यूकेपीएससी प्रारंभिक परीक्षा 2024 सीसैट (प्रश्नपत्र II) — उत्तर और व्याख्या सहित

व्याख्या

दिए गए व्यंजक X _ N _ O ≥ S _ P के रिक्त स्थानों में विकल्प C) के प्रतीकों >, ≥, और = को प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

X > N ≥ O ≥ S = P

यह सत्यापित करने के लिए कि क्या S < X (या X > S) सत्य है: X से S तक का संबंध पथ X > N ≥ O ≥ S है। चूंकि पथ में पूर्ण असमानता (strict inequality) प्रतीक > मौजूद है, इसलिए यह स्थापित होता है कि X > S, जिसका अर्थ है कि S < X निश्चित रूप से सत्य है।

यह सत्यापित करने के लिए कि क्या N ≥ P सत्य है: N से P तक का संबंध पथ N ≥ O ≥ S = P है। इन चिह्नों को मिलाने पर N ≥ P प्राप्त होता है, जो निश्चित रूप से सत्य है।

व्याख्या

समीकरण को सही बनाने के लिए, संख्याओं 12 और 24 को आपस में बदला जाना चाहिए।

घात (exponent) के रूप में लिखा गया मूल समीकरण इस प्रकार है: 6³ ÷ 12 + 4 × √(81) - 28 ÷ 2 + 24 = 43

12 और 24 को आपस में बदलने के बाद, समीकरण इस प्रकार हो जाता है: 6³ ÷ 24 + 4 × √(81) - 28 ÷ 2 + 12 = 43

BODMAS के नियमों को लागू करते हुए, हम सबसे पहले घात और वर्गमूल को सरल करते हैं: 6³ = 216 √(81) = 9

इन मानों को वापस समीकरण में रखने पर: 216 ÷ 24 + 4 × 9 - 28 ÷ 2 + 12 = 43

इसके बाद, भाग और गुणा की संक्रियाएँ करते हैं: 216 ÷ 24 = 9 4 × 9 = 36 28 ÷ 2 = 14

अब, जोड़ और घटाव करने के लिए इन परिणामों को वापस समीकरण में रखते हैं: 9 + 36 - 14 + 12 = 43 45 - 14 + 12 = 43 31 + 12 = 43 43 = 43

चूंकि बायाँ पक्ष (LHS) दाएँ पक्ष (RHS) के बराबर है, इसलिए समीकरण सही है।

व्याख्या

कथन सोशल मीडिया के अत्यधिक उपयोग के विशुद्ध रूप से नकारात्मक परिणाम को प्रस्तुत करता है, जिसमें दावा किया गया है कि यह आमने-सामने के संपर्क को कम करता है। तर्क सोशल मीडिया के सकारात्मक परिणामों को रेखांकित करके एक विपरीत दृष्टिकोण प्रस्तुत करता है, जैसे कि सामाजिक जुड़ाव के नए रूपों और समुदाय निर्माण को सक्षम करना। इन उपेक्षित लाभों की ओर इशारा करके, तर्क प्रारंभिक कथन की पूर्णता और निरपेक्ष प्रकृति को चुनौती देता है। यह आमने-सामने के संपर्क में कमी के दावे को पूरी तरह से खारिज (खंडन) नहीं करता है, लेकिन यह एक संतुलित दृष्टिकोण प्रदान करता है जो नकारात्मक सामान्यीकरण के प्रभाव को कम करता है, जिससे कथन कमजोर हो जाता है।

व्याख्या

कथन यह दावा करता है कि नियमित व्यायाम समग्र स्वास्थ्य और कल्याण में सकारात्मक योगदान देता है। तर्क शारीरिक और मानसिक दोनों स्वास्थ्य पर व्यायाम के सकारात्मक प्रभावों को प्रदर्शित करने वाले अनेक वैज्ञानिक अध्ययनों का संदर्भ देकर इस दावे का समर्थन करता है। अनुभवजन्य वैज्ञानिक साक्ष्यों को उद्धृत करके, जो प्रारंभिक दावे के अनुरूप हैं और उसके लिए एक तथ्यात्मक आधार प्रदान करते हैं, तर्क सीधे तौर पर कथन की वैधता को सुदृढ़ और मजबूत करता है।

व्याख्या

कथन में यह दावा किया गया है कि छोटा, चार दिवसीय कार्य-सप्ताह कर्मचारियों की उत्पादकता में वृद्धि की ओर ले जाएगा। इस परिणाम को प्राप्त करने के लिए, कर्मचारियों को नई सीमित समय सीमा के भीतर अपने कार्यों को प्रभावी ढंग से पूरा करने और प्रबंधित करने में सक्षम होना चाहिए। पूर्वानुमान इस नीति की सफलता के लिए यह महत्वपूर्ण और आवश्यक शर्त प्रदान करता है। चूंकि पूर्वानुमान चार दिवसीय कार्य-सप्ताह की व्यवहार्यता और व्यावहारिक सफलता का समर्थन करता है, इसलिए यह सीधे तौर पर कथन को सुदृढ़ करता है।

व्याख्या

कथन यह प्रतिपादित करता है कि शिक्षा में लैंगिक समानता को बढ़ावा देने के परिणामस्वरूप अधिक आर्थिक समृद्धि प्राप्त होती है। पूर्वानुमान अंतर्निहित तंत्र प्रदान करके इस दावे का समर्थन करता है, और यह स्पष्ट करता है कि सभी लिंगों के लिए शिक्षा तक समान पहुंच नवाचार और उत्पादकता को बढ़ावा देती है, जो दोनों ही आर्थिक विकास के प्रत्यक्ष चालक हैं। शैक्षिक समानता और आर्थिक विकास के बीच इस तार्किक संबंध को स्थापित करके, पूर्वानुमान सीधे तौर पर कथन को मान्य और सुदृढ़ करता है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण में + और × को आपस में बदलने पर व्यंजक गणितीय रूप से सही हो जाता है। संशोधित समीकरण के बाएं पक्ष पर BODMAS नियम लागू करने पर:

12 × 30 ÷ 6 - 15 + 23

सबसे पहले, भाग की क्रिया करें:

30 ÷ 6 = 5

समीकरण इस प्रकार हो जाता है:

12 × 5 - 15 + 23

इसके बाद, गुणा की क्रिया करें:

12 × 5 = 60

समीकरण इस प्रकार हो जाता है:

60 - 15 + 23

अंत में, योग और घटाव की क्रिया करें:

60 - 15 + 23 = 45 + 23 = 68

यह समीकरण को संतुष्ट करता है क्योंकि बायां पक्ष, दाएं पक्ष के बराबर है।

व्याख्या

औद्योगिक उत्सर्जन पर कड़े नियम लागू करना एक अत्यधिक प्रभावी, प्रत्यक्ष प्रशासनिक कार्यवाही है जो प्रदूषण के प्राथमिक मूल कारणों में से एक का समाधान करती है। स्रोत पर ही हानिकारक गैसों और सूक्ष्म कणों (पार्टिकुलेट मैटर) पर अंकुश लगाकर, औद्योगिक उत्सर्जन को काफी कम किया जा सकता है, जिससे तत्काल और सतत पर्यावरणीय सुधार होंगे।

प्रदूषण के बारे में जन जागरूकता अभियान शुरू करना एक महत्वपूर्ण पूरक रणनीति है जो सामाजिक और व्यावहारिक दृष्टिकोण से प्रदूषण की समस्या का समाधान करती है। जागरूकता बढ़ाने से नागरिकों में जिम्मेदारी की भावना विकसित होती है, आम जनता के बीच पर्यावरण-अनुकूल प्रथाओं को बढ़ावा मिलता है, और प्रशासनिक उपायों के लिए व्यापक सामुदायिक समर्थन प्राप्त होता है। उद्योगों पर नियामक प्रवर्तन को जन संवेदीकरण के साथ जोड़ना प्रदूषण संकट के समाधान के लिए एक व्यापक, सतत और अत्यधिक प्रभावी दृष्टिकोण प्रदान करता है।

व्याख्या

दिया गया कथन एक बढ़ते असंतुलन को उजागर करता है जहाँ कच्चे तेल की घरेलू मांग इसके स्वदेशी उत्पादन की तुलना में अधिक तेजी से बढ़ रही है, जिससे आपूर्ति-मांग में कमी (घाटा) हो रही है।

इस कमी को पूरा करने के लिए, इस परिदृश्य से सीधे दो तार्किक मार्ग या समाधान सामने आते हैं। पहला, चूँकि बढ़ती मांग को पूरा करने के लिए घरेलू उत्पादन अपर्याप्त है, इसलिए इस अंतर को पाटने और घरेलू आवश्यकताओं को पूरा करने के लिए अन्य देशों से कच्चे तेल का आयात किया जाना चाहिए। इसलिए, निष्कर्ष (1) तार्किक रूप से अनुसरण करता है। दूसरा, आपूर्ति और मांग को वापस संतुलन में लाने और बाहरी स्रोतों पर निर्भरता कम करने के लिए, घरेलू मांग को कम या अनुकूलित करने के उपाय किए जाने चाहिए। इस प्रकार, कमी को प्रबंधित करने के लिए एक आवश्यक कार्रवाई के रूप में निष्कर्ष (2) भी तार्किक रूप से अनुसरण करता है।

व्याख्या

कथन का अर्थ है कि योग्यता एक गरीब व्यक्ति के लिए धन के रूप में कार्य करती है। चूंकि धन एक ऐसा संसाधन है जो सुरक्षा और अपनी आवश्यकताओं को पूरा करने के साधन प्रदान करता है, इसलिए एक गरीब व्यक्ति के लिए योग्यता की तुलना धन से करने का तात्पर्य यह है कि उसकी योग्यता ही उसकी प्राथमिक संपत्ति है जो उसे आजीविका और धन अर्जित करने में सक्षम बनाती है। इसलिए, एक गरीब व्यक्ति धन अर्जित कर सकता है यदि उसमें योग्यता हो, जिससे निष्कर्ष (4) तार्किक रूप से सही सिद्ध होता है।

