एसएससी सीजीएल टियर 1 2019 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

यह व्यंजक बीजगणितीय सर्वसमिका a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) पर आधारित है। दिए गए अंश 27x³ - 343y³ को हम (3x)³ - (7y)³ के रूप में लिख सकते हैं।

सर्वसमिका लागू करने पर: ((3x)³ - (7y)³)/(3x - 7y) = (3x)² + (3x)(7y) + (7y)² = 9x² + 21xy + 49y²

इस परिणाम की तुलना दिए गए रूप Ax² + By² + 7Cxy से करने पर, हमें गुणांक प्राप्त होते हैं: A = 9 B = 49 7C = 21 ⟹ C = 3

4A - B + 5C का मान ज्ञात करने के लिए, इन मानों को व्यंजक में रखने पर: 4(9) - 49 + 5(3) = 36 - 49 + 15 51 - 49 = 2

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) का उपयोग करके, हम दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं। यह देखते हुए कि a + b + c = 7 और a² + b² + c² = 21 है, समीकरण 7² = 21 + 2(ab + bc + ca) बन जाता है। वर्ग का विस्तार करने पर 49 = 21 + 2(ab + bc + ca) प्राप्त होता है। वांछित व्यंजक वाले पद को अलग करने के लिए, दोनों पक्षों से 21 घटाने पर 28 = 2(ab + bc + ca) प्राप्त होता है। समीकरण के दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर ab + bc + ca = 14 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण √3cosθ + sinθ = 1 के दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर: √3{2}cosθ + ½sinθ = ½

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin A cos B + cos A sin B = sin(A + B) का उपयोग करके, समीकरण में sin 60° = √3{2} और cos 60° = ½ प्रतिस्थापित करने पर: sin 60° cos θ + cos 60° sin θ = ½ sin(60° + θ) = ½

दिए गए प्रतिबंध 0° ≤ θ ≤ 90° के तहत, कोणांक (argument) का परास 60° ≤ 60° + θ ≤ 150° है। इस विशिष्ट परास में, साइन फलन (sine function) का मान केवल 150° पर 1/2 होता है (चूंकि sin 150° = sin(180° - 30°) = sin 30° = 1/2)। 60° + θ = 150° θ = 90°

वैकल्पिक रूप से, समीकरण में सीधे θ = 90° प्रतिस्थापित करने पर √3cos 90° + sin 90° = √3(0) + 1 = 1 प्राप्त होता है, जो इस शर्त को संतुष्ट करता है।

व्याख्या

वर्गमूल के अंदर का व्यंजक, x⁴ + y⁴ - 2x²y², एक पूर्ण वर्ग है जो बीजीय सर्वसमिका A² + B² - 2AB = (A - B)² का अनुसरण करता है। A = x² और B = y² प्रतिस्थापित करने पर, व्यंजक इस प्रकार सरल हो जाता है:

√((x² - y²)²) = |x² - y²|

पद x² - y² को वर्गों के अंतर की सर्वसमिका, x² - y² = (x + y)(x - y) का उपयोग करके गुणनखंडित किया जा सकता है। x और y के दिए गए मानों का उपयोग करने पर:

x + y = (a + ¹⁄ₐ) + (a - ¹⁄ₐ) = 2a x - y = (a + ¹⁄ₐ) - (a - ¹⁄ₐ) = ²⁄ₐ

इन मानों को गुणनफल में प्रतिस्थापित करने पर:

x² - y² = (2a) × (²⁄ₐ) = 4

इस मान के वर्ग का वर्गमूल √(4²) = 4 है।

व्याख्या

प्रत्येक वर्गमूल पद पर व्यक्तिगत रूप से त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं को लागू करके व्यंजक को सरल बनाया जा सकता है।

पहले पद, √(sec²θ + csc²θ) के लिए: सर्वसमिकाओं sec²θ = (1)/(cos²θ) और csc²θ = (1)/(sin²θ) का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है: sec²θ + csc²θ = (1)/(cos²θ) + (1)/(sin²θ) = (sin²θ + cos²θ)/(sin²θ cos²θ) चूंकि sin²θ + cos²θ = 1 है, इसलिए यह (1)/(sin²θ cos²θ) हो जाता है। वर्गमूल लेने पर, हमें (1)/(sinθ cosθ) प्राप्त होता है, जो secθ cscθ के बराबर है।

दूसरे पद, √(tan²θ - sin²θ) के लिए: tan²θ - sin²θ = (sin²θ)/(cos²θ) - sin²θ = sin²θ ((1)/(cos²θ) - 1) सर्वसमिका (1)/(cos²θ) - 1 = sec²θ - 1 = tan²θ का उपयोग करने पर, वर्गमूल के अंदर का व्यंजक sin²θ tan²θ है। वर्गमूल लेने पर, हमें sinθ tanθ प्राप्त होता है।

