एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2011 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

मान लीजिए बड़ी मूल संख्या x है और छोटी मूल संख्या y है। चूँकि दोनों संख्याएँ असमान हैं, हमारे पास x > y है।

छोटी संख्या का आधा y/2 है। इसे x और y दोनों में से घटाने पर दो परिणामी संख्याएँ प्राप्त होती हैं: x - y/2 और y - y/2 = y/2

चूँकि x > y है, परिणामी संख्या x - y/2, y/2 से बड़ी है। दी गई शर्त के अनुसार, यह बड़ी परिणामी संख्या छोटी परिणामी संख्या का पाँच गुना है: x - y/2 = 5 × (y/2)

x के लिए हल करने पर: x = 5y/2 + y/2 x = 6y/2 x = 3y

बड़ी मूल संख्या और छोटी मूल संख्या का अनुपात है: x/y = 3/1

व्याख्या

वर्गमूल फलन f(x) = √x सभी गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए एक सख्ती से वर्धमान फलन है। इसका मतलब है कि यदि x, y से छोटा है, तो √x, √y से छोटा होगा। चूँकि 2, 3 से छोटा है, जो 4 से छोटा है, यह सीधे तौर पर अनुसरण करता है कि √2, √3 से छोटा है, जो √4 से छोटा है। पदों का मूल्यांकन करने पर, √2 लगभग 1.414 है, √3 लगभग 1.732 है, और √4 ठीक 2 है, जो √4 को सबसे बड़ा मान बनाता है।

व्याख्या

माना कि विवाह के समय A की आयु x वर्ष थी। चूँकि A का विवाह 8 वर्ष पूर्व हुआ था, A की वर्तमान आयु x + 8 वर्ष है।

प्रश्न के अनुसार, A की वर्तमान आयु विवाह के समय की आयु की 1.25 गुना है। इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: x + 8 = 1.25x 8 = 0.25x x = 32

अतः, A की वर्तमान आयु 32 + 8 = 40 वर्ष है।

A के पुत्र की आयु A की वर्तमान आयु की 1/10 गुना है: पुत्र की आयु = (1/10) × 40 = 4 वर्ष।

व्याख्या

एक पूर्णांक K दो शर्तों को पूरा करता है। पहली, जब K को 3 से विभाजित किया जाता है तो शेषफल 1 बचता है, जिसका अर्थ है कि K को किसी पूर्णांक n के लिए 3n + 1 के रूप में लिखा जा सकता है। दूसरी, K + 1 को 5 से विभाजित करने पर शेषफल 0 बचता है, जिसका अर्थ है कि K + 1, 5 का गुणज है।

जब K = 64 है, तो 64 को 3 से विभाजित करने पर भागफल 21 और शेषफल 1 आता है, जो पहली शर्त को पूरा करता है। इसके अलावा, K + 1, 65 हो जाता है, जो ठीक 5 से विभाज्य है (5 × 13 = 65) और शेषफल 0 बचता है, जो दूसरी शर्त को पूरा करता है।

व्याख्या

प्रत्येक झुंड में जानवरों की अधिकतम संख्या ज्ञात करने के लिए, हम गायों और भेड़ों की संख्या का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करते हैं।

संख्याओं के अभाज्य गुणनखंडन हैं: 945 = 3³ × 5 × 7 2475 = 3² × 5² × 11

सामान्य अभाज्य गुणनखंडों की निम्नतम घात लेने पर: HCF(945, 2475) = 3² × 5 = 45

यह प्रत्येक झुंड में जानवरों की अधिकतम संख्या 45 देता है।

आवश्यक झुंडों की कुल संख्या गायों और भेड़ों के झुंडों का योग है: गाय के झुंडों की संख्या = 945 ÷ 45 = 21 भेड़ों के झुंडों की संख्या = 2475 ÷ 45 = 55 कुल झुंड = 21 + 55 = 76

व्याख्या

n भुजाओं वाले एक सम बहुभुज का आंतरिक कोण सूत्र I = 180° - 360°/n द्वारा दिया जाता है।

माना दो बहुभुजों की भुजाओं की संख्या 5x और 4x है, जहाँ x एक धनात्मक पूर्णांक है।

चूंकि अधिक भुजाओं वाले बहुभुज का आंतरिक कोण बड़ा होता है, इसलिए उनके आंतरिक कोणों के बीच का अंतर है: (180° - 360° / 5x) - (180° - 360° / 4x) = 6° 360° / 4x - 360° / 5x = 6°

पूरे समीकरण को 6 से विभाजित करने पर: 60 / 4x - 60 / 5x = 1 15 / x - 12 / x = 1 3 / x = 1 x = 3

x का मान रखने पर, दो बहुभुजों के लिए भुजाओं की संख्या है: 5 × 3 = 15 4 × 3 = 12

व्याख्या

भुजा की लंबाई 'a' वाले एक सम चतुष्फलक का आयतन V सूत्र द्वारा दिया जाता है:

V = a³ / (6√2)

दिए गए भुजा की लंबाई a = 12 सेमी को सूत्र में रखने पर:

V = 12³ / (6√2) V = 1728 / (6√2) V = 288 / √2 V = 144√2 घन सेमी.

