एसएससी सीजीएल टियर 1 2011 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

त्रिभुजाकार मैदान के क्षेत्रफल की गणना हीरोन के सूत्र (Heron's formula) का उपयोग करके की जाती है। दी गई भुजाएँ a = 26 मीटर, b = 28 मीटर और c = 30 मीटर हैं, अर्ध-परिमाप (semi-perimeter) s = (26 + 28 + 30) / 2 = 42 मीटर है। क्षेत्रफल A = √(s(s-a)(s-b)(s-c)) = √(42(42-26)(42-28)(42-30)) = √(42 × 16 × 14 × 12) द्वारा दिया गया है। इसे सरल करने पर, A = √((14 × 3) × 16 × 14 × (4 × 3)) = 14 × 3 × 4 × 2 = 336 वर्ग मीटर।

तीनों गायें कोनों पर बंधी हुई हैं, और प्रत्येक गाय द्वारा चरा गया क्षेत्र त्रिज्या r = 7 मीटर वाले एक वृत्त का त्रिज्यखंड (sector) बनाता है। चूंकि किसी भी त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग 180° होता है, इसलिए तीनों त्रिज्यखंडों का संयुक्त क्षेत्रफल एक अर्धवृत्त के क्षेत्रफल के बराबर होता है। कुल चरा गया क्षेत्रफल = ½ π r² = ½ × ²²⁄₇ × 7² = 77 वर्ग मीटर है।

बिना चरा गया क्षेत्रफल, त्रिभुज के कुल क्षेत्रफल में से कुल चरे गए क्षेत्रफल को घटाने पर प्राप्त होता है, जो कि 336 - 77 = 259 वर्ग मीटर है।

व्याख्या

56 का लाभ, क्रय मूल्य (CP) पर 10% लाभ को दर्शाता है। संबंध 'लाभ = लाभ % × CP' का उपयोग करने पर, हमें 56 = 0.10 × CP प्राप्त होता है, जिससे CP = 560 मिलता है। विक्रय मूल्य (SP) क्रय मूल्य और लाभ का योग है, जिसकी गणना SP = 560 + 56 = 616 के रूप में की जाती है। दुकानदार विज्ञापित मूल्य (MP) पर 23% कमीशन देता है, जिसका अर्थ है कि विक्रय मूल्य विज्ञापित मूल्य का 100% - 23% = 77% है। इसे समीकरण 0.77 × MP = 616 द्वारा व्यक्त किया जाता है। विज्ञापित मूल्य के लिए हल करने पर, MP = 616 / 0.77 = 800 प्राप्त होता है।

व्याख्या

10%, 12% और 5% की तीन क्रमिक छूटों के समतुल्य एकल छूट निर्धारित करने के लिए, हम प्रारंभिक मूल्य 100 के सापेक्ष अंतिम मूल्य की गणना करते हैं। 10% की पहली छूट के बाद, मूल्य 100 × (1 - 0.10) = 90 हो जाता है। इस परिणाम पर 12% की दूसरी छूट लागू करने पर 90 × (1 - 0.12) = 90 × 0.88 = 79.2 प्राप्त होता है। अंत में, 5% की तीसरी छूट लागू करने पर 79.2 × (1 - 0.05) = 79.2 × 0.95 = 75.24 प्राप्त होता है। समतुल्य एकल छूट मूल मूल्य से कुल कमी है, जो कि 100 - 75.24 = 24.76% है।

इसे क्रमिक छूट के सूत्र x + y - (xy/100) का उपयोग करके भी हल किया जा सकता है। इसे पहले दो छूटों पर लागू करने से 10 + 12 - (10 × 12)/(100) = 20.8% प्राप्त होता है। इस परिणाम को तीसरी छूट के साथ मिलाने पर 20.8 + 5 - (20.8 × 5)/(100) = 25.8 - 1.04 = 24.76% प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिया गया अनुपात x:y = 5:6 है, हम किसी स्थिरांक k के लिए x = 5k और y = 6k मान सकते हैं। व्यंजक (3x - 2y) : (y - x) को भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है और इन मानों को प्रतिस्थापित करके हल किया जा सकता है:

(3x - 2y)/(y - x) = (3(5k) - 2(6k))/(6k - 5k)