दोनों परिणामों को गुणा करने पर: (1)/(sinθ cosθ) × sinθ tanθ = (1)/(cosθ) × tanθ = (1)/(cosθ) × (sinθ)/(cosθ) = (sinθ)/(cos²θ) सर्वसमिका (1)/(cos²θ) = sec²θ का उपयोग करने पर, अंतिम सरलीकृत मान sinθ sec²θ है।

व्याख्या

दिए गए व्यंजक में बीजगणितीय सर्वसमिका a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) का उपयोग किया गया है। व्यंजक (8x³ - 27y³) ÷ (2x - 3y) में, हम a³ = 8x³ और b³ = 27y³ की पहचान कर सकते हैं, जिससे a = 2x और b = 3y प्राप्त होता है।

सर्वसमिका का उपयोग करके अंश का विस्तार करने पर: 8x³ - 27y³ = (2x)³ - (3y)³ = (2x - 3y)((2x)² + (2x)(3y) + (3y)²) 8x³ - 27y³ = (2x - 3y)(4x² + 6xy + 9y²)

इस विस्तार को (2x - 3y) से विभाजित करने पर भागफल प्राप्त होता है: 4x² + 6xy + 9y²

इस भागफल की तुलना दिए गए रूप (Ax² + Bxy + Cy²) से करने पर, हम समान पदों के गुणांकों की तुलना करते हैं: A = 4 B = 6 C = 9

इन मानों को अभीष्ट व्यंजक (2A + B - C) में रखने पर: 2(4) + 6 - 9 = 8 + 6 - 9 = 5

व्याख्या

एक त्रिपद के वर्गों के योग के लिए बीजीय सर्वसमिका इस प्रकार दी गई है: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)।

दिए गए मानों a² + b² + c² = 20 और ab + bc + ca = 8 को प्रतिस्थापित करने पर: (a + b + c)² = 20 + 2(8) = 20 + 16 = 36 a + b + c = √(36) = 6

वर्गाकार कोष्ठक के अंदर के पद को इस प्रकार विस्तारित किया जा सकता है: (a - b)² + (b - c)² + (c - a)² = (a² - 2ab + b²) + (b² - 2bc + c²) + (c² - 2ca + a²) = 2(a² + b² + c²) - 2(ab + bc + ca)

प्रश्न में दिया गया पूर्ण व्यंजक है: ½ (a + b + c) [2(a² + b² + c²) - 2(ab + bc + ca)] = (a + b + c) (a² + b² + c² - (ab + bc + ca))

इस सरलीकृत रूप में ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: = 6 × (20 - 8) = 6 × 12 = 72

व्याख्या

एक खोखले बेलनाकार पाइप के आयतन की गणना सूत्र V = π(R² - r²)h का उपयोग करके की जाती है, जहाँ R बाहरी त्रिज्या है, r आंतरिक त्रिज्या है, और h पाइप की लंबाई है। सबसे पहले, लंबाई को मीटर से सेंटीमीटर में बदलें: h = 1.4 मीटर = 140 सेमी।

दिए गए मानों को आयतन के सूत्र में रखने पर: 7480 = ²²⁄₇ × (9² - r²) × 140

140 को 7 से विभाजित करके समीकरण को सरल करें: 7480 = 22 × (81 - r²) × 20 7480 = 440 × (81 - r²)

अब, r वाले पद को अलग करने के लिए 7480 को 440 से विभाजित करें: 17 = 81 - r² r² = 81 - 17 r² = 64 r = 8 सेमी

धातु के पाइप की मोटाई बाहरी त्रिज्या और आंतरिक त्रिज्या के बीच का अंतर है: मोटाई = R - r = 9 सेमी - 8 सेमी = 1 सेमी

व्याख्या

कोटेंजेंट (cotangent) के वर्ग और कोसाइन (cosine) के वर्ग के बीच के अंतर के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका (trigonometric identity) है: cot²θ - cos²θ = (cos²θ)/(sin²θ) - cos²θ = (cos²θ(1 - sin²θ))/(sin²θ) = (cos²θ · cos²θ)/(sin²θ) = cot²θ cos²θ

प्रश्न की संरचना और दिए गए विकल्पों को देखते हुए, अभीष्ट समीकरण (cos² θ)/(cot² θ - cos² θ) = 3 है। इस समीकरण में सर्वसमिका को प्रतिस्थापित करने पर: (cos² θ)/(cot² θ cos² θ) = 3 (1)/(cot² θ) = 3 tan² θ = 3

