एक पुस्तिका के पन्ने, जिन्हें सामान्य तरीके से पहले पन्ने से 1 से शुरू करके क्रमांकित किया गया है, में से एक पन्ना फाड़ दिया गया है। शेष पृष्ठों की संख्याओं का योग 195 है। फटे हुए पन्ने में निम्नलिखित में से कौन सी संख्याएँ हैं?

1 से N तक के पृष्ठ संख्याओं का योग सूत्र N(N+1)/2 द्वारा दिया जाता है। शेष पृष्ठों का योग 195 है। इसका मतलब है कि पृष्ठों का मूल कुल योग 195 से थोड़ा अधिक होना चाहिए।

कुल पृष्ठों (N) का अनुमान लगाते हैं: यदि N=19 है, तो योग 19 * (19+1) / 2 = 19 * 20 / 2 = 190 है। यह 195 से कम है, इसलिए N का मान 19 से अधिक होना चाहिए। यदि N=20 है, तो योग 20 * (20+1) / 2 = 20 * 21 / 2 = 210 है। यह एक संभावित कुल योग है। यदि N=21 है, तो योग 21 * (21+1) / 2 = 21 * 22 / 2 = 231 है।

मान लीजिए कि पुस्तिका में 20 पृष्ठ थे। पृष्ठ संख्याओं का कुल योग 210 होगा। फटे हुए पृष्ठ की संख्याओं का योग = कुल योग - शेष पृष्ठों का योग फटे हुए पृष्ठ की संख्याओं का योग = 210 - 195 = 15।

एक पन्ने में हमेशा दो क्रमागत संख्याएँ होती हैं। मान लीजिए ये संख्याएँ P और P+1 हैं। उनका योग P + (P+1) = 2P + 1 है। अतः, 2P + 1 = 15। 2P = 14। P = 7। फटे हुए पृष्ठ की संख्याएँ 7 और 8 हैं।

यदि हमने N=21 माना होता, तो फटे हुए पृष्ठ की संख्याओं का योग 231 - 195 = 36 होता। तब 2P + 1 = 36, जिससे 2P = 35 और P = 17.5 प्राप्त होता है। पृष्ठ संख्याएँ पूर्णांक होनी चाहिए, इसलिए N का मान 21 नहीं हो सकता।

इस प्रकार, पुस्तिका में 20 पृष्ठ थे, और फटे हुए पन्ने में 7 और 8 संख्याएँ थीं।

विकल्पों का विश्लेषण: A) 5,6: योग = 11. (गलत) B) 7,8: योग = 15. (सही) C) 9,10: योग = 19. (गलत) D) 11,12: योग = 23. (गलत)

अंतिम उत्तर B है।