारंभ और अंत से उनके स्थानों का योग 27 हो। BEHK के लिए, स्थान B=2, E=5, H=8 और K=11 हैं। उनके विपरीत अक्षर Y (27 - 2 = 25), V (27 - 5 = 22), S (27 - 8 = 19) और P (27 - 11 = 16) हैं, जिससे YVSP बनता है।

इसी तर्क को DGJM पर लागू करने पर, जहाँ स्थान D=4, G=7, J=10 और M=13 हैं: D (4) का विपरीत 27 - 4 = 23 है, जो कि W है। G (7) का विपरीत 27 - 7 = 20 है, जो कि T है। J (10) का विपरीत 27 - 10 = 17 है, जो कि Q है। M (13) का विपरीत 27 - 13 = 14 है, जो कि N है। इन परिणामों को मिलाने पर WTQN अनुक्रम प्राप्त होता है।

व्याख्या

संख्याओं के पहले युग्म के बीच का संबंध एक स्थिर गुणक द्वारा स्थापित होता है। दूसरे पद को पहले पद से विभाजित करने पर, हमें अनुपात प्राप्त होता है: 60 / 24 = 2.5। दूसरे युग्म में लुप्त संख्या ज्ञात करने के लिए, तीसरे पद पर भी वही गुणक लागू किया जाना चाहिए: 120 × 2.5 = 300। इसे एक अनुपात के रूप में भी देखा जा सकता है जहाँ 24 : 60 सरल होकर 2 : 5 हो जाता है। इस अनुपात को दूसरे सेट पर लागू करने पर, यदि 2 इकाइयाँ 120 को दर्शाती हैं, तो 1 इकाई 60 को दर्शाती है, और 5 इकाइयाँ 60 × 5 = 300 को दर्शाती हैं।

व्याख्या

यह संबंध x : y के पैटर्न का अनुसरण करता है, जहाँ y = 2 √(x / 2) है। इसे पहले युग्म पर लागू करने पर, हम 392 को 2 से विभाजित करते हैं जिससे 196 प्राप्त होता है। 196 का वर्गमूल 14 है, और इसे 2 से गुणा करने पर दूसरी संख्या 28 प्राप्त होती है।

392 → 392 / 2 = 196 → √(196) = 14 → 14 × 2 = 28

इसी तर्क को 722 पर लागू करने पर, हम 722 को 2 से विभाजित करते हैं जिससे 361 प्राप्त होता है। 361 का वर्गमूल 19 है, और इसे 2 से गुणा करने पर परिणाम 38 प्राप्त होता है।

722 → 722 / 2 = 361 → √(361) = 19 → 19 × 2 = 38

व्याख्या

संख्याओं के बीच का संबंध पहली संख्या के अंकों के योग के वर्ग पर आधारित है। पहली जोड़ी के लिए, 123 के अंकों का योग 1 + 2 + 3 = 6 है, और इस योग का वर्ग करने पर 6² = 36 प्राप्त होता है। इसी पैटर्न को दूसरी जोड़ी पर लागू करने पर, 221 के अंकों का योग 2 + 2 + 1 = 5 है। इस परिणाम का वर्ग करने पर 5² = 25 प्राप्त होता है।

व्याख्या

इस सादृश्यता में स्थापित संबंध एक जानवर और लोककथाओं तथा साहित्य में उसके सबसे सामान्य रूप से माने जाने वाले चारित्रिक गुण के बीच है। इस संदर्भ में, गधे को पारंपरिक रूप से डरपोक या दब्बू होने से जोड़ा जाता है। इसी तर्क का अनुसरण करते हुए, लोमड़ी वह जानवर है जिसे सार्वभौमिक रूप से उसकी चालाकी, धूर्तता और कपट के लिए जाना जाता है। यह रूपक संबंध नीति-कथाओं (fables) और मुहावरों में इस्तेमाल की जाने वाली एक मानक परंपरा है, जिसके माध्यम से जानवरों के प्रतीकों द्वारा विशिष्ट मानवीय व्यक्तित्व लक्षणों को दर्शाया जाता है।

व्याख्या

पहले युग्म के शब्दों के बीच का संबंध विलोम शब्दों का है। परमानंद (Ecstasy) का तात्पर्य अत्यधिक खुशी या हर्षोल्लास की स्थिति से है, जबकि उदासी (Gloom) का तात्पर्य अवसाद या निराशा की स्थिति से है। इसी प्रकार, अपमान (Humiliation) और गौरव (Exaltation) एक-दूसरे के विपरीत हैं। अपमान में सम्मान, आत्म-सम्मान या गरिमा की हानि शामिल है, जबकि गौरव का तात्पर्य किसी को पद या शक्ति में ऊपर उठाने की क्रिया, या अत्यधिक खुशी और गर्व की स्थिति से है। चूंकि दोनों युग्मों में परस्पर विपरीत अर्थ वाले शब्द शामिल हैं, इसलिए दूसरा युग्म पहले युग्म के समान ही तार्किक सादृश्य बनाए रखता है।

व्याख्या

यह सादृश्य एक पेशेवर और उनके शिल्प के अंतिम उत्पाद के संबंध का अनुसरण करता है। एक वास्तुकार एक विशेषज्ञ होता है जो किसी भवन के निर्माण का डिज़ाइन और योजना तैयार करता है। इसी प्रकार, एक मूर्तिकार एक कलाकार होता है जो त्रि-आयामी आकृति या कलाकृति बनाने के लिए पत्थर, मिट्टी या धातु जैसी सामग्रियों को तराशता या ढालता है। दिया गया शब्द उस भौतिक रूप या कलात्मक रचना का प्रतिनिधित्व करता है जो मूर्तिकार के श्रम का परिणाम है।

