एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2020 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

मान लीजिए दिशा और प्रतिमा का वेतन क्रमशः 17x और 15x है।

उनके वेतन के बीच का अंतर है: 17x - 15x = 2x

यह देखते हुए कि दिशा का वेतन प्रतिमा के वेतन से ₹3,000 अधिक है, हम लिख सकते हैं: 2x = 3000 x = 1500

प्रतिमा का वेतन है: 15x = 15 × 1500 = 22,500

व्याख्या

विक्रय मूल्य (SP) और लाभ प्रतिशत (P) के बीच संबंध इस प्रकार दिया गया है:

SP₂ = SP₁ × (100 + P₂) / (100 + P₁)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर जहाँ SP₁ = 70000, P₁ = 25, और P₂ = 30:

SP₂ = 70000 × (100 + 30) / (100 + 25)

SP₂ = 70000 × 130 / 125

भिन्न को सरल करने पर:

SP₂ = 70000 × 26 / 25

SP₂ = 2800 × 26

SP₂ = 72800

व्याख्या

दो समूहों के लिए संयुक्त भारित औसत सूत्र है:

संयुक्त औसत = (n₁ × A₁ + n₂ × A₂) / (n₁ + n₂)

यहाँ, पुरुषों की प्रारंभिक संख्या n₁ 25 है जिनकी औसत आयु A₁ 28 वर्ष है, और नए पुरुषों की संख्या n₂ 5 है जिनकी औसत आयु A₂ 25 वर्ष है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

संयुक्त औसत = (25 × 28 + 5 × 25) / (25 + 5)

संयुक्त औसत = (700 + 125) / 30

संयुक्त औसत = 825 / 30

संयुक्त औसत = 27.5 वर्ष

व्याख्या

अंकगणितीय माध्य-ज्यामितीय माध्य (AM-GM) असमानता बताती है कि किसी भी गैर-ऋणात्मक संख्याओं a और b के लिए: (a + b)/2 ≥ √(ab) जिसे इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है: a + b ≥ 2√(ab)

मान लीजिए a = 8 cosec²θ और b = 25 sin²θ। θ के वास्तविक मानों के लिए जहाँ cosec θ परिभाषित है, दोनों पद धनात्मक हैं। असमानता लागू करने पर: 8 cosec²θ + 25 sin²θ ≥ 2 × √(8 cosec²θ × 25 sin²θ)

चूंकि cosec²θ = 1/sin²θ, वर्गमूल के अंदर के पद इस प्रकार सरल होते हैं: 8 cosec²θ + 25 sin²θ ≥ 2 × √(8 × 25) 8 cosec²θ + 25 sin²θ ≥ 2 × √200 8 cosec²θ + 25 sin²θ ≥ 2 × 10√2 8 cosec²θ + 25 sin²θ ≥ 20√2

यह न्यूनतम मान प्राप्त किया जा सकता है क्योंकि समानता के लिए शर्त, 8 cosec²θ = 25 sin²θ, sin²θ = (2√2)/5 देती है। चूंकि (2√2)/5 लगभग 0.566 है, जो sin²θ के लिए [0, 1] की मान्य सीमा के भीतर आता है, θ के वास्तविक मान मौजूद हैं जो इस शर्त को पूरा करते हैं।

व्याख्या

जब तीन समान दूरियाँ s₁, s₂, और s₃ की गति से तय की जाती हैं, तो औसत गति की गणना गति के हरात्मक माध्य का उपयोग करके की जाती है:

औसत गति = 3 / (1/s₁ + 1/s₂ + 1/s₃) = 3s₁s₂s₃ / (s₁s₂ + s₂s₃ + s₃s₁)

दिए गए मानों s₁ = 15 किमी/घंटा, s₂ = 20 किमी/घंटा, और s₃ = 30 किमी/घंटा को प्रतिस्थापित करने पर:

औसत गति = 3 × 15 × 20 × 30 / (15 × 20 + 20 × 30 + 30 × 15)

औसत गति = 27000 / (300 + 600 + 450)

औसत गति = 27000 / 1350

औसत गति = 20 किमी/घंटा

व्याख्या

त्रिभुज ABC के परित्रिज्या M और परित्रिज्या 15 सेमी के परित्रिज्या में, परिकेंद्र M से शीर्ष B की दूरी परित्रिज्या होती है, इसलिए MB = 15 सेमी।

चूंकि ML, केंद्र M से जीवा BC पर लंब है, यह जीवा BC को समद्विभाजित करती है। इसलिए, BL की लंबाई BC की आधी है: BL = BC / 2 = 24 / 2 = 12 सेमी

समकोण त्रिभुज MLB में, पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर: MB² = ML² + BL² 15² = ML² + 12² 225 = ML² + 144 ML² = 225 - 144 ML² = 81 ML = 9 सेमी

व्याख्या

त्रिभुजों के मध्यबिंदु प्रमेय (Midpoint Theorem) द्वारा, त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्यबिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समानांतर होता है और उसकी आधी लंबाई का होता है। चूँकि L और M त्रिभुज XYZ में भुजाओं XY और XZ के मध्यबिंदु हैं, हमारे पास है:

LM = ½ × YZ

बिंदु R रेखाखंड LM पर इस प्रकार स्थित है कि:

LR : RM = 1 : 2

यह देखते हुए कि LR = 3 सेमी है, हम RM ज्ञात कर सकते हैं:

RM = 2 × LR = 2 × 3 सेमी = 6 सेमी

LM की कुल लंबाई LR और RM का योग है:

LM = LR + RM = 3 सेमी + 6 सेमी = 9 सेमी

इस मान को मध्यबिंदु प्रमेय संबंध में प्रतिस्थापित करने पर:

9 = ½ × YZ YZ = 18 सेमी

व्याख्या

मान लीजिए l और w आयत की लंबाई और चौड़ाई हैं, और d इसका विकर्ण है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, इन आयामों के बीच संबंध है:

d² = l² + w²

दिए गए मानों, d = 15 सेमी और l = 12 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर:

15² = 12² + w² 225 = 144 + w² w² = 225 - 144 w² = 81 w = 9 सेमी

आयत का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा दिया जाता है:

क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई क्षेत्रफल = 12 × 9 = 108 सेमी²

व्याख्या

दिए गए समीकरण हैं: a + b + c = 2 1/a + 1/b + 1/c = 0 ac = 4/b

ac = 4/b को सरल करने पर प्राप्त होता है: abc = 4

1/a + 1/b + 1/c = 0 को सामान्य भाजक abc लेकर सरल करने पर प्राप्त होता है: (ab + bc + ca) / abc = 0 चूंकि abc = 4 है, इसलिए: ab + bc + ca = 0

प्रश्न कथन में, व्यंजक a² + b² + c² = 28 में एक टाइपोग्राफ़िकल त्रुटि है और यह घनों के योग का प्रतिनिधित्व करता है: a³ + b³ + c³ = 28

a² + b² + c² का मान ज्ञात करने के लिए, हम मानक बीजगणितीय सर्वसमिका लागू करते हैं: a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - (ab + bc + ca))

a + b + c = 2, abc = 4, ab + bc + ca = 0, और a³ + b³ + c³ = 28 के मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर: 28 - 3 × 4 = 2 × (a² + b² + c² - 0) 28 - 12 = 2 × (a² + b² + c²) 16 = 2 × (a² + b² + c²) a² + b² + c² = 8

व्याख्या

Y का हिस्सा ज्ञात करने के लिए, पहले X:Y और Y:Z अनुपातों को एक एकल सतत अनुपात X:Y:Z में संयोजित करें।

दिया गया है: X:Y = 7:5 Y:Z = 4:3

दोनों अनुपातों में Y के मान को बराबर करने के लिए, पहले अनुपात को 4 से और दूसरे अनुपात को 5 से गुणा करें: X:Y = 28:20 Y:Z = 20:15

इस प्रकार, संयुक्त अनुपात है: X:Y:Z = 28:20:15

अनुपात पदों का योग है: 28 + 20 + 15 = 63

अब, एक शेयर का मान ज्ञात करने के लिए कुल राशि 6,300 को अनुपात पदों के योग से विभाजित करें: 6,300 ÷ 63 = 100

चूंकि Y के पास 20 शेयर हैं, Y का हिस्सा है: 20 × 100 = 2,000

व्याख्या

किसी कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक पुरुषों की संख्या और दिनों की संख्या के बीच का संबंध व्युत्क्रमानुपाती होता है, जिसे निम्नलिखित सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है:

M₁ × D₁ = M₂ × D₂

यहाँ, M₁ पुरुषों की प्रारंभिक संख्या है, D₁ दिनों की प्रारंभिक संख्या है, M₂ पुरुषों की नई संख्या है, और D₂ दिनों की नई संख्या है।

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

15 × 10 = 20 × D₂

150 = 20 × D₂

D₂ = 150 / 20 = 7.5 दिन

व्याख्या

मान लीजिए कि विद्यालय में कुल कार्य दिवस x थे।

चूंकि कविता की 216 दिनों की उपस्थिति कुल कार्य दिवसों का 90% दर्शाती है:

x का 90% = 216

(90 / 100) × x = 216

x = (216 × 100) / 90

x = 24 × 10

x = 240

व्याख्या

कोई संख्या 11 से पूर्णतः विभाज्य होती है यदि विषम स्थानों पर स्थित अंकों के योग और सम स्थानों पर स्थित अंकों के योग के बीच का अंतर 0 या 11 का गुणज हो।

संख्या 963391 के लिए, विषम स्थानों (दाएँ से शुरू करते हुए) पर स्थित अंक 1, 3 और 6 हैं। इन अंकों का योग 1 + 3 + 6 = 10 है।

सम स्थानों पर स्थित अंक 9, 3 और 9 हैं। इन अंकों का योग 9 + 3 + 9 = 21 है।

दोनों योगों के बीच का अंतर 21 - 10 = 11 है।

चूंकि अंतर 11 है, जो 11 का एक गुणज है, इसलिए संख्या 963391, 11 से पूर्णतः विभाज्य है।

व्याख्या

दिए गए प्रश्न में, हमें P का मान ज्ञात करने के लिए कहा गया है जब वर्ष 2016 को 52 सप्ताह और P दिनों के रूप में व्यक्त किया जाता है।

वर्ष 2016 एक लीप वर्ष है क्योंकि यह 4 से विभाज्य है। एक लीप वर्ष में ठीक 366 दिन होते हैं।

सप्ताहों और अतिरिक्त दिनों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम 366 को 7 से विभाजित करते हैं: 366 = (52 × 7) + 2

यह विभाजन ठीक 52 सप्ताह और 2 अतिरिक्त दिन देता है। इसकी तुलना 52 सप्ताह और P दिनों के दिए गए निरूपण से करने पर, हमें P का मान 2 मिलता है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण हैं: cos(x - y) = √3/2 sin(x + y) = ½

मानक त्रिकोणमितीय मानों का उपयोग करके: cos(30°) = √3/2 sin(30°) = ½

हम रैखिक समीकरणों की प्रणाली स्थापित कर सकते हैं: x - y = 30° x + y = 30°

इन दो समीकरणों को जोड़ने पर: (x - y) + (x + y) = 30° + 30° 2x = 60° x = 30°

यह दी गई शर्त 0 < x < 90° को संतुष्ट करता है।

व्याख्या

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: cosec² A = 1 + cot² A

हम जानते हैं कि cosec A, sin A का व्युत्क्रम होता है, इसलिए हम लिख सकते हैं: 1 / sin² A = 1 + cot² A

