ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। भुजा BC को E तक इस प्रकार बढ़ाया जाता है कि BC = CE। AE को मिलाएँ जो भुजा CD को P पर प्रतिच्छेद करती है। त्रिभुज ABE का क्षेत्रफल है:
● सही
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उत्तर: (C) = समांतर चतुर्भुज ABCD के क्षेत्रफल के बराबर
व्याख्या
समांतर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई = BC × h, जहाँ h समांतर रेखाओं AD और BE के बीच की लंबवत दूरी है।
चूंकि BC को E तक इस प्रकार बढ़ाया जाता है कि BC = CE, त्रिभुज ABE का आधार BE = BC + CE = 2 × BC है।
आधार BE के संबंध में त्रिभुज ABE की ऊँचाई शीर्ष A से रेखा BE तक की समान लंबवत दूरी h है।
त्रिभुज ABE का क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई = ½ × BE × h = ½ × (2 × BC) × h = BC × h, जो समांतर चतुर्भुज ABCD के क्षेत्रफल के बराबर है।
52Mathematics
एक वस्तु को 12% के लाभ पर बेचा गया। यदि इसे ₹33 अधिक में बेचा जाता, तो लाभ 14% होता। वस्तु का क्रय मूल्य है:
● सही
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उत्तर: (D) ₹1650.00
व्याख्या
क्रय मूल्य = (विक्रय मूल्य में अंतर / लाभ प्रतिशत में अंतर) × 100
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
x = (√3 - √2)²
x = (√3)² - 2(√3)(√2) + (√2)²
x = 3 - 2√6 + 2
x = 5 - 2√6
54Mathematics
निम्नलिखित तालिका फरवरी 2018 के चार हफ्तों के लिए वायु गुणवत्ता सूचकांक (AQI) (PM2.5) दर्शाती है। फरवरी के महीने में कोलकाता और दिल्ली के AQI के औसत में क्या अंतर है?
विषाक्त प्रवृत्ति वायु गुणवत्ता सूचकांक
अवधि कोलकाता दिल्ली
फरवरी 1-7 306 248
फरवरी 8-14 288 246
फरवरी 15-21 274 246
फरवरी 22-28 172 236
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (D) 16
व्याख्या
कोलकाता के लिए औसत AQI = (306 + 288 + 274 + 172) ÷ 4 = 1040 ÷ 4 = 260
दिल्ली के लिए औसत AQI = (248 + 246 + 246 + 236) ÷ 4 = 976 ÷ 4 = 244
दोनों औसत के बीच अंतर = 260 - 244 = 16
55Mathematics
एक चुनाव में केवल दो उम्मीदवार थे। जीतने वाले उम्मीदवार को कुल वोटों का 48% मिला। उसके प्रतिद्वंद्वी को 6800 वोट मिले जो कुल वोटों का 34% था। कुछ वोट अवैध थे। चुनाव जीतने वाले उम्मीदवार के जीत का अंतर और अवैध वोटों की संख्या क्रमशः हैं:
● सही
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उत्तर: (B) 2800 वोट, 3600 वोट
व्याख्या
चूंकि कुल वोटों का 34% 6800 के बराबर है, इसलिए डाले गए वोटों की कुल संख्या की गणना इस प्रकार की जाती है:
कुल वोट = 6800 ÷ 0.34 = 20000
जीत का अंतर प्रतिशत = 48% - 34% = 14%
जीत का अंतर = 20000 का 14% = 2800 वोट
अवैध वोटों का प्रतिशत = 100% - (48% + 34%) = 18%
अवैध वोटों की संख्या = 20000 का 18% = 3600 वोट
56Mathematics
A एक कार्य को 12 दिनों में पूरा कर सकता है। B, A की तुलना में 20% कम कुशल है। B द्वारा कार्य पूरा करने में लगने वाले दिनों की संख्या है:
● सही
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उत्तर: (C) 15 दिन
व्याख्या
दक्षता किसी दिए गए कार्य को पूरा करने में लगने वाले समय के व्युत्क्रमानुपाती होती है: दक्षता × समय = कुल कार्य।
यदि A की दक्षता को 1 माना जाए, तो B की दक्षता 1 - 0.20 = 0.80 = ⅘ है।
B द्वारा लिया गया समय = (A द्वारा लिया गया समय × A की दक्षता) / B की दक्षता = (12 × 1) / 0.80 = 15 दिन।
57Mathematics
नीचे दी गई तालिका एक विशेष शहर में परीक्षा उत्तीर्ण करने वाले छात्रों की संख्या दर्शाती है।
वर्ष लड़कियाँ लड़के
2016 128734 115526
2017 130567 124313
2018 129209 122131