व्याख्या

अक्षर समूहों MKQO और LNPR के बीच का संबंध अंग्रेजी वर्णमाला में प्रत्येक संबंधित अक्षर के लिए एक विशिष्ट संख्यात्मक बदलाव (शिफ्ट) पर आधारित है। विशेष रूप से, M - 1 = L, K + 3 = N, Q - 1 = P, और O + 3 = R। XVTZ से पहले आने वाले अक्षरों को खोजने के लिए -1, +3, -1, +3 के इसी पैटर्न को लागू करते हुए, हम मूल अक्षरों की गणना इस प्रकार करते हैं: Y - 1 = X, S + 3 = V, U - 1 = T, और W + 3 = Z। इन परिणामों को एक साथ मिलाने पर अनुक्रम YSUW प्राप्त होता है।

व्याख्या

इस समूह में अक्षर समूह एक विशिष्ट वर्णानुक्रमिक प्रगति का अनुसरण करते हैं जहाँ क्रमागत अक्षरों के बीच का अंतर क्रमशः +1, +2 और +2 है। BCQN विषम है क्योंकि यह इस पैटर्न से विचलित होता है। BCQN में, वर्णानुक्रमिक स्थान B(2), C(3), Q(17) और N(14) हैं। इसके परिणामस्वरूप स्थान वृद्धि क्रमशः +1 (B से C), +14 (C से Q) और -3 (Q से N) होती है, जो अन्य विकल्पों में पाए जाने वाले समान +1, +2, +2 के तर्क के अनुरूप नहीं है।

व्याख्या

दिए गए अक्षर समूहों में, पैटर्न में क्रमागत अक्षरों के दो सेट शामिल हैं। पहले तीन विकल्पों में, पहले दो अक्षर वर्णमाला के क्रम में क्रमागत हैं, और अंतिम दो अक्षर भी वर्णमाला के क्रम में क्रमागत हैं। विशेष रूप से, ये युग्म A-B और Y-Z, C-D और W-X, तथा E-F और U-V हैं। हालाँकि, GHTV में, जहाँ पहले दो अक्षर G-H क्रमागत हैं, वहीं अंतिम दो अक्षर T और V क्रमागत नहीं हैं, क्योंकि T वर्णमाला का 20वाँ अक्षर है और V 22वाँ अक्षर है। दूसरे युग्म के आंतरिक अनुक्रम में यह अंतर इस समूह को अन्य से भिन्न (विषम) बनाता है।

व्याख्या

मान 841 एक पूर्ण वर्ग है, क्योंकि यह 29 × 29 का गुणनफल है। समूह में दी गई अन्य संख्याएँ इस गुण को साझा नहीं करती हैं और इसके बजाय n² + 1 के एक समान पैटर्न का अनुसरण करती हैं। उदाहरण के लिए, 626 को 25² + 1 से प्राप्त किया गया है, जहाँ 25² = 625 है। इसी प्रकार, 962, 31² = 961 के आधार पर 31² + 1 है, और 1090, 33² = 1089 के आधार पर 33² + 1 है। चूंकि 841 एकमात्र ऐसी संख्या है जो बिना किसी वृद्धि के एक पूर्णांक का सटीक वर्ग है, इसलिए यह शेष संख्याओं द्वारा साझा की जाने वाली सामान्य गणितीय विशेषता के अनुकूल नहीं है।

व्याख्या

संख्या 4270 विषम है क्योंकि इसके अंकों का योग 13 है (4 + 2 + 7 + 0 = 13)। दी गई अन्य संख्याओं में, अंकों का योग लगातार 14 है, जैसा कि 5 + 7 + 2 + 0 = 14, 6 + 7 + 1 + 0 = 14, और 2 + 6 + 6 + 0 = 14 में देखा जा सकता है। अंकों के योग में यह अंतर 4270 को शेष समूह से अलग करता है।

व्याख्या

ड्राइविंग विषम है क्योंकि यह एक भूमि-आधारित गतिविधि है जिसमें ठोस सतह पर मोटर वाहन का संचालन शामिल है। यह अन्य विकल्पों से भिन्न है क्योंकि यह जल माध्यम में या जल की सतह पर नहीं की जाती है।

व्याख्या

बोध (Perception), विवेक (Discernment) और तीक्ष्णता (Penetration) सभी मानसिक तीक्ष्णता, अंतर्दृष्टि या किसी चीज़ को स्पष्ट रूप से समझने की क्षमता को दर्शाने वाले पर्यायवाची शब्द हैं। कटाक्ष (Insinuation) इनमें से भिन्न है क्योंकि यह एक अप्रत्यक्ष, आमतौर पर नकारात्मक, संकेत या सुझाव को संदर्भित करता है।

व्याख्या

दिए गए समूह (4, 25, 81) की सभी संख्याएँ पूर्णांकों के पूर्ण वर्ग हैं, विशेष रूप से 2² = 4, 5² = 25, और 9² = 81। समूह (16, 64, 100) भी इसी गणितीय स्वरूप (पैटर्न) का अनुसरण करता है, क्योंकि इसका प्रत्येक तत्व एक पूर्ण वर्ग है: 4² = 16, 8² = 64, और 10² = 100।

व्याख्या

यह श्रृंखला एक ऐसे नियम का पालन करती है जहाँ लगातार पदों के बीच छोड़े गए अक्षरों की संख्या में एक की वृद्धि होती है। मान लीजिए कि Pₙ अंग्रेजी वर्णमाला में n-वें अक्षर का स्थान है। इस श्रृंखला में अक्षरों के वर्णमाला स्थान P₁ = 1 (A), P₂ = 3 (C), P₃ = 6 (F), P₄ = 10 (J), P₅ = 15 (O), और P₆ = 21 (U) हैं। पदों के बीच छोड़े गए अक्षरों की संख्या की गणना सूत्र Sₙ = Pₙ₊₁ - Pₙ - 1 द्वारा की जाती है। इसे अनुक्रम पर लागू करने पर परिणाम प्राप्त होता है: S₁ = 3 - 1 - 1 = 1 अक्षर छोड़ा गया (B), S₂ = 6 - 3 - 1 = 2 अक्षर छोड़े गए (D, E), S₃ = 10 - 6 - 1 = 3 अक्षर छोड़े गए (G, H, I), S₄ = 15 - 10 - 1 = 4 अक्षर छोड़े गए (K, L, M, N), और S₅ = 21 - 15 - 1 = 5 अक्षर छोड़े गए (P, Q, R, S, T)। छोड़े गए अक्षरों का अनुक्रम 1, 2, 3, 4, 5 एक सुसंगत समांतर श्रेणी का अनुसरण करता है।

