एसएससी सीजीएल टियर 1 2010 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

पुरुषों, दिनों और कार्य के बीच का संबंध सूत्र (M₁ × D₁)/(W₁) = (M₂ × D₂)/(W₂) द्वारा परिभाषित किया गया है। दिया गया है: M₁ = 7 पुरुष, D₁ = 12 दिन, और W₁ = 1 इकाई कार्य। हमें D₂ = 8 दिनों में W₂ = 2 इकाई कार्य के लिए आवश्यक कुल पुरुषों M₂ की संख्या ज्ञात करनी है।

(7 × 12)/(1) = (M₂ × 8)/(2)

84 = 4 × M₂

M₂ = 21

आवश्यक कुल पुरुषों की संख्या 21 है। आवश्यक अतिरिक्त पुरुषों की संख्या ज्ञात करने के लिए, कुल पुरुषों में से मूल 7 पुरुषों को घटाएं: 21 - 7 = 14।

व्याख्या

मान लीजिए धीमे पाइप की दर x है। चूंकि तेज पाइप टंकी को तीन गुना तेजी से भरता है, इसलिए इसकी दर 3x है। जब दोनों पाइप एक साथ काम करते हैं, तो उनके भरने की संयुक्त दर x + 3x = 4x होती है।

टंकी की कुल क्षमता को संयुक्त दर और लिए गए समय के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है: क्षमता = 4x × 36 = 144x

अकेले धीमे पाइप द्वारा टंकी को भरने में लिया गया समय कुल क्षमता को उसकी व्यक्तिगत दर से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: समय = ¹⁴⁴ˣ⁄ₓ = 144 मिनट

144 मिनट को घंटे और मिनट में बदलने के लिए, हम इसे 60 से विभाजित करते हैं: 144 मिनट = 120 मिनट + 24 मिनट = 2 घंटे और 24 मिनट

व्याख्या

मान लीजिए सही उत्तरों की संख्या x है। चूंकि छात्र ने सभी 200 प्रश्नों को हल किया है, इसलिए गलत उत्तरों की संख्या 200 - x है। प्रत्येक सही उत्तर के लिए 4 अंक और प्रत्येक गलत उत्तर के लिए 1 अंक की कटौती के अंकन नियमों के आधार पर, कुल अंकों को निम्नलिखित समीकरण द्वारा दर्शाया जा सकता है:

4x - 1(200 - x) = 200

समीकरण को हल करने पर: 4x - 200 + x = 200 5x = 400 x = 80

वैकल्पिक रूप से, मिश्रण (alligation) के नियम का उपयोग करते हुए, यदि सभी 200 प्रश्न सही होते, तो छात्र को 800 अंक प्राप्त होते। यदि सभी 200 प्रश्न गलत होते, तो छात्र को -200 अंक प्राप्त होते। वास्तविक प्राप्तांक 200 है। सही और गलत उत्तरों का अनुपात (200 - (-200)) : (800 - 200) है, जो कि 400 : 600 या 2 : 3 है। 200 प्रश्नों को 2 : 3 के अनुपात में विभाजित करने पर 200 × (2 / 5) = 80 सही उत्तर प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

100 तक की विषम संख्याओं में अनुक्रम 1, 3, 5, …, 99 शामिल हैं। यह अनुक्रम एक समांतर श्रेणी है जहाँ प्रथम पद a = 1 और अंतिम पद l = 99 है। किसी भी समांतर श्रेणी के औसत की गणना सूत्र (a + l)/(2) का उपयोग करके की जा सकती है। इस सूत्र में मान रखने पर, हमें (1 + 99)/(2) = ¹⁰⁰⁄₂ = 50 प्राप्त होता है।

वैकल्पिक रूप से, इस अनुक्रम में पदों की संख्या n, 50 है। इस गणितीय गुण का उपयोग करते हुए कि प्रथम n विषम प्राकृतिक संख्याओं का योग n² होता है, औसत की गणना (योग)/(n) = n²{n} = n के रूप में की जाती है। चूंकि 1 और 100 के बीच ठीक 50 विषम संख्याएं हैं, इसलिए औसत 50 है।

व्याख्या

माना B की आय 100 इकाई है। चूंकि A की आय, B की आय से 25% कम है, इसलिए A की आय 100 - 25 = 75 इकाई है। यह निर्धारित करने के लिए कि B की आय, A की आय से कितने प्रतिशत अधिक है, तुलना A की आय के सापेक्ष की जानी चाहिए। उनकी आय के बीच का पूर्ण अंतर 100 - 75 = 25 इकाई है। वह प्रतिशत जिससे B की आय, A की आय से अधिक है, की गणना (अंतर)/(A की आय) × 100 के रूप में की जाती है, जिसके परिणामस्वरूप ²⁵⁄₇₅ × 100 प्राप्त होता है। भिन्न ²⁵⁄₇₅ को सरल करने पर ⅓ प्राप्त होता है, और ⅓ × 100 = ¹⁰⁰⁄₃ % होता है।

इसे व्युत्क्रम संबंधों के लिए प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके सीधे भी हल किया जा सकता है: यदि A, B से r% कम है, तो B, A से [(r)/(100 - r) × 100]% अधिक है। सूत्र में r = 25 प्रतिस्थापित करने पर, हमें [(25)/(100 - 25) × 100]% = ²⁵⁄₇₅ × 100 = ¹⁰⁰⁄₃ % प्राप्त होता है।

