एसएससी सीजीएल टियर 1 2010 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

दो संख्याओं और उनके महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) तथा लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) के बीच का मूलभूत संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया गया है:

दो संख्याओं का गुणनफल = H.C.F. × L.C.M.

मान लीजिए कि दो संख्याएँ x और y हैं। दिया गया है कि x = 24, H.C.F. = 8, और L.C.M. = 48, हम इन मानों को समीकरण में रखते हैं:

24 × y = 8 × 48

y का मान ज्ञात करने के लिए, हम दोनों पक्षों को 24 से विभाजित करते हैं:

y = (8 × 48)/(24)

भिन्न को सरल करने पर, हम देखते हैं कि 48 को 24 से विभाजित करने पर 2 प्राप्त होता है:

y = 8 × 2 = 16

व्याख्या

5834 में से घटाई जाने वाली वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करने के लिए जिससे प्राप्त संख्या 20, 28, 32 और 35 से विभाज्य हो, हमें वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात करनी होगी जो इन चारों विभाजकों से पूर्णतः विभाज्य हो। यह संख्या इनका लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है।

दी गई संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन इस प्रकार है: 20 = 2² × 5 28 = 2² × 7 32 = 2⁵ 35 = 5 × 7

लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) उपस्थित सभी अभाज्य गुणनखंडों की उच्चतम घातों का गुणनफल होता है: LCM = 2⁵ × 5¹ × 7¹ = 32 × 5 × 7 = 1120

माना अभीष्ट सबसे बड़ी संख्या x है। x को अधिकतम करने के लिए, व्यंजक 5834 - x का मान LCM का सबसे छोटा गुणज होना चाहिए जो शून्य से बड़ा हो। इस प्रकार, हम परिणाम को 1120 के बराबर रखते हैं: 5834 - x = 1120 x = 5834 - 1120 x = 4714

व्याख्या

यह अनुक्रम सामान्य सूत्र aₙ = n² - 1 द्वारा परिभाषित है, जहाँ n पद की क्रमिक स्थिति को दर्शाता है। नौवां पद ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र में n = 9 रखते हैं, जिससे a₉ = 9² - 1 = 81 - 1 = 80 प्राप्त होता है। यह पैटर्न दिए गए अनुक्रम में लगातार देखा जाता है: पहला पद 1² - 1 = 0 है, दूसरा 2² - 1 = 3 है, तीसरा 3² - 1 = 8 है, चौथा 4² - 1 = 15 है, पांचवां 5² - 1 = 24 है, और छठा 6² - 1 = 35 है। इस द्विघात संबंध को लागू करके, किसी भी विशिष्ट स्थिति पर पद का मान सीधे निर्धारित किया जा सकता है, जिससे यह पुष्टि होती है कि नौवीं स्थिति का मान 80 है।

व्याख्या

अनुपात y / x, x / y का गणितीय व्युत्क्रम (reciprocal) है। दिए गए संबंध x / y = 1.25 के आधार पर, y / x का मान निम्नलिखित सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

y / x = (1)/(x / y)

दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर:

y / x = (1)/(1.25)

दशमलव 1.25 को भिन्न के रूप में व्यक्त करने पर 5/4 प्राप्त होता है। इसलिए:

y / x = (1)/(5/4) = 4/5 = 0.8

अनुपात ज्ञात करने के लिए समीकरण x + y = 9 अनावश्यक है, क्योंकि y / x का मान पूरी तरह से दोनों चरों के दिए गए भागफल पर निर्भर करता है।

व्याख्या

श्रेणी (1 + 0.6 + 0.06 + 0.006 + 0.0006 + …) एक अनंत श्रेणी है, जिसमें दूसरे पद से शुरू होकर, पद एक गुणोत्तर श्रेणी (geometric progression) बनाते हैं। योग को 1 + (0.6 + 0.06 + 0.006 + …) के रूप में दर्शाया जा सकता है।

कोष्ठक में दिया गया व्यंजक एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका पहला पद a = 0.6 और सार्व अनुपात r = 0.1 है। एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी के योग S की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: S = a / (1 - r) S = 0.6 / (1 - 0.1) = 0.6 / 0.9 = 6/9 = 2/3.

इस परिणाम में श्रेणी के पहले पद को जोड़ने पर कुल योग प्राप्त होता है: 1 + 2/3 = 5/3 = 1 ⅔.

वैकल्पिक रूप से, श्रेणी के योग को आवर्ती दशमलव 1.666… के रूप में देखा जा सकता है, जिसे 1.6 के रूप में दर्शाया जाता है। आवर्ती भाग को भिन्न में बदलने पर, 0.6, 6/9 के बराबर होता है, जो सरल होकर 2/3 हो जाता है। इस प्रकार, कुल मान 1 ⅔ है।

व्याख्या

दी गई संख्या को N = 114k + 21 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ k भागफल है। जब उसी संख्या N को 19 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल ज्ञात करने के लिए, हम जाँच करते हैं कि क्या पहला भाजक (114) दूसरे भाजक (19) का एक गुणज है। चूँकि 114 = 19 × 6 है, इसलिए पद 114k, 19 से पूर्णतः विभाज्य है, जिससे शेषफल 0 बचता है। इसलिए, आवश्यक शेषफल केवल मूल शेषफल (21) को 19 से विभाजित करने पर प्राप्त होने वाला शेषफल है। गणना से पता चलता है कि 21 = (19 × 1) + 2 है। अतः, शेषफल 2 है।

व्याख्या

किसी दशमलव संख्या का वर्गमूल दशमलव को भिन्न में बदलकर ज्ञात किया जा सकता है। 0.09 का मान ⁹⁄₁₀₀ के बराबर है। इस भिन्न का वर्गमूल निकालने के लिए अंश और हर का अलग-अलग वर्गमूल लिया जाता है:

√(0.09) = √(⁹⁄₁₀₀) = √9/{√(100)} = ³⁄₁₀

प्राप्त भिन्न ³⁄₁₀ दशमलव रूप में 0.3 के बराबर है। गणित में, दशमलव बिंदु के बाद आने वाले शून्य संख्या के मान को नहीं बदलते हैं, इसलिए 0.3 और 0.30 समान हैं। परिणाम का वर्ग करके इसका सत्यापन किया जा सकता है: 0.3 × 0.3 = 0.09, जो गणना की पुष्टि करता है।

व्याख्या

दशमलव 0.121212... एक शुद्ध आवर्ती दशमलव (pure recurring decimal) है जहाँ अंक 12 अनंत बार दोहराए जाते हैं। एक शुद्ध आवर्ती दशमलव को p/q के रूप में भिन्न में बदलने के लिए, अंश दोहराया जाने वाला अनुक्रम होता है और हर में उतने ही नौ (9) होते हैं जितने उस अनुक्रम में अंक होते हैं।

माना x = 0.12... इस तरह के रूपांतरण के लिए सूत्र x = (R)/(10ⁿ - 1) है, जहाँ R दोहराया जाने वाला ब्लॉक है और n उस ब्लॉक में अंकों की संख्या है। यहाँ, R = 12 और n = 2 है।

x = (12)/(10² - 1) x = ¹²⁄₉₉

भिन्न को उसके सरलतम रूप में बदलने के लिए, हम अंश और हर दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक (greatest common divisor) से विभाजित करते हैं, जो कि 3 है।

x = (12 ÷ 3)/(99 ÷ 3) x = ⁴⁄₃₃

व्याख्या

घातांक के नियमों के अनुसार, समान आधार वाले दो पदों का गुणा करते समय, हम उनकी घातों को जोड़ते हैं: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ। इसे समीकरण के बाएँ पक्ष पर लागू करने पर:

(⅗)³ · (⅗)⁻⁶ = (⅗)³⁺⁽⁻⁶⁾ = (⅗)⁻³

अब समीकरण (⅗)⁻³ = (⅗)²ˣ⁻¹ है। चूँकि दोनों पक्षों के आधार समान हैं और 0, 1, या -1 के बराबर नहीं हैं, इसलिए हम घातांकों की तुलना कर सकते हैं:

-3 = 2x - 1

x का मान ज्ञात करने के लिए, दोनों पक्षों में 1 जोड़ें:

2x = -3 + 1 2x = -2

2 से भाग देने पर:

x = -1

व्याख्या

मान लीजिए कि दो संख्याएँ 3x और 4x हैं, जहाँ x उनके महत्तम समापवर्तक (म.स.प.) को दर्शाता है। ax और bx (जहाँ a और b सह-अभाज्य हैं) के रूप में व्यक्त की गई दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (ल.स.प.) सूत्र LCM = a × b × x द्वारा दिया जाता है।

सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर: 3 × 4 × x = 84 12x = 84 x = 7

दोनों संख्याएँ 3 × 7 = 21 और 4 × 7 = 28 हैं। इन दोनों में से बड़ी संख्या 28 है।

व्याख्या

ड्रम की क्षमता केरोसिन निकालने के कारण हुए भिन्नात्मक अंतर की गणना करके ज्ञात की जा सकती है। ड्रम की स्थिति 3/4 भरे होने से बदलकर 1/2 भरे होने में परिवर्तित हो जाती है। एक समान हर (common denominator) का उपयोग करने पर, 1/2, 2/4 के बराबर है।

भरे हुए भाग में अंतर है: ¾ - ²⁄₄ = ¼

आयतन में यह ¼ की कमी उस 30 लीटर को दर्शाती है जिसे ड्रम से निकाला गया था। यदि C ड्रम की कुल क्षमता को दर्शाता है, तो संबंध इस प्रकार है: ¼C = 30

कुल क्षमता ज्ञात करने के लिए, निकाले गए आयतन को भिन्न के व्युत्क्रम (reciprocal) से गुणा करें: C = 30 × 4 = 120

ड्रम की कुल क्षमता 120 लीटर है।

व्याख्या

वह न्यूनतम संख्या ज्ञात करने के लिए जिससे 675 को गुणा करने पर एक पूर्ण घन प्राप्त हो, हम सबसे पहले 675 का अभाज्य गुणनखंडन करते हैं: 675 = 5 × 135 135 = 5 × 27 27 = 3 × 3 × 3 इसलिए, 675 का अभाज्य गुणनखंडन 3³ × 5² है।

किसी संख्या के पूर्ण घन होने के लिए, उसके अभाज्य गुणनखंडन में प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड का घातांक 3 का गुणज होना चाहिए। 675 के अभाज्य गुणनखंडन में, अभाज्य गुणनखंड 3 का घातांक 3 है, जो इस शर्त को पूरा करता है। हालांकि, अभाज्य गुणनखंड 5 का घातांक 2 है। इस घातांक को 3 का गुणज बनाने के लिए, हमें इस व्यंजक को 5 के एक और गुणनखंड से गुणा करना होगा।

675 × 5 = (3³ × 5²) × 5 = 3³ × 5³ = (3 × 5)³ = 15³ = 3375

चूंकि 3375 एक पूर्ण घन है, इसलिए गुणा करने के लिए आवश्यक न्यूनतम संख्या 5 है।

व्याख्या

व्यंजक 1 ½ + 11 ½ + 111 ½ + 1111 ½ को पूर्णांक भागों को भिन्नात्मक भागों से अलग करके हल किया जाता है। चूंकि एक मिश्रित भिन्न n (a)/(b), n + (a)/(b) के बराबर होती है, इसलिए इस योग को (1 + 11 + 111 + 1111) + (½ + ½ + ½ + ½) के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।