व्याख्या

यह क्रम जल प्रवाह की तार्किक प्रगति और जल निकायों के बढ़ते आकार का अनुसरण करता है। एक हिमनद (4) पिघलने पर मीठे पानी के प्राथमिक स्रोत के रूप में कार्य करता है। यह पिघला हुआ पानी सबसे पहले एक सरिता (2) बनाता है, जो कि एक बहुत छोटी जलधारा होती है। जैसे-जैसे कई सरिताएँ और जलधाराएँ आपस में मिलती हैं, वे एक बड़ी नदी (5) का निर्माण करती हैं। नदी अंततः अपना पानी एक समुद्र (3) में विसर्जित करती है, जो खारे पानी का एक बड़ा निकाय होता है। अंत में, कई समुद्र मिलकर महासागर (1) का निर्माण करते हैं या उसमें प्रवाहित होते हैं, जो पृथ्वी पर जल का सबसे बड़ा विस्तार है। यह क्रम पानी की उसके पर्वतीय स्रोत से लेकर उसके अंतिम गंतव्य तक की प्राकृतिक यात्रा को दर्शाता है।

व्याख्या

शब्दों को शब्दकोश के क्रम में व्यवस्थित करने के लिए, हम प्रत्येक स्थान पर जहाँ वे भिन्न होते हैं, बाएँ से दाएँ अक्षरों की तुलना करते हैं। सभी पाँचों शब्द उपसर्ग 'Pre' से शुरू होते हैं। चौथे अक्षर की तुलना करने पर, शब्द (2) Preoperatively में 'o' अक्षर है, जबकि शब्द (1), (3), (4) और (5) सभी में 'p' अक्षर है। वर्णानुक्रम में, 'o', 'p' से पहले आता है, इसलिए शब्द (2) अनुक्रम में पहला है।

शेष शब्दों (1), (3), (4) और (5) में, पहले पाँच अक्षर 'Prepo' समान हैं। हम अंतर खोजने के लिए छठे अक्षर पर जाते हैं। शब्द (4) Preponderate में 'n' अक्षर है, जबकि शब्द (1), (3) और (5) में 's' अक्षर है। चूँकि वर्णमाला में 'n', 's' से पहले आता है, इसलिए शब्द (4) अनुक्रम में दूसरा है।

अंत में, हम शब्द (1) Preposition, (3) Preposterous और (5) Prepossess की तुलना करते हैं, जिनमें पहले छह अक्षर 'Prepos' समान हैं। उनके सातवें अक्षरों की तुलना करने पर, हमें शब्द (1) में 'i', शब्द (3) में 't' और शब्द (5) में 's' मिलता है। इन्हें वर्णानुक्रम में व्यवस्थित करने पर, 'i' पहले आता है, उसके बाद 's' और फिर 't' आता है। परिणामस्वरूप, शब्द (1) तीसरा है, शब्द (5) चौथा है और शब्द (3) पाँचवाँ है। इससे अंतिम शब्दकोश क्रम प्राप्त होता है: 2, 4, 1, 5, 3।

व्याख्या

यह श्रृंखला एक तार्किक पैटर्न का अनुसरण करती है जिसमें दो वैकल्पिक चार-अक्षरों के ब्लॉक शामिल हैं: acac और abab। श्रृंखला को चार-चार के समूहों में विभाजित करने पर, अनुक्रम की संरचना स्पष्ट हो जाती है:

समूह 1: ac_c acac पैटर्न को पूरा करने के लिए, लुप्त अक्षर a है।

समूह 2: ab_b abab पैटर्न को पूरा करने के लिए, लुप्त अक्षर a है।

समूह 3: aca_ acac पैटर्न को पूरा करने के लिए, लुप्त अक्षर c है।

समूह 4: aba_ abab पैटर्न को पूरा करने के लिए, लुप्त अक्षर b है।

समूह 5: aca_ acac पैटर्न को पूरा करने के लिए, लुप्त अक्षर c है।

इन अक्षरों (a, a, c, b, c) को क्रमिक रूप से खाली स्थानों में रखने पर श्रृंखला acacababacacababacac के रूप में पूरी हो जाती है।

व्याख्या

श्रृंखला के प्रत्येक पद के अक्षर एक सुसंगत गणितीय प्रगति का अनुसरण करते हैं जहाँ वर्णमाला क्रम में प्रत्येक स्थान पर 3 की वृद्धि होकर अगला पद बनता है। विशेष रूप से, दूसरे पद DREQ से तीसरे पद GUHT के लिए: D (4) + 3 = G (7), R (18) + 3 = U (21), E (5) + 3 = H (8), और Q (17) + 3 = T (20)। इसी प्रकार, तीसरे पद GUHT से चौथे पद JXKW के लिए: G (7) + 3 = J (10), U (21) + 3 = X (24), H (8) + 3 = K (11), और T (20) + 3 = W (23)।

लुप्त पहला पद ज्ञात करने के लिए, दूसरे पद DREQ के प्रत्येक अक्षर से 3 घटाकर इसी तर्क को विपरीत क्रम में लागू किया जाता है। पहले अक्षर के लिए, D (4) - 3 = 1, जो A के संगत है। दूसरे अक्षर के लिए, R (18) - 3 = 15, जो O के संगत है। तीसरे अक्षर के लिए, E (5) - 3 = 2, जो B के संगत है। चौथे अक्षर के लिए, Q (17) - 3 = 14, जो N के संगत है। इन परिणामों को मिलाने पर पद AOBN प्राप्त होता है।