(15k - 12k)/(k) = ³ᵏ⁄ₖ

³⁄₁

यह सरल होकर अनुपात 3:1 हो जाता है।

व्याख्या

तांबा, जस्ता और निकेल का प्रारंभिक अनुपात 5:3:2 है। इन अनुपात भागों का योग 5 + 3 + 2 = 10 है। चूंकि मिश्र धातु का कुल वजन 100 किग्रा है, इसलिए एक अनुपात भाग के संगत वजन 100 / 10 = 10 किग्रा है।

मिश्र धातु में निकेल की प्रारंभिक मात्रा 2 × 10 = 20 किग्रा है।

निकेल मिलाने के बाद नया अनुपात 5:3:3 है। चूंकि केवल निकेल मिलाया जाता है, इसलिए तांबे (5) और जस्ते (3) के अनुपात भाग एक-दूसरे के सापेक्ष अपरिवर्तित रहते हैं और उनका वास्तविक वजन समान रहता है। नए अनुपात में, निकेल का भाग 2 भाग से बढ़कर 3 भाग हो जाता है, यानी 1 भाग की वृद्धि होती है। चूंकि 1 अनुपात भाग 10 किग्रा के बराबर है, इसलिए मिलाई जाने वाली निकेल की मात्रा 10 किग्रा है। वैकल्पिक रूप से, निकेल की नई कुल मात्रा 3 × 10 = 30 किग्रा है, और मिलाई गई मात्रा 30 - 20 = 10 किग्रा है।

व्याख्या

माना 10 वर्ष पूर्व राम और रहीम की आयु क्रमशः x और 3x थी। उनकी वर्तमान आयु (x + 10) और (3x + 10) है।

वर्तमान से पाँच वर्ष बाद, उनकी आयु (x + 15) और (3x + 15) होगी। दी गई शर्त के अनुसार:

(x + 15)/(3x + 15) = 2/3

तिर्यक गुणन (cross-multiplying) करने पर: 3(x + 15) = 2(3x + 15) 3x + 45 = 6x + 30 15 = 3x x = 5

उनकी वर्तमान आयु के समीकरणों में x का मान रखने पर: राम की वर्तमान आयु = 5 + 10 = 15 वर्ष रहीम की वर्तमान आयु = 3(5) + 10 = 25 वर्ष

उनकी वर्तमान आयु का अनुपात 15:25 है। दोनों पदों को उनके महत्तम समापवर्तक (GCD), 5 से विभाजित करने पर, हमें सरल अनुपात 3:5 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि A, B और C की आय क्रमशः 7x, 9x और 12x है। मान लीजिए कि उनके खर्च क्रमशः 8y, 9y और 15y हैं। प्रश्न के अनुसार, A अपनी आय का 1/4 भाग बचाता है, जिसका अर्थ है कि उसका खर्च उसकी आय का 3/4 भाग है।

हम A के लिए समीकरण इस प्रकार लिख सकते हैं: 8y = ¾ × 7x। इसे सरल करने पर, हमें 32y = 21x प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है x = ³²ʸ⁄₂₁। y के पदों में उनकी आय का अनुपात ज्ञात करने के लिए x का यह मान रखने पर: A की आय = 7 × ³²ʸ⁄₂₁ = ³²ʸ⁄₃ B की आय = 9 × ³²ʸ⁄₂₁ = ⁹⁶ʸ⁄₇ C की आय = 12 × ³²ʸ⁄₂₁ = ¹²⁸ʸ⁄₇

बचत की गणना आय में से खर्च घटाकर की जाती है: A की बचत = ³²ʸ⁄₃ - 8y = (32y - 24y)/(3) = ⁸ʸ⁄₃ B की बचत = ⁹⁶ʸ⁄₇ - 9y = (96y - 63y)/(7) = ³³ʸ⁄₇ C की बचत = ¹²⁸ʸ⁄₇ - 15y = (128y - 105y)/(7) = ²³ʸ⁄₇

A:B:C का अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम उनकी बचत का अनुपात लेते हैं: ⁸⁄₃ : ³³⁄₇ : ²³⁄₇ पूरे अनुपात को हरों के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से गुणा करने पर, जो कि 21 है: 8 × 7 : 33 × 3 : 23 × 3 56 : 99 : 69