दिया गया है कि cot A = k, इस मान को प्रतिस्थापित करने पर: 1 / sin² A = 1 + k²

दोनों पक्षों का व्युत्क्रम लेने पर: sin² A = 1 / (1 + k²)

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: sin A = 1 / √(1 + k²)

चूंकि A को एक न्यून कोण दिया गया है, इसलिए sin A सहित सभी त्रिकोणमितीय अनुपात धनात्मक होते हैं। अतः, हम धनात्मक वर्गमूल लेते हैं।

व्याख्या

समीकरण के बाईं ओर अंश और हर को sin θ से विभाजित करें:

(cot θ + 1) / (cot θ - 1) = 8

cot θ के लिए हल करने के लिए तिरछा गुणा करें:

cot θ + 1 = 8(cot θ - 1)

cot θ + 1 = 8 cot θ - 8

9 = 7 cot θ

cot θ = 9/7

व्याख्या

क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके:

शुद्ध परिवर्तन % = x + y + (xy/100)

यहाँ, अंकित मूल्य प्रतिशत (x) +15% है और छूट प्रतिशत (y) -20% है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

शुद्ध परिवर्तन % = 15 - 20 + (15 × (-20) / 100)

शुद्ध परिवर्तन % = -5 - (300 / 100)

शुद्ध परिवर्तन % = -5 - 3 = -8%

चूंकि शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन ऋणात्मक है, यह 8% की हानि को दर्शाता है।

व्याख्या

मॉड्यूलर अंकगणित के अनुसार, 77 को 78 के मॉड्यूलो -1 के रूप में लिखा जा सकता है क्योंकि 77 = 78 - 1।

इसे दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: (77⁷⁷ + 77) mod 78 = ((-1)⁷⁷ + (-1)) mod 78

चूंकि 77 एक विषम घातांक है, (-1)⁷⁷ सरल होकर -1 हो जाता है: = (-1 - 1) mod 78 = -2 mod 78

धनात्मक शेषफल प्राप्त करने के लिए, हम ऋणात्मक शेषफल में भाजक 78 जोड़ते हैं: 78 - 2 = 76

व्याख्या

औसत गति को तय की गई कुल दूरी को लिए गए कुल समय से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है।

कुल दूरी = 18 + 20 + 27 = 65 किमी

यात्रा के तीन भागों में से प्रत्येक के लिए लिया गया समय दूरी को गति से विभाजित करके गणना की जाती है: पहले भाग के लिए समय = 18 / 6 = 3 घंटे दूसरे भाग के लिए समय = 20 / 5 = 4 घंटे तीसरे भाग के लिए समय = 27 / 9 = 3 घंटे

कुल समय = 3 + 4 + 3 = 10 घंटे

औसत गति = कुल दूरी / कुल समय = 65 / 10 = 6.5 किमी/घंटा

व्याख्या

दिए गए पदों को संबंधित करने वाली मानक बीजगणितीय सर्वसमिका है: x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² - xy - yz - zx)

इस सर्वसमिका में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 75 - 3 × 15 = 10 × (x² + y² + z² - xy - yz - zx)

बाएँ पक्ष को सरल करने पर: 75 - 45 = 10 × (x² + y² + z² - xy - yz - zx) 30 = 10 × (x² + y² + z² - xy - yz - zx)

दोनों पक्षों को 10 से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: x² + y² + z² - xy - yz - zx = 3

व्याख्या

20% की हानि के संगत विक्रय मूल्य ₹2500 दिया गया है। यह विक्रय मूल्य क्रय मूल्य (CP) का 80% दर्शाता है।

उनकी संबंधित हानि प्रतिशत के आधार पर दो विक्रय मूल्यों के अनुपात का उपयोग करके:

SP₂ = SP₁ × (100 - हानि₂%) / (100 - हानि₁%)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

SP₂ = 2500 × (100 - 30) / (100 - 20) SP₂ = 2500 × 70 / 80 SP₂ = 2500 × 7 / 8 SP₂ = 17500 / 8 = 2187.5

व्याख्या

दिए गए त्रिकोणमितीय समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: 3 sec²x - 4 = 0 3 sec²x = 4 sec²x = 4/3

चूंकि x पहले चतुर्थांश (0 < x < 90) में स्थित है, इसलिए दोनों पक्षों का धनात्मक वर्गमूल लेने पर: sec x = 2/√3

चूंकि cos x, sec x का व्युत्क्रम होता है: cos x = √3/2

अंतराल 0 < x < 90 के लिए, वह कोण जिसका कोसाइन √3/2 है, 30° है।

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज XYZ में जिसका केन्द्रक G है और क्रमशः भुजाओं XY और XZ के मध्यबिंदु L और M हैं, रेखाखंड LM भुजा YZ के समानांतर मध्यखंड का प्रतिनिधित्व करता है।

मध्यखंड प्रमेय के अनुसार, LM = ½ YZ।

यदि H शीर्ष X से आधार YZ तक त्रिभुज XYZ की ऊँचाई है, तो मध्यखंड LM की शीर्ष X से दूरी ½ H है।

चूंकि G त्रिभुज XYZ का केन्द्रक है, शीर्ष X से ऊँचाई के अनुदिश इसकी दूरी ⅔ H है।

केन्द्रक G से रेखाखंड LM तक की लंबवत दूरी है: ⅔ H - ½ H = ⅙ H

त्रिभुज GLM का क्षेत्रफल इस प्रकार दिया गया है: क्षेत्रफल(ΔGLM) = ½ × LM × (G से LM तक की दूरी) = ½ × (½ YZ) × ⅙ H = 1/24 × YZ × H