सबसे पहले, पूर्णांक भागों को जोड़ें: 1 + 11 + 111 + 1111 = 1234। इसके बाद, भिन्नात्मक भागों को जोड़ें: ½ + ½ + ½ + ½ = ⁴⁄₂ = 2। अंत में, दोनों योगों को मिलाकर 1234 + 2 = 1236 प्राप्त होता है। पदों को समूहीकृत करने की यह विधि प्रत्येक मिश्रित भिन्न को विषम भिन्न में बदलने से उत्पन्न होने वाले बड़े अंशों से बचाकर अंकगणित को काफी सरल बनाती है।

व्याख्या

एक शुद्ध आवर्ती दशमलव को साधारण भिन्न में बदलने के लिए, आवर्ती अनुक्रम के अंकों को अंश में रखा जाता है, और हर में उतने ही नौ (9) लिखे जाते हैं जितने आवर्ती ब्लॉक में अंक होते हैं। इस प्रश्न के संदर्भ में, 0.001 एक आवर्ती दशमलव को दर्शाता है जहाँ ब्लॉक 001 अनंत रूप से दोहराया जाता है।

आवर्ती अनुक्रम 001 में अंकों की संख्या 3 है। एक शुद्ध आवर्ती दशमलव 0.pqr के सूत्र के अनुसार, भिन्न (pqr)/(999) होती है।

इसे दिए गए मान पर लागू करने पर: अंश = 1 हर = 999

इस संबंध को सूत्र x = (n)/(10ᵏ⁾⁻¹ का उपयोग करके भी व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ n आवर्ती संख्या है और k उस संख्या में अंकों की संख्या है। n = 1 और k = 3 प्रतिस्थापित करने पर: x = (1)/(10³⁾⁻¹ = (1)/(1000 - 1) = ¹⁄₉₉₉

व्याख्या

अंश 0.441 × 0.16 = 0.07056 है। हर 2.1 × 1.6 × 0.21 = 3.36 × 0.21 = 0.7056 है। अंश को हर से विभाजित करने पर 0.07056 / 0.7056 = 0.1 प्राप्त होता है।

व्याख्या

व्यंजक a⁴ - b⁴ को (a² - b²)(a² + b²) के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है। किसी भी विषम पूर्णांक x के लिए, वर्ग x² हमेशा 8k + 1 के रूप में होता है। यह x = 2n + 1 से प्राप्त होता है, जिससे x² = 4n(n + 1) + 1 प्राप्त होता है; चूंकि दो क्रमागत पूर्णांकों n(n + 1) का गुणनफल हमेशा सम होता है, इसलिए 4n(n + 1), 8 से विभाज्य है। यह देखते हुए कि a और b विषम धनात्मक पूर्णांक हैं, हमारे पास कुछ पूर्णांकों m और n के लिए a² = 8m + 1 और b² = 8n + 1 प्राप्त होता है। इन्हें पहले गुणनखंड में प्रतिस्थापित करने पर, a² - b² = (8m + 1) - (8n + 1) = 8(m - n) प्राप्त होता है, जिससे यह सिद्ध होता है कि (a² - b²) हमेशा 8 से विभाज्य है। चूंकि a⁴ - b⁴, (a² - b²) और (a² + b²) का गुणनफल है, और (a² - b²), 8 का एक गुणज है, इसलिए संपूर्ण व्यंजक a⁴ - b⁴ हमेशा 8 से विभाज्य है।

व्याख्या

दो घनों के अंतर के लिए बीजीय सर्वसमिका का उपयोग करके व्यंजक को सरल किया गया है: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)। इसे दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

(a² + b² + ab)/(a³ - b³) = (a² + b² + ab)/((a - b)(a² + ab + b²))

पद (a² + ab + b²) अंश और हर दोनों में उभयनिष्ठ है और इसे निरस्त (cancel) किया जा सकता है, जिससे संपूर्ण व्यंजक सरल होकर निम्न हो जाता है:

(1)/(a - b)

दिए गए मानों a = 11 और b = 9 को प्रतिस्थापित करने पर:

(1)/(11 - 9) = ½

व्याख्या

यह व्यंजक बीजगणितीय सर्वसमिका (a² - b²)/(k) के रूप में है, जहाँ a = 256 और b = 144 है। सर्वसमिका a² - b² = (a + b)(a - b) का उपयोग करते हुए, हम घटकों की गणना करते हैं:

a + b = 256 + 144 = 400 a - b = 256 - 144 = 112

इन्हें मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

(256² - 144²)/(112) = ((256 + 144)(256 - 144))/(112)

(400 × 112)/(112) = 400

अंश और हर में 112 का उभयनिष्ठ गुणनखंड आपस में कट जाता है, जिससे परिणाम 400 प्राप्त होता है।

व्याख्या

व्यंजक a² - b² = 19 को बीजगणितीय सर्वसमिका a² - b² = (a - b)(a + b) का उपयोग करके गुणनखंडित किया जा सकता है। चूंकि 19 एक अभाज्य संख्या है, इसके एकमात्र संभावित धनात्मक पूर्णांक गुणनखंड 1 और 19 हैं। यह देखते हुए कि a और b धनात्मक पूर्णांक हैं, योग a + b अंतर a - b से अधिक होना चाहिए।

इन गुणनखंडों के आधार पर समीकरणों का निकाय स्थापित करने पर: a + b = 19 a - b = 1

a का मान ज्ञात करने के लिए, दोनों समीकरणों को एक साथ जोड़ें: (a + b) + (a - b) = 19 + 1 2a = 20 a = 10

पहले समीकरण में a = 10 प्रतिस्थापित करने पर 10 + b = 19 प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप b = 9 प्राप्त होता है। a और b दोनों धनात्मक पूर्णांक हैं, जो प्रारंभिक शर्तों को संतुष्ट करते हैं।

व्याख्या

लाभ प्रतिशत की गणना मानक सूत्र लाभ % = (SP - CP)/(CP) × 100 का उपयोग करके की जाती है। चूंकि क्रय मूल्य और विक्रय मूल्य का अनुपात 10:11 दिया गया है, हम इस संबंध में सीधे CP = 10 और SP = 11 रख सकते हैं। इससे लाभ % = (11 - 10)/(10) × 100 = ⅒ × 100 = 10 प्राप्त होता है।

