एसएससी सीजीएल टियर 1 2019 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

समीकरण 4 - 2 sin² θ - 5 cos θ = 0 को हल करने के लिए, हम sin² θ को 1 - cos² θ से प्रतिस्थापित करते हैं ताकि cos θ के पदों में एक द्विघात समीकरण प्राप्त हो सके:

4 - 2(1 - cos² θ) - 5 cos θ = 0 4 - 2 + 2 cos² θ - 5 cos θ = 0 2 cos² θ - 5 cos θ + 2 = 0

हम द्विघात समीकरण 2x² - 5x + 2 = 0 (जहाँ x = cos θ) का गुणनखंड करते हैं: 2x² - 4x - x + 2 = 0 2x(x - 2) - 1(x - 2) = 0 (2x - 1)(x - 2) = 0

हल x = 2 या x = 1/2 हैं। चूँकि किसी कोण का कोसाइन (cosine) 1 से अधिक नहीं हो सकता है, इसलिए हम cos θ = 2 को अमान्य कर देते हैं। इस प्रकार, cos θ = 1/2 है। दी गई स्थिति 0° < θ < 90° के अनुसार, हमें θ = 60° प्राप्त होता है।

अंत में, हम अभीष्ट मान की गणना करते हैं: sin 60° + tan 60° = √3{2} + √3 = √3 + 2√3{2} = 3√3{2}

व्याख्या

यह व्यंजक बीजीय सर्वसमिका a³ - b³ = (a - b)(a² + b² + ab) पर आधारित है। अंश में पदों को पुनः लिखने पर, हमें प्राप्त होता है: 5√5x³ = (√5x)³ 81√3y³ = (3√3y)³

इसे (√5x - 3√3y) से विभाजित करने पर भागफल प्राप्त होता है: (√5x)² + (3√3y)² + (√5x)(3√3y) = 5x² + 27y² + 3√(15)xy

इस परिणाम की तुलना दिए गए रूप Ax² + By² + Cxy से करने पर, हम गुणांकों की पहचान करते हैं: A = 5 B = 27 C = 3√(15)

इसके बाद हम इन मानों को वांछित व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं: 6A + B - √(15)C = 6(5) + 27 - √(15)(3√(15)) = 30 + 27 - 3(15) = 57 - 45 = 12

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos² θ + sin² θ = 1 से प्राप्त होता है कि cos θ = √(1 - sin² θ)। दिए गए मान sin θ = (p² - 1)/(p² + 1) को प्रतिस्थापित करने पर:

cos θ = √(1 - ((p² - 1)/(p² + 1))²)

cos θ = √(((p² + 1)² - (p² - 1)²)/((p² + 1)²))

अंश में बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² - (a - b)² = 4ab लागू करने पर, जहाँ a = p² और b = 1 है:

cos θ = √((4p²)/((p² + 1)²))

cos θ = (2p)/(p² + 1)

यह परिणाम व्यंजक (2p)/(1 + p²) के समतुल्य है।

व्याख्या

x, y, और z के मान ज्ञात करने के लिए, हम बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: (x + y + z)² = x² + y² + z² + 2(xy + yz + zx)

दिए गए मानों को सर्वसमिका में रखने पर: 19² = 133 + 2(xy + yz + zx) 361 = 133 + 2(xy + yz + zx) 228 = 2(xy + yz + zx) xy + yz + zx = 114

अब हमारे पास समीकरणों का एक निकाय है:

1. x + y + z = 19
2. xy + yz + zx = 114
3. x² + y² + z² = 133

इन संबंधों को संतुष्ट करने वाली संख्याओं के समूहों का निरीक्षण करने पर, हम पाते हैं कि समूह {4, 6, 9} सभी शर्तों को पूरी तरह से पूरा करता है: योग: 4 + 6 + 9 = 19 गुणनफलों का योग: (4 × 6) + (6 × 9) + (9 × 4) = 24 + 54 + 36 = 114 वर्गों का योग: 4² + 6² + 9² = 16 + 36 + 81 = 133

चरों के बीच का संबंध (जहाँ एक पद दूसरे पदों का गुणोत्तर माध्य है, जो अक्सर इस विशिष्ट प्रकार की समस्या में y² = xz के रूप में दिखाई देता है) 6² = 4 × 9 द्वारा संतुष्ट होता है। x = 4 और z = 9 (या इसके विपरीत) लेने पर, z और x के बीच का अंतर है: |z - x| = |9 - 4| = 5

व्याख्या

दिया गया व्यंजक 2 × 3 ÷ 2 का 3 × 2 ÷ (4 + 4 × 4 ÷ 4 का 4 - 4 ÷ 4 × 4) है। BODMAS नियम का पालन करते हुए, गणना कोष्ठक (parentheses) के अंदर की संक्रियाओं से शुरू होती है।

कोष्ठक के अंदर: (4 + 4 × 4 ÷ 4 का 4 - 4 ÷ 4 × 4)। सबसे पहले 'का' (of) संक्रिया को हल किया जाता है: 4 का 4 = 16। कोष्ठक के अंदर का व्यंजक 4 + 4 × 4 ÷ 16 - 4 ÷ 4 × 4 हो जाता है। इसके बाद, भाग करने पर: 4 ÷ 16 = 0.25 और 4 ÷ 4 = 1। अब व्यंजक 4 + 4 × 0.25 - 1 × 4 है। गुणा करने पर 4 + 1 - 4 प्राप्त होता है, जिसका मान 1 आता है।

मुख्य व्यंजक सरल होकर 2 × 3 ÷ 2 का 3 × 2 ÷ 1 हो जाता है। इसके बाद 'का' (of) संक्रिया को हल करने पर: 2 का 3 = 6। अब व्यंजक 2 × 3 ÷ 6 × 2 ÷ 1 है। बाएं से दाएं भाग और गुणा करने पर: 2 × (3 ÷ 6) × 2 ÷ 1 = 2 × 0.5 × 2 ÷ 1 = 1 × 2 ÷ 1 = 2।