व्याख्या

ऊँचाई h और सिरों की त्रिज्याएँ R और r वाले एक छिन्नक (truncated) शंकु के आकार के बाल्टी का आयतन V निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

V = (1/3) × π × h × (R² + r² + R × r)

सूत्र में दिए गए मानों h = 45 सेमी, R = 28 सेमी, r = 7 सेमी, और π = 22/7 को प्रतिस्थापित करने पर:

V = (1/3) × (22/7) × 45 × (28² + 7² + 28 × 7)

V = 15 × (22/7) × (784 + 49 + 196)

V = 15 × (22/7) × 1029

V = 15 × 22 × 147

V = 330 × 147

V = 48510 घन सेंटीमीटर

व्याख्या

माना शंकु, अर्धगोला और बेलन के आधार की उभयनिष्ठ त्रिज्या r है। चूँकि अर्धगोला समान आधार पर खड़ा है, इसकी ऊँचाई इसकी त्रिज्या, r के बराबर है। चूँकि तीनों ठोसों की ऊँचाई समान है, इसलिए शंकु और बेलन की ऊँचाई h भी r के बराबर होनी चाहिए।

तीनों ठोसों के आयतन के सूत्र हैं: शंकु का आयतन = ⅓πr²h = ⅓πr³ अर्धगोले का आयतन = ⅔πr³ बेलन का आयतन = πr²h = πr³

उनके आयतन का अनुपात लेने पर: अनुपात = ⅓πr³ : ⅔πr³ : πr³

प्रत्येक पद को πr³ से विभाजित करके सरल करने पर प्राप्त होता है: अनुपात = ⅓ : ⅔ : 1

पूर्णांक मान प्राप्त करने के लिए प्रत्येक पद को 3 से गुणा करने पर प्राप्त होता है: अनुपात = 1 : 2 : 3

व्याख्या

वर्ग का क्षेत्रफल = s² = 484 वर्ग सेमी वर्ग की भुजा s = √484 = 22 सेमी

तार की लंबाई वर्ग की परिधि के बराबर है: परिधि = 4 × s = 4 × 22 = 88 सेमी

जब उसी तार को एक वृत्त में मोड़ा जाता है, तो उसकी परिधि तार की लंबाई के बराबर होती है: परिधि = 2πr = 88 सेमी 2 × (22/7) × r = 88 r = 14 सेमी

वृत्त का क्षेत्रफल है: क्षेत्रफल = πr² = (22/7) × 14 × 14 = 616 वर्ग सेमी

व्याख्या

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा दिया जाता है:

क्षेत्रफल = आधार × शीर्षलंब

मान लीजिए बड़ी भुजा 5x है और छोटी भुजा 4x है। बड़ी भुजा पर शीर्षलंब 20 इकाई है। मान लीजिए छोटी भुजा पर शीर्षलंब h है।

दोनों भुजाओं से गणना किए गए क्षेत्रफल को बराबर करने पर:

बड़ी भुजा × बड़ी भुजा पर शीर्षलंब = छोटी भुजा × छोटी भुजा पर शीर्षलंब 5x × 20 = 4x × h

दोनों पक्षों को x से विभाजित करने पर:

5 × 20 = 4 × h 100 = 4 × h h = 25 इकाई

व्याख्या

तंबू बनाने के लिए आवश्यक कैनवास का कुल क्षेत्रफल बेलनाकार भाग के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और शंक्वाकार भाग के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का योग है।

आधार की त्रिज्या, r = व्यास / 2 = 105/2 मीटर = 52.5 मीटर बेलनाकार भाग की ऊंचाई, h = 3 मीटर शंक्वाकार भाग की तिर्यक ऊंचाई, l = 63 मीटर

बेलनाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh शंक्वाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl

कैनवास का कुल क्षेत्रफल = 2πrh + πrl = πr(2h + l)

सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: कुल क्षेत्रफल = (22/7) × (105/2) × (2 × 3 + 63) कुल क्षेत्रफल = 11 × 15 × (6 + 63) कुल क्षेत्रफल = 165 × 69 कुल क्षेत्रफल = 11385 वर्ग मीटर

व्याख्या

A और B द्वारा मिलकर लिया गया समय ज्ञात करने के लिए, कुल कार्य को 12, 8 और 6 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) मान लें, जो कि 24 इकाई है।

B और C की दैनिक कार्य दर 24 / 12 = 2 इकाई है। C और A की दैनिक कार्य दर 24 / 8 = 3 इकाई है। A, B और C की एक साथ दैनिक कार्य दर 24 / 6 = 4 इकाई है।

A की व्यक्तिगत कार्य दर ज्ञात करने के लिए, कुल दर में से B और C की दर घटाएं: 4 - 2 = 2 इकाई।

B की व्यक्तिगत कार्य दर ज्ञात करने के लिए, कुल दर में से C और A की दर घटाएं: 4 - 3 = 1 इकाई।