व्याख्या

शब्दावली और भाषा कौशल को बढ़ाना संज्ञानात्मक विकास और मस्तिष्क की कार्यप्रणाली का एक प्रत्यक्ष और मौलिक घटक है। नियमित रूप से पढ़ना समझ, वाक् उत्पादन और स्मृति में शामिल तंत्रिका मार्गों (neural pathways) को उत्तेजित करता है, जिससे समग्र संज्ञानात्मक क्षमताएं मजबूत होती हैं। इसलिए, यह कथन कि पढ़ना शब्दावली और भाषा कौशल को बढ़ाता है, इस दावे के लिए एक प्रत्यक्ष औचित्य के रूप में कार्य करता है कि नियमित रूप से पढ़ना संज्ञानात्मक कार्यप्रणाली में सुधार करता है।

व्याख्या

घातांक के नियमों का उपयोग करते हुए, दिए गए गुणनफल को इस प्रकार सरल किया जा सकता है: 3ᵃ × 3ᵇ × 3ᶜ = 3ᵃ⁺ᵇ⁺ᶜ

729 को 3 की घात के रूप में व्यक्त करने पर प्राप्त होता है: 729 = 3⁶

घातों की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है: a + b + c = 6

चूंकि a, b, और c भिन्न धनात्मक पूर्णांक हैं, इसलिए तीन अलग-अलग धनात्मक पूर्णांकों का एकमात्र संभावित संयोजन जिनका योग 6 है, वह 1, 2, और 3 है।

दिए गए व्यंजक में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: 3¹ + 3² + 3³ = 3 + 9 + 27 = 39

व्याख्या

दिया गया अनुपात है: (a + b)/(a - b) = ⅕

पदों का तिर्यक-गुणन (cross-multiplying) करने पर: 5(a + b) = a - b 5a + 5b = a - b 4a = -6b (a)/(b) = -³⁄₂

समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: a²/b² = ⁹⁄₄

हमें निम्नलिखित अनुपात का मान ज्ञात करना है: (a² - b²)/(a² + b²)

अंश और हर दोनों को b² से भाग देने पर: (a²/b² - 1)/(a²/b² + 1) = (9/4 - 1)/(9/4 + 1) = (5/4)/(13/4) = ⁵⁄₁₃

व्याख्या

वह सबसे बड़ा पूर्णांक n ज्ञात करने के लिए जिसके लिए 40!, 3ⁿ से विभाज्य है, 40! के अभाज्य गुणनखंडन (prime factorization) में अभाज्य संख्या 3 के घातांक (exponent) की गणना करने के लिए लेजेंड्रे के सूत्र (Legendre's formula) का उपयोग किया जाता है।

लेजेंड्रे का सूत्र बताता है कि N! के अभाज्य गुणनखंडन में एक अभाज्य संख्या p का घातांक इस प्रकार दिया जाता है:

Eₚ(N!) = ₖ₌₁^∞ ⌊ (N)/(pᵏ) ⌋

सूत्र में N = 40 और p = 3 रखने पर:

E₃(40!) = ⌊ ⁴⁰⁄₃ ⌋ + ⌊ (40)/(3²) ⌋ + ⌊ (40)/(3³) ⌋ + ⌊ (40)/(3⁴) ⌋ + …

E₃(40!) = ⌊ ⁴⁰⁄₃ ⌋ + ⌊ ⁴⁰⁄₉ ⌋ + ⌊ ⁴⁰⁄₂₇ ⌋ + ⌊ ⁴⁰⁄₈₁ ⌋

प्रत्येक पद का मान ज्ञात करने पर:

⌊ ⁴⁰⁄₃ ⌋ = 13

⌊ ⁴⁰⁄₉ ⌋ = 4

⌊ ⁴⁰⁄₂₇ ⌋ = 1

⌊ ⁴⁰⁄₈₁ ⌋ = 0

इन मानों को जोड़ने पर:

E₃(40!) = 13 + 4 + 1 + 0 = 18

व्याख्या

अतिरिक्त कर्मियों और उपकरणों को तैनात करना पानी को साफ करने और जलभराव के प्रभाव को कम करने के लिए एक तत्काल, व्यावहारिक उपाय है। गैर-आवश्यक यात्रा से बचने के लिए सार्वजनिक परामर्श जारी करने से तत्काल यातायात जाम को प्रबंधित करने में मदद मिलती है और जनता को होने वाली आगे की असुविधा से बचा जा सकता है। ये दोनों कार्यवाहियां सीधे तौर पर कथन में वर्णित गंभीर समस्या का समाधान करती हैं।

व्याख्या

तर्क II एक मजबूत और तार्किक रूप से ठोस तर्क है क्योंकि रसोई गैस परिवारों के लिए एक प्राथमिक उपयोगिता है। रसोई गैस पर सब्सिडी में कटौती से इसकी कीमत में तत्काल वृद्धि होती है। चूंकि ईंधन और खाना पकाने की लागत घरेलू बजट के मूलभूत घटक हैं, इसलिए रसोई गैस की उच्च कीमतें सीधे भोजन तैयार करने और अन्य दैनिक वस्तुओं की लागत को बढ़ाती हैं। लागत पर यह बढ़ता दबाव अर्थव्यवस्था में समग्र मुद्रास्फीति में योगदान देता है, जिससे आम जनता पर प्रतिकूल प्रभाव पड़ता है। यह सब्सिडी कम करने के खिलाफ एक वैध और महत्वपूर्ण आर्थिक कारण प्रदान करता है।

व्याख्या

यह गद्यांश इस बात पर जोर देता है कि किसी कलाकृति का मूल्य बाहरी उपयोगिता, नैतिक उद्देश्यों या उपदेशात्मक निर्देशों से पूरी तरह स्वतंत्र है, और इसके बजाय यह पूरी तरह से स्वयं कलाकृति द्वारा निर्धारित होता है। यह उल्लेख करके कि कला स्व-सिद्ध है और केवल कला की आत्मा द्वारा अस्तित्व में लाई जाती है, यह पाठ रचनात्मक कार्य के अंतर्निहित मूल्य को रेखांकित करता है। यह अवधारणा सौंदर्यशास्त्र के उस दर्शन का मूल सिद्धांत है जिसे 'कला केवल कला के लिए है' (art for art's sake) के रूप में जाना जाता है, जो यह दावा करता है कि कला आत्मनिर्भर है और पूरी तरह से अपने स्वयं के लिए अस्तित्व में है।

व्याख्या

माना X, Y और Z की आय क्रमशः 12x, 9x और 7x है, और माना उनके व्यय क्रमशः 15y, 9y और 8y हैं।

चूंकि X अपनी आय का 25% बचाता है, इसलिए उसका व्यय उसकी आय का 75% होना चाहिए। इस संबंध को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है: 15y = ⁷⁵⁄₁₀₀ × 12x 15y = ¾ × 12x 15y = 9x (x)/(y) = ¹⁵⁄₉ = ⁵⁄₃

x = 5 और y = 3 रखने पर, हम आय और व्यय के व्यक्तिगत मान निर्धारित कर सकते हैं: X की आय = 12 × 5 = 60 Y की आय = 9 × 5 = 45 Z की आय = 7 × 5 = 35

X का व्यय = 15 × 3 = 45 Y का व्यय = 9 × 3 = 27 Z का व्यय = 8 × 3 = 24

बचत की गणना आय में से व्यय घटाकर की जाती है: X की बचत = 60 - 45 = 15 Y की बचत = 45 - 27 = 18 Z की बचत = 35 - 24 = 11

उनकी बचत का अनुपात 15 : 18 : 11 है।

व्याख्या

परिभाषा के अनुसार, एक अभाज्य संख्या 1 से बड़ी वह प्राकृतिक संख्या होती है जिसके ठीक दो अलग-अलग धनात्मक भाजक होते हैं: 1 और स्वयं वह संख्या। चूंकि 1 का केवल एक ही धनात्मक भाजक होता है, इसलिए यह इस परिभाषा को पूरा नहीं करता है और इसे न तो अभाज्य और न ही भाज्य संख्या के रूप में वर्गीकृत किया जाता है। पहली और सबसे छोटी अभाज्य संख्या 2 है। इसलिए, कथन (iv) गलत है।

व्याख्या

अभिकथन (A) सही है क्योंकि कच्चा तेल विश्व के विभिन्न क्षेत्रों में प्राकृतिक भूमिगत जलाशयों में विशाल मात्रा में मौजूद है, जिससे यह प्रकृति में प्रचुर मात्रा में उपलब्ध है।

कारण (R) भी सही है क्योंकि कच्चा तेल पेट्रोल, डीजल, सिंथेटिक रबर, प्लास्टिक और स्नेहक तेल (ल्यूब्रिकेटिंग ऑयल) बनाने के लिए प्रसंस्कृत किया जाने वाला प्राथमिक कच्चा माल है, जो ऑटोमोबाइल के लिए आवश्यक ईंधन और विनिर्माण इनपुट हैं।

हालाँकि, कारण (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या नहीं है। कच्चे तेल की भूवैज्ञानिक प्रचुरता प्रागैतिहासिक कार्बनिक पदार्थों के उच्च दबाव और तापमान के तहत लाखों वर्षों में रासायनिक परिवर्तनों से गुजरने का परिणाम है, जो ऑटोमोबाइल उद्योग में इसके मानवीय उपभोग या उपयोगिता से पूरी तरह से स्वतंत्र है।

व्याख्या

त्रिज्या r₁ और r₂ वाले दो वृत्तों में ठीक 3 उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ होती हैं यदि और केवल यदि वे बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं। दो वृत्तों के बाह्य रूप से स्पर्श करने के लिए, उनके केंद्रों के बीच की दूरी d उनकी त्रिज्याओं के योग के बराबर होनी चाहिए, जिसे निम्नलिखित सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है:

d = r₁ + r₂

दी गई त्रिज्याएँ r₁ = 4 सेमी और r₂ = 5 सेमी हैं, इन मानों को सूत्र में रखने पर प्राप्त होता है:

d = 4 + 5 = 9 सेमी

व्याख्या

टीके शरीर में किसी रोगजनक के कमजोर या निष्क्रिय हिस्से को प्रवेश कराकर काम करते हैं, जिससे प्रतिरक्षा प्रणाली एंटीबॉडी का उत्पादन करने और भविष्य के संक्रमणों को रोकने के लिए प्रतिरक्षात्मक स्मृति (इम्यूनोलॉजिकल मेमोरी) विकसित करने के लिए प्रेरित होती है, जिससे अभिकथन (A) सही हो जाता है। यह भी सच है कि बच्चों के स्वास्थ्य के लिए टीके आवश्यक हैं और उन्हें कम उम्र में संक्रामक रोगों से बचाने के लिए बच्चों को टीके अवश्य दिए जाने चाहिए, जिससे कारण (R) सही हो जाता है। हालाँकि, अभिकथन टीकों के चिकित्सा कार्य का वर्णन करता है, जबकि कारण बच्चों के लिए एक जनसांख्यिकीय नीति और स्वास्थ्य देखभाल की आवश्यकता को दर्शाता है, जो टीकों द्वारा बीमारियों को रोकने के जैविक तंत्र की व्याख्या नहीं करता है।