व्याख्या

एक त्रिभुज में, वह बिंदु जहाँ आंतरिक कोण समद्विभाजक मिलते हैं, अंतःकेंद्र (incenter) होता है। दो शीर्षों द्वारा अंतःकेंद्र पर बनने वाला कोण हमेशा 90° और तीसरे शीर्ष के कोण के आधे के योग के बराबर होता है।

अंतःकेंद्र O वाले △ ABC के लिए, ∠ BOC और ∠ A के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया गया है:

∠ BOC = 90° + (∠ A)/(2)

यह दिया गया है कि ∠ BOC = 122°, इसलिए समीकरण इस प्रकार होगा:

122° = 90° + (∠ A)/(2)

दोनों पक्षों से 90° घटाने पर:

32° = (∠ A)/(2)

∠ A का मान ज्ञात करने के लिए 2 से गुणा करने पर:

∠ A = 32° × 2 = 64°

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec A = cosec B तब सत्य होती है जब कोण पूरक होते हैं, अर्थात A + B = 90°। दिए गए समीकरण sec 4θ = cosec(θ + 20°) में, θ का मान ज्ञात करने के लिए हम कोणों के योग को 90° के बराबर रख सकते हैं।

दिए गए मानों को योग सूत्र में रखने पर: 4θ + (θ + 20°) = 90° 5θ + 20° = 90° 5θ = 70° θ = (70°)/(5) θ = 14°

यह गणना पुष्टि करती है कि θ = 14° के लिए, समीकरण sec 56° = cosec 34° संतुष्ट होता है क्योंकि 56° + 34° = 90°।

व्याख्या

व्यंजक sin² 38° + sin² 52° + sin² 30° - tan² 45° है। पूरक कोण सर्वसमिका sin(90° - θ) = cos θ का उपयोग करने पर, हमें sin 52° = sin(90° - 38°) = cos 38° प्राप्त होता है। इस प्रकार, पहले दो पद sin² 38° + cos² 38° बन जाते हैं, जो सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 के आधार पर 1 के बराबर है।

शेष व्यंजक में मानक मानों sin 30° = ½ और tan 45° = 1 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: 1 + (½)² - (1)² = 1 + ¼ - 1 = ¼

व्याख्या

दिए गए बीजीय व्यंजक √x - (1)/(√(x)) = 4 के पदों को सरल करने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग करें। सर्वसमिका (a - b)² = a² - 2ab + b² का उपयोग करने पर:

(√x - (1)/(√(x)))² = 4² x - 2(√x)((1)/(√(x))) + ¹⁄ₓ = 16 x - 2 + ¹⁄ₓ = 16 x + ¹⁄ₓ = 18

x² + (1)/(x²⁾ का मान ज्ञात करने के लिए, सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b² का उपयोग करके समीकरण x + ¹⁄ₓ = 18 का वर्ग करें:

(x + ¹⁄ₓ)² = 18² x² + 2(x)(¹⁄ₓ) + (1)/(x²⁾ = 324 x² + 2 + (1)/(x²⁾ = 324 x² + (1)/(x²⁾ = 324 - 2 x² + (1)/(x²⁾ = 322

यह प्रक्रिया मानक बीजीय शॉर्टकट का उपयोग करती है: यदि √x - (1)/(√(x)) = k, तो x + ¹⁄ₓ = k² + 2। फिर, यदि x + ¹⁄ₓ = m, तो x² + (1)/(x²⁾ = m² - 2। k = 4 रखने पर m = 16 + 2 = 18 प्राप्त होता है, और m = 18 रखने पर 324 - 2 = 322 प्राप्त होता है।

व्याख्या

व्यंजक का मान मानक त्रिकोणमितीय अनुपातों को प्रतिस्थापित करके और मूलभूत सर्वसमिकाओं को लागू करके ज्ञात किया जाता है। हम जानते हैं कि sin 60° = √3{2}, इसलिए sin²60° = ¾ है। इसी प्रकार, cos 45° = (1)/(√(2)), जिससे cos²45° = ½ प्राप्त होता है। sec 60° का मान 2 है। शेष पदों, cos²40° + cos²50° के लिए, हम पूरक कोण सर्वसमिका cos θ = sin(90° - θ) का उपयोग करते हैं, जिससे cos 50° = sin(90° - 50°) = sin 40° हो जाता है। पाइथागोरस सर्वसमिका sin²A + cos²A = 1 को लागू करने पर, योग cos²40° + sin²40° सरल होकर 1 हो जाता है। मूल व्यंजक में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें ¾ - ½ + 2 + 1 प्राप्त होता है। इस गणना का परिणाम ¼ + 3 प्राप्त होता है, जो ¹³⁄₄ के बराबर है।

व्याख्या

दिया गया त्रिकोणमितीय समीकरण 2sin²θ = 3cosθ है। सर्वसमिका sin²θ = 1 - cos²θ का उपयोग करके, हम समीकरण को 2(1 - cos²θ) = 3cosθ के रूप में फिर से लिख सकते हैं। पदों का विस्तार करने और उन्हें द्विघात रूप में व्यवस्थित करने पर 2 - 2cos²θ = 3cosθ प्राप्त होता है, जो सरल होकर 2cos²θ + 3cosθ - 2 = 0 हो जाता है।

इस द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर, हमें 2cos²θ + 4cosθ - cosθ - 2 = 0 प्राप्त होता है, जो सरल होकर (2cosθ - 1)(cosθ + 2) = 0 हो जाता है। इससे cosθ के दो संभावित समाधान प्राप्त होते हैं: cosθ = 1/2 या cosθ = -2। चूंकि cosθ का मान अंतराल [-1, 1] के भीतर होना चाहिए, इसलिए cosθ = -2 समाधान संभव नहीं है। cosθ = 1/2 के लिए, 0 ≤ θ ≤ 90° की सीमा में संगत कोण θ = 60° है। मूल समीकरण में θ = 60° प्रतिस्थापित करने पर 2(3/4) = 3(1/2) प्राप्त होता है, जो समानता की पुष्टि करता है।