त्रिभुज XYZ का क्षेत्रफल है: क्षेत्रफल(ΔXYZ) = ½ × YZ × H

त्रिभुज GLM के क्षेत्रफल को त्रिभुज XYZ के क्षेत्रफल से विभाजित करने पर अनुपात प्राप्त होता है: क्षेत्रफल(ΔGLM) : क्षेत्रफल(ΔXYZ) = (1/24 × YZ × H) : (½ × YZ × H) = 1/12 : ½ = 1:12

व्याख्या

एक आयत का परिमाप सूत्र द्वारा दिया जाता है: परिमाप = 2 × (लंबाई + चौड़ाई)

माना आयताकार मैदान की लंबाई और चौड़ाई क्रमशः 5x और 2x हैं, जो 5 : 2 के अनुपात पर आधारित हैं।

सूत्र में मान रखने पर: 238 = 2 × (5x + 2x) 238 = 2 × 7x 238 = 14x x = 238 / 14 x = 17

x का मान उपयोग करके, मैदान की लंबाई है: लंबाई = 5x = 5 × 17 = 85 मीटर

व्याख्या

जब किसी चिह्नित प्रतिशत के बाद छूट प्रतिशत दिया जाता है, तो शुद्ध लाभ या हानि प्रतिशत की गणना सीधे क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

शुद्ध लाभ प्रतिशत = x + y + xy/100

यहां, x चिह्नित प्रतिशत (+35) का प्रतिनिधित्व करता है और y छूट प्रतिशत (-20) का प्रतिनिधित्व करता है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

शुद्ध लाभ प्रतिशत = 35 - 20 + (35 × -20)/100 शुद्ध लाभ प्रतिशत = 15 - 700/100 शुद्ध लाभ प्रतिशत = 15 - 7 = 8

चूंकि अंतिम मान धनात्मक है, मोहन को 8% का लाभ होता है।

व्याख्या

20 मैचों में कुल रन = 20 × 35 = 700

पहले 12 मैचों में कुल रन = 12 × 45 = 540

अंतिम 8 मैचों में कुल रन = 700 - 540 = 160

अंतिम 8 मैचों का औसत = 160 / 8 = 20

व्याख्या

साधारण ब्याज का सूत्र SI = (P × R × T) / 100 है, जहाँ P मूलधन है, R प्रति वर्ष ब्याज दर है, और T वर्षों में समय है।

प्रश्न के अनुसार, साधारण ब्याज मूलधन के बराबर है, इसलिए SI = P।

सूत्र में SI = P प्रतिस्थापित करने पर: P = (P × R × T) / 100 1 = (R × T) / 100 T = 100 / R

ब्याज की दी गई दर R 12 2/4% = 12.5% है।

इस दर को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: T = 100 / 12.5 = 8 वर्ष

व्याख्या

व्यंजक का मूल्यांकन करने के लिए BODMAS नियम लागू करें: 2.1 + 2.25 ÷ [63 - [7.5 × 8 + (13 - 2.5 × 5)]]

सबसे पहले, सबसे भीतरी कोष्ठक को हल करें: 13 - 2.5 × 5 = 13 - 12.5 = 0.5

अगला, मध्य वर्ग कोष्ठक का मूल्यांकन करें: 7.5 × 8 + 0.5 = 60 + 0.5 = 60.5

फिर, सबसे बाहरी वर्ग कोष्ठक का मूल्यांकन करें: 63 - 60.5 = 2.5

अब, इस मान को व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करें: 2.1 + 2.25 ÷ 2.5

जोड़ने से पहले भाग करें: 2.25 ÷ 2.5 = 0.9

अंत में, संख्याओं को जोड़ें: 2.1 + 0.9 = 3.0

व्याख्या

द्विपद के वर्ग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके: (a + b)² = a² + b² + 2ab

हम a² + b² को हल करने के लिए इस सूत्र को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं: a² + b² = (a + b)² - 2ab

सूत्र में a + b = 11 और ab = 15 के दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: a² + b² = 11² - 2(15) a² + b² = 121 - 30 a² + b² = 91

व्याख्या

चूंकि दोनों अनुपातों में कोमल का हिस्सा 2 के बराबर है, हम सीधे उन्हें मिलाकर सीमा : कोमल : रीता का संयुक्त अनुपात 1.5 : 2 : 2.5 प्राप्त कर सकते हैं।

अनुपात के प्रत्येक भाग को 2 से गुणा करके उन्हें पूर्ण संख्याओं में बदलने पर: सीमा : कोमल : रीता = 3 : 4 : 5

अनुपात भागों का योग 3 + 4 + 5 = 12 है।

₹ 3,600 की कुल राशि को 12 बराबर भागों में विभाजित किया गया है। रीता का हिस्सा 12 में से 5 भागों के अनुरूप है।

रीता का हिस्सा = (5 ÷ 12) × 3,600 = 5 × 300 = ₹ 1,500।

व्याख्या

समकोण समद्विबाहु त्रिभुज PQR में, समकोण Q पर है जहाँ PQ = QR = 10 सेमी है।

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके कर्ण PR की लम्बाई की गणना की जाती है: PR = √(PQ² + QR²) = √(10² + 10²) = √200 = 10√2 सेमी

