तीन प्रकार की आयताकार टाइलें हैं : 3' × 3', 3' × 7' और 3' × 11'। इन टाइलों का उपयोग, इन्हें तोड़े बिना 3' × 100' आयाम के आयताकार क्षेत्र पर बिछाने के लिए किया जाना है। यदि x और y क्रमशः विभिन्न आकार की टाइलों की अधिकतम और न्यूनतम संख्याएँ हैं, जिनका उपयोग उस क्षेत्र पर पूर्णतया बिछाने के लिए किया जा सकता है, तो x - y है

सही उत्तर: A

विस्तृत व्याख्या:

यह प्रश्न गणित के 'रेखीय डायोफैंटाइन समीकरण' (Linear Diophantine Equation) पर आधारित है।

आयताकार क्षेत्र का आयाम 3' × 100' है। उपलब्ध टाइलें 3' × 3', 3' × 7' और 3' × 11' की हैं। चूँकि क्षेत्र और सभी टाइलों की चौड़ाई (3') समान है, इसलिए हमें केवल 100' की लंबाई को 3', 7' और 11' के टुकड़ों में पूरा करना है। माना 3', 7' और 11' लंबाई वाली टाइलों की संख्या क्रमशः a, b और c है (जहाँ a, b, c ≥ 0, क्योंकि प्रश्न में प्रत्येक प्रकार की कम से कम एक टाइल के उपयोग की बाध्यता नहीं है, यह बात दिए गए विकल्पों से भी स्पष्ट होती है)।

समीकरण: 3a + 7b + 11c = 100

1. अधिकतम टाइलों की संख्या (x): कुल संख्या अधिकतम करने के लिए, सबसे छोटी टाइल (3') का अधिकतम उपयोग करना होगा। अतः b और c का मान न्यूनतम रखना होगा।

• यदि b = 0, c = 0, तो 3a = 100 (3 से पूर्णतः विभाज्य नहीं है)।
• यदि b = 1, c = 0, तो 3a = 100 - 7 = 93 ⇒ a = 31 (यह संभव है)। अतः, अधिकतम टाइलें x = 31 + 1 + 0 = 32 होंगी।

2. न्यूनतम टाइलों की संख्या (y): कुल संख्या न्यूनतम करने के लिए, सबसे बड़ी टाइल (11') का अधिकतम उपयोग करना होगा।

• यदि c = 9, तो 11 × 9 = 99, शेष 1' (3' या 7' से संभव नहीं)।
• यदि c = 8, तो 11 × 8 = 88, शेष 12' बचा। इसे 3' की 4 टाइलों से पूरा किया जा सकता है (3 × 4 = 12, अतः a = 4, b = 0)। अतः, न्यूनतम टाइलें y = 4 + 0 + 8 = 12 होंगी।

परिणाम: x - y = 32 - 12 = 20 इसलिए, विकल्प A सही है।

अन्य विकल्प गलत क्यों हैं:

• B (12): यह केवल क्षेत्र को बिछाने के लिए आवश्यक न्यूनतम टाइलों (y) की संख्या है, न कि अभीष्ट अंतर (x - y)।
• C (10): यह मानकर कि प्रत्येक टाइल का उपयोग करना अनिवार्य है, गलत समीकरण या गणना त्रुटि का परिणाम है।
• D (7): यह गलत मान्यताओं या टाइलों के केवल एक यादृच्छिक संयोजन (random combination) पर आधारित अमान्य उत्तर है।

निष्कर्ष (Takeaway): ऐसी अनुकूलन (optimization) समस्याओं में, जब चौड़ाई समान हो, तो 2D क्षेत्रफल को 1D लंबाई के समीकरण (ax + by + cz = L) में बदल लें। अधिकतम संख्या के लिए सबसे छोटी इकाई को और न्यूनतम संख्या के लिए सबसे बड़ी इकाई को प्राथमिकता दें।