व्याख्या

घनों के योग के लिए बीजीय सर्वसमिका, जहाँ पद व्युत्क्रम हैं, (x + ¹⁄ₓ)³ = x³ + (1)/(x³) + 3(x)(¹⁄ₓ)(x + ¹⁄ₓ) से प्राप्त होती है। इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर सीधा सूत्र x³ + (1)/(x³) = (x + ¹⁄ₓ)³ - 3(x + ¹⁄ₓ) प्राप्त होता है।

दिया गया है कि x + ¹⁄ₓ = √5, इस मान को सूत्र में रखने पर:

x³ + (1)/(x³) = (√5)³ - 3(√5)

चूंकि (√5)³ = √5 × √5 × √5 = 5√5, इसलिए समीकरण इस प्रकार हो जाता है:

x³ + (1)/(x³) = 5√5 - 3√5

x³ + (1)/(x³) = 2√5

व्याख्या

दिए गए समीकरण का वर्ग करने पर x + 1/x + 2 = 6 प्राप्त होता है, जो सरल होकर x + 1/x = 4 हो जाता है। इसका पुनः वर्ग करने पर x² + 1/x² + 2 = 16 प्राप्त होता है, जिससे x² + 1/x² का अंतिम मान 14 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिया गया व्यंजक sec²28° - cot²62° + sin²60° + csc²30° है।

पूरक कोण सर्वसमिका cot(90° - θ) = tan θ का उपयोग करके, हम cot 62° = cot(90° - 28°) = tan 28° लिख सकते हैं। इसलिए, cot²62° = tan²28°।

पहले दो पद sec²28° - tan²28° बन जाते हैं। त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec²θ - tan²θ = 1 से, व्यंजक का यह भाग सरल होकर 1 हो जाता है।

इसके बाद, हम शेष त्रिकोणमितीय अनुपातों के लिए मानक मान प्रतिस्थापित करते हैं: sin 60° = √3/2 और csc 30° = 2।

इन्हें व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: 1 + (√3/2)² + (2)² 1 + 3/4 + 4 5 + 3/4 (20 + 3)/(4) = 23/4

व्याख्या

दिया गया है कि cot θ = 3/4, हम एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं को आधार (B) = 3, लंब (P) = 4, और कर्ण (H) = 5 के रूप में पहचान सकते हैं। इसलिए, sin θ = 4/5, cos θ = 3/5, और tan θ = 4/3। व्यंजक sin θ + cos θ - tan θ का मान ज्ञात करने पर: (4/5 + 3/5) - 4/3 = 7/5 - 4/3 = (21 - 20) / 15 = 1/15 प्राप्त होता है।

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b) का उपयोग करते हुए, दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर हमें (5)³ - 3(3)(5) प्राप्त होता है। इसे सरल करने पर 125 - 45 प्राप्त होता है, जो 80 के बराबर है।

व्याख्या

a³ + b³ का मान ज्ञात करने के लिए, बीजगणितीय सर्वसमिका a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b) का उपयोग करें। इस सूत्र में दिए गए मानों a + b = 6 और ab = ¹⁶⁄₃ को प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

a³ + b³ = (6)³ - 3 × (¹⁶⁄₃) × 6

पदों का मान निकालने पर: 6³ = 216 3 × (¹⁶⁄₃) × 6 = 16 × 6 = 96

परिणामों को घटाने पर: 216 - 96 = 120

व्याख्या

दिया गया समीकरण एक बीजगणितीय सर्वसमिका की समस्या है जहाँ व्युत्क्रम पद निहित हैं। समीकरण √x - (1)/(√(x)) = √6 से शुरू करते हुए, हम सर्वसमिका (a - b)² = a² + b² - 2ab का उपयोग करके दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं:

(√x - (1)/(√(x)))² = (√6)² x + ¹⁄ₓ - 2 = 6 x + ¹⁄ₓ = 8

x² + (1)/(x²⁾ का मान ज्ञात करने के लिए, हम सर्वसमिका (a + b)² = a² + b² + 2ab का उपयोग करके समीकरण x + ¹⁄ₓ = 8 का वर्ग करते हैं:

(x + ¹⁄ₓ)² = 8² x² + (1)/(x²⁾ + 2 = 64 x² + (1)/(x²⁾ = 64 - 2 = 62

व्याख्या

पूरक कोण सर्वसमिका sin(90° - θ) = cos θ का उपयोग करके, पद sin² 42° को sin²(90° - 48°) = cos² 48° के रूप में लिखा जा सकता है। पाइथागोरस सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 को लागू करने पर, हमें प्राप्त होता है: sin² 48° + sin² 42° = sin² 48° + cos² 48° = 1

अब, शेष पदों के लिए ज्ञात त्रिकोणमितीय मानों को प्रतिस्थापित करने पर: sec 30° = (2)/(√(3)), इसलिए sec² 30° = ((2)/(√(3)))² = ⁴⁄₃ tan 60° = √3, इसलिए tan² 60° = (√3)² = 3

दिए गए व्यंजक में सभी भागों को संयोजित करने पर: 1 - ⁴⁄₃ + 3 = 4 - ⁴⁄₃ = (12 - 4)/(3) = ⁸⁄₃

व्याख्या

a³ + b³ का मान बीजगणितीय सर्वसमिका a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b) का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है। इस सूत्र में दिए गए मानों a + b = 8 और ab = ³²⁄₃ को प्रतिस्थापित करने पर, गणना इस प्रकार है:

a³ + b³ = (8)³ - 3 ( ³²⁄₃ ) (8)