व्याख्या

प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग सूत्र S = ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾⁽²ⁿ⁺¹⁾⁄₆ का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है। यहाँ, श्रेणी में 1 से 10 तक की संख्याओं के वर्ग शामिल हैं, जिसका अर्थ है n = 10। सूत्र में n = 10 रखने पर:

S = (10(10 + 1)(2 × 10 + 1))/(6)

S = (10 × 11 × 21)/(6)

21 और 6 को 3 से, तथा 10 और 2 को 2 से विभाजित करने पर:

S = 5 × 11 × 7

S = 385

व्याख्या

दिया गया अनुक्रम 2, 6, 11, 17 है। क्रमागत पदों के बीच के अंतर की जांच करके पैटर्न निर्धारित किया जाता है: 6 - 2 = 4 11 - 6 = 5 17 - 11 = 6

प्रत्येक चरण में पदों के बीच का अंतर 1 बढ़ जाता है। इस क्रम का अनुसरण करते हुए, चौथे और पांचवें पद के बीच का अंतर 7 है, और पांचवें और छठे पद के बीच का अंतर 8 है। इस अंकगणितीय तर्क का उपयोग करने पर: 5वां पद = 17 + 7 = 24 6ठा पद = 24 + 8 = 32

व्याख्या

मान लीजिए कि दो संख्याएँ 7x और 11x हैं। प्रश्न के अनुसार, जब दोनों संख्याओं में 7 जोड़ा जाता है, तो अनुपात 2:3 हो जाता है। इस संबंध को निम्नलिखित समीकरण द्वारा व्यक्त किया जा सकता है:

(7x + 7)/(11x + 7) = 2/3

x का मान ज्ञात करने के लिए, तिर्यक गुणन (cross-multiply) करें:

3(7x + 7) = 2(11x + 7) 21x + 21 = 22x + 14

x को अलग करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें:

22x - 21x = 21 - 14 x = 7

मूल अनुपात में छोटी संख्या 7x है। x का मान प्रतिस्थापित करने पर, हम छोटी संख्या की गणना करते हैं:

छोटी संख्या = 7 × 7 = 49

वैकल्पिक रूप से, अनुपात संतुलन विधि (ratio balancing method) का उपयोग करते हुए, प्रारंभिक अनुपात 7:11 (4 इकाइयों का अंतर) है और अंतिम अनुपात 2:3 (1 इकाई का अंतर) है। अंतर को बराबर करने के लिए, अंतिम अनुपात को 4 से गुणा करें जिससे यह 8:12 हो जाता है। 7 से 8 इकाइयों (या 11 से 12 इकाइयों) की वृद्धि 1 इकाई है, जो जोड़े गए 7 के बराबर है। चूंकि 1 इकाई = 7 है, इसलिए 7 इकाइयों की छोटी संख्या = 49 होगी।

व्याख्या

दिया गया व्यंजक एक टेलीस्कोपिंग गुणनफल (telescoping product) है, जहाँ कोष्ठक के भीतर घटाव करके प्रत्येक पद को सरल बनाया जा सकता है: (1 - 1/3) = 2/3 (1 - 1/4) = 3/4 (1 - 1/5) = 4/5 अंतिम पद तक इसी पैटर्न को जारी रखने पर: (1 - 1/25) = 24/25

इन पदों का गुणनफल है: ⅔ × ¾ × ⅘ × … × ²⁴⁄₂₅

इस अनुक्रम में, प्रत्येक भिन्न का हर (denominator) उसके बाद आने वाली भिन्न के अंश (numerator) से कट (cancel) जाता है। उदाहरण के लिए, पहले पद के हर का 3, दूसरे पद के अंश के 3 से कट जाता है, दूसरे पद के हर का 4, तीसरे पद के अंश के 4 से कट जाता है, और इसी तरह आगे भी होता है। यह कटने की प्रक्रिया तब तक जारी रहती है जब तक कि अंतिम पद का अंश (24) उससे ठीक पहले वाले पद के हर से कट नहीं जाता।

सभी पदों के कटने के बाद, केवल पहली भिन्न का अंश और अंतिम भिन्न का हर ही बचता है: ²⁄₂₅

व्याख्या

एक संख्या N को N = Dq + R के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ D भाजक है, q भागफल है, और R शेषफल है। इस स्थिति में, संख्या N = 136k + 36 है। जब इस संख्या को 17 से विभाजित किया जाता है, तो हम मॉड्यूलो 17 (modulo 17) के तहत व्यंजक का मूल्यांकन करते हैं: N mod 17 = (136k + 36) mod 17.