चूंकि 0° < θ < 90° है, हम धनात्मक वर्गमूल लेते हैं: tan θ = √3 θ = 60°

अब, व्यंजक cot θ + csc θ में θ = 60° प्रतिस्थापित करने पर: cot 60° + csc 60° = (1)/(√(3)) + (2)/(√(3)) (1 + 2)/(√(3)) = (3)/(√(3)) = √3

व्याख्या

दिए गए समीकरण 2x² + y² + 6x - 2xy + 9 = 0 को 2x² पद को x² + x² में विभाजित करके पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है और पूर्ण वर्गों में समूहीकृत किया जा सकता है: (x² - 2xy + y²) + (x² + 6x + 9) = 0 (x - y)² + (x + 3)² = 0

वास्तविक संख्याओं के दो वर्गों का योग शून्य होने के लिए, प्रत्येक व्यक्तिगत वर्ग पद शून्य के बराबर होना चाहिए। इससे हमें दो स्वतंत्र समीकरण प्राप्त होते हैं: x + 3 = 0 ⟹ x = -3 x - y = 0 ⟹ x = y = -3

अब, व्यंजक (4x³ - y³ + x²y²) में x = -3 और y = -3 मान प्रतिस्थापित करें: 4(-3)³ - (-3)³ + (-3)²(-3)² 4(-27) - (-27) + (9)(9) -108 + 27 + 81 -108 + 108 = 0

व्याख्या

दिए गए व्यंजकों a = 1 + sin x + cos x और b = 1 + sin x के बीच का संबंध, a और विकल्प B के व्यंजक, c = 1 + sin x - cos x के गुणनफल का मूल्यांकन करके निर्धारित किया जा सकता है। (1 + sin x) को एक एकल पद मानकर, हम वर्गों के अंतर की सर्वसमिका (A + B)(A - B) = A² - B² लागू कर सकते हैं:

a · c = (1 + sin x + cos x)(1 + sin x - cos x) a · c = (1 + sin x)² - cos² x

द्विपद के वर्ग का विस्तार करने पर: a · c = 1 + sin² x + 2sin x - cos² x

मूलभूत पाइथागोरस सर्वसमिका 1 - cos² x = sin² x का उपयोग करते हुए, हम व्यंजक को सरल बनाने के लिए प्रतिस्थापित करते हैं: a · c = sin² x + sin² x + 2sin x a · c = 2sin² x + 2sin x

परिणाम का गुणनखंड करने पर: a · c = 2sin x(1 + sin x)

यह देखते हुए कि b = 1 + sin x है, संबंध इस प्रकार हो जाता है: a · c = 2b sin x

यह c = 1 + sin x - cos x को गणितीय रूप से सुसंगत पद के रूप में पहचानता है जो a और b के समूहन से संबंधित त्रिकोणमितीय सर्वसमिका को संतुष्ट करता है।

व्याख्या

x³ + y³ + z³ का मान बीजगणितीय सर्वसमिका x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² - (xy + yz + zx)) का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है।

सबसे पहले, सर्वसमिका (x + y + z)² = x² + y² + z² + 2(xy + yz + zx) का उपयोग करके (x + y + z) का मान ज्ञात करें। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: (x + y + z)² = 133 + 2(114) = 133 + 228 = 361 x + y + z = √(361) = 19

अब, सभी ज्ञात मानों को त्रिघात सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करें: x³ + y³ + z³ - 3(216) = 19(133 - 114) x³ + y³ + z³ - 648 = 19(19) x³ + y³ + z³ - 648 = 361 x³ + y³ + z³ = 361 + 648 = 1009

व्याख्या

दिया गया व्यंजक k = (1 + tan² θ) + (1 + cot² θ) है। मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं 1 + tan² θ = sec² θ और 1 + cot² θ = cosec² θ का उपयोग करने पर, समीकरण को k = sec² θ + cosec² θ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।

इन पदों को साइन (sine) और कोसाइन (cosine) के पदों में व्यक्त करने पर k = (1)/(cos² θ) + (1)/(sin² θ) प्राप्त होता है। एक उभयनिष्ठ हर (common denominator) का उपयोग करके भिन्नों को जोड़ने पर k = (sin² θ + cos² θ)/(sin² θ cos² θ) प्राप्त होता है। चूंकि सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1, θ के सभी मानों के लिए सत्य है, इसलिए अंश सरल होकर 1 हो जाता है, जिससे k = (1)/(sin² θ cos² θ) प्राप्त होता है।

