एक समूह में 630 बच्चे एक समूह फोटो सत्र के लिए पंक्तियों में बैठे हैं। प्रत्येक पंक्ति में उससे आगे वाली पंक्ति की तुलना में तीन कम बच्चे हैं। निम्नलिखित में से पंक्तियों की कौन सी संख्या संभव नहीं है?

मान लीजिए 'a' पहली पंक्ति में बच्चों की संख्या है और 'n' पंक्तियों की कुल संख्या है। प्रत्येक अगली पंक्ति में बच्चों की संख्या 3 कम हो जाती है। यह एक समांतर श्रेणी (AP) बनाता है जिसका पहला पद 'a' और सार्व अंतर 'd = -3' है। बच्चों की कुल संख्या 630 है, जो AP का योग है। AP के योग का सूत्र S_n = n/2 * [2a + (n-1)d] है।

S_n = 630 और d = -3 को प्रतिस्थापित करने पर: 630 = n/2 * [2a + (n-1)(-3)] 2 से गुणा करने पर: 1260 = n * [2a - 3(n-1)]

एक वैध व्यवस्था के लिए, 'a' (पहली पंक्ति में बच्चों की संख्या) एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए, और अंतिम पंक्ति में बच्चों की संख्या (a - 3(n-1)) भी एक धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए।

आइए 'n' के प्रत्येक विकल्प का परीक्षण करें: A) यदि n = 3: 1260 = 3 * [2a - 3(3-1)] 1260 = 3 * [2a - 6] 420 = 2a - 6 426 = 2a a = 213. (यह एक पूर्णांक है। अंतिम पंक्ति: 213 - 3(2) = 207 > 0. संभव)

B) यदि n = 4: 1260 = 4 * [2a - 3(4-1)] 1260 = 4 * [2a - 9] 315 = 2a - 9 324 = 2a a = 162. (यह एक पूर्णांक है। अंतिम पंक्ति: 162 - 3(3) = 153 > 0. संभव)

C) यदि n = 5: 1260 = 5 * [2a - 3(5-1)] 1260 = 5 * [2a - 12] 252 = 2a - 12 264 = 2a a = 132. (यह एक पूर्णांक है। अंतिम पंक्ति: 132 - 3(4) = 120 > 0. संभव)

D) यदि n = 6: 1260 = 6 * [2a - 3(6-1)] 1260 = 6 * [2a - 15] 210 = 2a - 15 225 = 2a a = 225 / 2 = 112.5. (यह एक पूर्णांक नहीं है।)

चूंकि एक पंक्ति में बच्चों की संख्या एक पूर्णांक होनी चाहिए, 'a' 112.5 नहीं हो सकता। इसलिए, 6 पंक्तियाँ एक संभव व्यवस्था नहीं है।

अंतिम उत्तर D है