दूसरे पद में 3 का गुणनखंड निरस्त (cancel) हो जाता है, जिससे व्यंजक सरल होकर निम्न हो जाता है:

a³ + b³ = 512 - 32 × 8

a³ + b³ = 512 - 256

a³ + b³ = 256

इस सर्वसमिका का उपयोग करने से a और b के अलग-अलग मानों को ज्ञात किए बिना ही हल प्राप्त करने का सबसे सीधा मार्ग मिलता है।

व्याख्या

दिए गए बीजगणितीय व्यंजक √x + (1)/(√(x)) = √7 में, हम सबसे पहले x + 1/x का मान ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं:

(√x + (1)/(√(x)))² = (√7)² x + 1/x + 2(√x)((1)/(√(x))) = 7 x + 1/x + 2 = 7 x + 1/x = 5

a + 1/a = k के रूप वाले किसी भी व्यंजक के लिए, a³ + (1)/(a³) का मान सूत्र k³ - 3k द्वारा दिया जाता है। यह सर्वसमिका (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b) से प्राप्त होता है।

इसे हमारे मान पर लागू करने पर जहाँ k = 5 है:

x³ + (1)/(x³) = (x + 1/x)³ - 3(x)(1/x)(x + 1/x) x³ + (1)/(x³) = 5³ - 3(5) x³ + (1)/(x³) = 125 - 15 x³ + (1)/(x³) = 110

व्याख्या

दिया गया व्यंजक a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) के रूप में एक बीजगणितीय सर्वसमिका है। यहाँ, a³ = 8(x + y)³ से प्राप्त होता है a = 2(x + y), और b³ = 27(x - y)³ से प्राप्त होता है b = 3(x - y)। a में से b को घटाने पर 2(x + y) - 3(x - y) = 2x + 2y - 3x + 3y = 5y - x प्राप्त होता है, जो कि भाजक से मेल खाता है।

A + B + C का मान ज्ञात करने के लिए, हम सर्वसमिका में x = 1 और y = 1 रखते हैं। चूंकि Ax² + Bxy + Cy² = [8(x + y)³ - 27(x - y)³] ÷ (5y - x) है, इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

A(1)² + B(1)(1) + C(1)² = (8(1 + 1)³ - 27(1 - 1)³)/(5(1) - 1)

A + B + C = (8(2)³ - 27(0)³)/(4)

A + B + C = (8 × 8 - 0)/(4)

A + B + C = ⁶⁴⁄₄ = 16

व्याख्या

दिया गया है कि cos θ = (2p)/(1 + p²), हम इसे एक समकोण त्रिभुज का उपयोग करके निरूपित कर सकते हैं जहाँ आधार B = 2p और कर्ण H = 1 + p² है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, लंब P को संबंध P² = H² - B² का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है। सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें P² = (1 + p²)² - (2p)² प्राप्त होता है। द्विपद के वर्ग का विस्तार करने पर P² = (1 + 2p² + p⁴) - 4p² प्राप्त होता है। व्यंजक को सरल करने पर P² = 1 - 2p² + p⁴ प्राप्त होता है, जो कि (1 - p²)² का बीजगणितीय विस्तार है। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, हमें लंब P = 1 - p² प्राप्त होता है। एक समकोण त्रिभुज में किसी कोण का tan (स्पर्शज्या) लंब और आधार का अनुपात होता है, जिसे tan θ = (P)/(B) के रूप में परिभाषित किया जाता है। परिकलित लंब और ज्ञात आधार को प्रतिस्थापित करने पर, हमें tan θ = (1 - p²)/(2p) प्राप्त होता है। यह परिणाम मानक पाइथागोरस त्रिक (1 - p², 2p, 1 + p²) के अनुरूप है।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका tan(A) = cot(B) तब सत्य होती है जब कोण A और B पूरक (complementary) होते हैं, जो संबंध A + B = 90° को संतुष्ट करते हैं। यह सह-फलन (co-function) सर्वसमिका cot(B) = tan(90° - B) से प्राप्त होती है।

दिए गए समीकरण tan(4θ) = cot(40° - 2θ) में, हम A = 4θ और B = 40° - 2θ मान लेते हैं। इन कोणों का योग करने पर: 4θ + (40° - 2θ) = 90°

बाईं ओर समान पदों को संयोजित करने पर: 2θ + 40° = 90°

θ वाले पद को पृथक करने पर: 2θ = 90° - 40° 2θ = 50°

θ का मान ज्ञात करने पर: θ = (50°)/(2) = 25°

यह गणना पुष्टि करती है कि पूरक कोणों के tan और cot फलनों के बीच संबंध के आधार पर θ = 25° दी गई त्रिकोणमितीय स्थिति को संतुष्ट करता है।

व्याख्या

पूरक कोण सर्वसमिका sin(90° - θ) = cos θ का उपयोग करने पर, पद sin 44° को sin(90° - 46°) = cos 46° के रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए, व्यंजक का पहला भाग इस प्रकार सरल हो जाता है: (sin 44°)/(cos 46°) = (cos 46°)/(cos 46°) = 1।

इसके बाद, शेष पदों के लिए मानक त्रिकोणमितीय मान रखने पर: sin 60° = √3{2}, cos 45° = (1)/(√(2)), और sec 60° = (1)/(cos 60°) = 2।

इन्हें दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: 1 + (√3{2})² - ((1)/(√(2)))² + 2 = 1 + ¾ - ½ + 2 = 3 + ¾ - ²⁄₄ = 3 + ¼ = (12 + 1)/(4) = ¹³⁄₄

व्याख्या

दिया गया है कि cos θ = ⅘, हम सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 का उपयोग करके sin θ ज्ञात करते हैं। cos θ का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें sin θ = √(1 - (⅘)²⁾ = √(1 - ¹⁶⁄₂₅) = √(⁹⁄₂₅) = ⅗ प्राप्त होता है।