व्याख्या

इस समूह में सात सदस्य शामिल हैं: A, B, C, D, E, F, और G जो तीन अलग-अलग वाहनों (मारुति, सैंट्रो और ओपेल) में यात्रा कर रहे हैं।

शर्त के अनुसार प्रत्येक वाहन में कम से कम दो यात्री हैं, और प्रत्येक वाहन में उनमें से केवल एक ही पुरुष है। चूंकि तीन वाहन हैं और प्रत्येक में ठीक एक पुरुष यात्री है, इसलिए समूह में पुरुष यात्रियों की कुल संख्या ठीक 3 है।

यात्रियों की कुल संख्या में से पुरुष यात्रियों की संख्या घटाने पर महिला यात्रियों की संख्या प्राप्त होती है:

7 - 3 = 4

अतः, समूह में ठीक चार महिला सदस्य हैं।

व्याख्या

यह पता लगाने के लिए कि कौन सा कथन गलत है, हम प्रत्येक व्यक्ति का लिंग निर्धारित कर सकते हैं। तीनों वाहनों में से प्रत्येक में केवल एक पुरुष यात्री है, जिसका अर्थ है कि सात व्यक्तियों में ठीक तीन पुरुष यात्री और चार महिला यात्री हैं।

दी गई जानकारी से: B एक पुरुष इंजीनियर है। D एक पुरुष डॉक्टर है। A और F बहनें हैं, इसलिए दोनों महिलाएं हैं। C एक महिला डॉक्टर है, इसलिए C महिला है। B, मारुति में केवल G के साथ यात्रा करता है। चूंकि B पुरुष है और प्रत्येक वाहन में केवल एक पुरुष है, इसलिए G महिला होनी चाहिए।

इस प्रकार, चार महिलाएं A, F, C और G हैं। इससे B, D और E तीन पुरुष बचते हैं। चूंकि E एक पुरुष है, इसलिए यह कथन कि E एक महिला है, गलत है।

व्याख्या

F का पेशा ज्ञात करने के लिए, हम तीनों वाहनों में यात्रियों के वितरण, उनके लिंग और उनके पेशों का विश्लेषण करते हैं।

चूंकि सात यात्री हैं और प्रत्येक वाहन में कम से कम दो यात्री हैं जिनमें ठीक एक पुरुष है, इसलिए ठीक तीन पुरुष और चार महिलाएं हैं।

B एक पुरुष इंजीनियर है जो मारुति में केवल G, जो कि एक शिक्षक है, के साथ यात्रा करता है। इस प्रकार, मारुति में केवल दो यात्री हैं।

शेष पांच यात्री A, C, D, E और F हैं। पुरुष B, D (डॉक्टर) और E हैं। चूंकि प्रत्येक वाहन में ठीक एक पुरुष है, इसलिए शेष पुरुषों D और E को सैंट्रो और ओपेल के बीच वितरित किया जाना चाहिए।

A (महिला) सैंट्रो में यात्रा करती है। C एक महिला डॉक्टर है जो बहनों A और F के साथ यात्रा नहीं करती है। इसलिए, C को ओपेल में यात्रा करनी चाहिए, और F को A के साथ सैंट्रो में यात्रा करनी चाहिए।

इसका अर्थ है कि सैंट्रो में तीन यात्री हैं: A (महिला), F (महिला) और एक पुरुष। ओपेल में C (महिला डॉक्टर) और एक पुरुष हैं। यदि D (डॉक्टर) ओपेल में यात्रा करता है, तो यह इस नियम का उल्लंघन करेगा कि एक ही पेशे के कोई भी दो व्यक्ति एक साथ यात्रा नहीं करते हैं क्योंकि C भी एक डॉक्टर है। इस प्रकार, E को ओपेल में यात्रा करनी चाहिए, और D (डॉक्टर) को सैंट्रो में यात्रा करनी चाहिए।

सैंट्रो में, तीनों यात्रियों (A, F और D) को तीन अलग-अलग पेशों का प्रतिनिधित्व करना चाहिए। चूंकि D एक डॉक्टर है, इसलिए A और F को एक इंजीनियर और एक शिक्षक होना चाहिए। यह देखते हुए कि A एक इंजीनियर नहीं है, A को शिक्षक होना चाहिए, जिससे F के लिए इंजीनियर होना शेष रह जाता है।

व्याख्या

महात्मा गांधी ने चौरी-चौरा की घटना के बाद फरवरी 1922 में असहयोग आंदोलन वापस ले लिया था। 4 फरवरी 1922 को उत्तर प्रदेश के गोरखपुर जिले के चौरी-चौरा में प्रदर्शनकारियों और पुलिस के बीच झड़प के दौरान, एक गुस्साई भीड़ ने एक पुलिस थाने में आग लगा दी, जिससे 22 पुलिसकर्मियों की मौत हो गई। पूर्ण अहिंसा के प्रति प्रतिबद्ध, गांधीजी ने महसूस किया कि आंदोलन हिंसक रूप ले रहा है और जनता अभी तक शांतिपूर्ण प्रतिरोध के लिए पूरी तरह से प्रशिक्षित नहीं थी, जिसके कारण उन्होंने इस देशव्यापी अभियान को स्थगित कर दिया।

व्याख्या

मान लीजिए कि A, B और C के वजन को क्रमशः W_A, W_B और W_C द्वारा दर्शाया गया है।

कथन I से, हमें प्राप्त होता है: W_A > W_B।

कथन II से, हमें प्राप्त होता है: W_C > W_B।

इन संबंधों को मिलाने पर पता चलता है कि A और C दोनों का वजन B से अधिक है। चूंकि W_A और W_C की तुलना करने के लिए कोई जानकारी नहीं दी गई है, इसलिए यह निर्धारित नहीं किया जा सकता है कि C का वजन A से अधिक है या नहीं। परिणामस्वरूप, यह कथन कि 'C का वजन सबसे अधिक है' अनिश्चित है।

व्याख्या

दी गई श्रृंखला एक एकांतर तर्क का अनुसरण करती है जहाँ प्रत्येक अगले पद की गणना पिछले पद को 2 से गुणा करके और फिर एकांतर रूप से 2 जोड़कर और 3 घटाकर की जाती है।

पैटर्न इस प्रकार है: 4 × 2 + 2 = 10 10 × 2 - 3 = 17 17 × 2 + 2 = 36 36 × 2 - 3 = 69 69 × 2 + 2 = 140

लुप्त पद ज्ञात करने के लिए, हम अंतिम पद को 2 से गुणा करके और 3 घटाकर इस एकांतर नियम का पालन करते हैं: 140 × 2 - 3 = 277

व्याख्या

प्रश्नवाचक चिह्न का मान ज्ञात करने के लिए, घातांक के नियमों का उपयोग करके समीकरण के सभी पदों को समान आधार 2 के रूप में व्यक्त करें।

पद 8 को 2³ के रूप में लिखा जा सकता है, जिससे प्राप्त होता है: 8⁴ = (2³)⁴ = 2^(3 × 4) = 2¹²

पद 16 को 2⁴ के रूप में लिखा जा सकता है, जिससे प्राप्त होता है: 16¹.⁶ = (2⁴)¹.⁶ = 2^(4 × 1.6) = 2⁶.⁴

इन मानों को वापस समीकरण में रखें: 2¹² ÷ 2⁶.⁴ × 2⁵.⁴ = 2^?

घातांक के नियमों aᵐ ÷ aⁿ = a^(m - n) और aᵐ × aⁿ = a^(m + n) का उपयोग करके, समीकरण के बाएं पक्ष को सरल करें: 2^(12 - 6.4 + 5.4) = 2^? 2^(5.6 + 5.4) = 2^? 2¹¹ = 2^?

दोनों पक्षों के घातों की तुलना करने पर प्राप्त होता है: ? = 11

व्याख्या

मान लीजिए कि बक्से की कुल क्षमता को C द्वारा दर्शाया गया है। दी गई शर्त के अनुसार, प्रत्येक अगले दिन मिलाए जाने वाले संतरों की संख्या, बक्से में पहले से मौजूद संतरों की संख्या के बराबर होती है। इसका अर्थ यह है कि बक्से में संतरों की मात्रा प्रत्येक दिन दोगुनी हो जाती है।

मान लीजिए कि Q(t) दिन t पर बक्से में संतरों की मात्रा है। लगातार दिनों में संतरों की मात्रा के बीच का संबंध इस प्रकार है: Q(t) = 2 Q(t-1)

पिछले दिन की मात्रा ज्ञात करने के लिए इसे विपरीत क्रम में इस प्रकार लिखा जा सकता है: Q(t-1) = ½ Q(t)

बक्सा 24वें दिन पूरी तरह भर जाता है, जिसका अर्थ है: Q(24) = C

23वें दिन, बक्सा आधा भरा हुआ होता है: Q(23) = ½ Q(24) = ½ C

22वें दिन, बक्सा एक-चौथाई भरा हुआ होता है: Q(22) = ½ Q(23) = ¼ C

व्याख्या

मोहिनी आयताकार भूखंड के दक्षिण-पूर्व कोने से चलना शुरू करती है और विपरीत कोने की ओर विकर्णतः चलती है, जो कि उत्तर-पश्चिम कोना है। इसलिए, उसकी गति की प्रारंभिक दिशा उत्तर-पश्चिम है।

जब वह बाईं ओर मुड़ती है (जो कि वामावर्त 90° का मोड़ है), तो उसकी दिशा उत्तर-पश्चिम से बदलकर दक्षिण-पश्चिम हो जाती है।