यदि किसी दिए गए वर्ष में परीक्षा में बैठने वाले छात्रों की संख्या 354000 है, तो सभी तीन वर्षों में औसत उत्तीर्ण प्रतिशत का अनुमान ज्ञात कीजिए।
● सही
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उत्तर: (C) 71%
व्याख्या
प्रत्येक वर्ष परीक्षा उत्तीर्ण करने वाले कुल छात्र:
2016: 128734 + 115526 = 244260
2017: 130567 + 124313 = 254880
2018: 129209 + 122131 = 251340
सभी 3 वर्षों में उत्तीर्ण छात्रों की कुल संख्या = 244260 + 254880 + 251340 = 750480
प्रति वर्ष औसत उत्तीर्ण छात्र = 750480 / 3 = 250160
औसत उत्तीर्ण प्रतिशत = (औसत उत्तीर्ण छात्र / परीक्षा में बैठने वाले कुल छात्र) × 100
औसत उत्तीर्ण प्रतिशत = (250160 / 354000) × 100 = 70.67% ≈ 71%
58Mathematics
एक सभागार में 6889 छात्र इस प्रकार बैठे हैं कि प्रत्येक पंक्ति में उतने ही छात्र हैं जितनी सभागार में पंक्तियाँ हैं। सभागार में कितनी पंक्तियाँ हैं?
● सही
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उत्तर: (C) 83
व्याख्या
मान लीजिए सभागार में पंक्तियों की संख्या x है। चूँकि प्रत्येक पंक्ति में छात्रों की संख्या कुल पंक्तियों की संख्या के बराबर है, छात्रों की कुल संख्या x × x = x² द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि x² = 6889, दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
x = √6889
चूँकि 80² = 6400 और 83² = (80 + 3)² = 6400 + 2(80)(3) + 3² = 6400 + 480 + 9 = 6889, सभागार में पंक्तियों की संख्या 83 है।
59Mathematics
राणा और रणवीर के बीच एक चुनाव में, राणा को 40% मत मिले और वह 60,000 मतों से हार गया। रणवीर के पक्ष में डाले गए मतों की संख्या ज्ञात कीजिए।
● सही
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उत्तर: (D) 1,80,000
व्याख्या
मान लीजिए डाले गए कुल मत 100% हैं। चूँकि राणा को कुल मतों का 40% मिला, रणवीर को मतों का 100% - 40% = 60% मिला।
जीत का अंतर प्रतिशत में 60% - 40% = 20% है।
दिया गया है कि यह 20% अंतर 60,000 मतों के बराबर है:
कुल मतों का 1% = 60,000 ÷ 20 = 3,000
रणवीर के पक्ष में डाले गए मतों की संख्या = 60% = 60 × 3,000 = 1,80,000।
60Mathematics
सरल करें:
186- 7x(63- 39)+25÷5
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (B) 23
व्याख्या
BODMAS नियम (कोष्ठक, घात/क्रम, भाग, गुणा, जोड़, घटाव) का प्रयोग करके:
कोष्ठक के अंदर हल करें:
63 - 39 = 24
भाग और गुणा करें:
25 ÷ 5 = 5
7 × 24 = 168
बाएं से दाएं जोड़ और घटाव करें:
186 - 168 + 5 = 18 + 5 = 23
61Mathematics
यदि किसी निश्चित डेटा के माध्य और माध्यिका का अनुपात 4:5 है, तो उसके माध्य और बहुलक का अनुपात ज्ञात कीजिए।
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (D) 4:7
व्याख्या
माध्य, माध्यिका और बहुलक के बीच अनुभवजन्य संबंध का उपयोग करते हुए:
बहुलक = 3 × माध्यिका - 2 × माध्य
मान लीजिए माध्य 4x है और माध्यिका 5x है। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
बहुलक = 3 × (5x) - 2 × (4x) = 15x - 8x = 7x
इसलिए, माध्य और बहुलक का अनुपात माध्य : बहुलक = 4x : 7x = 4:7 है।
62Mathematics
100 और 200 के बीच की उन सभी संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए जो 12 से विभाज्य हैं।
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (D) 1200
व्याख्या
100 और 200 के बीच की 12 से विभाज्य संख्याएँ एक समांतर श्रेणी बनाती हैं।
प्रथम पद (a) = 108
अंतिम पद (l) = 192
सार्व अंतर (d) = 12
पदों की संख्या (n) = (l - a)/d + 1 = (192 - 108)/12 + 1 = 8
यदि √(4624) = 68 है, तो निम्नलिखित का मान है:
√(46.24) +√(0.4624) +√(0.004624)
● सही
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उत्तर: (B) 7.548
व्याख्या
दिया गया है √4624 = 68.