व्याख्या

चारों संख्याओं का कुल योग औसत को संख्या से गुणा करके निकाला जाता है: 60 × 4 = 240। माना पहली संख्या x है और शेष तीन संख्याओं का योग S है। प्रश्न के अनुसार, पहली संख्या अंतिम तीन संख्याओं के योग की एक-चौथाई है, जिसे x = ¼S, या S = 4x के रूप में व्यक्त किया जाता है। सभी चारों संख्याओं के कुल योग को पहली संख्या और अन्य तीन संख्याओं के योग के रूप में लिखा जा सकता है: x + S = 240। इस समीकरण में S = 4x प्रतिस्थापित करने पर x + 4x = 240 प्राप्त होता है, जो सरल होकर 5x = 240 हो जाता है। x का मान ज्ञात करने पर, हमें x = ²⁴⁰⁄₅ = 48 प्राप्त होता है।

व्याख्या

नया औसत सही प्रेक्षण और गलत प्रेक्षण के बीच के अंतर को ध्यान में रखकर निकाला जाता है।

अंतर = सही मान - गलत मान = 73 - 48 = 25

चूंकि प्रेक्षणों का योग 25 बढ़ जाता है, इसलिए औसत में वृद्धि सभी 25 प्रेक्षणों में वितरित हो जाएगी।

औसत में वृद्धि = (कुल अंतर)/(प्रेक्षणों की संख्या) = ²⁵⁄₂₅ = 1

नया औसत = पुराना औसत + औसत में वृद्धि = 13 + 1 = 14

व्याख्या

माना एक वस्तु का क्रय मूल्य (CP) x है। प्रश्न के अनुसार, 10 वस्तुओं का क्रय मूल्य, 8 वस्तुओं के विक्रय मूल्य (SP) के बराबर है। इसलिए, 8 वस्तुओं का विक्रय मूल्य (SP) 10x है। एक वस्तु का विक्रय मूल्य ज्ञात करने के लिए, हम कुल विक्रय मूल्य को वस्तुओं की संख्या से विभाजित करते हैं: 1 वस्तु का विक्रय मूल्य (SP) = 10x / 8 = 1.25x.

प्रत्येक वस्तु पर प्राप्त लाभ उसके विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य के बीच का अंतर है: लाभ = 1.25x - x = 0.25x। इसे प्रतिशत के रूप में व्यक्त करने के लिए, हम सूत्र लाभ % = (लाभ / क्रय मूल्य) × 100 का उपयोग करते हैं। सूत्र में मान रखने पर लाभ % = (0.25x / x) × 100 = 25% प्राप्त होता है।

वैकल्पिक रूप से, उन समस्याओं के लिए जहाँ m वस्तुओं का क्रय मूल्य (CP), n वस्तुओं के विक्रय मूल्य (SP) के बराबर होता है, लाभ या हानि प्रतिशत की गणना सूत्र लाभ % = [(m - n) / n] × 100 का उपयोग करके की जा सकती है। m = 10 और n = 8 रखने पर, हमें [(10 - 8) / 8] × 100 = (2 / 8) × 100 = (1 / 4) × 100 = 25% प्राप्त होता है।

व्याख्या

जब मूल्य में वृद्धि (मार्कअप) के बाद छूट दी जाती है, तो शुद्ध लाभ या हानि प्रतिशत की गणना क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र: x + y + ˣʸ⁄₁₀₀ का उपयोग करके की जा सकती है।

इस मामले में, मूल्य वृद्धि x = 40% है और छूट y = -30% है। इन मानों को सूत्र में रखने पर प्राप्त होता है:

शुद्ध परिवर्तन = 40 - 30 + (40 × (-30))/(100)

शुद्ध परिवर्तन = 10 - ¹²⁰⁰⁄₁₀₀

शुद्ध परिवर्तन = 10 - 12 = -2%

ऋणात्मक चिह्न 2% की हानि को दर्शाता है।

वैकल्पिक रूप से, यदि हम मान लें कि क्रय मूल्य 100 है, तो 40% मूल्य वृद्धि के बाद अंकित मूल्य 140 हो जाता है। 140 पर 30% की छूट 42 होगी, जिससे विक्रय मूल्य 140 - 42 = 98 हो जाता है। चूंकि विक्रय मूल्य, क्रय मूल्य से 2 कम है, इसलिए 2% की हानि होती है।

व्याख्या

एक विशिष्ट लाभ अर्जित करने के लिए आवश्यक संतरों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले प्रति संतरा क्रय मूल्य और विक्रय मूल्य निर्धारित करते हैं। 8 संतरों का क्रय मूल्य 34 है, जिसका अर्थ है कि एक संतरे का क्रय मूल्य 34 / 8 = 4.25 है। 12 संतरों का विक्रय मूल्य 57 है, जिससे एक संतरे का विक्रय मूल्य 57 / 12 = 4.75 हो जाता है। प्रत्येक व्यक्तिगत संतरे पर अर्जित लाभ विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य के बीच का अंतर है, जिसकी गणना 4.75 - 4.25 = 0.50 के रूप में की जाती है। 45 का कुल शुद्ध लाभ प्राप्त करने के लिए, हम वांछित कुल लाभ को प्रति संतरा अर्जित लाभ से विभाजित करते हैं। इससे हमें 45 / 0.50 = 90 प्राप्त होता है।