व्याख्या

क्रय मूल्य (CP) और अंकित मूल्य (MP) के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है: CP = MP × (100 - छूट%)/(100 + लाभ%)। दिए गए मानों को रखने पर, जहाँ MP = 50 रुपये, छूट = 20%, और लाभ = 25%:

CP = 50 × (100 - 20)/(100 + 25)

CP = 50 × ⁸⁰⁄₁₂₅

CP = 50 × ¹⁶⁄₂₅ = 2 × 16 = 32

वैकल्पिक रूप से, अंकित मूल्य पर 20% की छूट देकर विक्रय मूल्य (SP) की गणना की जाती है: SP = 50 × (1 - 0.20) = 40। चूंकि 25% का लाभ है, इसलिए विक्रय मूल्य (SP) को 1.25 से विभाजित करके क्रय मूल्य (CP) ज्ञात किया जाता है: CP = (40)/(1.25) = 32।

व्याख्या

जब छूट और लाभ प्रतिशत दिए गए हों, तो क्रय मूल्य (CP) और मुद्रित मूल्य (MP) के बीच के संबंध को निम्नलिखित सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है:

(CP)/(MP) = (100 - छूट%)/(100 + लाभ%)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ छूट 10% और लाभ 12% है:

(CP)/(MP) = (100 - 10)/(100 + 12)

(CP)/(MP) = ⁹⁰⁄₁₁₂

अंश और हर दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक से विभाजित करने पर, जो कि 2 है:

(CP)/(MP) = ⁴⁵⁄₅₆

इसके परिणामस्वरूप 45:56 का अनुपात प्राप्त होता है।

व्याख्या

जब क्रय मूल्य (CP) स्थिर होता है, तो किसी वस्तु का विक्रय मूल्य (SP) सीधे (100 + लाभ%) के अनुक्रमानुपाती होता है। दो अलग-अलग विक्रय मूल्यों के अनुपात का उपयोग करने पर:

(SP₁)/(100 + G₁) = (SP₂)/(100 + G₂)

दिया गया है SP₁ = 2850, G₁ = 14, और G₂ = 8, हम नए विक्रय मूल्य SP₂ की गणना इस प्रकार कर सकते हैं:

SP₂ = 2850 × (100 + 8)/(100 + 14)

SP₂ = 2850 × ¹⁰⁸⁄₁₁₄

अंश और हर दोनों को 6 से विभाजित करके भिन्न ¹⁰⁸⁄₁₁₄ को सरल करने पर:

SP₂ = 2850 × ¹⁸⁄₁₉

2850 को 19 से विभाजित करने पर 150 प्राप्त होता है। इसलिए:

SP₂ = 150 × 18 = 2700

व्याख्या

यहाँ लाभ को विक्रय मूल्य (SP) के 25% के रूप में परिभाषित किया गया है। यदि हम मान लें कि विक्रय मूल्य 100 है, तो अर्जित लाभ 25 है। क्रय मूल्य (CP) की गणना विक्रय मूल्य से लाभ को घटाकर की जाती है, जिससे CP = 100 - 25 = 75 प्राप्त होता है। वास्तविक लाभ प्रतिशत क्रय मूल्य के सापेक्ष लाभ के अनुपात द्वारा निर्धारित किया जाता है। सूत्र लाभ % = (लाभ)/(CP) × 100 का उपयोग करते हुए, हम मान प्रतिस्थापित करते हैं जिससे ²⁵⁄₇₅ × 100 प्राप्त होता है। यह सरल होकर ⅓ × 100 हो जाता है, जिसके परिणामस्वरूप 33.33% प्राप्त होता है।

व्याख्या

B की आय, A की आय से कितने प्रतिशत अधिक है, इसकी गणना करने के लिए, प्रतिशत परिवर्तन के मानक सूत्र का उपयोग करें: प्रतिशत वृद्धि = (x)/(100 - x) × 100, जहाँ x उस प्रतिशत को दर्शाता है जिससे A की आय, B की आय से कम है।

दिया गया है x = 50, सूत्र में मान रखने पर: प्रतिशत वृद्धि = (50)/(100 - 50) × 100 प्रतिशत वृद्धि = ⁵⁰⁄₅₀ × 100 = 100%

वैकल्पिक रूप से, माना B की आय 100 है। चूँकि A की आय 50% कम है, इसलिए A की आय 50 है। उनकी आय के बीच का अंतर 50 है। यह ज्ञात करने के लिए कि B, A से कितने प्रतिशत अधिक है, A की आय के सापेक्ष अंतर की गणना करें: ⁵⁰⁄₅₀ × 100 = 100%।

व्याख्या

एक मान को दूसरे के प्रतिशत के रूप में व्यक्त करने का सूत्र है: (मान)/(कुल) × 100। दिए गए मानों को लागू करने पर, जहाँ मान 1.14 है और कुल मान 1.9 है:

प्रतिशत = (1.14)/(1.9) × 100

सबसे पहले, अंश को सरल करने के लिए 1.14 को 100 से गुणा करें:

(114)/(1.9)

हर से दशमलव बिंदु को हटाने के लिए, अंश और हर दोनों को 10 से गुणा करें:

¹¹⁴⁰⁄₁₉

भाग देने पर, 114 को 19 से विभाजित करने पर 6 प्राप्त होता है। इसलिए, 1140 को 19 से विभाजित करने पर 60 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि दिए गए अनुपात 3:5 के आधार पर दो प्राकृतिक संख्याएँ 3x और 5x हैं। इन संख्याओं का गुणनफल 2160 दिया गया है, जिससे हम निम्नलिखित समीकरण बना सकते हैं:

3x × 5x = 2160 15x² = 2160

x² का मान ज्ञात करने के लिए, गुणनफल को गुणांक 15 से विभाजित करें: x² = 2160/15 = 144

