एसएससी सीजीएल टियर 1 2011 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

पुरुषों की संख्या और कार्य की एक निश्चित मात्रा को पूरा करने में लगने वाले समय के बीच का संबंध सूत्र M₁ D₁ = M₂ D₂ द्वारा निर्धारित होता है, जहाँ M पुरुषों की संख्या है और D दिनों की संख्या है।

प्रश्न के अनुसार: पुरुषों की प्रारंभिक संख्या M₁ = x प्रारंभिक दिनों की संख्या D₁ = 30 पुरुषों की नई संख्या M₂ = x + 6 नए दिनों की संख्या D₂ = 30 - 10 = 20

सूत्र में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: x × 30 = (x + 6) × 20 30x = 20x + 120 30x - 20x = 120 10x = 120 x = 12

व्याख्या

मान लीजिए कि कुल कार्य दी गई अवधियों: 12, 15 और 20 दिनों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है। LCM(12, 15, 20) = 60 इकाई।

प्रत्येक युग्म की दैनिक कार्यक्षमता (प्रतिदिन किया गया कार्य) की गणना इस प्रकार की जाती है: (P + Q) की कार्यक्षमता = ⁶⁰⁄₁₂ = 5 इकाई/दिन (Q + R) की कार्यक्षमता = ⁶⁰⁄₁₅ = 4 इकाई/दिन (R + P) की कार्यक्षमता = ⁶⁰⁄₂₀ = 3 इकाई/दिन

इन कार्यक्षमताओं को जोड़ने पर प्राप्त होता है: 2(P + Q + R) = 5 + 4 + 3 = 12 इकाई/दिन P + Q + R = ¹²⁄₂ = 6 इकाई/दिन

P की व्यक्तिगत कार्यक्षमता ज्ञात करने के लिए, (P + Q + R) की संयुक्त कार्यक्षमता में से युग्म (Q + R) की कार्यक्षमता को घटाएं: P की कार्यक्षमता = (P + Q + R) - (Q + R) = 6 - 4 = 2 इकाई/दिन

P को अकेले कार्य पूरा करने में लगने वाला समय है: समय = (कुल कार्य)/(P की कार्यक्षमता) = ⁶⁰⁄₂ = 30 दिन

व्याख्या

A और B की कार्यक्षमता का अनुपात 3:1 है। चूंकि कार्यक्षमता कार्य को पूरा करने में लगने वाले समय के व्युत्क्रमानुपाती होती है, इसलिए A और B द्वारा लिए गए समय का अनुपात 1:3 है। माना A द्वारा लिया गया समय x दिन है और B द्वारा लिया गया समय 3x दिन है।

समय का अंतर 3x - x = 60 दिन दिया गया है, जिसे सरल करने पर 2x = 60, या x = 30 दिन प्राप्त होता है। इसका अर्थ है कि A कार्य को 30 दिनों में पूरा करता है और B इसे 90 दिनों में पूरा करता है।

एक साथ काम करने पर लगने वाले समय को ज्ञात करने के लिए, हम संयुक्त कार्य सूत्र T = (D1 × D2)/(D1 + D2) का उपयोग करते हैं, जहाँ D1 और D2 क्रमशः A और B द्वारा लिए गए व्यक्तिगत दिन हैं। मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

T = (30 × 90)/(30 + 90) T = ²⁷⁰⁰⁄₁₂₀ T = ²⁷⁰⁄₁₂ T = ⁴⁵⁄₂ दिन।

व्याख्या

वर्ग का क्षेत्रफल 121 सेमी² दिया गया है। चूंकि वर्ग का क्षेत्रफल s² होता है, इसलिए वर्ग की भुजा s = √(121) = 11 सेमी है। तांबे के तार की कुल लंबाई इस वर्ग के परिमाप के बराबर है, जिसकी गणना 4 × s = 4 × 11 = 44 सेमी के रूप में की जाती है।

जब इसी तार को एक वृत्त के रूप में मोड़ा जाता है, तो वृत्त की परिधि 2π r तार की लंबाई के बराबर होनी चाहिए। परिधि को 44 सेमी के बराबर रखने और π = ²²⁄₇ का उपयोग करने पर, हमें 2 × ²²⁄₇ × r = 44 प्राप्त होता है। इस समीकरण को सरल करने पर, ⁴⁴⁄₇ × r = 44 प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप r = 7 सेमी आता है।

व्याख्या

माना घनाभ की विमाएँ लंबाई l, चौड़ाई w और ऊँचाई h हैं। तीन क्रमागत फलकों के क्षेत्रफल इन विमाओं के गुणनफल द्वारा दिए गए हैं: A₁ = l × w, A₂ = w × h, और A₃ = h × l। एक घनाभ के आयतन V की गणना V = l × w × h के रूप में की जाती है।

तीनों फलकों के क्षेत्रफलों को गुणा करने पर प्राप्त होता है: A₁ × A₂ × A₃ = (l × w) × (w × h) × (h × l) = l² × w² × h² = (l × w × h)²

यह सीधा संबंध V² = A₁ × A₂ × A₃ स्थापित करता है, जिसका अर्थ है V = √(A₁ × A₂ × A₃)। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: V = √(12 × 20 × 15) V = √(3600) V = 60

घनाभ का आयतन 60 सेमी³ है।

व्याख्या

आयताकार टैंक में पानी के स्तर को बढ़ाने के लिए आवश्यक पानी का आयतन V = लंबाई × चौड़ाई × ऊंचाई द्वारा दिया जाता है। दिए गए आयामों को प्रतिस्थापित करने पर, V = 50 × 44 × 0.07 = 154 मीटर³। पाइप का अनुप्रस्थ काट वृत्ताकार है जिसकी त्रिज्या r = 7 सेमी = 0.07 मीटर है। पानी के प्रवाह की गति 5 किमी/घंटा है, जो 5000 मीटर/घंटा के बराबर है।

t घंटों में पाइप से बहने वाले पानी के आयतन की गणना अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल × गति × समय के रूप में की जाती है। इससे हमें V = π r² × 5000 × t = ²²⁄₇ × 0.07 × 0.07 × 5000 × t प्राप्त होता है। इस समीकरण को सरल करने पर, हमें 22 × 0.01 × 0.07 × 5000 × t = 77t मीटर³ प्राप्त होता है। पाइप से बहने वाले पानी के आयतन को टैंक में आवश्यक आयतन के बराबर रखने पर, हमें 77t = 154 प्राप्त होता है, जिससे t = 2 घंटे प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक चक्कर में पहिये द्वारा तय की गई दूरी उसकी परिधि के बराबर होती है, जिसे π d के रूप में परिभाषित किया जाता है, जहाँ d व्यास को दर्शाता है। n चक्करों के लिए, कुल दूरी D को सूत्र D = n π d द्वारा व्यक्त किया जाता है। यह देखते हुए कि कार 1000 चक्करों में 440 मीटर चलती है, हम π ≈ ²²⁄₇ का उपयोग करके इन मानों को समीकरण में रखते हैं:

