एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2020 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

भुजाओं a = 25, b = 39, और c = 34 वाले त्रिभुज का अर्ध-परिमाप है: s = (25 + 39 + 34) / 2 = 49 इकाई

त्रिभुज का क्षेत्रफल (A) हेरॉन के सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है: A = √(s(s - a)(s - b)(s - c)) A = √(49 × (49 - 25) × (49 - 39) × (49 - 34)) A = √(49 × 24 × 10 × 15) A = √(49 × 3600) A = 7 × 60 = 420 वर्ग इकाई

वर्ग का क्षेत्रफल त्रिभुज के क्षेत्रफल से 21 इकाई अधिक है: वर्ग का क्षेत्रफल = 420 + 21 = 441 वर्ग इकाई

यदि वर्ग की भुजा x है, तो: x² = 441 x = √441 = 21 इकाई

व्याख्या

छह अंकों की संख्या 59a44b के 36 से विभाज्य होने के लिए, इसे 4 और 9 दोनों से विभाज्य होना चाहिए।

4 की विभाज्यता नियम के अनुसार, अंतिम दो अंकों से बनी संख्या, 4b, 4 से विभाज्य होनी चाहिए। चूँकि b एक एकल अंक है, b के संभावित मान 0, 4 और 8 हैं।

9 की विभाज्यता नियम के अनुसार, 59a44b के अंकों का योग 9 से विभाज्य होना चाहिए: 5 + 9 + a + 4 + 4 + b = 22 + a + b

चूँकि a और b एकल अंक हैं, a + b का अधिकतम संभव मान 9 + 9 = 18 है। इसका मतलब है कि अंकों का कुल योग, 22 + a + b, 22 से 40 तक हो सकता है। इस सीमा में 9 के गुणज 27 और 36 हैं।

a + b के मान को अधिकतम करने के लिए, हम अंकों के योग को 9 के सबसे बड़े गुणज के बराबर सेट करते हैं: 22 + a + b = 36 a + b = 14

a + b का मान 14 होने के लिए, हम b के अनुमत मानों का परीक्षण करते हैं। b = 8 रखने पर a = 6 प्राप्त होता है, जो दोनों मान्य एकल-अंकीय पूर्णांक हैं।

व्याख्या

संख्या 59a44b के 36 से विभाज्य होने के लिए, इसे 4 और 9 दोनों से विभाज्य होना चाहिए, क्योंकि 4 और 9, 36 के सह-अभाज्य गुणनखंड हैं।

4 से विभाज्यता के लिए, अंतिम दो अंकों से बनी संख्या, 4b, 4 से विभाज्य होनी चाहिए। यह b के संभावित मानों को 0, 4, या 8 तक सीमित करता है।

9 से विभाज्यता के लिए, संख्या के सभी अंकों का योग 9 का गुणज होना चाहिए। अंकों का योग = 5 + 9 + a + 4 + 4 + b = 22 + a + b

चूंकि a और b एकल-अंकीय गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं, a + b का अधिकतम संभव मान 18 है। इसका मतलब है कि योग 22 + a + b केवल 27 या 36 हो सकता है। यदि 22 + a + b = 27, तो a + b = 5। यदि 22 + a + b = 36, तो a + b = 14।

a + b का अधिकतम मान प्राप्त करने के लिए, हम 14 का चयन करते हैं। हम b = 8 और a = 6 चुनकर इस अधिकतम योग को प्राप्त कर सकते हैं, जो दोनों मान्य एकल-अंकीय अंक हैं।

व्याख्या

माना घन की भुजा की लंबाई x है। चूँकि गोला घन के अंदर अंतर्निहित है और उसके सभी फलकों को स्पर्श करता है, गोले का व्यास घन की भुजा की लंबाई के बराबर है। इस प्रकार, गोले की त्रिज्या r = x/2 है।

घन का आयतन x³ है, और गोले का आयतन (4/3) π r³ = (4/3) π (x/2)³ = (π/6) x³ है। घन के आयतन का गोले के आयतन से अनुपात a है: a = x³ / ((π/6) x³) = 6/π

घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल 6 x² है, और गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल 4 π r² = 4 π (x/2)² = π x² है। गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल का घन के पृष्ठीय क्षेत्रफल से अनुपात b है: b = (π x²) / (6 x²) = π/6