व्याख्या

यह अनुक्रम बढ़ते हुए अंतर के एक पैटर्न का अनुसरण करता है। क्रमागत पदों के बीच पहले अंतर की गणना करने पर, हमें प्राप्त होता है: 90 - 56 = 34 132 - 90 = 42 184 - 132 = 52 248 - 184 = 64

इन पहले अंतरों (34, 42, 52, 64) की जांच करके, हम दूसरे अंतर की गणना करते हैं: 42 - 34 = 8 52 - 42 = 10 64 - 52 = 12

दूसरे अंतर 2 के एक स्थिर मान से बढ़ रहे हैं। इस तर्क का अनुसरण करते हुए, अगला दूसरा अंतर 12 + 2 = 14 होना चाहिए। अगला पहला अंतर ज्ञात करने के लिए, हम इसे पिछले अंतर में जोड़ते हैं: 64 + 14 = 78। इसके बाद अनुक्रम के अंतिम पद में इस मान को जोड़कर लुप्त संख्या की गणना की जाती है: 248 + 78 = 326।

व्याख्या

संख्यात्मक श्रृंखला एक पुनरावर्ती (recursive) पैटर्न का अनुसरण करती है जहाँ प्रत्येक पद की गणना उसके ठीक पहले के दो पदों के योग के दोगुने के रूप में की जाती है। इस अनुक्रम को नियंत्रित करने वाला गणितीय नियम n ≥ 3 के लिए Tₙ = 2(Tₙ₋₁ + Tₙ₋₂) है। हम श्रृंखला में दिए गए परिवर्तनों को देखकर इसकी पुष्टि कर सकते हैं: तीसरा पद 2(0 + 4) = 8 है, चौथा पद 2(4 + 8) = 24 है, पाँचवाँ पद 2(8 + 24) = 64 है, और छठा पद 2(24 + 64) = 176 है। इसी तर्क का अनुसरण करते हुए, पाँचवें और छठे पदों को जोड़कर और परिणाम को दो से गुणा करके सातवाँ पद प्राप्त किया जाता है। गणना इस प्रकार है: 2(64 + 176) = 2(240) = 480।

व्याख्या

यह श्रृंखला अक्षरों के वर्णमाला क्रम में उनके स्थानों के आधार पर एक विशिष्ट एकांतर घटाव पैटर्न (alternating subtraction pattern) का अनुसरण करती है। अक्षरों को संख्यात्मक मान देने पर, जहाँ A = 1, B = 2, ..., Z = 26 है, अनुक्रम इस प्रकार है:

W = 23 T = 20 (23 - 3) P = 16 (20 - 4) M = 13 (16 - 3) I = 9 (13 - 4) F = 6 (9 - 3) B = 2 (6 - 4)

घटाव का पैटर्न -3, -4, -3, -4, -3, -4 है। इस तर्क का पालन करते हुए, अगला घटाव -3 होना चाहिए।

अगले अक्षर की गणना: 2 - 3 = -1। चक्रीय वर्णमाला (circular alphabet) में, -1 का मान 25 के संगत होता है (चूंकि 26 = Z, 1 = A, 0 = Z, और -1 = Y), जो कि अक्षर Y है।

इसके बाद का घटाव -4 है। अगले अक्षर की गणना: 25 - 4 = 21, जो अक्षर U के संगत है।

इसलिए, श्रृंखला में अगले दो अक्षर Y और U हैं।

व्याख्या

यह पता लगाने के लिए कि समान तिथि सप्ताह के उसी दिन कब आएगी, दोनों तिथियों के बीच विषम दिनों (odd days) की कुल संख्या 7 का गुणज होनी चाहिए। एक गैर-लीप वर्ष (सामान्य वर्ष) में 365 दिन होते हैं, जो 52 सप्ताह और 1 विषम दिन के बराबर होता है। एक लीप वर्ष में 366 दिन होते हैं, जो 52 सप्ताह और 2 विषम दिनों के बराबर होता है।

30 सितंबर 1997 से शुरू करते हुए, हम प्रत्येक आगामी वर्ष के लिए विषम दिनों की गणना करते हैं: 1998: 1 विषम दिन 1999: 1 विषम दिन 2000: 2 विषम दिन (लीप वर्ष) 2001: 1 विषम दिन 2002: 1 विषम दिन 2003: 1 विषम दिन

इन विषम दिनों का योग: 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 = 7।

चूंकि वर्ष 2003 में विषम दिनों का योग 7 (7 का एक गुणज) हो जाता है, इसलिए 30 सितंबर 2003 उसी दिन पड़ेगा जिस दिन 30 सितंबर 1997 था, अर्थात मंगलवार।

व्याख्या

एक मानक घड़ी वास्तविक समय के एक घंटे में 60 मिनट का समय तय करती है। यह खराब घड़ी हर घंटे 5 मिनट आगे हो जाती है, जिसका अर्थ है कि यह वास्तविक समय के प्रत्येक 60 मिनट के लिए घड़ी के समय के 65 मिनट तय करती है। इसका तात्पर्य यह है कि सेकंड की सुई सहित घड़ी की कार्यप्रणाली (मैकेनिज्म), एक सामान्य घड़ी की तुलना में 65/60 के गुणक से तेज चलती है।

एक सामान्य घड़ी में, सेकंड की सुई एक मिनट में 360° का कोण तय करती है। इस विशिष्ट घड़ी के लिए, वास्तविक समय के एक मिनट में सेकंड की सुई द्वारा तय किया गया कोण मानक घूर्णन को गति अनुपात से गुणा करके निर्धारित किया जाता है:

कोण = ⁶⁵⁄₆₀ × 360°

कोण = 65 × 6°

कोण = 390°

चूंकि घड़ी तेज चल रही है, इसलिए एक घंटे के दौरान प्राप्त अतिरिक्त 5 मिनटों को समायोजित करने के लिए सेकंड की सुई को वास्तविक समय के एक मिनट के भीतर मानक 360° से अधिक दूरी तय करनी होगी।