A और B की संयुक्त दैनिक कार्य दर है: 2 + 1 = 3 इकाई।

A और B को मिलकर कुल कार्य पूरा करने में लगने वाले दिनों की संख्या है: 24 / 3 = 8 दिन।

व्याख्या

किसी कार्य को पूरा करने में लगने वाला समय व्यक्ति की दक्षता के व्युत्क्रमानुपाती होता है।

मान लीजिए A की दक्षता 100 है। चूँकि B, A से 50% अधिक कुशल है, इसलिए B की दक्षता 150 है।

A और B की दक्षता का अनुपात है: A की दक्षता : B की दक्षता = 100 : 150 = 2 : 3

कार्य को पूरा करने में A और B द्वारा लिए गए समय का अनुपात उनकी दक्षता के अनुपात का व्युत्क्रम है: A द्वारा लिया गया समय : B द्वारा लिया गया समय = 3 : 2

यह देखते हुए कि A को 9 दिन लगते हैं, B द्वारा लिया गया समय (T) निम्न अनुपात का उपयोग करके गणना की जाती है: 3/2 = 9/T T = 9 × 2 / 3 = 6 दिन

व्याख्या

d₁% और d₂% की दो क्रमिक छूटों के बराबर एकल छूट की गणना सूत्र d₁ + d₂ - (d₁ × d₂)/100 का उपयोग करके की जाती है। दिए गए मानों d₁ = 10 और d₂ = 20 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर 10 + 20 - (10 × 20)/100 प्राप्त होता है, जो 30 - 2 = 28% तक सरल हो जाता है।

व्याख्या

जब x% की क्रमिक वृद्धि और y% की छूट दी जाती है, तो शुद्ध लाभ या हानि प्रतिशत क्रमिक प्रतिशत सूत्र द्वारा दिया जाता है:

शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = x + y + (xy)/100

इस मामले में, वृद्धि प्रतिशत x +40 है और छूट प्रतिशत y -20 है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = 40 - 20 + (40 × (-20))/100 शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = 20 - 800/100 शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = 20 - 8 शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = 12

चूंकि अंतिम मान धनात्मक है, विक्रेता को 12% का लाभ होता है।

व्याख्या

दिया गया है कि a का 120% b के 80% के बराबर है: 120/100 × a = 80/100 × b 1.2 a = 0.8 b 3 a = 2 b b/a = 3/2

(b + a)/(b - a) का मान ज्ञात करने के लिए, हम अंश और हर दोनों को a से विभाजित कर सकते हैं: ((b/a) + 1) / ((b/a) - 1)

b/a = 3/2 का मान व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: ((3/2) + 1) / ((3/2) - 1) = (5/2) / (1/2) = 5

व्याख्या

20 लीटर के पहले मिश्रण में, स्पिरिट और पानी का अनुपात 3:7 है। कुल भाग = 3 + 7 = 10 स्पिरिट की मात्रा = (3/10) × 20 = 6 लीटर पानी की मात्रा = (7/10) × 20 = 14 लीटर

36 लीटर के दूसरे मिश्रण में, स्पिरिट और पानी का अनुपात 7:5 है। कुल भाग = 7 + 5 = 12 स्पिरिट की मात्रा = (7/12) × 36 = 21 लीटर पानी की मात्रा = (5/12) × 36 = 15 लीटर

जब दोनों मिश्रणों को मिलाया जाता है: स्पिरिट की कुल मात्रा = 6 + 21 = 27 लीटर पानी की कुल मात्रा = 14 + 15 = 29 लीटर

नए मिश्रण में स्पिरिट और पानी का अनुपात 27:29 है।

व्याख्या

n संख्याओं x₁, x₂, ..., xₙ का औसत x̄ निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: x̄ = (∑ xᵢ) / n, जहाँ योग i = 1 से n तक चलता है।

दोनों पक्षों को n से गुणा करने पर प्रेक्षणों का योग प्राप्त होता है: ∑ xᵢ = n x̄

हम माध्य से विचलनों के योग का मान ज्ञात करना चाहते हैं: ∑ (xᵢ - x̄) = ∑ xᵢ - ∑ x̄

चूंकि x̄ एक स्थिर मान है जो सूचकांक i से स्वतंत्र है, इसे n बार जोड़ने पर प्राप्त होता है: ∑ x̄ = n x̄

इन संबंधों को व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर: ∑ (xᵢ - x̄) = n x̄ - n x̄ = 0

व्याख्या

नई औसत की गणना सीधे संख्याओं के योग में शुद्ध परिवर्तन ज्ञात करके और उसे संख्याओं की कुल संख्या से विभाजित करके की जा सकती है।

नई औसत का सूत्र है: नई औसत = पुरानी औसत + (योग में शुद्ध परिवर्तन / कुल संख्याएँ)