गुणनफल ab है: ab = (6/π) × (π/6) = 1

व्याख्या

1 से 10 तक की क्रम संख्याओं का योग अंकगणितीय श्रेणी योग सूत्र n(n + 1) / 2 का उपयोग करके निकाला जाता है: 10 × 11 / 2 = 55

चूंकि प्रत्येक संख्या को उसके क्रम संख्या में जोड़ने के बाद बनी 10 नई संख्याओं का औसत 55 है, इसलिए इन नई संख्याओं का कुल योग है: 10 × 55 = 550

मूल 10 संख्याओं का योग नई संख्याओं के योग से क्रम संख्याओं का योग घटाकर प्राप्त किया जाता है: 550 - 55 = 495

8 ज्ञात मूल संख्याओं का योग है: 24 + 45 + 35 + 59 + 83 + 46 + 29 + 74 = 395

इसलिए, लुप्त संख्याओं a और b का योग है: a + b = 495 - 395 = 100

दो लुप्त संख्याओं का औसत है: (a + b) / 2 = 100 / 2 = 50

व्याख्या

दिए गए समीकरण हैं: a + b = 8 a + a²b + b + ab² = 128

दूसरे समीकरण में पदों को समूहित करने पर, हमें प्राप्त होता है: (a + b) + ab(a + b) = 128 (a + b)(1 + ab) = 128

a + b = 8 का मान प्रतिस्थापित करने पर: 8(1 + ab) = 128 1 + ab = 16 ab = 15

घनों के योग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके: a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)

(a + b) और ab के मानों को प्रतिस्थापित करने पर: a³ + b³ = 8³ - 3 × 15 × 8 a³ + b³ = 512 - 360 a³ + b³ = 152

व्याख्या

मान लीजिए कि निर्धारित समय T मिनट है। चूँकि दूरी D स्थिर है, हम दूरी = गति × समय सूत्र का उपयोग करके दोनों मामलों में तय की गई दूरियों को बराबर कर सकते हैं:

गति₁ × समय₁ = गति₂ × समय₂

दी गई गति और समय का उपयोग करके: 60 × (T + 20)/60 = 75 × (T - 44)/60

समीकरण को सरल बनाना: 60 × (T + 20) = 75 × (T - 44)

दोनों पक्षों को 15 से विभाजित करना: 4 × (T + 20) = 5 × (T - 44) 4T + 80 = 5T - 220 T = 300 मिनट

इस प्रकार, निर्धारित समय 300 मिनट है, जो 300/60 = 5 घंटे के बराबर है।

अब, दूरी D की गणना करें: D = 60 × (300 + 20)/60 = 320 किमी

अगला, निर्धारित समय में इस दूरी को तय करने के लिए आवश्यक औसत गति S ज्ञात करें: S = D / T = 320 / 5 = 64 किमी/घंटा

D और S के संख्यात्मक मानों का योग है: D + S = 320 + 64 = 384

व्याख्या

चूंकि CosA, SinA, और CotA गुणोत्तर श्रेणी में हैं, मध्य पद का वर्ग प्रथम और तृतीय पदों के गुणनफल के बराबर होता है:

Sin²A = CosA × CotA

CotA = CosA / SinA को प्रतिस्थापित करने पर:

Sin²A = Cos²A / SinA Sin³A = Cos²A

अब, Tan⁶A को SinA और CosA के पदों में व्यक्त करें:

Tan⁶A = Sin⁶A / Cos⁶A = (Sin³A)² / Cos⁶A

अंश में Sin³A = Cos²A को प्रतिस्थापित करने पर:

Tan⁶A = (Cos²A)² / Cos⁶A = Cos⁴A / Cos⁶A = 1 / Cos²A = Sec²A

इस परिणाम को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

Tan⁶A - Tan²A = Sec²A - Tan²A

मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका Sec²A - Tan²A = 1 का उपयोग करने पर:

Tan⁶A - Tan²A = 1

व्याख्या

भुजा की लंबाई 'a' वाले घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल 6a² होता है। चूँकि पृष्ठीय क्षेत्रफल भुजा की लंबाई के वर्ग (a²) के समानुपाती होता है, इसलिए भुजा की लंबाई में 10% की वृद्धि के परिणामस्वरूप पृष्ठीय क्षेत्रफल में क्रमिक प्रतिशत वृद्धि होती है।

क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके: शुद्ध प्रतिशत वृद्धि = x + y + xy/100

x = 10 और y = 10 प्रतिस्थापित करने पर: शुद्ध प्रतिशत वृद्धि = 10 + 10 + (10 × 10)/100 = 20 + 1 = 21%