इसके बाद, जब वह दाईं ओर मुड़ती है (जो कि दक्षिणावर्त 90° का मोड़ है), तो उसकी दिशा दक्षिण-पश्चिम से वापस उत्तर-पश्चिम में बदल जाती है।

इस प्रकार, वर्तमान में उसका मुख उत्तर-पश्चिम दिशा की ओर है।

व्याख्या

कथन I से, हमारे पास x³{2} सम है। इसे किसी पूर्णांक k के लिए x³{2} = 2k के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिससे x³ = 4k प्राप्त होता है। यदि x पूर्णांकों तक सीमित है, तो x³ का 4 का गुणज होना यह दर्शाता है कि x³ सम है, जिसका अर्थ है कि x भी सम होना चाहिए। हालाँकि, यदि x पूर्णांकों तक सीमित नहीं है, तो x एक गैर-पूर्णांक (जैसे ³√4) हो सकता है, जिससे x³{2} = 2 (सम) बनता है लेकिन x एक सम पूर्णांक नहीं है। अतः, केवल कथन I पर्याप्त नहीं है।

कथन II से, हमारे पास 2³√x सम है। इसे किसी पूर्णांक m के लिए 2³√x = 2m के रूप में दर्शाया जा सकता है, जो सरल होकर ³√x = m हो जाता है। दोनों पक्षों का घन करने पर, हमें x = m³ प्राप्त होता है। चूँकि m एक पूर्णांक है, इसलिए x भी एक पूर्णांक होना चाहिए। हालाँकि, m सम या विषम दोनों में से कुछ भी हो सकता है। यदि m = 1, तो x = 1 (विषम)। यदि m = 2, तो x = 8 (सम)। अतः, केवल कथन II पर्याप्त नहीं है।

दोनों कथनों को मिलाने पर, कथन II यह स्थापित करता है कि x एक पूर्णांक है। कथन I यह स्थापित करता है कि यदि x एक पूर्णांक है, तो x को सम होना चाहिए क्योंकि x³ 4 का एक गुणज है। इसलिए, दोनों कथन मिलकर यह निर्धारित करने के लिए पर्याप्त हैं कि x वास्तव में सम है।

व्याख्या

अपरिवर्तित स्थानों की संख्या ज्ञात करने के लिए, शब्द IMPOSSIBLE के अक्षरों को बाएं से दाएं उनके मूल स्थानों के साथ लिखें: 1: I, 2: M, 3: P, 4: O, 5: S, 6: S, 7: I, 8: B, 9: L, 10: E.

इन अक्षरों का वर्णानुक्रम (alphabetical order) B, E, I, I, L, M, O, P, S, S है। इस वर्णानुक्रम को उलटने पर विपरीत वर्णानुक्रम प्राप्त होता है: S, S, P, O, M, L, I, I, E, B.

तुलना के लिए मूल शब्द और विपरीत वर्णानुक्रम व्यवस्था को अगल-बगल रखने पर: मूल: I, M, P, O, S, S, I, B, L, E विपरीत: S, S, P, O, M, L, I, I, E, B

प्रत्येक स्थान पर अक्षरों की तुलना करने से पता चलता है कि तीसरे स्थान (P), चौथे स्थान (O) और सातवें स्थान (I) पर दोनों अनुक्रमों में बिल्कुल समान अक्षर हैं। इसका अर्थ है कि ऐसे तीन स्थान हैं जो पूरी तरह से अपरिवर्तित रहते हैं।

व्याख्या

मान लीजिए P, Q, R, S, और T प्रत्येक खिलाड़ी के पास मौजूद पत्तों की संख्या को दर्शाते हैं।

पहले कथन से, यदि Q, P को 3 पत्ते देता है, तो Q के पास उतने ही पत्ते होंगे जितने T के पास हैं: T = Q - 3

यदि P, Q को 3 पत्ते देता है, तो Q के पास उतने ही पत्ते होंगे जितने S के पास हैं: S = Q + 3

दूसरे कथन से, P और Q के पास मिलाकर, S और T के पास मिलाकर जितने पत्ते हैं उससे 10 पत्ते अधिक हैं: P + Q = S + T + 10

S और T के मान प्रतिस्थापित करने पर: P + Q = (Q + 3) + (Q - 3) + 10 P = Q + 10

तीसरे कथन से, Q के पास R से 2 पत्ते अधिक हैं: R = Q - 2

दिया गया है कि पत्तों की कुल संख्या 133 है: P + Q + R + S + T = 133

सभी चरों को Q के पदों में प्रतिस्थापित करने पर: (Q + 10) + Q + (Q - 2) + (Q + 3) + (Q - 3) = 133 5Q + 8 = 133 5Q = 125 Q = 25

व्याख्या

प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: ᵢ₌₁ⁿ i³ = [ ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾⁄₂ ]² = ((n² + n)²)/(4)

प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: ᵢ₌₁ⁿ i = ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾⁄₂ = (n² + n)/(2)

पहले योग में से दूसरे योग को घटाने पर प्राप्त होता है: 1³ + 2³ + … + n³ - (1 + 2 + … + n) = ((n²+n)²)/(4) - (n²+n)/(2)

पदों में से (n² + n) / 4 को उभयनिष्ठ (common factor) लेने पर: (n²+n)/(4) [ (n²+n) - 2 ]

इसे सरल करने पर प्राप्त होता है: ((n² + n)(n² + n - 2))/(4)

व्याख्या

3-अंकीय संख्या 4a3 में 984 जोड़ने पर, हमें 13b7 प्राप्त होता है: 4a3 + 984 = 13b7

इस समीकरण को स्थानीय मान (place-value) के रूप में लिखने पर: (400 + 10a + 3) + 984 = 1300 + 10b + 7 1387 + 10a = 1307 + 10b 10(b - a) = 80 b - a = 8

चूंकि a और b एकल-अंकीय पूर्ण संख्याएं हैं, इसलिए (a, b) के संभावित युग्म हैं: यदि a = 0, तो b = 8, जिससे 4-अंकीय संख्या 1387 बनती है। यदि a = 1, तो b = 9, जिससे 4-अंकीय संख्या 1397 बनती है।

हम न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक c ज्ञात करना चाहते हैं ताकि (13b7 + c) 8 से पूर्णतः विभाज्य हो।

13b7 = 1387 के लिए: 1387 को 8 से विभाजित करने पर 1387 = 8 × 173 + 3 प्राप्त होता है, जिससे शेषफल 3 बचता है। (1387 + c) को 8 से विभाज्य बनाने के लिए, न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक c = 8 - 3 = 5 है।

13b7 = 1397 के लिए: 1397 को 8 से विभाजित करने पर 1397 = 8 × 174 + 5 प्राप्त होता है, जिससे शेषफल 5 बचता है। (1397 + c) को 8 से विभाज्य बनाने के लिए, न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक c = 8 - 5 = 3 है।

दोनों संभावित मामलों की तुलना करने पर, c का निरपेक्ष न्यूनतम मान 3 है।

व्याख्या

दिया गया व्यंजक (25)¹³ × (10)⁷ × (27)⁵ है।

अभाज्य गुणनखंडों की कुल संख्या ज्ञात करने के लिए, हम प्रत्येक आधार को उसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करते हैं:

25 = 5² 10 = 2 × 5 27 = 3³

इन अभाज्य निरूपणों को वापस व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

((5)²)¹³ × (2 × 5)⁷ × ((3)³)⁵

घातांक के नियमों को लागू करने पर, यह सरल होकर निम्न रूप में आ जाता है:

5²⁶ × 2⁷ × 5⁷ × 3¹⁵

समान आधार वाले पदों को संयोजित करने पर:

2⁷ × 3¹⁵ × 5²⁶⁺⁷ = 2⁷ × 3¹⁵ × 5³³

अभाज्य गुणनखंडों की कुल संख्या, उनकी बहुलता (multiplicities) सहित, अभाज्य आधारों के घातांकों का योग है:

7 + 15 + 33 = 55

व्याख्या

मॉड्यूलर अंकगणित (modular arithmetic) का उपयोग करते हुए, हम इस संबंध को लिखते हैं:

29 ≡ 1 28

सर्वांगसमता (congruence) के दोनों पक्षों की घात 22 करने पर:

(29)²² ≡ 1²² 28

चूंकि 1²² = 1 है, हमें प्राप्त होता है:

(29)²² ≡ 1 28

वैकल्पिक रूप से, द्विपद प्रमेय (binomial theorem) का उपयोग करके, हम इस संख्या को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं:

(29)²² = (28 + 1)²²

इस द्विपद व्यंजक का विस्तार करने पर:

(28 + 1)²² = 22{0} (28)²² + 22{1} (28)²¹ + … + 22{21} (28)¹ + 1²²

अंतिम पद को छोड़कर इस विस्तार के प्रत्येक पद में 28 एक गुणनखंड के रूप में है और इसलिए यह 28 से पूर्णतः विभाज्य है। शेषफल पूरी तरह से अंतिम पद द्वारा निर्धारित होता है, जो कि है:

1²² = 1

व्याख्या

किसी भी पूर्णांक को 6k, 6k+1, 6k+2, 6k+3, 6k+4, या 6k+5 के रूपों में से किसी एक में दर्शाया जा सकता है, जहाँ k एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है। चूंकि P, 5 से बड़ी एक अभाज्य संख्या है, इसलिए यह सम संख्या नहीं हो सकती और न ही 3 से विभाज्य हो सकती है। रूप 6k, 6k+2, और 6k+4 सम संख्याएँ हैं, और रूप 6k+3, 3 का एक गुणज है, जिसका अर्थ है कि P इनमें से कोई भी रूप नहीं ले सकता है। परिणामस्वरूप, P का रूप 6k+1 या 6k+5 होना चाहिए। 6k+1 के रूप वाली संख्या को 6 से विभाजित करने पर शेषफल 1 प्राप्त होता है, और 6k+5 के रूप वाली संख्या को 6 से विभाजित करने पर शेषफल 5 प्राप्त होता है। इस प्रकार, जब P को 6 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल हमेशा 1 या 5 होता है।

व्याख्या

प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: 1² + 2² + … + n² = (n(n + 1)(2n + 1))/(6)

प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: 1 + 2 + … + n = (n(n + 1))/(2)

पहले योग में से दूसरे योग को घटाने पर दिए गए व्यंजक का मान प्राप्त होता है: 1² + … + n² - (1 + … + n) = (n(n + 1)(2n + 1))/(6) - (n(n + 1))/(2)