छह संख्याओं के योग में शुद्ध परिवर्तन है: (3 × 2) + (3 × -4) = 6 - 12 = -6

औसत में परिवर्तन है: -6 / 6 = -1

इस प्रकार, नई औसत है: 32 - 1 = 31

व्याख्या

वस्तु का क्रय मूल्य 'a' द्वारा और विक्रय मूल्य 'b' द्वारा दर्शाया गया है।

चूंकि b, a का 200% है, तो संबंध इस प्रकार है: b = (200/100) × a = 2a

वस्तु पर किया गया लाभ है: लाभ = विक्रय मूल्य - क्रय मूल्य = b - a = 2a - a = a

क्रय मूल्य पर लाभ का प्रतिशत निम्न सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है: लाभ प्रतिशत = (लाभ / क्रय मूल्य) × 100 लाभ प्रतिशत = (a / a) × 100 = 100%

व्याख्या

माना 1 आम का क्रय मूल्य ₹1 है।

400 आमों का क्रय मूल्य ₹400 है।

चूंकि 400 आमों का विक्रय मूल्य 320 आमों के क्रय मूल्य के बराबर है, इसलिए 400 आमों का विक्रय मूल्य ₹320 है।

हानि = क्रय मूल्य - विक्रय मूल्य = 400 - 320 = 80

हानि प्रतिशत = (हानि / क्रय मूल्य) × 100 = (80 / 400) × 100 = 20%

व्याख्या

मान लीजिए कि मूल ऑर्डर में ब्रांड B की x शर्ट थीं। मान लीजिए कि ब्रांड B की प्रत्येक शर्ट की कीमत p है। चूंकि ब्रांड A की प्रत्येक शर्ट की कीमत ब्रांड B से दोगुनी है, इसलिए ब्रांड A की प्रत्येक शर्ट की कीमत 2p है।

बिल की मूल लागत है: मूल बिल = 4 × 2p + x × p = (8 + x)p

जब दोनों ब्रांडों की संख्या आपस में बदल दी जाती है, तो ग्राहक को ब्रांड A की x शर्ट और ब्रांड B की 4 शर्ट मिलती हैं। बिल की नई लागत है: नया बिल = x × 2p + 4 × p = (2x + 4)p

समस्या बताती है कि बदली हुई संख्या से बिल में 40% की वृद्धि हुई: नया बिल = 1.4 × मूल बिल (2x + 4)p = 1.4 × (8 + x)p

दोनों पक्षों को p से विभाजित करने पर: 2x + 4 = 11.2 + 1.4x 0.6x = 7.2 x = 12

मूल ऑर्डर में ब्रांड A की 4 शर्ट और ब्रांड B की 12 शर्ट थीं। मूल ऑर्डर में ब्रांड A शर्ट का ब्रांड B शर्ट से अनुपात है: 4 : 12 = 1 : 3

व्याख्या

घोल का प्रारंभिक आयतन 6 लीटर है, जिसमें 30% अल्कोहल और इसलिए 70% पानी है।

पानी का आयतन = 6 लीटर का 70% = 0.70 × 6 = 4.2 लीटर

जब 1 लीटर शुद्ध अल्कोहल मिलाया जाता है, तो घोल का नया कुल आयतन हो जाता है: 6 + 1 = 7 लीटर

चूंकि केवल अल्कोहल मिलाया गया है, पानी की मात्रा 4.2 लीटर अपरिवर्तित रहती है।

नए घोल में पानी का प्रतिशत है: (पानी का आयतन / नया कुल आयतन) × 100 = (4.2 / 7) × 100 = 60%

व्याख्या

माना धारा की गति c किमी/घंटा है। चूँकि शांत जल में नाव की गति धारा की गति की चार गुना है, इसलिए शांत जल में नाव की गति 4c किमी/घंटा है।

नाव की धारा के साथ गति है: v_d = 4c + c = 5c किमी/घंटा

नाव की धारा के विपरीत गति है: v_u = 4c - c = 3c किमी/घंटा

30 किमी धारा के साथ और 30 किमी धारा के विपरीत की पूरी यात्रा में लिया गया कुल समय 8 घंटे है। दूरी, गति और समय से संबंधित सूत्र है: दूरी / धारा के साथ गति + दूरी / धारा के विपरीत गति = कुल समय

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 30 / 5c + 30 / 3c = 8 6 / c + 10 / c = 8 16 / c = 8 c = 16 / 8 = 2

व्याख्या

किसी मूलधन P पर 2 वर्ष की अवधि के लिए r% वार्षिक ब्याज दर पर चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच का अंतर निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

D = P × (r/100)²

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ D = 1 और r = 4:

1 = P × (4/100)²

भिन्न को सरल करने पर:

1 = P × (1/25)²

1 = P × (1/625)

P = 625

व्याख्या

दिए गए समीकरण x² + 2 = 2x को हम इस प्रकार लिख सकते हैं: x² - 2x + 2 = 0

हमें व्यंजक x⁴ - x³ + x² + 2 का मान ज्ञात करना है। हम लक्ष्य व्यंजक का दिए गए द्विघात समीकरण से बहुपद विभाजन कर सकते हैं:

x⁴ - x³ + x² + 2 = x²(x² - 2x + 2) + x(x² - 2x + 2) + 1(x² - 2x + 2) x⁴ - x³ + x² + 2 = (x² - 2x + 2)(x² + x + 1)