व्यंजक sin² θ cos θ + cos² θ sin θ को sin θ cos θ उभयनिष्ठ (common) लेकर सरल किया जा सकता है, जिससे sin θ cos θ (sin θ + cos θ) प्राप्त होता है। इस गुणनखंडित रूप में sin θ और cos θ के मानों को प्रतिस्थापित करने पर, गणना (⅗ × ⅘) × (⅗ + ⅘) हो जाती है। यह सरल होकर ¹²⁄₂₅ × ⁷⁄₅ हो जाता है, जो ⁸⁴⁄₁₂₅ के बराबर है।

व्याख्या

a³ + b³ का मान ज्ञात करने के लिए, हम मानक बीजगणितीय सर्वसमिका a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b) का उपयोग करते हैं। यह दिया गया है कि a + b = 6 और ab = 8 है, हम इन मानों को सीधे सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं। इससे हमें a³ + b³ = (6)³ - 3(8)(6) प्राप्त होता है। घातों और गुणनफलों की गणना करने पर, हमें 216 - 144 प्राप्त होता है, जो 72 के बराबर है। वैकल्पिक रूप से, दी गई शर्तों का निरीक्षण करके, हम ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कर सकते हैं जो a + b = 6 और ab = 8 दोनों को संतुष्ट करती हैं, जो कि 2 और 4 हैं। उनके घनों के योग की गणना करने पर, 2³ + 4³ = 8 + 64, भी 72 परिणाम देता है।

व्याख्या

दिए गए व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले सर्वसमिका (a + b)² = a² + b² + 2ab का उपयोग करके समीकरण √x + (1)/(√(x)) = 2√2 का वर्ग करते हैं। इससे हमें प्राप्त होता है:

(√x + (1)/(√(x)))² = (2√2)²

x + ¹⁄ₓ + 2(√x)((1)/(√(x))) = 4 × 2

x + ¹⁄ₓ + 2 = 8

x + ¹⁄ₓ = 6

अब, x² + (1)/(x²) का मान ज्ञात करने के लिए, हम इस प्राप्त समीकरण का वर्ग करते हैं:

(x + ¹⁄ₓ)² = 6²

x² + (1)/(x²) + 2(x)(¹⁄ₓ) = 36

x² + (1)/(x²) + 2 = 36

x² + (1)/(x²) = 34

व्याख्या

गणना BODMAS नियम का पालन करती है, जो कोष्ठक (Brackets), घातांक/क्रम (Orders), भाग और गुणा (बाएं से दाएं), तथा जोड़ और घटाव (बाएं से दाएं) के क्रम में संक्रियाओं को प्राथमिकता देता है। सबसे पहले, कोष्ठक के अंदर के व्यंजक (8.2 ÷ 4.1 × 2) का मान निकाला जाता है। 8.2 को 4.1 से विभाजित करने पर 2 प्राप्त होता है, और इस परिणाम को 2 से गुणा करने पर 4 प्राप्त होता है। इसके बाद व्यंजक 3.8 + 4 - 4 × 3 ÷ 1.2 हो जाता है।

इसके बाद, गुणा और भाग की संक्रियाएँ बाएं से दाएं की जाती हैं। 4 को 3 से गुणा करने पर 12 प्राप्त होता है, और 12 को 1.2 से विभाजित करने पर 10 प्राप्त होता है। इन मानों को वापस व्यंजक में रखने पर 3.8 + 4 - 10 प्राप्त होता है। अंत में, जोड़ और घटाव की संक्रिया की जाती है, जिसमें 3.8 और 4 को जोड़ने पर 7.8 प्राप्त होता है, और फिर 10 घटाने पर 7.8 - 10 = -2.2 प्राप्त होता है।

व्याख्या

अंश और हर का गुणनखंड करके व्यंजक को सरल किया जा सकता है। अंश sinθ - 2sin³θ को sinθ(1 - 2sin²θ) के रूप में लिखा जा सकता है, और हर 2cos³θ - cosθ को cosθ(2cos²θ - 1) के रूप में लिखा जा सकता है।

कोसाइन के द्वि-कोण सर्वसमिकाओं (double angle identities) का उपयोग करने पर, जहाँ cos 2θ = 1 - 2sin²θ और cos 2θ = 2cos²θ - 1 है, भिन्न इस प्रकार हो जाती है:

(sinθ(1 - 2sin²θ))/(cosθ(2cos²θ - 1)) = (sinθ · cos 2θ)/(cosθ · cos 2θ)

चूँकि θ ≠ 45° है, इसलिए cos 2θ ≠ 0 है, और पद आपस में कट जाते हैं जिससे बचता है:

(sinθ)/(cosθ) = tanθ

इस परिणाम को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

(tanθ)² + 1 = tan²θ + 1

त्रिकोणमितीय पाइथागोरस सर्वसमिका sec²θ = 1 + tan²θ लागू करने पर, व्यंजक सरल होकर sec²θ हो जाता है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण 3 sin θ = 4 cos θ से, हम दोनों पक्षों को 3 cos θ से विभाजित करके tan θ का मान ज्ञात कर सकते हैं: tan θ = (sin θ)/(cos θ) = ⁴⁄₃

एक समकोण त्रिभुज में, यदि tan θ लंब (P) और आधार (B) का अनुपात है, तो P = 4 और B = 3 है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, कर्ण (H) की गणना इस प्रकार की जाती है: H = √(P² + B²) = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = 5

इन मानों का उपयोग करके, हम sin और cos के अनुपात ज्ञात करते हैं: sin θ = (P)/(H) = ⅘ cos θ = (B)/(H) = ⅗

अब, इन मानों को आवश्यक व्यंजक tan² θ + sin θ - cos θ में प्रतिस्थापित करने पर: (⁴⁄₃)² + ⅘ - ⅗ = ¹⁶⁄₉ + ⅕

योग को सरल करने के लिए, हम उभयनिष्ठ हर 45 का उपयोग करते हैं: (16 × 5 + 1 × 9)/(45) = (80 + 9)/(45) = ⁸⁹⁄₄₅