समकोण त्रिभुज में, समकोण शीर्ष से कर्ण पर खींचे गए लम्ब की लम्बाई समकोण बनाने वाली दो भुजाओं के गुणनफल को कर्ण से विभाजित करने के बराबर होती है। यदि QD, PR पर Q से खींचा गया लम्ब है: QD = (PQ × QR) / PR QD = (10 × 10) / 10√2 QD = 100 / 10√2 QD = 10 / √2 QD = 5√2 सेमी

वैकल्पिक रूप से, चूँकि PQR एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है, PR पर Q से खींचा गया लम्ब कर्ण पर माध्यिका भी है। समकोण त्रिभुज में कर्ण पर माध्यिका की लम्बाई कर्ण की लम्बाई की आधी होती है: QD = PR / 2 = 10√2 / 2 = 5√2 सेमी

व्याख्या

धावक की गति में प्रतिशत कमी ज्ञात करने के लिए, प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का प्रयोग करें:

प्रतिशत कमी = (मूल गति - नई गति) / मूल गति × 100

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: मूल गति = 40 किमी/घंटा नई गति = 30 किमी/घंटा

गति में कमी = 40 - 30 = 10 किमी/घंटा

प्रतिशत कमी = (10 / 40) × 100 = 25%

व्याख्या

मिश्रण के नियम का उपयोग करते हुए, 25% लाभ पर बेची गई वस्तुओं की संख्या का 10% हानि पर बेची गई वस्तुओं की संख्या (जिसे -10% के रूप में दर्शाया गया है) से अनुपात ज्ञात करने पर शुद्ध लाभ 4% प्राप्त होता है, जिसकी गणना इस प्रकार की जाती है:

मात्रा 1 का मात्रा 2 से अनुपात = (शुद्ध लाभ प्रतिशत - हानि प्रतिशत) / (लाभ प्रतिशत - शुद्ध लाभ प्रतिशत)

सूत्र में मान रखने पर: अनुपात = (4 - (-10)) / (25 - 4) = 14 / 21 = 2 / 3

लाभ पर बेची गई वस्तुएं और हानि पर बेची गई वस्तुएं 2 : 3 के अनुपात में हैं।

अनुपात में कुल भाग = 2 + 3 = 5

चूंकि वस्तुओं की कुल संख्या 40 दी गई है, हम प्रत्येक भाग का मान ज्ञात करते हैं: 40 / 5 = 8

हानि पर बेची गई वस्तुओं की संख्या अनुपात के 3 भागों को दर्शाती है: 3 × 8 = 24

व्याख्या

बेलनाकार पात्र बनाने के लिए आवश्यक गोलाकार धातु की गेंदों की न्यूनतम संख्या ज्ञात करने के लिए, पिघलाई गई गोलाकार गेंदों का कुल आयतन बेलनाकार पात्र के आयतन के बराबर होना चाहिए।

एक बेलन का आयतन सूत्र V = π R² H द्वारा दिया जाता है, जहाँ R बेलन की त्रिज्या और H ऊंचाई है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर जहाँ R = 6 सेमी और H = 5 सेमी: बेलन का आयतन = π × 6² × 5 = 180π घन सेमी

एक गोले का आयतन सूत्र V = 4/3 π r³ द्वारा दिया जाता है, जहाँ r गोले की त्रिज्या है। यह देखते हुए कि प्रत्येक धातु की गेंद का व्यास 2 सेमी है, त्रिज्या r 1 सेमी है: एक गोले का आयतन = 4/3 × π × 1³ = 4/3 π घन सेमी

मान लीजिए आवश्यक गोलाकार गेंदों की संख्या N है। गेंदों के कुल आयतन को बेलन के आयतन के बराबर करने पर: N × 4/3 π = 180π N × 4/3 = 180 N = 180 × 3/4 N = 135

व्याख्या

x से शुरू होने वाली n क्रमागत संख्याओं के अनुक्रम के लिए, औसत पहले और अंतिम पद का अंकगणितीय माध्य होता है: औसत = (पहला पद + अंतिम पद) / 2

मान लीजिए 35 क्रमागत प्राकृतिक संख्याएँ x से शुरू होती हैं। पहला पद x है और अंतिम पद x + 34 है। N = (x + x + 34) / 2 = x + 17

जब हम पहली 10 संख्याओं (x से x + 9 तक) को छोड़ देते हैं और अगली 10 संख्याओं (x + 35 से x + 44 तक) को शामिल करते हैं, तो नया अनुक्रम x + 10 से शुरू होता है और x + 44 पर समाप्त होता है। M = (x + 10 + x + 44) / 2 = x + 27

इस प्रकार, औसत के बीच का अंतर है: M - N = (x + 27) - (x + 17) = 10

बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके: M² - N² = (M - N)(M + N)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 600 = 10 × (M + N) M + N = 60

इस रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करना: M - N = 10 M + N = 60

दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: 2M = 70 M = 35

दूसरे समीकरण से पहले समीकरण को घटाने पर: 2N = 50 N = 25

3M और 5N का औसत है: औसत = (3M + 5N) / 2 औसत = (3 × 35 + 5 × 25) / 2 औसत = (105 + 125) / 2 औसत = 230 / 2 औसत = 115

व्याख्या

मानक बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके, हम θ वाले पदों को फिर से लिख सकते हैं:

sin⁴θ + cos⁴θ = (sin²θ + cos²θ)² - 2sin²θ cos²θ = 1 - 2sin²θ cos²θ

sin⁶θ + cos⁶θ = (sin²θ + cos²θ)³ - 3sin²θ cos²θ (sin²θ + cos²θ) = 1 - 3sin²θ cos²θ

A के लिए व्यंजक में इन सर्वसमिकाओं को प्रतिस्थापित करने पर:

A = 2(1 - 3sin²θ cos²θ) - 3(1 - 2sin²θ cos²θ)