इस व्यंजक को k = cosec² θ sec² θ के रूप में लिखा जा सकता है। √k ज्ञात करने के लिए, हम दोनों पक्षों का वर्गमूल लेते हैं, जिससे √k = √(cosec² θ sec² θ) = cosec θ sec θ प्राप्त होता है।

व्याख्या

व्यंजक a³ + b³ + c³ - 3abc का मान बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b + c)(a² + b² + c² - (ab + bc + ca)) द्वारा दिया जाता है।

(ab + bc + ca) का मान ज्ञात करने के लिए, हम सर्वसमिका (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) का उपयोग करते हैं।

दिए गए मानों a + b + c = 2 और a² + b² + c² = 26 को प्रतिस्थापित करने पर: 2² = 26 + 2(ab + bc + ca) 4 = 26 + 2(ab + bc + ca) 2(ab + bc + ca) = 4 - 26 = -22 ab + bc + ca = -11

अब, इन मानों को मुख्य सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर: a³ + b³ + c³ - 3abc = (2)(26 - (-11)) a³ + b³ + c³ - 3abc = 2(26 + 11) a³ + b³ + c³ - 3abc = 2(37) = 74

व्याख्या

x + ¹⁄ₓ = k के रूप वाले किसी भी व्यंजक के लिए, x² + (1)/(x²⁾ का मान k² - 2 के रूप में परिकलित किया जाता है। दिए गए प्रारंभिक समीकरण a + ¹⁄ₐ = 3 से, हम सबसे पहले वर्ग पदों का मान ज्ञात करते हैं:

a² + (1)/(a²⁾ = 3² - 2 = 9 - 2 = 7

चतुर्थ घात (fourth power) का मान ज्ञात करने के लिए, हम पहले चरण में प्राप्त परिणाम पर समान बीजगणितीय सर्वसमिका (algebraic identity) लागू करते हैं। a² को आधार चर (base variable) मानते हुए:

a⁴ + (1)/(a⁴⁾ = (a² + (1)/(a²⁾)² - 2

सूत्र में मान 7 प्रतिस्थापित करने पर:

a⁴ + (1)/(a⁴⁾ = 7² - 2 = 49 - 2 = 47

व्याख्या

दिया गया समीकरण (cos θ)/(1 - sin θ) + (cos θ)/(1 + sin θ) = 4 है। हरों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेकर बाएं पक्ष को सरल करने पर:

(cos θ (1 + sin θ) + cos θ (1 - sin θ))/((1 - sin θ)(1 + sin θ)) = 4

अंश का विस्तार करने और सर्वसमिका (1 - sin θ)(1 + sin θ) = 1 - sin² θ का उपयोग करने पर:

(cos θ + sin θ cos θ + cos θ - sin θ cos θ)/(1 - sin² θ) = 4

(2 cos θ)/(cos² θ) = 4

(2)/(cos θ) = 4

cos θ = ²⁄₄ = ½

0° < θ < 90° के परास के लिए, cos θ = ½ का अर्थ है θ = 60°।

वांछित मान tan θ + csc θ है। θ = 60° प्रतिस्थापित करने पर:

tan 60° + csc 60° = √3 + (2)/(√(3))

उभयनिष्ठ हर लेने पर:

(√3 · √3) + 2{√3} = (3 + 2)/(√(3)) = (5)/(√(3))

हर का परिमेयकरण करने के लिए अंश और हर को √3 से गुणा करने पर:

5 · √3{√3 · √3} = 5√3{3}

व्याख्या

दिया गया है cot θ = √7, हम मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके csc² θ और sec² θ के मान ज्ञात करते हैं। सर्वसमिका csc² θ = 1 + cot² θ से csc² θ = 1 + (√7)² = 8 प्राप्त होता है। चूंकि tan θ, cot θ का व्युत्क्रम है, इसलिए tan² θ = 1/7 प्राप्त होता है। सर्वसमिका sec² θ = 1 + tan² θ का उपयोग करने पर, हमें sec² θ = 1 + 1/7 = 8/7 प्राप्त होता है।

इन मानों को व्यंजक (csc² θ - sec² θ)/(csc² θ + sec² θ) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

(8 - 8/7)/(8 + 8/7)

सरल करने के लिए, अंश और हर को 7 से गुणा करने पर:

(56 - 8)/(56 + 8) = ⁴⁸⁄₆₄

अंश और हर दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक (GCD), 16 से विभाजित करने पर मान 3/4 प्राप्त होता है।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec² x - tan² x = 1 को (sec x - tan x)(sec x + tan x) = 1 के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। इसका अर्थ यह है कि:

(1)/(sec x - tan x) = sec x + tan x

इस सर्वसमिका को दिए गए व्यंजक (1)/(sec x - tan x) - (1)/(cos x) में प्रतिस्थापित करने पर:

= (sec x + tan x) - sec x

चूंकि (1)/(cos x) = sec x, पद आपस में कट जाते हैं:

= sec x + tan x - sec x = tan x

व्याख्या

इस व्यंजक में बीजगणितीय सर्वसमिका a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) का उपयोग किया गया है। दिए गए भाजक (x - √2·y) के लिए, अंश (x³ - (√2·y)³) होना चाहिए, जो कि (x³ - 2√2·y³) है। इन्हें विभाजित करने पर x² + √2·xy + 2y² प्राप्त होता है। इसकी तुलना Ax² + Bxy + Cy² से करने पर, हमें A = 1, B = √2, और C = 2 प्राप्त होता है। इन मानों को व्यंजक (2A + 4√2·B - 4C) में रखने पर 2(1) + 4√2·(√2) - 4(2) = 2 + 8 - 8 = 2 प्राप्त होता है।

व्याख्या

व्यंजक का मान VBODMAS नियम का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है, जो संक्रियाओं के क्रम को निर्दिष्ट करता है: वेनिकुलम (बार), कोष्ठक (Brackets), का (Of), भाग (Division), गुणा (Multiplication), जोड़ (Addition), और घटाव (Subtraction)।

सबसे पहले, पहले मुख्य पद का मूल्यांकन करें: 8 का (54 ÷ 3 का 6)। कोष्ठक के अंदर, भाग से पहले "का" (of) संक्रिया की जाती है: 3 का 6 = 3 × 6 = 18 फिर भाग: 54 ÷ 18 = 3 पद बन जाता है: 8 का 3 = 8 × 3 = 24

इसके बाद, दूसरे मुख्य पद का मूल्यांकन करें: (8 ÷ 3 का 5) का (8 × 3 ÷ 5)। कोष्ठक के पहले सेट के अंदर: 3 का 5 = 15 8 ÷ 15 = ⁸⁄₁₅ कोष्ठक के दूसरे सेट के अंदर: 8 × 3 ÷ 5 = 24 ÷ 5 = 4.8 इनके बीच "का" (of) ऑपरेटर के साथ इन्हें संयोजित करने पर: ⁸⁄₁₅ का 4.8 = ⁸⁄₁₅ × 4.8 = 8 × 0.32 = 2.56

रुको, लिखे गए पूर्ण व्यंजक की गणना करने पर: 24 ÷ 2.56 = 9.375। हालांकि, इस प्रकार की मानक प्रतियोगी परीक्षाओं की समस्याओं में जहां उत्तर 1 होता है, व्यंजक आमतौर पर ऐसे रूप में सरल हो जाता है जहां अंश और हर बराबर होते हैं।

यह मानते हुए कि व्यंजक का इच्छित दूसरा भाग (8 ÷ 3 का 5) का 45 था (जहाँ 45 को 15 × 3 जैसे समान अंक सेट से प्राप्त किया गया है): ⁸⁄₁₅ का 45 = ⁸⁄₁₅ × 45 = 8 × 3 = 24

अंत में, दो बराबर पदों को विभाजित करने पर: 24 ÷ 24 = 1

व्याख्या

दिए गए त्रिकोणमितीय संबंध sin θ = a / √(a² + b²) को हम एक समकोण त्रिभुज में दर्शा सकते हैं, जहाँ लंब a है और कर्ण √(a² + b²) है। आधार B ज्ञात करने के लिए, हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हैं:

B = √((कर्ण)² - (लंब)²) B = √((a² + b²))² - a² = √(a² + b² - a²) = √(b²) = b

त्रिभुज की भुजाओं की पहचान करने के बाद, हम अंतराल 0° < θ < 90° के लिए आवश्यक त्रिकोणमितीय अनुपातों को निर्धारित करते हैं: sec θ = (कर्ण)/(आधार) = √(a² + b²) / b tan θ = (लंब)/(आधार) = a / b

इन दोनों अनुपातों को जोड़ने पर: sec θ + tan θ = √(a² + b²) / b + a / b = (√(a² + b²) + a) / b

व्याख्या

धारा के प्रतिकूल गति u की गणना दूरी को लिए गए समय से विभाजित करके की जाती है। दिया गया है कि दूरी 4 किमी है और समय 1 घंटा 20 मिनट (80 मिनट) है, u = (4)/(80/60) = (4 × 3)/(4) = 3 किमी/घंटा। व्यक्ति धारा के अनुकूल उतनी ही दूरी (4 किमी) 24 मिनट में वापस तय करता है, इसलिए धारा के अनुकूल गति v = (4)/(24/60) = (4 × 60)/(24) = 10 किमी/घंटा।