चूंकि x² - 2x + 2 = 0 है, हम इस मान को गुणनखंडित व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं:

0 × (x² + x + 1) = 0

व्याख्या

मान लीजिए 2ˣ = 3ʸ = 6⁻ᶻ = k, जहाँ k एक स्थिरांक है।

इस संबंध से, हम प्रत्येक आधार को k के पदों में व्यक्त कर सकते हैं: 2 = k⁽1/x) 3 = k⁽1/y) 6⁻¹ = k⁽1/z), जो 6 = k⁽-1/z) को सरल बनाता है।

हम आधारों के बीच गणितीय संबंध जानते हैं: 2 × 3 = 6

k के घातीय पदों को प्रतिस्थापित करना: k⁽1/x) × k⁽1/y) = k⁽-1/z)

बाईं ओर घातों को जोड़ने के लिए घातांक के नियमों का उपयोग करना: k⁽1/x + 1/y) = k⁽-1/z)

दोनों पक्षों से घातांकों को बराबर करके: 1/x + 1/y = -1/z

दोनों पक्षों में 1/z जोड़ने पर: 1/x + 1/y + 1/z = 0

व्याख्या

दिया गया समीकरण है: 1/(x + y) = 1/x + 1/y

दाहिनी ओर लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेने पर, समीकरण बन जाता है: 1/(x + y) = (x + y)/xy

पदों को तिरछा गुणा करने पर: xy = (x + y)² xy = x² + 2xy + y²

दोनों पक्षों से xy घटाकर पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर प्राप्त होता है: x² + xy + y² = 0

घनों के अंतर के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका है: x³ - y³ = (x - y)(x² + xy + y²)

x² + xy + y² = 0 के मान को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर: x³ - y³ = (x - y) × 0 = 0

व्याख्या

दिया गया समीकरण है a² + b² + c² = ab + bc + ca। दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने और पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

2a² + 2b² + 2c² - 2ab - 2bc - 2ca = 0

इसे इस प्रकार समूहीकृत किया जा सकता है:

(a² - 2ab + b²) + (b² - 2bc + c²) + (c² - 2ca + a²) = 0

(a - b)² + (b - c)² + (c - a)² = 0

चूंकि a, b, और c वास्तविक संख्याएँ हैं, किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग गैर-ऋणात्मक होता है। गैर-ऋणात्मक पदों के योग के शून्य होने के लिए, प्रत्येक पद शून्य के बराबर होना चाहिए:

a - b = 0, जिसका अर्थ है a = b b - c = 0, जिसका अर्थ है b = c c - a = 0, जिसका अर्थ है c = a

इससे शर्त a = b = c प्राप्त होती है।

व्यंजक (a + c)/b में a = b और c = b प्रतिस्थापित करने पर:

(b + b)/b = 2b/b = 2

व्याख्या

दिए गए समीकरण हैं: x/a = b - c y/b = c - a z/c = a - b

मान लीजिए P = x/a, Q = y/b, और R = z/c।

इन चरों का योग करने पर प्राप्त होता है: P + Q + R = (b - c) + (c - a) + (a - b) = 0

बीजीय सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, जहाँ यदि P + Q + R = 0 है, तो P³ + Q³ + R³ = 3PQR होता है।

सर्वसमिका में चरों को वापस प्रतिस्थापित करने पर: (x/a)³ + (y/b)³ + (z/c)³ = 3(x/a)(y/b)(z/c) (x/a)³ + (y/b)³ + (z/c)³ = 3xyz/abc

व्याख्या

मान लीजिए चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD बिंदु O पर समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं। इससे चार समकोण त्रिभुज बनते हैं: AOB, BOC, COD और DOA।

त्रिभुज AOB और COD पर पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर: AB² = OA² + OB² CD² = OC² + OD²

इन दो समीकरणों को जोड़ने पर: AB² + CD² = OA² + OB² + OC² + OD²

इसी प्रकार, त्रिभुज BOC और DOA पर पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर: BC² = OB² + OC² DA² = OA² + OD²

इन दो समीकरणों को जोड़ने पर: BC² + DA² = OA² + OB² + OC² + OD²

दोनों योगों को बराबर करने पर प्राप्त होता है: AB² + CD² = BC² + DA²

व्याख्या

मान लीजिए व्यास AB के सिरों A और B पर खींची गई स्पर्शरेखाएँ C पर स्पर्शरेखा को क्रमशः Q और R बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती हैं। इस प्रकार, Q बिंदु A पर स्पर्शरेखा पर स्थित है, और R बिंदु B पर स्पर्शरेखा पर स्थित है।

QA और QC, बिंदु Q से वृत्त (जिसका केंद्र P है) पर खींची गई स्पर्शरेखाएँ हैं। चूँकि वृत्त के केंद्र को बाह्य बिंदु से जोड़ने वाला रेखाखंड, केंद्र पर स्पर्श बिंदुओं द्वारा बनाए गए कोण को समद्विभाजित करता है, इसलिए हमारे पास है: ∠APQ = ∠CPQ = ½ ∠APC