A = 2 - 6sin²θ cos²θ - 3 + 6sin²θ cos²θ

A = -1

A = -1 के स्थिर मान को cos α के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

cos α = √((3 + A) / (5 + A))

cos α = √((3 - 1) / (5 - 1))

cos α = √(2 / 4)

cos α = √(1 / 2)

cos α = 1 / √2

चूंकि cos α = 1 / √2 है, इसलिए कोण α का मान 45° है।

हम 3α का मान ज्ञात करते हैं:

3α = 3 × 45° = 135°

व्याख्या

तीन समीकरणों के दोनों पक्षों पर समान आधारों की घातों की तुलना करने पर:

पहले समीकरण से, चूँकि 8, 2³ है, हम आधार 2 की घातों की तुलना करते हैं: x + y - 2z = 3(8z - 5 - y) x + y - 2z = 24z - 15 - 3y x + 4y - 26z = -15

दूसरे समीकरण से, चूँकि 25, 5² है, हम आधार 5 की घातों की तुलना करते हैं: 4y - 6z = 2(y + z) 4y - 6z = 2y + 2z 2y = 8z y = 4z

तीसरे समीकरण से, चूँकि 9, 3² है, हम आधार 3 की घातों की तुलना करते हैं: 4x - 3z = 2(x + z) 4x - 3z = 2x + 2z 2x = 5z x = 2.5z

x और y के व्यंजकों को पहले सरलीकृत समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 2.5z + 4(4z) - 26z = -15 2.5z + 16z - 26z = -15 -7.5z = -15 z = 2

अब, x और y के लिए हल करने पर: y = 4(2) = 8 x = 2.5(2) = 5

वांछित व्यंजक ज्ञात करने के लिए इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 2x + 3y + 5z = 2(5) + 3(8) + 5(2) 2x + 3y + 5z = 10 + 24 + 10 = 44

व्याख्या

पहले समीकरण से: 117 cos² A + 129 sin² A = 120

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² A = 1 - cos² A का प्रयोग करके: 117 cos² A + 129(1 - cos² A) = 120 117 cos² A + 129 - 129 cos² A = 120 129 - 12 cos² A = 120 12 cos² A = 9 cos² A = 9/12 = 3/4

दूसरे समीकरण से: 170 cos² B + 159 sin² B = 161

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² B = 1 - cos² B का प्रयोग करके: 170 cos² B + 159(1 - cos² B) = 161 170 cos² B + 159 - 159 cos² B = 161 11 cos² B + 159 = 161 11 cos² B = 2 cos² B = 2/11

चूंकि sec² B = 1/cos² B: sec² B = 11/2

अब, cos² A sec² B ज्ञात करने के लिए इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: cos² A sec² B = (3/4) × (11/2) = 33/8 = 4.125 ≈ 4

व्याख्या

BODMAS नियमों का उपयोग करके व्यंजक को सरल बनाने पर:

सबसे पहले, पहले कोष्ठक के अंदर के पदों को सरल करें: [3/7 का 4 1/5 ÷ 18/25 + 17/24]

मिश्रित भिन्न को बदलें: 4 1/5 = 21/5

"का" संक्रिया को हल करें: 3/7 का 21/5 = 3/7 × 21/5 = 9/5

भाग संक्रिया करें: 9/5 ÷ 18/25 = 9/5 × 25/18 = 5/2

एक सामान्य हर ज्ञात करके जोड़ करें: 5/2 + 17/24 = 60/24 + 17/24 = 77/24

अगला, दूसरे कोष्ठक के अंदर के पदों को सरल करें: [289/16 ÷ (3/4 + 2/3)²]

कोष्ठक के अंदर योग ज्ञात करें: 3/4 + 2/3 = (9 + 8)/12 = 17/12

योग का वर्ग करें: (17/12)² = 289/144

भाग संक्रिया करें: 289/16 ÷ 289/144 = 289/16 × 144/289 = 9

अब, A ज्ञात करने के लिए दो सरल किए गए कोष्ठक मानों को गुणा करें: A = 77/24 का 9 = 77/24 × 9 = 231/8

8A का मान ज्ञात करें: 8A = 8 × 231/8 = 231

व्याख्या

मान लीजिए A के लिए वस्तु का क्रय मूल्य x है।

A वस्तु को B को 20% लाभ पर बेचता है, इसलिए B के लिए क्रय मूल्य 1.20x है।

B इसे C को 10% लाभ पर बेचता है, इसलिए B के लिए विक्रय मूल्य है: 1.20x × 1.10 = 1.32x

चूंकि B को C से Rs. 1,32,000 प्राप्त होते हैं: 1.32x = 1,32,000 x = 1,00,000

इस प्रकार, A के लिए वस्तु का क्रय मूल्य Rs. 1,00,000 है।

यदि C वही वस्तु सीधे A से खरीदता, तो वह B से जो खर्च करता उससे 5% कम खर्च करता: A के लिए नया विक्रय मूल्य = 1,32,000 × (1 - 0.05) = 1,32,000 - 6,600 = Rs. 1,25,400

इस परिदृश्य में A को जो लाभ हुआ होता वह है: लाभ = A के लिए नया विक्रय मूल्य - A के लिए क्रय मूल्य लाभ = 1,25,400 - 1,00,000 = Rs. 25,400

व्याख्या

मान लीजिए कि यात्री ट्रेन द्वारा यात्रा पूरी करने में लिया गया समय t है। गति = दूरी / समय सूत्र का उपयोग करके, यात्री ट्रेन की गति 1176 / t किमी/घंटा है।

एक्सप्रेस ट्रेन को यात्री ट्रेन की तुलना में 5 घंटे कम लगते हैं, जिससे इसकी यात्रा का समय t - 5 घंटे हो जाता है, और इसकी गति 1176 / (t - 5) किमी/घंटा हो जाती है।