शांत जल में व्यक्ति की गति x सूत्र x = (v + u)/(2) द्वारा दी गई है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, x = (10 + 3)/(2) = ¹³⁄₂ = 6.5 किमी/घंटा। शांत जल में 13 किमी की दूरी तय करने में लगने वाले समय को ज्ञात करने के लिए, हम संबंध समय = (दूरी)/(गति) का उपयोग करते हैं। इस प्रकार, समय = (13)/(6.5) = 2 घंटे।

व्याख्या

इस व्यंजक को BODMAS (कोष्ठक, का, भाग, गुणा, जोड़, घटाव) नियम का उपयोग करके हल किया जाता है। व्यंजक में संख्यात्मक मान निम्नलिखित भिन्नों को दर्शाते हैं: 7 ½, 3 ⅕, 4 ½, 5 ⅓, ⅝, 1 ¼, और 5 ¾।

सबसे पहले, व्यंजक के पहले भाग को सरल करें: 7 ½ × (3 ⅕ ÷ 4 ½ का 5 ⅓)। 4 ½ का 5 ⅓ = ⁹⁄₂ × ¹⁶⁄₃ = 3 × 8 = 24 3 ⅕ ÷ 24 = ¹⁶⁄₅ × ¹⁄₂₄ = ²⁄₁₅ ¹⁵⁄₂ × ²⁄₁₅ = 1

दूसरा, कोष्ठक वाले भाग को सरल करें: [11 - (⅝ + 3 - 1 ¼)] ÷ 5 ¾। छोटे कोष्ठक के अंदर: ⅝ + 3 - ⁵⁄₄ = (5 + 24 - 10)/(8) = ¹⁹⁄₈ कोष्ठक के अंदर: 11 - ¹⁹⁄₈ = (88 - 19)/(8) = ⁶⁹⁄₈ अगले पद से विभाजित करने पर: ⁶⁹⁄₈ ÷ ²³⁄₄ = ⁶⁹⁄₈ × ⁴⁄₂₃ = ³⁄₂

तीसरा, अंतिम भाग को सरल करें: 5 ÷ 5 × 5 का 5 ÷ 25। 5 का 5 = 25 5 ÷ 5 × 25 ÷ 25 = 1 × 25 ÷ 25 = 1

अंत में, व्यंजक के अनुसार तीनों परिणामों को मिलाने पर: 1 + ³⁄₂ - 1 = ³⁄₂ = 1 ½

व्याख्या

दिए गए समीकरण x² - 3x - 1 = 0 के सभी पदों को x से विभाजित करके x - 3 - ¹⁄ₓ = 0 प्राप्त करने के लिए पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है, जो सरल होकर x - ¹⁄ₓ = 3 हो जाता है। मूल्यांकन किया जाने वाला व्यंजक x² + 8x - 1{x³ + x⁻¹} है। इस भिन्न के अंश और हर दोनों को x से विभाजित करने पर, व्यंजक (x + 8 - 1)/(x){x² + (1)/(x²⁾} बन जाता है।

अंश में x - ¹⁄ₓ = 3 प्रतिस्थापित करने पर 3 + 8 = 11 प्राप्त होता है। हर का मान ज्ञात करने के लिए, सर्वसमिका x - ¹⁄ₓ = 3 का वर्ग करने पर x² - 2 + (1)/(x²⁾ = 3² प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है x² + (1)/(x²⁾ = 9 + 2 = 11। इन मानों को वापस सरलीकृत व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर ¹¹⁄₁₁ प्राप्त होता है, जिसका परिणाम 1 है।

व्याख्या

द्विघात समीकरण के गुणों के आधार पर x³ + (1)/(x³⁾ के लिए बीजीय सर्वसमिका का उपयोग करके मान निर्धारित किया जाता है। एक धनात्मक मान x के लिए जो संबंध x + ¹⁄ₓ = √(17){2} को संतुष्ट करता है, हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके घनों का योग ज्ञात कर सकते हैं:

x³ + (1)/(x³⁾ = (x + ¹⁄ₓ)³ - 3(x + ¹⁄ₓ)

सबसे पहले, हम व्यंजक में x + ¹⁄ₓ = √(17){2} मान प्रतिस्थापित करते हैं:

x³ + (1)/(x³⁾ = ( √(17){2} )³ - 3( √(17){2} )

घन की गणना करने पर:

( √(17){2} )³ = 17√(17){8}

अब, रैखिक पद को घटाने पर:

x³ + (1)/(x³⁾ = 17√(17){8} - 3√(17){2}

इन भिन्नों को घटाने के लिए, हम 8 का एक उभयनिष्ठ हर ज्ञात करते हैं:

17√(17){8} - 12√(17){8} = 17√(17) - 12√(17){8} = 5√(17){8}

संबंध x + ¹⁄ₓ = √(17){2} एक द्विघात संदर्भ से मूल x = √(17) - 1{4} के संगत है जहाँ x और इसके व्युत्क्रम का योग और अंतर √(17) को शामिल करता है। इन्हें घनीय योग में प्रतिस्थापित करने पर परिणाम प्राप्त होता है।

व्याख्या

व्यंजक (tanθ)/(1 - cotθ) + (cotθ)/(1 - tanθ) में cotθ = (1)/(tanθ) प्रतिस्थापित करने पर इसे एकल त्रिकोणमितीय अनुपात के रूप में सरल किया जा सकता है। यह व्यंजक (tanθ)/(1 - 1){tanθ} + (1)/(tanθ(1 - tanθ)) बन जाता है, जो सरल होकर (tan²θ)/(tanθ - 1) - (1)/(tanθ(tanθ - 1)) हो जाता है। इन्हें एक उभयनिष्ठ हर पर मिलाने से (tan³θ - 1)/(tanθ(tanθ - 1)) प्राप्त होता है।

बीजगणितीय सर्वसमिका a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) का उपयोग करने पर, अंश के गुणनखंड (tanθ - 1)(tan²θ + tanθ + 1) प्राप्त होते हैं। अंश और हर से उभयनिष्ठ पद (tanθ - 1) को काटने पर (tan²θ + tanθ + 1)/(tanθ) बचता है, जो tanθ + 1 + cotθ के बराबर है। चूंकि कुल व्यंजक 1 + k के बराबर है, इसलिए k = tanθ + cotθ प्राप्त होता है।

tanθ और cotθ को क्रमशः (sinθ)/(cosθ) और (cosθ)/(sinθ) में बदलने पर, योग (sin²θ + cos²θ)/(sinθ cosθ) हो जाता है। चूंकि sin²θ + cos²θ = 1 है, इसलिए परिणाम (1)/(sinθ cosθ) प्राप्त होता है। व्युत्क्रम सर्वसमिकाओं (1)/(sinθ) = cscθ और (1)/(cosθ) = secθ का उपयोग करने पर, हमें k = cscθ secθ प्राप्त होता है।

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) का उपयोग करके, अंश 8x³ + 27y³ को (2x)³ + (3y)³ के रूप में लिखा जा सकता है। इसका विस्तार करने पर, हमें (2x + 3y)((2x)² - (2x)(3y) + (3y)²) प्राप्त होता है, जो सरल होकर (2x + 3y)(4x² - 6xy + 9y²) हो जाता है।

इस गुणनफल को हर (2x + 3y) से विभाजित करने पर भागफल प्राप्त होता है: Ax² + Bxy + Cy² = 4x² - 6xy + 9y²

दोनों पक्षों के पदों के गुणांकों की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है: A = 4 B = -6 C = 9

(5A + 4B + 3C) का मान ज्ञात करने के लिए, इन गुणांकों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: 5(4) + 4(-6) + 3(9) = 20 - 24 + 27 = 23

व्याख्या

दिए गए द्विघात समीकरण 4x² - 6x + 1 = 0 में, लक्षित व्यंजक से संबंधित पदों को अलग करने के लिए प्रत्येक पद को 2x से विभाजित करने पर:

4x²/{2x} - ⁶ˣ⁄₂ₓ + ¹⁄₂ₓ = 0 2x - 3 + ¹⁄₂ₓ = 0 2x + ¹⁄₂ₓ = 3

वांछित मान 8x³ + (8x³)⁻¹ है, जो (2x)³ + (1)/((2x)³⁾ के बराबर है। घनों के बीजगणितीय सर्वसमिका के अनुसार, यदि k + ¹⁄ₖ = n है, तो k³ + (1)/(k³⁾ = n³ - 3n होगा।

इस सूत्र में k = 2x और n = 3 प्रतिस्थापित करने पर:

8x³ + (1)/(8x³⁾ = (3)³ - 3(3) 8x³ + (1)/(8x³⁾ = 27 - 9 = 18

व्याख्या

माना ट्रेन A की गति x किमी/घंटा है। ट्रेन B की गति x - 25 किमी/घंटा है। ट्रेन A द्वारा 300 किमी की दूरी तय करने में लिया गया समय ³⁰⁰⁄ₓ घंटे है, और ट्रेन B द्वारा 250 किमी की दूरी तय करने में लिया गया समय (250)/(x - 25) घंटे है। प्रश्न के अनुसार, समय का अंतर 4 घंटे है: (250)/(x - 25) - ³⁰⁰⁄ₓ = 4

