एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2011 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

d₁% और d₂% की दो क्रमिक छूटों के समतुल्य एकल छूट की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

समतुल्य छूट = d₁ + d₂ - (d₁ × d₂ / 100)

d₁ = 25 और d₂ = 5 के दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

समतुल्य छूट = 25 + 5 - (25 × 5 / 100) समतुल्य छूट = 30 - 1.25 समतुल्य छूट = 28.75%

व्याख्या

क्रय मूल्य (CP), सूची मूल्य (LP), छूट प्रतिशत और लाभ प्रतिशत के बीच संबंध सीधे सूत्र द्वारा दिया गया है:

LP / CP = (100 + लाभ%) / (100 - छूट%)

दिए गए लाभ% = 8% और छूट% = 10% के मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

LP / CP = (100 + 8) / (100 - 10) LP / CP = 108 / 90 LP / CP = 6 / 5

सूची मूल्य निर्धारित करने के लिए क्रय मूल्य में प्रतिशत वृद्धि है:

प्रतिशत वृद्धि = (LP - CP) / CP × 100 प्रतिशत वृद्धि = (6 - 5) / 5 × 100 प्रतिशत वृद्धि = 1/5 × 100 = 20%

व्याख्या

आइए दोनों पात्रों में दूध के अनुपात पर मिश्रण के नियम (alligation) का प्रयोग करें।

पात्र A में दूध का अंश 4/7 है। पात्र B में दूध का अंश 2/5 है। अंतिम मिश्रण में दूध का आवश्यक अंश 1/2 है।

मिश्रण के नियम का सूत्र लागू करने पर: पात्र A और पात्र B का अनुपात = |B में दूध - आवश्यक दूध| : |आवश्यक दूध - A में दूध| अनुपात = |2/5 - 1/2| : |1/2 - 4/7| अनुपात = |4/10 - 5/10| : |7/14 - 8/14| अनुपात = 1/10 : 1/14

भिन्नों को सरल बनाने के लिए दोनों पदों को 70 से गुणा करने पर: अनुपात = 7 : 5

व्याख्या

मान लीजिए सुमित और प्रकाश की वर्तमान आयु क्रमशः 2x और 3x है।

उनकी वर्तमान आयु में अंतर 6 वर्ष दिया गया है: 3x - 2x = 6 x = 6

इस प्रकार, सुमित की वर्तमान आयु 2 × 6 = 12 वर्ष है, और प्रकाश की वर्तमान आयु 3 × 6 = 18 वर्ष है।

6 वर्ष बाद, सुमित की आयु 12 + 6 = 18 वर्ष होगी, और प्रकाश की आयु 18 + 6 = 24 वर्ष होगी।

6 वर्ष बाद उनकी आयु का अनुपात 18:24 है, जो सरल होकर 3:4 हो जाता है।

व्याख्या

मिश्रण का विक्रय मूल्य ₹9 प्रति लीटर है, जिस पर 20% का लाभ होता है।

मिश्रण का क्रय मूल्य = विक्रय मूल्य / (1 + लाभ दर) = 9 / 1.2 = ₹7.5 प्रति लीटर।

शुद्ध दूध का क्रय मूल्य ₹10 प्रति लीटर है, और पानी का क्रय मूल्य ₹0 प्रति लीटर माना जाता है।

मिश्रण के नियम के अनुसार: दूध और पानी का अनुपात = (औसत क्रय मूल्य - पानी का क्रय मूल्य) : (शुद्ध दूध का क्रय मूल्य - औसत क्रय मूल्य) दूध और पानी का अनुपात = (7.5 - 0) : (10 - 7.5) = 7.5 : 2.5 = 3 : 1।

व्याख्या

जब दो पुरुषों को दो नए व्यक्तियों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, तो 8 पुरुषों की औसत आयु 3 वर्ष बढ़ जाती है। इसका मतलब है कि समूह की कुल आयु में वृद्धि होती है: 8 × 3 = 24 वर्ष

प्रतिस्थापित किए गए दो पुरुषों की आयु का योग है: 30 + 34 = 64 वर्ष

कुल आयु में 24 वर्ष की शुद्ध वृद्धि करने के लिए, दो नए व्यक्तियों की आयु का योग होना चाहिए: 64 + 24 = 88 वर्ष