चूंकि 136, 17 से पूर्णतः विभाज्य है (17 × 8 = 136), इसलिए पद 136k का शेषफल 0 बचता है। इसके बाद समस्या केवल मूल शेषफल, 36 को 17 से विभाजित करने पर प्राप्त होने वाले शेषफल को ज्ञात करने में सरल हो जाती है। विभाजन 36 = (17 × 2) + 2 करने पर, हमें प्राप्त होता है कि शेषफल 2 है।

व्याख्या

इस व्यंजक का सरलीकरण घात के घात नियम (power of a power rule) का अनुसरण करता है, जो यह दर्शाता है कि (xᵃ)ᵇ = x^(a·b) होता है। करणी चिह्न ⁵√() घात 1/5 को प्रदर्शित करता है। दी गई संरचना में आधार x पर लागू सभी घातों की पहचान करने पर, हमें घातों का क्रम -3/5, 1/5, -5/3 और 5 प्राप्त होता है। सरलीकृत रूप ज्ञात करने के लिए, इन घातों को आपस में गुणा किया जाता है:

घात = ⁻³⁄₅ · ⅕ · ⁻⁵⁄₃ · 5

इस गुणन में, ⁻³⁄₅ और ⁻⁵⁄₃ का गुणनफल 1 है, और ⅕ तथा 5 का गुणनफल भी 1 है। इन मध्यवर्ती परिणामों को आपस में गुणा करने पर अंतिम घात 1 · 1 = 1 प्राप्त होती है। इसलिए, संपूर्ण व्यंजक सरल होकर x¹ हो जाता है, जो कि केवल x है।

व्याख्या

मान लीजिए कि एक दो-अंकीय संख्या को 10x + y के रूप में दर्शाया गया है, जहाँ x और y अंक हैं। जब इस संख्या को दोहराकर एक चार-अंकीय संख्या बनाई जाती है, तो यह xyxy का रूप ले लेती है। स्थानीय मानों के आधार पर दशमलव प्रसार का उपयोग करते हुए, इस चार-अंकीय संख्या को 1000x + 100y + 10x + y के रूप में लिखा जा सकता है। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें (1000x + 10x) + (100y + y) प्राप्त होता है, जो सरल होकर 1010x + 101y हो जाता है। उभयनिष्ठ पद 101 को बाहर निकालने पर, यह व्यंजक 101 × (10x + y) बन जाता है। यह दर्शाता है कि परिणामी चार-अंकीय संख्या हमेशा मूल दो-अंकीय संख्या और 101 का गुणनफल होती है। परिणामस्वरूप, इस रूप की कोई भी संख्या 101 से पूर्णतः विभाज्य होती है।

व्याख्या

दशमलव को 10 की घातों के रूप में व्यक्त करके इस व्यंजक को सरल किया जा सकता है।

हमारे पास 0.1 = 10⁻¹, 0.01 = 10⁻², और 0.001 = 10⁻³ है।

दिए गए व्यंजक में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

10⁻¹ × 10⁻² × 10⁻³ × 10⁷

घातांक के नियम, aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ का उपयोग करते हुए, 10 की घातों को आपस में जोड़ दिया जाता है:

10⁽⁻¹⁾⁺⁽⁻²⁾⁺⁽⁻³⁾⁺⁷

10⁻⁶⁺⁷

10¹ = 10

व्याख्या

दिया गया समीकरण 2p + ¹⁄ₚ = 4 है। p³ + (1)/(8p³) का मान ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करके दिए गए व्यंजक को सरल करते हैं: p + ¹⁄₂ₚ = 2

हम देख सकते हैं कि p³ + (1)/(8p³), a³ + b³ के रूप में है, जहाँ a = p और b = ¹⁄₂ₚ है। बीजीय सर्वसमिका a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b) का उपयोग करते हुए, हम मान प्रतिस्थापित करते हैं: p³ + (1)/((2p)³) = (p + ¹⁄₂ₚ)³ - 3(p)(¹⁄₂ₚ)(p + ¹⁄₂ₚ)

सर्वसमिका में p + ¹⁄₂ₚ = 2 प्रतिस्थापित करने पर: p³ + (1)/(8p³) = (2)³ - 3(½)(2) p³ + (1)/(8p³) = 8 - 3 p³ + (1)/(8p³) = 5

व्याख्या

व्यंजक 5p9 + 327 + 2q8 = 1114 का मूल्यांकन प्रत्येक पद को उसके दशमलव स्थानीय मान के अनुसार विस्तारित करके किया जा सकता है। इससे (500 + 10p + 9) + 327 + (200 + 10q + 8) = 1114 प्राप्त होता है। अचर पदों को मिलाने पर 1044 + 10p + 10q = 1114 प्राप्त होता है। समीकरण के दोनों पक्षों से 1044 घटाने पर 10(p + q) = 70 प्राप्त होता है, जो 10 से विभाजित करने के बाद रैखिक संबंध p + q = 7 में सरल हो जाता है। चूंकि p और q को अंकों के रूप में परिभाषित किया गया है, इसलिए उनके मान 0 और 9 के बीच अऋणात्मक पूर्णांक होने चाहिए। q का अधिकतम संभावित मान प्राप्त करने के लिए, p के मान को न्यूनतम किया जाना चाहिए। अंक p का न्यूनतम संभावित मान 0 है। संबंध p + q = 7 में p = 0 प्रतिस्थापित करने पर q = 7 प्राप्त होता है।

व्याख्या

भिन्नों 15/16, 19/20, 24/25 और 34/35 के लिए, हर (denominator) और अंश (numerator) के बीच का अंतर 1 का एक स्थिर मान है। उचित भिन्नों (proper fractions) से संबंधित ऐसे मामलों में जहाँ अंतर (D - N) समान होता है, सबसे छोटे अंश वाली भिन्न सबसे छोटी भिन्न होती है। इसे प्रत्येक भिन्न को 1 - 1/n के रूप में व्यक्त करके प्रदर्शित किया जा सकता है। दी गई भिन्नें 1 - 1/16, 1 - 1/20, 1 - 1/25 और 1 - 1/35 हैं। न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, हम 1 में से घटाई जाने वाली सबसे बड़ी मात्रा को देखते हैं। मानों 1/16, 1/20, 1/25 और 1/35 में से, पद 1/16 सबसे बड़ा है क्योंकि इसका हर सबसे छोटा है। परिणामस्वरूप, 1 - 1/16 सबसे छोटा परिणाम देता है।