व्याख्या

आयु पदानुक्रम निर्धारित करने के लिए, हम दिए गए कथनों के आधार पर बीजगणितीय संबंधों का उपयोग करके व्यक्तियों की आयु को निरूपित करते हैं। माना D की आयु x है।

इस कथन के अनुसार कि C, D से दोगुना बड़ा है, C = 2x। चूंकि C की आयु A की आयु की आधी है, इसलिए A = 2C होगा, अतः A = 2(2x) = 4x। इस कथन से कि B, A से दोगुना बड़ा है (आयु की तुलना के इस संदर्भ में 'odd' को 'old' के रूप में व्याख्यायित करने पर), B = 2A = 2(4x) = 8x प्राप्त होता है। अंत में, चूंकि B, F से दोगुना छोटा है, इसलिए F, B से दोगुना बड़ा होना चाहिए, जिसका अर्थ है F = 2B = 2(8x) = 16x।

इन मानों के आधार पर व्यक्तियों को आयु के अवरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर F (16x) > B (8x) > A (4x) > C (2x) > D (x) प्राप्त होता है। इस क्रम में, F सबसे बड़ा है और B दूसरा सबसे बड़ा है।

व्याख्या

पांच पुरुषों और तीन महिलाओं के समूह में से एक पुरुष और एक महिला वाली समिति बनाने के तरीकों की कुल संख्या की गणना प्रत्येक पद के लिए विकल्पों की संख्या को गुणा करके की जाती है। पांच में से एक पुरुष को चुनने के तरीकों की संख्या ⁵C₁ = 5 है, और तीन में से एक महिला को चुनने के तरीकों की संख्या ³C₁ = 3 है। इस प्रकार, बिना किसी प्रतिबंध के कुल संभावित संयोजन 5 × 3 = 15 हैं।

प्रतिबंध यह निर्दिष्ट करता है कि यदि श्री B को शामिल किया जाता है, तो सुश्री A सदस्य बनने से इनकार करती हैं। इसका अर्थ है कि श्री B और सुश्री A की विशिष्ट जोड़ी ही एकमात्र प्रतिबंधित संयोजन है। वैध समितियों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम कुल संभावित संयोजनों में से इस एक प्रतिबंधित मामले को घटाते हैं।

तरीकों की संख्या = (कुल संभावित समितियां) - (श्री B और सुश्री A दोनों वाली समितियां) तरीकों की संख्या = 15 - 1 = 14।

व्याख्या

यह श्रृंखला n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 के लिए सामान्य पद सूत्र aₙ = n² + 4n का अनुसरण करती है। सूत्र में n के मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें a₆ = 6² + 4(6) = 60, a₅ = 5² + 4(5) = 45, a₄ = 4² + 4(4) = 32, a₃ = 3² + 4(3) = 21, और a₂ = 2² + 4(2) = 12 प्राप्त होता है। पहले पद के लिए जहाँ n = 1 है, मान a₁ = 1² + 4(1) = 5 होना चाहिए। 5 के स्थान पर 6 की उपस्थिति इस गणितीय प्रगति को तोड़ती है। वैकल्पिक रूप से, क्रमागत पदों के बीच का अंतर 60 - 45 = 15, 45 - 32 = 13, 32 - 21 = 11, और 21 - 12 = 9 है। ये अंतर क्रमागत विषम संख्याओं की एक श्रृंखला बनाते हैं। इस पैटर्न को बनाए रखने के लिए, दूसरे और पहले पद के बीच का अंतर 9 - 2 = 7 होना चाहिए। दूसरे पद से 7 घटाने पर 12 - 7 = 5 प्राप्त होता है, जिससे यह पुष्टि होती है कि श्रृंखला में 6 गलत संख्या है।

व्याख्या

रमेश और सुरेश के बीच छात्रों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले अनुक्रम के एक ही छोर से उनकी संख्यात्मक स्थिति निर्धारित करते हैं। रमेश का स्थान ऊपर से 13वां है। सुरेश से नीचे 5 छात्र हैं, जिसका अर्थ है कि ऊपर से उसका स्थान 33 - 5 = 28 है।

दो स्थानों P₁ और P₂ के बीच छात्रों की संख्या की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: बीच में छात्र = (P₂ - P₁) - 1

ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: बीच में छात्र = (28 - 13) - 1 बीच में छात्र = 15 - 1 = 14

यह गणना गिनती से रमेश और सुरेश दोनों को बाहर करने पर आधारित है, जिससे उनके बीच के अंतराल में ठीक 14 छात्र बचते हैं।

व्याख्या

माना x नरेश के भाई की आयु को निरूपित करता है। उसके भाई की आयु के दोगुने का गणितीय रूप 2x है। इस राशि से 4 वर्ष कम मान ज्ञात करने के लिए, इस गुणनफल में से 4 घटाया जाना चाहिए। इसलिए, नरेश की आयु को निरूपित करने वाला समीकरण 2x - 4 है।

व्याख्या

रोहित, रानी के भाई का बेटा है, और चूंकि प्रश्न में कहा गया है कि राम, रानी का भाई है, इसलिए रोहित, राम का बेटा है। सुरेश की बहन, राम की पत्नी है, जिसका अर्थ है कि रोहित, सुरेश की बहन का बेटा है। पारिवारिक संबंधों में, किसी की बहन के बेटे को भांजा (नेफ्यू) के रूप में परिभाषित किया जाता है।

व्याख्या

दो समुच्चयों के लिए समावेशन-अपवर्जन के सिद्धांत (principle of inclusion-exclusion) का उपयोग करते हुए, कम से कम एक वस्तु (या तो कार या टीवी) के स्वामित्व वाले लोगों के प्रतिशत की गणना सूत्र P(C ∪ T) = P(C) + P(T) - P(C ∩ T) का उपयोग करके की जाती है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: 70% + 75% - 55% = 90%। यह आंकड़ा सर्वेक्षण की गई जनसंख्या के उस हिस्से को दर्शाता है जिसके पास दोनों उपकरणों में से कम से कम एक उपकरण है। उन लोगों का प्रतिशत जिनके पास न तो कार है और न ही टीवी, इस समुच्चय का पूरक (complement) है, जिसकी गणना 100% - 90% = 10% के रूप में की जाती है।