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर उभयनिष्ठ गुणनखंड x प्राप्त होता है: x = √(144) = 12

अनुपात में छोटी संख्या 3x है। x के परिकलित मान को प्रतिस्थापित करने पर: 3 × 12 = 36

व्याख्या

दिया गया समीकरण 60% × A = 48% × B है। अनुपात A:B ज्ञात करने के लिए, हम प्रतिशत को दशमलव या भिन्न के रूप में व्यक्त कर सकते हैं:

0.60 × A = 0.48 × B

अनुपात (A)/(B) को अलग करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

(A)/(B) = (0.48)/(0.60)

व्यंजक को सरल बनाने के लिए, अंश और हर दोनों को 100 से गुणा करें:

(A)/(B) = ⁴⁸⁄₆₀

48 और 60 दोनों 12 से विभाज्य हैं। दोनों पदों को उनके महत्तम समापवर्तक (greatest common divisor) से विभाजित करने पर:

(A)/(B) = (48 ÷ 12)/(60 ÷ 12) = ⅘

इससे अनुपात A:B = 4:5 प्राप्त होता है।

व्याख्या

a% और b% की दो क्रमिक प्रतिशत वृद्धियों का शुद्ध प्रभाव (net effect) सूत्र a + b + ᵃᵇ⁄₁₀₀ का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है। सूत्र में दिए गए मान a = 10 और b = 10 रखने पर, समतुल्य एकल वृद्धि 10 + 10 + (10 × 10)/(100) है। इसे सरल करने पर 20 + ¹⁰⁰⁄₁₀₀ = 20 + 1 = 21% प्राप्त होता है।

वैकल्पिक रूप से, गुणक विधि (multiplier method) का उपयोग करने पर, 10% की वृद्धि मूल्य को 1.10 से गुणा करने के समतुल्य है। इसे दो बार लागू करने पर अंतिम गुणक 1.10 × 1.10 = 1.21 प्राप्त होता है। मूल मान का 1.21 गुना अंतिम मान, 0.21 या 21% की कुल वृद्धि को दर्शाता है।

व्याख्या

समीकरण √(3+x) + √(3-x){√(3+x) - √(3-x)} = ²⁄₁ में योगान्तरानुपात नियम (Componendo and Dividendo) लागू करने पर, हमें प्राप्त होता है:

(√(3+x) + √(3-x)) + (√(3+x) - √(3-x)){(√(3+x) + √(3-x)) - (√(3+x) - √(3-x))} = (2 + 1)/(2 - 1)

बाईं ओर अंश और हर को सरल करने पर, समीकरण निम्न रूप में परिवर्तित हो जाता है:

2√(3+x){2√(3-x)} = 3

√(3+x){√(3-x)} = 3

वर्गमूलों को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर प्राप्त होता है:

³⁺ˣ⁄₃₋ₓ = 9

दोनों पक्षों को हर 3-x से गुणा करने पर:

3 + x = 9(3 - x)

3 + x = 27 - 9x

x का मान ज्ञात करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

10x = 24

x = ²⁴⁄₁₀ = ¹²⁄₅

व्याख्या

एक समबाहु त्रिभुज से एक समषट्भुज बनाने के लिए, त्रिभुज की प्रत्येक भुजा को तीन बराबर भागों में विभाजित (समत्रिभाजित) किया जाना चाहिए। यदि समबाहु त्रिभुज की भुजा s है, तो बनने वाले समषट्भुज की भुजा a = s/3 होगी। दिया गया है s = 6 सेमी, इसलिए समषट्भुज की भुजा a = 6/3 = 2 सेमी है।

एक समषट्भुज छह सर्वांगसम समबाहु त्रिभुजों से मिलकर बना होता है। भुजा a वाले एक समषट्भुज का क्षेत्रफल सूत्र A = 3√3/2 a² का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है। सूत्र में a = 2 सेमी का मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है: A = 3√3/2 × (2)² = 3√3/2 × 4 = 6√3 वर्ग सेमी।

वैकल्पिक रूप से, मूल त्रिभुज में 2 सेमी भुजा वाले 9 छोटे समबाहु त्रिभुज शामिल हैं। समषट्भुज बनाने के लिए कोनों के 3 त्रिभुजों को हटाने पर ऐसे 6 त्रिभुज बचते हैं, जिनमें से प्रत्येक का क्षेत्रफल √3/4 × 2² = √3 वर्ग सेमी है, जिससे कुल क्षेत्रफल 6√3 वर्ग सेमी प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक आयताकार कमरे में रखी जा सकने वाली सबसे लंबी छड़ की लंबाई, घनाभ के विकर्ण की लंबाई के बराबर होती है। l, w और h विमाओं वाले कमरे के लिए, विकर्ण d की लंबाई सूत्र d = √(l² + w² + h²) द्वारा दी जाती है।

दिए गए विमाओं l = 10 मीटर, w = 10 मीटर और h = 5 मीटर को सूत्र में रखने पर:

d = √(10² + 10² + 5²) d = √(100 + 100 + 25) d = √(225) d = 15 मीटर

गणना से पता चलता है कि कमरे का विकर्ण ठीक 15 मीटर है, जो दी गई विमाओं के भीतर रखी जा सकने वाली एक सीधी छड़ की अधिकतम संभव लंबाई को दर्शाता है।

व्याख्या

दिए गए 3:2 के अनुपात के आधार पर 1000 रुपये की कुल राशि को 3 + 2 = 5 बराबर भागों में विभाजित किया गया है।

A को आवंटित विशिष्ट हिस्से की गणना करने के लिए, हम अनुपात विभाजन सूत्र का उपयोग करते हैं:

A का हिस्सा = (A का अनुपात)/(अनुपातों का योग) × कुल राशि

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

A का हिस्सा = (3)/(3 + 2) × 1000

A का हिस्सा = ⅗ × 1000

व्यंजक को सरल करने पर, हम 1000 को 5 से विभाजित करके 200 प्राप्त करते हैं, फिर 3 से गुणा करते हैं:

A का हिस्सा = 3 × 200 = 600

A को कुल राशि में से अपने हिस्से के रूप में 600 रुपये प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

मान लीजिए कि प्रत्येक पद में जोड़ी जाने वाली संख्या x है। इस संबंध को निम्नलिखित समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है:

(7 + x)/(11 + x) = 3/4

पदों का तिर्यक गुणन (cross-multiplying) करने पर प्राप्त होता है:

4(7 + x) = 3(11 + x)

28 + 4x = 33 + 3x

x का मान ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:

4x - 3x = 33 - 28

x = 5

वैकल्पिक रूप से, इसे अनुपातों के पदों के बीच के अंतर को बराबर करके भी हल किया जा सकता है। 7 और 11 के बीच का अंतर 4 है, जबकि 3 और 4 के बीच का अंतर 1 है। अंतरों को बराबर करने के लिए, दूसरे अनुपात को 4 से गुणा करें, जिससे यह 12:16 हो जाता है। मूल पदों की नए पदों से तुलना करने पर, आवश्यक वृद्धि 12 - 7 = 5 या 16 - 11 = 5 है।

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज में, यदि कोई धनराशि t वर्षों में x गुनी हो जाती है, तो वह n × t वर्षों में xⁿ गुनी हो जाएगी। यहाँ, धनराशि t = 15 वर्षों में दोगुनी (x = 2) हो जाती है। हम धनराशि को अपने मूल मान का आठ गुना होने के लिए आवश्यक समय ज्ञात करना चाहते हैं। चूँकि 8 = 2³ है, इसलिए n का मान 3 है। सूत्र का उपयोग करने पर, आवश्यक समय 3 × 15 = 45 वर्ष है। ऐसा इसलिए है क्योंकि मिश्रधन गुणोत्तर रूप से बढ़ता है; यह 15 वर्षों में मूलधन का 2 गुना, 30 वर्षों में 2 × 2 = 4 गुना और 45 वर्षों में 4 × 2 = 8 गुना हो जाता है।

व्याख्या

टर्मिनल से प्रस्थान करने वाली दो लगातार बसों के बीच की दूरी, दिए गए समय अंतराल में एक बस द्वारा तय की गई दूरी होती है, जो कि D = V_bᵤₛ × Tᵢₙₜₑᵣᵥₐₗ है। जब एक व्यक्ति विपरीत दिशा से बस टर्मिनल की ओर बढ़ता है, तो व्यक्ति और बस के बीच की सापेक्ष गति V_bᵤₛ + Vₘₐₙ होती है। वह समय अंतराल t जिसमें व्यक्ति लगातार बसों से मिलता है, इस सापेक्ष गति से दूरी D को तय करने में लगने वाला समय है।

संबंध D = (V_bᵤₛ + Vₘₐₙ) × t का उपयोग करते हुए, हम ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करते हैं: 20 × 10 = (20 + Vₘₐₙ) × 8 200 = 160 + 8Vₘₐₙ 8Vₘₐₙ = 40 Vₘₐₙ = 5 किमी/घंटा

यह परिणाम इस सिद्धांत से प्राप्त होता है कि एक बस द्वारा 10 मिनट में तय की गई दूरी, एक-दूसरे की ओर बढ़ते समय बस और व्यक्ति द्वारा मिलकर 8 मिनट में तय की गई दूरी के बराबर होती है।

व्याख्या

एक वृत्त की परिधि C = 2π r होती है, जिसका अर्थ है C ∝ r। इसलिए, परिधि में 50% की कमी के परिणामस्वरूप त्रिज्या में भी समान रूप से 50% की कमी होती है। वृत्त का क्षेत्रफल A = π r² होता है। जब किसी द्विविमीय (two-dimensional) आकृति के रैखिक आयाम (linear dimension) में x% का परिवर्तन होता है, तो उसके क्षेत्रफल में प्रतिशत परिवर्तन की गणना सूत्र 2x + (x²)/(100) का उपयोग करके की जाती है।

प्रतिशत कमी के लिए x = -50 प्रतिस्थापित करने पर:

क्षेत्रफल में प्रतिशत परिवर्तन = 2(-50) + ((-50)²)/(100) = -100 + ²⁵⁰⁰⁄₁₀₀ = -100 + 25 = -75%

ऋणात्मक चिह्न कमी को दर्शाता है, जिससे यह पुष्टि होती है कि क्षेत्रफल में 75% की कमी होती है।

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज के अंतर्गत मिश्रधन A, मूलधन P, ब्याज दर R और समय n के बीच का संबंध सूत्र A = P(1 + (R)/(100))ⁿ द्वारा दिया जाता है। सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर:

1102.50 = 1000(1 + (R)/(100))²

(1102.50)/(1000) = (1 + (R)/(100))²

1.1025 = (1 + (R)/(100))²

R का मान ज्ञात करने के लिए, दोनों पक्षों का वर्गमूल लें। चूंकि 105² = 11025 है, इसलिए 1.05² = 1.1025 होगा।

1.05 = 1 + (R)/(100)

(R)/(100) = 1.05 - 1

(R)/(100) = 0.05

R = 5

व्याख्या

r% वार्षिक साधारण ब्याज की दर से t वर्षों में देय ऋण A को चुकाने के लिए आवश्यक वार्षिक किश्त x की गणना इस सिद्धांत का उपयोग करके की जाती है कि किश्तों का योग और अवधि के अंत तक उन पर अर्जित ब्याज कुल ऋण के बराबर होना चाहिए। सूत्र है: A = tx + (rx · t(t-1))/(200)।