व्याख्या

आवर्ती दशमलव 1.27 को (p)/(q) के रूप में बदलने के लिए, हम मानक सूत्र का उपयोग करते हैं जहाँ अंश संपूर्ण संख्या और गैर-आवर्ती भाग के बीच का अंतर होता है, और हर में प्रत्येक आवर्ती अंक के लिए 9 होता है।

x = 1.27

x = (127 - 1)/(99)

x = 126/99

भिन्न को सरल करने के लिए, हम अंश और हर दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक (greatest common divisor) से विभाजित करते हैं, जो कि 9 है:

x = (126 ÷ 9)/(99 ÷ 9)

x = 14/11

वैकल्पिक रूप से, इसे x = 1.2727... मानकर और 100 से गुणा करके 100x = 127.2727... प्राप्त करके हल किया जा सकता है। दूसरे समीकरण में से पहले समीकरण को घटाने पर 99x = 126 प्राप्त होता है, जो सरल होकर 14/11 हो जाता है।

व्याख्या

अंश में घटाव पर गुणन के वितरण नियम (distributive property) का उपयोग करके व्यंजक को सरल किया जाता है। उभयनिष्ठ पद 3.20 को बाहर निकालने पर, व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:

(3.20 × (3.25 - 3.05))/(0.064)

कोष्ठक के भीतर के पदों को घटाने पर 3.25 - 3.05 = 0.20 प्राप्त होता है। इसे वापस व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

(3.20 × 0.20)/(0.064)

अंश में गुणनफल की गणना करने पर:

3.20 × 0.20 = 0.6400 = 0.64

इसके बाद व्यंजक, अंश को हर से विभाजित करने पर सरल हो जाता है:

(0.64)/(0.064) = ⁶⁴⁰⁄₆₄ = 10

व्याख्या

मान लीजिए कि छह क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं को n, n+1, n+2, n+3, n+4, और n+5 के रूप में दर्शाया गया है। पहली तीन संख्याओं का योग n + (n+1) + (n+2) = 27 दिया गया है। इस समीकरण को सरल करने पर 3n + 3 = 27 प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप 3n = 24 और n = 8 प्राप्त होता है। इसलिए पहली तीन संख्याएँ 8, 9, और 10 हैं। अगली तीन क्रमागत संख्याएँ 11, 12, और 13 हैं। उनका योग 11 + 12 + 13 = 36 है।

वैकल्पिक रूप से, क्रमागत पूर्णांकों के एक गुण का उपयोग करते हुए, यदि k क्रमागत पूर्णांकों का योग S है, तो अगले k क्रमागत पूर्णांकों का योग S + k² होता है। इस प्रश्न में, k = 3 और S = 27 है। सूत्र का उपयोग करने पर, अन्य तीन संख्याओं का योग 27 + 3² = 27 + 9 = 36 है।

व्याख्या

दो संख्याओं और उनके गणितीय गुणों के बीच के संबंध को निम्नलिखित सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है: पहली संख्या × दूसरी संख्या = महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) × लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.)

प्रश्न में दिए गए मान: पहली संख्या = 84 महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) = 12 लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) = 336

माना दूसरी संख्या x है। सूत्र में ज्ञात मानों को रखने पर: 84 × x = 12 × 336

x का मान ज्ञात करने के लिए, समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: x = (12 × 336)/(84)

84 को 12 से विभाजित करके भिन्न को सरल करने पर, हमें प्राप्त होता है: x = ³³⁶⁄₇

अंतिम विभाजन करने पर: x = 48

यह गणना दर्शाती है कि 84 और 48 का गुणनफल 4032 के बराबर है, जो कि 12 और 336 के गुणनफल के समान है।

व्याख्या

किन्हीं दो संख्याओं a और b के लिए, संख्याओं, उनके महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) और उनके लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) के बीच का संबंध गुणनफल सूत्र a × b = H.C.F. × L.C.M. द्वारा दिया जाता है।

दिया गया है: a + b = 36 H.C.F. = 3 L.C.M. = 105

गुणनफल सूत्र का उपयोग करने पर: a × b = 3 × 105 = 315

दोनों संख्याओं के व्युत्क्रमों का योग है: ¹⁄ₐ + (1)/(b) = (a + b)/(ab)

ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: ¹⁄ₐ + (1)/(b) = ³⁶⁄₃₁₅

अंश और हर दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक (greatest common divisor) से विभाजित करने पर, जो कि 9 है: (36 ÷ 9)/(315 ÷ 9) = ⁴⁄₃₅