दोनों भिन्नों में से उभयनिष्ठ पद (n(n + 1))/(2) को बाहर निकालने पर: (n(n + 1))/(2) ( (2n + 1)/(3) - 1 ) = (n(n + 1))/(2) ( (2n + 1 - 3)/(3) )

(n(n + 1))/(2) ( (2n - 2)/(3) ) = (n(n + 1))/(2) · (2(n - 1))/(3)

अंश और हर में से उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 को निरस्त करने पर: (n(n + 1)(n - 1))/(3)

बीजगणितीय सर्वसमिका (n + 1)(n - 1) = n² - 1 का उपयोग करने पर: n(n² - 1){3}

व्याख्या

जब दो संख्याओं N₁ और N₂ को एक भाजक d से विभाजित किया जाता है, जिससे क्रमशः r₁ और r₂ शेषफल बचते हैं, तो उनके योग N₁ + N₂ को d से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल r₃ निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है:

r₁ + r₂ = kd + r₃

जहाँ k एक धनात्मक पूर्णांक है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

12 + 38 = kd + 6

50 = kd + 6

kd = 44

चूँकि एक भाजक हमेशा अपने द्वारा प्राप्त किसी भी शेषफल से हमेशा बड़ा होना चाहिए, इसलिए हमारे पास है:

d > 12 और d > 38 ⟹ d > 38

44 का एकमात्र गुणनखंड जो 38 से बड़ा है, वह स्वयं 44 है (जहाँ k = 1)। अतः, भाजक 44 है।

व्याख्या

500 और 600 के बीच उन पूर्णांकों की संख्या ज्ञात करने के लिए जिनमें अंक 9 ठीक एक बार आता है, हम 5ab के रूप की तीन अंकों की संख्याओं का विश्लेषण करते हैं, जहाँ a दहाई के अंक को और b इकाई के अंक को दर्शाता है।

चूंकि सैकड़े का अंक 5 के रूप में निश्चित है, इसलिए अंक 9 केवल दहाई के स्थान पर या इकाई के स्थान पर आ सकता है, लेकिन दोनों स्थानों पर नहीं।

पहली स्थिति में, दहाई का अंक 9 है (a = 9)। अंक 9 केवल एक बार आने के लिए, इकाई का अंक b, 9 को छोड़कर 0 से 9 तक का कोई भी अंक हो सकता है। इससे b के लिए 9 संभावित मान (अर्थात 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, और 8) प्राप्त होते हैं, जिसके परिणामस्वरूप ऐसी 9 संख्याएँ प्राप्त होती हैं: 590, 591, 592, 593, 594, 595, 596, 597, और 598।

दूसरी स्थिति में, इकाई का अंक 9 है (b = 9)। इसी प्रकार, दहाई का अंक a, 9 को छोड़कर 0 से 9 तक का कोई भी अंक हो सकता है। इससे a के लिए 9 संभावित मान (अर्थात 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, और 8) प्राप्त होते हैं, जिसके परिणामस्वरूप ऐसी 9 संख्याएँ प्राप्त होती हैं: 509, 519, 529, 539, 549, 559, 569, 579, और 589।

दोनों परस्पर अपवर्जित स्थितियों की संभावनाओं को जोड़ने पर, हमें 9 + 9 = 18 संख्याएँ प्राप्त होती हैं।

व्याख्या

मान लीजिए कि वृत्ताकार मेज के चारों ओर की आठ सीटों को दक्षिणावर्त दिशा में 1 से 8 तक क्रमांकित किया गया है।

कथन I के अनुसार, मान लीजिए F सीट 1 पर बैठा है। चूँकि D, F के दाईं ओर दूसरे स्थान पर बैठा है, इसलिए D को सीट 3 पर रखा गया है। D, E के विपरीत है, जिसका अर्थ है कि E सीट 7 पर होना चाहिए। अब भरी हुई सीटें 1, 3 और 7 हैं। शेष खाली सीटें 2, 4, 5, 6 और 8 हैं। चूँकि A, B और C दोनों का निकटतम पड़ोसी है, इसलिए उन्हें बीच में A के साथ तीन लगातार खाली सीटों पर बैठना होगा। उपलब्ध एकमात्र लगातार खाली सीटें 4, 5 और 6 हैं। इसलिए, A सीट 5 पर होना चाहिए, तथा B और C सीट 4 और 6 पर होने चाहिए। A (सीट 5) के विपरीत वाली सीट, सीट 1 है, जिस पर F बैठा है। इस प्रकार, केवल कथन I यह निर्धारित करने के लिए पर्याप्त है कि F, A के विपरीत बैठा है।

कथन II के अनुसार, हम केवल G, E और A के सापेक्ष स्थानों को जानते हैं, जो यह निर्धारित करने के लिए पर्याप्त जानकारी प्रदान नहीं करता है कि A के विपरीत सीट पर कौन बैठा है। इस प्रकार, केवल कथन II पर्याप्त नहीं है।

व्याख्या

किसी भी गुणनफल के अंत में शून्यों की संख्या 10 के गुणनखंडों की संख्या द्वारा निर्धारित होती है, जो इसके अभाज्य गुणनखंडन में 2 और 5 के युग्मों की संख्या के बराबर होती है। इसलिए, अंत में आने वाले शून्यों की संख्या कुल गुणनफल में 2 के घातांक और 5 के घातांक में से न्यूनतम मान द्वारा दी जाती है।

2 और 5 की घातों को ज्ञात करने के लिए व्यंजक में प्रत्येक संख्या के अभाज्य गुणनखंडन का विश्लेषण करने पर: 8 से तीन 2 प्राप्त होते हैं 12 से दो 2 प्राप्त होते हैं 14 से एक 2 प्राप्त होता है 15 से एक 5 प्राप्त होता है 27 से कोई 2 या 5 प्राप्त नहीं होता है 32 से पांच 2 प्राप्त होते हैं 25 से दो 5 प्राप्त होते हैं 22 से एक 2 प्राप्त होता है 40 से तीन 2 और एक 5 प्राप्त होते हैं 75 से दो 5 प्राप्त होते हैं 125 से तीन 5 प्राप्त होते हैं 212 से दो 2 प्राप्त होते हैं

2 के घातांकों का योग करने पर: 2 की घात = 3 + 2 + 1 + 5 + 1 + 3 + 2 = 17

5 के घातांकों का योग करने पर: 5 की घात = 1 + 2 + 1 + 2 + 3 = 9

चूंकि शून्यों की संख्या इन दोनों घातों में से न्यूनतम होती है, इसलिए हम min(17, 9) = 9 की गणना करते हैं।

व्याख्या

प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय N में धनात्मक गणना पूर्णांक शामिल होते हैं, अर्थात् {1, 2, 3, …}। पूर्ण संख्याओं के समुच्चय W में शून्य के साथ सभी प्राकृतिक संख्याएं शामिल होती हैं, जिसका अर्थ है कि N, W का एक उपसमुच्चय (subset) है। पूर्णांकों के समुच्चय I में सभी पूर्ण संख्याएं और ऋणात्मक पूर्णांक शामिल होते हैं, जिसका अर्थ है कि W, I का एक उपसमुच्चय है। परिमेय संख्याओं के समुच्चय Q में वे सभी संख्याएं शामिल होती हैं जिन्हें दो पूर्णांकों के भिन्न p/q के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जहाँ q शून्य नहीं है। चूंकि किसी भी पूर्णांक n को n/1 के रूप में दर्शाया जा सकता है, इसलिए I, Q का एक उपसमुच्चय है। अंत में, वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R में सभी परिमेय और अपरिमेय संख्याएं शामिल होती हैं, जिसका अर्थ है कि Q, R का एक उपसमुच्चय है। यह क्रमिक उपसमुच्चय संबंध N⊂ W⊂ I⊂ Q⊂ R स्थापित करता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि संख्या को N = 527k + 37 के रूप में दर्शाया गया है, जहाँ k एक पूर्णांक है।

जब N को 17 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल ज्ञात करने के लिए, हम मॉड्यूल 17 के संबंध में व्यंजक का विश्लेषण करते हैं: N ≡ 527k + 37 (mod 17)

चूँकि 527, 17 का एक गुणज (multiple) है (17 × 31 = 527), इसलिए पद 527k, 17 से पूर्णतः विभाज्य है और शेषफल 0 बचता है। इससे यह समीकरण सरल हो जाता है: N ≡ 37 (mod 17)

37 को 17 से विभाजित करने पर भागफल 2 और शेषफल 3 प्राप्त होता है, क्योंकि 37 = 17 × 2 + 3 है। इस प्रकार, जब संख्या को 17 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल 3 प्राप्त होता है।

व्याख्या

प्रत्येक करणी (radical) को a के भिन्नात्मक घातांक (fractional exponent) में बदलें (चूंकि a > 1 है, इसलिए बड़ा घातांक ⇒ बड़ा मान)। I = ∛(∜(a³)) = a^(3/12) = a^(1/4) ≈ a^0.250। II = ∛(⁵√(a⁴)) = a^(4/15) ≈ a^0.267। III = √(∛a) = a^(1/6) ≈ a^0.167। IV = ⁵√(a³) = a^(3/5) = a^0.600। घातांकों का आरोही क्रम: 1/6 < 1/4 < 4/15 < 3/5, अर्थात, III < I < II < IV।

व्याख्या

संख्याओं के गुणनफल का इकाई अंक केवल व्यक्तिगत संख्याओं के इकाई अंकों के गुणनफल द्वारा निर्धारित होता है।

मान लीजिए कि * द्वारा दर्शाया गया अज्ञात अंक d है। दी गई संख्याओं 31, 49 और 34 के इकाई अंक क्रमशः 1, 9 और 4 हैं।

इन ज्ञात इकाई अंकों का गुणनफल है: 1 × 9 × 4 = 36

चूंकि 36 का इकाई अंक 6 है, इसलिए संपूर्ण गुणनफल का इकाई अंक इस संबंध द्वारा दिया गया है: d × 6 ≡ 2 (mod 10)

एकल अंक d का मान ज्ञात करने के लिए, हम सर्वांगसमता (congruence) को gcd(6, 10) = 2 से विभाजित करते हैं: 3d ≡ 1 (mod 5)