इसलिए, दो नए व्यक्तियों की औसत आयु है: 88 / 2 = 44 वर्ष

व्याख्या

10 सदस्यों के परिवार की वर्तमान आयु का योग है: 10 × 20 = 200 वर्ष

चूंकि सबसे छोटे सदस्य की आयु 10 वर्ष है, इसलिए जन्म 10 साल पहले हुआ था। जन्म से ठीक पहले, परिवार में 9 सदस्य थे।

जन्म से ठीक पहले इन 9 सदस्यों की आयु का योग ज्ञात करने के लिए, हम सबसे छोटे सदस्य की आयु और अन्य 9 सदस्यों में से प्रत्येक की 10 साल की उम्र को वर्तमान कुल से घटाते हैं: 200 - 10 - (9 × 10) = 100 वर्ष

सबसे छोटे सदस्य के जन्म से ठीक पहले 9 सदस्यों की औसत आयु थी: 100 / 9 = 11 1/9 वर्ष (लगभग 11.11 वर्ष)

व्याख्या

किसी भी समांतर श्रेणी का औसत, जिसमें क्रमागत सम संख्याएँ शामिल हैं, अनुक्रम के मध्य बिंदु के बराबर होता है। चार क्रमागत सम संख्याओं के लिए, 15 का औसत दो मध्य पदों के बीच का सटीक मध्य बिंदु है।

चूंकि क्रमागत सम संख्याओं में 2 का अंतर होता है, इसलिए दो मध्य संख्याएँ 15 - 1 = 14 और 15 + 1 = 16 होनी चाहिए।

इस प्रकार, चार क्रमागत सम संख्याएँ 12, 14, 16 और 18 हैं। इस अनुक्रम में दूसरी सबसे बड़ी संख्या 16 है।

व्याख्या

प्रत्येक कुर्सी का विक्रय मूल्य (SP) ₹ 120 है।

25% लाभ पर बेची गई पहली कुर्सी का क्रय मूल्य (CP₁) इस प्रकार गणना की जाती है: CP₁ = SP / (1 + लाभ/100) = 120 / 1.25 = 96

25% हानि पर बेची गई दूसरी कुर्सी का क्रय मूल्य (CP₂) इस प्रकार गणना की जाती है: CP₂ = SP / (1 - हानि/100) = 120 / 0.75 = 160

कुल क्रय मूल्य = CP₁ + CP₂ = 96 + 160 = 256 कुल विक्रय मूल्य = 120 + 120 = 240

रुपये में कुल नुकसान = कुल क्रय मूल्य - कुल विक्रय मूल्य = 256 - 240 = 16

व्याख्या

मान लीजिए पुस्तक का क्रय मूल्य x है।

पुस्तक को 10% की हानि पर बेचने का अर्थ है कि प्रारंभिक विक्रय मूल्य क्रय मूल्य का 90% है, जो कि 0.9x है।

पुस्तक को 10% के लाभ पर बेचने का अर्थ है कि नया विक्रय मूल्य क्रय मूल्य का 110% है, जो कि 1.1x है।

इन दोनों विक्रय मूल्यों के बीच का अंतर ₹108 है। इससे संबंध प्राप्त होता है:

1.1x - 0.9x = 108

0.2x = 108

x = 108 ÷ 0.2

x = 540

पुस्तक का क्रय मूल्य ₹540 है।

व्याख्या

माना A के लिए साइकिल का क्रय मूल्य x है।

चूंकि A साइकिल को B को 5% लाभ पर बेचता है, B के लिए क्रय मूल्य है: x × (1 + 5/100) = 1.05x

B फिर साइकिल को C को 10% लाभ पर बेचता है। B के लिए विक्रय मूल्य, जो C द्वारा भुगतान की गई कीमत है, है: 1.05x × (1 + 10/100) = 1.05x × 1.10 = 1.155x

हमें दिया गया है कि C साइकिल के लिए ₹ 2310 का भुगतान करता है। इसलिए, हम समीकरण स्थापित कर सकते हैं: 1.155x = 2310

x के लिए हल करना: x = 2310 / 1.155 x = 2310000 / 1155 x = 2000

व्याख्या

मान लीजिए संख्या के दो भाग x और y हैं।

पहली शर्त के अनुसार, पहले भाग का 80% दूसरे भाग के 60% से 3 अधिक है: 0.8x = 0.6y + 3 8x - 6y = 30 4x - 3y = 15 ... (1)

दूसरी शर्त के अनुसार, दूसरे भाग का 80% पहले भाग के 90% से 6 अधिक है: 0.8y = 0.9x + 6 8y - 9x = 60 9x - 8y = -60 ... (2)