व्याख्या

व्यंजक n³ - n का गुणनखंड n(n² - 1) के रूप में किया जा सकता है, जो आगे सरल होकर (n - 1)n(n + 1) हो जाता है। यह परिणाम तीन क्रमागत पूर्णांकों के गुणनफल को दर्शाता है। क्रमागत पूर्णांकों के गुणधर्म के अनुसार, k क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल हमेशा k! (k फैक्टोरियल) से विभाज्य होता है। तीन क्रमागत पूर्णांकों के लिए, गुणनफल हमेशा 3! = 3 × 2 × 1 = 6 से विभाज्य होता है।

वैकल्पिक रूप से, सबसे छोटी प्राकृतिक संख्याओं के लिए व्यंजक का मान निकालने पर इसकी पुष्टि होती है। n = 1 के लिए, 1³ - 1 = 0। n = 2 के लिए, 2³ - 2 = 6। n = 3 के लिए, 3³ - 3 = 24। n = 4 के लिए, 4³ - 4 = 60। 6, 24, 60, … का महत्तम समापवर्तक (GCD) 6 है। चूंकि किन्हीं तीन क्रमागत पूर्णांकों में से कम से कम एक सम (2 से विभाज्य) होना चाहिए और ठीक एक 3 का गुणज होना चाहिए, इसलिए उनका गुणनफल 2 × 3 = 6 से विभाज्य होना चाहिए।

व्याख्या

120 और 300 के बीच पूर्ण वर्गों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम पूर्णांकों n की वह सीमा निर्धारित करते हैं जिसके लिए 120 < n² < 300 हो। सबसे पहले हम वह सबसे छोटा पूर्णांक ज्ञात करते हैं जिसका वर्ग 120 से अधिक हो। चूंकि 10² = 100 और 11² = 121 है, इसलिए पहला पूर्णांक 11 है। इसके बाद, हम वह सबसे बड़ा पूर्णांक ज्ञात करते हैं जिसका वर्ग 300 से कम हो। चूंकि 17² = 289 और 18² = 324 है, इसलिए अंतिम पूर्णांक 17 है। उन पूर्णांकों का समुच्चय जिनके वर्ग निर्दिष्ट सीमा के भीतर आते हैं, {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17} है। इस अनुक्रम में पदों की संख्या की गणना 17 - 11 + 1 = 7 के रूप में की जाती है। वे विशिष्ट पूर्ण वर्ग 121, 144, 169, 196, 225, 256 और 289 हैं।

व्याख्या

व्यंजक का मान वर्ग पदों की गणना करके, विभाजन करके और फिर योग करके निकाला जाता है। पद (0.1)² और (0.01)² की गणना निम्नानुसार की जाती है: (0.1)² = 0.1 × 0.1 = 0.01 (0.01)² = 0.01 × 0.01 = 0.0001

व्यंजक को वर्गों के अंतर को हर से विभाजित करने और फिर उसमें जोड़ने के रूप में हल किया जाता है। भिन्न में वर्ग मानों को प्रतिस्थापित करने पर: (0.01 - 0.0001)/(0.0001) + 1

अंश में मानों को घटाने पर: 0.01 - 0.0001 = 0.0099

हर से विभाजित करने पर: (0.0099)/(0.0001) = 99

अंतिम पद जोड़ने पर: 99 + 1 = 100

वैकल्पिक रूप से, हर को वितरित करने पर: ((0.1)²)/(0.0001) - ((0.01)²)/(0.0001) + 1 = (0.01)/(0.0001) - (0.0001)/(0.0001) + 1 = 100 - 1 + 1 = 100

व्याख्या

मान लीजिए कि वस्तु का क्रय मूल्य (CP) 100 इकाई है। क्रय मूल्य पर 20% लाभ का तात्पर्य है कि लाभ की राशि 20 इकाई है। विक्रय मूल्य (SP) क्रय मूल्य में लाभ जोड़कर निर्धारित किया जाता है: SP = CP + लाभ = 100 + 20 = 120 विक्रय मूल्य पर परिकलित लाभ का प्रतिशत, लाभ और विक्रय मूल्य के अनुपात को 100 से गुणा करके निर्धारित किया जाता है: विक्रय मूल्य (SP) पर लाभ % = ( (लाभ)/(SP) ) × 100 मानों को प्रतिस्थापित करने पर: विक्रय मूल्य (SP) पर लाभ % = ( ²⁰⁄₁₂₀ ) × 100 = ⅙ × 100 = ⁵⁰⁄₃%

व्याख्या

माना एक पुस्तक का क्रय मूल्य x है। 15 पुस्तकों का क्रय मूल्य 15x है। जैसा कि दिया गया है, 20 पुस्तकों का विक्रय मूल्य 15 पुस्तकों के क्रय मूल्य के बराबर है, इसलिए 20 पुस्तकों का विक्रय मूल्य 15x है। इसका अर्थ है कि एक पुस्तक का विक्रय मूल्य ¹⁵ˣ⁄₂₀ = ³ˣ⁄₄ है।

हानि की गणना क्रय मूल्य और विक्रय मूल्य के बीच के अंतर के रूप में की जाती है: हानि = x - ³ˣ⁄₄ = ˣ⁄₄। हानि प्रतिशत की गणना क्रय मूल्य के सापेक्ष की जाती है: हानि प्रतिशत = (हानि)/(क्रय मूल्य) × 100 = (x)/(4){x} × 100 = ¹⁰⁰⁄₄ = 25।