440 = 1000 × ²²⁄₇ × d

व्यास d का मान ज्ञात करने के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

d = (440 × 7)/(1000 × 22)

गणना को सरल करने पर:

d = (20 × 7)/(1000) = ¹⁴⁰⁄₁₀₀₀ = 0.14 मीटर

व्याख्या

मान लीजिए कि त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई 2x, 3x और 4x है। चूंकि परिमाप सभी भुजाओं का योग होता है, इसलिए हमारे पास 2x + 3x + 4x = 18 है, जिसे सरल करने पर 9x = 18 प्राप्त होता है, जिससे x = 2 मिलता है। इसलिए, त्रिभुज की भुजाएँ a = 4 सेमी, b = 6 सेमी और c = 8 सेमी हैं।

त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम हीरोन के सूत्र (Heron's formula) का उपयोग करते हैं। सबसे पहले, अर्ध-परिमाप s की गणना करें: s = (a + b + c)/(2) = (4 + 6 + 8)/(2) = ¹⁸⁄₂ = 9 सेमी

क्षेत्रफल A इस प्रकार दिया गया है: A = √(s(s - a)(s - b)(s - c)) A = √(9(9 - 4)(9 - 6)(9 - 8)) A = √(9 × 5 × 3 × 1) A = √(135) A = √(9 × 15) A = 3√(15) सेमी²

व्याख्या

क्रय मूल्य (CP) और अंकित मूल्य (MP) के बीच के संबंध को सीधे सूत्र CP/MP = (100 - छूट%)/(100 + लाभ%) का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है। यह देखते हुए कि अंकित मूल्य 275 रुपये है, छूट 5% है, और लाभ 4.5% है, हम इन मानों को अनुपात में रखते हैं।

CP / 275 = (100 - 5) / (100 + 4.5) CP / 275 = 95 / 104.5

CP ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करते हैं: CP = (95 / 104.5) × 275

दशमलव को हटाने के लिए भिन्न के अंश और हर दोनों को 10 से गुणा करने पर प्राप्त होता है: CP = (950 / 1045) × 275

गणना को सरल करने पर: CP = (190 / 209) × 275 CP = (190 × 275) / 209 CP = 52250 / 209 CP = 250

व्याख्या

a% और b% की दो क्रमिक छूटों के लिए समतुल्य एकल छूट की गणना सूत्र a + b - ᵃᵇ⁄₁₀₀ का उपयोग करके की जाती है। 36% और 4% की क्रमिक छूटों के लिए, समतुल्य छूट दर 36 + 4 - (36 × 4)/(100) = 40 - 1.44 = 38.56% है।

40% की एकल छूट और क्रमिक छूटों के बीच का अंतर 40% - 38.56% = 1.44% है। 500 रुपये पर इस अंतर का मौद्रिक मूल्य ज्ञात करने के लिए, कुल राशि का 1.44% ज्ञात करें: अंतर = (1.44)/(100) × 500 अंतर = 1.44 × 5 = 7.20

वैकल्पिक रूप से, जब दो क्रमिक छूटों का योग (36 + 4 = 40) एकल छूट (40) के बराबर होता है, तो अंतर हमेशा मूलधन का ᵃᵇ⁄₁₀₀% होता है। इस प्रकार, 500 का (36 × 4)/(100)% = 500 का 1.44% = 7.20।

व्याख्या

दिया गया अनुपात x:y = 4:5 है, हम व्यंजक (3x + y):(5x + 3y) में x = 4k और y = 5k रख सकते हैं। चूंकि यह व्यंजक समरूप रैखिक बहुपदों (homogeneous linear polynomials) का एक अनुपात है, इसलिए अचर k निरस्त हो जाएगा, जिससे हम सीधे x = 4 और y = 5 रख सकते हैं।

अनुपात के पहले भाग के लिए: 3x + y = 3(4) + 5 = 12 + 5 = 17

अनुपात के दूसरे भाग के लिए: 5x + 3y = 5(4) + 3(5) = 20 + 15 = 35

इन परिणामों को मिलाने पर, अनुपात (3x + y):(5x + 3y) 17:35 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मिश्रण की दोनों अवस्थाओं में पानी की मात्रा को समान रखने के लिए, हम अम्ल और पानी के अनुपात को सामान्य (बराबर) करते हैं। प्रारंभ में, अनुपात 1:3 है। अम्ल मिलाने के बाद, अनुपात 1:2 हो जाता है। प्रारंभिक अनुपात को 2 से और नए अनुपात को 3 से गुणा करने पर प्राप्त होता है: प्रारंभिक अनुपात = 2:6 नया अनुपात = 3:6

दोनों मामलों में पानी 6 इकाई पर स्थिर रहता है। अम्ल के घटक में 2 इकाई से 3 इकाई की वृद्धि 1 इकाई के अंतर को दर्शाती है। चूंकि 5 लीटर अम्ल मिलाया गया था, इसलिए 1 इकाई 5 लीटर के बराबर है।

नए मिश्रण में 3 इकाई अम्ल और 6 इकाई पानी शामिल है, जो कुल मिलाकर 3 + 6 = 9 इकाई है। कुल मात्रा = 9 × 5 = 45 लीटर।

व्याख्या

मान लीजिए कि दो संख्याएँ 2x और 3x हैं। प्रश्न के अनुसार, जब प्रत्येक संख्या में 4 की वृद्धि की जाती है, तो नया अनुपात 5:7 हो जाता है। इसे समीकरण के रूप में इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