रैखिक समीकरणों की इस प्रणाली को हल करने के लिए, समीकरण (1) को 8 से और समीकरण (2) को 3 से गुणा करें: 32x - 24y = 120 27x - 24y = -180

दूसरे संशोधित समीकरण को पहले से घटाने पर: (32x - 24y) - (27x - 24y) = 120 - (-180) 5x = 300 x = 60

समीकरण (1) में x = 60 रखने पर: 4(60) - 3y = 15 240 - 3y = 15 3y = 225 y = 75

मूल संख्या दो भागों का योग है: x + y = 60 + 75 = 135

व्याख्या

मान लीजिए कि एक रुपये में प्राप्त गेहूं की मूल मात्रा Q ग्राम है।

चूंकि गेहूं के मूल्य में 10% की कमी की गई है, इसलिए नया मूल्य मूल मूल्य का 90% (या 9/10) है।

स्थिर व्यय के लिए प्राप्त गेहूं की मात्रा मूल्य के व्युत्क्रमानुपाती होती है। इसलिए, एक रुपये में प्राप्त नई मात्रा मूल मात्रा Q का 10/9 है।

नई मात्रा और मूल मात्रा के बीच का अंतर 50 ग्राम दिया गया है: (10/9) × Q - Q = 50 Q × (10/9 - 1) = 50 Q × (1/9) = 50 Q = 450

व्याख्या

उसी दिन सुबह 6:00 बजे से दोपहर 4:30 बजे तक की यात्रा की कुल अवधि की गणना इसे दो अंतरालों में विभाजित करके की जाती है। सुबह 6:00 बजे से दोपहर 12:00 बजे तक 6 घंटे हैं, और दोपहर 12:00 बजे से दोपहर 4:30 बजे तक 4.5 घंटे हैं। इन मानों को जोड़ने पर कुल यात्रा समय 10.5 घंटे आता है।

मानक सूत्र का उपयोग करके:

दूरी = गति × समय

सूत्र में 40 किमी/घंटा की गति और 10.5 घंटे के कुल समय को प्रतिस्थापित करें:

दूरी = 40 किमी/घंटा × 10.5 घंटे = 420 किमी

व्याख्या

औसत गति ज्ञात करने के लिए, हम तय की गई कुल दूरी की गणना करते हैं और उसे कुल समय से विभाजित करते हैं। कुल दूरी (6 घंटे * 5 किमी/घंटा) + (3 घंटे * 6 किमी/घंटा) = 30 किमी + 18 किमी = 48 किमी है, और कुल समय 6 घंटे + 3 घंटे = 9 घंटे है। इससे 48/9 = 16/3 = 5 1/3 किमी/घंटा की औसत गति प्राप्त होती है, जो विकल्प B से मेल खाती है।

व्याख्या

साधारण ब्याज प्रत्येक वर्ष स्थिर रहता है। दी गई अवधियों में राशि का अंतर उस समय के दौरान संचित ब्याज का प्रतिनिधित्व करता है।

समय का अंतर = 4 - 2.5 = 1.5 वर्ष 1.5 वर्षों के लिए ब्याज = 1067.20 - 1012 = 55.20 प्रति वर्ष ब्याज = 55.20 / 1.5 = 36.80

2.5 वर्षों के लिए ब्याज = 36.80 × 2.5 = 92

मूलधन (P) = 2.5 वर्षों में राशि - 2.5 वर्षों के लिए ब्याज = 1012 - 92 = 920

ब्याज की दर (R) = (प्रति वर्ष ब्याज / मूलधन) × 100 R = (36.80 / 920) × 100 = 4%

व्याख्या

वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज के तहत, तीसरे वर्ष के अंत में राशि दूसरे वर्ष के अंत में राशि और तीसरे वर्ष के दौरान अर्जित ब्याज का योग होती है।

मान लीजिए दो वर्षों के बाद राशि A₂ = 1440 है और तीन वर्षों के बाद राशि A₃ = 1728 है।

लगातार वर्षों के बीच संबंध है: A₃ = A₂ × (1 + r/100)

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें: 1728 = 1440 × (1 + r/100)

दोनों पक्षों को 1440 से विभाजित करें: 1.2 = 1 + r/100

दोनों पक्षों से 1 घटाएं: 0.2 = r/100

100 से गुणा करें: r = 20

व्याख्या

मान लीजिए आयताकार डिब्बे के आयाम x, 2x, और 3x हैं।

एक घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl)