वैकल्पिक रूप से, जब M वस्तुओं का क्रय मूल्य N वस्तुओं के विक्रय मूल्य के बराबर होता है, तो हानि प्रतिशत (जब N > M) सूत्र (N - M)/(N) × 100 द्वारा दिया जाता है। M = 15 और N = 20 मान रखने पर (20 - 15)/(20) × 100 = ⁵⁄₂₀ × 100 = 25 प्राप्त होता है।

व्याख्या

माना वस्तु का क्रय मूल्य (CP) 100 है। लाभ, क्रय मूल्य का 200% दिया गया है।

लाभ = 100 का 200% = 200

विक्रय मूल्य (SP) की गणना निम्नलिखित संबंध का उपयोग करके की जाती है: SP = CP + लाभ SP = 100 + 200 = 300

क्रय मूल्य का विक्रय मूल्य से अनुपात है: CP : SP = 100 : 300

दोनों पदों को 100 से विभाजित करने पर, अनुपात सरल होकर 1 : 3 हो जाता है।

लाभ प्रतिशत के साथ विक्रय मूल्य के सामान्य सूत्र का उपयोग करने पर: SP = CP × (1 + (लाभ %)/(100)) SP = CP × (1 + ²⁰⁰⁄₁₀₀) SP = CP × (1 + 2) = 3CP

इसलिए, अनुपात (CP)/(SP) = (CP)/(3CP) = ⅓।

व्याख्या

x% और y% की दो क्रमिक छूटों के लिए समतुल्य एकल छूट की गणना सूत्र x + y - ˣʸ⁄₁₀₀ का उपयोग करके की जाती है। x = 20 और y = 10 रखने पर, प्रभावी छूट 20 + 10 - (20 × 10)/(100) = 28% है। 30% की एकल छूट और 28% की प्रभावी क्रमिक छूट के बीच का अंतर 2% है। चूंकि विक्रय मूल्यों का अंतर, अंकित मूल्य पर लागू छूट दरों के अंतर के सीधे समानुपाती होता है, इसलिए हमारे पास अंकित मूल्य का 2% = 72 रुपये है। इससे समीकरण ²⁄₁₀₀ × अंकित मूल्य = 72 प्राप्त होता है। अंकित मूल्य के लिए हल करने पर (72 × 100)/(2) = 3,600 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए बिजली के बिल की कुल राशि x है। प्रश्न के अनुसार, बिल की राशि पर 4% की छूट 13 रुपये के बराबर है। इस संबंध को निम्नलिखित सूत्र द्वारा व्यक्त किया जा सकता है:

x का 4% = 13

प्रतिशत को दशमलव में बदलने पर प्राप्त होता है:

0.04x = 13

x का मान ज्ञात करने के लिए, छूट के मूल्य को प्रतिशत दर से विभाजित करें:

x = (13)/(0.04)

गणना को सरल बनाने के लिए, अंश और हर दोनों को 100 से गुणा करें:

x = ¹³⁰⁰⁄₄

x = 325

व्याख्या

d₁, d₂ और d₃ की क्रमिक छूटों के लिए एकल समतुल्य छूट ज्ञात करने के लिए, हम गुणक विधि (multiplier method) का उपयोग कर सकते हैं। मान लीजिए कि प्रारंभिक मूल्य 100 है। 10% की पहली छूट के बाद, मूल्य 100 × (1 - 0.10) = 90 हो जाता है। इस नए मूल्य पर 20% की दूसरी छूट लागू करने के बाद, यह 90 × (1 - 0.20) = 72 हो जाता है। अंत में, 30% की तीसरी छूट लागू करने पर अंतिम मूल्य 72 × (1 - 0.30) = 50.4 प्राप्त होता है। दी गई कुल छूट प्रारंभिक मूल्य और अंतिम मूल्य के बीच का अंतर है, जो कि 100 - 50.4 = 49.6 है।

वैकल्पिक रूप से, समतुल्य छूट के सूत्र D = [1 - (1 - d₁)(1 - d₂)(1 - d₃)] × 100 का उपयोग करके: D = [1 - (0.9 × 0.8 × 0.7)] × 100 D = [1 - 0.504] × 100 = 0.496 × 100 = 49.6%

व्याख्या

माना वस्तु का वास्तविक मूल्य P है। जब किसी मूल्य में क्रमिक रूप से x% और y% की वृद्धि की जाती है, तो अंतिम मूल्य की गणना इस सूत्र का उपयोग करके की जाती है: P × (1 + ˣ⁄₁₀₀) × (1 + ʸ⁄₁₀₀)।

दिए गए मानों को समीकरण में रखने पर: P × (1 + ¹⁰⁄₁₀₀) × (1 + ²⁰⁄₁₀₀) = 33 P × ¹¹⁰⁄₁₀₀ × ¹²⁰⁄₁₀₀ = 33 P × 1.1 × 1.2 = 33 1.32P = 33

वास्तविक मूल्य P ज्ञात करने के लिए: P = (33)/(1.32) P = ³³⁰⁰⁄₁₃₂ अंश और हर दोनों को 11 से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है: P = ³⁰⁰⁄₁₂ = 25

वैकल्पिक रूप से, प्रभावी प्रतिशत वृद्धि क्रमिक परिवर्तन सूत्र a + b + ᵃᵇ⁄₁₀₀ का उपयोग करके ज्ञात की जा सकती है। यहाँ, 10 + 20 + (10 × 20)/(100) = 32%। इसका अर्थ है कि 33 रुपये का अंतिम मूल्य, वास्तविक मूल्य का 132% है। वास्तविक मूल्य = ³³⁄₁₃₂ × 100 = ¼ × 100 = 25