(2x + 4)/(3x + 4) = ⁵⁄₇

x का मान ज्ञात करने के लिए, वज्र-गुणन (cross-multiply) करने पर:

7(2x + 4) = 5(3x + 4)

14x + 28 = 15x + 20

दोनों पक्षों से 14x घटाने और दोनों पक्षों से 20 घटाने पर प्राप्त होता है:

x = 8

दोनों संख्याएँ 2x = 2 × 8 = 16 और 3x = 3 × 8 = 24 हैं। संख्याओं के बीच का अंतर 3x - 2x = x है। चूँकि x = 8 है, इसलिए अंतर 8 है।

व्याख्या

किसी व्यक्ति की बचत की गणना आय - व्यय = बचत के रूप में की जाती है। माना A और B की मासिक आय क्रमशः 4x और 3x है, और उनके मासिक व्यय क्रमशः 3y और 2y हैं। यह देखते हुए कि दोनों 6,000 रुपये बचाते हैं, हम अनुपात अंतर विधि का उपयोग कर सकते हैं।

आय अनुपात 4:3 और व्यय अनुपात 3:2 में, A के लिए आय और व्यय के भागों के बीच का संख्यात्मक अंतर 4 - 3 = 1 इकाई है, और B के लिए 3 - 2 = 1 इकाई है। चूंकि दोनों व्यक्ति समान राशि बचाते हैं, इसलिए 1 इकाई का यह सामान्य अंतर सीधे 6,000 रुपये की बचत के संगत है।

1 इकाई = 6,000

A की आय को आय अनुपात में 4 इकाइयों द्वारा दर्शाया गया है। इसलिए, A की मासिक आय की गणना इस प्रकार की जाती है: 4 × 6,000 = 24,000

व्याख्या

मान लीजिए कि तीन क्रमागत विषम संख्याएँ x, x+2 और x+4 हैं। समांतर श्रेणी में किन्हीं भी तीन क्रमागत संख्याओं का औसत केवल मध्य पद होता है। इसलिए, औसत x+2 है।

दी गई शर्त के अनुसार, यह औसत पहली संख्या x के एक-तिहाई से 12 अधिक है। इस संबंध को निम्नलिखित समीकरण द्वारा व्यक्त किया जा सकता है: x + 2 = ⅓x + 12

x का मान ज्ञात करने के लिए, चरों को एक तरफ करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करें: x - ⅓x = 12 - 2 ⅔x = 10 x = (10 × 3)/(2) x = 15

चूंकि x = 15 है, इसलिए तीन क्रमागत विषम संख्याएँ 15, 17 और 19 हैं। प्रश्न में तीनों संख्याओं में से अंतिम संख्या पूछी गई है, जो कि x + 4 = 15 + 4 = 19 है।

व्याख्या

सही औसत का निर्धारण कुल योग के लिए आवश्यक शुद्ध समायोजन की गणना करके किया जाता है। प्रविष्टि के लिए सही मानों का योग 64 + 28 = 92 है, जबकि वास्तव में गलत तरीके से दर्ज किए गए मानों का योग 46 + 82 = 128 है। कुल योग में शुद्ध परिवर्तन 92 - 128 = -36 है। औसत के लिए आवश्यक सुधार ज्ञात करने के लिए, इस शुद्ध परिवर्तन को प्रेक्षणों की कुल संख्या से विभाजित किया जाता है: ⁻³⁶⁄₁₈ = -2। प्रारंभ में दर्ज किए गए औसत में इस सुधार को लागू करने पर, सही औसत 124 - 2 = 122 है।

व्याख्या

माना एक वस्तु का क्रय मूल्य C है और एक वस्तु का विक्रय मूल्य S है। प्रश्न के अनुसार, 15 वस्तुओं का क्रय मूल्य 12 वस्तुओं के विक्रय मूल्य के बराबर है, जिससे समीकरण 15C = 12S प्राप्त होता है। इसे सरल करने पर, हमें क्रय मूल्य के सापेक्ष एक वस्तु का विक्रय मूल्य प्राप्त होता है: S = ¹⁵⁄₁₂C = ⁵⁄₄C = 1.25C।

लाभ, विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य के बीच का अंतर है: 1.25C - C = 0.25C। लाभ प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र लाभ % = (लाभ)/(C) × 100 का उपयोग करते हैं। मानों को प्रतिस्थापित करने पर (0.25C)/(C) × 100 = 25% प्राप्त होता है।

इसे उन स्थितियों के लिए शॉर्टकट सूत्र का उपयोग करके भी हल किया जा सकता है जहाँ x वस्तुओं का क्रय मूल्य y वस्तुओं के विक्रय मूल्य के बराबर होता है: लाभ % = (x - y)/(y) × 100। x = 15 और y = 12 रखने पर, हमें (15 - 12)/(12) × 100 = ³⁄₁₂ × 100 = ¼ × 100 = 25% प्राप्त होता है।

व्याख्या

माना वस्तु का अंकित मूल्य (MP) 100 है। क्रय मूल्य (CP) अंकित मूल्य का 64% दिया गया है, इसलिए CP = 64।

विक्रय मूल्य (SP) निर्धारित करने के लिए अंकित मूल्य पर 12% की छूट दी जाती है। SP = MP - छूट = 100 - 12 = 88

लाभ, विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य के बीच का अंतर होता है: लाभ = SP - CP = 88 - 64 = 24

लाभ प्रतिशत की गणना क्रय मूल्य पर निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: लाभ % = (लाभ)/(CP) × 100 लाभ % = ²⁴⁄₆₄ × 100

अंश और हर दोनों को 8 से विभाजित करके भिन्न ²⁴⁄₆₄ को सरल करने पर ⅜ प्राप्त होता है। लाभ % = ⅜ × 100 = 37.5%

व्याख्या

3 अंडों का क्रय मूल्य (CP) 5 रुपये है, इसलिए 1 अंडे का क्रय मूल्य ⁵⁄₃ रुपये है। 5 अंडों का विक्रय मूल्य (SP) 12 रुपये है, इसलिए 1 अंडे का विक्रय मूल्य ¹²⁄₅ रुपये है।