वैकल्पिक रूप से, मात्राओं 8 और 12 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM), जो कि 24 है, का उपयोग करके हम 24 संतरों के लेनदेन की तुलना कर सकते हैं। 24 संतरों का क्रय मूल्य 3 × 34 = 102 है, और 24 संतरों का विक्रय मूल्य 2 × 57 = 114 है। इसके परिणामस्वरूप बेचे गए प्रत्येक 24 संतरों पर 114 - 102 = 12 का लाभ होता है। 45 के लाभ के लिए आवश्यक मात्रा ज्ञात करने के लिए, हम अनुपात 24 × (45 / 12) = 90 का उपयोग करते हैं।

व्याख्या

दोनों वस्तुओं का कुल विक्रय मूल्य 5000 + 5000 = 10000 है। चूंकि व्यक्ति को पूरे लेनदेन पर न तो कोई लाभ होता है और न ही कोई हानि, इसलिए दोनों वस्तुओं का कुल क्रय मूल्य भी 10000 होना चाहिए।

पहली वस्तु के लिए, विक्रय मूल्य 5000 है और लाभ 25% है। इस वस्तु का क्रय मूल्य सूत्र CP₁ = (SP × 100)/(100 + लाभ%) = (5000 × 100)/(125) = 4000 का उपयोग करके निकाला जाता है। पहली वस्तु पर प्राप्त लाभ 5000 - 4000 = 1000 है।

यह सुनिश्चित करने के लिए कि कुल मिलाकर कोई लाभ या हानि न हो, पहली वस्तु से प्राप्त 1000 के लाभ की भरपाई दूसरी वस्तु पर 1000 की हानि से होनी चाहिए। दूसरी वस्तु के लिए, विक्रय मूल्य 5000 है और हानि 1000 है, इसलिए क्रय मूल्य CP₂ = SP + हानि = 5000 + 1000 = 6000 है।

दूसरी वस्तु पर हानि प्रतिशत की गणना इस प्रकार की जाती है: (हानि)/(CP₂) × 100 = ¹⁰⁰⁰⁄₆₀₀₀ × 100 = ¹⁰⁰⁄₆ = 16 ⅔%।

व्याख्या

माना वस्तु का क्रय मूल्य x है। प्रश्नानुसार, लाभ प्रतिशत भी x% है। विक्रय मूल्य (SP), क्रय मूल्य (CP) और लाभ प्रतिशत के बीच संबंध सूत्र SP = CP × (1 + (लाभ%)/(100)) द्वारा दिया जाता है।

सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर: 144 = x × (1 + x/100) 144 = (100x + x²)/(100) x² + 100x - 14400 = 0

इस द्विघात समीकरण को हल करने के लिए, हम मध्य पद का गुणनखंड करते हैं: x² + 180x - 80x - 14400 = 0 x(x + 180) - 80(x + 180) = 0 (x - 80)(x + 180) = 0

इससे x = 80 या x = -180 प्राप्त होता है। चूंकि क्रय मूल्य ऋणात्मक नहीं हो सकता, इसलिए हम x = 80 लेते हैं। वैकल्पिक रूप से, विकल्पों की जाँच करने पर, यदि क्रय मूल्य (CP) = 80 है, तो लाभ 80 का 80% है, जो कि 64 है। विक्रय मूल्य (SP) = 80 + 64 = 144, जो दी गई जानकारी से मेल खाता है।

व्याख्या

मीरा द्वारा दी गई कुल प्रतिशत राशि = 15% + 32% + 25% = 72% है। उसकी कुल राशि का शेष प्रतिशत = 100% - 72% = 28% है।

माना मीरा के पास कुल धनराशि x थी। प्रश्न के अनुसार, शेष धनराशि का ¾ भाग 8,400 है। हम समीकरण इस प्रकार लिख सकते हैं: ¾ × ²⁸⁄₁₀₀ × x = 8,400

समीकरण को सरल करने पर: (3 × 7)/(100) × x = 8,400 ²¹⁄₁₀₀ × x = 8,400 x = (8,400 × 100)/(21) x = 40,000