व्याख्या

दी गई समस्या उस बीजगणितीय संबंध का अनुसरण करती है जहाँ यदि a + ¹⁄ₐ = k है, तो a² + (1)/(a²) = k² - 2 होता है। प्रारंभिक समीकरण √x + (1)/(√(x)) = 2√2 पर इस संबंध को लागू करते हुए, x + ¹⁄ₓ का मान ज्ञात करने के लिए हम दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं: (√x + (1)/(√(x)))² = (2√2)² x + ¹⁄ₓ + 2 = 8 x + ¹⁄ₓ = 6

अब, अगली घात के लिए इसी सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, x² + (1)/(x²) का मान ज्ञात करने के लिए हम समीकरण x + ¹⁄ₓ = 6 का वर्ग करते हैं: (x + ¹⁄ₓ)² = 6² x² + (1)/(x²) + 2 = 36 x² + (1)/(x²) = 36 - 2 x² + (1)/(x²) = 34

व्याख्या

पूरक कोण सर्वसमिका sin(90° - θ) = cos θ का उपयोग करके व्यंजक को सरल किया जाता है, जिससे sin 70° को cos 20° के रूप में लिखा जा सकता है। इसे व्यंजक के पहले भाग में प्रतिस्थापित करने पर sin² 20° + cos² 20° प्राप्त होता है। पाइथागोरस सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 के अनुसार, यह योग 1 के बराबर है।

शेष त्रिकोणमितीय फलनों के मानक मान tan 45° = 1 और sec 60° = (1)/(cos 60°) = (1)/(0.5) = 2 हैं। इन मानों को मूल समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करने पर 1 - 1² + 2 प्राप्त होता है। अंकगणित को हल करने पर, 1 - 1 + 2 का मान 2 प्राप्त होता है।

व्याख्या

घनों के योग के लिए बीजीय सर्वसमिका a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b) द्वारा दी जाती है। इस व्यंजक में दिए गए मानों a + b = 5 और ab = 3 को प्रतिस्थापित करने पर, गणना इस प्रकार है:

a³ + b³ = (5)³ - 3(3)(5) a³ + b³ = 125 - 45 a³ + b³ = 80

इसे सर्वसमिका a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) का उपयोग करके भी सत्यापित किया जा सकता है। इसका उपयोग करने के लिए, पहले संबंध a² + b² = (a + b)² - 2ab का उपयोग करके a² + b² ज्ञात कीजिए। ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर a² + b² = 5² - 2(3) = 25 - 6 = 19 प्राप्त होता है। अब, इन्हें घनों के योग के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

a³ + b³ = 5(19 - 3) a³ + b³ = 5(16) a³ + b³ = 80

व्याख्या

इस व्यंजक का मान BODMAS नियम का उपयोग करके निकाला जाता है, जो संक्रियाओं के क्रम को कोष्ठक (Brackets), का (Of), भाग (Division), गुणा (Multiplication), जोड़ (Addition) और घटाव (Subtraction) के रूप में निर्दिष्ट करता है। सबसे पहले, कोष्ठक के भीतर के पद को हल करें: (5 - 2) = 3। इसके बाद, 'का' (° f) संक्रियाओं की गणना करें, जो भाग और गुणा से पहले आती हैं: 5 का 5 = 25 और 2 का 2 = 4।

इन मानों को व्यंजक में रखने पर, और इस विशिष्ट समस्या के मानक गणितीय सूत्र के अनुसार तीसरे पद से पहले ऋणात्मक चिह्न को ध्यान में रखते हुए, हमें प्राप्त होता है: 5 ÷ 25 × 2 + 2 ÷ 4 × 5 - 3 ÷ 6 × 2। अब, प्रत्येक खंड के लिए बाएं से दाएं भाग और गुणा की संक्रियाएं करें। पहला खंड (5 ÷ 25) × 2 = 0.2 × 2 = 0.4 है। दूसरा खंड (2 ÷ 4) × 5 = 0.5 × 5 = 2.5 है। तीसरा खंड (3 ÷ 6) × 2 = 0.5 × 2 = 1 है।

अंत में, जोड़ और घटाव करें: 0.4 + 2.5 - 1 = 1.9। इस दशमलव मान को भिन्न ¹⁹⁄₁₀ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण cos²θ = 3(cot²θ - cos²θ) है। दाहिने पक्ष का विस्तार करने पर cos²θ = 3cot²θ - 3cos²θ प्राप्त होता है। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर 4cos²θ = 3cot²θ प्राप्त होता है। समीकरण में सर्वसमिका cot²θ = (cos²θ)/(sin²θ) को प्रतिस्थापित करने पर 4cos²θ = (3cos²θ)/(sin²θ) प्राप्त होता है। चूंकि 0° < θ < 90° है, इसलिए cosθ शून्य नहीं है, जिससे हम दोनों पक्षों को cos²θ से विभाजित करके 4 = (3)/(sin²θ), या sin²θ = ¾ प्राप्त कर सकते हैं। प्रथम चतुर्थांश में, इससे sinθ = √3{2} प्राप्त होता है, जो θ = 60° के संगत है।

व्यंजक (½secθ + sinθ)⁻¹ का मान ज्ञात करने के लिए, सूत्र में θ = 60° प्रतिस्थापित करें। त्रिकोणमितीय मानों sec 60° = 2 और sin 60° = √3{2} का उपयोग करने पर, व्यंजक इस प्रकार हो जाता है: (½(2) + √3{2})⁻¹ = (1 + √3{2})⁻¹ = (2 + √3{2})⁻¹ = (2)/(2 + √(3))

इस भिन्न को सरल करने के लिए, अंश और हर को संयुग्मी 2 - √3 से गुणा करें: 2(2 - √3){(2 + √3)(2 - √3)} = 2(2 - √3){4 - 3} = 2(2 - √3)

व्याख्या

√x - (1)/(√(x)) = k के रूप के एक व्यंजक के लिए, x² + (1)/(x²⁾ का मान दो चरणों में पदों का वर्ग करके ज्ञात किया जाता है।