आयामों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 2(x × 2x + 2x × 3x + 3x × x) = 88 2(2x² + 6x² + 3x²) = 88 2(11x²) = 88 22x² = 88 x² = 4 x = 2

इस प्रकार, डिब्बे के आयाम 2 सेमी, 4 सेमी और 6 सेमी हैं।

आयताकार डिब्बे का आयतन निम्न सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है: आयतन = l × b × h आयतन = 2 × 4 × 6 = 48 cm³

व्याख्या

त्रिभुज ABC में, मान लीजिए आधार BC = 6√3 सेमी है। दो आधार कोण कोण B = 30° और कोण C = 60° हैं। तीसरा कोण A 180° - (30° + 60°) = 90° होना चाहिए, जो ABC को A पर एक समकोण त्रिभुज बनाता है।

त्रिकोणमितीय अनुपातों का उपयोग करके, अन्य दो भुजाएँ हैं: AB = BC × sin(60°) = 6√3 × (√3 / 2) = 9 सेमी AC = BC × sin(30°) = 6√3 × ½ = 3√3 सेमी

त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल या तो दो लम्बों या आधार और ऊँचाई (h) का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है: क्षेत्रफल = ½ × AB × AC = ½ × BC × h

ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करना: 9 × 3√3 = 6√3 × h h = (27√3) / (6√3) = 4.5 सेमी

व्याख्या

त्रिज्या 'a' वाले गोले का आयतन है: V = 4/3 π a³

त्रिज्या 'a' और ऊँचाई 'h' वाले एक लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन है: V = 1/3 π a² h

चूंकि दोनों आयतन बराबर हैं, हम उन्हें एक दूसरे के बराबर रखते हैं: 1/3 π a² h = 4/3 π a³

दोनों पक्षों को 1/3 π a² से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: h = 4a

व्याख्या

बेलन का आयतन V = πr²h द्वारा दिया जाता है।

माना त्रिज्या r = 5x और ऊँचाई h = 7x है।

दिए गए आयतन को प्रतिस्थापित करने पर: 550 = (22/7) × (5x)² × 7x 550 = (22/7) × 25x² × 7x 550 = 22 × 25x³ 550 = 550x³ x³ = 1 x = 1

इससे त्रिज्या r = 5 सेमी और ऊँचाई h = 7 सेमी प्राप्त होती है।

बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल निम्न द्वारा दिया जाता है: CSA = 2πrh CSA = 2 × (22/7) × 5 × 7 CSA = 220 वर्ग सेमी।

व्याख्या

s भुजा लंबाई वाले एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल इस प्रकार दिया जाता है: क्षेत्रफल = (√3/4)s²

यदि भुजा की लंबाई 2 बढ़ा दी जाती है, तो नई भुजा की लंबाई s + 2 हो जाती है। नया क्षेत्रफल है: नया क्षेत्रफल = (√3/4)(s + 2)²

क्षेत्रफल में वृद्धि नए क्षेत्रफल और मूल क्षेत्रफल के बीच का अंतर है: वृद्धि = (√3/4)(s + 2)² - (√3/4)s² वृद्धि = (√3/4)((s + 2)² - s²) वृद्धि = (√3/4)(s² + 4s + 4 - s²) वृद्धि = (√3/4)(4s + 4) वृद्धि = √3(s + 1)

यह देखते हुए कि क्षेत्रफल में वृद्धि 3 + √3 है, हम दोनों व्यंजकों को बराबर कर सकते हैं: √3(s + 1) = 3 + √3

समीकरण के दोनों पक्षों को √3 से विभाजित करने पर: s + 1 = (3 + √3) / √3 s + 1 = √3 + 1 s = √3

त्रिभुज की प्रत्येक भुजा की मूल लंबाई √3 इकाई है।

व्याख्या

मान लीजिए पृथ्वी का व्यास dₑ है और चंद्रमा का व्यास dₘ है। दी गई शर्त के अनुसार, dₘ = dₑ / 4, जिसका अर्थ है dₑ / dₘ = 4।

व्यास d वाले गोले का आयतन सूत्र V = (π/6)d³ द्वारा दिया जाता है। चूँकि पृथ्वी और चंद्रमा दोनों को गोलाकार माना जाता है, उनके आयतन उनके संबंधित व्यासों के घन के सीधे आनुपातिक होते हैं।