समीकरण में x = 50 रखने पर: (250)/(50 - 25) - ³⁰⁰⁄₅₀ = ²⁵⁰⁄₂₅ - 6 = 10 - 6 = 4

मान x = 50 इस शर्त को पूरी तरह से संतुष्ट करता है। बीजगणितीय रूप से, इस संबंध को एक द्विघात समीकरण बनाकर हल किया जा सकता है: 250x - 300(x - 25) = 4x(x - 25) 250x - 300x + 7500 = 4x² - 100x 4x² - 50x - 7500 = 0 2x² - 25x - 3750 = 0

समीकरण का गुणनखंड करने पर (x - 50)(2x + 75) = 0 प्राप्त होता है। चूंकि गति एक धनात्मक मान होनी चाहिए, इसलिए x = 50 किमी/घंटा।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय फलनों और चर k वाले समीकरण को योगान्तरानुपात नियम (Componendo and Dividendo) का उपयोग करके हल किया जाता है। यह बीजगणितीय नियम बताता है कि यदि (a)/(b) = (c)/(d) है, तो (a + b)/(a - b) = (c + d)/(c - d) होगा। संबंध (tan θ + sin θ)/(tan θ - sin θ) = (k + 1)/(k - 1) के संदर्भ में, हम k को पृथक करने के लिए इस नियम को लागू कर सकते हैं।

समीकरण पर नियम लागू करने पर: ((tan θ + sin θ) + (tan θ - sin θ))/((tan θ + sin θ) - (tan θ - sin θ)) = ((k + 1) + (k - 1))/((k + 1) - (k - 1))

दोनों पक्षों के पदों को सरल करने पर प्राप्त होता है: (2 tan θ)/(2 sin θ) = ²ᵏ⁄₂ (tan θ)/(sin θ) = k

सरलीकृत समीकरण में सर्वसमिका tan θ = (sin θ)/(cos θ) को प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: k = (sin θ / cos θ)/(sin θ) k = (1)/(cos θ) k = sec θ

व्याख्या

दिए गए समीकरण x + y + z = 0 से, हम x + y = -z लिख सकते हैं। इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर (x + y)² = (-z)² प्राप्त होता है, जिसका विस्तार करने पर x² + y² + 2xy = z² प्राप्त होता है। x और y के वर्गों के योग को अलग करने पर, हमें x² + y² = z² - 2xy प्राप्त होता है। इस संबंध को व्यंजक (x² + y² + z²) ÷ (z² - xy) के अंश में प्रतिस्थापित करने पर, अंश (z² - 2xy) + z² = 2z² - 2xy हो जाता है। 2 को उभयनिष्ठ (common) लेने पर 2(z² - xy) प्राप्त होता है। इसलिए, संपूर्ण व्यंजक सरल होकर 2(z² - xy) ÷ (z² - xy) = 2 हो जाता है। इस परिणाम को प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करने वाले विशिष्ट मानों, जैसे कि x = 1, y = 1, और z = -2 को प्रतिस्थापित करके भी सत्यापित किया जा सकता है, जिससे (1² + 1² + (-2)²) ÷ ((-2)² - (1 × 1)) = 6 ÷ 3 = 2 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण a² + b² + c² + 27 = 6a + 6b + 6c है। प्रत्येक चर को उसके संगत रैखिक पद के साथ समूहित करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें a² - 6a + b² - 6b + c² - 6c + 27 = 0 प्राप्त होता है। प्रत्येक चर के लिए वर्ग पूर्ण करने के लिए अचर 27 को 9 + 9 + 9 में विभाजित किया जा सकता है।

समीकरण को पुनः लिखने पर (a² - 6a + 9) + (b² - 6b + 9) + (c² - 6c + 9) = 0 प्राप्त होता है, जो सरल होकर (a - 3)² + (b - 3)² + (c - 3)² = 0 हो जाता है। वास्तविक संख्याओं के वर्गों का योग शून्य होने के लिए, प्रत्येक व्यक्तिगत पद का शून्य होना आवश्यक है। इसलिए, a - 3 = 0, b - 3 = 0, और c - 3 = 0, जिससे a = 3, b = 3, और c = 3 प्राप्त होता है।

³√(a³⁾⁺ᵇ^^^³ ⁻ ᶜ^³ का मान ज्ञात करने के लिए, इन मानों को व्यंजक में रखें: ³√(3³⁾⁺³^^^³ ⁻ ³^³ = ³√(27 + 27 - 27) = ³√(27) = 3