दिए गए मानों A = 6450, t = 4, और r = 5 को सूत्र में रखने पर: 6450 = 4x + (5 · x · 4(4-1))/(200) 6450 = 4x + (5 · x · 12)/(200) 6450 = 4x + ⁶⁰ˣ⁄₂₀₀ 6450 = 4x + ³ˣ⁄₁₀ 6450 = (40x + 3x)/(10) 6450 = ⁴³ˣ⁄₁₀

x का मान ज्ञात करने पर: x = (6450 · 10)/(43) x = 150 · 10 x = 1500

व्याख्या

प्रथम 100 धनात्मक पूर्णांक 1 से शुरू होकर 100 पर समाप्त होने वाली एक समांतर श्रेणी (arithmetic progression) बनाते हैं। समांतर श्रेणी के किसी भी अनुक्रम के लिए, औसत केवल पहले और अंतिम पदों का समांतर माध्य होता है, जिसकी गणना सूत्र (a + l)/(2) का उपयोग करके की जाती है, जहाँ a पहला पद है और l अंतिम पद है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, औसत (1 + 100)/(2) = ¹⁰¹⁄₂ = 50.5 है। वैकल्पिक रूप से, प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग सूत्र (n(n + 1))/(2) द्वारा परिभाषित किया जाता है। औसत ज्ञात करने के लिए इस योग को n से विभाजित करने पर (n + 1)/(2) प्राप्त होता है। n = 100 के लिए, यह परिणाम (100 + 1)/(2) = 50.5 है।

व्याख्या

किसी समूह की कुल आयु सूत्र 'योग = औसत × व्यक्तियों की संख्या' द्वारा निर्धारित की जाती है।

माता और पिता के लिए, उनकी आयु का योग 35 × 2 = 70 वर्ष है।

पुत्र सहित परिवार के लिए, पिता, माता और पुत्र की आयु का योग 27 × 3 = 81 वर्ष है।

पुत्र की आयु, परिवार के तीनों सदस्यों की कुल आयु के योग में से माता-पिता की आयु के योग को घटाकर प्राप्त की जाती है: 81 - 70 = 11 वर्ष।

व्याख्या

एक पुरुष की दैनिक कमाई की गणना 5250 / 5 = 1050 रुपये के रूप में की जाती है। एक महिला की दैनिक कमाई की गणना 5250 / 7 = 750 रुपये के रूप में की जाती है। 7 पुरुषों और 13 महिलाओं की कुल दैनिक कमाई ज्ञात करने के लिए, हम व्यक्तिगत दरों को व्यक्तियों की संबंधित संख्या से गुणा करते हैं और उन्हें जोड़ते हैं: (7 × 1050) + (13 × 750) = 7350 + 9750 = 17100 रुपये।

व्याख्या

कुल कार्य को दी गई समयावधियों, 15 और 20 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) के रूप में दर्शाया जा सकता है, जो कि 60 इकाई है। A और B की संयुक्त कार्यक्षमता की गणना कुल कार्य को उनके संयुक्त समय से विभाजित करके की जाती है, जिससे 60 / 15 = 4 इकाई प्रति दिन प्राप्त होती है। अकेले B की कार्यक्षमता 60 / 20 = 3 इकाई प्रति दिन है। A की कार्यक्षमता संयुक्त कार्यक्षमता और B की कार्यक्षमता के बीच का अंतर है, जो कि 4 - 3 = 1 इकाई प्रति दिन है। अकेले A द्वारा लिए जाने वाले दिनों की संख्या ज्ञात करने के लिए, कुल कार्य को A की कार्यक्षमता से विभाजित करें: 60 / 1 = 60 दिन।

कार्य दर सूत्र का उपयोग करते हुए, अकेले A द्वारा लिया गया समय T = (xy) / (y - x) है, जहाँ x, A और B द्वारा मिलकर लिया गया समय है और y, अकेले B द्वारा लिया गया समय है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर: T = (15 × 20) / (20 - 15) = 300 / 5 = 60 दिन।

व्याख्या

एक निश्चित दूरी के लिए चाल और समय के बीच का संबंध व्युत्क्रमानुपाती होता है, जिसे S × T = D के रूप में व्यक्त किया जाता है। यदि कोई व्यक्ति अपनी सामान्य चाल की 3/4 चाल से चलता है, तो लिया गया समय चाल के अनुपात का व्युत्क्रम होगा, जो कि उसके सामान्य समय का 4/3 है।

मान लीजिए सामान्य समय T है। नया समय 4/3 T है। नए समय और सामान्य समय के बीच का अंतर 20 मिनट दिया गया है।

4/3 T - T = 20 1/3 T = 20 T = 60 मिनट

अतः, व्यक्ति द्वारा अपने कार्यालय पहुँचने में लिया जाने वाला सामान्य समय 60 मिनट है।

व्याख्या

मान लीजिए कि कुल कार्य व्यक्तिगत रूप से कार्य पूरा करने में लगे समय का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है: LCM(18, 20, 30) = 180 इकाई।

प्रत्येक व्यक्ति की कार्यक्षमता (प्रतिदिन किया गया कार्य) की गणना इस प्रकार की जाती है: A की कार्यक्षमता (E_A) = 180 / 18 = 10 इकाई/दिन B की कार्यक्षमता (E_B) = 180 / 20 = 9 इकाई/दिन C की कार्यक्षमता (E_C) = 180 / 30 = 6 इकाई/दिन

B और C ने 2 दिनों तक मिलकर कार्य किया। उनकी संयुक्त कार्यक्षमता E_B + E_C = 9 + 6 = 15 इकाई/दिन है। 2 दिनों में B और C द्वारा पूरा किया गया कार्य 15 × 2 = 30 इकाई है।

शेष कार्य 180 - 30 = 150 इकाई है। A अकेले इस शेष कार्य को 10 इकाई/दिन की दर से पूरा करता है। A द्वारा लिया गया समय इस प्रकार है: समय = (शेष कार्य)/(E_A) = ¹⁵⁰⁄₁₀ = 15 दिन