गणना को सरल बनाने के लिए, हम मात्राओं 3 और 5 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) पर विचार करते हैं, जो कि 15 है। 15 अंडों का क्रय मूल्य = 15 × ⁵⁄₃ = 25 रुपये 15 अंडों का विक्रय मूल्य = 15 × ¹²⁄₅ = 36 रुपये 15 अंडों पर लाभ = 36 - 25 = 11 रुपये

चूंकि 15 अंडों पर 11 रुपये का लाभ प्राप्त होता है, इसलिए 143 रुपये का कुल लाभ प्राप्त करने के लिए आवश्यक अंडों की संख्या कुल लाभ और 15 अंडों के प्रति इकाई लाभ के अनुपात द्वारा निर्धारित की जाती है: अंडों की संख्या = ¹⁴³⁄₁₁ × 15 = 13 × 15 = 195।

व्याख्या

प्रत्येक वस्तु का विक्रय मूल्य 4,000 रुपये है, जिससे कुल विक्रय मूल्य 8,000 रुपये हो जाता है। 25% लाभ पर बेची गई पहली वस्तु का क्रय मूल्य 4,000 / 1.25 = 3,200 रुपये है, जिसके परिणामस्वरूप 800 रुपये का लाभ होता है। कुल मिलाकर न तो कोई लाभ और न ही कोई हानि प्राप्त करने के लिए, दूसरी वस्तु पर 800 रुपये की हानि होनी चाहिए, जिसका अर्थ है कि इसका क्रय मूल्य 4,000 + 800 = 4,800 रुपये था, और हानि प्रतिशत (800 / 4,800) * 100 = 50/3% है।

व्याख्या

क्रय मूल्य (CP), विक्रय मूल्य (SP) और हानि (L) से सूत्र CP = SP + L द्वारा संबंधित है। दिया गया है कि हानि विक्रय मूल्य का 20% है, इसलिए हम L = 0.20 × SP परिभाषित करते हैं। इसे क्रय मूल्य के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर CP = SP + 0.20 × SP = 1.20 × SP प्राप्त होता है। क्रय मूल्य पर हानि प्रतिशत की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

क्रय मूल्य (CP) पर हानि % = (L)/(CP) × 100

L और CP के ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

क्रय मूल्य (CP) पर हानि % = (0.20 × SP)/(1.20 × SP) × 100

क्रय मूल्य (CP) पर हानि % = (0.20)/(1.20) × 100 = ⅙ × 100 = ⁵⁰⁄₃%

व्याख्या

प्रश्न में संबंध ⁹⁰⁄₁₀₀ × A = ³⁰⁄₁₀₀ × B दिया गया है। यह सरल होकर 90A = 30B हो जाता है, जिससे आगे B = 3A प्राप्त होता है। दूसरी शर्त के अनुसार B = A का x% है, जिसे गणितीय रूप में B = ˣ⁄₁₀₀ × A के रूप में व्यक्त किया जाता है। B के इन दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर, हमें समीकरण 3A = ˣ⁄₁₀₀ × A प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को A से विभाजित करने पर 3 = ˣ⁄₁₀₀ प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को 100 से गुणा करने पर x = 300 प्राप्त होता है।

व्याख्या

व्यय को कीमत (P) और उपभोग (C) के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है। जब व्यय को स्थिर रखा जाता है, तो कीमत और उपभोग एक-दूसरे के व्युत्क्रमानुपाती होते हैं, जिसे संबंध P₁ C₁ = P₂ C₂ द्वारा दर्शाया जाता है। कीमत बढ़ने पर उपभोग में प्रतिशत कमी ज्ञात करने का सूत्र है: प्रतिशत कमी = (P₂ - P₁)/(P₂) × 100 दी गई प्रारंभिक कीमत P₁ = 6 और नई कीमत P₂ = 7.50 है, कीमत में वृद्धि 7.50 - 6 = 1.50 है। इन मानों को समीकरण में रखने पर: प्रतिशत कमी = (1.50)/(7.50) × 100 प्रतिशत कमी = ¹⁵⁄₇₅ × 100 = ⅕ × 100 = 20%

व्याख्या

माना तीसरी संख्या 100 है। दी गई शर्तों के आधार पर, पहली संख्या तीसरी संख्या से 30% कम है, जिससे यह 100 - 30 = 70 हो जाती है। इसी प्रकार, दूसरी संख्या तीसरी संख्या से 37% कम है, जिससे यह 100 - 37 = 63 हो जाती है।

यह ज्ञात करने के लिए कि दूसरी संख्या पहली संख्या से कितने प्रतिशत कम है, दोनों के बीच के अंतर की गणना करें और उसे पहली संख्या से विभाजित करें। अंतर 70 - 63 = 7 है। अभीष्ट प्रतिशत की गणना इस प्रकार की जाती है:

प्रतिशत = (अंतर)/(पहली संख्या) × 100

प्रतिशत = ⁷⁄₇₀ × 100 = ⅒ × 100 = 10%

व्याख्या

एक निश्चित दूरी के लिए, चाल समय के व्युत्क्रमानुपाती होती है। यदि व्यक्ति अपनी सामान्य चाल की ⁶⁄₇ चाल से चलता है, तो लिया गया समय चाल के अनुपात का व्युत्क्रम होगा, जो कि उसके सामान्य समय का ⁷⁄₆ है।

माना उसका सामान्य समय T है। नया समय ⁷⁄₆T है। नए समय और सामान्य समय के बीच का अंतर 25 मिनट दिया गया है।

⁷⁄₆T - T = 25

⅙T = 25

T = 25 × 6 = 150 मिनट

मिनट को घंटे में बदलने के लिए, 60 से भाग दें: 150 मिनट = ¹⁵⁰⁄₆₀ घंटे = 2.5 घंटे

2.5 घंटे, 2 घंटे और 30 मिनट के बराबर है।

व्याख्या

स्कूल और घर के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए, हम उस दूरी के सूत्र का उपयोग करते हैं जब दो अलग-अलग गतियों के परिणामस्वरूप एक निश्चित समय सारणी के सापेक्ष दो अलग-अलग आगमन समय प्राप्त होते हैं:

दूरी = (S₁ × S₂)/(|S₁ - S₂|) × Δ T

यहाँ, गतियाँ S₁ = 5 किमी/घंटा और S₂ = 3 किमी/घंटा हैं। छात्र पहली स्थिति में 15 मिनट पहले पहुँचता है और दूसरी स्थिति में 9 मिनट देरी से पहुँचता है। इन दोनों स्थितियों के बीच कुल समयांतराल (Δ T) पहले और देरी की अवधियों का योग है:

Δ T = 15 + 9 = 24 मिनट

चूँकि गतियाँ किमी/घंटा में हैं, हम समयांतराल को घंटों में परिवर्तित करते हैं:

Δ T = ²⁴⁄₆₀ = ⅖ घंटे

इन मानों को सूत्र में रखने पर:

दूरी = (5 × 3)/(5 - 3) × ⅖

दूरी = ¹⁵⁄₂ × ⅖

दूरी = ³⁰⁄₁₀ = 3 किमी

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज के अंतर्गत, यदि कोई मूलधन t वर्षों में अपने मूल्य का n गुना हो जाता है, तो वह k × t वर्षों में अपने मूल्य का nᵏ गुना हो जाएगा। इस प्रश्न में, राशि t = 5 वर्षों में दोगुनी (n = 2) हो जाती है। दी गई कुल अवधि 20 वर्ष है।

दोगुनी होने वाली अवधियों की संख्या (k) ज्ञात करने के लिए, हम कुल समय को दोगुना होने में लगने वाले समय से विभाजित करते हैं: k = ²⁰⁄₅ = 4

20 वर्षों के बाद कुल वृद्धि कारक 2⁴ = 16 है। अंतिम मिश्रधन की गणना प्रारंभिक मूलधन को इस वृद्धि कारक से गुणा करके की जाती है: मिश्रधन = 12,000 × 16 = 1,92,000

यह मानक चक्रवृद्धि ब्याज के सिद्धांत का अनुसरण करता है जहां राशि समान समय अंतरालों में गुणोत्तर रूप से बढ़ती है। चूंकि 20 वर्षों में 5-वर्ष के चार अंतराल होते हैं, इसलिए धन क्रमिक रूप से चार बार दोगुना होता है।

व्याख्या

साधारण ब्याज का सूत्र SI = (P × R × T)/(100) है, जहाँ P मूलधन है, R प्रति वर्ष ब्याज की दर है, और T वर्षों में समय है। प्रश्न के अनुसार, 6 वर्षों का साधारण ब्याज मूलधन का ⁹⁄₂₅ है।

दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर: ⁹⁄₂₅ P = (P × R × 6)/(100)

दोनों पक्षों को P से विभाजित करने और R का मान ज्ञात करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: ⁹⁄₂₅ = (6R)/(100) R = (9 × 100)/(25 × 6) R = (9 × 4)/(6) R = ³⁶⁄₆ R = 6%

व्याख्या

दो वर्ष की अवधि के लिए, चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच का अंतर D, सूत्र D = P(ʳ⁄₁₀₀)² द्वारा निर्धारित किया जाता है, जहाँ P मूलधन को दर्शाता है और r वार्षिक ब्याज दर को दर्शाता है।

दिए गए मूलधन P = 5000 और अंतर D = 32 को सूत्र में रखने पर: 32 = 5000 × (ʳ⁄₁₀₀)² 32 = 5000 × (r²)/(10000) 32 = (r²)/(2) r² = 64 r = √(64) = 8

व्याख्या

4 अंकों की सबसे बड़ी संख्या 9999 है। इसमें जोड़ी जाने वाली वह न्यूनतम संख्या ज्ञात करने के लिए जिससे योगफल 345 से विभाज्य हो जाए, हम पहले 9999 को 345 से विभाजित करके शेषफल ज्ञात करते हैं।

विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करने पर: 9999 = (345 × 28) + 339

शेषफल 339 है। भाज्य में जोड़ी जाने वाली वह न्यूनतम संख्या जिससे यह भाजक से पूर्णतः विभाज्य हो जाए, की गणना इस प्रकार की जाती है: अभीष्ट संख्या = भाजक - शेषफल अभीष्ट संख्या = 345 - 339 = 6

जब 9999 में 6 जोड़ा जाता है, तो योगफल 10005 होता है, जो 345 से पूर्णतः विभाज्य है (345 × 29 = 10005)।

व्याख्या

17²⁰⁰ को 18 से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करने के लिए, हम मॉड्यूलर अंकगणित (modular arithmetic) के गुण का अनुप्रयोग करते हैं। हम देखते हैं कि 17 को 18 - 1 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिसका अर्थ है 17 ≡ -1 18। मॉड्यूलर अंकगणित में घात के नियम के अनुसार, aⁿ m ≡ (a m)ⁿ m। इसलिए, 17²⁰⁰ 18 ≡ (-1)²⁰⁰ 18। चूंकि घात 200 एक सम संख्या है, इसलिए (-1)²⁰⁰ सरल होकर 1 हो जाता है। परिणामस्वरूप, शेषफल 1 है।

व्याख्या

किसी संख्या की किसी भी घात के मान में इकाई का अंक केवल आधार के इकाई अंक पर निर्भर करता है। आधार 124 के लिए, इकाई का अंक 4 है। 4 की घातों के इकाई अंकों में 2 का चक्र (cycle) होता है: 4¹ = 4, 4² = 16, 4³ = 64, 4⁴ = 256, इत्यादि। यह प्रतिरूप दर्शाता है कि जब n एक सम संख्या हो, तो 4ⁿ का इकाई अंक 6 होता है और जब n एक विषम संख्या हो, तो इकाई अंक 4 होता है।

पहले पद (124)³⁷² में, घातांक 372 एक सम संख्या है, इसलिए इकाई का अंक 6 है। दूसरे पद (124)³⁷³ में, घातांक 373 एक विषम संख्या है, इसलिए इकाई का अंक 4 है। दोनों पदों के इकाई अंकों को जोड़ने पर 6 + 4 = 10 प्राप्त होता है। इस योग का इकाई अंक 0 है।