पृथ्वी (Vₑ) के आयतन का चंद्रमा (Vₘ) के आयतन से अनुपात इस प्रकार गणना की जाती है: Vₑ / Vₘ = (dₑ / dₘ)³ = 4³ = 64

इससे 64 : 1 का अनुपात प्राप्त होता है।

व्याख्या

x = k, जहाँ k एक स्थिरांक है, के रूप का एक रैखिक समीकरण उन बिंदुओं के बिंदु पथ का प्रतिनिधित्व करता है जिनकी x-निर्देशांक समान होती है। कार्तीय निर्देशांक तल पर, बिंदुओं का यह समुच्चय एक सीधी रेखा बनाता है जो ऊर्ध्वाधर दिशा में अनंत तक फैली हुई है। चूँकि इस रेखा पर प्रत्येक बिंदु ऊर्ध्वाधर अक्ष से k इकाई की एक स्थिर लंबवत दूरी पर है, परिणामी रेखा y-अक्ष के समानांतर होती है।

व्याख्या

दिए गए व्यंजक के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका है: a³ + b³ + c³ - 3abc = ½(a + b + c)[(a - b)² + (b - c)² + (c - a)²]

दिए गए मान a = 34, b = 33, और c = 33: a + b + c = 34 + 33 + 33 = 100 a - b = 34 - 33 = 1 b - c = 33 - 33 = 0 c - a = 33 - 34 = -1

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: a³ + b³ + c³ - 3abc = ½ × 100 × [1² + 0² + (-1)²] = ½ × 100 × [1 + 0 + 1] = ½ × 100 × 2 = 100

व्याख्या

हमें समीकरण दिया गया है: (a² + b²)³ = (a³ + b³)²

बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके दोनों पक्षों का विस्तार करने पर: a⁶ + 3a⁴b² + 3a²b⁴ + b⁶ = a⁶ + 2a³b³ + b⁶

दोनों पक्षों से a⁶ और b⁶ घटाने पर समीकरण सरल हो जाता है: 3a⁴b² + 3a²b⁴ = 2a³b³

पूरे समीकरण को a²b² से विभाजित करने पर (चूंकि a और b आवश्यक व्यंजक के हर को संतुष्ट करने के लिए अशून्य हैं): 3a² + 3b² = 2ab

दोनों पक्षों को ab से विभाजित करने पर: 3(a/b + b/a) = 2

3 से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: a/b + b/a = 2/3

व्याख्या

दिए गए व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, हम अंश और हर दोनों को x² से विभाजित करते हैं:

(x⁴ + 3x³ + 5x² + 3x + 1) ÷ x² = (x² + 1/x²) + 3(x + 1/x) + 5

(x⁴ + 1) ÷ x² = x² + 1/x²

हमें दिया गया है कि: x + 1/x = 5

इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: (x + 1/x)² = 5² x² + 2 + 1/x² = 25 x² + 1/x² = 23

इन मानों को सरलीकृत भिन्न में प्रतिस्थापित करने पर: अंश = 23 + 3(5) + 5 = 43 हर = 23

इससे अंतिम सरलीकृत मान 43/23 प्राप्त होता है।

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज में, केंद्रक, अंतःकेंद्र, परिकेंद्र और लंबकेंद्र तभी संपाती होते हैं जब त्रिभुज समबाहु हो। जब ये चारों केंद्र एक ही बिंदु पर संपाती होते हैं, तो किसी भी शीर्ष से इस बिंदु से होकर विपरीत भुजा तक खींचा गया रेखाखंड माध्यिका, शीर्षलंब, कोण समद्विभाजक और लंब समद्विभाजक के रूप में एक साथ कार्य करता है।

यदि शीर्ष A से भुजा BC पर डाला गया शीर्षलंब भी माध्यिका है, तो यह त्रिभुज को दो समकोण त्रिभुजों, ABD और ACD में विभाजित करता है, जहाँ D, BC का मध्य बिंदु है। चूँकि BD = CD, AD एक उभयनिष्ठ भुजा है, और कोण ADB और ADC दोनों 90° हैं, तो त्रिभुज ABD और ACD भुजा-कोण-भुजा समरूपता (Side-Angle-Side symmetry) द्वारा सर्वांगसम (congruent) हैं। यह सर्वांगसमता सीधे तौर पर यह दर्शाती है कि भुजाएँ AB और AC बराबर हैं।