व्याख्या

एक वर्ग का क्षेत्रफल उसकी दो विमाओं (dimensions) के गुणनफल द्वारा निर्धारित होता है, क्षेत्रफल = भुजा × भुजा। जब किसी आकृति की प्रत्येक विमा में वृद्धि की जाती है, तो क्षेत्रफल में कुल प्रतिशत वृद्धि की गणना क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र: x + y + ˣʸ⁄₁₀₀ का उपयोग करके की जा सकती है।

चूंकि वर्ग की प्रत्येक भुजा में 10% की वृद्धि की गई है, इसलिए हम x = 10 और y = 10 रखते हैं। सूत्र में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

क्षेत्रफल में प्रतिशत वृद्धि = 10 + 10 + (10 × 10)/(100) क्षेत्रफल में प्रतिशत वृद्धि = 20 + ¹⁰⁰⁄₁₀₀ क्षेत्रफल में प्रतिशत वृद्धि = 20 + 1 = 21%

इसे भुजा को s मानकर भी सत्यापित किया जा सकता है। मूल क्षेत्रफल s² है। 10% की वृद्धि के बाद, नई भुजा 1.1s हो जाती है और नया क्षेत्रफल (1.1s)² = 1.21s² हो जाता है। भिन्नात्मक वृद्धि 1.21 - 1 = 0.21 है, जो 21% के बराबर है।

व्याख्या

पानी के सापेक्ष दूध की मात्रा प्रत्येक बर्तन के लिए दूध और पानी के अनुपात की गणना करके निर्धारित की जाती है। तीसरे बर्तन के लिए, 3:2 का अनुपात 3 ÷ 2 = 1.5 का मान देता है। सभी बर्तनों के अनुपातों की तुलना करने पर—1.66 (5/3), 2.0 (2/1), 1.5 (3/2), और 1.75 (7/4)—मान 1.5 सबसे कम है। यह दर्शाता है कि तीसरे बर्तन में पानी की प्रत्येक इकाई के लिए दूध का अनुपात सबसे कम है। वैकल्पिक रूप से, तीसरे बर्तन के लिए कुल मिश्रण के एक अंश के रूप में दूध को व्यक्त करने पर 3/(3+2) = 0.60 प्राप्त होता है, जो अन्य मिश्रणों में पाई जाने वाली सांद्रता 0.625, 0.667 और 0.636 से कम है। चूंकि 1.5 (या 0.60) न्यूनतम मान है, इसलिए तीसरा बर्तन इस शर्त को पूरा करता है।

व्याख्या

माना 1:3 के अनुपात के अनुसार दो संख्याएँ x और 3x हैं। प्रश्न के अनुसार उनका योग 240 है, जिससे समीकरण x + 3x = 240 प्राप्त होता है। पदों को जोड़ने पर, हमें 4x = 240 प्राप्त होता है, और 4 से विभाजित करने पर x = 60 प्राप्त होता है। दोनों संख्याओं के बीच के अंतर को 3x - x = 2x द्वारा दर्शाया जाता है। इस व्यंजक में x का मान रखने पर, अंतर 2 × 60 = 120 है।

व्याख्या

आय और व्यय का अनुपात 11:10 है। चूंकि बचत = आय - व्यय, इसलिए बचत अनुपात का हिस्सा 11 - 10 = 1 है। दिया गया है कि व्यक्ति प्रति वर्ष 9,000 रुपये बचाता है, यह 1 हिस्सा 9,000 रुपये की वार्षिक बचत को दर्शाता है।

वार्षिक आय = 11 हिस्से = 11 × 9,000 = 99,000 रुपये

मासिक आय ज्ञात करने के लिए, वार्षिक आय को 12 से विभाजित करें:

मासिक आय = (99,000)/(12) = 8,250 रुपये

व्याख्या

अनुपात W₂:W₃ ज्ञात करने के लिए, हम W₂ और W₃ दोनों को उभयनिष्ठ चर W₁ के पदों में व्यक्त कर सकते हैं। पहले अनुपात, W₁:W₂ = 2:3 से, हम W₂ = ³⁄₂W₁ लिख सकते हैं। दूसरे अनुपात, W₁:W₃ = 1:2 से, हम W₃ = 2W₁ लिख सकते हैं।

इसलिए अनुपात W₂:W₃ की गणना निम्नानुसार की जाती है: (W₂)/(W₃) = (3)/(2)W₁{2W₁} (W₂)/(W₃) = ³⁄₂ × ½ (W₂)/(W₃) = ¾

वैकल्पिक रूप से, दोनों अनुपातों में W₁ के मान को बराबर करके, हमारे पास W₁:W₂ = 2:3 और W₁:W₃ = 2:4 है (दूसरे अनुपात के दोनों भागों को 2 से गुणा करके)। इन्हें मिलाने पर संयुक्त अनुपात W₁:W₂:W₃ = 2:3:4 प्राप्त होता है। अंतिम दो पदों को लेने पर, हमें W₂:W₃ = 3:4 प्राप्त होता है।

