एक कैरम बोर्ड खेल प्रतियोगिता में, एक विद्यालय के m लड़के और n लड़कियाँ (m > n > 1) भाग लेते हैं, जिसमें प्रत्येक छात्र को हर दूसरे छात्र के साथ ठीक एक खेल खेलना होता है। खेले गए कुल खेलों में से, यह पाया गया कि 221 खेलों में एक खिलाड़ी लड़का था और दूसरा खिलाड़ी लड़की थी। निम्नलिखित कथनों पर विचार करें: 1. प्रतियोगिता में भाग लेने वाले छात्रों की कुल संख्या 30 है। 2. ऐसे खेलों की संख्या जिनमें दोनों खिलाड़ी लड़कियाँ थीं, 78 है। उपरोक्त कथनों में से कौन सा/से सही है/हैं?

यहाँ एक संक्षिप्त व्याख्या दी गई है:

1. दी गई जानकारी की पहचान करें:

   • लड़कों की संख्या = m
   • लड़कियों की संख्या = n
   • शर्त: m > n > 1
   • एक लड़के और एक लड़की के बीच खेले गए खेलों की संख्या = 221

2. समीकरण का निर्माण करें: एक लड़के और एक लड़की के बीच खेले गए खेलों की संख्या गुणनफल m * n द्वारा दी जाती है। अतः, m * n = 221.

3. m और n ज्ञात करें: हमें 221 के दो गुणनखंड ज्ञात करने होंगे जैसे कि m > n > 1 हो। 221 का गुणनखंडन: 221 = 13 * 17। चूंकि m > n दिया गया है, हमारे पास m = 17 और n = 13 है। यह m > n > 1 (17 > 13 > 1) को संतुष्ट करता है।

4. कथन 1 का मूल्यांकन करें: "प्रतियोगिता में भाग लेने वाले छात्रों की कुल संख्या 30 है।" कुल छात्र = m + n = 17 + 13 = 30। कथन 1 सही है।

5. कथन 2 का मूल्यांकन करें: "ऐसे खेलों की संख्या जिनमें दोनों खिलाड़ी लड़कियाँ थीं, 78 है।" दो लड़कियों के बीच खेले गए खेलों की संख्या संयोजन सूत्र C(n, 2) द्वारा दी जाती है। C(n, 2) = C(13, 2) = (13 * (13-1)) / 2 = (13 * 12) / 2 = 13 * 6 = 78। कथन 2 सही है।

चूंकि कथन 1 और 2 दोनों सही हैं, इसलिए उत्तर C है।

अंतिम उत्तर C है।