अन्य शीर्षों से शीर्षलंबों और माध्यिकाओं पर इसी ज्यामितीय सिद्धांत को लागू करने से यह स्थापित होता है कि BC = AB और AC = BC। चूँकि AB = BC = AC, त्रिभुज की तीनों भुजाएँ बराबर लंबाई की हैं, जो एक समबाहु त्रिभुज को परिभाषित करता है।

व्याख्या

∠ABC और ∠ACB के आंतरिक समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदन बिंदु O, △ABC का अंतःकेंद्र है। अंतःकेंद्र द्वारा बनाया गया कोण ∠BOC, शीर्ष कोण ∠BAC से मानक संबंध द्वारा संबंधित है:

∠BOC = 90° + ½ ∠BAC

दिए गए मान ∠BOC = 110° को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

110° = 90° + ½ ∠BAC

दोनों पक्षों से 90° घटाने पर:

½ ∠BAC = 20°

2 से गुणा करने पर:

∠BAC = 40°

व्याख्या

चूंकि AC त्रिभुज ABC के परिवृत्त का व्यास है, इसलिए परिधि पर अर्धवृत्त द्वारा बनाया गया कोण समकोण होता है। ∠ABC = 90°

दिया गया है कि ∠CBE = 50°, हम ∠ABE की गणना कर सकते हैं: ∠ABE = ∠ABC - ∠CBE = 90° - 50° = 40°

वृत्त की परिधि पर समान चाप AE द्वारा बनाए गए कोण बराबर होते हैं। इसलिए: ∠ACE = ∠ABE = 40°

चूंकि जीवा ED व्यास AC के समानांतर है, और EC एक तिर्यक रेखा है जो उन्हें प्रतिच्छेद करती है, एकांतर अंतः कोण बराबर होते हैं: ∠DEC = ∠ACE = 40°

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज ABC में, अंतःकेंद्र O पर ∠B और ∠C के कोण समद्विभाजकों द्वारा बनाया गया कोण सूत्र द्वारा दिया जाता है: ∠BOC = 90° + ∠BAC/2

सूत्र में ∠BOC का दिया गया मान रखने पर: 110° = 90° + ∠BAC/2

दोनों पक्षों से 90° घटाने पर: 20° = ∠BAC/2

2 से गुणा करने पर: ∠BAC = 40°

व्याख्या

मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके, कोष्ठकों के अंदर के पदों को निम्नानुसार सरल किया जा सकता है:

1/cos θ = sec θ 1/cot θ = tan θ

इनको दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

(sec θ + tan θ)(sec θ - tan θ)

बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)(a - b) = a² - b² लागू करने पर:

sec² θ - tan² θ

मूल पाइथागोरस त्रिकोणमितीय सर्वसमिका के अनुसार, sec² θ - tan² θ = 1। इसलिए, व्यंजक का संख्यात्मक मान 1 है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण के बाएँ पक्ष के अंश और हर को cos θ से विभाजित करने पर:

(tan θ + 1) / (tan θ - 1) = 5/4

योगांतरापात (componendo and dividendo) नियम लागू करने पर:

((tan θ + 1) + (tan θ - 1)) / ((tan θ + 1) - (tan θ - 1)) = (5 + 4) / (5 - 4)

2 tan θ / 2 = 9 / 1

tan θ = 9

आवश्यक व्यंजक में tan θ का मान प्रतिस्थापित करने पर:

(tan² θ + 1) / (tan² θ - 1) = (9² + 1) / (9² - 1)

(81 + 1) / (81 - 1) = 82 / 80 = 41 / 40

व्याख्या

मान लीजिए P जमीन पर अवलोकन बिंदु है, और G जमीन पर वह बिंदु है जिसके ठीक नीचे दोनों हवाई जहाज हैं। मान लीजिए A निचला हवाई जहाज है जो 3125 मीटर की ऊंचाई पर है, और B ऊपरी हवाई जहाज है जो A के ठीक ऊपर है।

समकोण त्रिभुज PGA में, निचले हवाई जहाज A का उन्नयन कोण 30 डिग्री है। tan 30° = AG / PG 1/√3 = 3125 / PG PG = 3125 × √3 मीटर

समकोण त्रिभुज PGB में, ऊपरी हवाई जहाज B का उन्नयन कोण 60 डिग्री है। tan 60° = BG / PG √3 = BG / (3125 × √3) BG = 3125 × 3 = 9375 मीटर

उस क्षण में दोनों हवाई जहाजों के बीच की दूरी उनकी ऊंचाइयों का अंतर है: BG - AG = 9375 - 3125 = 6250 मीटर