दशमलव स्थानों को वर्गमूल के अंतर्गत समायोजित करके प्रत्येक पद का मूल्यांकन करना:
√46.24 = √(4624 / 100) = 68 / 10 = 6.8
√0.4624 = √(4624 / 10000) = 68 / 100 = 0.68
√0.004624 = √(4624 / 1000000) = 68 / 1000 = 0.068
पदों को एक साथ जोड़ना:
6.8 + 0.68 + 0.068 = 7.548
64Mathematics
2 स्थानों के बीच ट्रेन का किराया, बस का किराया और हवाई जहाज का किराया क्रमशः 5:8:12 के अनुपात में है, उनमें यात्रा करने वाले यात्रियों की संख्या 3:4:5 के अनुपात में है और एक विशेष दिन इन परिवहन साधनों से एक यात्रा के लिए एकत्र किया गया कुल किराया ₹1,07,000 है। हवाई जहाज यात्रियों से एकत्र किया गया कुल किराया ज्ञात कीजिए।
● सही
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उत्तर: (B) ₹60,000
व्याख्या
परिवहन के प्रत्येक साधन के लिए एकत्र किया गया कुल किराया, व्यक्तिगत किराया और यात्रियों की संख्या के गुणनफल के समानुपाती होता है।
एकत्रित कुल किराए का अनुपात (ट्रेन : बस : हवाई जहाज) = (5 × 3) : (8 × 4) : (12 × 5) = 15 : 32 : 60
अनुपात भागों का योग = 15 + 32 + 60 = 107 भाग
1 भाग का मान = ₹1,07,000 ÷ 107 = ₹1,000
हवाई जहाज यात्रियों से एकत्र किया गया कुल किराया = 60 भाग = 60 × ₹1,000 = ₹60,000
65Mathematics
मान ज्ञात कीजिए:
cos20°cos40°cos80°
● सही
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उत्तर: (C) 1 8
व्याख्या
सर्वसमिका cos θ cos 2θ cos 2²θ ... cos(2ⁿ⁻¹θ) = sin(2ⁿθ) / (2ⁿ sin θ) का प्रयोग θ = 20° और n = 3 के लिए करने पर:
cos 20° cos 40° cos 80° = sin(2³ × 20°) / (2³ sin 20°)
= sin 160° / (8 sin 20°)
चूंकि sin 160° = sin(180° - 20°) = sin 20°:
= sin 20° / (8 sin 20°) = 1/8
66Mathematics
यदि 1²+2²+3²+… … +14²=1015, तो 3²+6²+9²+… … +42² किसके बराबर है:
● सही
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उत्तर: (A) 9135
व्याख्या
दी गई श्रृंखला के प्रत्येक पद से 3² को गुणनखंडित करें:
वर्गों के योग के दिए गए मान 1015 को प्रतिस्थापित करने पर:
= 9 × 1015 = 9135
67Mathematics
A, B और C मिलकर एक काम को 5 दिनों में पूरा कर सकते हैं। B, C और D मिलकर उसी काम को 10 दिनों में पूरा कर सकते हैं। C, D और A मिलकर उसी काम को 15 दिनों में पूरा कर सकते हैं और D, A और B मिलकर उसी काम को 30 दिनों में पूरा कर सकते हैं। A, B, C और D मिलकर उस काम को कितने दिनों में पूरा करेंगे?