दोनों पक्षों को 3 मॉड्यूलो 5 के मॉड्यूलर व्युत्क्रम (जो कि 2 है) से गुणा करने पर: d ≡ 2 (mod 5)

एकल अंक d के लिए जहाँ 0 ≤ d ≤ 9 है, संभावित मान हैं: d = 2 d = 2 + 5 = 7

इसलिए, * के स्थान पर अंक हमेशा 2 या 7 होगा।

व्याख्या

मान लीजिए कि आरोही क्रम में चार अभाज्य संख्याएँ a, b, c और d हैं।

प्रथम तीन संख्याओं का गुणनफल इस प्रकार दिया गया है: a · b · c = 385

अंतिम तीन संख्याओं का गुणनफल इस प्रकार दिया गया है: b · c · d = 1001

चूंकि b और c दोनों गुणनफलों में उभयनिष्ठ हैं, इसलिए उनका गुणनफल b · c, 385 और 1001 का महत्तम समापवर्तक (HCF) है।

दोनों गुणनफलों का अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात करने पर: 385 = 5 · 7 · 11 1001 = 7 · 11 · 13

a · b · c = 5 · 7 · 11 के लिए अभाज्य गुणनखंडों की आरोही क्रम में तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है: a = 5 b = 7 c = 11

b · c · d = 7 · 11 · 13 के लिए अभाज्य गुणनखंडों की आरोही क्रम में तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है: b = 7 c = 11 d = 13

चार अभाज्य संख्याएँ 5, 7, 11 और 13 हैं। इनमें से तीसरी अभाज्य संख्या 11 है।

व्याख्या

विषम पूर्णांकों का गुणनफल हमेशा एक विषम पूर्णांक होता है। यदि n⁵ एक विषम संख्या है, तो n को एक विषम पूर्णांक होना चाहिए क्योंकि किसी सम पूर्णांक की कोई भी घात हमेशा सम होती है। चूंकि n एक विषम पूर्णांक है, इसलिए इसे किसी भी धनात्मक पूर्णांक घात तक बढ़ाने पर भी एक विषम पूर्णांक ही प्राप्त होगा। इस प्रकार, n³ = n × n × n तीन विषम पूर्णांकों का गुणनफल है, जो कि विषम होना चाहिए। इसलिए, यह कथन कि n³ सम है, निश्चित रूप से असत्य है।

व्याख्या

कक्षा में छात्रों की कुल संख्या निर्धारित करने के लिए, हमें पुरुष छात्रों (जिन्हें m माना गया है) और महिला छात्रों (जिन्हें f माना गया है) का योग, अर्थात् m + f ज्ञात करने की आवश्यकता है।

कथन I संबंध m = f + 10 देता है। यह दो चरों वाला एक रैखिक समीकरण है, जिसके अनंत संभावित समाधान हो सकते हैं। अतः, छात्रों की कुल संख्या ज्ञात करने के लिए केवल कथन I पर्याप्त नहीं है।

कथन II बताता है कि पुरुष और महिला छात्रों द्वारा प्राप्त अंकों का औसत बराबर है। यह केवल छात्रों के अंकों से संबंधित है और छात्रों की वास्तविक संख्या के बारे में कोई जानकारी प्रदान नहीं करता है। अतः, केवल कथन II पर्याप्त नहीं है।

दोनों कथनों को मिलाने पर, हमारे पास संबंध m = f + 10 और उनके औसत अंकों की समानता प्राप्त होती है। चूंकि औसत अंक छात्रों की संख्या पर कोई संख्यात्मक मान या प्रतिबंध प्रदान नहीं करते हैं, इसलिए हमारे पास अभी भी दो चरों के लिए केवल एक समीकरण m = f + 10 ही बचता है। छात्रों की कुल संख्या m + f के लिए एक अद्वितीय समाधान निर्धारित नहीं किया जा सकता है। इसलिए, प्रश्न का उत्तर देने के लिए दोनों कथन मिलकर भी पर्याप्त नहीं हैं।

व्याख्या

ऊषा का वेतन ज्ञात करने के लिए, हमें एक विशिष्ट मौद्रिक मूल्य की आवश्यकता है क्योंकि प्रारंभिक अनुपात 5 : 4 केवल सापेक्ष अनुपात को दर्शाता है। कथन II प्रीति के वेतन का वास्तविक मूल्य ¥ 80,000 प्रति माह प्रदान करता है। अनुपात का उपयोग करके, ऊषा के वेतन की गणना सीधे ⁵⁄₄ × 80,000 = ¥ 100,000 के रूप में की जा सकती है। कथन I केवल प्रतिशत के रूप में अनुपात को दोहराता है (ऊषा के वेतन का 80%, 4 : 5 के अनुपात के बराबर है) और वास्तविक वेतन ज्ञात करने के लिए कोई संख्यात्मक मान प्रदान नहीं करता है। अतः, केवल कथन II पर्याप्त है।

व्याख्या

मॉड्यूलर अंकगणित के सिद्धांतों का उपयोग करके, हम संख्या 19 को 20 से विभाजित करने पर प्राप्त होने वाले शेषफल के रूप में इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं:

19 ≡ -1 20

इस सर्वांगसमता के दोनों पक्षों की घात 51 करने पर:

19⁵¹ ≡ (-1)⁵¹ 20

चूंकि 51 एक विषम घात है, इसलिए:

(-1)⁵¹ = -1

अतः:

19⁵¹ ≡ -1 20

एक ऋणात्मक शेषफल को मानक भाजक सीमा के भीतर धनात्मक शेषफल में बदलने के लिए, हम ऋणात्मक शेषफल में भाजक 20 जोड़ते हैं:

-1 + 20 = 19

व्याख्या

त्रिक (256, 8, 529) में, पहली और तीसरी संख्या के वर्गमूलों का योग √(256) + √(529) = 16 + 23 = 39 है। यह बीच की संख्या के वर्ग के बराबर नहीं है, जो कि 8² = 64 है। यह समूह उस नियम को संतुष्ट करने में विफल रहता है जहाँ पहली और तीसरी संख्या के वर्गमूलों का योग दूसरी संख्या के वर्ग के बराबर होता है।

व्याख्या

एक तर्कवाक्य (proposition) एक ऐसा घोषणात्मक वाक्य होता है जो या तो सत्य होता है या असत्य, लेकिन दोनों नहीं हो सकता।

कथन 3 + 5 = 10 एक घोषणात्मक वाक्य है। यद्यपि यह गणितीय दावा गलत है, फिर भी इसका एक निश्चित सत्यता मान (truth value) 'असत्य' है, जो एक तर्कवाक्य की परिभाषा को संतुष्ट करता है।

इसके विपरीत, कथन x + y = 15 एक खुला वाक्य (open sentence) है जिसमें चर (variables) x और y शामिल हैं। चूंकि इन चरों के लिए कोई मान निर्दिष्ट नहीं किए गए हैं, इसलिए यह निर्धारित करना असंभव है कि कथन सत्य है या असत्य। परिणामस्वरूप, इसका कोई निश्चित सत्यता मान नहीं है और यह एक तर्कवाक्य के रूप में योग्य नहीं है।

व्याख्या

एक प्रतिज्ञप्ति एक घोषणात्मक वाक्य होता है जो या तो सत्य होता है या असत्य, लेकिन दोनों नहीं।

वाक्य I एक प्रतिज्ञप्ति के बजाय एक खुला वाक्य है। इसका सत्यता मान चर x पर निर्भर करता है, और चूंकि इसे किसी सार्वभौमिक या अस्तित्वपरक परिमाणक के साथ परिमाणित नहीं किया गया है, और न ही x को कोई विशिष्ट मान दिया गया है, इसलिए इसे निश्चित रूप से सत्य या असत्य के रूप में वर्गीकृत नहीं किया जा सकता है।

वाक्य II एक प्रश्न है, जो कि एक प्रश्नवाचक वाक्य है। चूंकि प्रश्न तथ्यों की घोषणा नहीं करते हैं और उनमें सत्यता मान का अभाव होता है, इसलिए वे प्रतिज्ञप्ति नहीं हैं।

व्याख्या

दी गई सादृश्यता में अपनाया गया तर्क यह है कि संख्या के अंकों के योग को स्वयं संख्या में से घटाया जाता है, और फिर प्राप्त अंतर का वर्ग किया जाता है।

पहले युग्म के लिए: संख्या 21 है। इसके अंकों का योग 2 + 1 = 3 है। संख्या में से योग घटाने पर 21 - 3 = 18 प्राप्त होता है। इस परिणाम का वर्ग करने पर 18² = 324 प्राप्त होता है।

दूसरे युग्म के लिए: संख्या 32 है। इसके अंकों का योग 3 + 2 = 5 है। संख्या में से योग घटाने पर 32 - 5 = 27 प्राप्त होता है। इस परिणाम का वर्ग करने पर 27² = 729 प्राप्त होता है।

पांचवीं संख्या पर यही पैटर्न लागू करने पर: संख्या 43 है। इसके अंकों का योग 4 + 3 = 7 है। संख्या में से योग घटाने पर 43 - 7 = 36 प्राप्त होता है। इस परिणाम का वर्ग करने पर 36² = 1296 प्राप्त होता है।

व्याख्या

वर्णमाला क्रम में, अक्षर समूह TRP के अक्षरों का स्थान T = 20, R = 18 और P = 16 है। यह क्रमागत अक्षरों के बीच 2 के निरंतर घटते क्रम को दर्शाता है। इस सेट के अन्य समूह 1 और उसके बाद 2 के घटते क्रम का अनुसरण करते हैं। इस प्रकार, TRP भिन्न अक्षर समूह है।

व्याख्या

कथन कि 'कुछ वकील इंजीनियर हैं' यह दर्शाता है कि वकीलों के समूह और इंजीनियरों के समूह के बीच एक अ-रिक्त प्रतिच्छेदन (non-empty intersection) है। चूंकि सभी इंजीनियर दलाल हैं, इसलिए इंजीनियरों का पूरा समूह दलालों के समूह का एक उपसमुच्चय (subset) है। इसलिए, वकीलों और इंजीनियरों के बीच का उभयनिष्ठ क्षेत्र भी दलालों के समूह का हिस्सा है, जो यह सुनिश्चित करता है कि कुछ दलाल वास्तव में वकील हैं, जिससे निष्कर्ष II सही हो जाता है।