इसी प्रकार, RB और RC, बिंदु R से वृत्त पर खींची गई स्पर्शरेखाएँ हैं। इस प्रकार, रेखाखंड PR, ∠BPC को समद्विभाजित करता है: ∠BPR = ∠CPR = ½ ∠BPC

चूँकि AB वृत्त का व्यास है, बिंदु A, P और B एक सीधी रेखा पर स्थित हैं। इसलिए, सीधी रेखा पर कोणों का योग 180° होता है: ∠APC + ∠BPC = 180°

इस समीकरण में समद्विभाजित कोणों को प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है: 2 ∠CPQ + 2 ∠CPR = 180° 2 (∠CPQ + ∠CPR) = 180° ∠CPQ + ∠CPR = 90°

चूँकि ∠QPR, ∠CPQ और ∠CPR का योग है, इसलिए हमारे पास है: ∠QPR = 90°

व्याख्या

चूंकि O, त्रिभुज ABC का अंतःकेंद्र है, रेखा OB, ∠ABC का कोण समद्विभाजक है, जिसका अर्थ है ∠OBD = ½ ∠ABC।

यह दिया गया है कि OD ⊥ BC, जिसका अर्थ है ∠ODB = 90°।

समकोण त्रिभुज OBD में, आंतरिक कोणों का योग 180° होता है: ∠BOD + ∠OBD + ∠ODB = 180°

ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 15° + ∠OBD + 90° = 180° ∠OBD = 75°

कोण समद्विभाजक संबंध का उपयोग करके: ∠ABC = 2 × ∠OBD = 2 × 75° = 150°

व्याख्या

एकांतर खंड प्रमेय के अनुसार, स्पर्शरेखा और संपर्क बिंदु से गुजरने वाली जीवा के बीच का कोण, एकांतर खंड में जीवा द्वारा बनाए गए कोण के बराबर होता है।

यहाँ, PAT, A पर स्पर्शरेखा है और AB जीवा है। स्पर्शरेखा AT और जीवा AB के बीच का कोण ∠BAT, एकांतर खंड में जीवा AB द्वारा बनाए गए कोण ∠ACB के बराबर है। ∠ACB = ∠BAT = 75°

त्रिभुज ABC में, सभी आंतरिक कोणों का योग 180° होता है: ∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180°

दिए गए मान ∠BAC = 45° और व्युत्पन्न मान ∠ACB = 75° को प्रतिस्थापित करने पर: ∠ABC + 45° + 75° = 180° ∠ABC + 120° = 180° ∠ABC = 60°

व्याख्या

त्रिभुज ABD में मध्य-बिंदु प्रमेय लागू करने पर, रेखाखंड PX भुजाओं AB और AD के मध्य-बिंदुओं को जोड़ता है। इसलिए, PX, BD के समानांतर है और इसकी लंबाई BD की लंबाई की आधी है: PX = ½ BD

इसी प्रकार, त्रिभुज CBD में मध्य-बिंदु प्रमेय लागू करने पर, रेखाखंड QY भुजाओं BC और CD के मध्य-बिंदुओं को जोड़ता है। इसलिए, QY, BD के समानांतर है और इसकी लंबाई BD की लंबाई की आधी है: QY = ½ BD

चूंकि PX और QY दोनों BD के आधे के बराबर हैं, वे एक दूसरे के बराबर हैं, जिसका अर्थ है PX = QY। इससे सीधे PX : QY = 1 : 1 का अनुपात प्राप्त होता है।

व्याख्या

माना x = 2 cos θ - sin θ = 1/√2 और y = 2 sin θ + cos θ।

इन दोनों व्यंजकों का वर्ग करके जोड़ने पर: x² + y² = (2 cos θ - sin θ)² + (2 sin θ + cos θ)² x² + y² = (4 cos² θ - 4 cos θ sin θ + sin² θ) + (4 sin² θ + 4 sin θ cos θ + cos² θ) x² + y² = 5 (cos² θ + sin² θ)

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos² θ + sin² θ = 1 का उपयोग करके: x² + y² = 5

इस संबंध में x = 1/√2 का प्रतिस्थापन करने पर: (1/√2)² + y² = 5 ½ + y² = 5 y² = 5 - ½ y² = 9/2 y = ±3/√2

चूंकि θ पहले चतुर्थांश में है (0° < θ < 90°), इसलिए sin θ और cos θ दोनों धनात्मक हैं। इससे योग y = 2 sin θ + cos θ सख्ती से धनात्मक हो जाता है। y = 3/√2

व्याख्या

दिए गए समीकरण पर योगांतरापात (componendo and dividendo) लागू करने पर: (sin θ + cos θ) / (sin θ - cos θ) = 3 / 1

((sin θ + cos θ) + (sin θ - cos θ)) / ((sin θ + cos θ) - (sin θ - cos θ)) = (3 + 1) / (3 - 1)

2 sin θ / 2 cos θ = 4 / 2

tan θ = 2

मूल्यांकन किए जाने वाले व्यंजक को इस प्रकार गुणनखंडित किया जा सकता है: sin⁴ θ - cos⁴ θ = (sin² θ - cos² θ)(sin² θ + cos² θ)