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (C) 7 ½ दिन
व्याख्या
कुल कार्य 30 इकाई मान लें (5, 10, 15 और 30 का लघुत्तम समापवर्त्य)।
प्रति दिन कार्य दर:
(A + B + C) = 30 / 5 = 6 इकाई/दिन
(B + C + D) = 30 / 10 = 3 इकाई/दिन
(C + D + A) = 30 / 15 = 2 इकाई/दिन
(D + A + B) = 30 / 30 = 1 इकाई/दिन
सभी चार समीकरणों को जोड़ने पर:
3 × (A + B + C + D) = 6 + 3 + 2 + 1 = 12 इकाई/दिन
A + B + C + D = 12 / 3 = 4 इकाई/दिन
A, B, C और D द्वारा मिलकर काम पूरा करने में लिया गया समय = 30 / 4 = 7 ½ दिन।
68Mathematics
सरल करें:
24 + 7.2 ÷ 8 - 3 × 2.3 + 5
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (A) 23
व्याख्या
BODMAS नियम (कोष्ठक, घात/क्रम, भाग/गुणा, जोड़/घटाव) का पालन करते हुए:
भाग करें:
7.2 ÷ 8 = 0.9
गुणा करें:
3 × 2.3 = 6.9
इन मानों को व्यंजक में पुनः प्रतिस्थापित करें:
24 + 0.9 - 6.9 + 5
बाएं से दाएं जोड़ और घटाव करें:
24.9 - 6.9 + 5 = 18 + 5 = 23
69Mathematics
एक 25 मीटर ऊँची चट्टान की चोटी से, एक मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण, मीनार के पाद के अवनमन कोण के बराबर पाया जाता है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (D) 50 मीटर
व्याख्या
माना चट्टान की ऊँचाई h = 25 मीटर है, और माना x चट्टान और मीनार के बीच की क्षैतिज दूरी है।
चट्टान की चोटी से, मीनार की चोटी का उन्नयन कोण θ देता है:
tan θ = (H - 25) / x
चट्टान/मीनार के पाद का अवनमन कोण θ देता है:
tan θ = 25 / x
tan θ के दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
(H - 25) / x = 25 / x
H - 25 = 25
H = 50 मीटर
70Mathematics
यदि A: B = 15:16, B: C = 8:25, C: D = 20:9, तो A: D ज्ञात कीजिए।
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (D) 2:3
व्याख्या
A : D ज्ञात करने के लिए, लगातार अनुपातों को एक साथ गुणा करें:
A/D = (A/B) × (B/C) × (C/D)
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
A/D = (15/16) × (8/25) × (20/9)
सामान्य गुणनखंडों को रद्द करने पर:
A/D = (3 × 1 × 2) / (2 × 1 × 3) = 2/3
71Mathematics
यदि x³ + y³ = 35, x + y = 5, तो निम्न का मान ज्ञात कीजिए:
x⁴ + y⁴
150 मदों का माध्य 45 पाया गया। यदि गणना के समय, दो मदों को 38 और 46 के बजाय गलती से क्रमशः 83 और 76 लिया गया था, तो सही माध्य है:
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (A) 44.5
व्याख्या
सही माध्य = गलत माध्य + (सही मानों का योग - गलत मानों का योग) / कुल मदें
योग में सुधार = (38 + 46) - (83 + 76) = 84 - 159 = -75
माध्य में सुधार = -75 / 150 = -0.5
सही माध्य = 45 - 0.5 = 44.5
73Mathematics
ABCD एक वर्ग है। X, AB का मध्य-बिंदु है। Y, BC पर एक बिंदु है जहाँ BY = ⅓BC है। यदि Δ BXY का क्षेत्रफल 300cm² के बराबर है, तो विकर्ण AC की लंबाई ज्ञात कीजिए।
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (B) 60√2 cm
व्याख्या
माना वर्ग ABCD की भुजा की लंबाई s है।
चूंकि X, AB का मध्य-बिंदु है, इसलिए BX की लंबाई s/2 है।
दिया गया है BY = s/3 और ∠B = 90°, समकोण त्रिभुज BXY का क्षेत्रफल है:
क्षेत्रफल = ½ × BX × BY = ½ × (s/2) × (s/3) = s²/12
यह देखते हुए कि ΔBXY का क्षेत्रफल 300 cm² है:
s²/12 = 300
s² = 3600
s = 60 cm
भुजा s वाले वर्ग का विकर्ण AC = s√2 द्वारा दिया जाता है।
AC = 60√2 cm।
74Mathematics
₹12.50 प्रति वर्ग मीटर की दर से एक कमरे में फर्श लगाने की कुल लागत ₹3,675 है। यदि चौड़ाई और लंबाई का अनुपात 2 : 3 है, तो उसकी लंबाई ज्ञात कीजिए।
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (A) 21 मीटर
व्याख्या
कमरे का क्षेत्रफल = कुल लागत ÷ प्रति वर्ग मीटर दर
क्षेत्रफल = 3675 ÷ 12.50 = 294 वर्ग मीटर
मान लीजिए चौड़ाई और लंबाई क्रमशः 2x और 3x हैं।
क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई
3x × 2x = 294
6x² = 294
x² = 49
x = 7
लंबाई = 3x = 3 × 7 = 21 मीटर
75Mathematics
उस सबसे बड़ी 3-अंकीय संख्या और सबसे छोटी 4-अंकीय संख्या का योग ज्ञात कीजिए, जिनका महत्तम समापवर्तक (HCF) 24 है।
● सही
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उत्तर: (B) 1992
व्याख्या
24 से विभाज्य सबसे बड़ी 3-अंकीय संख्या 999 को 24 से विभाजित करने पर प्राप्त होती है, जिससे भागफल 41 और शेषफल प्राप्त होता है। अतः, 24 का सबसे बड़ा 3-अंकीय गुणज 24 × 41 = 984 है।
24 से विभाज्य सबसे छोटी 4-अंकीय संख्या 24 का अगला गुणज है, जो 24 × 42 = 1008 है।
चूंकि 41 और 42 क्रमागत पूर्णांक हैं, वे सह-अभाज्य हैं, यह सुनिश्चित करते हुए कि 984 और 1008 का महत्तम समापवर्तक 24 है।
योग = 984 + 1008 = 1992।
76Mathematics
A, B और C एक काम को क्रमशः 40 दिन, 60 दिन और 80 दिन में पूरा कर सकते हैं। तीनों ने मिलकर काम शुरू किया लेकिन काम पूरा होने से 11 दिन पहले A चला गया और काम पूरा होने से 8 दिन पहले B चला गया। पूरा काम कितने दिनों में पूरा हो जाएगा?
● सही
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उत्तर: (D) 26 दिन
व्याख्या
कुल काम = LCM(40, 60, 80) = 240 इकाई।
दैनिक कार्य दर (दक्षता):
A की दक्षता = 240 / 40 = 6 इकाई/दिन
B की दक्षता = 240 / 60 = 4 इकाई/दिन
C की दक्षता = 240 / 80 = 3 इकाई/दिन
कुल अवधि ज्ञात करने के लिए, जल्दी छोड़ने वाले श्रमिकों के छूटे हुए काम को कुल काम में जोड़ें:
A के 11 दिन पहले छोड़ने के लिए जोड़ा गया काम = 6 × 11 = 66 इकाई
B के 8 दिन पहले छोड़ने के लिए जोड़ा गया काम = 4 × 8 = 32 इकाई
समायोजित कुल काम = 240 + 66 + 32 = 338 इकाई
कुल लिया गया समय = समायोजित कुल काम / संयुक्त दक्षता
कुल लिया गया समय = 338 / (6 + 4 + 3) = 338 / 13 = 26 दिन।
सभी तीन पदों को सामान्य भाजक 5 पर संयोजित करते हुए:
62/5 - 16/5 + 4/5 = (62 - 16 + 4) / 5 = 50 / 5 = 10
78Mathematics
यदि 2x + 5y = 12, xy = 2, तो निम्न का मान ज्ञात कीजिए:
8x³ + 125y³
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (C) 1008
व्याख्या
बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b) का प्रयोग करके:
a = 2x और b = 5y मान लीजिए:
(2x + 5y)³ = 8x³ + 125y³ + 30xy(2x + 5y)
दिए गए मान 2x + 5y = 12 और xy = 2 को समीकरण में प्रतिस्थापित कीजिए:
12³ = 8x³ + 125y³ + 30 × 2 × 12
1728 = 8x³ + 125y³ + 720
8x³ + 125y³ = 1728 - 720 = 1008
79Mathematics
2 मीटर गहरी और 21 मीटर चौड़ी एक नदी 5 किमी/घंटा की दर से बह रही है। 10 मिनट में समुद्र में कितना किलोलीटर पानी गिरेगा?