कथन कि 'सभी डॉक्टर वकील हैं' का अर्थ है कि डॉक्टरों का समूह पूरी तरह से वकीलों के समूह के भीतर समाहित है। अस्तित्वपरक निहितार्थ (existential import) के मानक न्यायवाक्य नियम को मानते हुए, जहाँ विषय वर्ग अ-रिक्त है, यह सीधे तौर पर निष्कर्ष निकालता है कि कुछ वकील डॉक्टर हैं, जिससे निष्कर्ष IV सही हो जाता है।

व्याख्या

नेत्र संपर्क में कमी किसी चर्चा से पीछे हटने, अरुचि, या अलग होने की इच्छा का एक प्रमुख अशाब्दिक संकेत है। पारस्परिक संचार में, नेत्र संपर्क बनाए रखना सक्रिय रूप से सुनने, भागीदारी और ध्यान देने को दर्शाता है। जब कोई व्यक्ति नेत्र संपर्क को काफी कम कर देता है या उससे बचता है, तो यह एक मनोवैज्ञानिक रूप से पीछे हटने या भावनात्मक दूरी को इंगित करता है, क्योंकि वे बातचीत में अन्य प्रतिभागियों के साथ संबंध और संचार को सक्रिय रूप से कम करते हैं। यह व्यवहार जुड़ाव को सीमित करने और सक्रिय चर्चा से बाहर निकलने का संकेत देने के लिए एक अवचेतन तंत्र के रूप में कार्य करता है।

व्याख्या

एक नए कार्यस्थल पर पारस्परिक या नेतृत्व संबंधी चुनौतियों का सामना करते समय, सबसे रचनात्मक और पेशेवर प्रारंभिक कदम प्रासंगिक जानकारी एकत्र करना और टीम की गतिशीलता (टीम डायनेमिक्स) को समझना है। टीम के उन स्थापित सदस्यों से बात करना, जिन्हें उसी प्रबंधक के अधीन काम करने का अनुभव है, प्रबंधक के व्यवहार के तौर-तरीकों, अपेक्षाओं और संचार प्राथमिकताओं के बारे में मूल्यवान अंतर्दृष्टि प्राप्त करने में मदद करता है। यह दृष्टिकोण एक नए कर्मचारी को अनुभवी सहयोगियों से सफल अनुकूलन रणनीतियों और सामंजस्य बिठाने के तरीकों को सीखने की अनुमति देता है, जिससे वे बेहतर कामकाजी संबंध बनाने और संगठनात्मक संस्कृति को प्रभावी ढंग से समझने में सक्षम होते हैं।

व्याख्या

कूट को अक्षर और संख्या के लिए दो अलग-अलग नियमों द्वारा निर्धारित किया जाता है।

कूट के अक्षर वाले भाग के लिए: अक्षर, शब्द के पहले अक्षर को वर्णानुक्रम में 3 स्थान पीछे खिसकाकर प्राप्त किया जाता है। 'DUSTILY' में, पहला अक्षर D (चौथा अक्षर) है। इसे 3 स्थान पीछे खिसकाने पर 4 - 3 = 1 प्राप्त होता है, जो A के संगत है। 'FICTION' में, पहला अक्षर F (छठा अक्षर) है। इसे 3 स्थान पीछे खिसकाने पर 6 - 3 = 3 प्राप्त होता है, जो C के संगत है। इसे 'VIOLENT' पर लागू करने पर, पहला अक्षर V (22वां अक्षर) है। इसे 3 स्थान पीछे खिसकाने पर 22 - 3 = 19 प्राप्त होता है, जो S के संगत है।

कूट के संख्या वाले भाग के लिए: संख्या, शब्द के पहले अक्षर को छोड़कर अन्य सभी अक्षरों के वर्णानुक्रमिक स्थान मानों का योग है। 'DUSTILY' में, U, S, T, I, L, Y के स्थान मानों का योग 21 + 19 + 20 + 9 + 12 + 25 = 106 है। 'FICTION' में, I, C, T, I, O, N के स्थान मानों का योग 9 + 3 + 20 + 9 + 15 + 14 = 70 है। इसे 'VIOLENT' पर लागू करने पर, I, O, L, E, N, T के स्थान मानों का योग 9 + 15 + 12 + 5 + 14 + 20 = 75 है।

इन दोनों भागों को मिलाने पर, 'VIOLENT' को 'S75' के रूप में कूटबद्ध किया जाएगा।

व्याख्या

कूटबद्ध करने का पैटर्न प्रत्येक अक्षर को उसके वर्णमाला क्रम मान के अंकों के एकल-अंक योग द्वारा दर्शाता है। MATCH के लिए, स्थानीय मान M = 13, A = 1, T = 20, C = 3, और H = 8 हैं। इन स्थानों के अंकों का योग करने पर 1 + 3 = 4, 1, 2 + 0 = 2, 3, और 8 प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप कूट 41238 बनता है। FLOOR के लिए, स्थानीय मान F = 6, L = 12, O = 15, O = 15, और R = 18 हैं। अंकों का योग करने पर 6, 1 + 2 = 3, 1 + 5 = 6, 1 + 5 = 6, और 1 + 8 = 9 प्राप्त होता है, जो कूट 63669 से मेल खाता है। DEVELOP पर इस नियम को लागू करने पर, वर्णमाला के स्थानीय मान D = 4, E = 5, V = 22, E = 5, L = 12, O = 15, और P = 16 हैं। इन स्थानों के अंकों का योग करने पर 4, 5, 2 + 2 = 4, 5, 1 + 2 = 3, 1 + 5 = 6, और 1 + 6 = 7 प्राप्त होता है, जिससे कूट 4545367 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिए गए युग्मों में अनुसरित स्वरूप (pattern) इस प्रकार है:

पहले अक्षर के लिए, अक्षर का वर्णमाला स्थान 4 बढ़ जाता है। दूसरे अक्षर के लिए, अक्षर का वर्णमाला स्थान 11 बढ़ जाता है। संख्या के लिए, परिणामी संख्या प्रारंभिक संख्या का घन (cube) है।

इस स्वरूप को पहले और दूसरे पद पर लागू करने पर: T (20) + 4 = X (24) R (18) + 11 = 29, जो 26-अक्षरों की वर्णमाला के चक्र (wrapping around) के बाद C (3) के संगत है। 4³ = 64 इस प्रकार, TR4, XC64 बन जाता है।

इस स्वरूप को तीसरे और चौथे पद पर लागू करने पर: A (1) + 4 = E (5) C (3) + 11 = N (14) 3³ = 27 इस प्रकार, AC3, EN27 बन जाता है।

इसी स्वरूप को पांचवें पद FP6 पर लागू करने पर: F (6) + 4 = J (10) P (16) + 11 = 27, जो वर्णमाला के चक्र के बाद A (1) के संगत है। 6³ = 216 इस प्रकार, FP6, JA216 बन जाता है।

व्याख्या

शब्द 'गलिबल' (gullible) का प्रयोग ऐसे व्यक्ति का वर्णन करने के लिए किया जाता है जिसे आसानी से मनाया, बहकाया या ठगा जा सकता है क्योंकि वह अत्यधिक भरोसेमंद, सीधा-साधा होता है या दूसरों की बातों पर जल्दी विश्वास कर लेता है। यह विशेषता उसे धोखे के प्रति अत्यधिक संवेदनशील बनाती है।

व्याख्या

फ्रेजल वर्ब 'hammer out' का अर्थ लंबी, गहन और विस्तृत चर्चा या बातचीत के बाद किसी समझौते, समाधान या सहमति पर पहुँचना है। दिए गए वाक्य में, बातचीत के पांचवें दिन भी जारी रहने का संदर्भ मतभेदों को दूर करके किसी समझौते को अंतिम रूप देने की एक लंबी और कठिन प्रक्रिया को दर्शाता है। इसलिए, वाक्य को पूरा करने के लिए 'hammer out' सबसे उपयुक्त फ्रेजल वर्ब है।

व्याख्या

'indignant' शब्द का अर्थ है क्रोध, नाराजगी या झुंझलाहट महसूस करना या प्रदर्शित करना, जो आमतौर पर अनुचित व्यवहार के प्रति होता है। इसका विपरीत शब्द 'cool' है, जिसका अर्थ है शांत, संयमित, स्थिर और उत्तेजना या भावावेश से मुक्त होना। जहाँ 'wrathful' और 'angry' शब्द 'indignant' के पर्यायवाची हैं, और 'indifferent' रुचि या चिंता की कमी (उदासीनता) को दर्शाता है, वहीं 'cool' सीधे तौर पर उत्तेजित और परेशान होने के विपरीत शांत और संयमित रहने के विपरीत भावनात्मक स्वभाव को प्रदर्शित करता है।

व्याख्या

'blundering' शब्द को एक बेढंगी, लापरवाह या मूर्खतापूर्ण गलती करने के रूप में परिभाषित किया गया है। गद्यांश में, यह कम अनुशासित मस्तिष्कों के त्रुटिपूर्ण कार्यों और तर्कों का वर्णन करता है जो विवादों के दौरान गलत कदम उठाते हैं। इसे 'committing mistake' (गलती करना) से प्रतिस्थापित करना त्रुटियाँ करने या चूक करने के इस भाव को पूरी तरह से दर्शाता है।

व्याख्या

यह गद्यांश जॉन हेनरी न्यूमैन की प्रसिद्ध कृति, 'द आइडिया ऑफ अ यूनिवर्सिटी' (The Idea of a University) का एक अंश है, जिसमें उन्होंने एक सज्जन (gentleman) की विशेषताओं को रेखांकित किया है। मूल पाठ में, अंतिम वाक्य इस प्रकार है: "यदि वह एक अविश्वासी भी है, तो वह धर्म का उपहास उड़ाने या उसके खिलाफ काम करने के लिए बहुत गंभीर और उदार दिमाग का होगा; वह अपनी नास्तिकता (infidelity) में कट्टर या अंधभक्त होने के लिए बहुत बुद्धिमान है।" इसलिए, गद्यांश में विकृत शब्द की सही वर्तनी 'infidelity' है, जो धार्मिक विश्वास की कमी या आस्था के मामलों में संदेह को संदर्भित करता है।