यह देखते हुए कि यात्री ट्रेन की औसत गति एक्सप्रेस ट्रेन की तुलना में 70 किमी/घंटा कम है:

1176 / (t - 5) - 1176 / t = 70

सभी पदों को 70 से विभाजित करके समीकरण को सरल बनाना:

16.8 / (t - 5) - 16.8 / t = 1

16.8 × (t - (t - 5)) = t(t - 5)

16.8 × 5 = t² - 5t

84 = t² - 5t

t² - 5t - 84 = 0

इस द्विघात समीकरण को गुणनखंडित करने पर:

(t - 12)(t + 7) = 0

चूंकि समय एक धनात्मक मान होना चाहिए, इसलिए t = 12 है।

व्याख्या

किसी भी चार पदों के अनुपात a : b :: c : d में, चरम पदों का गुणनफल मध्य पदों के गुणनफल के बराबर होता है, जिससे संबंध a × d = b × c प्राप्त होता है।

पहले अनुपात 2145 : x :: 3003 : 42 से: x = (2145 × 42) / 3003

42 और 3003 को 21 से विभाजित करके सरल करने पर, हमें प्राप्त होता है: x = (2145 × 2) / 143 x = 15 × 2 = 30

अब, x = 30 को दूसरे अनुपात x : 2508 :: y : 11704 में प्रतिस्थापित करने पर: y = (30 × 11704) / 2508

30 और 2508 को 6 से विभाजित करने पर: y = (5 × 11704) / 418

चूंकि 11704 / 418 = 28: y = 5 × 28 = 140

व्याख्या

कोई संख्या 6 से विभाज्य होती है यदि वह एक साथ 2 और 3 दोनों से विभाज्य हो।

संख्या 3,49,722 का अंतिम अंक 2 है, जो एक सम संख्या है, जिसका अर्थ है कि यह 2 से विभाज्य है।

3 से विभाज्यता का परीक्षण करने के लिए, 3,49,722 के अंकों का योग इस प्रकार निकाला जाता है: 3 + 4 + 9 + 7 + 2 + 2 = 27

चूंकि योग 27, 3 से विभाज्य है, इसलिए संख्या स्वयं 3 से विभाज्य है।

क्योंकि 3,49,722, 2 और 3 दोनों के लिए विभाज्यता नियमों को संतुष्ट करती है, इसलिए यह 6 से विभाज्य है।

व्याख्या

व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, हम P के लिए एक उपयुक्त मान चुनकर मान प्रतिस्थापन विधि का उपयोग कर सकते हैं। मान लीजिए P = 30°।

P = 30° के लिए, हमारे पास sin 30° = ½ और cos 30° = (√3)/2 है।

पहले पद को कोष्ठक के अंदर प्रतिस्थापित करने पर: (√3 + 2 sin P) / (1 - 2 cos P) = (√3 + 2(½)) / (1 - 2((√3)/2)) = (√3 + 1) / (1 - √3)

दूसरे पद को कोष्ठक के अंदर प्रतिस्थापित करने पर: (1 + 2 cos P) / (√3 - 2 sin P) = (1 + 2((√3)/2)) / (√3 - 2(½)) = (1 + √3) / (√3 - 1)

चूंकि (√3 + 1) / (1 - √3) = - (1 + √3) / (√3 - 1), मान लीजिए x = (1 + √3) / (√3 - 1)।

दिया गया व्यंजक बन जाता है: (-x)³ + x³ = -x³ + x³ = 0

व्याख्या

हम प्रतिस्थापन का उपयोग करके दिए गए बीजीय व्यंजक को सरल बना सकते हैं।

माना x = a⁽1/6). इस प्रतिस्थापन का उपयोग करके, हम a की प्रत्येक भिन्नात्मक घात को x की पूर्णांक घात के रूप में व्यक्त कर सकते हैं: a⁽1/6) = x a⁽1/3) = (a⁽1/6))² = x² a⁽1/2) = (a⁽1/6))³ = x³ a⁽2/3) = (a⁽1/6))⁴ = x⁴

अब, इन पदों को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करें: (x⁴ + 2x³ + 3x² + 2x + 1)(x² - 2x + 1) - x³(x³ - 2)

हम कोष्ठकों में बीजीय पदों को सरल बना सकते हैं: x⁴ + 2x³ + 3x² + 2x + 1 = (x² + x + 1)² x² - 2x + 1 = (x - 1)²

दो गुणनखंडित पदों को एक साथ गुणा करने पर: (x² + x + 1)²(x - 1)² = [ (x - 1)(x² + x + 1) ]²

मानक बीजीय घन सर्वसमिका (x - 1)(x² + x + 1) = x³ - 1 का उपयोग करके, हमें प्राप्त होता है: [ x³ - 1 ]² = x⁶ - 2x³ + 1

अब, इस परिणाम को मुख्य व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करें: (x⁶ - 2x³ + 1) - x³(x³ - 2) = x⁶ - 2x³ + 1 - x⁶ + 2x³ = 1

चूंकि पूरा व्यंजक 1 के एक स्थिर मान तक सरल हो जाता है, यह a के मान से पूरी तरह स्वतंत्र है। इसलिए, a = 7 के लिए, मान 1 ही रहता है।

व्याख्या

मान लीजिए एक पुरुष द्वारा किया गया दैनिक कार्य M है और एक महिला द्वारा किया गया दैनिक कार्य W है। चूँकि कुल कार्य स्थिर रहता है, कार्य समीकरणों को इस प्रकार बराबर किया जा सकता है:

(5M + 8W) × 34 = (4M + 18W) × 28

दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर:

(5M + 8W) × 17 = (4M + 18W) × 14

85M + 136W = 56M + 252W

85M - 56M = 252W - 136W

29M = 116W

M = 4W

यह दक्षता संबंध देता है जहाँ 1 पुरुष 4 महिलाओं के बराबर है।

महिलाओं के दैनिक कार्य के संदर्भ में कुल कार्य व्यक्त किया गया है:

कुल कार्य = (5 × 4W + 8W) × 34 = 28W × 34 = 952W

3 पुरुष और 5 महिलाओं की दक्षता है:

3M + 5W = 3 × 4W + 5W = 17W

3 पुरुष और 5 महिलाओं द्वारा कार्य पूरा करने के लिए आवश्यक दिनों की संख्या है:

दिन = कुल कार्य ÷ दक्षता = 952W ÷ 17W = 56 दिन

व्याख्या

दिया गया है Sec A = √11/3, हम Cos A ज्ञात कर सकते हैं: Cos A = 3/√11

सर्वसमिका Sin²A = 1 - Cos²A का प्रयोग करके: Sin²A = 1 - (3/√11)² = 1 - 9/11 = 2/11

Sin²A और Cos²A से, हम शेष मान निर्धारित कर सकते हैं: Cosec²A = 1/Sin²A = 11/2 Tan²A = Sin²A/Cos²A = (2/11)/(9/11) = 2/9 Cot²A = 1/Tan²A = 9/2

दिए गए व्यंजक के अंश और हर में इन मानों को प्रतिस्थापित करें: अंश = Cosec²A + Tan²A = 11/2 + 2/9 = (99 + 4)/18 = 103/18 हर = Sin²A + Cot²A = 2/11 + 9/2 = (4 + 99)/22 = 103/22

अंश को हर से विभाजित करें: (103/18) / (103/22) = (103/18) × (22/103) = 22/18 = 11/9

व्याख्या

माना a = 0.1, b = 0.2, और c = 0.3।

व्यंजक के अंश में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: a³ + b³ + c³ = (0.1)³ + (0.2)³ + (0.3)³ = 0.001 + 0.008 + 0.027 = 0.036

अंश में अगला पद इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: 3 × (0.005 + 0.016 + 0.027) = 3 × 0.048 = 0.144 यहाँ, कोष्ठकों के अंदर के पद दर्शाते हैं: 0.005 = a²(b + c) = (0.1)² × (0.2 + 0.3) 0.016 = b²(c + a) = (0.2)² × (0.3 + 0.1) 0.027 = c²(a + b) = (0.3)² × (0.1 + 0.2)

अंश का अंतिम पद है: 0.036 = 6abc = 6 × 0.1 × 0.2 × 0.3

इन पदों को मिलाने पर एक पूर्ण घन का मानक बीजगणितीय विस्तार प्राप्त होता है: अंश = a³ + b³ + c³ + 3a²(b + c) + 3b²(c + a) + 3c²(a + b) + 6abc = (a + b + c)³ अंश = (0.1 + 0.2 + 0.3)³ = (0.6)³ = 0.216

अब, हर में मानों को प्रतिस्थापित करने पर: a² + b² + c² = (0.1)² + (0.2)² + (0.3)² = 0.01 + 0.04 + 0.09 = 0.14 शेष पद हैं: 0.04 = 2ab = 2 × 0.1 × 0.2 0.06 = 2ca = 2 × 0.3 × 0.1 0.12 = 2bc = 2 × 0.2 × 0.3

इनको मिलाने पर एक पूर्ण वर्ग का मानक विस्तार प्राप्त होता है: हर = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca = (a + b + c)² हर = (0.1 + 0.2 + 0.3)² = (0.6)² = 0.36

इस प्रकार, A का मान है: A = (a + b + c)³ / (a + b + c)² = a + b + c = 0.6

A के इस मान का उपयोग करके, हम 60A की गणना करते हैं: 60A = 60 × 0.6 = 36

व्याख्या

मान लीजिए व्यक्ति, उसके पिता (दादाजी), और उसके पुत्र (पोते) की वर्तमान आयु क्रमशः M, F, और S है।

दिए गए वर्तमान अनुपातों से, हम M के पदों में F और S को व्यक्त कर सकते हैं: F = (5/4)M S = (1/6)M

चार साल पहले, उनकी आयु M - 4, F - 4, और S - 4 थी। चार साल पहले व्यक्ति की आयु का उसके पिता की आयु से अनुपात का उपयोग करके: (M - 4) / (F - 4) = 11/14

इस समीकरण में F = (5/4)M को प्रतिस्थापित करें: (M - 4) / ((5/4)M - 4) = 11/14 14(M - 4) = 11((5/4)M - 4) 14M - 56 = (55/4)M - 44 14M - (55/4)M = 56 - 44 (1/4)M = 12 M = 48

अब, दादाजी और पोते की वर्तमान आयु की गणना करें: दादाजी की वर्तमान आयु (F) = (5/4) × 48 = 60 पोते की वर्तमान आयु (S) = (1/6) × 48 = 8

हम इसे चार साल पहले के दूसरे अनुपात से सत्यापित कर सकते हैं: (M - 4) / (S - 4) = (48 - 4) / (8 - 4) = 44 / 4 = 11/1, जो दी गई शर्त से मेल खाता है।

अब से 12 वर्ष बाद उनकी आयु का अनुपात ज्ञात करने के लिए: 12 वर्ष बाद दादाजी की आयु = 60 + 12 = 72 12 वर्ष बाद पोते की आयु = 8 + 12 = 20

वांछित अनुपात है: 72 / 20 = 18 / 5, या 18:5।