व्याख्या

गोले की त्रिज्या ज्ञात करने के लिए, हम बेलनाकार तांबे के तार के आयतन को गोले के आयतन के बराबर रखते हैं, क्योंकि पिघलने के दौरान कुल आयतन स्थिर रहता है। सबसे पहले, हम सभी मापों को सेंटीमीटर में बदलते हैं। तार की लंबाई L = 36 मीटर = 3600 सेमी है। तार का व्यास = 2 मिमी = 0.2 सेमी है, इसलिए तार की त्रिज्या r = 0.1 सेमी है।

बेलनाकार तार का आयतन V_wire = π r² L द्वारा दिया जाता है। मान रखने पर: V_wire = π × (0.1)² × 3600 = π × 0.01 × 3600 = 36π सेमी³

गोले का आयतन V_sphere = ⁴⁄₃ π R³ द्वारा दिया जाता है, जहाँ R गोले की त्रिज्या है। दोनों आयतनों को बराबर रखने पर: ⁴⁄₃ π R³ = 36π

दोनों पक्षों को π से विभाजित करने और R³ के लिए हल करने पर: ⁴⁄₃ R³ = 36 R³ = 36 × ¾ R³ = 9 × 3 R³ = 27

दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर: R = ³√(27) = 3 सेमी

व्याख्या

एक पहिये की परिधि C की गणना सूत्र C = 2π r का उपयोग करके की जाती है, जहाँ r पहिये की त्रिज्या को दर्शाता है। चूँकि 2 और π नियतांक (constants) हैं, इसलिए परिधि सीधे त्रिज्या के समानुपाती होती है (C ∝ r)।

त्रिज्या r₁ और r₂ वाले दो पहियों की परिधियों का अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम उनके संबंधित सूत्रों का अनुपात स्थापित करते हैं: C₁ / C₂ = (2π r₁) / (2π r₂)

अंश और हर दोनों से उभयनिष्ठ गुणनखंड 2π को निरस्त (cancel) करने पर, परिधियों का अनुपात सीधे त्रिज्याओं के अनुपात में सरल हो जाता है: C₁ / C₂ = r₁ / r₂

चूँकि त्रिज्याओं का अनुपात r₁ : r₂ = 3 : 4 दिया गया है, इसलिए उनकी परिधियों का अनुपात C₁ : C₂ भी 3 : 4 होगा।

व्याख्या

जब किसी आयत की विमाओं में परिवर्तन किया जाता है, तो उसके क्षेत्रफल में शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन को क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र x + y + ˣʸ⁄₁₀₀ का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है, जहाँ x और y लंबाई और चौड़ाई में प्रतिशत परिवर्तन हैं। लंबाई में 10% की वृद्धि के लिए, x = +10, और चौड़ाई में 10% की कमी के लिए, y = -10। इन मानों को सूत्र में रखने पर 10 - 10 + (10 × (-10))/(100) = 0 - ¹⁰⁰⁄₁₀₀ = -1% प्राप्त होता है। परिणामी ऋणात्मक मान कुल क्षेत्रफल में 1% की कमी को दर्शाता है।

व्याख्या

साधारण ब्याज के तहत किसी धनराशि को दोगुना होने के लिए, अर्जित ब्याज मूलधन के बराबर होना चाहिए (SI = P)। साधारण ब्याज के मानक सूत्र SI = (P × r × t)/(100) का उपयोग करके, जहाँ P मूलधन है, r वार्षिक ब्याज दर है, और t वर्षों में समय है, हम t का मान ज्ञात करने के लिए दिए गए मानों को प्रतिस्थापित कर सकते हैं।

यह देखते हुए कि दर r = 25/4 प्रतिशत वार्षिक है, समीकरण P = (P × 25)/(4) × t/100 हो जाता है। दोनों पक्षों को P से विभाजित करने पर 1 = (25 × t)/(4 × 100) प्राप्त होता है। व्यंजक को सरल करने पर, हमें 1 = (25 × t)/(400) प्राप्त होता है, जिससे t = 400/25 प्राप्त होता है। 400 को 25 से विभाजित करने पर t = 16 प्राप्त होता है।

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज में, यदि कोई धनराशि t वर्षों में k गुनी हो जाती है, तो वह n × t वर्षों में kⁿ गुनी हो जाती है। प्रश्न के अनुसार, धनराशि 5 वर्षों (t=5) में दोगुनी (k=2) हो जाती है। 20 वर्षों के बाद की राशि ज्ञात करने के लिए, हम 5-वर्षीय चक्रों की संख्या की गणना करते हैं: n = 20 / 5 = 4। परिणामस्वरूप, मूलधन 2⁴ = 16 गुना बढ़ जाएगा। प्रारंभिक मूलधन को इस गुणक से गुणा करने पर, हमें 12,000 × 16 = 1,92,000 प्राप्त होता है।

वैकल्पिक रूप से, मानक चक्रवृद्धि ब्याज सूत्र A = P(1 + r/100)ᵗ का उपयोग करते हुए, हमें दिया गया है कि 2P = P(1 + r/100)⁵, जो सरल होकर (1 + r/100)⁵ = 2 हो जाता है। 20 वर्षों के बाद, मिश्रधन A = P(1 + r/100)²⁰ होगा। इसे A = P[(1 + r/100)⁵]⁴ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, A = 12,000 × (2)⁴ = 12,000 × 16 = 1,92,000।