● सही
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उत्तर: (A) 35000 kl
व्याख्या
पानी का आयतन = अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल × दी गई समय में पानी के प्रवाह की लंबाई
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल = गहराई × चौड़ाई = 2 मीटर × 21 मीटर = 42 मी²
नदी के प्रवाह की गति = 5 किमी/घंटा = 5000 मीटर / 60 मिनट = 250/3 मीटर/मिनट
10 मिनट में बहने वाले पानी की लंबाई = गति × समय = (250/3) × 10 = 2500/3 मीटर
पानी का आयतन = 42 × (2500/3) = 14 × 2500 = 35,000 मी³
चूंकि 1 मी³ = 1000 लीटर = 1 किलोलीटर (kl), इसलिए 10 मिनट में समुद्र में गिरने वाले पानी का आयतन 35,000 kl है।
80Mathematics
एक समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा 28 सेमी है। एक अन्य समबाहु त्रिभुज PQR की भुजा ज्ञात कीजिए जिसका क्षेत्रफल त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल का 16 गुना है।
● सही
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उत्तर: (C) 112 सेमी
व्याख्या
किसी भी दो समरूप ज्यामितीय आकृतियों, जैसे समबाहु त्रिभुजों के लिए, उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं की लंबाई के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
एक ट्रेन 80 किमी/घंटा की गति से बेंगलुरु रेलवे स्टेशन से मुंबई के लिए रवाना होती है। 1 घंटे बाद एक अन्य ट्रेन बेंगलुरु रेलवे स्टेशन से मुंबई के लिए 100 किमी/घंटा की गति से रवाना होती है। दूसरी ट्रेन पहली ट्रेन से कितने घंटे में मिलेगी?
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (D) 4 घंटे
व्याख्या
1 घंटे में पहली ट्रेन द्वारा तय की गई दूरी = 80 किमी/घंटा × 1 घंटा = 80 किमी।
पहली ट्रेन के सापेक्ष दूसरी ट्रेन की सापेक्ष गति = 100 किमी/घंटा - 80 किमी/घंटा = 20 किमी/घंटा।
दूसरी ट्रेन द्वारा पहली ट्रेन को ओवरटेक करने में लिया गया समय = दूरी / सापेक्ष गति = 80 / 20 = 4 घंटे।
84Mathematics
दो संख्याओं के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) और महत्तम समापवर्तक (HCF) के योग और अंतर क्रमशः 369 और 351 हैं। यदि एक संख्या 72 है, तो दूसरी संख्या ज्ञात कीजिए।
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (C) 45
व्याख्या
मान लीजिए दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) L और महत्तम समापवर्तक (HCF) H है।
दिया गया है:
L + H = 369
L - H = 351
दोनों समीकरणों को जोड़ने और घटाने पर:
L = (369 + 351) / 2 = 360
H = (369 - 351) / 2 = 9
सूत्र का प्रयोग करने पर:
दो संख्याओं का गुणनफल = LCM × HCF
72 × दूसरी संख्या = 360 × 9
दूसरी संख्या = (360 × 9) / 72 = 45
85Mathematics
एक परीक्षा में, 55% उम्मीदवारों ने अंग्रेजी में, 35% उम्मीदवारों ने गणित में और 20% उम्मीदवारों ने दोनों विषयों में उत्तीर्ण किया। यदि दोनों विषयों में अनुत्तीर्ण उम्मीदवारों की कुल संख्या 1200 है, तो परीक्षा देने वाले उम्मीदवारों की संख्या ज्ञात कीजिए।
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (C) 4000
व्याख्या
समावेशन-अपवर्जन के सिद्धांत (Principle of Inclusion-Exclusion) द्वारा, कम से कम एक विषय में उत्तीर्ण उम्मीदवारों का प्रतिशत है:
P(E ∪ M) = P(E) + P(M) - P(E ∩ M)
P(E ∪ M) = 55% + 35% - 20% = 70%
दोनों विषयों में अनुत्तीर्ण उम्मीदवारों का प्रतिशत है:
100% - 70% = 30%
चूंकि कुल उम्मीदवारों का 30% 1200 के बराबर है, परीक्षा देने वाले कुल उम्मीदवारों की संख्या है:
(1200 / 30) × 100 = 4000
86Mathematics
एक धनराशि चक्रवृद्धि ब्याज पर 2 वर्षों में ₹12,100 और 3 वर्षों में ₹13,310 हो जाती है। ब्याज की दर ज्ञात कीजिए।