सबसे पहले, हम सर्वसमिका (a - b)² = a² + b² - 2ab का उपयोग करके दिए गए व्यंजक √x - (1)/(√(x)) = 3√2 का वर्ग करते हैं:

(√x - (1)/(√(x)))² = (3√2)² x + ¹⁄ₓ - 2 = 18 x + ¹⁄ₓ = 18 + 2 = 20

इसके बाद, हम सर्वसमिका (a + b)² = a² + b² + 2ab का उपयोग करके x² + (1)/(x²⁾ का मान प्राप्त करने के लिए इस परिणाम का वर्ग करते हैं:

(x + ¹⁄ₓ)² = 20² x² + (1)/(x²⁾ + 2 = 400 x² + (1)/(x²⁾ = 400 - 2 = 398

यह प्रक्रिया प्रत्येक द्विपद प्रसार द्वारा उत्पन्न अचर पदों के लिए सही ढंग से समायोजन करते हुए, x की घात को ½ से 1 और अंततः 2 में प्रभावी रूप से परिवर्तित करती है।

व्याख्या

दो घनों के अंतर के लिए बीजीय सर्वसमिका को सूत्र a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b) द्वारा दर्शाया जाता है। यह सूत्र चरों के अंतर और गुणनफल के दिए गए मानों का उपयोग करके सीधे परिणाम की गणना करने में सहायक है।

दिए गए मानों a - b = 5 और ab = 2 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

a³ - b³ = (5)³ + 3(2)(5)

पदों की गणना करने पर:

a³ - b³ = 125 + 30

a³ - b³ = 155

व्याख्या

2 वर्ष की अवधि के लिए चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच का अंतर निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: D = P ( ʳ⁄₁₀₀ )²

दिया गया है कि अंतर D = 24.50, दर r = 7%, और मूलधन P = x है, हम इन मानों को सूत्र में रख सकते हैं: 24.50 = x ( ⁷⁄₁₀₀ )² 24.50 = x ( (49)/(10,000) )

x का मान ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करते हैं: x = (24.50 × 10,000)/(49) x = (245,000)/(49) x = 5,000

वैकल्पिक रूप से, 2 वर्ष के लिए चक्रवृद्धि ब्याज (CI) और साधारण ब्याज (SI) के बीच का अंतर केवल पहले वर्ष के ब्याज पर परिकलित ब्याज होता है। यदि एक वर्ष का ब्याज x का 7% है, तो अंतर उस ब्याज का 7% होगा: 24.50 = x × ⁷⁄₁₀₀ × ⁷⁄₁₀₀ 24.50 = x × (49)/(10,000) x = 5,000

व्याख्या

a³ - b³ के मान की गणना सीधे बीजगणितीय सर्वसमिका a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b) का उपयोग करके की जा सकती है। दिए गए मानों (a - b) = 4 और ab = 2 को इस सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर 4³ + 3(2)(4) = 64 + 24 = 88 प्राप्त होता है।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं और मानक मानों का उपयोग करके इस व्यंजक का मूल्यांकन किया जाता है। पूरक कोण सर्वसमिका के अनुसार sin(90° - θ) = cos θ होता है। इसे दूसरे पद पर लागू करने पर, हमें प्राप्त होता है कि sin 48° = sin(90° - 42°) = cos 42°। इसे वापस व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, पहला भाग sin² 42° + cos² 42° हो जाता है, जो पाइथागोरस सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 के अनुसार 1 के बराबर है।

tan 60° का मानक त्रिकोणमितीय मान √3 है, जिसका अर्थ है tan² 60° = 3। cosec 30° का मानक मान 2 है। इन व्यक्तिगत परिणामों को पूर्ण व्यंजक के सरलीकृत रूप में प्रतिस्थापित करने पर 1 + 3 - 2 प्राप्त होता है। इस अंकगणितीय संक्रिया को हल करने पर अंतिम मान 2 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिया गया है कि 3 sin θ = 2 cos θ, जिससे हम ज्ञात कर सकते हैं कि tan θ = 2/3। वांछित व्यंजक के अंश और हर को cos θ से भाग देने पर, यह सरल होकर (4 tan θ - 1) / (4 tan θ + 1) हो जाता है। इस व्यंजक में tan θ = 2/3 का मान रखने पर, हमें (4 * 2/3 - 1) / (4 * 2/3 + 1) = (5/3) / (11/3) = 5/11 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिए गए व्यंजक √x - (1)/(√(x)) = √5 के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: सर्वसमिका (a - b)² = a² + b² - 2ab का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है:

(√x - (1)/(√(x)))² = (√5)² x + ¹⁄ₓ - 2(√x)((1)/(√(x))) = 5 x + ¹⁄ₓ - 2 = 5 x + ¹⁄ₓ = 7

अब, x² + (1)/(x²⁾ का मान ज्ञात करने के लिए, सर्वसमिका (a + b)² = a² + b² + 2ab का उपयोग करके इस प्राप्त समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:

(x + ¹⁄ₓ)² = 7² x² + (1)/(x²⁾ + 2(x)(¹⁄ₓ) = 49 x² + (1)/(x²⁾ + 2 = 49 x² + (1)/(x²⁾ = 47

व्याख्या

व्यंजक sin²³²° + sin²⁵⁸° - sin 30° + sec²⁶⁰° को त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं और मानक मानों का उपयोग करके सरल किया जा सकता है। चूंकि 32° और 58° पूरक कोण हैं (32° + 58° = 90°), हम सर्वसमिका sin(90° - θ) = cos θ लागू करते हैं। इससे sin 58° = sin(90° - 32°) = cos 32° प्राप्त होता है।

इसे पहले दो पदों में प्रतिस्थापित करने पर, हमें sin²³²° + cos²³²° प्राप्त होता है। पाइथागोरस सर्वसमिका sin²θ + cos²θ = 1 के अनुसार, यह योग 1 के बराबर है।