चूंकि sin² θ + cos² θ = 1, यह सरल हो जाता है: sin⁴ θ - cos⁴ θ = sin² θ - cos² θ

हम इसे cos² θ को गुणनखंडित करके tan θ के पदों में व्यक्त कर सकते हैं: sin² θ - cos² θ = cos² θ (tan² θ - 1)

सर्वसमिका cos² θ = 1 / sec² θ = 1 / (1 + tan² θ) का उपयोग करके: sin² θ - cos² θ = (tan² θ - 1) / (1 + tan² θ)

व्यंजक में tan θ = 2 का मान रखने पर: (2² - 1) / (1 + 2²) = (4 - 1) / (1 + 4) = 3/5

व्याख्या

दिया गया व्यंजक 1° से 89° तक के कोणों के स्पर्शज्या (tangent) के गुणनफल को दर्शाता है: P = tan 1° · tan 2° · tan 3° · ... · tan 89°

पूरक कोणों के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करके: tan(90° - θ) = cot θ

गुणनफल के दूसरे आधे भाग के पदों को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है: tan 89° = tan(90° - 1°) = cot 1° tan 88° = tan(90° - 2°) = cot 2° ... tan 46° = tan(90° - 44°) = cot 44°

अब, गुणनफल के प्रारंभ और अंत से पदों का युग्मन करने पर: P = (tan 1° · tan 89°) · (tan 2° · tan 88°) · ... · (tan 44° · tan 46°) · tan 45°

कोटिज्या (cotangent) के समतुल्यों को प्रतिस्थापित करने पर: P = (tan 1° · cot 1°) · (tan 2° · cot 2°) · ... · (tan 44° · cot 44°) · tan 45°

चूंकि tan θ · cot θ = 1 और tan 45° = 1, प्रत्येक युग्मित पद का मान 1 होता है: P = 1 · 1 · ... · 1 · 1 = 1

व्याख्या

माना प्रत्येक खंभे की ऊँचाई h है। माना सड़क पर वह बिंदु 60° के उन्नयन कोण वाले खंभे से x दूरी पर है। परिणामस्वरूप, 30° के उन्नयन कोण वाले दूसरे खंभे से इस बिंदु की दूरी 100 - x है।

पहले खंभे के लिए त्रिकोणमितीय अनुपात का उपयोग करते हुए: tan(60°) = h / x √3 = h / x x = h / √3

दूसरे खंभे के लिए त्रिकोणमितीय अनुपात का उपयोग करते हुए: tan(30°) = h / (100 - x) 1 / √3 = h / (100 - x) 100 - x = h√3

इस समीकरण में x का मान रखने पर: 100 - h / √3 = h√3 100 = h√3 + h / √3 100 = h(3 + 1) / √3 100 = 4h / √3 h = 25√3

व्याख्या

मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec²θ - tan²θ = 1 का उपयोग करके, हम sec²θ को 1 + tan²θ के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।

इस व्यंजक को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: (1 + tan²θ) + tan²θ = 7 1 + 2 tan²θ = 7 2 tan²θ = 6 tan²θ = 3

अंतराल 0° ≤ θ ≤ 90° के लिए दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, जहाँ स्पर्शज्या फलन गैर-ऋणात्मक होता है: tan θ = √3

चूंकि tan 60° = √3 है, इसलिए हमें θ = 60° प्राप्त होता है।

व्याख्या

मेडिकल स्ट्रीम में उत्तीर्ण छात्रों का प्रतिशत निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है:

उत्तीर्ण छात्रों का प्रतिशत = (उत्तीर्ण छात्रों की संख्या / उपस्थित छात्रों की संख्या) × 100

तालिका से, वर्ष 2003 में, मेडिकल छात्रों की संख्या जो उपस्थित हुए वे 384 हैं और उत्तीर्ण छात्रों की संख्या 326 है। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

प्रतिशत = (326 / 384) × 100 ≈ 84.89%

निकटतम पूर्ण प्रतिशत तक पूर्णांकित करने पर 85% प्राप्त होता है।

व्याख्या

2004 में उपस्थित कुल छात्रों का वाणिज्य धारा में उपस्थित छात्रों का प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, हम पहले 2004 में सभी धाराओं में उपस्थित छात्रों की कुल संख्या की गणना करते हैं।

2004 में कुल उपस्थित छात्र = इंजीनियरिंग + चिकित्सा + प्रबंधन + वाणिज्य 2004 में कुल उपस्थित छात्र = 310 + 395 + 106 + 1180 = 1991

2004 में वाणिज्य धारा में उपस्थित छात्रों की संख्या 1180 है।

आवश्यक प्रतिशत की गणना इस प्रकार की जाती है: प्रतिशत = (वाणिज्य में छात्र / कुल छात्र) × 100 प्रतिशत = (1180 / 1991) × 100 ≈ 59.27%

इस मान को निकटतम दशमल तक पूर्णांकित करने पर लगभग 59.3% प्राप्त होता है।

व्याख्या

सभी धाराओं में उपस्थित छात्रों की न्यूनतम संख्या वाले वर्ष का पता लगाने के लिए, हम प्रत्येक वर्ष के लिए कुल उपस्थित छात्रों की गणना करते हैं:

2001 में, कुल 324 + 469 + 96 + 1467 = 2356 है।

2002 में, कुल 386 + 430 + 74 + 1246 = 2136 है।

2003 में, कुल 284 + 384 + 124 + 1387 = 2179 है।

2004 में, कुल 310 + 395 + 106 + 1180 = 1991 है।

2005 में, कुल 426 + 424 + 92 + 1562 = 2504 है।

2006 में, कुल 380 + 465 + 78 + 1374 = 2297 है।

वर्ष 2004 में सभी धाराओं में उपस्थित छात्रों की कुल संख्या 1991 सबसे कम दर्ज की गई।

व्याख्या

दिए गए व्यंजकों का मूल्यांकन करते हुए, जहाँ हाइफ़न को दशमलव बिंदु के रूप में समझा गया है:

(0.1)² = 0.01 √(0.0121) = 0.11 0.12 पहले से ही दशमलव रूप में है √(0.0004) = 0.02

इन मानों की तुलना करने पर: 0.12 > 0.11 > 0.02 > 0.01

यह दर्शाता है कि 0.12 इनमें सबसे बड़ा मान है।

व्याख्या

किसी भी पूर्णांक n ≥ 4 के लिए, फैक्टोरियल n! 8 से विभाज्य होता है क्योंकि इसमें 2 और 4 दोनों गुणनखंड के रूप में होते हैं। उदाहरण के लिए, 4! = 24, जो 8 का गुणज है। इसलिए, 4! से 100! तक के सभी पद 8 से विभाजित होने पर 0 शेषफल देते हैं।

8 से विभाजित होने पर संपूर्ण योग का शेषफल केवल पहले तीन पदों के योग पर निर्भर करता है, जो 1!, 2!, और 3! हैं:

1! + 2! + 3! = 1 + 2 + 6 = 9

9 को 8 से विभाजित करने पर शेषफल 1 प्राप्त होता है।

व्याख्या

3 की घातों का अंतिम अंक 4 के चक्र में दोहराता है। 3¹ का अंतिम अंक 3 है 3² का अंतिम अंक 9 है 3³ का अंतिम अंक 7 है 3⁴ का अंतिम अंक 1 है

किसी भी घातांक n के लिए, 3ⁿ का इकाई अंक n को 4 से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करके निर्धारित किया जाता है। चूँकि 40, 4 से पूरी तरह विभाज्य है (40 = 4 × 10, शेषफल 0 है), 3⁴⁰ का इकाई अंक चक्र में चौथे स्थान के अनुरूप है, जो कि 1 है।

इसे घातांकीय गुणों का उपयोग करके सीधे भी गणना की जा सकती है: 3⁴⁰ = (3⁴)¹⁰ = 81¹⁰

1 में समाप्त होने वाली किसी भी धनात्मक पूर्णांक को किसी भी घात तक बढ़ाने पर हमेशा एक ऐसी संख्या प्राप्त होगी जिसका अंतिम अंक 1 होगा।

व्याख्या

कुल कार्य स्थिर है और पुरुषों की संख्या और दिनों की संख्या के गुणनफल द्वारा दिया जाता है। सूत्र का उपयोग करके:

M₁ × D₁ = M₂ × D₂

जहाँ M₁ पुरुषों की प्रारंभिक संख्या है, D₁ दिनों की प्रारंभिक संख्या है, M₂ पुरुषों की अंतिम संख्या है, और D₂ दिनों की अंतिम संख्या है।

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करना: M₁ = 30 पुरुष D₁ = 18 दिन M₂ = 30 + 6 = 36 पुरुष

30 × 18 = 36 × D₂ 540 = 36 × D₂ D₂ = 540 ÷ 36 D₂ = 15 दिन

व्याख्या

कुल कार्य को A, B और C द्वारा लिए गए व्यक्तिगत समय के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) के रूप में माना जा सकता है।

LCM(12, 24, 36) = 72 इकाई

प्रत्येक व्यक्ति की दैनिक दक्षता है: A की दक्षता = 72 ÷ 12 = 6 इकाई/दिन B की दक्षता = 72 ÷ 24 = 3 इकाई/दिन C की दक्षता = 72 ÷ 36 = 2 इकाई/दिन

A, B और C के एक साथ मिलकर कार्य करने की संयुक्त दक्षता है: 6 + 3 + 2 = 11 इकाई/दिन

उनके द्वारा एक साथ मिलकर कार्य पूरा करने में लगने वाले दिनों की संख्या है: 72 ÷ 11 = 6 6/11 दिन

व्याख्या

अंकित मूल्य (MP), विक्रय मूल्य (SP), और छूट दर (D) के बीच संबंध का सूत्र है:

MP = SP ÷ (1 - D)

सूत्र में SP = 740 और D = 7.5% (या 0.075) रखने पर:

MP = 740 ÷ (1 - 0.075) MP = 740 ÷ 0.925 MP = 740000 ÷ 925 MP = 800