व्याख्या

संक्रिया a^* b नियम aᵇ द्वारा परिभाषित है, जहाँ पहला पद (operand) आधार है और दूसरा पद घातांक है। दिए गए मानों a = 5 और b = 3 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें 5³ प्राप्त होता है। घात की गणना करने पर, 5 × 5 × 5 = 125।

व्याख्या

दिए गए समीकरण 1.5x = 0.04y से, हमें y और x का अनुपात प्राप्त होता है: ʸ⁄ₓ = (1.5)/(0.04) = ¹⁵⁰⁄₄ = ⁷⁵⁄₂

वह व्यंजक जिसका मान ज्ञात करना है, (y² - x²)/(y² - 2xy + x²) है। बीजीय सर्वसमिकाओं a² - b² = (a - b)(a + b) और (a - b)² = a² - 2ab + b² का प्रयोग करने पर, व्यंजक इस प्रकार सरल हो जाता है: (y² - x²)/(y² - 2xy + x²) = ((y - x)(y + x))/((y - x)²) = (y + x)/(y - x)

अंश और हर दोनों को x से भाग देने पर, पहले प्राप्त किए गए अनुपात का सीधे प्रतिस्थापन किया जा सकता है: (y + x)/(y - x) = (y)/(x) + 1{ʸ⁄ₓ - 1}

समीकरण में ʸ⁄ₓ = ⁷⁵⁄₂ प्रतिस्थापित करने पर: (75)/(2) + 1{⁷⁵⁄₂ - 1} = (75 + 2)/(2){(75 - 2)/(2)} = (77/2)/(73/2) = ⁷⁷⁄₇₃

व्याख्या

X = 0.3 × 0.3 का मान ज्ञात करने के लिए, संख्याओं को इस प्रकार गुणा करें जैसे कि वे पूर्ण संख्याएँ हों और फिर दशमलव स्थानों को ध्यान में रखें। चूंकि 3 × 3 = 9 है और प्रत्येक गुणनखंड में एक दशमलव स्थान है, इसलिए गुणनफल में कुल दो दशमलव स्थान होने चाहिए। अंक 9 से दशमलव बिंदु को बाईं ओर दो स्थान खिसकाने पर 0.09 प्राप्त होता है। वैकल्पिक रूप से, दशमलव को भिन्नों में बदलने पर ³⁄₁₀ × ³⁄₁₀ = ⁹⁄₁₀₀ प्राप्त होता है, जो 0.09 के बराबर है।

व्याख्या

3²¹ को 5 से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करने के लिए, हम फर्मेट के लघु प्रमेय (Fermat's Little Theorem) का उपयोग करते हैं, जिसके अनुसार यदि p एक अभाज्य संख्या है, तो p से विभाज्य न होने वाले किसी भी पूर्णांक a के लिए, aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) होता है। यहाँ, a = 3 और p = 5 है।

इस प्रमेय के अनुसार, 3⁵⁻¹ = 3⁴ ≡ 1 (mod 5) है। हम इस आवर्तता के आधार पर घातांक 21 को इस प्रकार लिख सकते हैं: 21 = (4 × 5) + 1। घातांकों के नियमों और मापांक अंकगणित (modular arithmetic) के गुणों का उपयोग करने पर:

3²¹ = (3⁴)⁵ × 3¹

सर्वांगसमता (congruence) 3⁴ ≡ 1 (mod 5) को प्रतिस्थापित करने पर:

3²¹ ≡ (1)⁵ × 3¹ (mod 5)

3²¹ ≡ 1 × 3 ≡ 3 (mod 5)

व्याख्या

व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, अंश और हर को अलग-अलग सरल किया जाता है।

अंश 2⅓ - 1²⁄₁₁ है। इन मिश्रित भिन्नों को अनुचित भिन्नों में बदलने पर ⁷⁄₃ - ¹³⁄₁₁ प्राप्त होता है। 33 का एक सामान्य हर (लघुत्तम समापवर्त्य) ज्ञात करने पर, व्यंजक (77 - 39)/(33) = ³⁸⁄₃₃ हो जाता है।

हर एक सतत भिन्न है: 3 + (1)/(3 + 1){3 + ⅓}। नीचे से ऊपर की ओर हल करने पर, सबसे निचला पद 3 + ⅓ = ¹⁰⁄₃ है। इसे वापस प्रतिस्थापित करने पर 3 + (1)/(3 + 1){10/3} = 3 + (1)/(3 + 3){10} प्राप्त होता है। अगली परत को सरल करने पर 3 + ³⁄₁₀ = ³³⁄₁₀ प्राप्त होता है। इसे वापस प्रतिस्थापित करने पर 3 + (1)/(33/10) = 3 + ¹⁰⁄₃₃ प्राप्त होता है। हर का अंतिम मान (99 + 10)/(33) = ¹⁰⁹⁄₃₃ है।

सरलीकृत अंश को सरलीकृत हर से विभाजित करने पर, अंतिम मान की गणना (38/33)/(109/33) = ³⁸⁄₃₃ × ³³⁄₁₀₉ = ³⁸⁄₁₀₉ के रूप में की जाती है।

व्याख्या

व्यंजक (1001)²⁰⁰⁸ + 1002 का अंतिम अंक ज्ञात करने के लिए, हम केवल प्रत्येक घटक के इकाई अंक पर ध्यान केंद्रित करते हैं। किसी भी घात aⁿ का अंतिम अंक केवल आधार a के अंतिम अंक पर निर्भर करता है। पद (1001)²⁰⁰⁸ के लिए, आधार 1001 का अंतिम अंक 1 है। चूंकि 1 की किसी भी धनात्मक पूर्णांक घात का परिणाम हमेशा 1 पर समाप्त होने वाली संख्या होती है (1ⁿ = 1), इसलिए (1001)²⁰⁰⁸ का अंतिम अंक 1 है। व्यंजक का दूसरा पद 1002 है, जिसका इकाई अंक 2 है। दोनों पदों के इकाई अंकों को जोड़ने पर, हमें 1 + 2 = 3 प्राप्त होता है।

व्याख्या

इस व्यंजक को हल करने के लिए, हम अंश और हर को हर के संयुग्मी (conjugate) से गुणा करके प्रत्येक पद के हर का अलग-अलग परिमेयकरण करते हैं।