व्याख्या

गद्यांश के संदर्भ में, 'controversy' (विवाद) शब्द का तात्पर्य एक बौद्धिक विवाद, सार्वजनिक असहमति, या विरोधी दृष्टिकोणों के टकराव से है जहाँ पक्ष अपने विचारों का बचाव करने के लिए तर्क प्रस्तुत करते हैं। 'debate' (वाद-विवाद) को किसी विशेष विषय पर एक औपचारिक चर्चा या तर्क के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें विरोधी तर्क प्रस्तुत किए जाते हैं, जो गद्यांश में तर्कों, विरोधियों और प्रतिद्वंद्वियों की चर्चा के साथ पूरी तरह से मेल खाता है।

व्याख्या

'appalling' शब्द का अर्थ है निराशा, भय या आघात पहुँचाने वाला, और इसका उपयोग किसी ऐसी चीज़ का वर्णन करने के लिए किया जाता है जो अत्यधिक खराब, अप्रिय या कष्टदायक हो। 'dreadful' शब्द का भी यही सटीक अर्थ है, जो किसी ऐसी चीज़ को संदर्भित करता है जो अत्यधिक भय, डर पैदा करती है या अत्यधिक अप्रिय और चौंकाने वाली होती है। इसलिए, मौसम में अप्रिय रूप से अचानक और कठोर बदलाव का वर्णन करने के संदर्भ में 'dreadful', 'appalling' का सबसे निकटतम पर्यायवाची है।

व्याख्या

प्रत्यक्ष शब्द का निर्माण प्रति उपसर्ग और अक्ष मूल शब्द के मेल से हुआ है। यहाँ यण स्वर संधि का नियम लागू होता है। यण संधि के नियमानुसार जब इ या ई के बाद कोई अन्य असमान स्वर आता है, तो इ या ई का य् हो जाता है। इस प्रकार प्रति + अक्ष के योग से प्रत्यक्ष शब्द बनता है, जिसमें प्रति उपसर्ग स्पष्ट रूप से निहित है।

व्याख्या

उड्डयन शब्द का शुद्ध सन्धि-विच्छेद उत् + डयन है। यह व्यंजन सन्धि का एक प्रमुख उदाहरण है। व्यंजन सन्धि के नियमानुसार, यदि त् या द् के बाद ड आए, तो त् या द् का परिवर्तन ड् में हो जाता है। इस नियम के तहत जब उत् उपसर्ग का मेल डयन शब्द से होता है, तब त् के स्थान पर ड् होकर उड्डयन शब्द का निर्माण होता है।

व्याख्या

अब्ज (यहाँ अज्ज) शब्द का अर्थ कमल होता है। तामरस शब्द भी कमल का पर्यायवाची है। अब्ज और तामरस दोनों ही शब्द कमल के अत्यंत प्रसिद्ध पर्यायवाची हैं। कमल के अन्य महत्वपूर्ण पर्यायवाची शब्दों में जलज, पंकज, नीरज, वारिज, सरोज, अरविंद, पद्म, शतदल, राजीव, उत्पल और अम्बुज शामिल हैं।

व्याख्या

निरपेक्ष शब्द का विलोम शब्द सापेक्ष होता है। निरपेक्ष का अर्थ किसी भी अन्य वस्तु, स्थिति या व्यक्ति की अपेक्षा न रखने वाला यानी पूर्णतः स्वतंत्र अथवा निरपेक्ष (absolute) होता है, जबकि सापेक्ष का अर्थ किसी अन्य वस्तु या परिस्थिति की अपेक्षा रखने वाला अथवा उससे संबद्ध (relative) होता है।

व्याख्या

'मनु' शब्द में अपत्यवाचक तद्धित प्रत्यय 'अ' लगाने से 'मानव' शब्द बनता है।

संस्कृत और हिन्दी व्याकरण के नियम के अनुसार, जब किसी शब्द के अंत में 'उ' स्वर हो और उसमें 'अ' प्रत्यय जोड़ा जाता है, तो अंत का 'उ' स्वर 'अव्' में परिवर्तित हो जाता है तथा शब्द के प्रथम स्वर में 'वृद्धि' नियम के तहत वृद्धि हो जाती है (जैसे 'अ' का 'आ' हो जाता है)।

इस नियम के अनुसार: मनु + अ = मानव

यहाँ 'म' का प्रथम स्वर 'अ' बढ़कर 'आ' (मा) हो जाता है, और 'नु' का 'उ' बदलकर 'अव्' (नव) हो जाता है। इस प्रकार 'मनु' और 'अ' के मेल से 'मानव' शब्द का निर्माण होता है।

व्याख्या

उन्मीलित अलंकार वहाँ होता है जहाँ दो समान रंग या रूप वाली वस्तुएँ अत्यधिक सादृश्य के कारण आपस में मिलकर एकाकार हो जाती हैं और उनका भेद छिप जाता है, किंतु बाद में किसी बाह्य कारण या रंग-परिवर्तन के कारण उन दोनों का भेद स्पष्ट रूप से प्रकट हो जाता है.

प्रस्तुत दोहे में नायिका के अत्यंत गोरे मुख पर सफेद चंदन की बेंदी लगी हुई है. गोरे रंग और चंदन के श्वेत रंग की अत्यधिक समानता के कारण वह बेंदी मुख में मिलकर छिप जाती है और दिखाई नहीं देती. परंतु जैसे-जैसे नायिका पर मदिरापान या यौवन जनित मद की लालिमा चढ़ती है, वैसे-वैसे मुख लाल होने लगता है और उस लाल रंग की पृष्ठभूमि में सफेद चंदन की बेंदी स्पष्ट रूप से उभरकर दिखने लगती है. यहाँ मद-लाली के चढ़ने रूपी विशेष कारण से छिपी हुई बेंदी और गोरे मुख का अंतर उजागर हो गया है, जिसके कारण इसमें उन्मीलित अलंकार है.

व्याख्या

गद्यांश की पहली पंक्ति में स्पष्ट रूप से उल्लेख किया गया है कि नई आलोचना को अंग्रेजी में New Criticism कहा जाता है। इस साहित्यिक आंदोलन ने अपना यह नाम सन् 1941 ई. में प्रकाशित जॉन क्रोंरसम की पुस्तक द न्यू क्रिटिसज्म से ग्रहण किया था।

व्याख्या

प्रस्तुत अपठित गद्यांश के अनुसार, 'द न्यू क्रिटिसज्म' (The New Criticism) नामक पुस्तक के लेखक जॉन क्रोंरसम हैं। गद्यांश की दूसरी पंक्ति में स्पष्ट रूप से उल्लेख किया गया है कि नई आलोचना (New Criticism) आंदोलन ने अपना यह नाम सन् 1941 ई. में प्रकाशित जॉन क्रोंरसम की पुस्तक 'द न्यू क्रिटिसज्म' से ग्रहण किया था।

व्याख्या

गद्यांश में स्पष्ट रूप से उल्लेखित है कि नई आलोचना का जोर इस बात पर था कि साहित्यिक कृतियाँ अपनी संरचना में पूर्णतया आत्मनिर्भर होती हैं और वे अपनी एक निरपेक्ष और स्वायत्त सौन्दर्यपरक सत्ता निर्मित करती हैं। इसके अनुसार साहित्यिक व्याख्याओं का सरोकार कृति की बाह्य परिस्थितियों से न होकर पाठ के सूक्ष्म और विस्तृत भाषिक विश्लेषण पर केंद्रित था, जो संरचना की आत्मनिर्भरता को प्रतिपादित करता है।

व्याख्या

गद्यांश में स्पष्ट रूप से उल्लेख किया गया है कि 'नई आलोचना' 'टेक्स्ट' या पाठ को आधार मानते हुए कृति के सूक्ष्म और विस्तृत भाषिक विश्लेषण अर्थात् 'क्लोज रीडिंग' को महत्त्व देती थी। इसके अनुसार साहित्यिक व्याख्याओं का मुख्य सरोकार कृति की बाह्य परिस्थितियों अथवा लेखक के मंतव्य से न होकर केवल पाठ की आंतरिक संरचना और उसके अंतर्निहित संबंध-सूत्रों से होता है।

व्याख्या

गद्यांश के अनुसार, 'नई आलोचना' का जन्म उन्नीसवीं सदी की उस पुरानी आलोचना-दृष्टि की प्रतिक्रिया में हुआ था जिसमें साहित्यिक कृति पर विचार करते समय उसके ऐतिहासिक सन्दर्भ, दार्शनिक आधार, रचनाकार के जीवनवृत्त, उसके घोषित उद्देश्यों, साहित्यिक सन्दर्भ-स्रोतों तथा राजनीतिक एवं सामाजिक अभिप्रायों को ही सर्वोपरि माना जाता था। इसके विपरीत, नई आलोचना ने साहित्यिक कृतियों को अपनी संरचना में पूर्णतया आत्मनिर्भर और स्वायत्त माना तथा पाठ के सूक्ष्म एवं विस्तृत भाषिक विश्लेषण को महत्त्व दिया।

व्याख्या

दिए गए गद्यांश के अनुसार अमेरिकी विश्वविद्यालयों और कॉलेजों में सन् 1960 ई. के दशक के अन्त तक 'द न्यू क्रिटिसज्म' (नई आलोचना) नामक साहित्यिक प्रविधि का बोलबाला था। गद्यांश की प्रारंभिक पंक्तियों में स्पष्ट रूप से उल्लेख किया गया है कि बीसवीं सदी के मध्यवर्ती दशकों में अमेरिकी साहित्यिक आलोचना के क्षेत्र में 'द न्यू क्रिटिसज्म' नामक रूपवादी अनुशीलन का आन्दोलन सक्रिय था और इसी प्रविधि का प्रभाव सन् 1960 ई. के दशक के अन्त तक विश्वविद्यालयों और कॉलेजों में बना रहा।

व्याख्या

पेट में दाढ़ी होना (प्रश्न में दाही मुद्रित) मुहावरे का सही अर्थ बचपन में ही बहुत चतुर-चालाक होना होता है। दाढ़ी परिपक्वता और उम्र का संकेत होती है, इसलिए जब किसी बच्चे के संदर्भ में इस मुहावरे का प्रयोग किया जाता है, तो इसका तात्पर्य यह होता है कि वह अपनी आयु से कहीं अधिक बुद्धिमान, चतुर और व्यावहारिक समझ रखता है।