व्याख्या

BODMAS नियम के अनुसार, संक्रियाएँ कोष्ठक, का, भाग, गुणा, जोड़ और घटाव के क्रम में की जाती हैं।

सबसे पहले, कोष्ठक के अंदर के व्यंजक का मूल्यांकन करें: 6.3 + 9 = 15.3

अगला, "का" संक्रिया का मूल्यांकन करें: 5 का 15.3 = 5 × 15.3 = 76.5

फिर, गुणा करें: 7 × 0.5 = 3.5

अब, इन मानों को व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करें: 45 - 76.5 + 3.5

अंत में, जोड़ और घटाव करें: 45 + 3.5 - 76.5 = 48.5 - 76.5 = -28

व्याख्या

मान लीजिए प्रत्येक वस्तु का क्रय मूल्य (CP) ₹10 है। 40 वस्तुओं का कुल क्रय मूल्य = 40 × 10 = ₹400।

चूंकि वस्तुओं को क्रय मूल्य से 20% अधिक अंकित किया गया है, इसलिए प्रत्येक वस्तु का अंकित मूल्य (MP) है: MP = 10 × 1.2 = ₹12।

अब, बेची गई वस्तुओं का विक्रय मूल्य (SP) ज्ञात करें: 10% की छूट पर बेची गई 10 वस्तुओं का SP: SP₁ = 10 × 12 × 0.90 = ₹108।

15% की छूट पर बेची गई 20 वस्तुओं का SP: SP₂ = 20 × 12 × 0.85 = ₹204।

पहली 30 वस्तुओं का कुल SP: SPₜotal = 108 + 204 = ₹312।

पूरे लेन-देन पर कुछ लाभ कमाने के लिए, सभी 40 वस्तुओं का कुल विक्रय मूल्य कुल क्रय मूल्य (₹400) से सख्ती से अधिक होना चाहिए।

शेष 10 वस्तुओं का विक्रय मूल्य SPᵣem मान लीजिए। 312 + SPᵣem > 400 SPᵣem > 88।

शेष 10 वस्तुओं का कुल MP है: MPᵣem = 10 × 12 = ₹120।

मान लीजिए इन शेष वस्तुओं पर दी गई छूट प्रतिशत d% है: 120 × (1 - d/100) > 88 1 - d/100 > 88 / 120 1 - d/100 > 11 / 15 d / 100 < 4 / 15 d < 400 / 15 % = 26.67%

इस प्रकार, शेष वस्तुओं पर वह अधिकतम छूट जो वह दे सकता है, जबकि अभी भी कुछ लाभ हो रहा है, 26.67% से ठीक कम है।

व्याख्या

घन के योग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके: यदि x + 1/x = k, तो x³ + 1/x³ = k³ - 3k

दिया गया है कि x + 1/x = 5/2, हम सूत्र में k = 5/2 प्रतिस्थापित करते हैं: x³ + 1/x³ = (5/2)³ - 3(5/2) x³ + 1/x³ = 125/8 - 15/2 x³ + 1/x³ = 125/8 - 60/8 x³ + 1/x³ = 65/8

अब, इस मान को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: (4/13) (x³ + 1/x³) = (4/13) × (65/8)

भिन्न को सरल करने पर: (4/8) × (65/13) = ½ × 5 = 5/2

व्याख्या

लाभ सूत्र का उपयोग करके: लाभ = विक्रय मूल्य - क्रय मूल्य

मान लीजिए कि मिश्रण में मिलावटी तेल के लीटर की संख्या x है।

व्यापारी ने 236 रुपये प्रति लीटर की दर से 50 लीटर असली तेल खरीदा, और मिलावटी तेल का क्रय मूल्य 180 रुपये प्रति लीटर है। कुल क्रय मूल्य = (50 × 236) + (180 × x) = 11,800 + 180x

मिश्रण का कुल आयतन 50 + x लीटर है, जिसे 250 रुपये प्रति लीटर की दर से बेचा जाता है। कुल विक्रय मूल्य = 250 × (50 + x) = 12,500 + 250x

लाभ = विक्रय मूल्य - क्रय मूल्य लाभ = (12,500 + 250x) - (11,800 + 180x) = 700 + 70x

न्यूनतम 2,100 रुपये का लाभ कमाने के लिए: 700 + 70x ≥ 2,100 70x ≥ 1,400 x ≥ 20

इस प्रकार, मिलावटी तेल की न्यूनतम आवश्यक मात्रा 20 लीटर है।