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (D) 10%
व्याख्या
चक्रवृद्धि ब्याज में, किसी भी वर्ष के अंत में राशि अगले वर्ष के लिए मूलधन का कार्य करती है। इसलिए, तीसरे वर्ष में अर्जित ब्याज दूसरे वर्ष की राशि पर एक वर्ष के लिए अर्जित ब्याज है।
तीसरे वर्ष में अर्जित ब्याज = ₹13,310 - ₹12,100 = ₹1,210
ब्याज की दर r = (वर्ष के लिए ब्याज / उस वर्ष के लिए मूलधन) × 100
r = (1,210 / 12,100) × 100 = 10%
87Mathematics
₹5,000 की राशि का एक हिस्सा 5% प्रति वर्ष साधारण ब्याज पर और शेष हिस्सा 10% प्रति वर्ष साधारण ब्याज पर उधार दिया गया। 5 वर्षों के बाद प्राप्त कुल ब्याज ₹1,750 था। 10% प्रति वर्ष साधारण ब्याज पर उधार दी गई राशि ज्ञात कीजिए।
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (C) ₹2,000
व्याख्या
प्रति वर्ष समग्र ब्याज दर = (कुल ब्याज × 100) / (मूलधन × समय)
समग्र ब्याज दर = (1,750 × 100) / (5,000 × 5) = 7%
मिश्रण के नियम का उपयोग करके:
5% पर उधार दी गई मूलधन और 10% पर उधार दी गई मूलधन का अनुपात = (10 - 7) : (7 - 5) = 3 : 2
10% पर उधार दी गई राशि = [2 / (3 + 2)] × 5,000 = (2 / 5) × 5,000 = ₹2,000
88Mathematics
निम्नलिखित तालिका में पाँच विभिन्न वस्तुओं के क्रय मूल्य और दो अलग-अलग दुकानदारों द्वारा उनके विक्रय मूल्य दर्शाए गए हैं। उस दुकानदार की पहचान करें जिसने (कुल मिलाकर) अधिक लाभ कमाया और उसके लाभ का प्रतिशत ज्ञात करें।
वस्तु | क्रय मूल्य | दुकानदार X द्वारा विक्रय मूल्य | दुकानदार Y द्वारा विक्रय मूल्य
A | 173 | 180 | 175
B | 219 | 220 | 225
C | 350 | 360 | 357
D | 481 | 490 | 500
E | 227 | 250 | 235
● सही
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उत्तर: (A) दुकानदार X, 3.45%
व्याख्या
सभी पाँच वस्तुओं का कुल क्रय मूल्य = 173 + 219 + 350 + 481 + 227 = 1450
दुकानदार X द्वारा कुल विक्रय मूल्य = 180 + 220 + 360 + 490 + 250 = 1500
दुकानदार X के लिए कुल लाभ = 1500 - 1450 = 50
दुकानदार X के लिए लाभ प्रतिशत = (50 / 1450) × 100 = 3.45%
दुकानदार Y द्वारा कुल विक्रय मूल्य = 175 + 225 + 357 + 500 + 235 = 1492
दुकानदार Y के लिए कुल लाभ = 1492 - 1450 = 42
चूंकि 50 > 42, दुकानदार X ने कुल मिलाकर अधिक लाभ कमाया, जिसका लाभ प्रतिशत 3.45% है।
89Mathematics
यदि 3 पुरुष या 6 लड़के किसी कार्य को 20 दिनों में पूरा कर सकते हैं, तो 6 पुरुष और 8 लड़के उसी कार्य को कितने दिनों में पूरा करेंगे?
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (A) 6
व्याख्या
चूंकि 3 पुरुष 6 लड़कों के बराबर काम करते हैं, इसलिए 1 पुरुष 2 लड़कों के बराबर है।
कुल कार्य = 6 लड़के × 20 दिन = 120 लड़का-दिन।
लक्ष्य समूह 6 पुरुषों और 8 लड़कों को लड़कों में परिवर्तित करना:
6 पुरुष + 8 लड़के = (6 × 2) लड़के + 8 लड़के = 20 लड़के।
आवश्यक दिनों की संख्या = कुल कार्य / संयुक्त क्षमता = 120 / 20 = 6 दिन।
90Mathematics
एक समद्विबाहु त्रिभुज का आधार 8 सेमी है और उसकी बराबर भुजाओं में से एक 5 सेमी है। आधार के सम्मुख शीर्ष की आधार से ऊँचाई है:
● सही
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उत्तर: (B) 3 सेमी
व्याख्या
एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार के सम्मुख शीर्ष से खींचा गया शीर्षलंब आधार को 8 ÷ 2 = 4 सेमी प्रत्येक के दो बराबर खंडों में विभाजित करता है।
शीर्षलंब, आधार के आधे भाग और एक बराबर भुजा से बनने वाले समकोण त्रिभुज में पाइथागोरस प्रमेय द्वारा:
संख्या 0.232323 को परिमेय रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है:
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (A) ²³⁄₉₉
व्याख्या
मान लीजिए x = 0.232323...