मीरा के पास कुल धनराशि 40,000 थी। उसने अनीश को जो राशि दी, वह इस कुल राशि का 15% थी: अनीश का हिस्सा = ¹⁵⁄₁₀₀ × 40,000 = 6,000

व्याख्या

54 रुपये के कुल खर्च पर 20% की मूल्य कमी के कारण बची हुई राशि की गणना इस प्रकार की जाती है: 0.20 × 54 = 10.8। यह बची हुई 10.8 की राशि वास्तव में 10 अतिरिक्त सेबों की कीमत के बराबर है। इस प्रकार, एक सेब की घटी हुई कीमत = (10.8)/(10) = 1.08 है। प्रति दर्जन घटी हुई कीमत ज्ञात करने के लिए, हम एक सेब की कीमत को 12 से गुणा करते हैं। इसलिए, प्रति दर्जन घटी हुई कीमत 1.08 × 12 = 12.96 है।

व्याख्या

किसी वस्तु पर होने वाला खर्च उसकी कीमत और उपभोग की गई मात्रा का गुणनफल होता है। जब कीमत में r% की वृद्धि होती है, तो खर्च को स्थिर रखने के लिए, खपत में सूत्र (r)/(100 + r) × 100% द्वारा कमी की जानी चाहिए। यहाँ, कीमत में वृद्धि r = 60% है। इस मान को सूत्र में रखने पर, कमी का प्रतिशत (60)/(100 + 60) × 100 है, जो सरल होकर ⁶⁰⁄₁₆₀ × 100 हो जाता है। भिन्न ⁶⁰⁄₁₆₀ को सरल करने पर ⅜ प्राप्त होता है। ⅜ को 100 से गुणा करने पर 37.5% प्राप्त होता है। इसे इस प्रकार भी समझा जा सकता है कि मान लीजिए प्रारंभिक कीमत 10 है और खपत 10 है, जिससे खर्च 100 हो जाता है। 60% की वृद्धि से नई कीमत 16 हो जाती है। खर्च को 100 बनाए रखने के लिए, नई खपत ¹⁰⁰⁄₁₆ होनी चाहिए, जो 6.25 के बराबर है। मूल खपत 10 से कमी 10 - 6.25 = 3.75 है, जो मूल मात्रा का 37.5% है।

व्याख्या

इस समस्या को भारित औसत (weighted averages) के सिद्धांत या सरल वितरण गुणों (distributive properties) का उपयोग करके हल किया जा सकता है। मान लीजिए कि A, B और G क्रमशः एक सेब, एक केले और एक अमरूद की प्रारंभिक कीमत को दर्शाते हैं। फलों की प्रारंभिक कुल कीमत T = 4B + 2A + 3G है।

प्रश्न के अनुसार, प्रत्येक प्रकार के फल की कीमत में 10% की वृद्धि होती है। इसलिए, नई कीमतें 1.10A, 1.10B और 1.10G हैं। नई कुल कीमत T' की गणना इस प्रकार की जाती है:

T' = 4(1.10B) + 2(1.10A) + 3(1.10G)

प्रत्येक पद से उभयनिष्ठ गुणक (common multiplier) 1.10 को बाहर निकालने पर, हमें प्राप्त होता है:

T' = 1.10(4B + 2A + 3G)

T' = 1.10T

कुल कीमत में प्रतिशत वृद्धि का सूत्र इस प्रकार है:

प्रतिशत वृद्धि = (T' - T)/(T) × 100

T' = 1.10T प्रतिस्थापित करने पर:

प्रतिशत वृद्धि = (1.10T - T)/(T) × 100 = (0.10T)/(T) × 100 = 10%

जब भी किसी रैखिक संयोजन (linear combination) में प्रत्येक व्यक्तिगत घटक में समान प्रतिशत की वृद्धि होती है, तो उस संयोजन का कुल योग भी उसी प्रतिशत से बढ़ेगा, चाहे घटकों की व्यक्तिगत मात्रा या मूल कीमतें कुछ भी हों।

व्याख्या

एक निश्चित दूरी के लिए, चाल और समय एक दूसरे के व्युत्क्रमानुपाती होते हैं (S ∝ 1/T)। जब चाल सामान्य चाल की 6/7 हो जाती है, तो लिया गया समय उसका व्युत्क्रम हो जाता है, जो कि सामान्य समय का 7/6 है।