पहले पद के लिए, हम √6 - √3 से गुणा करते हैं: 3√2{√6 + √3} × √6 - √3{√6 - √3} = 3√(12) - 3√6{6 - 3} = 3(2√3 - √6){3} = 2√3 - √6

दूसरे पद के लिए, हम √6 - √2 से गुणा करते हैं: 4√3{√6 + √2} × √6 - √2{√6 - √2} = 4√(18) - 4√6{6 - 2} = 4(3√2 - √6){4} = 3√2 - √6

तीसरे पद के लिए, हम √3 - √2 से गुणा करते हैं: √6{√3 + √2} × √3 - √2{√3 - √2} = √(18) - √(12){3 - 2} = 3√2 - 2√3{1} = 3√2 - 2√3

अब, इन सरलीकृत मानों को वापस मूल व्यंजक में रखने पर: (2√3 - √6) - (3√2 - √6) + (3√2 - 2√3) 2√3 - √6 - 3√2 + √6 + 3√2 - 2√3

समान पदों को एक साथ समूहित करने पर: (2√3 - 2√3) + (-√6 + √6) + (-3√2 + 3√2) = 0 + 0 + 0 = 0

व्याख्या

संक्रिया x^*y को (x + 3)²(y - 1) के रूप में परिभाषित किया गया है। इस सूत्र में x = 5 और y = 4 प्रतिस्थापित करने पर, हम परिणाम की गणना निम्नानुसार करते हैं:

5^*4 = (5 + 3)²(4 - 1) 5^*4 = 8² × 3 5^*4 = 64 × 3 5^*4 = 192

यह गणना संक्रियाओं के क्रम का पालन करती है, जिसमें सबसे पहले कोष्ठक के भीतर के व्यंजकों को हल किया जाता है, फिर पहले पद पर घातांक लागू किया जाता है, और उसके बाद गुणा किया जाता है।

व्याख्या

अंश का प्रत्येक पद हर के संगत पद का ठीक दस गुना है। विशेष रूप से, 0.05 = 10 × 0.005, 0.41 = 10 × 0.041, और 0.073 = 10 × 0.0073। इन संबंधों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, माना a = 0.005, b = 0.041, और c = 0.0073 है। व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:

[(10a)² + (10b)² + (10c)²] / [a² + b² + c²]

कोष्ठक के भीतर गुणनफल पर घात लागू करने पर, (10k)² = 100k², अंश 100a² + 100b² + 100c² में परिवर्तित हो जाता है। अंश से उभयनिष्ठ गुणक 100 को बाहर निकालने पर प्राप्त होता है:

100(a² + b² + c²) / (a² + b² + c²)

अंश और हर में पद (a² + b² + c²) पूरी तरह से कट जाता है, जिससे नियत मान 100 बचता है।

व्याख्या

x का मान ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण के दोनों पक्षों के बीजगणितीय पदों की तुलना करते हैं। दिया गया समीकरण है: 9 - ʸ⁄ₓ = -ʸ⁄₁₂ + अचर (constant)

y वाले पदों में व्यंजक को सुसंगत बनाने के लिए, बाईं ओर y के गुणांक को 12 के उभयनिष्ठ हर (common denominator) का उपयोग करके दाईं ओर पुनरुत्पादित किया जाना चाहिए। विकल्पों से x = 3 मान का उपयोग करने पर, पद ʸ⁄ₓ इस प्रकार हो जाता है: ʸ⁄₃ = ⁴ʸ⁄₁₂

इसे समीकरण के बाईं ओर प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: 9 - ⁴ʸ⁄₁₂

हम दाईं ओर की संरचना से मिलान करने के लिए पद -⁴ʸ⁄₁₂ को विघटित (decompose) कर सकते हैं: 9 - ( ʸ⁄₁₂ + ³ʸ⁄₁₂ ) = -ʸ⁄₁₂ + 9 - ³ʸ⁄₁₂

परिणामी व्यंजक -ʸ⁄₁₂ + (9 - ʸ⁄₄) की तुलना दिए गए समीकरण के दाईं ओर -ʸ⁄₁₂ + अचर (constant) से करने पर, हम देखते हैं कि पद ʸ⁄ₓ एक ऐसे गुणांक से मेल खाता है जो ¹⁄₁₂ का गुणज है। विशेष रूप से: ¹⁄ₓ = ⁴⁄₁₂ ¹⁄ₓ = ⅓ x = 3

व्याख्या

मान लीजिए कि दो संख्याएँ x और y हैं। दी गई शर्तों के अनुसार, उनके योग और पहली संख्या का गुणनफल x(x + y) = 247 है, और उनके योग और दूसरी संख्या का गुणनफल y(x + y) = 114 है।

इन दोनों समीकरणों को आपस में जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है: x(x + y) + y(x + y) = 247 + 114 (x + y)(x + y) = 361 (x + y)² = 361

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर संख्याओं का योग प्राप्त होता है: x + y = √(361) = 19

व्याख्या

माना कि अभीष्ट संख्या x है। प्रश्न के अनुसार, संख्या का सातवां भाग उसके ग्यारहवें भाग से 100 अधिक है। इस संबंध को निम्नलिखित रैखिक समीकरण द्वारा व्यक्त किया जा सकता है:

ˣ⁄₇ - ˣ⁄₁₁ = 100

x का मान ज्ञात करने के लिए, भिन्नों का एक उभयनिष्ठ हर (common denominator) ज्ञात कीजिए, जो 7 और 11 का गुणनफल है, अर्थात 77। इस उभयनिष्ठ हर का उपयोग करके पदों को पुनः लिखिए:

(11x - 7x)/(77) = 100

अंश को सरल कीजिए:

⁴ˣ⁄₇₇ = 100

दोनों पक्षों को 77 से गुणा करके और फिर 4 से भाग देकर x को अलग कीजिए:

4x = 100 × 77

4x = 7700

x = ⁷⁷⁰⁰⁄₄ = 1925

व्याख्या

संख्याओं के किसी भी समूह का महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) हमेशा उनके लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) का एक भाजक होना चाहिए। यह संबंध इसलिए मौजूद है क्योंकि L.C.M. में शामिल संख्याओं के सभी अभाज्य गुणनखंड शामिल होते हैं, जिनमें वे गुणनखंड भी शामिल हैं जो H.C.F. बनाते हैं। परिणामस्वरूप, L.C.M. को H.C.F. से विभाजित करने पर एक पूर्ण संख्या प्राप्त होनी चाहिए। यह देखते हुए कि L.C.M. 120 है, 35 उनका H.C.F. नहीं हो सकता क्योंकि 120, 35 से पूर्णतः विभाज्य नहीं है। गणना 120 ÷ 35 के परिणामस्वरूप शेषफल 15 प्राप्त होता है, जो इस मूलभूत गुण का उल्लंघन करता है कि H.C.F. को L.C.M. का एक गुणनखंड होना चाहिए।

व्याख्या

माना कि संख्या N है। भाज्य-भाजक संबंध के अनुसार, N = 49k + 32, जहाँ k एक पूर्णांक भागफल है। N को 7 से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करने के लिए, हम N / 7 की गणना करते हैं। चूंकि पहला भाजक 49, दूसरे भाजक 7 का एक गुणज है, इसलिए पद 49k बिना किसी शेषफल के 7 से पूर्णतः विभाज्य है। इसलिए, अभीष्ट शेषफल मूल शेषफल 32 को 7 से विभाजित करके प्राप्त किया जा सकता है। 32 को 7 के पदों में व्यक्त करने पर, हमें 32 = 7 × 4 + 4 प्राप्त होता है। अतः शेषफल 4 है।

व्याख्या

मान लीजिए कि सही उत्तरों की संख्या x है। चूंकि छात्र सभी 75 प्रश्नों को हल करता है, इसलिए गलत उत्तरों की संख्या 75 - x होगी। प्रत्येक सही उत्तर के लिए 4 अंक और प्रत्येक गलत उत्तर के लिए 1 अंक के दंड की अंकन योजना के आधार पर, कुल अंकों को निम्नलिखित समीकरण द्वारा दर्शाया जा सकता है:

4x - 1(75 - x) = 125

समीकरण को हल करने पर: 4x - 75 + x = 125 5x = 125 + 75 5x = 200 x = 40

वैकल्पिक रूप से, इसे कुल संभावित अंकों पर विचार करके भी हल किया जा सकता है। यदि सभी 75 प्रश्नों के सही उत्तर दिए गए होते, तो छात्र को 75 × 4 = 300 अंक प्राप्त होते। 125 अंकों का वास्तविक प्राप्तांक कुल 300 - 125 = 175 अंकों की हानि को दर्शाता है। प्रत्येक गलत उत्तर के कारण छात्र को 5 अंकों की हानि होती है (छूटे हुए सही उत्तर के लिए 4 अंक और दंड के लिए 1 अंक)। कुल हानि को प्रति गलत उत्तर पर होने वाली हानि से विभाजित करने पर 175 / 5 = 35 गलत उत्तर प्राप्त होते हैं। इस प्रकार, सही उत्तरों की संख्या 75 - 35 = 40 है।

व्याख्या

यह निर्धारित करने के लिए कि ट्रैफिक लाइटें अगली बार एक साथ कब बदलेंगी, हम दिए गए अंतरालों: 24, 36 और 54 सेकंड का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करते हैं। इन संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन इस प्रकार है: 24 = 2³ × 3 36 = 2² × 3² 54 = 2 × 3³

संख्याओं में मौजूद प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात लेकर LCM की गणना की जाती है: LCM = 2³ × 3³ = 8 × 27 = 216 सेकंड

216 सेकंड को मिनट और सेकंड में बदलने पर: 216 / 60 = 3 मिनट और 36 सेकंड

इस अवधि को प्रारंभिक एक साथ बदलने के समय 10:15:00 AM में जोड़ने पर: 10:15:00 AM + 3 मिनट 36 सेकंड = 10:18:36 AM

व्याख्या

A के कार्य करने की दैनिक दर 1/12 है क्योंकि वह पूरे कार्य को 12 दिनों में पूरा कर सकता है। पहले 3 दिनों में, A कार्य का 3 × (1/12) = 1/4 भाग पूरा करता है। पूरा किया जाने वाला शेष कार्य 1 - 1/4 = 3/4 है।

A और B मिलकर इस शेष 3/4 कार्य को 3 दिनों में पूरा करते हैं। इसलिए, उनकी संयुक्त दैनिक कार्य दर (3/4) / 3 = 1/4 है। यदि हम B के कार्य करने की दैनिक दर को 1/B के रूप में दर्शाते हैं, तो उनकी व्यक्तिगत दरों का योग उनकी संयुक्त दर के बराबर होता है: 1/12 + 1/B = 1/4।

B की दर ज्ञात करने के लिए, संयुक्त दर में से A की दर को घटाएं: 1/B = 1/4 - 1/12। 12 के सामान्य हर (common denominator) का उपयोग करने पर, यह 1/B = 3/12 - 1/12 = 2/12 = 1/6 हो जाता है। चूंकि B के कार्य करने की दर 1/6 प्रति दिन है, इसलिए B अकेला इस कार्य को 6 दिनों में पूरा कर सकता है।

व्याख्या

एक साथ काम करने वाले दो व्यक्तियों की संयुक्त कार्यक्षमता, कार्य को पूरा करने में लगने वाले समय का व्युत्क्रम (reciprocal) होती है। मान लीजिए कि A, B और C की दैनिक कार्य दर को उनके संबंधित अक्षरों द्वारा दर्शाया गया है। प्रश्न के अनुसार: A + B = 1/8 B + C = 1/12 C + A = 1/8

इन समीकरणों को जोड़ने पर प्राप्त होता है: 2(A + B + C) = 1/8 + 1/12 + 1/8। इन भिन्नों को जोड़ने के लिए, 24 के सामान्य हर (common denominator) का उपयोग करें: 2(A + B + C) = (3 + 2 + 3)/24 = 8/24 = 1/3

2 से भाग देने पर तीनों व्यक्तियों की संयुक्त कार्यक्षमता प्राप्त होती है: A + B + C = 1/6

चूंकि कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक समय कुल कार्यक्षमता का व्युत्क्रम होता है, इसलिए A, B और C मिलकर इस कार्य को 6 दिनों में पूरा करेंगे।