दोनों पक्षों को 100 से गुणा करने पर:
100x = 23.232323...
100x में से x घटाने पर:
100x - x = 23.232323... - 0.232323...
99x = 23
x = 23/99
एक पूर्णतः आवर्ती दशमलव के लिए मानक शॉर्टकट का उपयोग करते हुए, अंश पुनरावर्ती अंक (23) है और हर में उतने ही 9 हैं जितने पुनरावर्ती अंक हैं (2 अंक, इसलिए 99), जिससे 23/99 प्राप्त होता है।
92Mathematics
₹138 में एक वस्तु बेचने पर, एक दुकानदार को 8% की हानि होती है। 4% का लाभ प्राप्त करने के लिए वस्तु को किस मूल्य पर बेचा जाना चाहिए?
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (A) ₹156
व्याख्या
लक्ष्य विक्रय मूल्य = दिया गया विक्रय मूल्य × (100 + लाभ%) / (100 - हानि%)
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
लक्ष्य विक्रय मूल्य = 138 × (100 + 4) / (100 - 8)
= 138 × 104 / 92
= 138 × 26 / 23
= 6 × 26
= ₹156
93Mathematics
दो पासों को एक साथ फेंका जाता है और उन पर आने वाली संख्याओं का योग नोट किया जाता है। योग 12 होने की प्रायिकता क्या है?
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (C) 1 / 36
व्याख्या
जब दो निष्पक्ष छह-फलक वाले पासों को एक साथ फेंका जाता है, तो संभावित परिणामों की कुल संख्या 6 × 6 = 36 होती है। पासों पर आने वाली संख्याओं का योग केवल 12 होता है जब दोनों पासों पर 6 आता है, जो एक अनुकूल परिणाम (6, 6) के अनुरूप है। इसलिए, योग 12 होने की प्रायिकता 1 / 36 है।
94Mathematics
cos 1°cos 2°cos 3°… … … cos 179° का मान है :
● सही
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उत्तर: (C) 0
व्याख्या
व्यंजक 1° से 179° तक के पूर्णांक कोणों के लिए कोसाइन मानों का गुणनफल है। इस अनुक्रम में एक पद cos 90° है। चूँकि cos 90° = 0 होता है, किसी भी वास्तविक संख्याओं के अनुक्रम को शून्य से गुणा करने पर गुणनफल 0 प्राप्त होता है।
95Mathematics
एक व्यापार मेले में पहले दिन 84500 लोगों ने दौरा किया। चौथे दिन यह संख्या घटकर 16900 रह गई। चौथे दिन लोगों में कितने प्रतिशत की कमी आई?
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (A) 80%
व्याख्या
प्रतिशत कमी = [(प्रारंभिक मान - अंतिम मान) / प्रारंभिक मान] × 100
दिया गया है:
पहले दिन आगंतुक = 84,500
चौथे दिन शेष आगंतुक = 16,900
आगंतुकों में कमी = 84,500 - 16,900 = 67,600
प्रतिशत कमी = (67,600 / 84,500) × 100 = (4 / 5) × 100 = 80%
96Mathematics
परशोत्तम और अंजिलका एक ही स्थान से क्रमशः 30 किमी/घंटा और 3.5 किमी/घंटा की गति से विपरीत दिशाओं में चलना शुरू करते हैं। 2.5 घंटे बाद वे एक-दूसरे से कितनी दूर होंगे?
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (D) 83.75 किमी
व्याख्या
जब दो वस्तुएँ विपरीत दिशाओं में चलती हैं, तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का योग होती है:
सापेक्ष गति = 30 किमी/घंटा + 3.5 किमी/घंटा = 33.5 किमी/घंटा
दूरी = सापेक्ष गति × समय
दूरी = 33.5 किमी/घंटा × 2.5 घंटे = 83.75 किमी
97Mathematics
निम्नलिखित व्यंजक में कौन सी संख्या जोड़ी जानी चाहिए ताकि यह एक पूर्ण वर्ग बन जाए?
1+3+7+9+11+13
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (B) 5
व्याख्या
दी गई संख्याओं का योग 1 + 3 + 7 + 9 + 11 + 13 = 44 है।