मान लीजिए सामान्य समय T है। प्रश्न के अनुसार, नए समय और सामान्य समय के बीच का अंतर 12 मिनट है: ⁷⁄₆T - T = 12 ⅙T = 12 T = 72 मिनट

72 मिनट को घंटे और मिनट में बदलने के लिए, हम इसे 60 से विभाजित करते हैं: 72 मिनट = 1 घंटा और 12 मिनट

व्याख्या

दो बिंदुओं के बीच की दूरी d, जब कोई व्यक्ति अलग-अलग गतियों v₁ और v₂ से यात्रा करता है और एक विशिष्ट समयांतराल Δ t के साथ पहुँचता है, तो इसकी गणना सूत्र d = (v₁ · v₂)/(v₂ - v₁) · Δ t का उपयोग करके की जा सकती है। इस परिदृश्य में, दो गतियाँ v₁ = 5 किमी/घंटा और v₂ = 6 किमी/घंटा हैं। कुल समयांतराल Δ t, 7 मिनट देरी से पहुँचने और 5 मिनट पहले पहुँचने के बीच का अंतराल है, जो कि 7 + 5 = 12 मिनट है। चूँकि गति किमी/घंटा में है, इसलिए समयांतराल को घंटों में परिवर्तित किया जाना चाहिए: Δ t = ¹²⁄₆₀ = ⅕ घंटा। इन मानों को सूत्र में रखने पर d = (5 · 6)/(6 - 5) · ⅕ प्राप्त होता है। व्यंजक को सरल करने पर d = ³⁰⁄₁ · ⅕ = 6 किमी प्राप्त होता है।

व्याख्या

प्रारंभिक ब्याज दर R की गणना साधारण ब्याज के सूत्र SI = (P × R × T)/(100) का उपयोग करके की जाती है। दिया गया है कि 3 वर्षों में 800 रुपये बढ़कर 956 रुपये हो जाते हैं, इसलिए अर्जित ब्याज = 956 - 800 = 156 है। सूत्र में मान रखने पर:

156 = (800 × R × 3)/(100) 156 = 24R R = ¹⁵⁶⁄₂₄ = 6.5%

ब्याज की नई दर में 4% की वृद्धि की गई है, इसलिए नई दर = 6.5% + 4% = 10.5% है। इस नई दर पर 3 वर्षों में 1800 रुपये की राशि कितनी हो जाएगी, यह ज्ञात करने के लिए, हम पहले नया ब्याज ज्ञात करते हैं:

SI_new = (1800 × 10.5 × 3)/(100) SI_new = 18 × 31.5 = 567

अंतिम मिश्रधन (Amount), मूलधन और ब्याज का योग है: मिश्रधन = 1800 + 567 = 2367

व्याख्या

साधारण ब्याज का मानक सूत्र SI = (P × R × T)/(100) है, जहाँ P मूलधन है, R प्रति वर्ष ब्याज की दर है, और T वर्षों में समय है।

प्रश्न के अनुसार, SI = 16/25 P और दर तथा समय के संख्यात्मक मान समान हैं, इसलिए R = T।

इन मानों को सूत्र में रखने पर 16/25 P = (P × R × R)/(100) प्राप्त होता है। दोनों पक्षों से P को काटने पर, समीकरण 16/25 = R²/100 बन जाता है। R² का मान ज्ञात करने के लिए इसे व्यवस्थित करने पर, हमें R² = (16 × 100)/(25) = 16 × 4 = 64 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर R = √(64) = 8 प्राप्त होता है। अतः, दर प्रतिशत 8% है।

व्याख्या

2 वर्ष की अवधि के लिए चक्रवृद्धि ब्याज (C.I.) और साधारण ब्याज (S.I.) के बीच के अंतर की गणना सूत्र D = P ( ʳ⁄₁₀₀ )² का उपयोग करके की जाती है, जहाँ P मूलधन है और r वार्षिक ब्याज दर है। दिया गया है कि अंतर D, 6 है और दर r, 5% है, इसलिए समीकरण 6 = P ( ⁵⁄₁₀₀ )² बनता है।

कोष्ठक के भीतर के भिन्न को सरल करने पर 6 = P ( ¹⁄₂₀ )² प्राप्त होता है। वर्ग करने पर परिणाम 6 = P × ¹⁄₄₀₀ प्राप्त होता है। मूलधन ज्ञात करने के लिए तिर्यक-गुणन (cross-multiplication) करने पर, P = 6 × 400, जो 2400 के बराबर है।