व्याख्या

कोडिंग पैटर्न अंग्रेजी वर्णमाला में अक्षरों के संख्यात्मक स्थानों में बारी-बारी से 3 जोड़ने और 3 घटाने के अनुक्रम का अनुसरण करता है। DANCE शब्द के लिए, परिवर्तन इस प्रकार हैं: D (4) + 3 = 7 (G), A (1 या 27) - 3 = 24 (X), N (14) + 3 = 17 (Q), C (3) - 3 = 0 या 26 (Z), और E (5) + 3 = 8 (H)। RIGHT शब्द पर इसी बारी-बारी से +3, -3 वाले पैटर्न को लागू करने पर निम्नलिखित परिणाम प्राप्त होते हैं: R (18) + 3 = 21 (U), I (9) - 3 = 6 (F), G (7) + 3 = 10 (J), H (8) - 3 = 5 (E), और T (20) + 3 = 23 (W)। इन अक्षरों को मिलाने पर कूटबद्ध रूप UFJEW प्राप्त होता है।

व्याख्या

कोडिंग सीधे अक्षर-से-अंक मिलान (direct letter-to-digit mapping) का अनुसरण करती है। कोड LOSE = 1357 से, हम पहचानते हैं कि L = 1, O = 3, S = 5, और E = 7 है। कोड GAIN = 2468 से, हम पहचानते हैं कि G = 2, A = 4, I = 6, और N = 8 है।

अंकों 84615 को डिकोड करने के लिए, हम प्रत्येक अंक के स्थान पर उससे संबंधित अक्षर लिखते हैं: 8 = N 4 = A 6 = I 1 = L 5 = S

इन अक्षरों को क्रम में व्यवस्थित करने पर, अंक 84615 शब्द NAILS को दर्शाते हैं।

व्याख्या

तर्क I मजबूत है क्योंकि आधुनिक शिक्षा का एक प्राथमिक उद्देश्य व्यक्तियों को लाभकारी रोजगार प्राप्त करने और आर्थिक रूप से खुद को बनाए रखने के लिए आवश्यक विशिष्ट कौशल और योग्यताओं से लैस करना है। विकासात्मक दृष्टिकोण से, किसी व्यक्ति को करियर के लिए तैयार करना औपचारिक स्कूली शिक्षा की एक मौलिक अपेक्षा है। तर्क II भी मजबूत है क्योंकि यह आत्मनिर्भरता की अवधारणा को सुदृढ़ करता है, और यह दावा करता है कि शिक्षा का अंतिम लक्ष्य व्यक्ति को स्नातक होने के बाद स्वतंत्र और आर्थिक रूप से स्थिर होने में सक्षम बनाना होना चाहिए। दोनों तर्क शिक्षा के आवश्यक व्यावसायिक और उपयोगितावादी कार्यों की सही पहचान करते हैं जो व्यक्तिगत अस्तित्व और राष्ट्र के समग्र आर्थिक स्वास्थ्य के लिए महत्वपूर्ण हैं।

व्याख्या

प्रारंभिक बिंदु से दिशा में शुद्ध परिवर्तन की गणना करके इस गति को ट्रैक किया जा सकता है। व्यक्ति पश्चिम की ओर मुख करके चलना शुरू करता है। एक बार दाईं ओर मुड़ना 90-डिग्री दक्षिणावर्त (clockwise) घूर्णन है, जो उसकी दिशा को पश्चिम से उत्तर में बदल देता है। दूसरी बार दाईं ओर मुड़ना एक और 90-डिग्री दक्षिणावर्त घूर्णन है, जिससे उसकी दिशा उत्तर से पूर्व हो जाती है। अंत में, बाईं ओर मुड़ना 90-डिग्री वामावर्त (counter-clockwise) घूर्णन है। पूर्व से 90 डिग्री वामावर्त घूमने पर व्यक्ति का मुख फिर से उत्तर की ओर हो जाता है। वैकल्पिक रूप से, दो बार दाईं ओर मुड़ने (180 डिग्री) और उसके बाद एक बार बाईं ओर मुड़ने (-90 डिग्री) के परिणामस्वरूप प्रारंभिक दिशा पश्चिम से शुद्ध 90-डिग्री दक्षिणावर्त मोड़ प्राप्त होता है, जो कि उत्तर है।

व्याख्या

सुधा एक बिंदु से शुरू करती है और दक्षिण की ओर 8 किमी चलती है। दक्षिण की ओर उन्मुख होते हुए दाईं ओर मुड़ने का अर्थ है कि वह अब पश्चिम की ओर बढ़ती है, जहाँ वह 4 किमी की यात्रा करती है। पश्चिम की ओर उन्मुख होते हुए दूसरी बार दाईं ओर मुड़ने पर वह उत्तर की ओर 8 किमी चलती है। चूंकि पहला चरण (8 किमी दक्षिण) और तीसरा चरण (8 किमी उत्तर) समान लंबाई के और विपरीत दिशा में हैं, इसलिए वह अपने प्रारंभिक बिंदु के समान क्षैतिज रेखा पर वापस आ जाती है। उसकी अंतिम स्थिति केवल दूसरे चरण की लंबाई से विस्थापित होती है, जो कि प्रारंभिक बिंदु से 4 किमी पश्चिम में है। यह मार्ग 8 किमी गुणा 4 किमी के आयाम वाले एक आयत की तीन भुजाओं को दर्शाता है, जिससे वह मूल बिंदु से ठीक 4 किमी दूर रह जाती है।

व्याख्या

शब्द COMPREHENSION में C, O, M, P, R, E, H, N, S और I अक्षर शामिल हैं। शब्द PREACH बनाने के लिए, 'A' अक्षर का होना आवश्यक है। मूल शब्द में उपलब्ध अक्षरों की जांच करने पर पता चलता है कि 'A' अक्षर अनुपस्थित है। परिणामस्वरूप, COMPREHENSION शब्द के अक्षरों से PREACH शब्द नहीं बनाया जा सकता है।