व्याख्या

जब कोई ट्रेन उसी दिशा में चल रहे किसी व्यक्ति को पार करती है, तो सापेक्ष गति (relative speed) ट्रेन की गति और व्यक्ति की गति का अंतर होती है। मान लीजिए ट्रेन की गति Vₜ किमी/घंटा है। व्यक्ति की गति 3 किमी/घंटा दी गई है। इस प्रकार, सापेक्ष गति (Vₜ - 3) किमी/घंटा है।

सापेक्ष गति को मीटर/सेकंड (m/s) में ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र Vᵣₑₗ = (दूरी)/(समय) का उपयोग करते हैं। यहाँ, दूरी ट्रेन की लंबाई (300 मीटर) है और लिया गया समय 33 सेकंड है।

Vᵣₑₗ = ³⁰⁰⁄₃₃ मीटर/सेकंड

इस गति को किमी/घंटा में बदलने के लिए, हम ¹⁸⁄₅ से गुणा करते हैं:

Vᵣₑₗ = ³⁰⁰⁄₃₃ × ¹⁸⁄₅ = (60 × 18)/(33) = (20 × 18)/(11) = ³⁶⁰⁄₁₁ ≈ 32.72 किमी/घंटा

चूंकि Vᵣₑₗ = Vₜ - 3, हमारे पास है:

Vₜ - 3 = 32.72 Vₜ = 32.72 + 3 = 35.72 किमी/घंटा

एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर, ट्रेन की गति 35.7 किमी/घंटा है।

व्याख्या

मीटर प्रति सेकंड में कमल की चाल की गणना किमी/घंटा में चाल को ⁵⁄₁₈ से गुणा करके की जाती है। इस प्रकार, कमल की चाल 18 × ⁵⁄₁₈ = 5 मीटर/सेकंड है। कमल द्वारा 100 मीटर की दौड़ पूरी करने में लिया गया समय t = (दूरी)/(चाल) = ¹⁰⁰⁄₅ = 20 सेकंड है।

चूंकि कमल, बिमल को 5 सेकंड से हरा देता है, इसलिए बिमल समान दूरी तय करने में कमल से 5 सेकंड अधिक लेता है। इसलिए, बिमल का समय 20 + 5 = 25 सेकंड है। मीटर प्रति सेकंड में बिमल की चाल ¹⁰⁰⁄₂₅ = 4 मीटर/सेकंड है। इसे वापस किमी/घंटा में बदलने के लिए, ¹⁸⁄₅ से गुणा करें, जिसके परिणामस्वरूप 4 × ¹⁸⁄₅ = ⁷²⁄₅ = 14.4 किमी/घंटा प्राप्त होता है।

व्याख्या

ट्रेन की गति ज्ञात करने के लिए, हम सापेक्ष गति की अवधारणा का उपयोग करते हैं। जब दो वस्तुएं विपरीत दिशाओं में चलती हैं, तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का योग होती है। मान लीजिए कि ट्रेन की गति Vₜ किमी/घंटा है और व्यक्ति की गति Vₘ है, जो 3 किमी/घंटा दी गई है।

व्यक्ति को पार करने में तय की गई दूरी ट्रेन की लंबाई के बराबर है, जो कि 240 मीटर है। लिया गया समय 10 सेकंड है। हम सबसे पहले मीटर प्रति सेकंड में सापेक्ष गति की गणना करते हैं:

सापेक्ष गति (Vᵣ) = (दूरी)/(समय) = ²⁴⁰⁄₁₀ = 24 मीटर/सेकंड

इस सापेक्ष गति को किमी/घंटा में बदलने के लिए, हम ¹⁸⁄₅ से गुणा करते हैं:

किमी/घंटा में Vᵣ = 24 × ¹⁸⁄₅ = ⁴³²⁄₅ = 86.4 किमी/घंटा

चूंकि व्यक्ति और ट्रेन विपरीत दिशाओं में चल रहे हैं:

Vᵣ = Vₜ + Vₘ 86.4 = Vₜ + 3 Vₜ = 86.4 - 3 = 83.4 किमी/घंटा

व्याख्या

धारा के अनुकूल चाल D, धारा की दिशा में चाल है। चूंकि नाविक 5 मिनट में 1 किमी नाव चलाता है, हम समय को घंटों में बदलते हैं: 5 मिनट = 5/60 = 1/12 घंटा। इस प्रकार, D = (1)/(1/12) = 12 किमी/घंटा।

धारा के प्रतिकूल चाल U, धारा के विपरीत दिशा में चाल है। नाविक 1 घंटे में 6 किमी नाव चलाता है, इसलिए U = 6/1 = 6 किमी/घंटा।

धारा की चाल v सूत्र v = (D - U)/(2) द्वारा दी जाती है। परिकलित मानों को प्रतिस्थापित करने पर, v = (12 - 6)/(2) = ⁶⁄₂ = 3 किमी/घंटा।

व्याख्या

यदि A कार्य का 1/3 भाग 5 दिनों में पूरा करता है, तो पूरे कार्य को पूरा करने में A द्वारा लिया गया कुल समय 5 × 3 = 15 दिन है। यदि B कार्य का 2/5 भाग 10 दिनों में पूरा करता है, तो पूरे कार्य को पूरा करने में B द्वारा लिया गया कुल समय 10 × ⁵⁄₂ = 25 दिन है। दोनों के मिलकर कार्य करने में लगने वाले समय को ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र T = (xy)/(x+y) का उपयोग करते हैं, जहाँ x और y क्रमशः प्रत्येक द्वारा व्यक्तिगत रूप से लिए गए दिनों की संख्या है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर T = (15 × 25)/(15 + 25) = ³⁷⁵⁄₄₀ प्राप्त होता है। अंश और हर दोनों को 5 से विभाजित करने पर ⁷⁵⁄₈ प्राप्त होता है, जो मिश्रित भिन्न 9 ⅜ दिनों में परिवर्तित हो जाता है।