इसके बाद, हम मानक त्रिकोणमितीय मानों sin 30° = ½ और sec 60° = (1)/(cos 60°) = (1)/(1/2) = 2 का उपयोग करते हैं। सीकेंट (secant) मान का वर्ग करने पर sec² 60° = 2² = 4 प्राप्त होता है।

इन परिणामों को मूल व्यंजक में संयोजित करने पर: 1 - ½ + 4 = 5 - 0.5 = 4.5

व्याख्या

a³ - b³ का मान निम्नलिखित बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है: a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b)

दिए गए मान a - b = 5 और ab = 6 को सीधे सूत्र में रखने पर: a³ - b³ = (5)³ + 3(6)(5) a³ - b³ = 125 + 90 a³ - b³ = 215

वैकल्पिक रूप से, हम गुणनखंड सर्वसमिका a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) का उपयोग कर सकते हैं। सबसे पहले, संबंध (a - b)² = a² + b² - 2ab का उपयोग करके a² + b² ज्ञात कीजिए: 5² = a² + b² - 2(6) 25 = a² + b² - 12 a² + b² = 37

अब, इसे वापस गुणनखंड सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर: a³ - b³ = 5(37 + 6) a³ - b³ = 5(43) a³ - b³ = 215

व्याख्या

पूरक कोण संबंध sin θ = cos(90° - θ) और त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 का उपयोग करके इस व्यंजक को सरल किया जा सकता है।

पहले पद के लिए, चूंकि 66° = 90° - 24° है, इसलिए sin 66° = cos 24° और cos 66° = sin 24° होगा। इन्हें भिन्न में प्रतिस्थापित करने पर: sin² 24° + sin² 66°{cos² 24° + cos² 66°} = sin² 24° + cos² 24°{cos² 24° + sin² 24°} = ¹⁄₁ = 1

व्यंजक के दूसरे भाग के लिए, चूंकि 29° = 90° - 61° है, इसलिए sin 29° = cos 61° होगा। इस मान को प्रतिस्थापित करने पर: sin² 61° + cos 61° sin 29° = sin² 61° + cos 61° cos 61° = sin² 61° + cos² 61° = 1

दोनों भागों के परिणामों को मिलाने पर: 1 + 1 = 2

व्याख्या

दो घनों के अंतर के लिए बीजीय सर्वसमिका a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) है।

जिस व्यंजक का मान हमें ज्ञात करना है, उसे विस्तारित करने पर, (a + b)² - ab = a² + 2ab + b² - ab = a² + ab + b², हम देख सकते हैं कि यह सर्वसमिका के दूसरे गुणनखंड से मेल खाता है।

सर्वसमिका में दिए गए मानों a³ - b³ = 208 और a - b = 4 को प्रतिस्थापित करने पर: 208 = 4 × (a² + ab + b²)

दोनों पक्षों को 4 से विभाजित करने पर: a² + ab + b² = 208 / 4 = 52

इसलिए, व्यंजक (a + b)² - ab का मान 52 है।

व्याख्या

जब x + ¹⁄ₓ का मान ज्ञात हो, तो x³ + (1)/(x³⁾ का मान ज्ञात करने के लिए, हम मानक बीजगणितीय सर्वसमिका (algebraic identity) (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b) का उपयोग करते हैं। a = x और b = ¹⁄ₓ रखने पर, यह संबंध सरल होकर x³ + (1)/(x³⁾ = (x + ¹⁄ₓ)³ - 3(x + ¹⁄ₓ) हो जाता है। इसे संक्षिप्त सूत्र (shortcut formula) के रूप में इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: यदि x + ¹⁄ₓ = k, तो x³ + (1)/(x³⁾ = k³ - 3k।

इस सूत्र में दिए गए मान k = 5 को प्रतिस्थापित करने पर: x³ + (1)/(x³⁾ = 5³ - 3(5) x³ + (1)/(x³⁾ = 125 - 15 x³ + (1)/(x³⁾ = 110

व्याख्या

दिया गया समीकरण a² + b² + 64c² + 16c + 3 = 2a + 2b है। संबंधित चरों को एक साथ समूहित करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें प्राप्त होता है: (a² - 2a) + (b² - 2b) + (64c² + 16c) + 3 = 0। पूर्ण वर्ग बनाने के लिए, अचर 3 को 1 + 1 + 1 में विभाजित किया जा सकता है।

समीकरण (a² - 2a + 1) + (b² - 2b + 1) + (64c² + 16c + 1) = 0 हो जाता है, जो सरल होकर (a - 1)² + (b - 1)² + (8c + 1)² = 0 बन जाता है। चूंकि वास्तविक संख्याओं के वर्गों का योग केवल तभी शून्य होता है जब प्रत्येक पद शून्य हो, इसलिए हमारे पास a - 1 = 0 ⟹ a = 1, b - 1 = 0 ⟹ b = 1, और 8c + 1 = 0 ⟹ c = -1/8 है।

इन मानों को व्यंजक 4a⁷ + b⁷ + 8c² में रखने पर: मान = 4(1)⁷ + (1)⁷ + 8(-1/8)² मान = 4 + 1 + 8(1/64) मान = 5 + 1/8 मान = 5 ⅛

व्याख्या

BODMAS नियम का पालन करते हुए, हम सबसे पहले कोष्ठक के भीतर की संक्रियाओं और "का" (of) वाले पदों को हल करते हैं। पहले कोष्ठक के अंदर, (2/7 का 2 1/3) का मान 2/3 के बराबर है, और 3 5/6 को 2/3 से विभाजित करने पर 23/4 प्राप्त होता है। दूसरे कोष्ठक के अंदर, (2 6/7 का 4 1/5) का मान 12 के बराबर है, और 12 को 2/3 से विभाजित करने पर 18 प्राप्त होता है। इन मानों को वापस रखने पर, व्यंजक 23/8 भाग 23/4 गुणा 18 गुणा 5/9 हो जाता है, जो सरल होकर (1/2) * 18 * (5/9) = 9 * 5/9 = 5 हो जाता है।