व्याख्या

MULTIPLICATION में उपलब्ध अक्षरों का उपयोग करके LIMITATION शब्द बनाया जा सकता है। मूल शब्द में अक्षरों की गणना करने पर, हमें M (1), U (1), L (2), T (2), I (3), P (1), C (1), A (1), O (1), और N (1) मिलते हैं। LIMITATION शब्द के लिए एक L, तीन I, एक M, दो T, एक A, एक O, और एक N की आवश्यकता होती है। चूंकि इनमें से प्रत्येक अक्षर MULTIPLICATION में आवश्यक मात्रा में मौजूद है, इसलिए इस शब्द को इससे सफलतापूर्वक बनाया जा सकता है।

व्याख्या

प्रश्न के तर्क के अनुसार, संक्रियात्मक चिह्नों को निम्नानुसार पुनर्परिभाषित किया गया है: - भाग (÷) को दर्शाता है, + घटाव (-) को दर्शाता है, ÷ गुणा (×) को दर्शाता है, और × जोड़ (+) को दर्शाता है। विकल्प B के समीकरण में इन प्रतिस्थापनों को लागू करने पर, व्यंजक 70 - 2 + 4 ÷ 5 × 6 को इस प्रकार फिर से लिखा जाता है:

70 ÷ 2 - 4 × 5 + 6

BODMAS नियम (भाग, गुणा, जोड़, घटाव) का पालन करने पर:

सबसे पहले, भाग करें: 70 ÷ 2 = 35 इसके बाद, गुणा करें: 4 × 5 = 20 अब व्यंजक इस प्रकार है: 35 - 20 + 6 अंत में, जोड़ और घटाव करें: 35 - 20 = 15 और 15 + 6 = 21

परिकलित परिणाम 21 है, जो समीकरण में दिए गए मान से मेल खाता है।

व्याख्या

इन समीकरणों को हल करने के लिए उपयोग की जाने वाली प्रणाली गुणा की जाने वाली दोनों संख्याओं के वर्गमूलों के योग पर आधारित है। पहले समीकरण में, 324 × 289 = 35, गणना √(324) + √(289) = 18 + 17 = 35 है।

इसी तर्क को अगले समीकरण पर लागू करने पर, √(441) + √(484) = 21 + 22 = 43 की गणना करके 441 × 484 = 43 प्राप्त होता है। इसी प्रकार, तीसरे समीकरण के लिए, 625 × 400 = 45, गणना √(625) + √(400) = 25 + 20 = 45 है।

अनसुलझे समीकरण 256 × 729 का मान ज्ञात करने के लिए, प्रत्येक संख्या का वर्गमूल निकालें और उन्हें आपस में जोड़ें। 256 का वर्गमूल 16 है, और 729 का वर्गमूल 27 है। इसलिए, योग 16 + 27 = 43 है।

व्याख्या

युग्म 86-99 समूह से संबंधित नहीं है क्योंकि यह 8:9 अनुपात के गुण को संतुष्ट करने में विफल रहता है। इस गणितीय पैटर्न में, युग्म की पहली संख्या दूसरी संख्या का 8/9 है। जब इस अनुपात को दूसरे मान 99 पर लागू किया जाता है, तो आवश्यक पहले मान की गणना 99 × (8/9) = 88 के रूप में की जाती है। चूंकि यह युग्म 88 के स्थान पर 86 संख्या प्रदान करता है, इसलिए इसमें वह सामान्य गुण नहीं है जो समूह की विशेषता है।

व्याख्या

अनुक्रम CXFUIR एक नियम का पालन करता है जहाँ क्रमिक अक्षरों के बीच छोड़े गए अक्षरों की संख्या प्रत्येक चरण में 3 कम हो जाती है। वर्णमाला में उनके स्थानों के आधार पर अक्षरों को संख्यात्मक मान (C=3, X=24, F=6, U=21, I=9, R=18) देकर, छोड़े गए अक्षरों की संख्या की गणना सूत्र: छोड़े गए अक्षर = |स्थानₙ₊₁ - स्थानₙ| - 1 का उपयोग करके की जाती है।

C और X के बीच, |24 - 3| - 1 = 20 अक्षर छोड़े गए हैं। X और F के बीच, |6 - 24| - 1 = 17 अक्षर छोड़े गए हैं। F और U के बीच, |21 - 6| - 1 = 14 अक्षर छोड़े गए हैं। U और I के बीच, |9 - 21| - 1 = 11 अक्षर छोड़े गए हैं। अंत में, I और R के बीच, |18 - 9| - 1 = 8 अक्षर छोड़े गए हैं। छोड़े गए अक्षरों का परिणामी अनुक्रम (20, 17, 14, 11, 8) प्रत्येक अंतराल पर ठीक 3 कम हो जाता है, जिससे यह पुष्टि होती है कि यह विकल्प नियम का पालन करता है।

व्याख्या

यह अनुक्रम भाषाई और साहित्यिक संरचनाओं के पदानुक्रम के आधार पर एक तार्किक अवरोही क्रम का अनुसरण करता है। एक अध्याय (3) सबसे व्यापक इकाई है, जिसे अनुच्छेदों (5) में उपविभाजित किया जाता है। प्रत्येक अनुच्छेद वाक्यों (1) की एक श्रृंखला से बनता है। वाक्यों को आगे वाक्यांशों (4) में विभाजित किया जाता है, जो शब्दों के समूह होते हैं और वाक्य के भीतर एक एकल इकाई के रूप में कार्य करते हैं। अंत में, शब्द (2) इस पदानुक्रम में निर्माण की सबसे मौलिक और सबसे छोटी इकाई का प्रतिनिधित्व करता है। सबसे बड़ी संगठनात्मक इकाई से लेकर सबसे छोटे घटक तत्व तक का यह क्रम दिए गए शब्दों की एक सुसंगत और सार्थक व्यवस्था बनाता है।

व्याख्या

शब्दों को शब्दकोश के क्रम में व्यवस्थित करने के लिए, हम बाएं से दाएं अक्षरों की तुलना करते हैं। सभी शब्द उपसर्ग 'In' से शुरू होते हैं। तीसरे अक्षरों की तुलना करने पर, हमारे पास Infatuation (5) और Influence (4) में 'f', Ingenious (2) में 'g', और Inhabit (1) तथा Inherit (3) में 'h' है। चूंकि 'f', 'g' और 'h' से पहले आता है, इसलिए हम सबसे पहले 'Inf' से शुरू होने वाले शब्दों को व्यवस्थित करते हैं। Infatuation में चौथा अक्षर 'a', Influence में चौथे अक्षर 'l' से पहले आता है, जिससे 5, 4 से पहले आता है। अगला शब्द Ingenious (2) है क्योंकि वर्णमाला में 'g', 'f' के बाद आता है। अंत में, 'Inh' से शुरू होने वाले शब्दों के लिए, Inhabit में चौथा अक्षर 'a', Inherit में चौथे अक्षर 'e' से पहले आता है, जिससे 1, 3 से पहले आता है। इससे 5, 4, 2, 1, 3 का क्रम स्थापित होता है।

व्याख्या

सही स्वरूप (पैटर्न) खोजने के लिए, अक्षर श्रृंखला को चार-चार अक्षरों के समूहों में विभाजित किया गया है। विकल्प d (a aa ba) के अक्षरों को क्रमिक रूप से खाली स्थानों में रखने पर, हम 'a' और 'b' अक्षरों की आवृत्ति के आधार पर एक सुसंगत वैकल्पिक स्वरूप देख सकते हैं।

दी गई श्रृंखला है: _ _ a b _ _ b _ a b a _ a b a b

यदि हम मान लें कि पहला खाली स्थान __ वास्तव में एक एकल खाली स्थान _ है जिसके बाद एक निश्चित अक्षर a है (या केवल खाली स्थान 1, 5, 6, 8, 12 को भरें), और विकल्प d (a, a, a, b, a) के अक्षरों का उपयोग करें, तो अनुक्रम इस प्रकार हो जाता है:

ब्लॉक 1: a a a b (स्थान 1 से 4) ब्लॉक 2: a a b b (स्थान 5 से 8) ब्लॉक 3: a b a a (स्थान 9 से 12) ब्लॉक 4: a b a b (स्थान 13 से 16)

जब हम प्रत्येक ब्लॉक की संरचना का विश्लेषण करते हैं: ब्लॉक 1 (aaab) में 3 a और 1 b हैं। ब्लॉक 2 (aabb) में 2 a और 2 b हैं। ब्लॉक 3 (abaa) में 3 a और 1 b हैं। ब्लॉक 4 (abab) में 2 a और 2 b हैं।

यह स्वरूप एक चक्र का अनुसरण करता है जहाँ प्रत्येक क्रमिक चार के समूह में a और b की संख्या (3,1) और (2,2) के बीच बदलती (एकांतर) रहती है। यह तार्किक संरचना श्रृंखला को व्यवस्थित रूप से पूरा करती है।

व्याख्या

यह श्रृंखला एक पैटर्न का अनुसरण करती है जहाँ लगातार पदों के बीच का अंतर प्रत्येक चरण में दोगुना हो जाता है। दी गई संख्याओं के बीच के अंतर की गणना करने पर:

19 - 14 = 5 29 - 19 = 10 49 - 29 = 20 89 - 49 = 40

देखे गए अंतर 5, 10, 20 और 40 हैं। यह 2 के सार्व अनुपात (common ratio) के साथ अंतरों की एक गुणोत्तर श्रेणी (geometric progression) को दर्शाता है। श्रृंखला में अगला पद ज्ञात करने के लिए, पिछले अंतर को 2 से गुणा करके अगले अंतर की गणना की जानी चाहिए, जिससे 40 × 2 = 80 प्राप्त होता है। इस अंतर को श्रृंखला के अंतिम ज्ञात पद में जोड़ने पर निम्नलिखित गणना प्राप्त होती है:

89 + 80 = 169

व्याख्या

यह श्रृंखला अक्षर समूहों के भीतर प्रत्येक अक्षर के स्थान पर अलग-अलग अंकगणितीय पैटर्न लागू करके बनाई गई है। पहले अक्षर के लिए, पैटर्न वर्णमाला में +2 स्थानों की वृद्धि का अनुसरण करता है: B +2 D +2 F +2 H +2 J। दूसरे अक्षर के लिए, पैटर्न -1 स्थान की कमी का अनुसरण करता है: M -1 L -1 K -1 J -1 I। तीसरे अक्षर के लिए, पैटर्न +2 स्थानों की वृद्धि का अनुसरण करता है: R +2 T +2 V +2 X +2 Z। चौथे अक्षर के लिए, पैटर्न -1 स्थान की कमी का अनुसरण करता है: G -1 F -1 E -1 D -1 C। इन परिवर्तनों को मिलाने पर JIZC समूह प्राप्त होता है।

व्याख्या

इस श्रृंखला में पूर्णांकों के वर्ग शामिल हैं जो उनके आधारों में एक विशिष्ट पैटर्न का अनुसरण करते हैं। संख्याएँ इस प्रकार हैं: 11² = 121, 12² = 144, 17² = 289, 18² = 324, 23² = 529, और 24² = 576।

आधारों की श्रृंखला 11, 12, 17, 18, 23, 24 है। क्रमागत आधारों के बीच के अंतर की जाँच करने पर एक एकांतर (alternating) पैटर्न का पता चलता है: 12 - 11 = 1 17 - 12 = 5 18 - 17 = 1 23 - 18 = 5 24 - 23 = 1

इस +1, +5, +1, +5, +1 पैटर्न का अनुसरण करते हुए, अगला आधार 24 + 5 = 29 होना चाहिए। इसलिए, श्रृंखला का अगला पद 29² = 841 है।